Содержание к диссертации
Введение
1 Метод линеаризации и новые классы решений в инфляционной космологии 17
1.1 Введение 17
1.2 Процедура линеаризации 24
1.3 Примеры точных решений 27
2 Новые классы решений в фантомной космологии и явление большого перехода 43
2.1 Введение 44
2.2 Космологические модели с фантомной энергией в виде газа Чаплыгина и BF-сингулярность 47
2.3 Квантовое описание BF-сингулярности 52
2.4 Решение для вселенной, заполненной газом Чаплыгина и темной материей 54
2.5 Явление большого перехода 61
2.6 Решение, содержащее переход от суперраздувания к коллапсу 65
2.7 Большой переход и уравнение Уилера-Де Витта 68
3 Космологические модели без горизонтов событий и принцип самосогласованности 75
3.1 Введение 75
3.2 Метод линеаризации и космологические модели без горизонтов событий 79
3.3 Примеры точных решений 82
3.3.1 В-модели 82
3.3.2 R-модели 87
3.3.3 BR-модели в плоском пространстве 90
3.3.4 Л-модели 92
3.4 Преобразование Дарбу и космологические модели без горизонтов событий 95
3.5 Заключение к главе 3 98
Заключение 100
- Процедура линеаризации
- Квантовое описание BF-сингулярности
- Метод линеаризации и космологические модели без горизонтов событий
- Преобразование Дарбу и космологические модели без горизонтов событий
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа направлена прежде всего на исследование новых инфляционных моделей в космологии и моделей со скалярной материей, описывающих темную энергию в виде газа Чаплыгина, которые согласовывались бы с набором наблюдаемых данных (величиной параметра Хаббла, величиной космологического ускорения). Одной из важных проблем в теории инфляции является проблема выхода из нее. Также в работе рассмотрены вопросы, связанные с построением космологической модели, которая описывала бы наблюдаемую Вселенную и в то же время была бы свободна от нестыковок с фундаментальными теориями (в частности, с теорией струн).
1) Одним из важных требований, накладываемых на теории ранней Вселенной современными наблюдательными данными, является существование инфляционного этапа в развитии Вселенной, когда масштабный фактор увеличивался экспоненциально быстро. Однако, физические причины, породившие этап инфляции, до конца не выяснены. На этот счет имеется ряд различных гипотез. Поэтому является актуальной проблема выяснения условий, при которых возникает инфляция, важно выяснить общие свойства модели самодействующего скалярного поля, характеризующие этап инфляции. Сложность исследований, однако, в том, что известно не так много точных решений космологических уравнений, не всегда существует адекватное приближение. В настоящей работе предложен метод, позволяющий построить новый класс точных космологических моделей, содержащих фазу инфляции и выход из нее без точной настройки параметров. Метод основан на сведений уравнений Эйнштейна-
Фридмана к линейному уравнению второго порядка. В работе проведены исследования полученных моделей и показано, что инфляционная фаза является достаточно общим свойством решений космологических уравнений.
2) Одним из важнейших открытий в физике и космологии последних лет является обнаружение феномена "темной энергии". Изучение сверхновых типа 1а продемонстрировало, что в среднем убывание яркости происходит быстрее, чем это должно происходить в рамках модели Фридмана, описывающей расширение вселенной заполненной преимущественно барионным веществом. Физическую причину этого дополнительного ускорения принято называть "темной энергией", причем по данным наблюдений она составляет не меньше 70 процентов содержимого вселенной. Темная энергия описывается уравнением состояния w = р/рс? < —1/3, где р - давление, р - плотность вещества, заполняющего вселенную.
Открытие "темной энергии" позволило решить старую загадку регулярности хаббловских потоков, которая имеет место на малых масштабах, составляющих до 20 Мпс. В пределах 20 Мпс нет однородности и изотропии в распределении галактик, которая имеет место начиная с пространственных объемов с характерным масштабом в 200 Мпс, поэтому нельзя и ожидать наличия регулярных хаббловских потоков в таких малых объмах. Тем не менее, астрономические наблюдения уверенно фиксируют наличие таких потоков (с линейной зависимостью скорости от расстояния) уже в пределах местной группы. Более того, оказывается закон Хаббла начинает действовать на расстояниях составляющих несколько Мпс, что фактически необъяснимо, если считать, что динамика наблюдаемой вселенной определяется только видимым, барионным веществом. В этом
смысле, обнаружение преобладания во вселенной "темной энергии" оказалось долгожданным фактом, устранившим вопиющее противоречие между наблюдениями, свидетельствующими о наличии регулярного хаббловского потока на расстояниях в несколько Мпс, но отсутствии однородности и изотропии на этих же масштабах.
