Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ стохастической чувствительности равновесий и циклов
1.1 Стохастическая чувствительность равновесия 15
1.1.1 Коэффициент стохастической чувствительности 15
1.1.2 Алгоритм вычисления коэффициента стохастической чувствительности 19
1.1.3 Плотность вероятности стохастического равновесия 20
1.2. Стохастический цикл 21
1.2.1 Функция стохастической чувствительности 21
1.2.2 Алгоритм построения функции стохастической чувствительности 24
1.2.3 Характеристики ФСЧ 25
1.2.4 Плотность вероятности стохастического цикла 25
2. Система Ферхюльста
2.1. Детерминированные аттракторы 27
2.2. Стохастические аттракторы 32
2.3. Универсальность роста стохастической чувствительности 40
2.4. Плотность вероятности 43
3. Система Эно
3.1. Детерминированные аттракторы 54
3.2. Стохастические аттракторы 58
4. Обратные стохастические бифуркации циклов
4.1. Формализация явления ОСБ 71
4.2. Эмпирический анализ одномерных систем 74
4.2.1. Схема эмпирического анализа ОСБ 74
4.2.2. Эмпирический анализ ОСБ циклов Ферхюльста 77
4.3. Анализ ОСБ одномерных систем с использованием аппарата ФСЧ 88
4.3.1 Схема анализа ОСБ 88
4.3.2 Анализ ОСБ циклов Ферхюльста 88
4.4. Анализ многомерных систем 96
4.4.1. Эмпирический анализ ОСБ циклов системы Эно 96
4.4.2. Анализ ОСБ систем с использованием аппарата ФСЧ 99
Заключение 114
Приложения 115
Литература 124
- Алгоритм вычисления коэффициента стохастической чувствительности
- Алгоритм построения функции стохастической чувствительности
- Универсальность роста стохастической чувствительности
- Анализ ОСБ одномерных систем с использованием аппарата ФСЧ
Введение к работе
Данная работа посвящена моделированию и анализу равновесий и циклов нелинейных дискретных динамических систем в присутствии случайных возмущений.
В теории динамических систем выделяют два класса - консервативные ( к ним относятся, например, механические колебания системы в отсутствии трения) и диссинативные [17], [27], [78]. Для диссипативных систем характерно то, что режим динамики, возникающий в системе, предоставленной самой себе в течении длрітєльного времени, становится независящим от начального состояния (по крайней мере, при вариации начальных условий в некоторых конечных пределах). Множество точек в фазовом пространстве диссипатив-ной системы, к которому притягиваются траектории в установившимся режиме, называется аттрактором. Простые примеры аттрактров - устойчивые состояния равновесия и предельные циклы, отвечающие режимам переодических автоколебаний.
Регулярные аттракторы (равновесия и циклы) динамических систем, задаваемых детерминированными дискретными отображениями, являются классическими и наиболее изученными объектами современной теории устойчивости [56], [78]. Анализ устойчивости периодических орбит данных систем и оценки показателей Ляпунова приведены в рабо- -тах Huberman В.А. [93]- [95]. Замечательным достижением стало открытие хаотической динамики. Возникновение хаоса кажется на первый взгляд несовместимым с определением динамической системы, подразумевающим возможность однозначного определения последующего состояния по исходному. На самом деле противоречия нет. В хаотическом режиме сколь угодно малая неточность начальных данных быстро нарастает во времени, так что предсказуемость становится недостижимой на достаточно больших интервалах времени. В фазовом пространстве диссипативных систем такого рода режимам отвечают странные аттракторы [56], [27]. Таким образом, разнообразие, наблюдаемое в нелинейных динамических системах, можно свести к анализу простых инвариантных многообразий и их качественных преобразований (бифуркаций). Следует отметить, что для дискретных систем хаотическое поведение возникает даже в случае одномерных моделей [79], [55].
Одним из классических сценариев перехода от порядка к хаосу является сценарий Фейгенбаума [79]-[81]. Речь идет о переходе через каскад (бесконечную последовательность) бифуркаций удвоения периода. Хотя Фейгенбаум и не является первооткрывателем удвоений периода, он первым осознал и показал присущие этому переходу свойства универсальности и скейлинга (масштабного самоподобия). В литературе часто встречаются
утверждения об аналогии между переходами динамических систем от движений одного типа к движениям другого типа (например, от состояния равновесия к периодическому движению) и известными в статистической физике фазовыми переходами второго рода [34, 43]. Идея такой аналогии ведет свое начало от работы Г. Хакена [90] и в дальнейшем развита Ю. Л. Климонтовичем [24]. Эта аналогия оказалась весьма полезной, так как позволяет использовать методы теории фазовых переходов, например методы скэйлинга и ренормализационной группы [13], [41], [92]. Используя аппарат, аналогичный развитому до этого в теории фазовых переходов, Фейгенбаум построил теорию, объясняющую универсальность удвоений периода [79]. Сущность концепции универсальности состоит в том, что имеется обширное множество нелинейных диссипативных систем различной природы (класс универсальности), которые не просто демонстрируют одну и ту же последовательность бифуркаций, но и проявляют у порога возникновения хаоса одни и те же количественные закономерности скейлинга с присущими данному классу универсальности определенными значениями масштабных констант.
В любой реальной физической, химической, биологической системе всегда присутствуют случайные возмущения, которые могут оказать существенное влияние на ее поведение. Задача анализа динамических систем, возмущаемых внешним шумом, являлась предметом интенсивного изучения в математике, физике, химии, биологии на всем протяжении 20 века и вызвала появление огромного количества теоретических и экспериментальных работ. Явлениям, связанным со стохастичностью, посвящено большое количество публикаций [1], [2], [31], [33], [59], [98], [100], [97], [104], [112], [119], [121]. Один из первых результатов, касающихся выхода траектории системы под воздействием шума из области устойчивости, получен Arrhenius S.A. [62] еще в 1899 году. Значительную известность имеет классическая работа Понтрягина Л.С, Андронова А.А., Витта А.А. "О статистич-ском рассмотрении динамических систем" [35]. Опубликованная в 1933 году, она содержит формулировки основных задач изучения стохастической динамики, которые остаются актуальными и на сегодняшний день. Метод стохастических функций Ляпунова, начиная с основополагающей работы Каца И.Я. и Красовского Н.Н. 1960 г.[23], является теоретическим фундаментом анализа устойчивости стохастических систем.
