Колмогоровская e-энтропия глобальных аттракторов динамических систем Чепыжов Владимир Викторович

Содержание к диссертации

Введение

I. Основные понятия и вспомогательные результаты 29

1. Функциональные пространства и теоремы вложения 29

2. Почти периодические функции 37

3. Полугруппы и глобальные аттракторы 40

4. Глобальные аттракторы автономных уравнений 44

4.1. Системы реакции-диффузии 44

4.2. Уравнения Гинзбурга-Ландау 47

4.3. 2D система Навье-Стокса 48

4.4. Нелинейное волновое уравнение с диссипацией 50

5. Размерность глобальных аттракторов 52

5.1. Колмогоровская -энтропия и размерность множеств 53

5.2. Оценки хаусдорфовой размерности инвариантных множеств 55

5.3. Применение к инвариантным множествам полугрупп 58

5.4. Применение к глобальным аттракторам автономных уравнений 61

5.5. Оценки снизу размерности глобальных аттракторов 65

II. Глобальные аттракторы неавтономных уравнений 70

1. Символы неавтономных уравнений 72

2. Задача Коши и динамические процессы 74

3. Равномерные глобальные аттракторы 75

4. Сведение к полугруппе в расширенном пространстве 79

0. Равномерные (по г Є К) глобальные аттракторы 86

6. Аттракторы неавтономных уравнений математической физики . 89

6.1. Двумерная система Навье-Стокса 89

6.2. Неавтономные системы реакции-диффузии 97

6.3. Неавтономное уравнение Гинзбурга-Ландау 101

6.4. Неавтономное волновое уравнение с диссипацией 102

III. Колмогоровская с-энтропия и размерность ядер уравнений 115

1. Свойства сечений ядер процессов 116

2. Нтропия инвариантных множеств 120

3. Решетки и покрытия 126

4. Оптимизация оценок е-энтропии и фрактальной размерности 129

5. Об е-энтропии и фрактальной размерности цепочки множеств 133

6. Оценки для сечений ядер процессов 136

7. Применение к ядрам неавтономных уравнений 138

7.1. 2D система Навье-Стокса с зависящей от времени силой . 138

7.2. Система реакции-диффузии, зависящая от времени 142

7.3. Неавтономные гиперболические уравнения с диссипацией . 145

8. Некоторые дополнительные замечания 147

IV. Колмогоровская є-энтропия глобальных аттракторов 149

1. Общие оценки -энтропии равномерных аттракторов 150

2. О фрактальной размерности равномерных аттракторов 161

3. Функциональная размерность и метрический порядок 165

4. Трансляционно компактные функции 166

4.1. Трансляционно компактные функции в Cloc(R; М) 167

4.2. Трансляционно компактные функции в LpOC(E; ) 171

4.3. Другие трансляционно компактные функции 173

5. Применение к неавтономным уравнениям 173

5.1. 2D система Навье-Стокса 173

5.2. Нижние оценки для размерности глобальных аттракторов 177

5.3. Системы реакции-диффузии 178

5.4. Уравнение Гинзбург а-Ландау 182

5.5. Гиперболические уравнения с диссипацией 183

6. Колмогоровская е-энтропия и метрический порядок 185

6.1. Некоторые почти периодические функции 185

6.2. Класс функций из теории информации 190

7. Колмогоровская є-знтропия в расширенном пространстве 191

V. Полупроцессы и их глобальные аттракторы 196

1. Семейства полупроцессов и их глобальные аттракторы 197

2. О сведении к полугруппе в расширенном пространстве 200

3. Неавтономные уравнения с тр.к. на R+ символам 204

4. Продолжение полупроцессов до процессов 207

5. Асимптотически почти периодические функции 210

6. Неавтономные уравнения с а.п.п. символами 213

7. Каскадные системы и их глобальные аттракторы 217

Литература 220

Предметный указатель 234

• Оценки хаусдорфовой размерности инвариантных множеств
• Неавтономные системы реакции-диффузии
• Оптимизация оценок е-энтропии и фрактальной размерности
• Гиперболические уравнения с диссипацией

Введение к работе

Андрей Николаевич Колмогоров нашел применение многим понятиям и методам теории информации в теории эволюционных уравнений и динамических систем. В частности, им было введено ключевое понятие е-энтропии He(.Y) компактного множества X в банаховом (конечномерном или бесконечномерном) пространстве Е. В известной работе А.Н.Колмогорова и В.М.Тихомирова [55] приведены оценки сверху и снизу для г-энтропии многих классов функциональных множеств. Например, в этой статье была изучена г-энтропия множества вещественных функций {u(t), t € Щ, обладающих ограниченным спектром, и приведен один из вариантов обоснования фундаментальной теоремы В.А.Котельникова (см. также [115]), занимающей исключительно важное место в теории информации, основы которой были заложены в работах К.Шеннона и других математиков.

Колмогоровская -энтропия и связанная с ней энтропийная размерность являются важными базовыми характеристиками, которые описывают сложность компактных множеств, что весьма существенно в теории приближений функций и функциональных множеств.

Новый интерес к колмогоровской е-энтропии возник в связи с исследованием структуры нерегулярных аттракторов динамических систем, которые появляются во многих моделях так называемого детерминированного хаоса. Аттрактором динамической системы называется компактное множество фазового пространства, которое инвариантно относительно сдвигов вдоль траекторий данной системы, и к которому притягиваются все траектории системы при t - +оо. Особенно важным это понятие становится при исследовании бесконечномерных динамических систем, имеющих компактные аттракторы весьма сложной структуры, которые, возможно, тесно связаны с проблемой объяснения турбулентных явлений во многих задачах динамики сплошных сред.

Одной из фундаментальных проблем, возникающих при исследовании эволюционных уравнений математической физики, является описание поведения решений этих уравнений при больших временах или когда время стремится к бесконечности. Аналогичные задачи возникают при исследовании устойчивости решений, когда время t — +оо, при изучении установившихся предельных стационарных и нестационарных траекторий и семейств таких траекторий, а также при исследовании характера неустойчивости предельных множеств при отсутствии глобальной устойчивости некоторых реше ний.

В последние тридцать лет при решении подобных задач большую популярность приобрел подход, основанный на теории динамических систем, который изначально применялся при исследовании конечномерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прежде всего этот интерес был связан с открытием детерминированного хаоса, то есть достаточно простых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, у которых, однако, наблюдается весьма нерегулярное (хаотическое) поведение траекторий, когда время стремится к бесконечности. Классическим примером такой системы служит трехмерная система Лоренца (см. [83]), которая получается из галеркинского приближения системы уравнений Бусинеска, описывающей конвекцию подогреваемой жидкости. После этого важного открытия, а также под влиянием работы Д.Рюэля и Ф.Такенса [101], наблюдается бурный рост числа исследований в этом направлении, стимулированных попытками объяснить зарождение турбулентности в жидкости с помощью понятия странного (нерегулярного) аттрактора (см. [109]). Однако механизм возникновения нерегулярности в конкретных динамических системах остается достаточно запутанным, и определенный прогресс связан с широким применением численного моделирования (см. [82, 98, 7]).

Многие идеи, понятия и методы теории конечномерных динамических систем легли в основу теории бесконечномерных динамических систем, порождаемых дифференциальными уравнениями с частными производными. С этой точки зрения стали изучаться, например, системы уравнений Навье-Стокса, различные уравнения и системы реакции-диффузии, комплексные уравнения Гинзбурга-Ландау, нелинейные диссипативные волновые уравнения и многие другие эволюционные уравнения математической физики. Целью этих исследований было построение глобальных аттракторов этих систем и исследование их структуры. При этом существенной характеристикой сложности этих множеств может служить колмогоровская -энтропия и энтропийная размерность.

Дадим определение колмогоровской -энтропии компактного множества X в банаховом пространства Е. Через Ne{X,E) = Ne(X) обозначается наименьшее число шаров радиуса є в пространстве Е, которые покрывают множество X :

N

Xc\jB(xi,e), Ne{X) = vninN. (0.1)

t=i

Здесь B(xu є) = {х Є Е \\х — ХІ\\Е є} - шар в Е с центром в ХІ И радиусом є. Важно отметить, что Ne(X) +оо для любого є 0, так как множество X компактно в Е.

Определение 0.1. Колмогоровской -энтропией множества X в пространстве Е называется число

НЄ(Х,Е) :=Не(Х) :=lofr2Ng(X).

(0.2)

Для конкретных множеств X задача заключается в исследовании асимптотического поведения по є функции Н(Х) при є — 0 + . Ясно, что є-энтропия позволяет узнать, сколько необходимо задать точек (или функций) в пространстве Е, для того чтобы определить множество X с погрешностью є. Эта характеристика компактных множеств.был&впервые введена» А.Н.Колмогоровым и изучена в совместной работе с В.М.Тихомировым (см. [55]). В этой статье было также введено важное понятие энтропийной размерности, которую впоследствии стали часто называть фрактальной размерностью компактного множества.

Определение 0.2. Фрактальной размерностью компактного множества X в пространстве Е называется число

MX,E):=MX):=m L. (0.3)

Если фазовое пространство Е имеет конечную размерность, то легко видеть, что df-(X) +оо, причем dF(X) dimE. В бесконечномерном пространстве Е фрактальная размерность компактных множеств может быть бесконечной. Однако если известно, что 0 dp(X) +оо, то НЕ(Х) « dp(.Y) log2 (j), и значит, потребуется Ne(X) « (і) точек для того, чтобы приблизить такое множество X с точностью до г. В работе [55] рассматривались примеры множеств в различных функциональных пространствах, для которых Ие{Х) « D log2 ()° , где а 1, и даже HE(X) « D (j)a . Для таких множеств, очевидно, фрактальная размерность равна бесконечности, однако г-энтропия этих множеств остается конечной, и ее величина характеризует сложность множества бесконечной размерности.

Другой существенной характеристикой компактного множества служит его хаусдорфова размерность

dff(X) = M{d\»(X,d) = 0},

где /j.(X,d) = inf J2rfi причем точная нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества X шарами В(ХІ,ГІ), для которых г; е. Легко видеть, что всегда du{X) dp{X). Можно привести примеры множеств, для которых dfj(X) = 0, но dp{X) = +оо. Таким образом, хаусдорфова размерность является более слабой характеристикой компактных множеств с точки зрения теории приближения.

Отметим, что фрактальная и хаусдорфова размерность бывают также весьма полезными при исследовании различных "негладких" множеств, например самоподобных множеств или фракталов. Простейшим примером такого множества служит троичное канторово множество К на отрезке [0,1], для которого dp(K) = СІЯ(АГ) = log3 2 1. Фрактальная и хаусдорфова размерность компактного гладкого многообразия равна его размерности, т.е. является целым числом. Однако пример канторова множества показывает, что эти размерности могут быть нецелыми числами.

