Введение к работе
Актуальность темы
К важнейшим уравнениям теоретической физики принадлежат не только те, которые инвариантным образом описывают некоторую физику, но и редукции таких «больших» общековариантных уравнений. Чаще всего редукции определяются дополнительными симметриями и/или граничными условиями. К классическим примерам относятся аксиально симметричные уравнения Эйнштейна-Максвелла, уравнения главного кирального поля, инстантонные модели Янга-Милса, самодуальные редукции как этих уравнений, так и уравнений Эйнштейна, и многие другие. С другой стороны результаты редукций могут приводить к уравнениям, применимость и прикладная ценность которых может быть не меньше, а скорее больше, поскольку они часто оказываются «вездесущими» по части возникновения в других разнообразных физических проблемах. Самым обширным и универсально возникающим классом таких уравнений являются линейные дифференциальные уравнения. Например, упомянутые выше самодуальные уравнения Янга-Милса богаты настолько, что через их размерные редукции и выборы калибровочной группы получаются чуть ли не любые нелинейные уравнения, которые сейчас принято называть интегрируемыми1. Их связь с линейными уравнениями центральна, так как для них всегда имеется ассоциированная система линейных дифференциальных уравнений на вспомогательную функцию Ф, условием совместности которой является данная нелинейная модель. Наличие произвольного параметра в таких уравнениях является широко распространенным фактом, а то что они линейны автоматически превращает их в спектральные задачи, часто определяемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Имеется даже гипотеза2, что любая солитонная система может быть получена подходящей редукцией из уравнений Янга-Милса. Нетривиальная ситуация начинается с уравнений 2-го порядка Ф" + р(ж)Ф/ + д(ж)Ф = 0.
Пожалуй ни одним уравнениям как теоретической, так и математической физики не посвящено столько статей и монографий как уравнениям этого вида, в число которых попадает и знаменитое стационарное 1-мерное уравнение Шрёдингера
Ф" — и(х; параметры) Ф = Е'Ф. (*)
Громадное количество физических моделей сводится, прямо или косвенно, к уравнению (*) или к спектральным задачам, определяемых скалярными
^Ablowitz М. J., Chakravarty S., Takhtajan L. A Self-Dual Yang-Mills Hierarchy and its Reductions to Integrable System in 1 + 1 and 2 + 1 Dimensions. Comm. Math. Phys. (1993) 158, 289-314.
Ward R. S. Integrable and solvable systems and relations among them. Phil. Trans. Royal Soc. (1985) A315, 451-457.
или матричными уравнениями вида L(u(x); <9Ж)Ф = АФ; очень часто возникают и обобщения, называемые спектральным пучками L(X,u(x); <9Ж)Ф = 0. За редким исключением традиционная трактовка параметра Л как энергии Е = —А является излишней и поэтому его обычно именуют просто как спектральный параметр.
Современное понимание этого круга задач неформально может быть охарактеризовано так, что нет особой разницы в интегрировании некоторого нелинейного «интегрируемого» автономного уравнения(й), или, с другой стороны, в интегрировании ассоциированных линейных уравнений с переменными коэффициентами (неавтономность) на Ф-функцию. Более того, поскольку искомые поля и{х) входят в линейные задачи как коэффициенты (потенциалы), «линейная» Ф-функция в некотором отношении оказывается даже более фундаментальной, чем «нелинейные» потенциалы. Грубое объяснение состоит в том, что зная решение для Ф-функции, коэффициенты ее уравнения находятся элементарными операциями, в то время как для обратного необходимо интегрирование. Оно является не просто чрезвычайно трудной проблемой, но и в общем виде не решаемой даже для тех же «интегрируемых» уравнений. Следует также упомянуть, что квантово-механические задачи вообще и изначально определяются линейными операторами, а спектральные задачи, задаваемые обыкновенными дифференциальными операторами так или иначе возникают, когда встают проблемы о спектрах наблюдаемых. Можно сказать, что понимание физики моделей, в той или иной мере считающихся решаемыми, и их непосредственное интегрирование оказываются столь переплетенными, что отделять одно от другого не разумно: выводы уравнений и методы их интегрирования взаимно обогащают друг друга. В указанных контекстах роль уравнения (*) не менее универсальна, чем собственно инвариантные полевые уравнения.
