Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Спектрально-корреляционный анализ аттракторов спирального типа. (Численное моделирование) 27
1.1 Аттракторы спирального типа. Строение и свойства 28
1.2 Модель узкополосного случайного процесса 39
1.3 Введение фазы 46
1.4 Исследование статистических свойств мгновенной фазы в системах Ресслера и Генераторе с инерционной нелинейностью . 48
1.5 Связь коэффициента диффузии фазы и ширины спектральной линии узкополосного случайного сигнала. Теорема Винера-Хинчина: связь декремента затухания АКФ и ширины спектральной линии 54
1.6 Диффузия фазы в активной неоднородной среде, описываемой уравнением Гинзбурга-Ландау 59
1.7 Выводы по первой главе 68
Глава 2. Спектрально-корреляционный анализ аттракторов переключательного типа (численное моделирование) 71
2.1 Аттракторы переключательного типа 71
2.2 Квазигиперболический аттрактор Лоренца 78
2.3 Исследование свойств автокорреляционной функции в системе Чуа 84
2.4 Анализ долговременных корреляций 87
2.5 Выводы по второй главе 93
Глава 3. Экспериментальное исследование спектрально-корреляционных свойств хаотических аттракторов . 95
3.1 Экспериментальные установки 95
3.2 Методика проведения эксперимента 97
3.3 Исследование систем Ресслера и ГИН 100
3.4 Экспериментальное исследование закономерностей спада автокорреляционных функций в системах с аттракторами спирального типа 108
3.5 Экспериментальное исследование аттракторов переключательного типа 110
3.6 Выводы по третьей главе 113
Заключение 115
Список литературы 120
- Исследование статистических свойств мгновенной фазы в системах Ресслера и Генераторе с инерционной нелинейностью
- Диффузия фазы в активной неоднородной среде, описываемой уравнением Гинзбурга-Ландау
- Исследование свойств автокорреляционной функции в системе Чуа
- Экспериментальное исследование закономерностей спада автокорреляционных функций в системах с аттракторами спирального типа
Введение к работе
Открытие детерминированного хаоса стало одним из фундаментальных результатов последних десятилетий. Это открытие оказало принципиальное влияние на формирование новых взглядов в области динамических систем. Если раньше считалось, что сложное непериодическое поведение динамической системы связанно с внешним флуктуационньш воздействием (), то в настоящее время известно, что во многих случаях такое сложное поведение определяется именно детерминированной частью f(xt t).
Хаотические автоколебания можно обнаружить в системах любой природы: в биологии, физиологии, физике, химии и т.д. Был предложен ряд способов скрытой передачи, базировавшихся на применении в качестве несущего сигнала широкополосных колебаний генератора хаоса. /1,2/ Математическим прообразом хаотических колебаний является гиперболическое множество, при движении по которому близкие траектории экспоненциально разбегаются. Для динамических систем с диссипацией {divV 0) комбинация экспоненциального разбегания траекторий и сжатия объема фазового пространства приводит к появлению специфического хаотического множества, имеющего нулевой объем и ненулевую нецелую размерность. Такое множество носит название "странный"аттрактор, которое было введено Рюэлем и Такенсом в 1971 году в работе "О природе турбулентности". /З/ В этой работе было дано строгое доказательство существования незатухающих непериодических автоколебаний в детерминированной системе с конечным числом степеней свободы.
Как правило, хаотическая ДС описывается системой нелинейных ОДУ или нелинейным уравнением в частных производных или нелинейным дискретным отображением. /4-6/ Решение ДС в аналитическом виде практически невозможно, и во многих практических задачах ОДУ исследуются численно. /7—9/ Помимо этого, в большинстве случаев нет необходимости знать точное решение, а нужно лишь иметь представление о свойствах ДС К таким свойствам можно отнести статистические и спектрально-корреляционные свойства системы. /10-12/ При этом, в силу того, что хаотические колебания во многом напоминают случайный процесс, отождествление их с конкретным случайным процессом, описывающим в какой-то мере свойства хаотических колебаний, является весьма актуальной задачей. /13-23/
Одной из парадигм теории динамического хаоса является то, что локальная неустойчивость траекторий влияет на глобальную динамику системы и обеспечивает путь к появлению сложного, кажущегося случайным, поведения. /10-12,22-30/ С точки зрения математики, неустойчивость траекторий соответствует гиперболичности системы. Наиболее "сильная"гиперболичность появляется в системах Аносова (У- системы). /24,25,31-38/ Системы Аносова существуют только на некоторых многообразиях, и было показано, что не все многообразия подходят для У-систем. Для изучения статистических свойств систем с локальной неустойчивостью траекторий был развит аппарат эргодической теории, которая была впервые описана в работах Аносова, Синая, Рюэля и Боуэна. /24,36,39,40/ Первые работы рассматривали в основном системы Аносова, однако впоследствии стало ясно, что системы Аносова практически не встречаются в реальных задачах, но при этом являются удобной моделью для теоретических исследований. Наиболее распространенными оказались "дикие" /41/ - негиперболические - системы. Последующие работы по эргодической теории распространили большинство результатов гиперболических систем на негиперболические, с близким к гиперболическим характеристиками. /22,26,30,42-72/ Для этого была введена определенная классификация негиперболических систем.