Основная литература по стохастическим системам посвящена анализу динамики в окрестности точек покоя. Случай точки покоя представляет собой достаточно глубоко разработанную теорию и рассматривался в работах Вентцеля А.Д. и Фрейдлина М.И. [10]
- [12], Ludwig D. [105], Matkowsky B.J. и Schuss Z. [109], Nahe Т. и Klosek M. [113] и др..
Изучение воздействия шума на предельный цикл было начато Понтрягиным Л.С. и продолжено в многочисленных работах исследователей, например - Стратоновича Р.Л. [44], Ibrahim R.A. [96], Soong Т.Т. и Grigoriu М. [120], Baras F. [63], Mangel М. [107], Day [74, 75]. Под воздействием стохастических возмущений траектория, стартующая из некоторой точки цикла, начинает отклоняться от детерминированной орбиты, формируя вокруг нее так называемый пучок случайных траекторий. Неоднородность пучка случайных траекторий вокруг цикла рассматривалась в работах Kurrer С. и Schulten К. [99], Deissler R.J. и Farmer J.D. [76], Ali F. и Menzinger M. [57, 58].
Первоначально флуктуации рассматривались как дезорганизующее воздействие на систему, "разрушающее" порядок. В работах Crutchfield J.P., Farmer J., Huberman В.A. [71], Nauenberg M., Rudnick J. [72], Shraiman C.E. [118] показано, что влияние аддитивного шума приводит к тому, что последовательность бифуркаций удвоения периода становится конечной. В работах Кузнецова [28], [29] исследовано влияние шума на свойство скейлинга дисктреных динамических систем из разных классов универсальности. В частности найдены значения, на которые необходимо уменьшать интенсивность внешнего воздействия для сохранения свойства самоподобия.
В последние несколько десятков лет при исследовании неравновесных явлений в различных областях науки была обнаружена организующая роль шума. Было показано, что флуктуации способны индуцировать гораздо более богатое (в сравнении с детерминированными системами) разнообразие режимов. К данной группе эффектов воздействия шумов относятся так называемые индуцированные шумом переходы (noise-induced transitions). Первое описание данных явлений было дано в конце 50х - начале 60х годов 20 века в работах Кузнецова П.И., Стратоновича Р.Л., Тихонова В.PL, Ланды П.С. Через несколько лет эти явления были переоткрыты в контексте экологических систем в работах May [110], Hahn [89]. Классической работой, посвященной индуцированным шумом переходам, стала монография Horsthemke W. и Lefever R. [48], вышедшая в 1984 году.
В конце 70х годов 20 века большое развитие получила теория стохастических бифуркаций, изучающая качественные изменения поведения динамических систем под воздействием случайных возмущений. В работах Arnold L. [59] - [61] выделяются два основных подхода к определению понятия стохастической бифуркации: феноменологический подход (Р-бифуркации), описывающий качественные изменения стационарной плотности
вероятности, и динамический (D-бифуркации), описывающий изменение знака старшего показателя Ляпунова. Дальнейшее изучение стохастических бифуркаций в рамках индуцированных шумом переходов для одномерного случая проведено в работах Crauel Н. [70], Flandoli F. [69], Leng G., Namachchivaya N. [103], [114]. Воздействие шума на бифуркацию Хопфа двумерных систем на плоскости подробно рассмотрено в работах Moss F., McClin-tock P.V.E. [112, 83], Turner J. [101, 102], Kuske R., Xu W., Zhu W.Q. [123], He Q., Leung H., Malick K. [106].
В последние 10 лет при исследовании стохастической динамики систем с непрерывным временем активно применяется новый подход, связанный с использованием некоторой функции, получившей название квазипотенциала. Данная функция, представляющая собой экспоненциальную асимптотику стационарной плотности вероятности, появилась в работах Вентцеля А.Д. и Фрейдлина М.И. [11, 12] в связи с решением задачи о выходе случайной траектории из окрестности устойчивой точки покоя.
При помощи функции квазипотенциала удается предсказывать тонкие эффекты воздействия внешних помех на рассматриваемую систему. Метод квазипотенциала в анализе стохастической чувствительности предельных циклов рассматривался в работах Naeh Т. [113], Dykman M.I. [77], Graham R. и Tel Т. [84] - [87], Smelyanskiy V.N. [119], Maier R.S. [108], Мильштейна Т.Н. [32], Ряшко Л.Б. [36].
В публикациях Ряшко Л.Б. и Башкирцевой И.А. [4, 65] представлена разработанная методика анализа стохастической чувствительности предельного цикла. Данная методика базируется на аппроксимации квазипотенциала и построении функции стохастической чувствительности (ФСЧ), описывающей ковариацию отклонения случайной траектории от детерминированной орбиты цикла. ФСЧ является естественной вероятностной мерой, характеризующей реакцию стохастического цикла на малые внешние возмущения. В работах Ряшко Л.Б. и Башкирцевой И.А. с использованием терминов Р-устойчивости построены численные методы расчета ФСЧ и продемонстрировано их применение для некоторых моделей нелинейной динамики.
Представляемая диссертационная работа распространяет исследования в этой области на класс дискретных систем. В работе для регулярных аттракторов нелинейных систем с дискретно изменяющимся временем вводится конструкция функции стохастической чувствительности. С использованием аппарата ФСЧ излагаются методики анализа стохастической чувствительности равновесий и предельных циклов для систем, возмущаемых шу-
мом различной интенсивности. Проведен подробный анализ стохастической чувствительности аттракторов классической системы Ферхюльста и двумерного отображения Эно.
