Введение к работе
Актуальность темы. Интерес к исследованию двумерных задач рассеяния для дифференциальных операторов, задающих вспомогательные линейные задачи для интегрируемых уравнений в (2 + 1)-мерном пространстве-времени, резко возрос после обнаружения в 1988, что, подобно (1 + 1)-мсрному случаю, эти уравнения также имеют экспоненциально локализованные решения — солптоны, нли дромионы. Были предложены специальные версии спектрального преобразования, позволяющие получить локализованные солитоны. Именно для решения такого рода задач и был первоначально предложен так называемый резольвентный подход, который использован в настоящей диссертации.
В данной работе посредством резольвентного подхода было осуществлено спектральное преобразование оператора Лакса уравнения BLP. Спектральная задача для элнптпческого аналога такого оператора активно исследовалась в литературе.
Основной проблемой при исследовании того или иного нелинейного эволюционного уравненля является возможность представления его в форме Лакса. Одним из критериев интегрируемости и способом получения пары Лакса является тест Пенлеве.
Целью работы является всестороннее изучение конкретной 2+1-мерной нелинейной интегрируемой системы эволюционных уравнений, так называемой системы BLP1, включающее изучение данной системы с помощью теста Пенлеве и метода обратного спектрального преобразования.
'Boiti М, Leon J J-P and Pempiiiplli F 1987 Inverse Problems 3 37-49
2 Методика исследования. Тест Пенлеве для данной системы использован в формулировке предложенной Вейсом, Табором и Карневалем2. Обратное спектральное преобразование осуществлено посредством резольвентного подхода, введенного В'К Научная новизна.
-
В данной работе на примере системы BLP показано, что тест Пенлеве в его стандартной формулировке, вообще говоря, не может служить критерием интегрируемости нелинейных эволюционных уравнений. А именно, второй шаг теста Пенлеве - обрыв бесконечного ряда - не проходит для рассматриваемой системы. В работе предложена модификация процедуры обрыва ряда, позволяющая провести се для данной системы и получить преобразование Беклунда.
-
Построены некоторые специальные локализованные решения.
-
Построены прямая и обратная задачи рассеяния, формулы восстанавливающие потенциалы задачи по известным данным рассеяния и решениям Иоста. Показано, что рассматриваемому линейному оператору дудх + а(х,г/)дх + /3(х,у) + 1 отвечают два типа спектральных данных: соответствующие решения Иоста имеют как разрыв на вещественной оси спектрального параметра, так и ненулевую д-производную в комплексной плоскости.
-
Исследована линеаризованная версия системы н выделен класс начальных данных, который сохраняется в динамике. Восстановлена динамика резольвенты и выделен класс потенциалов, на котором
2Boiti М, Leon J J-P and Pempinelli F 1987 Inverse Problems 3 37-49 3M. Boiti, F. Pempinelli, A. K. Pogrebkov and M. C. Polivanov, "Resolvent approach for the nonstationary Schrodinger equation (standard case of rapidly decreasing potential)", in Proceedings of the seventh Workshop on Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems (NEEDS'91), World Scientific Pub. Co., Singapore (1992)
она существует. Показано, что он сохраняется в динамике. Получена динамика решений Поста и динамика данных рассеяния. Получены условия на данные рассеяния, при которых класс функций , в котором заданы данные рассеяния, сохраняется во времени. Построен производящий функционал для интегралов движения.
Полученные результаты являются новыми.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях "Солптоны в физике и математике" ( Калининград, сентябрь 1991 г.), "NEED'S - 92" (Дубна), "Нелинейность и интегрируемость: от математики к физике" (Франция, Монпелье, февраль 1995 г.)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Общий объем диссертации - 69 машинописных страниц. Список литературы содержит G2 наименования.