• Неравномерная гиперболичность. Все точки гиперболические, но гиперболичность неравномерна. Ляпуновские показатели зависят от координат точки. /62,68,73/
-7 • Частичная гиперболичность. Позволяет существование касательных направления с нейтральной устойчивостью, но требует гиперболичности во всех других касательных направлениях. Орбиты не обязаны быть гиперболическими, но все они имеют гиперболические части. /50/
• Доминирующее расщепление. Инвариантное множество разделено на две (или более) части. Причем максимальное разбегание в одной из них ограничено сверху наименьшим разбеганием в другой. /74/
Концепция гиперболичности в общем смысле встречается в работах Хопфа и Хедлунда (Hedlund) по анализу геодезических потоков на многообразиях с отрицательной кривизной. Строгое определение было аксиоматизировано в 1960-х Смейлом, который предложил геометрическую теорию динамических систем и сформулировал Аксиому-А /37/ . Как правило, рассматривается С2 диффеоморфизм / на Римановом многообразии М, и множество ЛсМ инвариантное относительно /.
Строгое математическое определение гиперболической системы дает вполне четкое представление об устройстве фазового пространства системы.
Важным свойством гиперболических систем является динамическая неустойчивость, означающая то, что любые две изначально близкие траектории экспоненциально расходятся в прямом и обратном направлении. Сложная динамика гиперболических систем связывается с понятием странного хаотического аттрактора. При этом для консервативных У-систем Аносова под аттрактором можно понимать все многообразие М, что позволяет обобщать результаты как на диссипативные, так и консервативные динамические системы. /75/ В силу того, что поведение траектории системы в фазовом пространстве весьма сложно и во многом напоминает случайный процесс, был предложен статистический подход к изучению основных свойств системы. Таким образом, рассматривается не поведение траекторий, а свойства скалярной функции - меры /І(Л) , сосредоточенной (определенной) на аттракторе. Для гладкой динамической системы доказано существование инвариантной относительно оператора эволюции меры /j,(f 1(A)) — }i{A), /10,40,76-78/ Однако не все меры интересны для изучения. Как правило, наибольший интерес представляют меры, связанные с физически наблюдаемыми процессами. /10/ Так, для Гамильтоновых систем объектом изучения является мера Лиувилля, хотя Гамильтоновы системы имеют еще много инвариантных мер. Казалось бы, что для любой динамической системы можно ввести аналог меры Лиувилля как элементарный объем в фазовом пространстве. Однако такое определение меры для аттракторов приводит к тому, что такая мера должна быть сингулярной в силу сжатия объема фазового пространства. Для случая Аксиома-А систем, Синай /40/ Рюэль /36/ и Боуэн /27/ обнаружили специальные инвариантные меры, которые описывают поведение динамической системы и являются при этом непрерывными. Такая мера называется SRB мерой. К сожалению, построение такой меры даже для гиперболических систем является сложным, а для негиперболических - невозможным. Как правило для приближенного построения меры используется натуральная или вероятностная мера. Данная мера основана на теореме о возвращении Пуанкаре и теореме Каца /79/ , позволяющих ввести меру множества А как среднее время возврата траектории в это множество:
Для построения аппроксимации натуральной меры аттрактор динамической системы покрывают объединением элементарных множеств С,- размером е(сфер, кубов и т.п.) с центрами в точках аттрактора. Тогда натуральная мера, сосредоточенная на аттракторе, может быть описана мерой покрытия аттрактора. Вероятностная мера показывает, как часто траектория посещает различные участки аттрактора. Для гиперболических аттракторов, такое введение натуральной меры обосновано математически, в то время как для негиперболических систем построенная натуральная мера может существенно меняться при изменении покрытия аттрактора.
Важность наличия инвариантной меры заключается в том, что она сохраняет все статистические свойства динамики системы. /10,76/ При этом имеется ряд основных и важных свойств инвариантных мер. Первым важным свойством является свойство эргодичности. Пусть \і есть инвариантная относительно оператора эволюции динамической системы / мера. Тогда мера р, будет эргодической, если не существуют измеримые множества Л,ЛС = М\Л такие, что f-\A) = А/_1( с) = АС,КА) Є (0, l),ju(Ac) є (0,1) Данное определение эргодичности означает, что мера не будет эргодичной, если существуют по крайней мере два подмножества А, Ас принадлежащие М, которые не взаимодействуют друг с другом. То есть траектория из множества А никогда не попадет во множество Ас и наоборот. При этом оба множества А, Ас инвариантны относительно оператора. Таким образом, динамические свойства оператора / на множестве Л полностью независимы от свойств этого оператора на множестве Ас. Для эргодической меры можно говорить о статистической когерентности динамики в типичной точке, ассоциированной с эргодической мерой и общей динамикой системы. Для эргодических мер существует широко известная теорема Биркхгофа,
Существует также особый класс отображений, введенных в рассмотрение Viana. /87/ Подобные негиперболические отображения имеют различный спад корреляции, например:
Таким образом, для негиперболических систем нельзя заранее определить вид спада корреляционной функции. Экспоненциальный спад корреляции характерен для гиперболических систем или близких к ним, в то время
- 13 как для негиперболических систем спад корреляции определяется во многом видом нелинейности и не может быть рассмотрен в рамках линейного анализа.