Эмпирические исследования слияния областей рассеивания логистического отображения в присутствии случайных возмущений были проведены G. Mayer-Kress и Н. Накеп [111]. Показано, что при увеличении интенсивности возмущения происходит качественное изменение формы графика плотности вероятности стохастического цикла. В представляемой диссертационной работе обратные стохастические бифуркации исследуются при помощи математического аппарата ФСЧ. Результаты теоретических и эмпирических подходов демонстрируются для систем Ферхюльста и Эно.
Диссертационная работа состоит из четырех глав и двух приложений, содержащих описание созданного программного комплекса и реализованных в нем численных алгоритмов. В первой главе вводится конструкция функции стохастической чувствительности, построенная по системам первого приближения. Аппроксимируется плотность вероятности стохастического равновесия и циклов. Вторая глава посвящена исследованию чувствительности циклов системы Ферхюльста. Для одномерной модели сравниваются теоретический и эмпирический подход к изучению стохастической чувствительности. Установлена универсальная скорость роста чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода. В третьей главе описывается поведение двумерной стохастической системы Эно. На примере данной системы демонстрируется использование аппарата ФСЧ в анализе чувствительности многомерных систем. Четвертая глава посвящена анализу обратных стохастических бифуркаций уменьшения кратности стохастического цикла при увеличении интенсивности случайных возмущений. Явления обратных бифуркаций демонстрируется на примерах рассмотренных в главе 2 и 3 системах Ферхюльста и Эно.
Остановимся на содержании работы более подробно.
Первая глава носит теоретический характер и посвящена введению конструкции функции стохастической чувствительности, а также ее анализу и алгоритмам отыскания.
В пункте 1.1 исходным объектом является детерминированная нелинейная система
xt+i = Да*),
где х - n-вектор, Дж) - достаточно гладкая функция. Предполагается, что система имеет экспоненциально устостойчивое равновесие х.
Добавляя в детерминированную систему внешнее возмущение, мы переходим к стоха-
стической системе
xt+i = f(xt) +e
Здесь a(x) - n x m-матрица, t - m-мерный некоррелированный случайный процесс с параметрами
Щг = О, Щ& = I, Е^к = 0 (t ф к),
где I - единичная т х m-матрица, є - интенсивность шума.
Далее дается вероятностоне описание отклонений возмущенных траекторий от детерминированного равновесия. В случае малых шумов, когда случайные состояния х\ стохастического аттрактора локализируются вблизи положения равновесия х, может быть использование линейное приближение. Удобной характеристикой разброса случайных состояний вокруг детерминированного равновесия является коэффициент стохастической чувствительности - матрица
W = lim — cav(Xf.Xf) .
є->0 є2
В пункте доказана теорема 1 о том, что в случае Э-устойчивости равновесия детерминированной системы коэффициент стохастической чувствительности определен и может быть найден из уравнения
W = FWFT + Q ,
где F = (), Q = a{x)aT(x)
Пункт 1.2 распространяет технику анализа стохастической чувствительности, введенную для стохастического равновесия, на случай стохастического цикла.
Невозмущенный детерминированный к-цчкл Г есть множество точек Г = {xi,... ,хк}, связанных соотношениями:
f(x~i)=Xi+i (г = 1,...,А-1), f{xk) = xi.
Для каждого состояния xt вводится значение функции стохастической чувствительности (ФСЧ). Как и в случае равновесия, с помощью функции чувствительности удобно строить оценки разброса состояний вокруг выбранной точки цикла Г. Далее доказывается теорема 2 о существовании функции чувствительности для экспоненциально устойчивого цикла произвольной кратности и приводится алгоритм поиска значений функции во всех точках цикла.
По значениям функции чувствительности строится аппроксимация плотности вероятности в виде линейной комбинации нормальных распределений.
Вторая глава посвещена приложению теории ФСЧ к анализу стохастически возмущенной модели Ферхюльста.
В пункте 2.1 рассматриваются характерные особенности детерминированной системы Ферхюльста
Xt+l = f(fi, xt) = /ІЖ((1 - xt) , где внешний параметр /л Є [0,4], а состояния системы хъ Є [0,1]. Система Ферхюльста является простейшей одномерной системой демонстрирующей переход к хаосу через бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода. Определенные для данной системы константы Фейгеибаума являются универсальными для широкого класса дискретных систем. В пункте 2.2 объектами исследования становятся циклы стохастической системы
xt+i =//a;t(l -xt) +Є& ,
где t ~ независимые гауссовы случайные величины, Et = 0; Е% = 1, а є - интенсивность шумов.
По приведенному в главе 1 алгоритму рассчитывается функция чувствительности для каждого значения параметра її. Ее значения для каждой точки цикла сопоставляются с эмпирически полученной оценкой отклонений случайных траекторий от точек цикла. При малом уровне шума теоретические и эмпирические данные хорошо соответствуют друг другу. При изменении параметра [і стохастическая чувствительность аттракторов системы Ферхюльста существенно меняется. Здесь необходимо отметить всплеск чувствительности при приближении к точкам бифуркации и общий рост чувствительности при увеличении кратности циклов. На основе метода ФСЧ получена эмпирическая оценка скорости ее роста в цепи бифуркаций удвоения периода. Эксперименты показали, что скорость роста не зависит от вида мультипликативного шума. Используя технику ренормгруппового анализа, данный факт удалось доказать теоретически. При этом была найдена универсальная константа роста чувствительности.
В конце главы приводится сравнение аппроксимаций плотности вероятности, полученных с использованием аппарата ФСЧ, и гистограмм состояний стохастической системы Ферхюльста для равновесия и 2-цикла.
В третьей главе результат общей теории ФСЧ из главы 1 используется при исследовании стохастически возмущенного двумерного отображения Эно.
xt+i = 1-fiXt- byt + ei,t
yt+i = Xt + Є&, t ,
где i,t,&,t - последовательности независимых гауссовых случайных величин, Eijt = E&,t = 0; Eft — E^t — 1; Ei,t2,t = 0, а є - интенсивность шумов.
