Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Система из двух интерферометров Маха-Цендера . 8
1.1. Предлагаемая схема 8
1.2. Белловский эксперимент с двумя электронами 12
1.3. Белловский эксперимент в присутствии ферми-моря 18
Глава 2. Постселективное наблюдение запутанности в системе из двух интерферометров Маха-Цендера 35
2.1. Исследуемая система 35
2.2. Описание свойств системы в идеальном случае 36
2.3. Схема с отражающими делителями и постселективные измерения 37
2.4. Корреляционные измерения 44
Глава 3. Создание состояния ГХЦ в системе из трех интерферометров Маха-Цендера 48
3.1. Описание системы 48
3.2. Получение состояния ГХЦ 53
3.3. Неравенство Белла для трех частиц 56
3.4. Схема детектирования 59
3.5. Установка в ЦКЭХ 62
Заключение 67
Список использованных источников
- Белловский эксперимент с двумя электронами
- Белловский эксперимент в присутствии ферми-моря
- Схема с отражающими делителями и постселективные измерения
- Неравенство Белла для трех частиц
Введение к работе
Актуальность темы.
Квантово-механическое свойство запутанности приобрело особое значение, когда выяснилось, что существует эксперимент, предсказываемые результаты которого будут различаться в рамках теорий скрытых переменных и в рамках квантовой механики []. В дальнейшем было произведено наблюдение нарушения неравенства Белла в форме Клаузера-Хорна-Шимони-Хольта [] на фотонах []. Также оказалось, что запутанность является существенной при выполнении квантовых вычислений, квантовой телепортации и в квантовой криптографии. В 2000-х годах развитие техники эксперимента позволило производить эксперименты, аналогичные оптическим на мезоскопических устройствах. В режиме целочисленного квантового эффекта Холла (ЦКЭХ) были реализованы интерферометры Маха-Цендера [, ] и Ханбери-Брауна-Твисса []. Выбор ЦКЭХ для проведения таких экспериментов обусловлен киральностью краевых состояний электронов и проистекающей из этого большой длиной когерентности. В таких установках эффект Ааронова-Бома аналогичен пластинкам, дающим сдвиг фазы в оптических интерферометрах, а электронные делители на основе квантово-точечных контактов аналогичны поляризационным делителям.
Отдельного внимания также заслуживает успешное изготовление в 2007 году источника когерентных электронов [], позволяющего запускать электроны в краевое состояние ЦКЭХ с временной точностью до 0,1 нс. Результатом этих исследований стало повышенное внимание к электронной интерферометрии в целом и к возможностям манипуляции электронными состояниями в частности. Кулоновское взаимодействие электронов позволяет реализовывать экспериментальные схемы, не имеющие аналогов в оптике. В частности, был проведен эксперимент по наблюдению разрушения интерференции при измерении информации о траектории электрона []. Имеется теоретическое предложение по созданию запутанного состояния в интерферометрах Маха-Цендера с куло-
новским взаимодействием между ними [].
Цель работы состоит в изучении возможностей создания и детектирования запутанных состояний в системах интерферометров Маха-Цендера с куло-новским взаимодействием. В работе изучается создание и детектирование запутанных состояний электронов в системах из двух и трех интерферометров. В том числе изучается возможность постселективного детектирования запутанности.
Научная новизна работы заключается в следующих оригинальных результатах, которые выносятся на защиту:
-
Поставлена и решена задача о влиянии кулоновского взаимодействия на состояние двух одноэлектронных возбуждений, распространяющихся в краевых состояниях целочисленного квантового эффекта Холла. Результаты решения использованы для изучения зависимости параметра Белла от размера волновых пакетов как в случае наличия ферми-моря при условии оптимальных параметров кулоновского взаимодействия, так и при его отсутствии. Показано, что наличие ферми-моря ослабляет наблюдаемое нарушение неравенства Белла. При наиболее благоприятных условиях реализации эксперимента максимальное значение параметра Белла = 2,18 > 2.