Когда хаотические системы изучаются в компьютерных или физических экспериментах, обычно рассчитываются или измеряются вероятностные характеристики, такие как стационарное распределение вероятности по аттрактору, корреляционные функции, спектры мощности и другие. Хаотические колебания, математическим образом которых являются разные типы хаотических аттракторов, характеризуются различными статистическими свойствами и различной степенью чувствительности к воздействию шума. /11-13,88-95/
С точки зрения строгой теории, гиперболический хаос часто называют "идеальным"хаосом. Он характеризуется топологически однородной и устойчивой к возмущениям структурой. /24, 37, 96,97/ Однако странные хаотические аттракторы динамических систем, как правило, не являются грубыми гиперболическими. /11,41,98/ Близкие к гиперболическим (квазигиперболические) аттракторы содержат неустойчивые орбиты типа петель сепаратрисы. Их рождение и исчезновение не влияют на такие характеристики хаоса, как фазовый портрет аттрактора, спектр мощности, показатели Ляпунова и другие. Динамические системы в хаотическом режиме могут характеризоваться инвариантной мерой, которая не зависит от начального распределения и полностью определяет статистические свойства аттрактора. Существование инвариантной меры теоретически доказано для грубых гиперболических и квазигиперболических систем. /10,36,76,99-101/
В большинстве своем хаотические аттракторы, которые исследуются численно и экспериментально, являются негиперболическими. /11,41, 98,102,103/ Проблема существования инвариантной меры на негиперболическом хаотическом аттракторе связана с серьезными трудностями, так как в общем случае невозможно ввести стационарное распределение вероятности, не зависящее от начального распределения. Негиперболический аттрактор является максимальным аттрактором динамической системы и включает в себя счетное множество регулярных и хаотических притягивающих подмножеств. /41,98,102,103/ Поэтому об инвариантной мере негиперболического аттрактора можно говорить лишь при условии воздействия внешнего шума. /104,105/ Негиперболические аттракторы, как правило, резко меняют свои свойства под действием шума /93,106,107/ , в то время как гиперболические и квазигиперболические аттракторы устойчивы к шумовым возмущениям. /93,106,108,109/
Статистическое описание негиперболических хаотических аттракторов с шумом является важной и до сих пор нерешенной задачей теории динамического хаоса. Одна из проблем состоит в изучении процессов установления стационарного распределения во времени. /НО/ Возникает ряд фундаментальных вопросов, на которые пока нет четких ответов. Каково реальное время установления стационарного распределения? Какие факторы определяют это время? Какие характеристики могут количественно оценить время установления стационарной меры? Как отражается статистика и интенсивность шума на закономерностях процесса установления стационарного распределения? Есть ли связь между процессом установления и динамикой системы? Частично ответы на эти вопросы получены в /13,111/ методами компьютерного моделирования.
Процесс установления стационарного распределения описывается эволюционными уравнениями типа уравнений Фоккера-Планка или Фробе-ниуса-Перрона. Собственные значения и собственные функции оператора эволюции задают процесс установления и характеристики перемешивания, которые связаны с установлением инвариантной вероятностной меры. Однако, если динамическая система имеет большую размерность (N 3), то решение уравнений Фоккера-Планка и Фробениуса-Перрона практически невозможно найти даже численно. Поэтому в исследованиях, описанных в /13,111/ , использовался метод стохастических дифференциальных уравнений, записанных в виде уравнений Ланжевена.
Хаотическая динамика по определению означает наличие переме - 15 шивания и, следовательно, положительность энтропии Колмогорова. Перемешивание ведет к спаду автокорреляционных функций во времени до нуля (расцепление корреляций). Состояния системы, отделенные достаточно большим интервалом времени, становятся статистически независимыми. /10,29,76,79,112/ Важно отметить, что любая система с перемешиванием является эргодической. Для хаотических динамических систем расцепление корреляций во времени связано с экспоненциальной неустойчивостью хаотических траекторий и со свойством системы порождать положительную энтропию Колмогорова-Синая. /10, 29, 76,79,112/ Важно отметить, что любая система с перемешиванием является эргодической. Для хаотических динамических систем расцепление корреляций во времени связано с экспоненциальной неустойчивостью хаотических траекторий и со свойством системы порождать положительную энтропию Колмогорова-Синая. /10,29,76,79,81,112,113/ Энтропия Колмогорова, или метрическая энтропия /t (/), является мерой сложности с точки зрения подходов теории информации. Энтропия Колмогорова-Синая введена в работах. /81,113,114/ Грубо говоря, энтропия Колмогорова-Синая есть мера неопределенности при попытке предсказать будущее поведение траекторий, зная их предысторию. Ее смысл можно понять из теоремы Шенона-Брейман-МакМиллана /75/ : Пусть а есть конечное разбиение многообразия М. Для п 0 введем разбиение ап, элементы которого образуют множество ап(х) := {у Є М : рх и ру относятся к одному элементу разбиения а для всех 0 г п}. В предположении, что (/, д) эргодич-но, теорема Шенона-Брейман-МакМиллана говорит, что существует такое число h (которое может быть истрактовано как энтропия), что при больших п можно покрыть многообразие М покрытием, состоящим из N РУ ehn элементов ап, причем каждый элемент будет иметь меру ft « e hn.
Несмотря на существенную важность, свойства корреляции хаотических процессов изучены недостаточно. Часто полагают, что автокорреляционные функции хаотических систем экспоненциально спадают со скоростью, определяемой энтропией Колмогорова, /112/ При этом считается, что энтропия Колмогорова #к ограничена сверху суммой положительных ляпуновских показателей. /10,115/ К сожалению, в общем случае негиперболических систем эта оценка оказывается неверной.
Для некоторых классов дискретных отображений с перемешиванием (растягивающие отображения с непрерывной мерой и диффеоморфизм Аносова) доказано, что спадание корреляций во времени ограничено сверху экспоненциальной функцией. /36,39,88,116/ Существуют разные оценки скорости этого экспоненциального спадания, которые не всегда связаны с показателями Ляпунова. /13,66,83,117/ Что касается систем с непрерывным временем, то теоретических результатов по оценке скорости расцепления корреляций до сих пор нет. /27,77,118/
Экспериментальные исследования отдельных хаотических систем свидетельствуют о сложном поведении корреляционных функций, которое определяется не только положительными показателями Ляпунова, но и закономерностями хаотической динамики системы. /13,83,117,119/ Важно выявить конкретные характеристики хаотической динамики, отвечающие за скорость спада автокорреляций и ширину спектральной линии базовой частоты хаотического аттрактора.