В пункте 3.1 дается краткое описание детерминированных аттракторов этой системы при b — 0.5
В пункте 3.2 исследуется стохастическая чувствительность этой системы в зависимости от параметра [і. По приведенному в главе 1 алгоритму рассчитывается матрица чувствительности каждого состояния при выбранном значении параметра [і. Значения собственных чисел матрицы чувствительности сопоставляются с эмпирически полученной оценкой отклонений случайных траекторий от точек цикла. При малом уровне шума теоретические и эмпирические данные хорошо соответствуют друг другу. Для системы Эно приводятся графики собственных значений функции чувствительности. Аналогично одномерной системе Ферхюльста чувствительность двумерной системы Эно значительно возрастает в точках бифуркаций и имеет место общий рост чувствительности при увеличении кратности циклов.
В конце главы приводятся примеры построения доверительных эллипсов рассеивания по значениям функции чувствительности и сравниваются аппроксимации плотности вероятности, полученные с использованием аппарата чувствительности и гистограммы состояний стохастической системы Эно для равновесия и 2-цикла. Следует отметить хорошее соответствие эмпирических данных и теоретических результатов.
В четвертой главе описывается эффект обратных стохастических бифуркаций уменьшения кратности цикла при увеличении интенсивности шума.
С ростом возмущений величина отклонений случайной траектории от детерминированного цикла растет и становится сравнима с расстоянием между соседними точками аттрактора. В результате, области рассеивания, соответствующие соседним точкам детерминированного аттрактора, начинают пересекаться между собой. При дальнейшем увеличении интенсивности после некоторого критического значения происходит их полное слияние. При соответствующем уровне интенсивности шума стохастический 2-цикл переходит в 1-цикл, стохастический 4-цикл - в 2-цикл и т.д.. Описываемое в пункте 4.1 качественное изменение фазового портрета системы - уменьшение кратности стохастиче-
ского цикла при увеличении интенсивности шума - называется обратной стохастической бифуркацией (ОСБ). В качестве критерия ОСБ используется следующее правило: ОСБ наступает в случае, когда при незначительном увеличении интенсивности возмущения наблюдается качественное изменение графика плотности вероятности случайных состояний ( в графике плотности уменьшается количество пиков). Например: стохастическому 2-циклу соответствует бимодальная (имеющая два пика) форма графика плотности, а 1-циклу соответствует унимодальная форма. При увеличении интенсивности шума бимодальная форма переходит в унимодальную, что соответствует ОСБ - перехода 2-цикла в 1-цикл.
Если для выбранного значения параметра в детерминированной системе реализуется цикл кратности 2к, то для стохастической системы переход 2А:-цикла в 2А:_1-цикл называется первой ОСБ, а все последующие ОСБ называются старшими. Интенсивность первой ОСБ обозначается е\, а старших ОСБ єї,...є*к соответственно.
В пункте 4.2 для определения критических значений возмущений в одномерных системах предлагается эмпирический подход, основанный на численном построении случайных траекторий и получении графиков плотности вероятности. Схема (пункт 4.2.1) определения критических значений ОСБ следующая:
Моделируется случайная траектория и формируется статистическая выборка. По полученной выборке строится плотность вероятности;
График плотности сглаживается, чтоб шумовая составляющая не мешала определять его модальность;
Определяется качественное изменение графика плотности вероятности при изменении параметра;
Строится уточненная оценка критического значения интенсивности;
Производится обобщение данной процедуры на случай старших ОСБ.
Применение данной схемы иллюстрируется в пункте 4.2.2 на циклах системы Ферхюль-ста. Для выбранных значений ц = 3.01 (2-цикл) и рь = 3.46 (4-цикл) построены соответствующие графики плотности вероятности р(х). При увеличении интенсивности возмущения є наблюдается качественное изменение формы графика плотности (переход от бимодальной к унимодальной). При изменении параметра \х на всем рштервале удвоения периода получена эмпирическая диаграмма первой ОСБ - зависимость e*(/j). Отмечено самоподобие графика є* (ц) на интервалах структурной устойчивости в цепи буфуркаций
удвоения периода.
На примере 4-цикла (fj, = 3.46) проведен эмпирический анализ второй ОСБ перехода уже стохастического 2-цикла в 1-цикл при увеличении є. Обсуждается сложность эмпирического анализа последней (к-й ОСБ) для исходного 2*-цикла системы Ферхюльста в связи с последующим разрушением стохастического 1-цикла и уходом случайной траектории в бесконечность.
Эмпирический анализ старших ОСБ продемонстрирован для системы Ферхюльста на примере 16-цикла (ц — 3.566). В связи с большими затратами времени на эмпирическое моделирование цикла и сглаживание графика эмпирической плотности вероятности получены только грубые оценки критических значений е*2 та 0.0012, 3 ~ 0.0067, е\ та 0.046 второй, третьей и четвертой ОСБ, соответственно.
В пункте 4.3 излагается теоретический подход к изучению ОСБ, опирающийся на аппарат ФСЧ, детально рассмотренный в первой главе.
Общая схема анализа ОСБ представлена в пункте 4.3.1. Сначала рассматривается первая ОСБ. Дана методика построения аппроксимации плотности вероятности стохастического цикла. Для аппроксимации выбирается нормальная форма стационарной плотности вероятности для малых шумов в малой окрестности детерминированного цикла Г. Использование данной аппроксимации позволяет избежать длительного эмпирического моделирования и сделать анализ ОСБ более эффективным.
Поведение графика аппроксимации стационарной плотности р[х) при увеличении є аналогично поведению графика эмпирической плотности. При увеличении є ширина пиков функции р(х) растет, в результате слияния всплесков происходит переход графика р(х) от бимодальной формы к унимодальной. Определение модальности формы производится по количеству локальных экстремумов. Благодаря наличию аналитического представления плотности, полученной с помощью ФСЧ, точки бифуркаций находятся из уравнения р'(х) = 0.
Построение теоретической оценки критического значения шума первой ОСБ обобщается для случая старших ОСБ. Уменьшение модальности формы графика соответствует уменьшению количества различных корней уравнения р'(х) = 0.
