Введение к работе
Актуальность работы.
Проблема динамического хаоса в системах малой размерности, интересная сама по себе, возникла из стремления понять значительно более сложное поведение распределенных систем. Поэтому естественно, что в процессе изучения путей образования и характеристик хаоса в маломерных системах все большее внимание уделяется исследованию неавтономных и связанных систем с собственной сложной динамикой.
При исследовании подобных систем наблюдаются такие нелинейные явления, как вынужденная синхронизация хаотических колебаний, взаимная синхронизация, пространственные бифуркации развития хаоса, образование и развитие структур.
Понимание сложного поведения неавтономных и связанных систем с хаотической динамикой затруднялось отсутствием единого подхода к проблеме синхронизации хаоса. У различных исследователей это либо переход в результате внешнего воздейтвия от хаотических колебаний к регулярным, либо установление синфазных колебаний в каждом из парциальных связанных генераторов, либо их топологическая эквивалентность. Однако в работах, выполненных под руководством В.С.Анищенко, было предложено обобщить классическое понимание явления синхронизации в виде захвата или подавления собственных частот колебаний на хаотические колебания. Было показано, что эти классические механизмы синхронизации хорошо "работают" для аттрактора седло-фокусного типа {аттрактора, возникшего в результате каскада бифуркаций удвоения, в спектре которого ярко выражен пик на основной частоте). В этом направлении представляется интересным исследовать границы применимости такого динамического подхода к проблеме хаотической синхронизации в системах, в которых реализуются аттракторы более сложного типа.
Взаимодействующие системы обладают рядом особенностей, обусловленных типом и способом введения связи. Помимо универсальных свойств подобия, наблюдаются квазипериодические режимы, не реализуемые в одиночной системе, и их последующее разрушение. Другой интересной особенностью является на-
личие множества сосуществующих режимов (аттракторов), которые имеют свои области притяжения. Этот эффект может быть связан с многовариантностью взаимного фазового сдвига многотактных циклов. Бифуркационные диаграммы в пространстве параметров системы в данном случае имеют многолистную структуру, где каждый из листов соответствует определенному типу колебательного режима. Изучение чувствительности различных колебательных режимов к введению расстройки между парциальными системами, основанное на введенной ранее классификации колебательных режимов при различных типах связи и выявленных механизмах мультистабильности, представляется следующим этапом исследований в этом направлении.
С проблемой влияния внешнего сигнала на собственную динамику нелинейной системы и особенностями взаимодействия связанных систем тесно связана задача исследования квазипериодических колебаний, которые являются характерным режимом в таких системах.
Первая попытка об'яснить переход к хаосу через квазипериодические движения были сделаны ЛД.Ландау, Д.Рюэлем и Ф.Та-кенсом. Практически все экспериментальные исследования были проведены на сложных гидродинамических и других распределенных системах, что связано с поисками экспериментального подтверждения сценария перехода к хаосу в многомерных системах, предложенного Ньюхаусом. Такой переход наблюдался при исследовании вихрей Тейлора в жидкости между вращающимися цилиндрами, в конвекции Релея-Бенара, в распределенных радиофизических системах, таких как генератор с запаздывающей обратной связью, лампа обратной волны, квантовые генераторы.
Но теорема Ньюхауса-Рюэля-Такенса, показывая возможность перехода от квазипериодических колебаний с тремя независимыми частотами к странному аттрактору, не дает полного описания всех возможных бифуркационных явлений, происходящих при данном переходе.
Для ясного понимания механизмов разрушения двумерного тора и возникновения хаоса очень важны результаты качественной тео-
рии (В.С.Афраймович, Л.П.Шильников). Строгие результаты качественной теории дают полную картину возможных путей разрушения резонансного двумерного тора и указывают на возможность возникновения хаотических колебаний в окрестности разрушившегося тора. В работах B.C. Анищенко и его коллег впервые было проведено детальное исследование разрушения двухчастот-ных квазипериодических колебаний в радиофизической системе на основе двупараметрического анализа и сопоставлены данные физического, численного эксперимента и теории.
Работ, посвященных анализу разрушения трехмерного тора, мало. Л.П.Шильниковым было высказанно предположение, что так как в сечении трехмерному тору соответствует инвариантный двумерных тор, для которого справедливы все результаты по разрушению, то сам переход не содержит никаких особенностей.
Все вышеперечисленные результаты касаются разрушения резонансного тора. Но вопрос о механизмах разрушения двух- и трехмерного эргодического тора остается нерешенным. Открытие так называемых странных нехаотических аттракторов (C.Gre-bogi, E.Ott, J.Yorke и др.) позволило по иному взглянуть на проблему перехода от эргодического тора к хаосу и начать исследования в этом направлении.
Высказанные выше соображения определили цель диссертации и задачи экспериментальных и численных исследований.
Цель работы заключается в поиске общих закономерностей явления вынужденной, взаимной и пространственной синхронизации для широкого класса динамических систем, а также в выявлении особенностей, обусловленных их собственной сложной динамикой. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Провести компьютерные и натурные эксперименты по исследованию явления вынужденной, взаимной и пространственной синхронизации хаотических колебаний на примере цепи Чуа, которая обладает рядом интересных особенностей по сравнению с ранее изучаемыми системами.
