Содержание к диссертации
Введение
1 Явные аналитические выражения для вклада поляриза ции вакуума в мюонных и экзотических атомах 20
1.1 Введение 20
1.2 Замкнутые аналитические выражения для нерелятивистской поправки Юлинга для произвольного уровня энергии 21
1.3 Релятивистское выражение для поправки Юлинга для частицы со спином 1/2 и произвольного состояния 25
1.4 Тонкое расщепление атомных уровней 27
1.5 Релятивистское выражение для поправки Юлинга для скалярной частицы в циркулярном состоянии 28
1.6 Заключение 31
2 Исследование асимптотического поведения и приближен ное вычисление поправок на поляризацию вакуума для различных уровней 35
2.1 Введение 35
2.2 Асимптотическое поведение однопетлевой поляризации вакуума при различных значениях пик 38
2.3 Высоковозбужденные состояния в квазиклассическом приближении 48
2.4 Сравнение различных асимптотических выражений 53
2.5 Приближенное вычисление поправок Юлинга в терминах гипергеометрической фунции 2І4 57
2.6 Применение развитого приближенного метода к некоторым задачам 68
2.7 Заключение 73
3 Вычисление поправки на поляризацию вакуума второго порядка для сверхтонкого расщепления в мюонном водороде 75
3.1 Введение 75
3.2 Первый порядок теории возмущений 87
3.3 Второй порядок теории возмущений 91
3.4 Третий порядок теории возмущений 97
3.5 Другие КЭД поправки в теории сверхтонкого расщепления мюонного водорода 102
3.6 Заключение 104
Заключение 109
- Замкнутые аналитические выражения для нерелятивистской поправки Юлинга для произвольного уровня энергии
- Асимптотическое поведение однопетлевой поляризации вакуума при различных значениях пик
- Применение развитого приближенного метода к некоторым задачам
- Третий порядок теории возмущений
Введение к работе
Актуальность темы
В диссертации рассматриваются некоторые экзотические двухчастичные атомы. Подобные атомы являются объектом активных теоретических и экспериментальных исследований [1, 2]. Разнообразные прецизионные данные можно получить из спектроскопических измерений, тогда как простота атомов позволяет проводить высокоточные вычисления. В результате появляется возможность проверить фундаментальные теории, ядерные модели, а также измерить различные фундаментальные параметры. В частности, мюонные, пионные и антипротонные атомы представляют существенный физический интерес в связи с экспериментальным определением различных физических параметров мюонов, (анти)протонов, пионов и атомных ядер. К таким параметрам относятся масса (анти)протона, мюона, пиона, магнитный момент мюона, зарядовые радиусы ядер и параметры сильных взаимодействий (пион-пионных и пион-нуклонных).
Мюонные атомы представляют собой атомные системы, содержащие мюон, масса которого приблизительно в 207 раз больше массы электрона. Это приводит к тому, что мюон находится гораздо ближе к ядру, чем электрон. В результате, даже при наличии в атоме электронов, в ведущем приближении их можно не учитывать и связанный мюон описывается в во-дородоподобном приближении. Исследования мюонных атомов представ-
ляют интерес для целого ряда дисциплин - от физической химии, атомной физики и физики твердого тела до физики ядра и элементарных частиц. Экзотические атомы во многом подобны мюонным атомам, но взаимодействие атомной частицы с ядром имеет более сложных характер.
Имеется целый ряд экспериментальных результатов по мюонным и экзотическим атомам. Ведутся и планируются новые эксперименты в этой области (в частности, исследования мюонпого водорода). В настоящее время проводятся измерения лэмбовского сдвига [3], в которых также планируется измерить сверхтонкое расщепление (СТР) 2s уровня мюонного водорода. На стадии разработки находится эксперимент по Різмерению СТР основного состояния [4].
Для того чтобы найти упомянутые выше параметры из эксперимента, необходимо уметь с высокой точностью вычислять квантовоэлектро-динамическис (КЭД) поправки, теории которых и посвящена представленная диссертация.
В диссертации на примере однопетлевой поляризации вакуума развиты эффективные методы вычисления поляризационных эффектов, основанные на аналитических вычислениях в терминах обобщенных гипергеометрических функций, асимптотических разложениях и приближенных вычислениях. С их использованием найдена поправка к СТР на поляризацию вакуума второго порядка и рассмотрены применения развитых методов к другим задачам, например, к вычислению значения волновой функции в нуле. Цель работы
Развитие аналитических методов расчета поляризационных поправок, основанных на анализе асимптотического поведения поправок
и на приближенных вычислениях. Эффективность методов проверяется на примере однопетлевой поляризации вакуума в нерелятивистском и релятивистском приближениях. Эти методы применимы к различным задачам теории экзотических атомов. В связи с этим, в диссертации решаются следующие задачи: выводятся новые точные представления для поляризационных поправок в терминах стандартных интегралов; находятся асимптотические выражения для поправок и простые аналитические приближенные формулы.
Вычисление неизвестной поправки к СТР низших уровней мюонного водорода, обусловленной эффектами электронной поляризации вакуума второго порядка. Это позволяет уточнить значение специальной разности СТР Is и 2s уровней в мюонном водороде, для которого обсуждаемая поправка дает наибольшую погрешность теоретического значения.
Научная новизна работы
В диссертации получены следующие новые результаты:
Развиты эффективные методы аналитического вычисления поляризационных поправок к уровням энергии водородоподобных атомов для нерелятивистских и релятивистских задач. Получены полезные представления для нерелятивистских поправок на поляризацию вакуума первого порядка. Найдены выражения для релятивистских атомных частиц со спином ноль и 1/2. Результаты применимы, в частности, для учета электронной поляризации вакуума в мюониых, пион-ных, антипротонных и других экзотических атомах.
Получены различные асимптотические разложения для нерелятивистской поправки Юлинга. Результаты применимы для любых со-
стояний экзотических атомов, допускающих использование нерелятивистского приближения. Найдена ведущая поправка к тонкой структуре. Также получены приближенные формулы в терминах хорошо известных гипергеометрических функций 2-Fi для произвольного состояния атома. Приближенные результаты одинаково применимы в нерелятивистском и релятивистском случае.