В пункте 4.3.2 проводится анализ ОСБ циклов системы Ферхюльста с использованием аппарата ФСЧ. Для различных значений параметра ц, из интервала удвоения периода на основе метода ФСЧ представлен детальный анализ ОСБ циклов системы Ферхюльста.
Сначала рассматривается первая ОСБ. При различных значениях интенсивности шума є демонстрируется соответствие между графиками эмпирической плотности вероятности и ее теоретической аппроксимации. Полученное хорошее соответствие свидетельствует о возможности успешного применения аппарата ФСЧ для анализа стохастической динамики даже в присутствии достаточно сильного шума.
Для системы Ферхюльста построена теоретическая диаграмма первой ОСБ - зависимость величины теоретической оценки є* критического значения шума от параметра [і. Демонстрируется самоподобие графика є* (/л) на интервалах структурной устойчивости.
Анализ старших ОСБ циклов системы Ферхюльста с использованием ФСЧ проводится на примере 4-цикла (/л = 3.46) и 16-цикла (/і = 3.566). Получено соответствие между графиками эмпирической плотности вероятности и ее теоретическим аналогом.
В пункте 4.4 описывается обобщение эмпирического и теоретического анализа на системы размерностью 2 и более. Схемы анализа многомерных систем подобны рассмотренной схеме одномерной модели, но являются более трудно реализуемыми. Эмпирическая и теоретические плотности, определенные на многомерных пространствах, также демонстрируют переход от бимодальной к унимодальной форме с ростом интенсивности возмущения.
Иллюстрация ОСБ и методов ее анализа в многомерных системах дается на примере двумерного отображения Эно, подробно изученного во второй главе. Для 2-цикла (/л = 1.72) демонстрируется переход графика плотности вероятности от бимодальной к унимодальной форме. Представлено сравнение эмпирической плотности вероятности и плотности, полученной с использованием аппарата функций стохастической чувствительности. Для 4-цикла (// = 2.32) эмпирически удается определить только значения интенсивности первой ОСБ, т.к. при дальнейшем увеличении интенсивности случайная траектория покидает область устойчивости детерминированного цикла. Используя теоретическую аппроксимацию плотности вероятности для системы Эно, удается построить значения критической интенсивности первой ОСБ для различных значений параметра її из интервалов структурной устойчивости.
Публикации по теме диссертации
Всего по теме диссертации опубликовано 10 научных работ, из них 2 статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК [8, 51], 8 публикаций в сборниках и трудах конференций [9, 39, 40, 49, 50, 52, 53, 54].
Алгоритм вычисления коэффициента стохастической чувствительности
Как следует из теоремы 1 матрица W может быть последовательно приближена значениями Vt, где Vf вычисляется по следующей явной схеме Заметим, что (12) является дискретным уравнением Ляпунова. Для решния данного уравнения в книге Икрамова [18] рекомендуется использование BS и GNL методов. Для систем малой размерности W удобнее искать как сумму следующего ряда Разберем более детально случаи систем размерности 1 и 2. В случае п = 1 коэффициент стохастической чувствительности является скалярной величиной и имеет вид где a = f (x) , q = а2{х). Отметим, что в данном случае необходимым и достаточным условием экспоненциальной устойчивости равновесия х является неравенство \f {x)\ 1. Для f (x) = 0 стохастическая чувствительность минимальна и W = q.
При потере устойчивости и приближении \f (x)\ к единице, величина W неограниченно возрастает. Двумерный случай При п = 2 матрица стохастической чувствительности W имеет собственные значения Ai Л2 0 и соответствующие собственные векторы wi,W2- Значения Лі и Л2 являются удобными скалярными характеристиками стохастической чувствительности и задают величины разброса случайных состояний системы (6) в направлении Wi и и . Действительно, для проекций щ = (xf — x,Wi) стационарно распределенных случайных состояний х\ системы (6) на векторы Wi имеем Euf е2\. С помощью матрицы стохастической чувствительности W равновесия х, построим аппроксимацию плотности вероятности случайных состояний. Будем конструировать аппроксимацию в форме нормального распределения. Напомним, что для многомерного случайного вектора = (i,-..,rt) плотность нормального распределения вычисляется по формуле: где m = (Ei,... ,En) - вектор математических ожиданий, С — [Е(& — Е&)(& — Е&)Т] -ковариационная матрица. В случае малых шумов, когда m — х и С \W , стационарная плотность вероятности состояний системы (6) вокруг точки покоя х может быть аппроксимирована нормальным распределением: где W - коэффициент стохастической чувствительности. Таким образом в данном разделе мы получили уравнение (12) для нахождения чувствительности стохастического равновесия и доказали теорему о существовании и единственности решения данного уравнения. Используя полученный коэффициент стохастической чувствительности мы построили теоретическое приближение плотности вероятности. Сравнительный анализ теоретических приближений и результатов численного моделирования представлен в главе 2 для одномерной системы Ферхюльста и в главе 3 для двумерного отображения Эно.