-
Рассмотрена возможность постселективного наблюдения запутанности в системе из двух интерферометров Маха-Цендера. Доказано, что постселективные измерения позволяют отличить запутанные чистые состояния от незапутанных. Также предъявлена процедура постселективного измерения, не требующая изменения параметров установки в процессе измерения. Также показано, что альтернативой постселективному измерению могут служить корреляционные измерения, так как, с одной стороны, с их помощью можно также отличить чистое запутанное состояние от незапутанного, а, с другой стороны, для их проведения не требуются одноэлек-
5 тронные источники.
3. Предложена новая схема создания трехчастичного состояния Гринбер-гера-Хорна-Цайлингера (ГХЦ) в при помощи трех интерферометров Маха-Цендера с кулоновским взаимодействием. Схема отличается от известного способа производства аналогичного состояния в квантовой оптике существенным использованием кулоновского взаимодействия. Новый способ, в частности, не предполагает использования постселекции для производства состояния ГХЦ. Рассмотрены возможные способы наблюдения запутанного состояния путем нарушения трехчастичного неравенства типа Белла. Найдены реализации измерений, в которых максимальное значение параметра Белла получаются при постоянных значениях прозрачности делителей, путем изменения разностей фаз между рукавами интерферометров. Найдена геометрическая конфигурация установки для реализации в режиме целочисленного квантового эффекта Холла. Описаны способы контроля параметров установки при проведении экспериментов.
Достоверность исследования обеспечивается надежностью применявшихся апробированных современных методов теоретической физики. Транспорт электронов описывается при помощи матриц рассеяния, а многочастичная задача о взаимодействии электронов решена совместным применением преобразования Хаббарда-Стратоновича и бозонизации.
Научная и практическая ценность. Полученные в работе результаты расширяют и углубляют понимание возможностей мезоскопических интерферометров в производстве запутанных состояний. Они допускают прямую экспериментальную проверку, а также указывают направление новых экспериментов.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных и российских конференциях: Landau days 2013 (г. Черноголовка, 2013), Moriond 2011: Quantum mesoscopic physics (La Thuile, Italy), 51-й и 52-й научных конференциях МФТИ "Современные пробле-
мы фундаментальных и прикладных наук" (г. Долгопрудный, 2008, 2009), а также научных семинарах в CPT Universite de la Meditteranee (Marseille, France), ETH Zurich, ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН, ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН.
Публикации. По материалам диссертации опубликованы 3 научные работы в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации материалов докторских и кандидатских диссертаций. Список публикаций приводится в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и двух приложений. Диссертация изложена на 92 страницах машинописного текста, включает 21 рисунок и 1 таблицу. Список использованных источников насчитывает 32 наименования.
Белловский эксперимент с двумя электронами
. Постановка задачи существенно отличается от других работ по интерферометрам Маха-Цендера начальными условиями: на выходы приложено не постоянное или переменное напряжение, а запущены одно-электронные волновые пакеты. Рассмотрим два интерферометра Маха-Цендера, верхний из которых с проводами ]/ и 3 , а нижний - с 2 и 4 , причем два соседних рукава имеют номера 1 и 2 , см. рис. 1.1. В верхнем (нижнем) интерферометре имеются безотражательные входной и выходной делители А (А ) и В (В ) соответственно. Рассеяние в делителях описывается унитарными трансфер-матрицами t(a),t((3) (t(a ),t((3 )), определенными в базисе проводов Hint = - / EijNiNj, (1.2) ij{l,2} 3 4 Рис. 1.1. Два интерферометра Маха-Цендера с емкостной связью между рукавами 1 и 2. Лоренцевские электронные импульсы подаются в левые рукава, запутываются кулоновским взаимодействием. На выходных каналах проводится измерение параметра Белла. Несмотря на сбой фазы, вызванный ферми-морем, неравенство Белла может быть нарушено, что показывает возможность получения "полезной запутанности" в этой системе. где Mi = JdxКІ{Х) : І(Х)Я/\{х): - избыток электронов в конечном участке провода і определенный через ядро КІ{Х), локализованное в окрестности начала координат Также использовано обозначение :А:= А — (vac\A\vac), где \vac) -основное состояние системы. Матрица взаимодействия Е включает в себя собственные емкости проводов (диагональные элементы Ец и Е22) и взаимную емкость соседних проводов разных интерферометров (элементы Для упрощения считаем, что взаимодействие в других проводах отсутствует, то есть