Как обычно бывает с фундаментальными физическими открытиями, обнаружение "темной энергии" не только прояснило некоторые обстоятельства остававшиеся до того непонятными (как в упомянутом выше примере с хаббловскими потоками), но и поставило ряд новых вопросов. Важнейшем в этом списке является вопрос о физической природе "темной энергии". Обычно различают два варианта возможных ответов: "темная энергия" является физическим (например скалярным) полем неизвестной природы (модель квинтэссенции или fc-эссенции) или она является проявлением действия положительной энергии гравитирующего вакуума (модель космологической постоянной или Л-члена). Оба варианта имеют своих сторонников и противников, как среди астрономов, интерпретирующих наблюдательные данные, так и среди космологов-теоретиков, использующих в качестве аргументации различные физические соображения берущие начало в квантовой теории поля и даже в теории струн.
Разумеется, решающее слово в этом вопросе принадлежит астрономам, "непосредственно измеряющим" параметр ги. Наблюдения свидетельствуют, что величина w может быть вполне быть меньше минус единицы. Если w < — 1, то темная энергия оказывается проявлением в высшей степени неожиданной и неизвестной до сих пор космологической составляющей содержимого вселенной: так называемой "фантомной энергии".
Наличие "фантомной энергии" приводит к целому ряду
фундаментальных проблем. Во-первых, "фантомная энергия" нарушает условие энергодоминантности. В рамках моделей квинтэссенции, "фантомная энергия" описывается как некоторое скалярное поле с отрицательным кинетическим членом. Очевидно, что с точки зрения классической теории поля, существование такого объекта невозможно, поэтому мы приходим к совершенно неожиданному заключению: "фантомная энергия" должна быть сугубо квантовым объектом, не допускающим классического описания. Революционность этого заключения очевидна: это первый пример квантового явления оказывающего воздействие даже не на макро-, а на мегауровне. Более того, вследствии нарушения слабого энергетического условия, "фантомная энергия" ведет себя совершенно нетипично, что выражается в росте плотности энергии фантомной компоненты в процессе расширения вселенной. На первый взгляд такое поведение нарушает законы термодинамики. Это не так. Тщательное изучение вопроса показало, что с термодинамической точки зрения фантомная энергия должна характеризоваться отрицательной абсолютной температурой. При этом и первое и второе начало термодинамики остаются верными, в частности, в процессе расширения энтропия фантомной компоненты возрастает.
Тем не менее, рост плотности энергии "фантомной энергии" в процессе расширения вселенной показывает, что эффекты квантовой гравитации, которые обычно считались существенными окрест начальной или финальной космологической сингулярности а —» 0, могут стать доминирующими на поздних стадиях эволюции вселенной, причем не на планковских, а на макроскопических масштабах. Это совершенно неизбежно, даже если на ранних стадиях эволюции вселенной, вклад "фантомной энергии" в полный тензор энергии-импульса был
пренебрежимо мал. В свою очередь, возможность проявления эффектов квантовой гравитации на мегауровне приводит к совершенно необычным заключениям, в частности возможности нарушения причинности на макроскопических масштабах. Наконец, скорость расширения вселенной, в которой доминирует "фантомная энергия" растет настолько быстро, что через конечное время после начала ускорения, компоненты тензора кривизны становятся бесконечными. Возникает финальная сингулярность совершенно нового типа, соответствующая не нулевому, а бесконечно большому значению масштабного фактора. Этот новый тип сингулярности получил название "большого разрыва".
Из сказанного становится очевидным, что признание реальности "фантомной энергии" влечет за собой колоссальные изменения в космологических сценариях будущего развития вселенной. Таким образом, становится актуальным изучение космологических моделей, содержащих фантомную энергию. В работе наиболее подробно рассмотрены модели с фантомной энергией в виде газа Чаплыгина.
3) Открытие факта, ускоренного расширения вселенной поставило перед научным сообществом ряд важных проблем. Мало просто объяснить, что является причиной наблюдаемого эффекта: ненулевая космологическая постоянная' или фантомная энергия. И то, и другое объяснение порождают новые проблемы, которые заставляют пересмотреть многие представления, считающиеся базовыми. Возможно, необходимо пересмотреть саму стратегию отбора космологических моделей для адекватного описания нашей вселенной.
Если считать, что в качестве темной энергии выступает космологическая постоянная, то это означает наличие режима де Ситтера, что приводит к трудностям при формулировке теории струн или гипотетической М-теории, так как будущая динамика вселенной
ограничена горизонтом событий.