Перейдем к исследованию стохастического цикла произвольной кратности. Пусть детерминированная система (1) имеет /с-цикл Г - множество точек Г = {х\,... ,Хк}, связанных соотношениями: Считаем, что последовательность xt определена при всех t с условием периодичности xt+k = Xt- Предполагается, что цикл Г является Э-устойчивым. Определение 2. Цикл Г называется экспоненциально устойчивым в окрестности U (Э-устойчивым), если при некоторых К 0, 0 q 1 для всех XQ Є U при любых t выполняется неравенство Здесь - евклидова норма, j(x) - ближайшая к х точка цикла Г, а д(ж) - вектор отклонения х от Г. Предполагается, что для системы (1) окрестность U инвариантна. Пусть х\ - решение (1) с начальным условием х\ = х\ 4- sv\. Произведение z\ = ev\ задает малое отклонение состояния х\ от точки х\ цикла Г в направлении v\. Рассмотрим отклонения zf = х\ — xt состояний х\ системы (1) от цикла Г в последующие моменты z ее — х+ времени. Пусть v\ = — = —. При малых є чувствительность цикла к возмущению начальных данных определяется величиной Для Vt справедлива система с fc-периодической матрицей Ft : Ft+k = Ft. Матрица монодромии В = Fk ... F2 F\ связывает элементы подпоследовательности Необходимым и достаточным условием Э-устойчивости цикла является неравенство р(В) 1. При этом, lim oo vik+i = О независимо от выбора V\. Величина р(В) показывает во сколько раз приближается решение х\ к циклу Г за один оборот. Рассмотрим динамику vt в присутствии случайных возмущений, когда состояние х\ формируется стохастической системой (6). В этом случае имеем Динамика первых двух моментов mt — Evt, Vt = EvtvJ решения vt системы (19) задается уравнениями аналогичными (10) (11) Последовательные к итераций систем (20)-(21) с учетом периодичности матриц Ft и Qt можно записать в виде Доказательство. Докажем а). При р{В) 1 по теореме 1 система (26) имеет единственное решение. Обозначим его через W\. Из (27) найдем W2 , W3, Wk и продолжим по периодичности: Wt+k = Wt
Алгоритм построения функции стохастической чувствительности
К середине 70-х годов было уже хорошо известно, что при увеличении параметра /л в логистическом отображении имеет место последовательность бифуркаций удвоения периода. Соответсвующие компьютерные результаты очень наглядно были представлены, например, в работе May 1976 г. В это время, занимаясь исследованием удвоений периода с помощью карманного калькулятора, американский физик М. Фейгенбаум, работавший в Лос-Аламосской национальной лаборатории, обнаружил, что точки бифуркации накапливаются к определенному пределу - порогу возникновения хаоса - по закону геометрической прогрессии. Фейгенбаум показал, что при некоторых ограничениях переход к хаосу найденный для логистического отображения встречается во всех разностных уравнениях первого порядка xt+\ = f(xt), в которых после соответствующего изменения масштаба / имеет единственный максимум на интервале 0 xt 1. Фейгенбаум установил также, что количественное поведение при переходе к хаосу описывается универсальными константами ( первая и вторая константа Фейгенбаума ), величина которых зависит лишь от характера максимума.
Вернемся к популяционной модели (33) и проследим поведение отображения в зависимости от параметра {л.
При 0 = Цо ц 1 единственной устойчивой точкой является х — 0, т.е. популяция вымирает. Далее при 1 // 3 количество особей стабилизируется к определенному значению, зависящему от ц и независящему от начального значения. В точке и\ = 3 происходит бифуркация. Теперь для /J, 3 аттрактор состоит из двух точек (образуется двуцикл), т.е. численность популяции повторяется раз в два года. Точка fa — 3.45 ... тоже является точкой бифуркации и т.д. На интервале Ik = (fJ-k, Цк+і) наблюдается устойчивый цикл кратности 2к. Интервалы IQ = (fa, fa), 1\ — (fa, fa), называются интервалами структурной устойчивости. Следует отметить, что переход системы от порядка к хаосу описывается двумя кон стантами Фейгенбаума 5 = 4.669201... и а = —2.5029078 Константа 5 устанавливает зависимость между точками бифуркаций: т.е. асимптотически каждый последующий интервал в 5 раз меньше предыдущего. Вторая где dn алгебраическое расстояние между двумя ближайшими точками аттрактора, в то время как одна из них принимает значение (см рис. 3). На интервале Ik наблюдаются 2 :-циклы с состояниями Xk,i(fj) (г — 1,...,2к). Точки аттрактора удобно упорядочить так, чтобы первой была точка цикла Xk,i являющаяся ближайшей к 0.5. Для системы (34) имеем следующие интервалы структурной устойчивости. 10 — (1) 3), /і « (3,3.45), І2 (3.45,3.54) и т.д. При этом на 10 имеем одну устойчивую точку покоя ЖО,І(/І) = 1 — -, на іі имеем 2-цикл с состояниями При дальнейшем увеличении параметра /І точки бифуркаций быстро накапливаются, достигая критического значения параметра /Лоо = 3.56994 Существует цикл любого пе риода, что соответствует появлению хаоса. В закритической области наблюдается сложная картина сочетания квазипериодических и периодических режимов (см рис. 1, 2). Теперь рассмотрим так называемые [56] суперциклы. 2 -суперцикл - это самый устойчивый на интервале Ik 2А-цикл, определяемый условием где /2 - отображение / примененное последовательно 2к раз. В качестве своего элемента суперцикл системы (33) всегда содержит точку х\ = , т.к. это единственная точка в которой / обращается в 0. Для первых интервалов структурной устойчивости системы Ферхюльста значения параметра /І, при которых реализуются суперциклы, представлены в следующей таблице где t независимые гауссовы случайные величины, Et = 0; Е(% = 1, а є - интенсивность шумов. Рассмотрим бифуркационную диаграмму системы (34) при различной интенсивности внешнего воздействия (Рис. 4). Под воздействием случайных возмущений траектории покидают аттрактор детерминированной системы (33), формируя вокруг него стохастический аттрактор с соответствующим стационарным вероятностным распределением. В присутствии шума тонкая структура детерминированного аттрактора размывается. Как видно из Рис. 4 разброс случайных состояний неоднороден. При изменении параметра \х на интервале структурной устойчивости, дисперсия заметно меняется, резко возрастая вблизи точек бифуркации. На интервале 1г наблюдается различие в разбросе случайных состояний вокруг точек 1,1(/ ), 1 ( ), соответствующих детерминированному 2-циклу: нижняя ветка размывается сильнее верхней. Детальную картину указанных особенностей зависимости разброса траекторий для различных точек аттрактора от параметра ц дает функция стохастической чувствительности. На каждом интервале структурной устойчивости 1п определен набор функций гиП) (/х) ( = 1,..., 2"), где гоП)і(/і) задет стохастическую чув На интервалах IQ и ii для функции стохастической чувствительности соответствующих аттракторов - равновесия Ж0Д(/І) И 2-цикла с состояниями X\ti{fj),X\ {lJi) - можно получить явное представление: По данным прямого численного моделирования решений стохастической системы (34) для выборки случайных состояний разбросанных в окрестности точек хп {ц) можно найти эмпирическую дисперсию Dn)i(fj). Для этого при заданном уровне шума зафиксируем параметр /л, тогда в детерминированной системе (33) у нас имеется устойчивый цикл Г кратности 2" с состояниями xi,... ,Х2п- Возьмем в качестве начальной точки процесса х0 = Х2п. Проведем N итераций процесса (34) и получим последовательность х\, х2,..., ждг-Для удобства желательно выбирать N кратным 2". Для каждой точки аттрактора Х І определим дисперсию Dn i, г — 1,..., 2П по следующему правилу. .. т.—1 Аг,г = -5 (Яг-Яі+2 )2, ТП = [N/2n\ , m j=0 где [А\ - наибольшее целое число, меньшее или равное А.