Для потоковых хаотических систем, особенно для систем, не обладающих свойством гиперболичности, теоретических результатов для описания корреляционных свойств колебаний нет. В тоже время, именно негиперболические потоковые системы являются самыми распространенными. Для исследования негиперболических систем обычно используются численные методы. В силу того, что система является хаотической, можно использовать усреднение как по ансамблю траекторий, так и по времени. При общем статистическом исследовании системы решается несколько типичных задач. Первая задача состоит в определении типа аттрактора системы, для чего исследуют структуру аттрактора. Методы исследования структуры аттракторов были рассмотрены в диссертационных работах Г.И. Стрелковой /126/ и А.С. Копейкина. /127/ В первой работе рассматривались аттракторы дискретных отображений, для которых были сформулированы критерии гиперболичности и негиперболичности аттрактора. Был применен метод исследования распределения угла пересечения между устойчивыми и неустойчивыми многообразиями на аттракторе. Показано, что при отсутствии пересечений под нулевым углом аттрактор будет квазигиперболический, а при наличии пересечения под нулевым углом - негиперболический. Во второй работе /127/ метод исследования угла пересечений многообразий был модифицирован и успешно применен для потоковых систем. В данной работе также рассматривался процесс установления вероятностной меры и процесс перемешивания. Было показано, что для квазигиперболических аттракторов различные характеристики перемешивания не зависят от интенсивности шума. В то же время, для негиперболических аттракторов спирального типа показано, что скорость перемешивания существенно зависит от интенсивности шума при неизменном положительном ляпуновском показателе. Такая чувствительность объяснялась процессом диффузии фазы и его чувствительности к шуму. Однако причины появления диффузии фазы в детерминированной системе не указывались.
-23 Сформулированные выше вопросы и задачи определили цель диссертационной работы, которая заключается в исследовании статистических свойств хаотических аттракторов спирального и переключательного типов и сопоставления им классических моделей случайных процессов. Так, для аттракторов спирального типа прежде всего исследовалась возможность использования формализма амплитудных и фазовых флуктуации. Исследовался процесс фазовых "флуктуации", его связь со структурой аттрактора. Детально исследовались статистические характеристики динамики фазы с целью сопоставления его с классическим Винеровским процессом. Исследовалась возможность описания спектрально-корреляционных свойств хаотических автоколебаний с помощью модели узкополосного случайного процесса. Оба типа аттракторов широко распространены в нелинейной динамике. К системам, обладающим аттрактором спирального типа, относятся хорошо известные системы Ресслера, Генератор Анищенко-Астахова, генератор Чуа. К системам, обладающим аттрактором переключательного типа - система Лоренца, генератор Чуа, модель геодинамо, и многие другие.
Для достижения указанной цели было необходимо решить следующие основные задачи:
1. Выбрать те значимые статистические свойства, которые будут использоваться в качестве критерия выбора модели случайного процесса.
2. Найти классические модели случайных процессов, описывающих статистические свойства аттракторов спирального и переключательного типов.
3. Исследовать границы применимости найденных моделей.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе рассматриваются системы с аттракторами спирального типа. Сопоставляются ста -24 тистические свойства модели узкополосного случайного процесса и спирального аттрактора. Исследуется связь между отдельными динамическими характеристиками динамической системы и процессом перемешивания. Исследуется возможность описания статистических свойств спиральных аттракторов в терминах узкополосного случайного процесса. Рассматривается метод расчета эффективного коэффициента диффузии фазы. Рассматривается возможность использования модели узкополосного случайного сигнала в присутствии белого гауссова шума. Во второй главе рассматриваются аттракторы переключательного типа. Исследуется особенность строения фазового пространства системы и ее влияние на статистические свойства аттрактора. Рассматривается модель квазислучайного телеграфного сигнала и ее применимость для описания статистики переключений. В третьей главе описывается методика проведения натурных экспериментов на радиофизических моделях исследуемых систем. Рассматриваются полученные экспериментальные результаты и производится сравнение с результатами численных расчетов.
Диссертация состоит из введения, 3-х глав и заключения.Работа содержит 135 страниц текста, включая 45 рисунков, 1 таблицу и срисок литературы из 182 наименований.
Научная новизна работы
• В численном и физическом эксперименте впервые детально проанализирована возможность статистического описания свойств спиральных (фазокогерентных) хаотических аттракторов с помощью классической модели узкополосного случайного процесса.
• Показано, что закономерности спада автокорреляционной функции на больших временах и ширина спектральной линии базовой частоты определяются коэффициентом эффективной диффузии мгновенной фазы. Резкий спад АКФ на малых временах и форма "шумового пьедестала"в спектре определяются экспоненциальным разбеганием траекторий.
-25 • Показано, что воздействие на систему внешнего белого дельта-кор-релированного шума не изменяет характера статистических свойств спирального аттрактора, приводя лишь к увеличению эффективного коэффициента диффузии фазы.
• Показана связь между структурой многообразий и статистикой переключений в системах с аттрактором переключательного типа.
• Для аттракторов переключательного типа показана возможность описания спектрально-корреляционных свойств хаотических автоколебаний с помощью классической модели квазислучайного телеграфного сигнала.