3. Найдена поправка на электронную поляризацию вакуума второго порядка для СТР состояний Is и 25 в мюонном водороде.
Научная и практическая ценность работы
Развиты эффективные методы вычисления поляризационных поправок, которые могут применяться к ряду задач в мюонных и экзотических атомах. В частности, для вычисления вкладов первого и высших порядков поляризации вакуума в лэмбовский сдвиг и СТР, в величину волновой функции в нуле, в магнитный момент связанного мюона и т.д.
Наиболее полезными могут оказаться результаты, полученные для мю-онного водорода, в связи с проводимым экспериментом по измерению лэм-бовского сдвига, в котором предполагается измерить и СТР уровня 2s, а также планирующимся экспериментом по измерению СТР основного состояния.
Апробация работы
Работа докладывалась на семинарах Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, Кафедры квантовой механики физического факультета СПб-ГУ и Лаборатории прецизионной физики простых атомов ВНИИМ им. Д. И. Менделеева. Основные результаты были представлены на международных и всероссийских конференциях, таких как PSAS'2006, PSAS'2008: The international conference on precision physics of simple atomic systems;
ICAP'2006: 20th international conference on atomic physics; EXA'2008 h LEAP'2008: International conference on exotic atoms and related topics h International conference on low energy antiproton physics; Всероссийское совещание no квантовой метрологии и фундаментальным физическим константам (Санкт-Петербург 2008). Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в соавторстве в пяти статьях
С. Г. Каршенбойм, Е. Ю. Корзинин, В. Г. Иванов, Сверхтонкое расщепление в мюонном водороде: КЭД поправки порядка а2, Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики 88, 737-742 (2008); Поправка к статье: там же, 89, 240 (2009)
Е. Yu. Korzinin, V. G. Ivanov and S. G. Karshenboim, Vacuum polarization in muonic and antiprotonic atoms: the fine structure at medium Z, The European Physical Journal D41, 1-7 (2007)
E. Yu. Korzinin, V. G. Ivanov, and S. G. Karshenboim, Vacuum polarization in muonic and exotic atoms: the Lamb shift at medium Z and high n, Canadian Journal of Physics 85, 551-561 (2007)
S. G. Karshenboim, V. G. Ivanov and E. Yu. Korzinin, Vacuum polarization in muonic atoms: the Lamb shift at low and medium Z, The European Physical Journal D39, 351-358 (2006)
S. G. Karshenboim, E. Yu. Korzinin and V. G. Ivanov, The Uehling correction to the energy levels in a pionic atom, Canadian Journal of Physics 84, 107-113 (2006)
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и четырех приложений и содержит 132 страницы, 25 рисунков и 8 таблиц. Список литературы включает 76 наименований. Содержание работы
Основная структура энергетических уровней всех видов водородоподоб-ных атомов одинакова и определяется решением уравнения Шредингера с кулоповским потенциалом
(Za)2mc2
ЯКО ^- ,
где т - масса атомной частицы, т. е. электрона для обычных атомов или более тяжелой частицы для мюонных и экзотических атомов. Однако детали спектра и, в частности, структура энергетических уровней с одинаковым главным квантовым числом п различны для различных типов атомов. Например, для мюонных атомов с малым и средним зарядом ядра Z наибольшее расщепление уровней с одинаковым п соответствует А1 ф 0 (лэмбовское расщепление), которое оказывается нерелятивистским эффектом.
Такое отличие спектров связано с тем, что в мюонных и экзотических атомах масса атомной частицы много больше массы электрона. Это приводит к большой чувствительности некоторых параметров атомных уровней к структуре ядра, и доминированию электронной поляризации вакуума по сравнению с другими КЭД эффектами.
Необходимость учета структуры ядра в ряде случаев ограничивает доступную точность аналитических вычислений и требует применения численных методов. При этом вклады поляризации вакуума также находятся численно. Однако для мюонных и экзотических атомов есть область за-
дач, в которых можно использовать приближение точечного ядра. Оно оказывается наиболее эффективно в случае I ф О и особенно если I ^> 1, поскольку волновая функция атомной частицы в таких состояниях мала в области ядра и эффекты структуры ядра оказываются подавлены по сравнению с s-состояниями.
Теоретическое изучение таких уровней актуально, поскольку они используются в ряде экспериментальных исследований. Так прецизионные измерения высоковозбужденных состояний с большими I представляют интерес, в частности, в связи с определением массы отрицательного мюона (для определения отношения т^/гпе в [5] использовался переход 3^5/2 — 2рз/2 в мюонных 24Mg и 28Si). В аналогичном эксперименте для пионных атомов определяется масса пиона. Одной из трудностей этого измерения является калибровка рентгеновского источника, связанная, в конечном счете, с измерением гпп/гпц. В [6, 7] переходы 5/ — Ад в пион-ном азоте и 6h — Ад в пионном неоне сравниваются с переходом 5/ — Ад в мюонном кислороде. Успешное определение массы пиона в свою очередь позволит использовать пионные атомы в качестве источника рентгеновского излучения [8] с опорной линией перехода 6д — 5/ в пионном неоне.
Существует также ряд других задач в теории мюонных и экзотических атомов, в которых использование приближения точечного ядра оправдано. В этом приближении эффекты поляризации вакуума можно вычислять аналитически.
Большая масса мюона или связанной частицы в экзотическом атоме приводит к малым характерным размерам соответствующих атомов, при этом малость Za <С 1 позволяет описывать их нерелятивистски. Характерная область взаимодействий, отвечающим эффектам поляризации ва-
куума, пропорциональна комптоновскои длине волны частицы в петле и для электронной поляризации вакуума совпадает с характерными размерами мюоиных и экзотических атомов. Это позволяет эффективно использовать в соответствующих вычислениях нерелятивистское приближение. В общем случае поправка на поляризацию вакуума зависит от параметра
равного отношению характерного импульса атомной частицы Zam In к массе частицы в поляризационной петле те (используется система единиц h = с = 1). Здесь т - масса атомной частицы, п - главное квантовое число рассматриваемого уровня энергии, к - соответствующий параметр для основного состояния. Если для атомов с малыми и средними Z этот параметр порядка или больше единицы (электронная поляризация вакуума в мюонных, иионных, антипротонных атомах), то применимо нерелятивистское приближение. Если кп <С 1, как для легких электронных атомов (кп = Za/n), то поляризационные эффекты связаны с короткодействующим потенциалом и должны описываться релятивистски.