В некоторых моделях фантомной энергии горизонта событий удается избежать, и в этом случае не возникает проблемы формулировки фундаментальной теории в конечном объеме. Однако, фантомная энергия, как сказано выше, сама по себе представляет собой объект, объяснение которого в рамках теоретической физики пока выглядит проблематично.
Интересно также, что предположение о том или ином характере будущей эволюции Вселенной приводит к наблюдаемым следствиям в настоящем. На первый взгляд это кажется парадоксальным. Однако следует учесть, что в релятивистской физике пространство и время составляют единую реальность. Если, скажем, четырехмерный объем вселенной достаточно велик, то в ней на протяжении всей эволюции должны будут доминировать квантовые флуктуации (так называемые "больцмановские мозги"), хотя вероятность их возникновения на единицу этого объема ничтожно мала. Если считать, что наша вселенная будет расширяться неограниченно долго, то мы должны быть этими самыми квантовыми флуктациями! Но это явно не согласуется с наблюдениями.
Указанных выше проблем удается избежать, если предположить, что вселенная і) оканчивает свое существование в финальной сингулярности на стадии сжатия и (іі) не содержит горизонта событий. В работе предложен метод, который автоматически приводит к таким моделям.
Основные задачи. Основные задачи диссертационной работы состояли в следующем:
1. Разработка математической техники, позволяющей строить космологические модели, содержащие фазу инфляции и выход из нее без точной настройки параметров.
Исследование новых классов решений в инфляционной космологии, полученных с помощью разработанного формализма.
Изучение новых космологических моделей, описывающих темную энергию в виде газа Чаплыгина и содержащих сингулярность типа "big freeze". Анализ соответствия этих решений данным астрономических наблюдений.
4. Исследование эффекта "большого перехода" с помощью
формализма уравнения Уилера-де Витта.
Получение условий, ограничивающих класс космологических моделей, адекватных наблюдаемой Вселенной, исходя из принципа согласованности, выдвинутого в диссертационной работе.
Изучение новых космологических решений, не содержащих горизонтов событий.
Научная новизна и положения, выносимые на защиту. В диссертационной работе получены следующие результаты:
1. Развит метод построения решений уравнений Эйнштейна в
метрике Фридмана, использующий сведение космологических уравнений
к уравнению Шредингера (процедура линеаризации). Аналогичная
процедура предложена и для космологических уравнений на бране
Рэндалл-Сэндрум.
2. Обнаружено, что для полученных с помощью техники
линеаризации трехпараметрических решений характерны наличие
инфляционной фазы и выхода из нее без тонкой подстройки параметров.
Это указывает на то, что явление инфляции типично в космологии. С
помощью метода, предложенного в работе, удалось построить и решение,
содержащее две фазы инфляции, разделенные стадией неинфляционного
расширения. Возможно, это позволит в будущем построить модель,
описывающую эволюцию вселенной в целом, а не отдельные этапы ее
существования.
Показано, что модель темной энергии в виде газа Чаплыгина позволяет построить класс реалистичных космологических моделей, способных описывать нашу Вселенную.
Установлено, что некоторые космологические модели могут быть вполне согласованы с наблюдательными данными, если считать, что такие вселенные испытывают большой переход во время своей эволюции. Это расширяет класс реалистичных космологических сценариев. Удалось показать, что если процесс большого перехода реализуется, то для большинства вселенных после такого перехода параметр состояния w = -1/3.
Доказано, что с помощью метода линеаризации удается строить космологические модели, содержащие фазу суперраздувания, которая, однако, не приводит к сингулярности "большого разрыва".
Предложен новый способ поиска космологических моделей, описывающих наблюдаемую Вселенную. Существующих противоречий между данными космологических наблюдений и определенными физическими закономерностями можно избежать, если считать, что реализуются лишь те космологические модели, которые свободны от противоречий (самосогласованные модели). В частности, это приводит к ограничениям на время жизни наблюдаемой Вселенной и к необходимости отсутствия горизонтов событий.
Обнаружено, что описанный в работе метод линеаризации позволяет при определенных условиях строить решения, которые можно назвать "самосогласованными". При этом потенциал самодействующего скалярного поля ведет себя так, как характерно для струнных моделей.