Достоверность научных результатов основывается на использовании при численных расчетах отработанных численных методов и стандартных программ, а также соответствием результатов численных расчетов теоретическим предпосылкам и хорошим совпадением прямых физических экспериментов на радиотехнических системах.
Положения, выносимые на защиту
Спектрально-корреляционные характеристики хаотических автоколебаний в системах со спиральным типом аттрактора и с аттрактором переключательного типа могут быть описаны с помощью классических моделей случайных процессов.
1. Системам со спиральным типом аттрактора можно поставить в соответствие квазигармонические колебания в присутствии шума - классическую модель узкополосного случайного процесса.
2. Системам с аттрактором переключательного типа соответствует классическая модель случайного телеграфного сигнала.
Научно-практическое значение результатов работы.
Полученные результаты предоставляют специалистам в области экспери -26 ментальных исследований хаоса достоверные характеристики, определяющие процесс перемешивания и позволяющие получить аналитическое описание спектрально-корреляционных свойств систем с аттракторами спирального и переключательного типов.
Исследование статистических свойств мгновенной фазы в системах Ресслера и Генераторе с инерционной нелинейностью
Аппарат эргодической теории динамических систем все еще слабо развит для систем с непрерывным временем - потоков. Даже в случае гиперболических систем вопрос о статистических свойствах и закономерностях остается открытым. /56,75/ В 1975 году Рюэль и Боуэн поставили вопрос касательно спада корреляции для потоков Аносова: "Спадает ли корреляция для перемешивающих потоков Аносова с инвариантной мерой Гиббса для гладких функций /, д экспоненциально во времени?" В общем случае ответ оказался отрицательным. Контрпримеры были приведены в работах Ргоэ-ля /128/ и Полликотта /33/ , где были показаны примеры потоков Аносова со спадом корреляции существенно медленнее по сравнению с экспонентой.
Для определенных гиперболических потоковых систем, в основном для геодезических потоков, на многообразиях с постоянной отрицательной кривизной было показано, что спад корреляции экспоненциальный. /72, 129,130/ Однако эти результаты не могут быть распространены на потоки Аносова в общем случае. /56/
Слабо развитая корреляционная теория для потоков резко контрастирует с хорошо изученными корреляциями в отображениях. Причиной того, что найти корреляцию для потоковых систем существенно сложнее, чем для отображений, является наличие нулевого Ляпуновского показателя в направлении потока. Непрерывное отображение фь в данном случае относится к частично гиперболическим системам /50/ для любого t = Ж. Другими словами, отсутствие экспоненциального разбегания в направлении потока приводит к тому, что механизм перемешивания существенно отличается от перемешивания в дискретных отображениях. /56/
В данной главе рассматриваются динамические системы, обладающие негиперболическими аттракторами спирального типа. Для таких систем не существует никакой аналитической теории в силу их негиперболичности. Прямым следствием негиперболичности является структурная неустойчивость аттрактора - в силу наличия касания многообразий. /16/ В данной главе исследуется механизм возникновения перемешивания и его связь со структурой аттрактора и экспоненциальным разбеганием. Исследуется возможность сведения описания динамической системы с аттрактором спирального типа к классической модели "гармонического"шума. Производится проверка применимости данной модели и в случае внешнего аддитивного -коррелированного шума.
Спиральные (или фазово-когерентные) аттракторы возникают в окрестности петли сепаратрисы седло-фокуса, формируются в результате бифуркаций удвоения периода и относятся к хаотическим аттракторам негиперболического типа. /11,12,131/ Спектр мощности режима спирального хаоса характеризуется ярко выраженным пиком на базовой (средней) частоте, вследствие чего огибающая автокорреляционной функции спадает относительно медленно. Примером могут служить спиральные аттракторы в модели Ресслера /132/ , в генераторе с инерционной нелинейностью Анищенко-Астахова /11/ , в цепи Чуа /133/ и др. Автоколебания в них напоминают динамику зашумленных периодических осцилляторов типа осциллятора Ван-дер-Поля. В частности, они характеризуются конечной шириной спектральной линии на базовой частоте /134/ и демонстрируют эффекты вынужденной и взаимной синхронизации /135/ . С физической точки зрения хаотические аттракторы такого типа обладают свойствами зашумленного предельного цикла. Однако спиральные аттракторы реализуются в полностью детерминированных системах (т.е. в отсутствии шумов). В данной главе будут рассматриваться классические модели нелинейной динамики, обладающие спиральными аттракторами: система Рееслера и генератор с инерционной нелинейностью Анищенко-Астахова. Обе системы имеют размерность фазового пространства, равную трем, и описываются системами уравнений (1.1) и (1.2)
Рассмотрим процесс установления вероятностной меры на аттракторе в системе Ресслера /13/ . Скорость установления инвариантной вероятностной меры в детерминированных системах с перемешиванием определяется скоростью перемешивания. /10,13,116/ При этом для гиперболических систем (по крайней мере, для отображений) скорость перемешивания должна определяться энтропией Колмогорова-Синая, численно равной значению суммы положительных ляпуновских показателей системы (1.3) . /10/
Вычислить непосредственно скорость установления меры весьма затруднительно. Теоретически процесс установления меры описывается уравнением Фоккера-Планка. Однако решить аналитически или численно уравнение Фоккера-Планка для системы Ресслера практически невозможно. В качестве оценки скорости установления меры на аттракторе можно исследовать поведение различных статистических характеристик. /13/ Как правило, в численном эксперименте удобно исследовать процесс установления средних значений и дисперсии различных переменных системы. В качестве таких переменных можно взять одну из фазовых переменных системы - величину радиус-вектора изображающей точки (1.4) или мгновенную амплиту-ДУ (1-5) .