Фрактальная и хаусдорфова размерности применяются при изучении аттракторов конечномерных динамических систем, которые описывают детерминированный хаос, например, для системы Лоренца. При компьютерном моделировании этой системы наблюдается весьма сложная "хаотическая" структура аттрактора этой системы. Строгие результаты получаются в виде оценок сверху и снизу размерности (фрактальной и хаусдорфовой) аттракторов. Например, для аттрактора Лоренца известно, что

2 dH(A) dF(A) dL{A) = 2,401...

Здесь d,(.4) обозначает ляпуновскую размерность аттрактора А (о ней речь пойдет ниже), которая всегда не меньше фрактальной размерности. Интересно, что для аттрактора Лоренца существует явная формула для вычисления его ляпуновской размерности (см. [73]). Однако остается открытым вопрос о нетривиальных оценках снизу фрактальной размерности аттрактора Лоренца. Известно лишь, что df(.4) 2.

Изложим теперь вкратце некоторые фундаментальные результаты об -энтропии и размерности глобальных аттракторов автономных эволюционных уравнений с частными производными. Основной результат можно сформулировать так: для многих важных диссипативных автономных уравнений и систем уравнений математической физики доказаны теоремы о существовании компактных глобальных аттракторов и установлена конечномерность этих аттракторов. Эти результаты, по-видимому, впервые были получены для двумерной системы Навье-Стокса, которая является весьма популярным объектом исследований в области аттракторов бесконечномерных динамических систем. Эти и другие фундаментальные результаты были получены в работах О.А.Ладыженской, М.И.Вишика, А.В.Бабина, Р.Темама, Дж.Хейла, Дж.Селла, их учеников и многих других математиков (см. книги [13, 113, 132, 70] и цитированную в них литературу).

Автономное эволюционное уравнение можно записать в следующей абстрактной форме:

dtu = A(u), u\t=0 = uQ(x) Є E, t 0. (0.4)

Здесь u = u(x,t) - решение уравнения (0.4), x - пространственная переменная, at- время. Правая часть A(u) уравнения (0.4) является некоторым (нелинейным) оператором, зависящим от функции и и от ее частных производных по х. Функция щ(х) в (0.4) определяет начальное состояние динамической системы, описываемой этим уравнением, т.е., и(х, 0) = щ(х). Начальное условие щ(х) принадлежит некоторому бесконечномерному банахову пространству Е, которое называется фазовым пространством задачи (0.4). Фазовое пространство Е выбирается, исходя из физического смысла задачи. Например, это может быть некоторое пространство Соболева. Значение щ(х) можно выбрать произвольно в этом пространстве. Предполагается, что при любой функции щ(х) из Е задача (0.4) имеет, и притом единственное, решение u(x,t), t 0, в некотором классе функций, причем

u(-,t) Є E при всех t 0. Тогда с задачей (0.4) можно связать семейство нелинейных операторов {S(t), t 0}. S{t) : Е - Е, действующих по формуле

и0(х) і— S{t)u0(x) = u(x,t),

где u{x,t) - решение задачи (0.4) с начальным условием щ(х). Операторы {S(t)} = {S(t), t 0} образуют полугруппу, т.е., 5(0) = Id — тождественный оператор, и 5(ti +12) = 5(ix) о 5( ) для любых чисел ti,t2 0.

Большое количество дифференциальных уравнений математической физики вида (0.4) и соответствующих им полугрупп {S()} приведено в книгах [13, 132. 113, 70].

В качестве примера задачи (0.4) рассмотрим двумерную систему Навье— Стокса, которая описывает плоское течение вязкой несжимаемой жидкости в ограниченной области Q ё R2 с условием прилипания на границе дії. Система Навье-Стокса имеет вид

( dtu = -vLu - B(u, u)+ g (x). div u = 0, uan = 0, ,,

\ u\lss0 = щ(х) Є Я. [ Система записана в проекции на пространство соленоид ал ьных векторных полей в Е2, поэтому в ней отсутствует переменная давления р(х, t). Требуется определить поле скоростей жидкости u(x,t) = (ul(x,t),u2(x,t)) в каждой точке х € Q в любой момент времени t 0, если известно начальное распределение скорости щ(х). Условие несжимаемости жидкости записано в виде тождества div u = dXlu+dX2u = 0. В системе (0.5) и 0 - вязкость жидкости, L = -ПД - оператор Стокса, В(и,и) = П 2=1 uldXlu - билинейный оператор. Через П обозначается ортопроектор в пространстве (2( ))2 на подпространство Н соленоидальных (то есть, с нулевой дивергенцией) векторных полей. Подпространство Н совпадает с замыканием по норме пространства (L2(fi))2 множества функций V = {v(x) Є Co°(f2),divt;(x) = 0}. Функция g(x) — (g1(x),g2(x)) является внешней силой системы. Предполагается, что g € Н. Известно, что при любой функции щ(х) Є Н задача (0.5) имеет, и притом единственное, решение u(x,t),t 0, принадлежащее соответствующему функциональному пространству. При этом и(х, t) € Н при любом t 0 и кроме того и(х, t) Є C(R+;#) (см. [66, 80, 113, 13]). Следовательно, задача (0.5) порождает полугруппу {S(t)}, действующую в гильбертовом пространстве Н.

Дадим определение глобального аттрактора полугруппы {S(t)}, действующей в некотором банаховом пространстве Е.

Определение 0.3. Компактное множество А из Е называется глобальным

аттрактором полугруппы {S(t)}, если

1) множество А строго инвариантно относительно {S(t)}, т.е.

S(t)A = А для всех t 0,

2) множество А притягивает множество S(t)B при t — • +00, где В - любое ограниченное (в пространстве Е) множество начальных условий {щ(х)} = В:

distE(S(t)B,A) - • 0, - +ос.

Здесь distsiAi, А2) — sup inf \\ai — агЦя - хаусдорфово расстояние от

аіЄАі "2Є-42

множества Аі до множества Ач в пространстве Е.

Свойство 2) можно сформулировать еще так: для любого є 0 найдется такое число Т = Т(є,В), что S(t)B С Ое(Л) при всех t Т, где Ое{А) обозначает є-окрестность множества А в Е. Из определения 0.3 следует, что глобальный аттрактор А притягивает все решения u(x,t) = S(t)uo(x) при - +оо равномерно относительно любого ограниченного множества В = {щ(х)} начальных условий. Легко видеть, что глобальный аттрактор определяется однозначно. Он описывает, в некотором смысле, все предельные решения уравнения (0.4).

Рассмотрим теперь систему Навье-Стокса (0.5). Если внешняя сила д(х) достаточно мала, то система (0.5) имеет, и притом единственное, стационарное решение z(x), которое является экспоненциально асимптотически устойчивым. Точнее, рассмотрим следующую безразмерную величину G = у т, которая называется числом Грасхофа системы (0.5). Здесь Ai - первое собственное значение оператора Стокса L. Тогда существует абсолютная константа с0 0 такая, что если G CQ, ТО имеется единственное решение z = z(x) стационарной задачи Навье-Стокса

-vLz - B{z, z) + д{х) = 0, divz = 0, u\dQ = 0. (0.6)

При этом для любого решения u(t) = S(t)uo (u(t) := u(x, t)) уравнения (0.5), выполнено неравенство

«(0 - Z\\H C\\u0 - г\\не- , V 0 (7 0). (0.7)

Из (0.7) следует, что при G Со глобальный аттрактор А полугруппы {S(t)} задачи (0.5) состоит из одной точки z : A = {z(x)}. (Константа CQ совпадает с константой в неравенстве Ладыженской, см. § 1.4.3).

Если число Грасхофа G велико, то стационарное решение z(x) теряет устойчивость. Появляются другие стационарные решения и новые предельные траектории, например, предельные циклы, предельные торы, неустойчивые многообразия, выходящие из стационарных точек. Все эти траектории включаются в глобальный аттрактор А- С ростом G картина еще больше запутывается. Появляются хаотические траектории на подобие странного аттрактора Лоренца. Общая структура глобального аттрактора сильно усложняется и становится нерегулярной, хаотической. Отметим, что большинство из этих заключений сделаны на основе компьютерного моделирования системы (0.5) (см. [113]). Строгие результаты доказаны только для глобальный аттрактор двумерной системы Навье-Стокса с периодическими граничными условиями и специальной внешней силой, которая порождает так называемые неустойчивые течения Колмогорова (см. § 1.5.5). В общем случае доказано существование глобального аттрактора Л системы (0.5) и изучены некоторые его свойства (см. [67, 8, 49, 60]). Установлен важный результат о конечномерности глобального аттрактора двумерной системы Навье-Стокса. Оценки сверху для размерности глобального аттрактора неоднократно улучшались в работах многих авторов (см. [8, 60]). Наилучшие известные оценки получаются с помощью неравенств Либа-Тирринга. Они имеют следующий вид

&н(А) cxG, dF{A) c2G (0.8)

(см. [ИЗ]). Однако, константы с\ и с2, полученные в этих работах, отличаются, то есть С! с%. Из второго неравенства (0.8) следует оценка для колмогоровской е-энтропии глобального аттрактора А :

H,(A) c2Glog2( y (0.9)

Оценки, аналогичные (0.8) и (0.9) для хаусдорфовой и фрактальной размерности глобальных аттракторов широкого класса автономных уравнений математической физики были доказаны в работах [113, 13]. В основе доказательства лежит исследование свойств сжатия конечномерных объемов под действием квазидифференциалов полугрупп, порождаемых этими автономными уравнениями. Для удобства изложения приведем один обший результат об оценивании -энтропии и фрактальной размерности инвариантных множеств полугрупп. Он является следствием более общих теорем, доказанных в диссертации при оценке е-энтропии глобальных аттракторов неавтономных эволюционных уравнений.