Если известно точное аналитическое выражение для поляризационной поправки, являющееся функцией к, то оно применимо для широкого спектра атомов. При этом параметр к может принимать значения от к <С 1 до к ^> 1. Например, для электронной поляризации вакуума, физически интересными являются значения этого параметра, приведенные в Таблице 1, соответствующие различным простым атомам
Значительная часть диссертации посвящена простейшей поляризационной поправке, вкладу потенциала Юлинга. Для нее исследованы точные нерелятивистские [9] и релятивистские представления [10, 11]. Найдены
Таблица 1: Характерные массы и значения параметра к в мюонных и экзотических атомах.
асимптотические формулы, позволяющие оценивать изменения величины вклада для различных атомов (зависимость от к) и состояний атомов (зависимость от п).
В принципе, поправки типа юлинговской могут быть вычислены различными способами, например, численно, и сами по себе не представляют реальной проблемы. Основной целью диссертации является разработка методов (при рассмотрении поправки Юлинга), которые могут быть применимы к более сложным поляризационным эффектам, учитывающим отдачу, эффекты старших порядков и др.
Далее в вычислительной части диссертации развитые методы применяются для нахождения поправки на двухпетлевую поляризацию вакуума в мюонном водороде [12].
В первой главе исследуются поправки к кулоповскому взаимодействию на эффекты однопетлевой поляризации вакуума в водородоподоб-ном атоме, так называемый потенциал Юлинга.
Однопетлевая поляризационная поправка к кулоновским уровням энергии в этой главе рассматривается как в нерелятивистском, так и релятивистском приближениях (без разложения по Za). Релятивистские результаты получены для частиц со спином 1/2 [10], описываемых уравнением Дирака, и частиц с нулевым спином [11], описываемых уравнением
Клейна-Гордона-Фока. Для дираковских частиц также получено представление для ведущей релятивистской поправки к разности уровней энергии с одинаковыми главными квантовыми числами п и орбитальным квантовым числом I, но разными значениями полного углового момента j, то есть к тонкой структуре атомных уровней.
Поправка к энергии атомных уровней на однопетлевую поляризацию вакуума в мюонных атомах была вычислена в нерелятивистском приближении для некоторых низших уровней достаточно давно [13, 14, 15]. Однако, полученные аналитические результаты имели целый ряд недостатков. Их было невозможно обобщить на релятивистский случай, а обобщение выражений для высоковозбужденных состояний приводило к исключительно громоздким выражениям, возможность аналитической работы с которыми была крайне ограничена. Так, даже простейшие асимптотики для возбужденных уровней не были известны.
В диссертации обсуждаются несколько различных представлений нерелятивистской поправки для произвольных уровней энергии. Ранее было получено лишь представление нерелятивистской поправки Юлинга в терминах частных производных [16], что удобно не для всех приложений. В первой главе диссертации получены новые представления для этой поправки в терминах конечной суммы стандартных интегралов [17, 18]
^W^b^(iwi-W (2)
В частности, одно из полученных представлений содержит сумму слагаемых одного знака. Хотя сумма конечная, но для высоковозбужденных состояний она содержит большое число слагаемых и знакоопределенность ряда упрощает контроль за точностью приближенных вычислений.
Отметим, что для Кьс(кп) известно точное аналитическое выражение,
которое содержит обобщенные гипергеометрические функции [17, 18, 19]
Къс(к) = Кис(к) - -К2ьс(к) ,
**(«) = ^в(« + і 1-1 + 1)
_ /с с 1 _ 6 с 1 3 b с r,\
ХзІЧ2' 2 + 2^-2 + 2=2^+2-2 + 2^)
"2K +B(a+2'2-2 + 2)
_ /c „ с 13 6 сЗ л 6 с o\
ХЛ(2 + 1'2 + 2'2-2 + 2;2'а + 2-2 + 2;К)-
Использование такого представления делает крайне затруднительной дальнейшую аналитическую работу с выражениями для однопетлевых поправок из-за их громоздкости. Далее в диссертации рассматриваются различные методы получения асимптотик и простых приближенных выражений для поправки Юлинга.
Точное релятивистское выражение для поправки Юлинга в случае ди-раковской частицы для произвольного атомного состояния найдено в диссертации впервые. Полученный релятивистский результат используется для вычисления поправки к тонкой структуре атомных уровней.
Также в первой главе исследуется релятивистская поправка Юлинга для водородоподобного атома, в котором атомная частица обладает нулевым спином как, например, пион [11]. Такая частица во внешнем поле релятивистски описывается уравнением Клейна-Гордона-Фока, теория возмущений для которого была развита лишь недавно [20]. В диссертации впервые была вычислена релятивистская поправка Юлинга для атома с нулевым спином атомной частицы, находящейся в циркулярном состоянии (I = п— 1). Полученное представление во многом аналогично дираковско-му случаю. Проведено сравнение поведения вычисленных поправок для частиц с нулевым и полуцелым спинами.
В первой главе были получены точные выражения для нерелятивистской и релятивистской поправок Юлинга, в терминах Кьс{кп). Причем нерелятивистскому случаю отвечают целочисленные значения Ъ и с, а в релятивистском случае целым является только Ъ. В случае произвольного состояния полученные представления содержат сумму обобщенных гипергеометрических функций з-^2 с различными аргументами. Такой способ представления поправок затрудняет дальнейшую аналитическую работу, и в частности не позволяет просто оценить изменение величины вклада однопетлевой поляризации вакуума при изменении состояния атома или характерных атомных параметров, например, к,п.
Во второй главе получен ряд простых асимптотик для стандартных интегралов Кьс(кп) через которые выражается нерелятивистская поправка Юлинга. Обсуждается асимптотическое поведение нерелятивистской поправки при различных соотношениях параметров задачи. Для высоковозбужденных состояний также применяется квазиклассическое приближение, что позволяет провести расчеты [21], эффективно учитывающие поправки старших порядков по потенциалу Юлинга.