Избыточные электроны инжектированы в интерферометры в известном незапутанном состоянии. Из-за взаимодействия состояние электронов на выходе становится пространственно-запутанным (по количеству частиц в выходящих проводах) и эта запутанность может быть наблюдена при белловском эксперименте как нарушение соответствующего неравенства КХШХ. Далее сформулируем неравенство Белла через кросс-корреляторы (NiNj) (і Є { 1 , 3 } и между избыточным количеством частиц, прошедших через различные выходящие провода системы, Ni = Jdt :ФДЖ,)ФІ(Ж,):. Эти корреляторы зависят от магнитных потоков Ф и Ф , проходящих через интерферометры, и уг лов /3 и /3 , характеризующих выходящие делители (входные делители являются полупрозрачными а = Ы = 7г/4). Определив белловский коррелятор
Нарушение этого неравенства при определенных значениях магнитных потоков Ф = {Ф,Ф , Ф,Ф } и углов /является мерой запутанности между двумя интерферометрами. Далее покажем, что нарушение неравенства Белла (хотя и не максимальное при наличии ферми-моря) может быть достигнуто только изменениями магнитного потока при фиксированных (оптимальных) значениях углов делителей, /3 = /3 и /3 = /3 , что приводит к снижению количества изменяемых параметров, а это, в свою очередь, упрощает проведение эксперимента.
Значение параметра Белла зависит от параметров схемы, а именно магнитных потоков Ф и настроек исходящих делителей, определяемых углами /3: В = В(Ф,(3). Чтобы найти оптимальные параметры для эксперимента, необходимо найти максимум (Ф,/3), как функции всех изменяемых параметров в эксперименте. В статье [10] показано, что эта задача может быть решена аналитически через вычисление двухчастичной матрицы плотности запутанных частиц. При расчете матрицы плотности считаем, что исходящие делители В и В находятся в асимптотической области, где К\ {х) — 0 и отсутствует взаимодействие (это достигается при В этой области (перед исходящими делителями В и В ) запутанное состояние (многочастичное при наличии ферми-моря) свободно распространяется в положительном направлении.
Ниже будем использовать выражение (1.7) для определения максимально возможного значения параметра Белла и формулу (1.8), чтобы вычислить параметр Белла (1.4), зная корреляторы (1.3). 1.2. Белловский эксперимент с двумя электронами
Рассмотрим упрощенную модель, когда только два электронных волновых пакета инжектированы на входы 1 и 2 , а иные электроны в системе отсутствуют. Оператор fl = dx f {x)wa{x) создает одночастичное состояние с волновой функцией f(x) в проводе а. Тогда исходное состояние с волновыми пакетами f(x) и д(х) в проводах 1 и 2 имеет вид in) = f\g2 \vac). После рассеяния на делителях А и А волновые пакеты разделяются между различными рукавами интерферометров. До достижения области взаимодействия состояние системы является незапутанным,
Белловский эксперимент в присутствии ферми-моря
В этой главе изучается система из двух интерферометров Маха-Цендера с кулоновским взаимодействием между ними, аналогичная уже рассмотренной в главе 1 (см. рис. 2.1). Интерференция обеспечивается при помощи двух делителей, первый из которых позволяет засылать электрон в один из двух рукавов, которые пересекаются во втором делителе. На изображенной схеме делители находятся в точках пересечения траекторий. Электроны посылаются детерминированным образом в систему строго по одному.
Уже в работе Аспекта и его коллег [13] по наблюдению нарушения неравенства Белла для фотонов вводится постселекция экспериментальных результатов для учёта возможной неэффективности детекторов. При выполнении таких экспериментов обычно предполагается, что постселекция сохраняет "репрезентативность выборки"("fair sampling assumption"), то есть подвергнутые процедуре постселекции результаты отражают свойства реального двухчастичного состояния. В этой главе предметом исследования является возможность постсе-LR LR
Схема установки. Направления инжектирования электронов обозначены стрелками. Закрашенный прямоугольник – область кулоновского взаимодействия. лективного обобщения процедуры измерения белловских корреляций в системе из двух интерферометров Маха-Цендера и проистекающие из такой возможности выгоды и потери (в том числе и при выходе за рамки предположения о репрезентативности выборки).