Пусть задана некоторая полугруппа {5(і)}, действующая в гильбертовом пространстве Я. Рассматривается компактное множество X в Я, X € Я. Пусть множество X строго инвариантно относительно {S(t)}, т.е. S(t)X = X для всех t 0. Например, множество X может быть глобальным аттрактором полугруппы {S(t)}, X = Л (см. определение 0.3). Предполагается, что полугруппа {S(t)j равномерно квазидифференцируема на X в следующем смысле: для любого t 0 и для каждого и € X имеется линейный ограниченный оператор L(t, и) : Е - Е {квазидифференциал) такой, что

5( )«1 - S{t)u - L(t,u)(Ul - и)\\н 7(iii - «ія, )Іиі - и\\н (0.10)

для любых и,иі Є -Y. причем функция 7 = 7(f.0 "" 0+ ПРИ - 0+ для каждого фиксированного t 0. Предполагается, что линейные операторы L(t, и) порождаются уравнением в вариациях вида

dtv = Au(u(t))v, v\t=0 = v0eH, (0.11)

где u(t) = S(t)uo, щ є X, a Au(-) - формальная производная по и оператора А(-), причем область определения Hi оператора Au(u(t)) плотна в Н. Предполагается, что линейная задача (0.11) однозначно разрешима для любого VQ € Н при всех щ Є X. По нашему предположению в (0.10) квазидифференциалы L(t,y0)zo = z(t), где z(t) - решение уравнения (0.11).

Пусть TnNnL:Hi— H- линейный, возможно, неограниченный оператор. Тогда m-мерным следом оператора L называется число

m

TrmL= sup (Ьриірі), (0.12)

{Vi}i=l m i-i

где точная верхняя грань взята по всевозможным ортонормированным в Н семействам векторов { Pi}i=i,...,m, лежащим в Н\.

Определение 0.4. Введем следующие числа:

t Ъ = ІІпі sup Ї I Trj(Au(u(s))ds, j = 1,2,... , (0.13) где u(t) = 5(0"о Утверждение 0.1. Предположим, что полугруппа {S(t)}, действующая в пространстве Н, имеет компактное строго инвариантное множество X и является равномерно квазидифференцируемой на X. Пусть выполнены неравенства

& $, 7 = 1,2,3,..., (0.14)

где числа q определены в (0.13). Предполагается, что функция qj выпукла вверх по j (как П). Пусть т - наименьшее число, такое что gm+1 0 (очевидно, что qm 0). Обозначим

d = m + — . (0.15)

Qm — Чт+\

Тогда для любого 6 0 найдутся такие числа а Є (0,1) и Єо 0, что для е-энтропии H(.Y) множества X выполнена следующая оценка:

НДЛ-) (d + 5)\og2 ( ) +Нео(Х), Ve єо. (0.16)

Кроме того, множество X имеет конечную фрактальную размерность и

dF(X) d. (0.17)

Замечание 0.1. Отметим, что оценки вида (0.17) для хаусдорфовой размерности dtf (Л") были доказаны в [41, 60] для qj = q j без условия выпуклости функции q j по j. Однако в конкретных приложениях бывает очень трудно вычислить точное значение q j. Вместо этого используются разные оценки

сверху этой величины вида (0.14). При этом функции q3 обычно получаются выпуклыми по j (см. [113, 13]). В результате с помощью утверждения 0.1 устанавливаются оценки фрактальной размерности, совпадающие с оценками хаусдорфовой размерности глобальных аттракторов конкретных уравнений математической физики (ср. с (0.8), где С\ С2).

Основные результаты данной диссертации относятся к построению глобальных аттракторов и оценке их колмогоровской -энтропии для неавтономных уравнений математической физики.

Неавтономные уравнения естественно возникают во многих задачах физики и механики, когда необходимо учесть зависимость от времени основных параметров изучаемых моделей и соответствующих им уравнений с частными производными. Такими параметрами могут быть зависящие от времени внешние силы, функции взаимодействия, различные коэффициенты, функции управления процессами, например входные сигналы, зависящие от времени и многие другие члены уравнений. Все эти явно зависящие от времени функции могут существенно влиять на динамику решений изучаемых уравнений, которые не являются автономными и к ним становится неприменимой изложенная выше теория. Трудность возникает уже при определении глобального аттрактора неавтономного уравнения. Например, приходится модифицировать свойство инвариантности аттрактора, так как сдвиги вдоль траекторий неавтономного уравнения приводят к функциям, которые, вообще говоря, не являются решениями исходного уравнения (они являются решениями "сдвинутого" уравнения). Условие инвариантности можно заменить на условие минимальности.

Важной количественной характеристикой глобальных аттракторов автономных уравнений служит его размерность (хаусдорфова или фрактальная). Напомним, что глобальный аттрактор - это компактное множество бесконечномерного фазового пространства, к которому притягиваются все траектории данной системы. Его конечномерность означает возможность описания, хотя бы в принципе, предельной динамической системы с помощью эволюции конечного числа параметров или мод, которое зависит от размерности этого аттрактора. В некоторых частных случаях даже удается свести задачу к системе конечного числа обыкновенных уравнений в конечномерном пространстве.

Как уже отмечалось для многих основных классов автономных дисси-пативных эволюционных уравнений математической физики была доказана конечномерность их глобальных аттракторов. Однако при исследовании глобальных аттракторов неавтономных уравнений наблюдается совершенно иная картина. Уже простые примеры показывают, что глобальный аттрактор неавтономного уравнения с достаточно общей зависимостью его членов и коэффициентов от времени имеет бесконечную размерность, являясь при этом компактным множеством фазового пространства. Ниже мы рассмотрим такой пример. Это явление приводит к необходимости исследовать другие численные характеристики компактных множеств, среди ко торых важное значение имеет колмогоровская е-энтропия. Колмогоровская энтропия позволяет оценить сложность глобального аттрактора для решении задач аппроксимации изучаемых неавтономных динамических систем более простыми, конечномерными системами.

Опишем глобальный аттрактор неавтономного уравнения более подробно. Неавтономное эволюционное уравнение можно записать в следующем виде:

dtu = A(u,t), u\t=T = uTeE, t r. (0.18)

Нелинейный оператор A(u, t) зависит от функции и, ее частных производных по х, а также от времени t Є It Начальное условие иТ1 принадлежащее банахову пространству Е, задается при t = т, где г - любое фиксированное число. Предполагается, что при любом т Є R и любом ит 6 Е задача (0.18) имеет, и притом единственное, решение u{t) такое, что u(t) Є Е при всех t т. Рассматривается двупараметрическое семейство нелинейных операторов {U(t,r)}, t г, т є R, в Е, которое строится по формуле

U(t, т)ит = u(t), t r, т Є К, ит € Е, (0.19)

где u(t) - решение (0.18) с начальным условием ит Є Е. Семейство операторов {U(t,r)} называется процессом, порожденным задачей (0.18). Процесс имеет следующие свойства: 1) /(т, г) = Id при всех г Є К; 2) U(t, s)oU(s, т) = U(t, т) при всех t s т, г Є К. Если операторы A(u,t) в (0.18) не зависят от времени, то процесс {U(t, т)} является полугруппой U(t,r) = S(t — т), порождаемой автономной задачей (0.4).

В качестве примера рассмотрим двумерную систему Навье-Стокса, в которой внешняя сила зависит от времени,

( dtu = -uLu - В{и, и) + gQ (х, t), div и = 0, и\9п = 0, ,Q Q.

\ u\t=T = щ(х) Є Я.

Все обозначения имеют тот же смысл, что и в системе (0.5). Предполагается, что зависящая от времени внешняя сила go(-,t) Є Сь(ЩН), то есть, она является непрерывной функцией времени со значениями в пространстве Н, которая ограничена по норме пространства Я:

\\доЫ)\\н с,ъек (0.21)

Как и в автономном случае справедлива теорема о существовании и единственности решения этой задачи: для любого ит(-) Є Я существует, и притом единственное, решение u(x,t) задачи (0.20), причем u(-,t) € Сб(Кг;Я). Здесь обозначено Rr = [т, +оо). Следовательно задача (0.20) порождает процесс {U(t,r)}, действующий в Я по формуле (0.19).

Дадим определение глобального аттрактора Л процесса {U(t,г)}. Через В(Е) обозначается семейство всех ограниченных множеств в Е. Множество Во С Е называется (равномерно по г Є R) поглощающим, для процесса {U(t, г)}, если для любого множества В € В(Е) найдется такое число

h = h(B), что

U{t, т)В С Во для любых t, т; і - г Л. (0.22)

Множество Р С Е называется (равномерно по г Є Е) притягивающим для процесса {U(t.r)}, если для любого є 0 множество Ое(Р) является поглощающим для этого процесса (здесь и далее Оє{М) обозначает е-окрестность множества М в пространстве Е). Свойство притяжения можно еще сформулировать так: для любого множества В Є В(Е)

supdists (U (г + h, г) В, Р) - 0, /г - • +оо. (0.23)

Процесс {U(t,г)} называется асимптотически компактным, если он имеет компактное притягивающее множество.

Определение 0.5. Множество Л С Е называется глобальным аттрактором процесса {U(t, г)}, если оно замкнуто в Е, является притягивающим для процесса {U(t,r)} и обладает свойством минимальности, т.е. Л принадлежит любому замкнутому притягивающему множеству этого процесса.

Легко видеть, что у процесса может быть не более одного глобального аттрактора. Это понятие было введено в работе [5] (см. также [151, 156, 158, 165]).

Утверждение 0.2. Если процесс {U(t, г)} асимптотически компактен, то он имеет компактный в Е глобальный аттрактор Л ё Е.

Это утверждение будет доказано в §§ И.4, И.5. Там же установлено, что

U U(t,r)P

А = ш(Р):=0

h 0 lt r h J E

(0.24)

где P любое компактное притягивающее множество процесса. В формуле (0.24) квадратные скобки [\Е обозначают замыкание в пространстве Е.

Рассмотрим процесс {U(t, т)}, отвечающий системе (0.20). В § И.6.1 доказано, что при выполнении условия (0.21) этот процесс имеет компактное в Е поглощающее множество. Это доказывается с помощью основных энергетических априорных оценок задачи.

Для описания общей структуры глобального аттрактора процесса нам понадобятся некоторые дополнительные понятия. Функция u(s),s € R, со значениями в Е называется полной траекторией процесса {U(t, т)}, если

U{t, т)и{т) = u(t) для всех t т, г Є R. (0.25)

Полная траектория и{$) называется ограниченной, если множество ее значений {u(s). s Є Щ ограничено в Е.

Определение 0.6. Ядром К процесса {U(t,r)} называется семейство всех ограниченных полных траекторий этого процесса:

К. = {«(•) U удовлетворяет (4.6) И li(s); Cu, Vs Є R} .

Множество

fC(t) = {«( ) I и(-) € AT} С , І Є R,

называется сечением ядра в момент .

Легко проверяется следующее свойство.