Величины й)П)і(іі) = \Dnyi(ii) характеризуют стохастическую чувствительность аттракторов системы (34) при фиксированной интенсивности є действующих шумов. На рис. 5-6 сплошными линиями изображены ветви функции стохастической чувствительности wn i(fj,) на интервалах Іо,Іі,І2,Із и значения (звездочками) wn i(/i), полученные прямым численным моделированием решений системы (34) при шумах различной интенсивности. Для численного эксперимента использовалась серия длины N = 217.
Как видим, при малых возмущениях, теоретические кривые хорошо совпадают с эмпирическими данными. Однако, в силу высокой чувствительности системы вблизи точек бифуркаций, стохастическая чувствительность, полученная с помощью линейного приближения, не совпадает с эмпирическими данными для конечного шума, поэтому с ростом кратности цикла и увеличением интенсивности возмущений эта разница становится более заметной.
Рассмотрим разницу между теоретическими и эмпирическими значениями функций стохастической чувствительности. Величину погрешности будем определять следующим образом:
Проследим изменение величины S(/J) при [л Є IQ. На рис. 7 представлены графики 5(ц) для различной интенсивности шума. Следует отметить общий низкий уровень ошибок и резкое возрастание погрешности в точках бифуркаций в случае малых шумов. С ростом интенсивности возмущения значения 5(fi) увеличиваются, сохраняя общий характер поведения на интервале.
Универсальность роста стохастической чувствительности
Показано общее повышение чувствительности при переходе к хаосу. Точную количественную оценку влияние шума на равновесия и предельные циклы детерминированной системы дает функция стохастической чувствительности. Данная функция позволяет сравнить между собой восприимчивость всех точек аттрактора к случайным воздействиям и проследить изменения чувствительности как на интервале структурной устойчивости, так и при последовательных бифуркациях удвоения периода. Для построения функции чувствительности применялся как эмпирический подход, использующий прямое численное моделирование, так и метод ФСЧ, основанный на системах первого приближения.
Показано явное увеличение чувствительности системы Ферхюльста к случайным возмущениям в цепи бифуркаций удвоения периода. Найдено значение показателя геометрического роста чувствительности стохастических суперциклов. Была доказана универсальность данного показателя роста для целого класса систем с квадратичным максимумом и его независимость от вида мультипликативного шума.
Для системы Ферхюльста произведена и продемонстрирована аппроксимация плотностей вероятности для стохастических циклов произвольной кратности. Во всех экспериментах следует отметить хорошее соответствие эмпирических данных и теоретических результатов.
Данная главе посвящена системе Эно - простейшей двумерной дискретной системе, обнаруживающей бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода. Рассматривается аттракторы как детерминированной, так и стохастической системы Эно. Исследуется, введенная в главе 1, характеристика чувствительности для данной системы. Результаты численного эксперимента сопоставляются с теоретическими результатами. При помощи функции чувствительности строятся доверительные эллипсы и плотности вероятности случайных состояний вокруг детерминированного аттрактора. Для коэффициента стохастической чувствительности цикла установлен закон геометрического роста при переходе через каскад бифуркаций удвоения периода.
Двумерные отображения представляют собой один из наиболее важных и интересных объектов изучения в теории динамических систем и теории бифуркаций [25, 27, 33, 56]. Они интересны как сами по себе, так и по той причине, что могут выступать как сечения Пуанкаре трехмерных потоков [27].
В предыдущей главе мы познакомились с логистическим одномерным отображением. Теперь построим двумерный аналог данного отображения. Для системы Ферхюльста, описывающей динамику популяции, мы предполагали, что численность популяции в (+1)-ый год зависит лишь от численности в t-ый год. Предположим теперь, что память "глубже" -численность в (t + 1)-ый год зависит и от численности в (t — 1)-ом году. Эта зависимость должна быть слабой, поэтому будем полагать ее линейной. Тогда динамика популяции может быть записана в виде где Ь - некоторый новый коэффициент.
Введем новую переменную yt+i = xt. Тогда отображение примет вид Это и есть искомое двумерное отображение. Если использовать другое представление для квадратичной функции, то это отображение можно записать в виде
Такое отображение впервые предложил французский астрофизик Мишель Эно, и оно носит его имя. Эно не использовал биологическую интерпретацию, а исходил из другой мотивации. Он искал простейшие двумерные квадратичные отображения со сложной динамикой. Физической системой, приводящей к отображению Эно, может служить дис-сипативный осцилятор под воздействием внешней силы, величина которой нелинейным (квадратичным) образом зависит от координаты осцилятора [27].
В работе мы будем рассматривать отображение Эно при b = 0.5. В этом случае система будет выглядеть следующим образом
На рис. 19 показано бифуркационное дерево отображения Эно при b = 0.5. Можно видеть, что оно не только демонстрирует рождение устойчивого 2-цикла из неподвижной точки, но и весь каскад бифуркаций удвоения периода, хаос и окна непериодичности в хаосе. Новым является то, что дерево иногда скачком "разбухает". Такое явление в нелинейной динамике называют кризисом.