Описание свойств системы в идеальном случае Если установка изготовлена для работы в режиме ЦКЭХ, то для налетевшего электрона по причине киральности краевых состояний будут недоступны два из четырех выходов делителя (в частности, он не сможет отразиться назад). На рис. 2.1 электроны летят снизу а два доступных выхода у каждого из делителей находятся над точкой пересечения краевых состояний. Транспорт удобно описывать при помощи трансфер-матрицы, элементы которой являются амплитудами вероятности перехода из нижних рукавов в верхние. В этой главе используется симметричная параметризация трансфер-матрицы: где параметр в для каждого делителя может принимать значения от 0 до 7г/2. Эволюция двухэлектронного состояния может быть формально разбита на этап приготовления запутанного состояния и этап измерения. К первому этапу можно отнести проход через первую линию делителей и набор фазы кулоновско-го взаимодействия. Ко второму же относятся набор ааронов-бомовской (АБ) разности фаз в каждом из интерферометров и проход через вторую линию делителей. Наиболее запутанное состояние после первого этапа получается, если входные делители имеют #=7г/4, то есть являются полупрозрачными, а фаза о, набираемая при кулоновском взаимодействии, равна тт. В этом случае можно организовать измерение, дающее максимальное значение В. Для наблюдения нарушения неравенства Белла в форме КХШХ необходимо измерять корреляторы проекций псевдоспина на разные направления (обозначим их а, а - для левого измерительного делителя и Ь,ІУ - для правого). Для осуществления эксперимента на практике необходимо знать, в первую очередь, не сами направления проецирования, а параметры измерительных делителей и АБ-фазы {#а, а, #ь, ь, $а , а , $Ь , ь }, которые этим направлениям соответствуют. Результатом измерения является параметр Белла, являющийся корреляционной функцией следующего вида
В идеальной схеме, в которой все делители безотражательные, а кулоновское взаимодействие приводит только к набору взаимной фазы у соответствующей орбитальной компоненты волновой функции, измерение c параметрами {7г/8,7г/2,7г/4,0,7г/8, —7г/2,7г/4,7г/2} даст в итоге значение параметра Белла, равное границе Цирельсона [14] В = 2у2. Этот результат воспроизводится в работах [9, 15, 16]. Есть и другие варианты измерений, дающие максимальное значение нарушения. Параметры, приведенные выше, задают особое измерение, в процессе которого прозрачность "измерительных делителей" не изменяется.
Схема с отражающими делителями и постселективные измерения
В случае реального эксперимента результат будет отличаться от теоретического предсказания. АБ-фазы могут флуктуировать, кулоновское взаимодействие происходит и с ферми-морем в каналах транспорта электронов. Делители L R L R
Отражение в различных частях установки. Пунктирные круги маркируют места, где оно не принципиально. Сплошные – места, где оно существенно изменяет поведение установки. могут не быть безотражательными (если транспорт электронов происходит не в режиме квантового эффекта Холла). Отражение назад может происходить и в области взаимодействия. Если в работе [16] рассматривается влияние неидеальности взаимодействия и конечной ширины волновых пакетов на результаты измерений в режиме ЦКЭХ, то в этой главе основное внимание уделено отражению на делителях и флуктуациям АБ-фаз в интерферометрах.
Установлено, что отражение в местах, помеченных на рис. 2.3 пунктирными кругами (то есть на этапе приготовления состояния) не ведёт к существенному изменению получаемых экспериментальных результатов. Здесь имеется в виду, что результаты, полученные в такой системе будут такими же, как и в некоторой идеальной схеме. Основную сложность при проведении эксперимента в этом случае будет представлять подбор параметров исходной установки, которая бы соответствовала указанным выше требованиям для достижения границы Цирельсона.