Число точно решаемых моделей до недавнего времени было очень невелико, но после 1960-х годов «солитонный бум» значительно расширил их количество, оказав огромное влияние даже на физику. Самым непосредственным образом точно решаемые теории связаны с тем, откуда исторически идет их наиболее употребительное название: конечнозонные спектральные методы в теории твердого тела. Конечнозонные потенциалы являют в ней такие модельные, но реалистичные периодические поля и(х): что энергетический спектр свободных электронов, находящихся в них, имеет зонную структуру — чередующиеся разрешенные/запрещенные уровни допустимых значений Е — и число таких зон есть конечная величина.
Хотя в настоящее время солитонно-конечнозонный класс является самым широким точно решаемым классом, содержащим огромное количество параметров, его методы и техника традиционно считаются трудными;
особенно в прикладных областях. Причина в том, что их освоение требует очень интенсивного использования очень сложного математического аппарата и это отражается в не менее употребительных параллельных названиях для теории: алгебро-геометрические или тэта-функциональные методы. Эта сложность уже давно и не раз отмечалась в физической литературе, но в тоже время осознается, что тэта-функции действительно являются необходимым объектом, когда речь идет о конечных формулах. Вопрос о «превращении» тэта-функциональных методов в общеупотребительные важен еще хотя бы и потому, что средства с элементарными функциями являются простыми предельными случаями тэта-функциональных. Существенно, что такое обобщение вовсе не абстрактно, а естественно и в некотором смысле единственно возможное. Отсюда следует, что с прагматической и физической точки зрения актуальной является своего рода «канонизация» понимания того, что стоит за этими методами и их тривиа-лизации. Эта проблема еще далека от того, чтобы быть решенной по части тэта-функций, даже с учетом результатов, излагаемых в диссертации.
Общая характеристика работы
Цели и задачи диссертации. Основным, но не единственным, объектом исследования является уравнение (*) и доведение его решений до состояния, когда с точки зрения приложений «дальнейшее упрощение уже невозможно». Это зачастую не возможно без существенного расширения имеющейся математической техники и даже ее переработки. Она вовлекает тэта-функции — чрезвычайно классический объекты, но и они требует расширения. Например, развиваемый дифференциальный ^-аппарат абсолютно необходим, когда встает вопрос о квантовании тэта-функций как обобщений элементарных (гармонический осциллятор, экспоненты и т.д.). Поэтому после получения квадратур для Ф-функции целью диссертации является доведение используемых методов до функционирующих формул, которые легко поддаются непосредственному физическому анализу.
Научная новизна и значимость. Научная значимость результатов следует из фундаментальной значимости уравнения (*). Ни «интегрируемые» ни «неинтегрируемые» линейные/нелинейные уравнения не будут решены точно никогда, поскольку поля и начальные данные могут быть сколь угодно произвольными; в точную решаемость необходимо вкладывать более конкретный смысл. В этом отношении, как с формальной, так и неформальной точки зрения, автором было замечено, что в классе конечнозон-ных потенциалов спектральные уравнения типа (*), как это ни парадоксально, до сих пор не были явно проинтегрированы. До тех пор пока для Ф-функции не предъявлено представление, проверяемое подстановками,
вопрос о решении так или иначе может возникать вновь. Именно такое решение было получено впервые (гл. 1; [13, 16]). Знаменитые тэта-функциональные формы решения являются его следствием, вводимость которого уже не традиционно аксиоматична, а регулярна.
Новизна и значимость результатов, связанных с тэта-функциями, объясняется тем, что найденные свойства классических ^-функций Якоби не просто новые, а принадлежат к разряду фундаментальных и определяющих. Не имея в наличии дифференциальных определений ^-функций, вопросы их квантования не возможны даже в постановках. Более того, переход от элементарных квантований осцилляторов к квантованию тэта-функций представляет значимость не просто как некоторое нелинейное обобщение, а как непертурбативное обобщение; нет необходимости в приближениях слабой связи. Это основной признак квантования солитонных моделей3. Квантовая решаемость во многих отношениях наследуется классической точной интегрируемостью. Поскольку тэта-функции являются минимальными строительными блоками теории, "рано или поздно мы должны прийти к квантованию тэта-функций"4. В этом направлении сделаны первые, но важные шаги.
Использование в полной мере новых свойств ^-функций позволило впервые найти случаи, для которых можно утверждать, что задача решена до конца. Без расширения классической теории униформизации результаты такого сорта были бы не возможны, тем более, что использование тэта-функций и явное построение фундаментальных голоморфных интегралов как функций униформизирующего параметра в литературе даже не обсуждалось. Ввиду отсутствия аналитически решаемых примеров, современное состояние методов униформизации оставляло впечатление невозможности «хоть какого-нибудь» приложения и мы приводим большое количество таковых.