Для сходимости гипергеометрического ряда для обобщенной гипергеометрической функции з^2 достаточно, чтобы ее аргумент был меньше единицы. Однако, для высоковозбужденных состояний ряд быстро сходится только начиная с некоторого большого номера слагаемого, а первые члены ряда одного порядка. Одна из задач этой главы - получение новых выражений для стандартных интегралов, таких чтобы была возможность аппроксимации поправок на поляризацию вакуума несколькими членами ряда.
Вторая часть второй главы посвящена методу перестройки общих вы-
ражений для поправок Юлинга, позволяющему вместо представления поправок в виде конечной суммы гипергеометрических функций з^2 записать их в виде бесконечной суммы более простых функций 2-^1- Что более важно, этот метод позволяет аппроксимировать исходные выражения для поправок Юлинга конечной суммой небольшого числа слагаемых с 2F\. Развитый метод эффективен как для нерелятивистских, так и для релятивистских задач.
Гипергеометрическая функция 2-^1 хорошо изучена и для нее известен ряд удобных аналитических представлений и преобразований (см. например Приложение в [22]). Новое представление для однопетлевых поляризационных поправок имеет ряд преимуществ. Оно позволяет проще отслеживать изменения величины поправки при изменении состояния атома или характерных атомных параметров, а также позволяет контролировать сходимость бесконечного ряда и контролировать погрешность упомянутых приближений.
В конце главы обсуждается применение развитого метода приближенных вычислений к различным задачам в мюонных и экзотических атомах, в частности, к вычислению поправки к значению волновой функции атомной частицы в нуле, которое играет важную роль при вычислениях поправок на структуру ядра, а также аннигиляционных эффектов в пио-нии. Обсуждаются приложения метода к вычислению магнитного момента связанного мюона.
В первой и второй главе диссертации на примере однопетлевых поправок были развиты эффективные методы вычисления вкладов поляризационных эффектов. В третьей главе они применяются при вычислении поправки на поляризацию вакуума второго порядка для СТР в мюонном
водороде.
В третьей главе рассматривается СТР Is и 2s уровней энергии в мю-онном водороде. Теоретические вычисления этих величин представляют интерес в связи с тем, что сейчас предпринимаются усилия по их экспериментальному измерению. Сверхтопкое расщепление состояния 2s будет исследовано в рамках идущего эксперимента по измерению лэмбовского сдвига [3]. Также планируется эксперимент по измерению СТР основного состояния мюонного водорода [4].
Особенностью мюонного водорода является более высокая чувствительность СТР к структуре ядра, что ограничивает возможность его вычисления из первых принципов. Возможный подход к решению проблемы поправок на структуру ядра был предложен в случае обычных легких водородоподобных атомов [23, 24]. Он заключается в рассмотрении специальной разности
АЕ21 = 8 х hfs(2s) - Еьь(І8) . (3)
Ее особенностью является то, что «жесткие» вклады в энергию ns состояний, обычно пропорциональные значению квадрата волновой функции в нуле
Кг(г = 0)|2 = Щ^601, (4)
сокращаются. В результате специальная разность менее чувствительна к эффектам структуры ядра.
Другой особенностью мюонных атомов является доминирование эффектов электронной поляризации вакуума по сравнению с другими КЭД эффектами. Поправка к СТР на однопетлевую электронную поляризацию вакуума для Is и 2s состояний известна [25]. В третьей главе диссертации вычисляется поправка на двухпетлевую поляризацию вакуума. Это самая
большая ранее неизвестная поправа. Она вносит вклад в СТР Is уровня поправку около 67 ррш. Остальные КЭД поправки или меньше, или могут быть получены обобщением результатов для обычного атома водорода.
В результате получено выражение для специальной разности в виде [12]:
AE2i = f 127.06(49) + 1.03(1)
AE^(ls)
..96(2) g)2-0.46(1) g)2)x Ю-6 эВ
Здесь первое слагаемое отвечает КЭД эффектам, в том числе оно содержит и найденный в диссертации вклад, равный —1.8606 х 10_6 эВ. Остальные слагаемые учитывают структуру ядра. Для удобства нормировки в числителе приведены актуальные величины, характеризующие структуру ядра (A^ucl(ls) - поправка к величине СТР, Re - зарядовый радиус протона, Rm ~ магнитный радиус протона), а в знаменателе их оценки (A^ucl'(ls) = -1450.72 х 1(Г6 эВ, R0 = 0.9 фм). Обсуждение точности этого выражения и обсуждение различных возможностей работы с ожидаемыми экспериментальными данными составляют заключительную часть третьей главы.
В заключении суммируются результаты, выдвигаемые на защиту.
В приложениях обсуждаются некоторые технические подробности предлагаемых в диссертации методов и вычислений.
Замкнутые аналитические выражения для нерелятивистской поправки Юлинга для произвольного уровня энергии
Нерелятивистская поправка Юлинга дает ведущий вклад в лэмбовский сдвиг в мюонных и экзотических атомах. Лэмбовский сдвиг в нерелятивистском приближении представим в виде где Rni(r) - радиальная часть шредингеровской волновой функции водо-родоподобного атома Y/m(r/r) — сферическая гармоника. Используя известное выражение для Rni(r) и интегрируя по г, получим (см. формулу (f.9) в [22]) После замены гипергеометрической функции 2-Pi конечной суммой получаем следующее выражение для Fni(«n) [9]: где введенный стандартный интеграл может быть выражен [17, 18] через обобщенные гипергеометрические функции [19] Х (2 + 1 2 + 2 2-2 + 2;2 а + 2-2 + 2;,ї)-В нерелятивистском случае поправка (1.6) включает стандартные интегралы только с целочисленными параметрами бис. В выражении (1.6) было введено обозначение для параметра, естественно возникающего при вычислении поляризационных поправок. Величина к является важной характеристикой задачи. Для мюонных и экзотических атомов этот параметр обычно порядка единицы и более. Это означает, что характерной областью юлинговского взаимодействия является атомная область (поправка набирается при атомных импульсах), и в этом случае нерелятивистское приближение эффективно. Для обычных электронных атомов к С1и поляризация вакуума является релятивистским эффектом. Отметим, что для целых параметров бис стандартные интегралы могут быть выражены через элементарные функции. Например, что следует из выражения (1.6), и FW(K) известна в терминах элементарных функций [14, Запишем поправку для произвольного состояния через поправку для основного состояния, используя для этого рекуррентные соотношения (см. [17, 18]) В результате получим общее выражение для Fni(Kn) Оно позволяет записать поправку к произвольному уровню через элементарные функции. Такое представление также удобно для получения различных асимптотик, если известны соответствующие асимптотики для F10(K). Другое представление для Fni в виде однократной конечной суммы можно найти в [16]: Здесь = 1/кп и m - биномиальные коэффициенты.