Утверждение 0.3. Если процесс {U(t,т)} имеет глобальный аттрактор А. то все сечения его ядра принадлежат А :

\JlC(t)CA. (0.26)

«Єй

Отметим, что в общем случае включение (0.26) является строгим, т.е. на глобальном аттракторе А могут лежать точки, которые не являются значениями ограниченных полных траекторий исходного уравнения (0.18). Однако, как будет показано ниже, такие точки являются значениями ограниченных полных траекторий уравнений, "родственных" исходному уравнению. Чтобы описать эти "родственные" уравнения, вводится понятие временного символа рассматриваемого уравнения. Предположим, что все члены уравнения (0.18), которые явно зависят от времени t, можно записать в виде , функции a(t), t Є R, со значениями в некотором банаховом пространстве

Ф. При этом само уравнение (0.18) можно переписать в следующем виде:

dtu = Ao{t){u), у\і=г = УгЄЕ, t r. (0.27)

Функция a(t) называется временным символом уравнения. Например, в неавтономной системе (0.18) символом является внешняя сила go(-,t), a{t) = go(-,t), значения которой принадлежат пространству Н = Ф. Для простоты будем предполагать, что a(t) € C(R; Ф).

Символ исходного уравнения (0.18) обозначим через a0(t). Вместе с этим уравнением, имеющим символ cr0(t), мы также рассмотрим уравнения (0.18), в которых символами служат функции a(t) = o o(t+h) при любом h Є R. Кроме того, рассматриваются также уравнения, символы cr(t) которых получаются предельными переходами из последовательностей вида oo{t + hn) при п - • оо. Пределы берутся в пространстве C(R ) в топологии С1ос(К;Ф), которая определяется следующим образом. По определению последовательность функций {„()} из C(R ) сходится к функции () при п - оо в топологии Cloc(R; Ф), если для любого фиксированного М 0

max 116,(0 - (t) - 0, п - • оо.

t€[-M,M]

Введенная топология локальной равномерной сходимости в C(R; Ф) является метризуемой, а соответствующее метрическое пространство полно (см. [165]).

Определение 0.7. Множество

ПЫ = [Ы + h)\he К}]с..с(К;Ф) (0.28)

называется оболочкой функции &o{t) в пространстве C,0C(R; Ф). Здесь, как обычно, квадратные скобки [ • юсш; ) обозначают замыкание в Cloc(R; Ф).

Рассматривается семейство уравнений (0.27), символы которых cr(t) принадлежат оболочке "Н(сго) символа ao(t) исходного уравнения (0.18). Будем предполагать, что ao(t) является трансляционно-компактной функцией в Сос(К;Ф).

Определение 0.8. Функция оо() € Cloc(R; Ф) называется трансляционно-компактной в Cloc(R; Ф), если ее оболочка Н{ао) компактна в Cloc(R; Ф).

Рассмотрим некоторые примеры трансляционно-компактных функций.

Пример 0.1. Пусть функция o"0() является почти периодической со значениями в банаховом пространстве Ф. По определению это означает, что ее оболочка V.{OQ) компактна в пространстве Сь(К; Ф) с топологией равномерной сходимости на всей оси R (см. [72]). Топология Сб(К;Ф), очевидно, сильнее топологии С1ос(К;Ф), поэтому, если множество Н(оо) компактно в Cft(R; Ф), то оно компактно и в Cloc(R; Ф), т.е. функция o{t) трансляционно-компактна в Cloc(R; Ф).

Пример 0.2. Важным частным случаем почти периодических функций являются квазипериодические функции со значениями в Ф. Функция сто(0 Є Cloc(R; Ф) называется квазипериодической, если она представима в виде

М ) = Ф {ait, a2t,..., akt) = ф {at), ф {at) € Ф, V Є R, (0.29)

где функция ф (ш) = ф {их, ш2, . , Uk) является непрерывной и 27г-периодиче-ской по каждому аргументу шг Є R :

ф{ши...,Шг + 2тг,...,шк) = fi(ui,...,Wi + 2ir,...jU)k), г = 1,...,к.

При к = 1 получаются периодические функции. Пусть Т = [Rmod 27г] обозначает -мерный тор. Тогда ф(й) 6 С(Т ; Ф). Предполагается, что компоненты вектора а = {ах, а2,.. , ак) в (0.29) являются рационально независимыми (иначе можно сократить число независимых аргументов ШІ в представлении (0.29)). Легко показать, что оболочку квазипериодической функции ao{t) в Сь{Ш; Ф) образуют функции

{ф{М + йг) йх Є 1 } = П{а0). (0.30)

Следовательно, оболочка Ті{ао) является непрерывным образом А:-мерного тора 1 . В частности, если функция ф(й) является гладкой, то фрактальная размерность множества Н{ то) не превосходит к :

dF{n{a0)) dF(l )=k, (0.31)

и в случае общего положения равна к (неравенство в (0.31) может быть строгим).

Приведем также простейший пример трансляционно-компактной функции в C,0C(R; Ф), которая не является почти периодической или квазипериодической.

Пример 0.3. Пусть функция Co(t) Є Ct(R; Ф) удовлетворяет следующим свойствам: o o(t) — а+ (t — +со), a0(t) — а_ (t — —оо), причем а+,а- Є Ф,сг+ сг_. Тогда функция ао, очевидно, не является почти периодической, однако функция cr0(s) трансляционно-компактна в Cloc(R; Ф), и ее оболочка Щао) = {aQ(s + h) h Є Щ U {a-(t), r+(t)}, где r±(t) = a± при всех Є R Другие примеры трансляционно-компактных функций приведены в § IV.4.

Рассмотрим теперь семейство уравнений (0.27) с символами a{t) Є %(оо), где a0(t) - трансляционно-компактная функция Cloc(R; Ф). Предполагается, что для каждого символа о € Н(о о) задача Коши (0.27) однозначно разрешима при любом г Є Ж и для каждого начального условия ит Є Е. Следовательно, имеется семейство процессов {Uv(t,T)},a € W((To), действующих в пространстве Е. Семейство процессов {U0(t,T)},a Є Н(о о), называется (Е х Н( то), )-непрерывным, если для любых t и т, t т, отображение [и, а) н- Ua(t, т)и непрерывно из Е х Н(сто) в \

Сформулируем основную теорему о структуре глобального аттрактора уравнения (0.27) с трансляционно-компактным символом crQ(t), доказанную в диссертации. Процесс, порожденный этим символом, обозначим {U„g(t,T)}.

Теорема 0.1. Предположим, что функция 7о( ) трансляционно-компактна в пространстве С1ос(К;Ф). Пусть процесс {Uao(t,r)} является асимптотически компактным, а соответствующее ему семейство процессов {Ua(t, т)},а € %(с о), является (Е х Н(ао), Е)-непрерывным. Тогда процесс {Uff0(t,r)} имеет глобальный аттрактор Л s Е, для которого справедливо следующее равенство:

А= (J ,(0)= (J М«), (0.32)

где К.а - ядро процесса {Uv(t,r)} с символом а Є %{OQ). Здесь t - любое фиксированное число. Ядро К.а не пусто при любом а Є 7і(сго).

Применим теорему 0.1 к исследованию неавтономной системы Навье-Стокса (0.20) и получим следующий результат.

Утверждение 0.4. Предположим, что внешняя сила go(-,t) в уравнении (0.20) является трансляционно-компактной функцией в Cloc(R;#). Тогда процесс {Ugo(t, г)} задачи (0.20) имеет глобальный аттрактор А Е = Н, причем

Л= (J JCg(0), (0.33)

где JCg - ядро системы Навье-Стокса с внешней силой g(-,t) € H(go) Доказательство приведено в § П.6.1.

Сформулируем неавтономный аналог утверждения (0.7). Обозначим

лН-1

IMI (R;#) = ЫЦь := sup / \g0(;s)\2ds.

сЄЮС J t

Отметим, что to?b oo, если функция go является трансляционно-компак тной в Cloc(R; Н). Предположим, что число Грасхофа G неавтономной системы Навье-Стокса (0.20) удовлетворяет неравенству

1ЫЬ j

G := —2- - (0.34)

\Vl Co

где константа CQ та же, что и в автономном случае.

Тогда система (0.20) имеет, и притом единственное, решение zo(t), t € R, ограниченное в Я, (то есть ядро /С90 состоит из единственной траектории Zo(t)). Это решение ZQit) является экспоненциально устойчивым: для любого решения u(t) уравнения (0.20) выполнено следующее неравенство:

и(0 - z0(t)\ Сок - Mr)\e-fi{t) Vt т, (0.35)

где u(t) = Ugo(t, т)ит (константы Со и /5 не зависят от ит и г). Если известно, что go(x,t) = ф(х,аіі1а2І,... ,oikt) - квазипериодическая функция, причем функция ф(йі) Є CLtp(Th;H) непрерывная по Липшицу, то ZQ(X, t) также квазипериодическая с тем же набором рационально независимых частот, т.е.

zQ(x, t) = Ф(х, ait, a2t,..., akt), (0.36)

где Ф(х,й) Є CLip(Tk; E) - некоторая непрерывная по Липшицу, периодическая функция относительно Q Є Tfc. Доказательство приведено в § П.6.1.

С помощью неравенства (0.35) из утверждения 0.4 легко выводится, что глобальным аттрактором системы (0.20) при условии (0.34) служит множество

Л = [{z(t) t Є Щ]н. (0.37)

Если дополнительно известно, что go(x, t) = ф(х, ait, а , • • ®kt) является квазипериодической функцией, то из представления (0.36) ограниченной траектории zQ(t) и из (0.37) находим, что

Л = Ф(Т ). (0.38)

Поэтому, из непрерывности по Липшицу функции Ф, получаем оценку для фрактальной размерности аттрактора А :

(д) = аиФ(т )) аит ) = ,

а для его е-энтропии справедливо неравенство

He(.4) AlogQj. (0-39)

Легко построить примеры функций go(x,t) для которых

dF(A) = к.

Для этого достаточно выбрать подходящую гладкую функцию z0(x,t) вида (0.36) и подставить ее в систему (0.20) для вычисления функции go{x, t). Так же строится пример почти периодической функции g0(x,t). с .бесконечным набором частот, для которой

dp(A) = +оо.

Эти примеры указывают на целесообразность изучения в общем случае колмогоровской s-энтропии глобального аттрактора Л неавтономной системы Навье-Стокса.

Приступим к изложению основных результатов диссертации по изучению колмогоровской г-энтропии глобальных аттракторов основных неавтономных уравнений математической физики.

Рассматривается семейство уравнений (0.27), в котором a(t) € Н(сго). Предполагается, что исходный символ To(t) является трансляционно-компактной функцией в пространстве Cloc(R; Ф). Рассматривается соответствующее ему семейство процессов {U t, т)}, а Є %( 7о), действующих в Е. Предполагаются выполненными условия теоремы 0.1. Тогда процесс {Uff0(t, т)} имеет глобальный аттрактор Л, который представим в виде (0.32).

