Введение к работе
Актуальность темы
В 1990 году В. А. Плпссом и Дж. Селлом была рассмотрена автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений в № с непрерывно дифференцируемой: правой частью. В их статье [ 1 ] дано определение гиперболической линейной системы, одновременно в определении вводятся понятия лгстойчпрого и нейтрального лннейных пространств. В определении используются два показателя в экспоненциальных оценках норм решений линейной системы. Первый показатель строго больше нуля, второй показатель строго меньше первого.
Предполагается, что рассматриваемая автономная система имеет аттрактор 1С. Дается определение гиперболичности аттрактора /С: вдоль решения пз /С система в вариациях, соответствующая указанной автономной системе, гиперболична, каждой точке множества /С соответствует к-мерный диск, принадлежащий /С, нейтральные линейные пространства в точках диска касаются диска. Гиперболический аттрактор 1С удовлетворяет условию Липшица, т. е. нейтральные линейные пространства как функции точек множества 1С удовлетворяют условию Липшица. В статье [ 1 ] рассматривается тот случай, когда первый п второй показатели являются постоянными величинами, не зависящими от точек множества 1С. При сформулированных условиях В. А. Плисе и Дж. Селл доказали устойчивость гиперболического аттрактора относительно малых в смысле С1 возмущений правой части изучаемой автономной системы.
В диссертации вводится понятие слабо гиперболического аттрактора, обобщающее понятие гиперболического аттрактора из работы В. А. Плисса и Дж. Селла на тот случай, когда показатели экспонент в оценках норм решений линейных систем зависят от точек множества /С.
Цель работы Исследовать устойчивость слабо гиперболического аттрактора автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений при непрерывно дифференцируемых возмущениях правой части.
Научная новизна и практическая ценность В диссертации получены следующие результаты.
-
Если автономная система на компактном инвариантном множестве К. удовлетворяет условию слабой гиперболичности, то выполняется аналог теоремы Ляпунова-Перрона о существовании нейтрального и устойчивого дисков в точках множества /С с оценками норм решений на вещественной оси. Для заданного отрезка времени существует окрестность изучаемой системы и окрестность точки из множества /С такие, что для возмущенной системы в точках указанной окрестности существуют устойчивый и нейтральный диски с оценками норм решений на указанном отрезке.
-
Вводится понятие (условие 1), аналогичное понятию слабой гиперболичности, показатели экспонент — кусочно постоянные. Для автономной системы с условием 1 доказывается аналог теоремы Ляпунова-Перрона о существовании устойчивого и нейтрального дисков.
-
Если автономная система на К. удовлетворяет условию слабой гиперболичности, то возмущенная система удовлетворяет условию 1.
-
Доказывается, что возмущенная система имеет компактное инвариантное множество К? в малой окрестности слабо гиперболического аттрактора К. Возмущенная система вдоль решений из К? удовлетворяет условию 1 на Л.
-
К? расслаивается на листы; доказывается, что листы гладкие.
-
КУ гомеоморфно /С.
Апробация работы. Результаты докладывались на заседаниях семинара кафедры дифференциальных уравнений математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 9 параграфов, и списка литературы из 15 наименований. Объем диссертации 101 страница.