Диффузия фазы в активной неоднородной среде, описываемой уравнением Гинзбурга-Ландау
В случае Винеровского процесса B(t) = const ,но если процесс слегка отличается от Винеровского, то коэффициент диффузии фазы зависит от времени. При этом рост дисперсии фазы имеет доминирующий линейный характер. Эта линейная составляющая позволяет ввести эффективный коэффициент диффузии фазы Вед, который может быть получен, например, с помощью метода наименьших квадратов. Преимуществом данного метода является то, что он не требует знания характера распределения экспериментальных данных, и применяется при исследовании данных, вероятностная модель которых заранее не известна. В наших исследованиях мы использовали метод наименьших квадратов с аппроксимирующей функцией /(f) = at 4- Ь, где оиб- коэффициенты, определяемые методом наименьших квадратов. Эффективный коэффициент диффузии BCR может быть вычислен через коэффициенты аппроксимации в виде Ве$ = 1/2а. При этом ошибка определения эффективного коэффициента диффузии фазы будет определяться ошибкой метода наименьших квадратов. В наших численных экспериментах значение эффективного коэффициента диффузии фазы оказалось равным Ве$ = 0.00016 ±1х Ю-5. На рисунке Рис.11 (в) представлено распределение мгновенных частот. Как видно, распределение не является унимодальным, хотя система демонстрирует наличие характерных частот и временных масштабов. Более того, ни одна из характерных частот в распределении не совпадает со средней частотой ио = {Щ) = 1.068 ±10"4. Автокорреляционная функция мгновенной частоты представлена на рисунке Рис.11 (г) и вычислялась следующим образом:
Автокорреляционная функция мгновенной частоты спадает быстро на временах т ЮТо, однако имеют место ненулевые значения и на больших временах, что говорит о присутствии долговременных корреляций. Таким образом, о независимости приращений фазы можно говорить лишь в некотором приближении.
Характеристики мгновенных фазы и частоты, полученные численно для спирального хаоса в системе Ресслера (1.1) с использованием определения фазы 1.39 отличаются от характеристик для мгновенных фазы и частоты, введенных по определению 1.41 рисунок Рис. 12 Сравнивая результаты, представленные на рисунке Рис. 1.4 и на рисунке Рис.12, можно заключить, что статистические характеристики мгновенной фазы зависят от способа ее введения. Фаза, введенная по определению (1.39) , обладает более сложным распределением, являющимся нормальным лишь в некотором приближении, в то время как распределение мгновенной фазы, введенной по (1.41) , несомненно, является нормальным. При этом, хотя в распределениях фазы и есть различия, дисперсия фазы в обоих случаях ведет себя одинаково. При определении фазы (1.41) эффективный коэффициент диффузии равен BeS = 0.00018 ±2 х 10 5. С точностью до ошибки вычисления в том и другом случае определения фазы коэффициенты диффузии совпадают.
Распределение мгновенной частоты (рисунок Рис.12 (в)) существенно отличается от распределения (рисунок Рис.11 (в)). В то же время средняя частота WQ = 1.0683 ± 10 5 совпадает со средней частотой, рассчитанной по фазе (1.39) . Тот факт, что средняя частота фактически не зависит от способа введения фазы, позволяет использовать ее в качестве характерной частоты системы.
Автокорреляционные свойства мгновенной частоты зависят от способа введения фазы. Так, автокорреляционная функция мгновенной частоты спадает существенно быстрее в случае определения фазы (1.41) по сравнению со случаем определения фазы (1.39) . Таким образом, процесс фазовых флуктуации ближе к Винеровскому процессу при определении фазы (1.41) , чем при других определениях (1.37) , (1.39) . При этом, вообще говоря, конкретная модель фазовой динамики зависит от способа введения мгновенной фазы. Однако при любом способе введения мгновенной фазы некоторые свойства динамики фазы остаются неизменными. К ним можно отнести линейный рост дисперсии фазы, что позволяет провести аналогию между детерминированной динамикой фазы и Броуновской частицей под действием флуктуации или же автогенератора под действием внешней стохастической силы. Однако процесс с линейным ростом дисперсии фазы накладывает ограничения на приращения фазы (мгновенную частоту), которые существенно зависят от способа введения фазы.
Фазовая динамика сама по себе не представляет собой особого интереса с точки зрения экспериментатора. Часто в эксперименте необходимо знать закономерности для наблюдаемых и легко вычисляемых величин. В статистической радиофизике к таким величинам относят спектр мощности, автокорреляции кросс-корреляцию. Эти величины однозначно определены для любой реализации системы. При этом с их помощью можно получить практически все важные характеристики динамической системы. Рассмотрим поведение автокорреляционной функции для а;()-координатьг в системе Ресслера (1.1) . Как упоминалось в разделе 1.1, системы с фазово-когерентными (спиральными) аттракторами можно приближенно описать с помощью модели гармонического шума, разработанной для автогенератора с предельным циклом под действием внешней стохастической силы. Еще раз отметим, что мы рассматриваем чисто детерминированные системы, т.е. без внешнего воздействия. Как было показано в разделе 1.4, динамика мгновенной фазы близка к Винеровскому процессу, по крайней мере, рост дисперсии фазы в целом линейный. Следующим этапом является исследование поведения автокорреляционной функции и спектра мощности хаотических колебаїшй и сравнение их с моделью гармонического шума.