Для системы (49) проследим поведение решения в зависимости от управляющего параметра /г. Рассмотрим бифуркационную 3D диаграмму при /а є (1.6, 2.5) (рис. 18). На диаграмме видны как каскады бифуркаций удвоения периода, так и вид странного аттрактора. Более детально структура бифуркационного дерева изображена на рис. 19 в плоскости переменных (fj,, х). Для системы (49) имеем следующие интервалы структурной устойчивости: IQ — (0, 1.68), її « yt+i = xt + є2) t , где i t, 2,t последовательности независимых гауссовых случайных величин, Eiit = E2,t — 0; E\t = E t = 1; E i t 2,t — 0, а є интенсивность шумов.
Рассмотрим бифуркационную диаграмму системы (50) при различной интенсивности внешнего воздействия (рис. 20). Под воздействием случайных возмущений траектории покидают аттрактор детерминированной системы (49), формируя вокруг него стохастический аттрактор с соответствующим стационарным вероятностным распределением. В присутствии шума тонкая структура детерминированного аттрактора размывается (рис. 20). Как видно из рисунка 21 разброс случайных состояний неоднороден. При изменении параметра ц на интервале структурной устойчивости, дисперсия заметно меняется, резко возрастая вблизи точек бифуркации аналогично одномерному отображению. На интервале 1\ наблюдается различие в разбросе случайных состояний вокруг точек ж1;1 (fj),xit2(fj,), соответствующих детерминированному 2-циклу. Детальную картину указанных особенностей зависимости разброса траекторий для различных точек аттрактора от параметра ц дает функция стохастической чувствительности.
Анализ ОСБ одномерных систем с использованием аппарата ФСЧ
Для 2-цикла системы Ферхюльста (/л = 3.03) на рис. 43 приведены графики плотности р(х,е), полученные с использованием (32) при значениях интенсивности шума є = 0.016, є = 0.017. Функция р(х, є) на рис. 43 а) имеет три локальных экстремума, а ее график - бимодальную форму. Функция р(х, є) на рис. 43 б) имеет один экстремум, а ее график - унимодальную форму. Таким образом, точка обратной бифуркации принадлежит интервалу (0.016; 0.017). Механизм данной ОСБ наглядно представлен на рис. 44, где черным цветом указаны ажоординаты максимумов, а серым цветом ж-координата локального минимума. При значении є = 0.0164 локальный минимум сливается с одним из локальных максимумов, что и определяет точку бифуркации. При є 0.0164 на диаграмме существует уже только одна точка локального максимума.
Пусть e (fj) - критическое значение интенсивности шума, отвечающее первой ОСБ, найденное с помощью ФСЧ. Функция є (/І) является теоретической оценкой для зависимости є(ім), полученной эмпирическим способом. Рассмотрим поведение функции є на интервале 1\ и/ги/з- На рис. 46 график e (/j) представлен черным цветом, а е(ц) - серым. Как видно из данного рисунка, график є ([і) демонстрирует самоподобие на интервалах h, hi h- На каждом из этих интервалов функция s (fi) сначала возрастает, а затем убывает.
Сравнивая поведение є((і) и є (іх) можно сделать следующий вывод. Метод, основанный на функциях стохастической чувствительности, позволяет достаточно точно найти бифуркационные значения, отвечающие первой ОСБ на левых концах интервалов структурной устойчивости. На правой части интервалов наблюдается расхождение между эмпирической е(ц) и теоретической є (/л) кривыми. Это расхождение вызвано возрастанием расстояния между соседними точками детерминированного цикла Г, что приводит к ухудшению аппроксимации плотности вероятности, даваемой аппаратом функций стохастической чувствительности, изначально введенным для малой окрестности аттрактора в предположении малых возмущений.
Поведение величины є (рис. 46) при увеличении /j, согласуется с общим характером роста функции стохастической чувствительности Wi(fj) (рис. 47), найденной в главе 2. Между поведением данных двух графиков наблюдается обратная зависимость. Всплески графика Wi(fj) соответствуют участками резкого убывания критического значения є (/і). Это можно интерпретировать следующим образом: резко возрастающая при //-)- чувствительность цикла к случайным возмущениям свидетельствует о том, что для слияния соседних петель требуется все меньшая интенсивность шума. Точки локального минимума функции W\(p) на интервалах Ik (значения стохастических 2/с-суперциклов) соответствуют интервалам максимального значения функции є {ц). Старшие ОСБ циклов системы Ферхюльста
На примере 4-цикла (/х = 3.46) и 16-цикла ([л = 3.566) рассмотрим поведение аппроксимации плотности вероятности р(х) при старших ОСБ. На рис. 48 черным цветом изображены графики аппроксимации плотности р(х) для \± — 3.46 при нескольких значениях интенсивности шума е. Серым цветом изображены графики эмпирической плотности. На графике р(х) при є = 0.001 (рис. 48а) наблюдаются четко выраженные 4 всплеска. При є = 0.004 всплески аппроксимации в каждой из пар начинают сливаться (рис. 486). При є — 0.02 - также как и для эмпирической плотности наблюдаются два всплеска (48е). Дальнейшее увеличение є приводит к тому, что форма графика аппроксимации р(х) становится унимодальной - на рис. 48г при є = 0.08 наблюдается только один всплеск. Продемонстрированное поведение аппроксимации плотности вероятности соответствует ОСБ перехода исходного 4-цикла в 2-цикл и далее в 1-цикл при увеличении интенсивности шума є.
На рис. 49 для /І = 3.566 изображены графики аппроксимации плотности р(х) (черный цвет) и эмпирической плотности вероятности (серый цвет) при нескольких значениях интенсивности шума є. При є = 0.0001 график р(х) имеет 16 всплесков (рис. 49а) , при є = 0.0002 - 8 всплеска (рис. 496) , при є — 0.002 - 4 всплеска (рис. 49в), при є = 0.01 - 2 всплеска (рис. 49г), а при є = 0.05 - только один всплеск (рис. 49д).