Задача заключается в исследовании -энтропии Не(Л) = НЄ(Л, Е) глобального аттрактора Л в пространстве Е. При этом предполагается известной г-энтропия множества П0,/Н( 7о) в пространстве С([0,/];Ф). Здесь П0,/ обозначает оператор сужения на отрезок [0,/].

Сформулируем некоторые дополнительные условия для {Uao(t,r)}. Прежде всего, необходимо обобщить понятие квазидифференцируемости, введенное для полугрупп в формуле (0.10). Пусть {U(t, т)} - некоторый процесс в Е. Пространство Е предполагается гильбертовым. Рассмотрим ядро К. этого процесса. Из определения ядра вытекает следующее свойство строгой инвариантности сечений ядра:

U(t,r)K(t) = К{т), Vt r, т€К (0.40)

Определение 0.9. Процесс {U(t, т)} в Е называется равномерно квазидиф-ференцируемым на /С, если найдется семейство линейных ограниченных операторов {L(t, г, и)}, где и € 1С(т), t т, т R, такое что

\\U(t,r)Ul-U(t,r)u-L(t,т,и)(щ-и)\\Е 7(«i-ия -т)«і-и\\Е (0.41)

для любых и,щ Є К, причем функция j = 7(f s) 0+ пРи - 0+ для каждого фиксированного s 0.

Предполагается, что процесс {Uff0(t,T)} является равномерно квазидиф-ференцируемым на ядре /С , причем его квазидифференциал порождается уравнением в вариациях

dtz = A„oU{u{t))z. z\t=T = zT€E, (0.42)

где u(t) = Uao(t,T)uT, uT € ІСао(т), т.е. L(t, т, uT)zT = z{t), где z(t) - решение задачи (0.42), которая предполагается однозначно разрешимой при всех ит Є ff0(r) AJlfl любого zT Є E. Аналогично (0.13) введем числа

t

qj = lim sup sup - / Trj(.4ffou(u(s)))rfs, (0.43)

t- +oo r6R UO€/C(T) J 0

где u(t) = Uao(t, T)UT, а след TVJ(L) линейного оператора L определен в (0.12). Предполагается также выполнение следующего условия Липшица для семейства процессов {/ (, т)}, а 6 %{OQ) :

tUM)u-LUMHU ОДИ-СГ2с([0,Л); ), (0.44)

УаЬ(Г2 ЄП(а0), и Є Л, /г 0.

Сформулируем основной результат.

Теорема 0.2. Пусть выполнены условия теоремы 0.1 и кроме того, пусть процесс {Uao(t,r)} является равномерно квазидифференцируемым на К„0, причем его квазидифференциалы порождены уравнением в вариациях (0.42), и для чисел q} (см. (0.43)) выполнены неравенства

Ъ 4v 3 = 1,2,3,... (0.45)

Предполагается выполненным условие Липшица (0.44) для семейства процессов {Ua(t,г)}, а Є Нісго). Предполагается, что функция qj выпукла вверх по j. Пусть т - наименьшее число, такое что qm+i 0 (тогда Цт 0)- Обозначим

d = m + qm/{qm-qm+i).

Тогда для любого S 0 найдутся такие числа а € (0,1), Q 0, h 0, что

Н,(Д) (d + S) log2 ( ) + Нео(Л) + НЛ (По д Ы) , V єо.

(0.46) Число C(h) такое же, как в условии Липшица (0.44) Доказательство этой теоремы приведено в главе IV. Сформулируем некоторые важные следствия.

Введение Следствие 0.1. Предположим, что функция сг0() является почти периодической, т.е. ее оболочка W(ao) компактна в Сь(М;Ф). Тогда неравенство (0.46) можно упростить:

Ке(А) (d + 8) log2 ( ) + Н0(Д) + Н (П(а0)), Ve г0, (0.47)

где Н СН(сг0)) - е-энтропия оболочки Н(сто) в пространстве Сь(К; Ф).

В самом деле, е-энтропия множества ПО.І Н(СГО) в С([0,/];Ф) не превосходит е-энтропию H(O-Q) в Ci(R; Ф). Из оценки (0.47) видно, что в случае общей почти периодической функции Зо (і), имеющей бесконечное число рационально независимых частот, основной вклад в оценку е-энтропии глобального аттрактора Л вносит e/L-энтропия оболочки "Н(сто), где L = - -. Однако если функция o o(t) имеет конечное число частот, являясь квазипериодической, то вклад этой величины сравним с вкладом dlog2 (Ц), что приводит к конечномерности глобального аттрактора.

Следствие 0.2. Пусть в условиях теоремы 0.1 функция cr0(t) - квазипериодическая вида ao(t) = ф{(Х\Ь, а2,... ,а ) = ф{й?}, где ф(ші,и)2, • , w ) = ф{й) € CLip(Tfc; Ф). Тогда оценка (0.47) выглядит так:

НД-4) (d + 8) log2 ( ) + Яео(Л) + l°g2 (jY§) Ve e° (0-48) где К - константа Липшица из неравенства

\\ф{йх) - 0(6) К\\шх - Ш2кк, Vwi.tfc Є 1 .

Кроме того,

dF{A) d + k. (0.49)

Напомним, что в автономном случае при к = 0 аналогом оценки (0.49) является опенка (0.17), в которой X = A : dp (А) d. В неавтономном случае, когда к ф 0, имеет место оценка (0.49), в которой справа к d прибавляется число к рационально независимых частот квазипериодической функции a0(t).

Рассмотрим еще две важные характеристики компактного множества X в пространстве Е, введенные А.Н.Колмогоровым и В.М.Тихомировым в [55]. Число

df(X, Е) = df(X) = Ш 1оё2(НР0) ( 50)

e 0+log2log2(l/e)

называется функциональной размерностью множества X в Е, а. число

называется его метрическим порядком в Е. Легко видеть, что df(X) = 1, q(X) = 0, если dp{X) +ос. Поэтому величины df(X) и q(X) характеризуют бесконечномерные множества. Примеры вычисления этих величин для различных классов функций приведены в [55] (см. также [27]).

Следствие 0.3. Пусть cro(t) - почти периодическая функция, тогда

df(A) ії(Н(о-о),Сь№Щ, (0.52)

q(A) q(H((T0),Cb(M; )) (0-53)

Теперь коротко изложим применение теоремы 0.2 и следствий 0.1 - 0.3 к неавтономной системе Навье-Стокса (0.20). Как уже отмечалось (см. утверждение 0.4, эта система имеет глобальный аттрактор А в Е = Н, который представим в виде (0.33).

Теорема 0.3. При выполнении условий утверждения 0.4 найдутся числа h 0, L 0, о 0 и а \ такие, что

Не(А) cGlog2 ( ) + Нео (A) + Hf (Wto )0, iog1/e(a)) (0-54)

для любого є Єо, где G - число Грасхофа, определенное в (0.34), а с -некоторая абсолютная константа.

Следствие 0.4. Если функция go(s) является квазипериодической, у которой имеется к рационально независимых частот, то

Не{А) cG\og2 { )+ЯЕ0 (A)+ klog2(jY Ує є0, dFА cG + k (0.55)

для некоторых положительных чисел a,L и Q.

При k = 0 оценка (0.55) совпадает с оценкой (0.8) для фрактальной размерности глобального аттрактора автономной 2D системы Навье-Стокса.

Аналогичные результаты об оценках сверху -энтропии и фрактальной размерности глобальных аттракторов получены для многих классов уравнений математической физики, а именно для неавтономных систем реакции-диффузии, для уравнений Гинзбурга-Ландау, содержащих члены, зависящие от времени, а также для неавтономных диссипативных волновых уравнений. Отметим, что методы, разработанные в диссертации применимы к исследованию весьма широких классов неавтономных уравнений математической физики.

Дадим краткое описание содержания диссертации по главам. Диссертация состоит из введения и пяти глав.

Глава I имеет вводный характер. В ней приводятся основные обозначения, которые будут использоваться в следующих главах. Даются определения основных функциональных пространств и формулируются классические теоремы вложения. Кроме того, здесь формулируются некоторые важные теоремы относительно различных классов функций со значениями банаховых пространствах (см. § 1). Приводятся основные сведения, касающиеся почти периодических и квазипериодических функция со значениями

Введение в метрических и банаховых пространствах (см. § 2). Далее в этой главе излагаются основы теории полугрупп, соответствующих автономным дисси-пативным эволюционным уравнениям. Вводится основное понятие глобального аттрактора полугруппы и формулируется фундаментальная теорема о существовании глобального аттрактора полугруппы (см. § 3). В главе также рассматриваются основные примеры автономных эволюционных уравнений математической физики, для которых строятся их глобальные аттракторы. Здесь рассматриваются различные системы параболических уравнений с частными производными, которые являются модельными системами реакции-диффузии различных типов, уравнение Гинзбурга-Ландау, двумерная система Навье-Стокса, а также диссипативное квазилинейное волновое уравнение гиперболического типа. Для всех изучаемых уравнений приводятся точные постановки задач в соответствующих функциональных пространствах, формулируются основные теоремы о существовании и единственности решений соответствующих начальных задач Коши. Затем проверяются свойства диссипативности для этих уравнений, которое позволяет применить к исследованию этих уравнений общую теорию полугрупп и построить глобальные аттракторы для всех рассматриваемых уравнений и систем (см. §4).

Далее в главе I дается краткий обзор основных известных результатов относительно размерности глобальных аттракторов автономных уравнений с частными производными. Приводится основная теорема о конечности хаусдорфовой размерности компактного множества, инвариантного под действием некоторой полугруппы, квазидифференциал которой сжимает конечномерные объемы соответствующей размерности. Приводятся элементы техники, которые используются при получении этих фундаментальных результатов. В основе метода лежит исследование показателей Ляпунова соответствующих уравнений в вариациях, которые получаются из исходных эволюционных уравнений. Основная теорема применяется к оценке сверху хаусдорфовой размерности глобальных аттракторов автономных уравнений математической физики, рассматриваемых в этой главе (см. § 5).