Для этого в численном эксперименте определялись нормированная автокорреляционная функция хаотических колебаний х(t) (серые точки 1), ковариационная функция флуктуации амплитуды КА{І) рассчитанная в соответствии с (1.34) с усреднением по времени, и коэффициент эффективной диффузии фазы eff, рассчитанный в соответствии с (1.44) На Рис. 13 показаны результаты для нормированной автокорреляционной функции Фа;(т) в системе (1.1) без шума и в присутствии шума. АКФ спадает практически экспоненциально как в отсутствие шума (Рис.13 (а) ), так и в присутствии шума (Рис.13 (б) ). Кроме того, как видно на Рис.13 (в) , для т 20 есть интервал, на котором АКФ спадает намного быстрее. Используя уравнение (1.34), можно аппроксимировать огибающую рассчитанной АКФ Фа;(т). С этой целью подставим рассчитанные характеристики КА{Т) ИВ = Век в выражение для нормированной огибающей Фо(т):
Исследование свойств автокорреляционной функции в системе Чуа
Приведенное выше описание корреляционных свойств хаотических систем Рссслера и Анищенко-Астахова, основанное на использовании эффективного коэффициента диффузии фазы, не может быть применено для аппроксимации автокорреляционных функций хаотических колебаний переключательного типа, когда в фазовом пространстве системы есть несколько хорошо различимых состояний, посещаемых траекторией с той или иной вероятностью. В простейшем случае такими хорошо различимыми состояниями могут быть устойчивые точки или циклы. Однако переключения в таком случае могут возникать только при воздействии на систему шума или какой-либо внешней силы /125,178/ . Для ряда хаотических аттракторов, имеющих достаточно сложную структуру, также можно выделить такие состояния, которые являются частями аттрактора, разделенные сложным образом многообразиями седловых точек и циклов. Переходы между этими состояниями возможны, но не в любой момент времени, а только при выполнении некоторых условий /177,179/ . Такие колебания возникают и в рассматриваемой системе Лоренца (2.1). В фазовом пространстве системы Лоренца существуют два симметрично расположенных относительно оси 0Z седло-фокуса, разделенных устойчивым многообразием седловой точки в начале координат. Это устойчивое многообразие имеет сложную структуру, которая позволяет траектории переходить от одного седло-фокуса к другому по некоторым выделенным путям /175,177,179/ (Рис,23).
Раскручиваясь вокруг одного из седло-фокусов, траектория подходит к устойчивому многообразию, откуда она может перепрыгнуть с некоторой вероятностью к другому седло-фокусу. Вращение вокруг седло-фокусов, скорее всего, не вносит существенный вклад в спад автокорреляционной функции, в то время как "случайные"переключения должны определять скорость спада АКФ.
Рассмотрим реализацию по координате X системы Лоренца (Рис.24) . Если ввести в рассмотрение методы символьной динамики, т.е. исключить телеграфный сигнал, полученный по реализации (сплошная линия).
Рассмотрения осциллирующие колебания (вращение вокруг седло-фокусов), то можно получить процесс переключательного характера, подобный телеграфному сигналу. Тогда двумя состояниями системы можно считать нахождение траектории в окрестности одного из двух седло-фокусов, а моменту переключения между этими двумя состояниями будет соответствовать пересечение траектории плоскости YZ. Однако в присутствии шума моменту переключения между состояниями будет уже соответствовать пересечение некоторого слоя с толщиной, зависящей от интенсивности шума. Это связано с тем, что в момент, когда траектория только пересекла границу между двумя состояниями, шум может перебросить траекторию обратно, что будет соответствовать "переключению"за время, близкое к нулю.
Сравним АКФ колебаний x(t) в системе Лоренца Рис.25 (а) с АКФ полученного для данной реализации x(t) телеграфного сигнала (Рис.25 (б) ). Можно утверждать, что время расщепления корреляций и поведение АКФ на этих временах определяются именно переключениями, а вращение вокруг седло-фокусов вносит лишь незначительный вклад в спад АКФ. Следует отметить тот факт, что на малых временах спад АКФ является линейным. Этот факт является замечательным в том смысле, что линейному спаду АКФ соответствует довольно специфичное распределение вероятностей времен пребывания в одном из состояний.
Линейной АКФ соответствует дискретное эквидистантное распределение времен пребывания в виде дельта-пиков, причем вероятность переключения между состояниями равна 1/2 /146,180,181/ Такой тип телеграфного сигнала (квазислучайный телеграфный сигнал) соответствует случайным переключениям между двумя состояниями x{t) = ±а, которые могут происходить только в дискретные моменты времени tn = JTTO+T/, п = 1,2,3,..., где То = const, г} - некоторая случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0,Т]. Если обозначить вероятность того, что в текущий момент времени состояние не изменится, за р, а за q обозначить вероятность того, что состояние изменится в текущий дискретный момент
На Рис.26 (а) представлено распределение длительности импульсов для телеграфного сигнала, соответствующего хаотическим переключениям на аттракторе Лоренца.
Как видно из рисунка, распределение времен пребываний имеет структуру, близкую к эквидистантному дискретному распределению, но пики имеют конечную ширину. Распределение вероятностей переключений за времена, кратные То, где Т0 - минимальное время пребывания в одном из состояний, показывает, что вероятность перехода близка к 1/2. (Рис.26 (б) ) Конечная ширина пиков в распределении и неточное равенство вероятности перехода 1/2 приводит к тому, что АКФ спадает не до нуля, а до некоторой конечной величины, что согласуется с теоретическими результатами /180/ .