Еще одно представление в виде конечной суммы может быть получено при рассмотрении нерелятивистского предела точной релятивистской поправки Юлинга для связанной дираковской частицы (1.21). Нерелятивистский результат имеет следующий вид Это представление отлично от (1.17) и (1.6), но согласуется с ними. Полученное нами представление (1.6) отличается от остальных тем, что все члены суммы знакопостоянны. Это дает определенные преимущества при рассмотрении высоковозбужденных состояний. Хотя равенство (1.6) содержит конечную сумму, но количество слагаемых в ней велико, и их знакопостоянпость позволяет проще оценивать точность приближенных вычислений. 1.3 Релятивистское выражение для поправки Юлинга для частицы со спином 1/2 и произвольного состояния Точное релятивистское выражение для поправки Юлинга к энергии связанной дираковской частицы в водородоподобном атоме имеет вид Здесь fnij и gnij - верхняя и нижняя компоненты волновых функций Дирака [27]. Точные вычисления были представлены ранее для некоторых уровней энергии [17, 18]. Найдем представление для произвольного состояния во-дородоподобного атома. Используя известное выражение для кулоновской волновой функции релятивистского атома водорода (см., например, [27]) и интегрируя по координатам, получим [21] и „/j — точная релятививстская энергия дираковской частицы в состоянии nlj в кулоновском поле ядра. Отметим, что в нерелятивистском случае стандартные интегралы Кьс{кп) имеют целочисленные параметры Ъ и с, а в релятивистском случае целым является только параметр Ь. Аргумент Rn в (1.21) в нерелятивистском пределе совпадает с кп, а в общем случае не равен ему. В пределе Za — 0 (1.21) дает представление для нерелятивистской поправки к энергии Полученную релятивистскую поправку Юлинга можно разложить в ряд по (Za) Первый член ряда Fni(Kn) отвечает перелятивистскому вкладу в лэмбов-ский сдвиг уровней и соответствует представлению (1.19) для нерелятивистской поправки к энергии. Второй член разложения Нпц(к,п), в частности, отвечает за ведущую радиационную поправку к тонкой структуре атомных уровней.
Под тонкой структурой здесь подразумевается расщепление уровней энергии с одинаковыми п и I, но разными значениями полного углового момента (j ф j ). В [10] рассмотрена специальная разность, отвечающая тонкому расщеплению для которой был получен ряд простых асимптотик. Здесь же приведем точное выражение для Нпц(кп), верное для произвольного состояния атомной дираковской частицы [21] (nr)\(j + n+ 1/2)1 Выше была рассмотрена однопетлевая поляризация вакуума для дираков-ской атомной частицы, например электрона, мюона, антипротона и т. д. Однако, эффекты поляризации вакуума играют важную роль и, например, в пионных атомах, которые релятивистски описываются уравнением Клейна-Гордона-Фока. В случае электростатического потенциала оно имеет вид В отличие от уравнения Дирака, на его основе нельзя сформулировать задачу на собственные функции и собственные значения эрмитового опе- ратора. Решения Уравнения Клейна-Гордона-Фока, Ф;, не являются взаимоортогональными и их нормировка не тривиальна. Здесь мы вычисляем поправку Юлинга с помощью первого порядка теории возмущений для уравнения Клейна-Гордона-Фока. Используемые нами формулы теории возмущений были получены совсем недавно [20], несмотря па долгую историю исследований уравнения Клейна-Гордона-Фока с некулоповским потенциалом. До появления работы [20] уравнение Клейна-Гордона-Фока решалось точно(см., например, исследование задачи о падении на центр в [28, 29, 30] и численные вычисления [31]). Воспользуемся здесь выражением для поправки к энергии в первом порядке теории возмущений [20] для вычисления поправки на потенциал Юлинга. Здесь Е\ - невозмущенная энергия состояния в потенциале V(\ 5V - возмущающий потенциал. В нашем случае V 0) - кулоновское взаимодействие, и 5V — VJJ. Волновые функции релятивистской частицы с нулевым спином, находящейся в кулоновском поле, также как и собственные значения энергии, хорошо известны (см., например, [32]).
Асимптотическое поведение однопетлевой поляризации вакуума при различных значениях пик
Исследуем асимптотическое поведение нерелятивистской поправки Юлин-га, которая наиболее простым образом связана со стандартными интегралами Kfc. При этом уделим внимание области больших к, которая соответствует мюонным и экзотическим атомам, а также области малых к, которая реализуется в обычных электронных атомах. Для различных к рассмотрим асимптотики для высоковозбужденных состояний. Асимптотическое поведение при больших кп В случае кп 1 используем асимптотику, полученную для основного состояния FIQ (см. [17, 18] ) Разность подавлена множителем 1/п, так же как и в случае малых /, но, в отличие от ф-лы (2.10), здесь нет дополнительного подавления последующих членов. В результате, мы видим, что приведенные выше разложения при больших кп (ср. [17, 18, 16]) имеют хорошую сходимость только в случае кп п, что сужает область их применимости. Ниже мы еще обсудим область параметров, где кп 3 1, но кп С п. Асимптотическое поведение при малых к В связи с мюонными и экзотичекими атомами скорее интересны большие, а не малые значения к. Однако при больших п, даже в случае к 3 1, реализуется ситуация, когда кп = к/п С 1, поэтому рассмотрим и область малых к. Асимптотическое поведение Рпі(к,п) при малых кп рассматривалось в [17, 18] (см. также [16]). Получить его можно различными способами. Можно использовать выражение (1.16), учитывая что или используя ф-лу (1.6) с Къс записанным в форме (1.8), или через гипергеометрические ряды. Последний - наиболее простой способ получить разложение для малых кп 1: + 0((п«„)4)}. Первые члены разложения были получены в [16] и согласуются с нашим результатом. Оказывается, первые члены разложения зависят от п-кп = к, а не кп. Это налагает ограничение на применимость приближения поправки Юлинга первыми членами такого разложения условием к,п С 1/п. В частности, выписанные члены ряда (2.14) не могут использоваться для описания ридберговских состояний мюонного водорода, т.е., для Z = 1, поскольку в этом случае к 1.5 и кп 1.5/п. Асимптотическое поведение при больших п Как показано выше, при разложении гипергеометрических функций по параметрам кп или 1/кп, каждый новый член ряда содержит дополнительную степень п.