Главе II диссертации посвящена неавтономным эволюционным уравнениям и их глобальным аттракторам. В этой главе подробно и систематически изучаются общие неавтономные эволюционные уравнения и порождаемые ими процессы. Понятие процесс является обобщением понятия полугруппы, известного из теории автономных эволюционных уравнений. Здесь вводится важное понятие временного символа неавтономного уравнения, которое позволяет сводить задачу об изучении структуры глобального аттрактора исходного неавтономного уравнения к исследованию свойств некоторого семейства родственных неавтономных уравнений, временные символы которых получаются из пространства символов, совпадающего с оболочкой символа исходного уравнения. Приводятся основные примеры таких семейств процессов, для которых пространствами символов служат оболочки символов исходных уравнений, которые предполагаются трансляционно компактными функциями в соответствующих топологических пространствах (см. § 1, 2). Далее в этой главе дается определение глобального аттрактора неавтономного уравнения и соответствующего процесса, которое обобщает понятие глобального аттрактора автономного уравнения (см. § 3). Здесь же обсуждается соотношение между различными определениями равномерных и неравномерных глобальных аттракторов процессов и семейств процессов. Затем доказываются основные теоремы о существовании и структуре глобальных аттракторов общих неавтономных уравнений с трансляционно-компактными символами. Эти теоремы доказываются с помощью метода сведения задачи к изучению глобальных аттракторов некоторых полугрупп, действующих в расширенных фазовых пространствах, включающих в себя пространства символов изучаемых неавтономных уравнений (см. § 4, 5).

Полученные общие результаты применяются к исследованию основных неавтономных уравнений математической физики, которые являются объектами изучения данной диссертации. Соответствующие автономные уравнения рассмотрены в главе I. Исследуются следующие уравнения и системы уравнений с частными производными: двумерная система Навье-Стокса с зависящей от времени внешней силой, различные неавтономные системы уравнений реакции-диффузии, в которых функции взаимодействия и внешние силы зависят от времени, неавтономное комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау, неавтономное волновое уравнение с диссипацией и с зависящими от времени членами и коэффициентами. Для каждого из изучаемых уравнений рассматриваются следующие вопросы: выделяется временной символ уравнения как функция времени со значениями в подходящем функциональном пространстве, адекватно отражающем физический смысл задачи: формулируется подходящий критерий трансляционно компактности временного символа изучаемого уравнения; приводится теорема существования и единственности решений задачи Коши, соответствующей данному уравнению; строится процесс, порождаемый данным уравнением, а также соответствующее семейство родственных уравнений, символы которых берутся из оболочки исходного уравнения; доказываются основные свойства этих семейств процессов; строится компактное поглощающее или притягивающее множество изучаемого процесса а также ядро уравнения; наконец, строится глобальный аттрактор исходного неавтономного уравнения и дается описание его структуры в терминах сечений ядер семейства родственных уравнений (см. § 6).

В главе III изучается колмогоровская г-энтропия и фрактальная размерность инвариантных множеств полугрупп, а также сечений ядер автономных и неавтономных эволюционных уравнений. Понятие ядра полугруппы и процесса является весьма важным, потому что с его помощью можно описывать общую структуру глобальных аттракторов автономных и неавтономных эволюционных уравнений. Кроме того, в неавтономном случае ядро процесса изучаемого уравнения обнаруживает свойства притяжения и инва риантности глобальных аттракторов в некотором ослабленном смысле (см. § 1). Отметим, что в отличие от предыдущей главы, здесь не предполагается, что временной символ неавтономного уравнения является трансляционно компактной функцией в соответствующем пространстве, поэтому результаты главы II здесь не применимы, однако (ослабленные) свойства глобального аттрактора имеют место для сечений ядер этих уравнений. Все это делает задачу изучения ядер неавтономных уравнений очень актуальной.

Далее в главе III (см. § 2) изучается е-энтропия и фрактальная размерность инвариантных множеств и глобальных аттракторов полугрупп автономных уравнений. Целью этого исследования является доказательство того факта, что оценки для хаусдорфовой размерности этих множеств, приведенные в главе I, справедливы также и для более сильной, фрактальной размерности этих множеств, причем с той же верхней границей. Отметим, что конечность фрактальной размерности глобальных аттракторов основных автономных уравнений математической физики были установлены, например, в работах [67, 60, 113], однако доказанные в них оценки сверху были выше соответствующих оценок для хаусдорфовой размерности. Теперь это расхождение устранено и общий результат можно сформулировать так: для многих основных диссипативных уравнений математической физики, для которых можно построить компактный глобальный аттрактор, фрактальная размерность глобального аттрактора, как и хаусдорфова размерность, не превосходит его ляпуновской размерности, которая вычисляется с помощью показателей Ляпунова соответствующего вариационного уравнения. Отметим, что при доказательстве этой теоремы используется более точная техника исследования коэффициентов сжатия объемов под действием квазидифференциалов полугрупп, а также некоторые известные свойства решеток в конечномерном евклидовом пространстве, которые используются при построении оптимальных конечных покрытий компактных множеств шарами в бесконечномерных гильбертовых пространствах (см. § 3, 4).

Развитая техника применяется далее для оценки е-энтропии и фрактальной размерности сечений ядер неавтономных эволюционных уравнений. Доказываются оценки, которые являются прямыми обобщениями оценок, полученных ранее для глобальных аттракторов соответствующих автономных уравнений (см. § 5, 6). Установленные общие теоремы далее применяются к исследованию сечений ядер конкретных неавтономных уравнений математической физики, которые изучались в главе II, при этом уже не предполагается трансляционная компактность временных символов этих уравнений (см. § 7). Глава III завершается рассмотрением простых примеров неавтономных эволюционных уравнений, имеющих почти периодические символы, для которых фрактальная (и хаусдорфова) размерность множества, получающегося замыканием объединения всех сечений ядра, равна бесконечности. Напомним, что это замыкание всегда принадлежит глобальному аттрактору уравнения. Это указывает на то, что в случае общей зависимости от времени коэффициентов эволюционного уравнения, фрактальная размерность глобального аттрактора не может служить подходящей характеристикой этого компактного множества. Необходимо использовать другие, более адекватные характеристики, которые позволили бы судить о сложности глобального аттрактора и были бы инструментами при решении задан аппроксимации глобальных аттракторов. Такой характеристикой может служить колмогоровская е-энтропия глобального аттрактора.

В главе IV излагаются результаты систематического исследования кол-могоровской е-энтропии глобальных аттракторов общих неавтономных эволюционных уравнений. Доказывается основная теорема о виде верхней границы для е-энтропии глобального аттрактора неавтономного уравнения с трансляционно компактным временным символом. Главный результат показывает, что в эту оценку входит член, определяемый е-энтропией оболочки символа исходного уравнения. Кроме того, эта оценка содержит слагаемое, получающееся из верхних оценок сечений ядра этого уравнения, найденное в главе III (см. § 1). Далее в § 2 рассматриваются важные частные случаи неавтономных уравнений, для которых удается доказать конечномерность фрактальной размерности глобальных аттракторов. Этот факт имеет место, если оболочка временного символа имеет конечную фрактальную размерность, например, если символ уравнения является квазипериодической функцией с конечным числом к рационально независимых частот. Тогда верхняя граница размерности состоит из двух слагаемых: числа А; и оценки размерности сечений ядра этого уравнения, полученной в главе III. В § 3 изучается функциональная размерность и метрический порядок глобальных аттракторов неавтономных уравнений, для которых оболочка символа имеет бесконечную фрактальную размерность. Доказано, что в этом случае функциональная размерность глобального аттрактора не превосходит функциональной размерности оболочки символа этого уравнения. Тот же результат справедлив и для метрического порядка глобального аттрактора. В § 4 изучаются свойства трансляционно-компактных функций в различных функциональных пространствах. Наиболее подробно рассматриваются трансляционно-компактные функции в пространствах С1ос(Ш;М) и LJ,oc(R;), снабженных топологией локальной сходимости на каждом конечном интервале ]i,2[C R. Здесь М - полное метрическое пространство, а S - пространство Банаха. Доказаны критерии трансляционной компактности в этих пространствах и приведены примеры трансляционно-компактных функций.

В § 5 главы IV полученные общие результаты применяются для оценок сверху е-энтропии глобальных аттракторов конкретных неавтономных эволюционных уравнений, которые рассматривались в главах II и III. Для всех изучаемых уравнений выводятся оценки, которые явно зависят от основных параметров уравнений. Подробно изучаются важные частные случаи, когда символы этих уравнений являются квазипериодическими функциями времени. Приводятся оценки сверху фрактальной размерности глобальных аттракторов таких неавтономных уравнений.

В § б рассматриваются некоторые классы множеств в различных функциональных пространствах, и доказываются оценки сверху их е-энтропии. Функции из этих классов могут служить символами различных уравнений математической физики, к которым можно применять результаты об оценке -энтропии глобальных аттракторов, если известна е-энтропия соответствующего пространства символов. Подробно рассматривается один класс почти периодических функций, а также класс функций - сигналов из теории информации. В § 7 доказываются оценки для г-энтропии глобальных аттракторов в расширенных фазовых пространствах, когда в фазовое пространство включается пространство символов задачи (например, оболочка исходного символа). В этом случае, по неавтономному уравнению строится полугруппа, действующая в расширенном фазовом пространстве, для которой строится глобальный аттрактор. Задача заключается в оценке е-энтропии этого глобального аттрактора. При этом получаются оценки, аналогичные оценкам глобальных аттракторов неавтономных уравнений. При выводе этих оценок используется слегка модифицированный метод, изложенный в первых параграфах данной главы.

В главе V изучаются динамические полупроцессы и их глобальные аттракторы. Полупроцесс порождается неавтономным эволюционным уравнением, у которого временной символ cr(t) определен не на всей оси времени R =] — со, +оо[, а только на положительной полуоси: t Є R+ = [0, +оо[. Такие эволюционные уравнения описывают динамические системы, у которых не известен закон эволюции в прошлом при отрицательных временах (т.е., не задан временной символ о(t) при t 0). Изучается поведение траекторий таких уравнений при t - • +оо. Полупроцесс определяется аналогично процессу, но для соответствующего семейства операторов {U(t, т)} область определения параметров t и т является множество {t т,т 0}. Для полупроцесса вводится понятие глобального аттрактора аналогично глобальному аттрактору процесса. Доказывается общая теорема о существовании глобального аттрактора полупроцесса. Устанавливается, что если символ полупроцесса удовлетворяет свойству обратной единственности, то для данного полупроцесса найдется единственный процесс, совпадающий с полупроцессом на множестве {t г, г 0}, который имеет такой же глобальный аттрактор, что и изучаемый полупроцесс. Такое сведение аттрактора полупроцесса к аттрактору процесса бывает особенно важным, если получаемый процесс имеет простой временной символ, который, например, является периодической или квазипериодической функцией по времени. Такое сведение обычно приводит к более простой структуре глобального аттрактора исходного неавтономного уравнения, заданного на полуоси времени. В качестве приложений построенной теории изучаются неавтономные уравнения с асимптотически почти периодическими символами и каскадные системы, у которых символ порождается некоторым автономным эволюционным уравнением. Рассматриваются конкретные неавтономные уравнения математической физики, заданные на полуоси времени, для которых строятся глобальные аттракторы.