Схема с отражающими делителями и постселективные измерения
Измерение проекции псевдоспина на произвольное направление. Как было показано в разделе 3.3, для выполнения белловских измерений требуется в общем случае уметь измерять проекцию псевдоспина на произвольно заданное направление п. Это не может быть выполнено напрямую в предлагаемой системе, так как можно наблюдать только присутствие частиц в том или ином проводе ("спин вверх-спин вниз"), разность вероятностей которых соответствует величине проекции псевдоспина на ось z. Вместо этого можно выполнить эквивалентное измерение, которое дает те же результаты. Сначала нужно преобразовать состояние таким образом, что направление псевдоспина п превращается в направление z, в затем произвести стандартную измерительную процедуру (3.30). Выполнив преобразование верхним рядом делителей, получим ( 7щ 8 7n2 5"п3) для состояния на уровне "(lv2 )". Взаимосвязь параметров поворота и характеристик делителя описана в приложении Б.2. Для каждого белловского коррелятора параметры делителей верхнего контура различны. Измерив корреляторы i?(a l5 а2, аз), i?(ai, а2, аз), i?(ai, а2, а3), (а , а2, а3), можно вычислить значение параметра Белла
Необходимость добавления дополнительного контура в каждый интерферометр усложняет и без того трудную в изготовлении установку. В следующем подразделе будет показано, каким образом можно измерить параметр Белла без дополнительного контура. 3.4.2. Сжатая измерительная схема
Избежать использования дополнительного контура в каждом интерферометре можно используя свойства каскада из двух делителей. Назовем установку без дополнительного контура сжатой измерительной схемой. Рассмотрим один из трех интерферометров (рис. 3.1). После уровня "lv2" стоят два делителя, каждый из которых осуществляет свое унитарное преобразование. Пусть трансфер-матрицы этих делителей равны U и V (U - трансфер-матрица нижнего). Тогда суммарное преобразование UV также унитарное. Идея состоит в том, чтобы выполнить это полное преобразование одним делителем и, таким образом, упростить установку (т.е. убрать пунктирную часть на рис. 3.1).
Вообще говоря, один делитель не может воспроизвести произвольное унитарное преобразование, поэтому есть ненулевая вероятность того, что и преобразование UV не может быть воспроизведено одним делителем. Но в такой ситуации удается показать (см. приложение Б.4), что всегда существует делитель, который дает результаты измерений, эквивалентные результатам, получаемым с использованием гипотетического делителя, выполняющего преобразование UV.
Напомним, что фазы , входящие в формулу являются "эффективными", в том смысле, что они могут изменяться в зависимости от реальной трансфер-матрицы изготовленных делителей (значения из этой формулы верны для транс фер-матрицы , определенной выражением (3.1)). В приложении Б.2 показано, как нужно калибровать фазы при проведении реального эксперимента. Полный набор измерительных настроек с результатом = 4 представлен в приложении Б.4.
Несмотря на то, что рассматриваемая система представлена схематически, можно утверждать, что практическое ее воплощение находится в пределах возможного при текущем уровне эксперимента. Используя краевые состояния ЦКЭХ, можно получить киральные каналы, в которых запрещено рассеяние назад. Делители реализуются при помощи квантово-точечных контактов (КТК). Уже проведено несколько экспериментов, в которых на основе данного подхода были изготовлены один и два интерферометра Маха-Цендера [4–6].
Реальная, учитывающая киральность, геометрия прототипа прибора, воспроизводящего схему на рис. 3.1, показана на рис. 3.5. На рисунке изображен потенциальный рельеф. Линии, идущие вдоль стен потенциала, представляют киральные краевые состояния в ЦКЭХ. Пунктиром помечены незаселенные краевые состояния. Ферми-море вытеснено из области расположения установки для предотвращения эффектов экранирования и паразитной запутанности. Краевые состояния встречаются в КТК, прозрачности которых контролируются затворами. Каждый интерферометр имеет два источника электронов (отмечены как и , = 1,2,3 на рис. 3.5) и два приемника ( и ). При помощи затворных напряжений можно управлять формой контура интерферометра, а значит и ааронов-бомовской разностью фаз между различными путями. Два скругленных прямоугольника на рисунке показывают области взаимодействия, где пути электронов в соседних интерферометрах подходят близко друг к другу, что приводит к набору взаимной фазы электронами, следующими этими путями.
