Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ПРЕПЯТСТВИЯХ 23
I. Матрица волновых сопротивлений среды 23
2. Матрица импедансов препятствия 28
3. Преобразование волн на одиночном препятствии 36
4. Преобразование волн на системе препятствий 40
5. Закон сохранения энергии................ 47
ГЛАВА II. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УПРУІЖ ВОЛН В ПЛАСТИНЕ НА РЕБРАХ ЖЕСТКОСТИ 51
I. Упругие колебания тонких пластин 51
2. Матрица волнового сопротивления пластины.. 58
3. Матрица импедансов прямолинейного ребра 60
4. Контактные условия 77
5. Преобразование волн на одиночном ребре 81
6. Энергетические соотношения 100
7. Преобразование волн на системе ребер 107
8. О волнах, распространяющихся вдоль ребра 119
ГЛАВА III. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН В ТОНКОЙ ЦИЛИНДРИ
ЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ НА СИСТЕМЕ КОЛЬЦЕВЫХ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ 127
I. Упругие колебания тонкой цилиндрической оболочки. Потоки энергии, переносимые отдельными нормальными волнами 127
2. Волновые числа нормальных волн 133
3. Матрица волнового сопротивления оболочки 139
4. Матрица импедансов кольцевого ребра 145
5. Преобразование волн на системе ребер 158
ЛИТЕРАТУРА 161
- Матрица волновых сопротивлений среды
- Упругие колебания тонких пластин
- Упругие колебания тонкой цилиндрической оболочки. Потоки энергии, переносимые отдельными нормальными волнами
Матрица волновых сопротивлений среды
В этом разделе приводится вариант построения общей теории прохождения векторных полей упругих волн через одно или несколько препятствий. Средой, по которой распространяются волны, могут быть стержни, пластины или оболочки. Препятствия могут быть точечными или протяженными; они моделируются распределенными массами стержнями или пластинами различной геометрической формы (полосой, кольцом и т.д.)
Волновые процессы в среде и препятствия описываются системами линейных дифференциальных уравнений в частных производных, зависящих от нескольких пространственных и одной временной координаты. В рассматриваемых задачах, как правило, зависимость волновых процессов от всех пространственных координат, кроме одной, определяющей направление распространения, носит стандартный характер. После отделения указанных координат произвольный волновой процесс в среде может быть описан уже лишь одной пространственной и одной временной координатами. Поэтому мы с самого начала будем исследовать именно такие волновые процессы.
Зависимость от времени зададим множителем t otp t-iU)-b} {CO-ZTJ- - круговая частота) и в дальнейшем, как правило, будем его опускать.
Упругие колебания тонких пластин
Рассмотрим бесконечную тонкую упругую пластину толщиной в которой могут распространяться продольные, сдвиговые и изгиб-ные волны. Координатную систему выберем так, как указано на рис. 2.1 (х. - продольная координата, и, - сдвиговая, Z - поперечная) . Составляющие векторов смещений и сил обозначим следующим образом
Симметричные (продольно-сдвиговые) колебания тонкой упругой пластины вызываются силами гд. и / действующими в плоскости пластины. Эти колебания описываются уравнениями обобщенного плоского напряженного состояния [I J
Ребро жесткости моделируем тонкой упругой пластиной, толщиной h. , способной совершать продольные, сдвиговые и изгибные движения. Продольно-сдвиговые движения называются силами действующими в плоскости пластины; изгибные колебания ребра называются перерезывающей силой F_ и изгибающим моментом приложенными также к левой кромке, но действующими перпендикулярно плоскости пластины (см.рис.2.2). Правая кромка ребра Х Н - 4 ], а ташке плоскости 2= о и Я-k предполагаются свободными от напряжений. Кинематическое состояние ребра, жесткости будем описывать (так же, как и в 1) обобщенным вектором скорости смещений
Упругие колебания тонкой цилиндрической оболочки. Потоки энергии, переносимые отдельными нормальными волнами
Рассмотрим тонкую цилиндрическую оболочку толщины к и радиусом серединной поверхности Я- . Координатную систему выберем так, как указано на рис.3.I ( OL/Я- продольная координата, У - полярный угол, Г- - радиальная составляющая). Компонен-ты векторов смещений U и силы F обозначим следующим образом цилиндрическая оболочка считается тонкой. Для описания ее колебательного режима мы пользуемся, как уже отмечалось во введении, вариантом Новожилова Г9&3 , выведенных на основе гипотез Кирхгофа-Лява
Здесь і - время, р - плотность материала оболочки, и є - модули Юнга и Пуассона. Компоненты вектора сил и изгибающий момент _М. связаны со смещениями формулами не ЗЭЕИСИТ от І, и t (его можно считать начальным вектором смещений Волновые числа Д$ являются корнями дисперсионного уравнения (восьмой степени) При Rrc в качестве /Ли fo , 2 й (о) можно взять, например, алгебраические дополнения элементов любой строки матрицы Л IXs) ; если же Уї О , то для двух корней нужно брать алгебраические дополнения второй строки, а для остальных -дополнения первой или третьей строк (остальные дополнения обращаются в ноль).
В дальнейшем кинематическое состояние оболочки будем описы-вать обобщенным четырехмерным вектором скорости смещений "V" компонентами которого являются три составляющие линейной скорости и одна угловая. Тогда парциальные волны, наблюдаемые в оболочке, можно представить в виде
Это уравнение решается численно на ЭВМ и по полученным данным строятся дисперсионные кривые в заданном частотном диапазоне, Однако во многих случаях желательно иметь хотя и приближенным, но аналитические формулы для волновых чисел нормальных волн. Поэтому мы сначала выведем эти приближенные формулы, а потом сравним результаты численных расчетов.
Уравнение (2.1) представляет собой уравнение восьмой степени относительно Л » коэффициенты которого содержат малые добавки - возмущения порядка oL . Поскольку все коэффициенты непрерывны и суть полиномы по И- , естественно ожидать, что корни "возмущенного" уравнения близки к корням невозмущенного уравнения, получаемого из (2.1) при о(-0 . Введем новую независимую д. переменную t =Я- и обозначим через Q (V) левую часть возмущенного уравнения