-
Исследовать особенности эволюции и взаимодействия различных семейств аттракторов как в идентично связанных системах Чуа, так и при введении частотной расстройки между парциальными генераторами.
-
Исследовать особенности синхронизации широкого класса дискретных и дифференциальных систем при квазипериодическом воздействии. Проаналазировать возможные пути перехода от эргодических квазипериодических колебаний к хаотическим.
Методы исследования.
С радиофизической точки зрения интерес представляют динамические системы, для которых возможно сконструировать радиотехнический аналог и которые можно описать адекватной математической моделью. С одной стороны, наблюдаемые в натурном эксперименте хаотические колебания трудно четко диагностировать из-за присутствия шумов. Но математические модели позволяют строго показать наличие хаотической динамики и детально исследовать влияние флуктуации на собственную динамику системы. Кроме того, в рамках математической модели представляется возможным исследовать неустойчивые регулярные решения, которые в эксперименте не реализуются. Численные исследования позволяют легко контролировать начальные условия процесса и наблюдать эволюцию динамических режимов, сосуществующих в фазовом пространстве, что затрудняется при физическом эксперименте.
С другой стороны, эффекты и явления, вскрытые в ходе численного моделирования, нуждаются в экспериментальной проверке для подтверждения их грубости и чтобы исключить аргумент погрешности вычислений и используемых алгоритмов при обсуждении результатов. Кроме того, применяя статистические методы анализа реализаций, мы полагаем, что имеем дело со стационарными эргодическими процессами. Однако, наиболее часто встречающимся в численном и физическом экспериментах является квазиаттрактор (сложное притягивающее предельное множество, которое наряду с гомоклиническими структурами включает и устойчивые периодические аттракторы). Так что в данном слу-
чае говорить об эргодичности нельзя. Поэтому именно физический эксперимент позволяет решить вопрос о границах применимости приближенного математического описания.
Таким образом, ясно, что при исследовании динамических нелинейных систем нельзя отдать предпочтение только методам численного или физического эксперимента. Разумно использовать оба эти подхода параллельно.
Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием результатов аналитических исследований, численного моделирования и физического эксперимента, а также сопоставлением ряда полученных выводов с известными из литературы данными.
Научная новизна результатов работы состоит в следующем.
Впервые исследованы особенности динамического подхода к проблеме хаотической синхронизации в неавтономных и связанных системах, в которых реализуются хаотические аттракторы сложной структуры (типа "double scroll").
Впервые изучены закономерности эволюции различных колебательных режимов, сосуществующих в фазовом пространстве связанных систем, при введении частотной расстройки между парциальными системами.
Впервые обнаружены и численно исследованы для широкого класса динамических систем закономерности разрушения эргоди-ческих квазипериодических колебаний через образование странного нехаотического аттрактора.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Классические механизмы внешней и взаимной синхронизации периодических колебаний в виде захвата или подавления частоты имеют место применительно к хаотическим аттракторам, для которых характерно наличие ярко выраженной базовой частоты в спектре мощности хаотических автоколебаний.
-
Образованию хаотических аттракторов в результате разрушения эргодических квазипериодических колебаний в дифференциальных системах с размерностью фазового пространства
N > 4 (N > 2 в дискретных системах) грубым образом предшествует образование экспоненциально устойчивых фрактальных множеств, называемых странными нехаотическими аттракторами. Типичными механизмами рождения странных нехаотических аттракторов являются кризис тора и постепенная потеря гладкости тора, приводящая к образованию фрактального множества.
Научно-практическое значение результатов работы состоит в том, что характерные закономерности эволюции режимов колебаний при внешней, взаимной и пространственной синхронизации могут использоваться в реальных системах (в том числе биологических) для управления хаотическими колебаниями.
Выявленные механизмы разрушения квазипериодических колебаний являются важным шагом на пути исследования практически важной проблемы - развития хаотических колебаний в распределенных системах.
Аппробация работы и публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в центральной отечественной и зарубежной печати, докладывались на международных конференциях "Differential Equations: Bifurcations and Chaos" (Katsivelli, Crimea, Ukraine, 1994), "International Symposium on Nonlinear Theory and its applications" (Hawaii, USA, 1993), на "The 3rd Technical Conference on Nonlinear Dynamics (Chaos) and Full Spectrum Processing" (Mystic, USA, 1995) на конференции Немецкого физического общества (Berlin, Germany, 1995), "Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine" (Saratov, Russia, 1996).
По теме диссертации опубликовано 13 работ в центральной печати (7 статей, б тезисов докладов). В работах, выполненных в соавторстве, О.В.Сосновцевой принадлежит осуществление всех численных и частично радиофизических экспериментов, анализ результатов по характеристикам и особенностям явления синхронизации.
Результаты работы использовались при выполнении грантов RNO 000 и RNO 300 Международного научного фонда, гранта Госкомитета по высшему образованию (N. 93-8.2-10) и госбюд-
жетной темы "Автоколебания".
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы. Диссертация содержит 104 страниц текста, 75 рисунков и список литературы из 116 наименований.