Это происходит из-за пропорциональности коэффициентов разложения соответствующей степени п. Такая зависимость коэффициентов от п возникает из разложения множителя в основных интегралах Кьс(кп), где с = 2п. Отметим, что рассмотрение больших п также является физической задачей. Так в [нейтральном] антипротонном гелии для реализуемых уровней [33] имеем Z = 2, п 30 1, к 27 1, кп 1. Одной из причин изучать состояния с большим п является их слабое взаимодействие с ядром, особерпю в случае больших I. Это преимущество существенно как с теоретической так и экспериментальной точки зрения. Поэтому рассмотрим случай п : 1 для циркулярных и близких к ним состояний. Предел малых кп для почти циркулярных состояний В выражение для вычисления поправки к энергии на поляризацию вакуума входят интегралы Кьс- Для почти циркулярных состояний b С п и, если использовать (1.6), то с = 2п для любого состояния. Поскольку известно общее выражение (1.9) в терминах SF2 (ср. [17, 18]), можно рассмотреть в каждом порядке разложения по кп только ведущие по п члены (подобная процедура применялась для того, чтобы показать, что полученные выше первые члены разложения зависят от пкп, а не только кп). Собирая вместе ведущие по п вклады, получим выражение в пределе п » 1, кп 1 и & « п Чтобы выразить поправку к энергии Fni(K,n) в терминах Кь п( п) Для почти циркулярных состояний (nr = п — / — 1 Сп), надо в соответствующих коэффициентах в (1.6) перейти к пределу больших п. Отметим, что основные интегралы Кь,2п(кп) не зависят от b в ведущем порядке по 1/п и поэтому зависимость поправки от I возникает из коэффициентов в (1.6). В результате получим Еще раз отметим, что этот результат применим для кп -С 1 и к 1, а поправка к нему имеет порядок 1/п. В случае к С 1 он согласуется с ведущим вкладом в разложении по малым к,п (2.14).
Предел больших кп для почти циркулярных состояний Для почти циркулярных состояний !) nr = n-I-l n рассмотрим также случай кп 1. Перепишем Кь пі п) следующим образом Если 6 C n, можно разложить аргумент экспоненты в ряд и получить Это выражение зависит только от кп/п. Перейдем к новой переменной t = 1/\/1 — V2 интегрирования Подставляя это выражение в сумму (1.6) и пренебрегая п — I по сравнению сив коэффициентах ряда, получаем Также как и в предыдущем разделе, найденный результат применим при 1/кп 1и п/кп 1 и поправка к нему имеет порядок 1/п. Сравнение асимптотик при малых и больших к Наиболее интересная область значений больших к определяется условиями 1/кп 1и п/кп 1. Выше была получена асимптотика для поправки, когда {п/кп 1) . В интересующей же области кп/п порядка 1 или больше (например, как в случае 1/кп го-1/2 С 1 и п/кп п1/2 1). В частности, если кп/п 1, то результат интегрирования по t в (2.22) будет набираться в области (t — 1) С 1. Этот факт можно использовать, чтобы улучшить результат, полученный в предыдущем разделе. Для этого рассмотрим больше членов ряда для логарифма в предыдущем разделе и положим t = 1 для всех членов разложения кроме ведущего Сравнивая две асимптотики поправки для циркулярных состояний, видим, что К2,2п(кп) может быть представлен в виде произведения множителя и гладкой функции. Численное значение этого множителя сильно меняется в зависимости от к,п в то время как гладкая функция меняется слабо. Благодаря этому можно ожидать, что асимптотики с точным множителем (2.26) могут быть применены и в других областях значений параметров. Сравнение различных асимптотик с точным выражением при п = 100 представлено на Рис. 2.1. В частности, видно, что точный учет множителя (кп/(1 + кп))2п действительно улучшает согласие между асимптотикой и точной поправкой. Рис. 2.1: Отношение различных асимптотик -F„,n-i и точного значения поправки для циркулярных состояний сп= 100: (а) - пкп С 1 (2.14), (Ь) - кп С 1 (2.18), (с) -к„С1 (2.25), (d) - кп » 1 (2.21), (е) - я„ » 1 (2.24), (f) - кп/те 3 1 (2.11); горизонтальная ось соответствует точной формуле ДЛЯ Fntn-i.