Научная и практическая ценность. Основные результаты диссертации могут иметь важное значение при построении
космологических моделей, описывающих инфляцию (глава 1), а также моделей, учитывающих наличие фантомной энергии (глава 2). Основное достоинство метода линеаризации, предложенного в работе, состоит в том, что он безо всякой тонкой настройки параметров приводит к решениям, содержащим инфляцию и выход из нее. Явление "большого перехода" может оказаться чрезвычайно существенным для построения новых моделей инфляции при наличии фантомной энергии. Наконец, выдвинутый принцип самосогласованности (глава 3) может иметь важное значение как методологический инструмент в космологии. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях:
1. Российская школа-семинар по современным проблемам гравитации
и космологии GRACOS-2007 (Татарский государственный гуманитарно-
педагогический университет, Казань, Россия, 2007).
2. Международная конференция "Problems of Practical
Cosmology" (С.-Петербург, Россия, 2008).
3. 13-я Российская гравитационная конференция - международная
конференция по гравитации, космологии и астрофизике RUSGRAV-13
(Российский университет дружбы народов, Москва, Россия, 2008).
Результаты также докладывались и обсуждались на семинаре кафедры теоретической физики (РГУ им. И. Канта, Калининград, Россия, 2008).
Публикации. Основное содержание диссертации изложено в пяти публикациях.
Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы (94 наименования), содержит шесть рисунков и девять таблиц. Общий объем диссертации - 109 страниц.
Основное содержание работы.
Во Введении отражены актуальность проблемы, цель исследования, основные положения, выносимые на защиту, показана их новизна и практическая значимость.
В Главе 1 рассматривается процедура сведения космологических уравнений Эйнштейна к линейному уравнению Шредингера. Подробно разобрана процедура одевания исходного решения и построения обобщенного решения, параметризованного 3iV константами, где N - натуральное число. Продемонстрировано, что подобная процедура может быть проведена и для космологических уравнений на бране. Далее рассмотрено применение линеаризационного метода для построения точных решений уравнений Эйнштейна. В качестве "потенциалов"берутся интегрируемые потенциалы уравнения Шредингера. Основное внимание при анализе решений уделено вопросам, связанным с реализацией фазы инфляции и выхода из нее.
Процедура линеаризации
Этот случай был подробно исследован в [1]. Для п = 3 /3 = 247rGV( (t)). Этот случай был подробно исследован в [1], где эта величина была названа историей потенциала, потому что Е/з появляется в уравнениях, как функция времени (U = U(t)), а не как функция полевой переменной ф. Тем не менее, U V, поэтому создается впечатление, что физические смысл потенциала U ясен. Если же п Ф 3, то Un оказывается некоторой линейной комбинацией кинетического члена ф2/2 и потенциала самодействия V, и физический смысл такого U уже не вполне ясен. Однако, эффективность метода, предложенного в [1] (и развитого в [2], [3]), состоит в том и только в том, что они свели сложную нелинейную задачу к линейному уравнению. Это позволило найти полные двухпараметрические решения, которые продемонстрировали наличие инфляции при чрезвычайно4 общих предположениях. То, что U по сути совпадает V, в цитируемых работах буквально нигде не использовалось, потому что это не играет никакой роли. Аналогично, в данной работе мы рассматриваем обобщение метода для произвольного п. К тому же физический смысл "потенциала" Щ представляется ясным только для вселенной, заполненной скалярным полем. Если рассмотреть вселенную, в которой доминирует, скажем, э/м излучение, то смысл величины Щ станет неопределенным 4. Замечание 2. Если допустить, что наряду с полями, материи во вселенной присутствует ненулевая энергия вакуума с плотностью рЛс2, то уравнение (6) примет вид спектральной задачи: где спектральный параметр Лп = —87rGn2pA/3. Так же, как (2), уравнение (7) допускает постановку задачи на собственные значения и собственные функции, если дополнить это уравнение однородными начальными условиями. В [1] появление уравнения (2) позволило авторам высказать предположение о полезности использования задачи на собственные значения в вопросе о реальном значении космологической постоянной и физических причинах этого. Очевидно, аналогичное утверждение справедливо и в случае (7). В разделе 3 мы обратимся к 4Даже если не учитывать все вышесказанное, "потенциалы"для случая п Ф 3 могут быть физически проинтерпретированны. Скажем, при п — 1 "потенциал" имеет ясный физический смысл, даже несколько.