Неравенство Белла для трех частиц
Такой ответ имеет ясный физический смысл. Все делители заданной прозрачности по существу имеют одну и ту же трансфер-матрицу отличается только фаза в канале, набранная до рассеяния и после него. Эти фазы могут изменить разность фаз между путями в интерферометре. Таким образом, для восстановления интерференционной картины необходимо изменить ааронов-бомов-скую разность фаз. Во время эксперимента это действие сводится к калибровке магнитного потока и выставлению реперной точки Ф = 0 в каждом интерферометре. Для этого необходимо использовать тот факт, что в параметризации (Б.26) при Ф = 0, электрон, запущенный в правый вход интерферометра, выходит из него слева (рис. Б.1). Далее можно улучшить настройку, приложив разность фаз 7г/2. Тогда запущенный электрон можно пронаблюдать в выходах интерферометра с равной вероятностью, а производная разности вероятностей по разности фаз достигает максимального значения. L R
В интерферометре Маха-Цендера (ИМЦ) электроны могут распространяться по одному из двух путей. Разность фаз, набранных на этих путях, влияет на результаты интерференции на верхнем делителе. Удобно было бы учесть эту разность фаз в трансфер-матрице делителя. Если набор фазы в левом и правом путях фі и фл, то трансфер-матрица делителя принимает вид:
Реально результаты зависят только от разности фаз Ф = фь — 0д, потому что умножение трансфер-матрицы может на фазовый множитель не влияет на конечный результат. Можно представить трансфер-матрицу в форме оператора поворота спина
Поскольку процедура измерения в сжатой измерительной схеме предполагает изменение в, Ф и измерение коррелятора (o z S o z S o z) на уровне "(lv2 )" (рис. 3.1), удобно переопределить измеряемый оператор по отношению к состоянию, образованному на уровне "lv2"и являющимся постоянным во время измерительной процедуры. Матрица является суммой двух поворотов, вращения на угол Ф вокруг оси z и поворота на угол 7Г — 26 вокруг оси х. Поворот вокруг оси х отвечает действию делителя, а поворот вокруг оси z отвечает эффекту Ааронова-Бома. Полный поворот направляет вектор
Ранее в разделе Б.1 были определены направления, дающие В = 4 для спинового состояния ГХЦ. Для получения параметров делителей установки на рис. 3.1 необходимо перевести эти направления в параметры делителей. Данное приложение посвящено выводу правил перевода. В логике эксперимента по нарушению неравенства Белла, описанной в разделе 3.2, требуется иметь три величины жі,Ж2,Жз, соответствующие отдельным измерениям, результаты которых находятся в пределах отрезка [—1; 1]. В случае спинов такими измерениями являются нормированные проекции спинов. В системе из трех ИМЦ можно наблюдать попадание электронов в один из двух выходов каждого интерферометра. Сопоставим результат х = — 1 выходу частицы слева и х = 1 - справа. Тогда белловский коррелятор имеет вид
Далее найдем параметры делителей в, Ф. На данном этапе возникает проблема, ведь матрица (Б.43) не может быть трансфер-матрицей ни одного делителя. Соотношение QJcgitRR/tRL) = , выполняющееся для любой параметризации трансфер-матрицы (см. уравнение (Б.32)) не выполняется для матрицы в уравнении (Б.43). Проблему можно обойти, если использовать делитель, трансфер-матрица которого не совпадает с Т1(Ф), но порождает такие же трехчастичные вероятности. Это происходит, если матрица делителя равна:
Тем самым найдено общее представление измерительных настроек, дающих В = 4 в сжатой измерительной схеме, и описаны особые случаи, при которых максимальное нарушение достигается только изменением ааронов-бомов-ской разности фаз в интерферометрах. Кулоновское взаимодействие Решим задачу о прохождении двух электронов через область взаимодействия в соседних краевых состояниях между делителями для определения условий, при которых происходит простой набор фазы. Рассмотрим два киральных краевых состояния ЦКЭХ. Две частицы, распространяющиеся по краевым состояниям, взаимодействуют электростатически в пределах области взаимодействия. Потенциал взаимодействия U(xi, Х2) зависит от положения обеих частиц.