Применение развитого приближенного метода к некоторым задачам
В результате был разработан общий метод вычисления поправки Юлинга для энергии. Рассмотренные ранее примеры относились к нерелятивистским расчетам и, в частности, некоторые коэффициенты полагались целочисленными, что не соответствует релятивистскому случаю, к которому развитый подход также применим (см. далее). Ниже обсуждаются дальнейшие возможности применения развитого метода. Но прежде чем перейти к этой части отметим, что некоторые полученные результаты, такие как представление в виде бесконечных сумм (2.59) и (2.60), весьма перспективны. В то время как для некоторых желательно дополнительно изучить погрешности. В частности, это относится к аппроксимации (2.63). Если все выражение, стоящее под интегралом по у не меняет знака, то можно применить оценки погрешности из .Таблицы 2.2, в противном случае получим «хорошую» приближенную формулу, погрешность которой надо пересматривать в каждом частном случае. Релятивистская поправка Юлинга для дираковской частицы Релятивистское выражение для сдвига энергии n/j-состояния водородо-подобного атома с дираковской частицей (электрон, мюон, антипротон) приведено в (1.21) Эффективность применения развитого метода к релятивистской задаче демонстрируется для 3 5/2-состояния на Рис. 2.8 и 2.9. Напомним, аппроксимация выражения для сдвига энергии делается в два этапа: сначала аппроксимируются стандартные интегралы Къс ком- бинацией Qbc, которые выражаются через 2-fi- Простейшая из таких аппроксимаций (ср. (2.62)) Более точные и сложные аппроксимации обсуждались выше. На втором этапе 2 в представлении, удобном при различных значениях параметра кп, аппроксимируется несколькими членами гипергеометрического ряда, что обсуждается в Приложении А. На каждом из этапов можпо применять однотипные приближения, изменяя число параметров или членов аппроксимирующей функции. Это позволяет увеличивать точность, но не меняет общей ситуации, поскольку не изменяет характер выражений.
Как было показано в подразделе 2.5, все результаты для оценки точности аппроксимации на первом этапе (см., например, Таблицу 2.2) верны как для нерелятивистского, так и релятивистского случая дираковскои частицы. Для демонстрации эффективности второго этапа аппроксимации воспользуемся (2.65) как примером и рассмотрим свойства Кьс(к) как функции к. В действительности, при использовании любой аппроксимации из Таблицы 2.2, на следующем этапе имеем функции Q c. Так что рассматриваемый пример для случая З /г-состояния, типичен. Рассмотрим аппроксимацию Qbc первыми пятью членами ряда в представлении (2.53), (А.1) и (А.З). Результаты собраны на Рис. 2.8 и 2.9 и они подтверждают, что эффективность метода не зависит от того, релятивистский или нерелятивистский эффект рассматривается. Несколько слов о величине релятивистских эффектов на Рис. 2.8 и 2.9. Напомним, что они влияют не только на параметры Кьс (индекс с — і + к + С, и аргумент Rn), но и на общий множитель в (1.21). На рисунках отражена аппроксимация Кьс при данном аргументе Rn, что соответствует только части релятивистских эффектов. Поправка в связанному д фактору Как показано в [34], чтобы получить поправку к связанному д фактору в случае произвольного потенциала для дираковской или шредингеров-ской частицы достаточно знать аналитическое выражение для энергии Е с достаточным уровнем точности по параметрам: Однако, дифференцируя приближенную функцию, точность которой можно контролировать численно, нельзя просто оценить погрешность для ее производной. Однако, можно ожидать, что чем точнее приближение используемое для энергии, тем точнее результат для д фактора. Релятивистская поправка на потенциал Юлинга для частицы с нулевым спином В работе [20] обсуждался ряд теории возмущений для связанной частицы, описываемой уравнением Клейна-Гордона. В первой главе диссертации результат этой работы использовался, чтобы найти поправку на потенциал Юлинга для циркулярных состояний (1.29). Оказалось, что и в этом случае поправка выражается через стандартные интегралы Кьс{Л п), где т. е. развитый здесь метод приближенного вычисления применим и в случае нулевого спина атомной частицы. Нерелятивистская поправка к волновой функции в нуле Ф(0) Точное значение нерелятивистской функции в нуле, Ф(0), обсуждается для мюонных и экзотических атомов в связи с рядом физических задач. Оно важно при вычислении поправок на конечный размер ядра в мюонных и пионных атомах, сверхтонкого расщепления в мюонных атомах [35], времени жизни пиония [35, 16] и т.д. Юлинговская поправка к волновой функции в нуле для ns состояния ns(O) имеет вид где Gns(r ,r) - нерелятивистская редуцироваппая кулоновская функция Грина. При одном из аргументов равном нулю Gns(0,r) имеет простой вид (см., например, [36]), в частности Для волновой функции ls-состояния получим Поскольку знак подынтегрального выражения в (2.70) не меняется1, можно использовать тождества следующие из (2.58), аналогичные полученным для поправки к энергии.
Например, можно применить простейшую Получены различные асимптотические и приближенные формулы для поправки Юлинга. В частности, найдены асимптотические формулы при различных значениях п и отношениях характерного атомного импульса тс массе частицы в поляризационной петле для нерелятивистского случая. Выведенные асимптотические формулы для стандартных интегралов применимы также для получения асимптотик ведущей поправки к тонкой структуре. Пример таких асимптотик для некоторых низших уровней приведен в Таблице 2.3. Получены общие формулы в терминах хорошо известных гипергеометрических функций 2-Fi, которые применимы в нерелятивистском и релятивистском случаях. Рассмотрено применение развитых методов к различным физическим задачам. Сверхтонкое расщепление в ряде простых атомных систем чувствительно к структуре ядра, а его расчеты из первых принципов имеют ограниченную точность. Однако, им можно воспользоваться и для того, чтобы из сравнения теории и эксперимента определить различные эффективные параметры, описывающие структуру ядра, и использовать их значения в других вычислениях. Исследование мюонных атомов представляет значительный интерес в связи с определением зарядовых радиусов различных ядер. В частности, в настоящее время предпринимаются усилия по измерению лэмбовского сдвига в мюонном водороде [3]. Ожидается, что в рамках этого эксперимента будет также измерено сверхтонкое расщепление (СТР) метастабиль- ного состояния 2s. В то же время, рассматриваются планы по измерению СТР основного состояния в атоме водорода [4]. Один эксперимент находится на стадии, далекой от завершения, а другой - только планируется, и обсуждать их точность преждевременно. Тем не менее, желательно вычислить все поправки, сравнимые с 100 ppm, а также иметь стратегию для использования экспериментальных результатов, если они окажутся точнее этой величины. В том, что касается первой задачи, здесь вычисляется единственная неизвестная электродинамическая поправка, представляющая интерес. Она вносит в СТР приблизительно 67 ррт для Is состояния. Другие неизвестные КЭД поправки существенно меньше. Вместе с тем, имеется ряд поправок, связанных со структурой ядра, и погрешность их вычисления может превысить 100 ррт. Расчет эффектов структуры ядра для мюоиного водорода приведен в [37, 38]. Однако, вместо явного вычисления этих поправок, можно воспользоваться решением, предложеным в случае легких водородоподобных атомов [23, 24] и заключающимся в вычисление разности.