Основные положения, выносимые на защиту.
Предложен новый подход к точно решаемым случаям 1-мерного уравнения Шрёдингера
Ф" - и{х)Ч> = ЕЧ>.
На его основе получена явная квадратурная формула для Ф-функции. Как частные случаи формула охватывает все потенциалы с конечным числом запрещенных зон в спектре и классические солитоны.
^РАДЖАРАМАН Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. Мир: Москва (1985). Смирнов Ф. А. Что мы квантуем в интегрируемых моделях теории поля? Алгебра и анализ (1994) 6(2), 248-261.
Разработана схема регулярного вывода представления для Ч/(х]Е) в терминах О-функций, не использующая аксиоматическое введение римановых поверхностей. Между квадратурами и классической спектральной концепцией имеется точное соответствие — спектрально квадратурная двойственность; она описана аналитически.
Разработаны алгоритмические процедуры получения спектральных характеристик и дисперсионных соотношений Е = Е(к) для потенциалов в эллиптических функциях для широкого класса спектральных уравнений L(u(x);dx)ty = Е'Ф.
Выведены дифференциальные уравнения на классические ^-функции Якоби и их конечнозонное расширение. Уравнения являются гамиль-тоновыми и лагранжевыми, а их частные случаи допускают постановку вопроса квантования данных динамических систем и его решение, включая спектральное уравнение для гамильтониана.
Космологические алгебраические метрики Пикара-Хитчина, как решения уравнения Пенлеве-6, параметризуются в ^-функциях. Как следствие, возникают гиперэллиптические кривые и эффективиза-ция конечнозонных потенциалов уравнения Шрёдингера в контексте методов униформизации.
Развитый аппарат ^-функций приводит к аналитически решаемым случаям теории униформизации алгебраических зависимостей. Предложена геометрически замкнутая переформулировка теории. Впервые найдены полностью и точно решаемые случаи.
Достоверность результатов. Весь материал диссертации основан на современном понимании конечнозонной теории и воспроизводит ее целиком. Новые результаты проверяются прямыми подстановками, а математический аппарат алгоритмически автоматизирован на компьютере. В тех случаях, когда аналитические проверки трудоемки даже с использованием компьютерных программ имеется возможность числовых проверок, что тоже реализовано на пользовательском уровне. Средой для аналитических и числовых расчетов является пакет MAPLE (Waterloo Co.)
Апробация работы и публикации. Результаты исследований по теме диссертации докладывались на международных конференциях и семинарах, проходивших в: Berlin (Intern. Math. Congress, Berlin TU, 1998,
Germany), Honolulu (University of Hawaii, 1998, USA), Красноярск (Красноярский ун-т, 2000), Torun (Nicolaus Copernicus Univ., 2001, Poland), Edinburgh (Heriot-Watt Univ., 2001-2002, UK), Leeds (University of Leeds, 2002, UK), Edinburgh (Edinburgh Univ., 2002, UK), Cambridge (Isaac Newton Inst. Math. Sciences, Cambridge, 2002, UK), London (Imperial College, 2003, UK), Boston (Boston Univ., 2003, USA), Harvard (Harvard Univ., 2003, USA), Москва (МГУ, 2011, 2012), С.-Петербург (Мат. институт Эйлера, 2011), а также на многочисленных семинарах, среди которых семинары, проходившие в Московском гос. ун-те (2001), Минском гос. ун-те 2010 и математическом ин-те им. Стеклова (Москва, 2005, 2012). Элементарные основы теории читались в серии лекций для молодых ученых (ОИЯИ, Дубна, 2010) и спецкурсах кафедры квантовой теории поля Томского гос. ун-та (2009-2011).
Исследования поддерживались грантами РФФИ (проект 00-01-00782), Royal Society/NATO Fellowship (2000-2002, UK), NSF/NATO DGE-0209549 (2002-2003, USA) и ФЦП (02.740.11.0238). По результатам исследований опубликовано 20 работ [1-20], включая 4 обзорные статьи [12, 13, 16, 18]. Список работ приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора. Все результаты диссертационной работы, включая мотивации, постановки задач, методы решений, алгоритмизации и компьютерные реализации, принадлежат автору; небольшое исключение составляют работы [7-9] и [20], где вклад автора является ключевым.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, семи глав, Приложения и списка литературы из 202 ссылок. Текст содержит 255 страниц, 7 рисунков и 1 таблицу.