В диссертации построена теория глобальных аттракторов неавтономных уравнений математической физики и изложены методы оценки колмо-горовской е-энтропии глобальных аттракторов. Интерес автора диссертации к данной тематике был стимулирован семинаром по уравнения с частными производными под руководством М.И. Вишика в Московском Государственном Университете, а также семинаром по нелинейному функциональному анализу в Институте Проблем Передачи Информации Российской Академии Наук.

В заключение автор выражает глубокую признательность и благодарность М.И.Вишику за многолетнее плодотворное сотрудничество.

Оценки хаусдорфовой размерности инвариантных множеств

Далее в главе III (см. 2) изучается е-энтропия и фрактальная размерность инвариантных множеств и глобальных аттракторов полугрупп автономных уравнений. Целью этого исследования является доказательство того факта, что оценки для хаусдорфовой размерности этих множеств, приведенные в главе I, справедливы также и для более сильной, фрактальной размерности этих множеств, причем с той же верхней границей. Отметим, что конечность фрактальной размерности глобальных аттракторов основных автономных уравнений математической физики были установлены, например, в работах [67, 60, 113], однако доказанные в них оценки сверху были выше соответствующих оценок для хаусдорфовой размерности. Теперь это расхождение устранено и общий результат можно сформулировать так: для многих основных диссипативных уравнений математической физики, для которых можно построить компактный глобальный аттрактор, фрактальная размерность глобального аттрактора, как и хаусдорфова размерность, не превосходит его ляпуновской размерности, которая вычисляется с помощью показателей Ляпунова соответствующего вариационного уравнения. Отметим, что при доказательстве этой теоремы используется более точная техника исследования коэффициентов сжатия объемов под действием квазидифференциалов полугрупп, а также некоторые известные свойства решеток в конечномерном евклидовом пространстве, которые используются при построении оптимальных конечных покрытий компактных множеств шарами в бесконечномерных гильбертовых пространствах (см. 3, 4).

Развитая техника применяется далее для оценки е-энтропии и фрактальной размерности сечений ядер неавтономных эволюционных уравнений. Доказываются оценки, которые являются прямыми обобщениями оценок, полученных ранее для глобальных аттракторов соответствующих автономных уравнений (см. 5, 6). Установленные общие теоремы далее применяются к исследованию сечений ядер конкретных неавтономных уравнений математической физики, которые изучались в главе II, при этом уже не предполагается трансляционная компактность временных символов этих уравнений (см. 7). Глава III завершается рассмотрением простых примеров неавтономных эволюционных уравнений, имеющих почти периодические символы, для которых фрактальная (и хаусдорфова) размерность множества, получающегося замыканием объединения всех сечений ядра, равна бесконечности. Напомним, что это замыкание всегда принадлежит глобальному аттрактору уравнения. Это указывает на то, что в случае общей зависимости от времени коэффициентов эволюционного уравнения, фрактальная размерность глобального аттрактора не может служить подходящей характеристикой этого компактного множества. Необходимо использовать другие, более адекватные характеристики, которые позволили бы судить о сложности глобального аттрактора и были бы инструментами при решении задан аппроксимации глобальных аттракторов. Такой характеристикой может служить колмогоровская е-энтропия глобального аттрактора.

В главе IV излагаются результаты систематического исследования кол-могоровской е-энтропии глобальных аттракторов общих неавтономных эволюционных уравнений. Доказывается основная теорема о виде верхней границы для е-энтропии глобального аттрактора неавтономного уравнения с трансляционно компактным временным символом. Главный результат показывает, что в эту оценку входит член, определяемый е-энтропией оболочки символа исходного уравнения. Кроме того, эта оценка содержит слагаемое, получающееся из верхних оценок сечений ядра этого уравнения, найденное в главе III (см. 1). Далее в 2 рассматриваются важные частные случаи неавтономных уравнений, для которых удается доказать конечномерность фрактальной размерности глобальных аттракторов. Этот факт имеет место, если оболочка временного символа имеет конечную фрактальную размерность, например, если символ уравнения является квазипериодической функцией с конечным числом к рационально независимых частот. Тогда верхняя граница размерности состоит из двух слагаемых: числа А; и оценки размерности сечений ядра этого уравнения, полученной в главе III. В 3 изучается функциональная размерность и метрический порядок глобальных аттракторов неавтономных уравнений, для которых оболочка символа имеет бесконечную фрактальную размерность. Доказано, что в этом случае функциональная размерность глобального аттрактора не превосходит функциональной размерности оболочки символа этого уравнения. Тот же результат справедлив и для метрического порядка глобального аттрактора. В 4 изучаются свойства трансляционно-компактных функций в различных функциональных пространствах. Наиболее подробно рассматриваются трансляционно-компактные функции в пространствах С1ос(Ш;М) и LJ,oc(R;), снабженных топологией локальной сходимости на каждом конечном интервале ]i,2[C R. Здесь М - полное метрическое пространство, а S - пространство Банаха. Доказаны критерии трансляционной компактности в этих пространствах и приведены примеры трансляционно-компактных функций.

В 5 главы IV полученные общие результаты применяются для оценок сверху е-энтропии глобальных аттракторов конкретных неавтономных эволюционных уравнений, которые рассматривались в главах II и III. Для всех изучаемых уравнений выводятся оценки, которые явно зависят от основных параметров уравнений. Подробно изучаются важные частные случаи, когда символы этих уравнений являются квазипериодическими функциями времени. Приводятся оценки сверху фрактальной размерности глобальных аттракторов таких неавтономных уравнений. В б рассматриваются некоторые классы множеств в различных функциональных пространствах, и доказываются оценки сверху их е-энтропии. Функции из этих классов могут служить символами различных уравнений математической физики, к которым можно применять результаты об оценке -энтропии глобальных аттракторов, если известна е-энтропия соответствующего пространства символов. Подробно рассматривается один класс почти периодических функций, а также класс функций - сигналов из теории информации. В 7 доказываются оценки для г-энтропии глобальных аттракторов в расширенных фазовых пространствах, когда в фазовое пространство включается пространство символов задачи (например, оболочка исходного символа). В этом случае, по неавтономному уравнению строится полугруппа, действующая в расширенном фазовом пространстве, для которой строится глобальный аттрактор. Задача заключается в оценке е-энтропии этого глобального аттрактора. При этом получаются оценки, аналогичные оценкам глобальных аттракторов неавтономных уравнений. При выводе этих оценок используется слегка модифицированный метод, изложенный в первых параграфах данной главы.

Неавтономные системы реакции-диффузии

Аналогичные результаты об оценках сверху -энтропии и фрактальной размерности глобальных аттракторов получены для многих классов уравнений математической физики, а именно для неавтономных систем реакции-диффузии, для уравнений Гинзбурга-Ландау, содержащих члены, зависящие от времени, а также для неавтономных диссипативных волновых уравнений. Отметим, что методы, разработанные в диссертации применимы к исследованию весьма широких классов неавтономных уравнений математической физики.

Дадим краткое описание содержания диссертации по главам. Диссертация состоит из введения и пяти глав.

Глава I имеет вводный характер. В ней приводятся основные обозначения, которые будут использоваться в следующих главах. Даются определения основных функциональных пространств и формулируются классические теоремы вложения. Кроме того, здесь формулируются некоторые важные теоремы относительно различных классов функций со значениями банаховых пространствах (см. 1). Приводятся основные сведения, касающиеся почти периодических и квазипериодических функция со значениями в метрических и банаховых пространствах (см. 2). Далее в этой главе излагаются основы теории полугрупп, соответствующих автономным дисси-пативным эволюционным уравнениям. Вводится основное понятие глобального аттрактора полугруппы и формулируется фундаментальная теорема о существовании глобального аттрактора полугруппы (см. 3). В главе также рассматриваются основные примеры автономных эволюционных уравнений математической физики, для которых строятся их глобальные аттракторы. Здесь рассматриваются различные системы параболических уравнений с частными производными, которые являются модельными системами реакции-диффузии различных типов, уравнение Гинзбурга-Ландау, двумерная система Навье-Стокса, а также диссипативное квазилинейное волновое уравнение гиперболического типа. Для всех изучаемых уравнений приводятся точные постановки задач в соответствующих функциональных пространствах, формулируются основные теоремы о существовании и единственности решений соответствующих начальных задач Коши. Затем проверяются свойства диссипативности для этих уравнений, которое позволяет применить к исследованию этих уравнений общую теорию полугрупп и построить глобальные аттракторы для всех рассматриваемых уравнений и систем (см. 4).

Далее в главе I дается краткий обзор основных известных результатов относительно размерности глобальных аттракторов автономных уравнений с частными производными. Приводится основная теорема о конечности хаусдорфовой размерности компактного множества, инвариантного под действием некоторой полугруппы, квазидифференциал которой сжимает конечномерные объемы соответствующей размерности. Приводятся элементы техники, которые используются при получении этих фундаментальных результатов. В основе метода лежит исследование показателей Ляпунова соответствующих уравнений в вариациях, которые получаются из исходных эволюционных уравнений. Основная теорема применяется к оценке сверху хаусдорфовой размерности глобальных аттракторов автономных уравнений математической физики, рассматриваемых в этой главе (см. 5).

Главе II диссертации посвящена неавтономным эволюционным уравнениям и их глобальным аттракторам. В этой главе подробно и систематически изучаются общие неавтономные эволюционные уравнения и порождаемые ими процессы. Понятие процесс является обобщением понятия полугруппы, известного из теории автономных эволюционных уравнений. Здесь вводится важное понятие временного символа неавтономного уравнения, которое позволяет сводить задачу об изучении структуры глобального аттрактора исходного неавтономного уравнения к исследованию свойств некоторого семейства родственных неавтономных уравнений, временные символы которых получаются из пространства символов, совпадающего с оболочкой символа исходного уравнения. Приводятся основные примеры таких семейств процессов, для которых пространствами символов служат оболочки символов исходных уравнений, которые предполагаются трансляционно компактными функциями в соответствующих топологических пространствах (см. 1, 2). Далее в этой главе дается определение глобального аттрактора неавтономного уравнения и соответствующего процесса, которое обобщает понятие глобального аттрактора автономного уравнения (см. 3). Здесь же обсуждается соотношение между различными определениями равномерных и неравномерных глобальных аттракторов процессов и семейств процессов. Затем доказываются основные теоремы о существовании и структуре глобальных аттракторов общих неавтономных уравнений с трансляционно-компактными символами. Эти теоремы доказываются с помощью метода сведения задачи к изучению глобальных аттракторов некоторых полугрупп, действующих в расширенных фазовых пространствах, включающих в себя пространства символов изучаемых неавтономных уравнений (см. 4, 5).