Третий порядок теории возмущений
Третьему порядку теории возмущений соответствуют две трехфотонные диаграммы, изображенные на Рис. 3.5. В разделе 3.1 этой главы в (3.9) Рис. 3.5: Характерные диаграммы третьего порядка теории возмущений приведено правило сопоставления аналитических выражений этим диаграммам, учитывающее наличие дополнительного члена, пропорционального поправке первого порядка теории возмущений. Согласно этому правилу диаграмме (f) соответствует следующий вклад в величину сверхтонкого расщепления где АЕц (ns) - вклад потенциала Юлинга, вычисленный в первом порядке теории возмущений. Напомним расшифровку введенного обозначения для волновой функции б ЫвУ) Она представима в терминах простых функций, если для вхоящей в это выражение кулоновской функции Грина использовать представления (3.33) и (3.34). Таким образом, при вычислении вклада диаграммы (f), штурмовское разложение используется только для одной функции Грина, и слагаемые в (3.46) содержат только однократную бесконечную сумму по штурмов-скому параметру. Дальнейшее вычисление этой диаграммы, аналогично вычислению диаграммы (е) во втором порядке теории возмущений. При расчете вклада первого слагаемого (3.46) воспользуемся выражением для энергии (3.39), в котором А 1(к) и A T sl(k) заменяются па Для второго слагаемого используем аналогичное представление, положив в двух последних формулах потенциал равным константе Интеграл по радиальной переменной в (3.48) и (3.49) берется аналитически. Здесь не приводятся окончательные выражения из-за их громоздкости. Интегрирование по спектральной переменной v проводится численно. Независимые вычисления первого и второго слагаемого в (3.46) показали, что для сверхтонкого расщепления вклад первого слагаемого численно превосходит вклад второго слагаемого. Такое численное подавление одного из вкладов в третьем порядке теории возмущений возникает не всегда. Так, при вычислении поправки на трехпетлевую поляризацию вакуума к лэмбовскому сдвигу в мюонном водороде, аналог второго слагаемого выражения (3.46) дает около трети полного вклада вычисляемой диаграммы.
Численные результаты для вклада диаграмм типа (f) на Рис. 3.5 приведены в итоговой Таблице 3.2 с учетом комбинаторного множителя 2. Осталось описать схему вычислений последней диаграммы, дающей поляризационную поправку порядка а2, которая обозначена буквой (g) на Рис. 3.5. Ей соответствует следующее аналитическое выражение Здесь для потенциала сверхтонкого взаимодействия в первом порядке теории возмущений сразу приведено явное выражение Вычисление первого слагаемого оказывается простым благодаря сообразному потенциалу сверхтонкого взаимодействия Подставляя его в выражение для первого слагаемого (3.50), получим Здесь i?„e(n, г) = Rns(r) - радиальная часть волновой функции кулонов-ской задачи. Интеграл такого типа уже вычислялся при рассмотрении диаграммы (lb) на Рис. 3.4. Воспользуемся уже имеющимся результатом и выразим первое слагаемое в (3.50) через уже вычисленную величину Ai&b)(ns) Вычисление второго слагаемого в (3.50) не является столь тривиальным. Оно содержит две кулоновские функции Грина с ненулевыми радиальными аргументами. Для каждой из них воспользуемся разложением по штурмовскому базису (3.38). В результате этого при вычислении поправки к энергии возникнет двойная сумма по штурмовским функциям. Двойная сумма по промежуточным состояниям типична для вычислений в третьем порядке теории возмущений. Однако в случае второго слагаемого в (3.50) двойная сумма сворачивается в однократную, благодаря свойствам ортогональности полиномов Лагерра, через которые выражаются функции штурмовского базиса. Выпишем вклад диаграммы (g), пропорциональный AE (ns), Это выражение содержит свертку двух функций Грина G(r ,r)G(r,r"). Если их представить в виде разложения по штурмовскому базису, то интеграл по г сведется к свертке радиальных базисных функций, являющихся полипомами Лагерра, и для которых верно равенство Это условие позволяет избежать двойного суммирования. Представление второго слагаемого в (3.50) в терминах Аи(к) и AlU(k) не сводится к модификации уже приведенных выше формул. Соответствующее представление было получено, однако из-за его громоздкости в диссертации не приводится. Как и в случае (3.39) оно представляет собой бесконечную однократную сумму типа и некоторое количество дополнительных слагаемых. Скорость сходимости этой суммы выше, чем в случае суммы в (3.39), соответствующей диаграмме (е).
Члены обсуждаемого ряда при больших к ведут себя как 1/fc4. Полный результат вычислений вклада диаграммы (g) на Рис. 3.5 приведен в итоговой Таблице 3.2. 3.5 Другие КЭД поправки в теории сверхтонкого расщепления мюонного водорода Значительная часть остальных известных поправок к СТР Is и 2s уровней выводилась для обычных, а не мюонных, атомов [23, 24], и мы здесь кратко их обсудим применительно к мюонному водороду. Ведущие КЭД вклады в СТР определяются следующим выражением где, например, [63, 64] и a — аномальный момент связанной частицы (электрона в водороде или мюона в мюонном водороде). Выражение содержит электродинамические поправки, одинаковые для мюонных и обычных атомов, и не включает эффектов конечного размера и структуры ядра. К последним относятся поправки на отдачу, которые предполагают интегрирование по большим переданным импульсам, когда необходимо учитывать формфакторы ядра и другие более сложные эффекты [65, 66]. Для нормированной разности (3.1) ситуация с поправками к отдаче существенно иная, т.к. «жесткие» петлевые интегрирования, требующие учета структуры ядра, приводят к -образным потенциалам и не дают вклада в (3.1). КЭД часть разности может включать и дополнительные члены. В частности, поправки порядка (Za)3(m/M) в общем случае (напр., для состояния Is) не являются чисто электродинамическими поправками, каковыми они оказываются для разности (3.1), для которой КЭД результат имеет вид [23, 39, 40, 41, 67].