Дискретность переключений в системе Лоренца определяется особенностями в структуре многообразий системы. Наличие расщеплений многообразий на два в окрестности х = 0, у = 0 определяет поведение траектории системы таким образом, что вероятность переключения между двумя состояниями равна 1/2 за один оборот вокруг неподвижной точки. Благодаря таким особенностям в поведении траектории, автокорреляционная функция координат ж и у должна определяться выражением (2.3).
Экспериментальное исследование закономерностей спада автокорреляционных функций в системах с аттракторами спирального типа
Для проверки результатов численных экспериментов мы провели натурный эксперимент на радиофизических установках. Были реализованы в виде электронных схем системы Ресслера, генератор Анищенко-Астахова, система Лоренца. Проведение натурного эксперимента на аналоговых моделях можно оправдать следующими причинами: В электронных аналоговых моделях происходят реальные физические процессы. Электронные компоненты имеют неидеальные характеристики в этом смысле уравнения, описывающие схему, отличаются от исходных уравнений описывающих систему. Электронная схема всегда находится под воздействием флуктуации. И, вообще говоря, процессы, происходящие в электронной схеме должны описываться стохастическими уравнениями. В силу теоремы Найквиста все резистивные элементы являются источниками шума. Поэтому система находится под воздействием как аддитивного, так и мультипликативного шумов.
Система Ресслера не является моделью какой-либо реально существующей модели, т.к. была выведена как чисто математическая модель /132/ . Поэтому было проведено прямое аналоговое моделирование системы Ресслера в виде электронной модели на интеграторах /182/ . Принципиальная схема системы Ресслера приведена на Рис.34. Схема выполнена на сдвоенных операционных усилителях общего назначения фирмы National Semiconductor LF412. В качестве аналогового перемножителя используется высокоточный аналоговый перемножитель фирмы Analog Device AD534, с максимальной погрешностью перемножения 0.25%. Параметр b ( V3 на схеме) задавался с помощью источника опорного напряжения REF-02A рассчитанный на напряжение 5.0V и имеющий коэффициент стабилизации 0.006%/V : 0.005%/тЛ. по напряжению и нагрузке соответственно. Данный ИОН имеет высокую температурную стабильность 3 х 10-6/С и нормированное значение напряжение шумов е„ = 20 мкВ. В эксперименте значение параметра системы Ь фиксировалось Ь — 0.2 ± 2.5 х Ю-4 и задавалось при помощи резистивного делителя с точностью сопротивления ±0,5%.
Генератор с инерционной нелинейностью Анищенкс-Астахова является реальным радиофизическим генератором. Его блок-схема представлена на Рис.36. Генератор с инерционной нелинейностью (ГИН) является модификацией генератора Теодор чи ка. Инерционность в ГИН обеспечивается за счет задержки сигнала на инерционном элементе [RC -цепочке) и усилителем с управляемым коэффициентом усиления 2. Принципиальная схема генератора с инерционной нелинейностью, который использовался в экспериментах, представлена на Рис.35. Генератор представляет собой автогенератор на мосте Вина R1C1R2C2 с линейным усилителем и коэффициентом усиления К\ = 1 + (RP1 + ЛР2)ЯЗЯ12 и усилителем с управляемым коэффициентом усиления К2 = 1 + (RP1 + АР2)ЯЗ(Я12 + RQ2{Z)). Параметр д задается постоянной времени RC цепи и равен д = RfCf. Схема выполнена на сдвоенных усилителях LF412. В качестве нелинейной функции F(x) использовалась квадратичная нелинейность В АХ полевого транзистора п— типа.
Целью эксперимента являлось подтверждение результатов, полученных в численном исследовании систем с аттракторами спирального типа. Источники шума всегда присутствуют в реальной физической системе, и поэтому детерминированная математическая модель может не работать в реальном эксперименте. В эксперименте исследовалось поведение мгновенной фазы колебаний хаотической системы. В силу того, что фаза не является наблюдаемой величиной, при проведении эксперимента производилась запись реализаций переменных х, у системы при помощи высокоскоростного АЦП с разрешением в 12 бит. Мгновенная фаза вводилась либо при помощи преобразования Гильберта (1.37) , либо с использованием формулы (1.39) . Для того чтобы можно было сравнивать величины, полученные в численной модели и эксперименте, для всех экспериментальных данных производился пересчет масштаба времени так, что частота основной гармоники спектра математической модели совпадала с частотой основной гармоники сигнала в эксперименте.
В силу того, что в эксперименте нельзя обеспечить статистический ансамбль траекторий, расчет статистических величин велся, где это возможно, с использованием усреднения по времени. Для расчета дисперсии фазы и распределения фазы использовался статистический ансамбль {Л„}, полученный путем нарезания длинной реализации ХІ на определенное количество более коротких длиной L, которые составляли ансамбль из N траекторий.
Таким образом, дисперсия фазы может быть посчитана путем усреднения по такому ансамблю в виде:
В аналоговом эксперименте исследовались также автокорреляционная функция и спектр мощности колебаний x(t). Автокорреляционная функция в предположении эргодичности вычислялась путем усреднения по времени по полученной в эксперименте реализации. При этом длина реализации выбиралась таковой, что ее изменение на 10% приводило к максимальному изменению автокорреляционной функции менее 0.1% по всему интервалу расчета АКФ. Спектр мощности вычислялся также по реализации стандартным методом быстрого преобразования Фурье (FFT) с подвижным окном. Длина окна выбиралась так, что погрешность измерения До -Ве//-В наших экспериментах использовалась длина окна N = 218 точек, с общим числом окон N — 50.