Полученные общие результаты применяются к исследованию основных неавтономных уравнений математической физики, которые являются объектами изучения данной диссертации. Соответствующие автономные уравнения рассмотрены в главе I. Исследуются следующие уравнения и системы уравнений с частными производными: двумерная система Навье-Стокса с зависящей от времени внешней силой, различные неавтономные системы уравнений реакции-диффузии, в которых функции взаимодействия и внешние силы зависят от времени, неавтономное комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау, неавтономное волновое уравнение с диссипацией и с зависящими от времени членами и коэффициентами. Для каждого из изучаемых уравнений рассматриваются следующие вопросы: выделяется временной символ уравнения как функция времени со значениями в подходящем функциональном пространстве, адекватно отражающем физический смысл задачи: формулируется подходящий критерий трансляционно компактности временного символа изучаемого уравнения; приводится теорема существования и единственности решений задачи Коши, соответствующей данному уравнению; строится процесс, порождаемый данным уравнением, а также соответствующее семейство родственных уравнений, символы которых берутся из оболочки исходного уравнения; доказываются основные свойства этих семейств процессов; строится компактное поглощающее или притягивающее множество изучаемого процесса а также ядро уравнения; наконец, строится глобальный аттрактор исходного неавтономного уравнения и дается описание его структуры в терминах сечений ядер семейства родственных уравнений (см. 6).

Оптимизация оценок е-энтропии и фрактальной размерности

Подробно рассматривается один класс почти периодических функций, а также класс функций - сигналов из теории информации. В 7 доказываются оценки для г-энтропии глобальных аттракторов в расширенных фазовых пространствах, когда в фазовое пространство включается пространство символов задачи (например, оболочка исходного символа). В этом случае, по неавтономному уравнению строится полугруппа, действующая в расширенном фазовом пространстве, для которой строится глобальный аттрактор. Задача заключается в оценке е-энтропии этого глобального аттрактора. При этом получаются оценки, аналогичные оценкам глобальных аттракторов неавтономных уравнений. При выводе этих оценок используется слегка модифицированный метод, изложенный в первых параграфах данной главы.

В главе V изучаются динамические полупроцессы и их глобальные аттракторы. Полупроцесс порождается неавтономным эволюционным уравнением, у которого временной символ cr(t) определен не на всей оси времени R =] — со, +оо[, а только на положительной полуоси: t Є R+ = [0, +оо[. Такие эволюционные уравнения описывают динамические системы, у которых не известен закон эволюции в прошлом при отрицательных временах (т.е., не задан временной символ о(t) при t 0). Изучается поведение траекторий таких уравнений при t - +оо. Полупроцесс определяется аналогично процессу, но для соответствующего семейства операторов {U(t, т)} область определения параметров t и т является множество {t т,т 0}. Для полупроцесса вводится понятие глобального аттрактора аналогично глобальному аттрактору процесса. Доказывается общая теорема о существовании глобального аттрактора полупроцесса. Устанавливается, что если символ полупроцесса удовлетворяет свойству обратной единственности, то для данного полупроцесса найдется единственный процесс, совпадающий с полупроцессом на множестве {t г, г 0}, который имеет такой же глобальный аттрактор, что и изучаемый полупроцесс. Такое сведение аттрактора полупроцесса к аттрактору процесса бывает особенно важным, если получаемый процесс имеет простой временной символ, который, например, является периодической или квазипериодической функцией по времени. Такое сведение обычно приводит к более простой структуре глобального аттрактора исходного неавтономного уравнения, заданного на полуоси времени. В качестве приложений построенной теории изучаются неавтономные уравнения с асимптотически почти периодическими символами и каскадные системы, у которых символ порождается некоторым автономным эволюционным уравнением. Рассматриваются конкретные неавтономные уравнения математической физики, заданные на полуоси времени, для которых строятся глобальные аттракторы.

В диссертации построена теория глобальных аттракторов неавтономных уравнений математической физики и изложены методы оценки колмо-горовской е-энтропии глобальных аттракторов. Интерес автора диссертации к данной тематике был стимулирован семинаром по уравнения с частными производными под руководством М.И. Вишика в Московском Государственном Университете, а также семинаром по нелинейному функциональному анализу в Институте Проблем Передачи Информации Российской Академии Наук.

В заключение автор выражает глубокую признательность и благодарность М.И.Вишику за многолетнее плодотворное сотрудничество.

Гиперболические уравнения с диссипацией

В этом параграфе будет изучен пример 2.3. Пусть {T(t)} - непрерывная полугруппа, действующая в метрическом пространстве Y : T(t) : Y — Y. Пусть - замкнутое ограниченное (не обязательно компактное) подмножество из Y, которое нестрого инвариантно относительно {T(t)}\ T(t)E С Е при t 0. Рассматривается уравнение

Как обычно, предполагается, что для любого символа y(t) = T(t)y0, уо Є Е, задача (7.1), (7.2) имеет единственное решение u(t) Е при t т 0. Уравнение (7.1) порождает семейство полупроцессов {Uyo(t, г)}, у0 , действующих в Е. Множество Е является пространством символов, и каждому символу уо Є Е соответствует свой полупроцесс. (См. пример 2.3). Заметим, что пространство не обязательно компактно. В расширенном фазовом пространстве ExS действует полугруппа {S(t)}:

Если полугруппа {T(t)} непрерывна и асимптотически компактна, а семейство полупроцессов {Uyo(t,г)}, уо Т, имеет компактное равномерно (по Уо Є ) притягивающее множество и является {Е х Е, -непрерывной, то в силу теоремы 2.2, полугруппа {S(t)} (см. (7.3)) имеет компактный глобальный аттрактор А. Его проекция Пі A = Ai = Az является равномерным аттрактором семейства полупроцессов {Uyo{t, г)}, уо Є Е, а П2А = А2 — w() - глобальный аттрактор полугруппы {T(t)}. В дополнение, если полугруппа {T(t)} удовлетворяет свойству обратной единственности (обычно, это свойство выполнено для динамических систем, порождаемых корректными уравнениями), то по теореме 4.1 существует единственное семейство процессов {Uyo{t,r), t т, т є R}, уо 6 си(Е), которое является сужением семейства полупроцессов {Uy0{t,r)}, уо є Е, опо;(Е). Это семейство процессов порождается системой Полугруппа {T(t)} становится группой на CJ(E) в силу свойства обратной единственности, и мы находим, чтогде К.Уо - ядро уравнения (7.4) с символом уо Є u (E).

В заключение отметим, что построение равномерных аттракторов семейств полупроцессов, порождаемы задачами вида (7.1), (7.2) с пространством символов Е, сводится к задаче (7.4), которая имеет существенно меньшее пространство символов w() Ш Е. В следующих примерах полугруппа {T(t)} соответствует некоторому автономному уравнению, а в качестве пространства символов Е выбран шар BR большого радиуса R с центром в начале координат Е = BR. Заметим, что в этих примерах глобальные аттракторы U(BR) не зависят от R при Д 1. Пример 7.1. Смешанная система уравнений реакции-диффузии и обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассматривается следующая система: где ІЄПІІ", а - вещественная N х /V-матрица с положительной симметричной частью (а + а )/2 /?/, /? 0, u = и(х,t), и — (и1,...,uN), д = (9\-. ,9N), f = (/1.....П, У = (У1,-.-,У"), F = (F1,... ). Предполагается, что / Є C(R" х RM;RN), д Є C([Q] x R R"), F C R R"). Вектор-функция f удовлетворяет условиям подобно (11.6.24)-(11.6.26), а для функции F выполнены неравенства Легко показать при выполнении условий (7.7), что задача (7.6) порождает непрерывную полугруппу {T(t)}, T{t) : RM - RM, y(t) = T(t)y0, имеющую компактное поглощающее множество Е = BR, где R RQ 1. Система (7.5), где y(t) = T(t)yo - решение (7.6), порождает семейство полупроцессов {Uyo(t,г)}, уо Є #д, действующих в Е = (L2(Q))N. Это семейство является равномерно (по у0 Є д) компактным и (Е х BR, Е)-непрерывным. Доказательство аналогично доказательству из П.6.2. Следовательно, можно построить полугруппу {S(t)}, действующую в (L2(tl))N х BR, которая, в силу теоремы 2.1, имеет аттрактор А. Проекция ЩА = Ai = Лвя образует равномерный аттрактор семейства полупроцессов {Uyo{t,T)}, у0 BR, а проекция П2А = Аг = о/(Вд) - глобальный аттрактор полугруппы {T(t)} в RM. Уравнение (7.6) удовлетворяет свойству обратной единственности, и, по теореме 4.1 семейство полупроцессов {Uyo(t,T)}} уо BR имеет единственное сужение на U( BR), а именно, семейство процессов {Uyo(t, т)}, у0 6 U{BR) с символами у0, лежащими на аттракторе UJ(BR) уравнения (7.6). Множество UJ(BR) = (BRQ) не зависит от R при R RQ, ТО есть, Лвя тоже не зависит от R и где /Суо - ядро уравнения (7.5) с символом у0 Є (5/). Пример 7.2. Уравнение вязкой несжимаемой жидкости с пассивными ингредиентами. Рассматривается система уравнений Здесь u = (u\...,uN)T, у = (іЛу2)7, i6fiiR2,Ur6 (L2(n))N, и j/0 Є Я. Система (7.9) является двумерной автономной системой Навье-Стокса в пространстве Я бездивергентных векторных полей. Неизвестные функции ul(x,t) в (7.8) являются пассивными ингредиентами (концентрации химических веществ, температура и т.п.), не влияющими на скорость у(х, t) течения жидкости. Функция f(u, у) удовлетворяет условиям, подобным (И.6.24) - (П.6.26), и if Є (L,2{fi))N. Задача (7.9) порождает компактную полугруппу {T(t)}, действующую в Н (см. 1.4.3). Пространством символов задачи (7.8) служит множество Т, = BR С Н, R RQ 1, где BR - поглощающее множество полугруппы {T(t)}. Задача (7.8) порождает семейство полупроцессов {Uyo(t,г)}, уо BR, действующих в (L2(Q))N. Теоремы 2.1 и 4.1 применимы к этому семейству. Равномерный аттрактор семейства полупроцессов {Uyo(t,т)}, уо є BR совпадает с равномерным аттрактором семейства полупроцессов (Uyo(t,т)}, уо OJIBRQ), где UJ(BRQ) - глобальный аттрактор системы Навье-Стокса (7.9).