Во-первых, это вьфажение, знак которого определяет справедливость сильного энергетического условия: если U 0, то сильное энергетическое условие нарушено и имеет место инфляция, если U 0, то сильное энергетическое условие выполнено. Во-вторых, U при п — 1 - это параметр замедления, умноженный на квадрат параметра Хаббла и взятый со знаком минус. этому вопросу. Заметим, что если известно решение (7), то, используя (4), (7), можно найти скалярное поле и потенциал: Из (8), (9) можно получить зависимость V = У(ф). Понятно, что далеко не всегда это можно сделать в явном виде. В общем случае решение уравнения (6) имеет форму где ipn есть линейно независимое решение с тем лее потенциалом: Уравнение (10) позволяет установить следующую теорему. Линеаризационная теорема. Пусть а = а{) - решение (4),(5) при к = 0 и соответствующих р и р. Тогда двухпараметрическая функция будет решением (4),(5) с новой плотностью энергии рп и давлением рп удовлетворяющим следующему условию: Замечание 3. Эта теорема справедлива для случая А; = 0. Если к — ±1 то теорема будет справедлива только, если n = 0,1. Замечание 4. Аналогичное утверждение можно сформулировать для решений, описывающих брану RS-I. В этом случае система уравнений Фридмана модифицируется за счет учета натяжения на бране где для простоты мы положили 8TTG/3 = с = 1. Легко убедиться, что функция п = а" удовлетворяет линейному уравнению Шредингера: где V = V"(0), .ftT = 02/2. Отсюда следует, что описанный выше метод генерации ЗІУ-параметрических решений может быть применен и для космологии на бране. Пример точного двухпараметрического решения (с п = 3) приведен в [6]. В этой же работе описана процедура линеаризации для простейшей анизотропной космологической модели. Ниже, следуя работе [1], мы рассмотрим несколько примеров точных решений, основанных на интегрируемом потенциале уравнения Шредингера. В качестве модельных "потенциалов"/„() рассмотрим следующие: cosh2(Aot) Исследуем решения для потенциалов (Л), (JB), (С) с позиции возможности существования инфляционных режимов и выхода из инфляции. (А). В этом случае решением уравнения (7) с нулевыми граничными условиями при і — ±00 являются решения вида где Л - постоянная, Hs(jit) - полиномы Эрмита порядка s. Соответствующая этому решению эволюция масштабного фактора такова В простейшем случае ф„ = ехр(—fit2/2). В этом случае, зависимость от п может быть исключена простым переопределением параметра fi, поэтому ниже подробно изучим решение, соответствующее п = 1 5.
Также учтем, что при п = 1 к не обязательно равно нулю. Запишем решение для масштабного фактора в виде: где to - момент времени, отвечающий наблюдению, сделанному в настоящее время, а$ = 1028 см - современное значение масштабного фактора, а параметр // может быть выражен через to и современное значение параметра Хаббла Щ = 24.3 х Ю-19 секунда-1: \i = —До/to. Это решение содержит свободный параметр to и потому может быть приведено к виду, качественно подобному наблюдаемой вселенной. 5В [1] это решение было приведено, но не исследовалось. Как мы увидим, (17), по крайней мере, в некоторых аспектах может рассматриваться как модель реальной вселенной. В самом деле, как следует из (4), имеет место соотношение С другой стороны, наблюдения свидетельствуют, что вселенная ускоряется так, что Сравнивая (19) и (20), можно выразить to через Щ: Возраст вселенной Т будем отсчитывать от момента , когда a{tpl) = а. — 10 33 см. За это время вселенная совершила е-расширений. Полагая tpl —to—Ти учитывая (21) получаем квадратное уравнение: откуда находим возраст вселенной в годах Это, конечно, очень много по сравнению с общепринятой величиной 15 — 20 х 109 лет. Тем не менее, следует помнить, что, формально говоря, возраст такой вселенной равен бесконечности. 358 миллиардов лет -это время прошедшее от момента, когда вселенная имела планковскии размер, до настоящего момента. Выбор в качестве "начала" именно такого момента времени выглядит естественно, но это не означает, что он правилен 6. Время, которое пройдет между современной эпохой (t = to) и моментом t — t\ смены знака у ускорения (a(ti) = 0) составляет (в годах) а время от настоящего момента до момента t — 2 большой остановки (a(t2) = 0) составит Отдельно следует рассмотреть выполнение слабого и сильного энергетических условий. Легко проверить, что где AQ — аое5/3. Из (23) следует, что слабое энергетическое условие нарушается при достаточно больших значениях \t\ во вселенных с отрицательной кривизной (к = — 1) и всегда выполняется в плоских и закрытых моделях. Ускорение же вселенной имеет место в прошлом и будущем, если \t\ у/Ї0/(Н0т/3), и отсутствует лишь на конечном интервале времени.
Квантовое описание BF-сингулярности
Довольно интересно проанализировать поведение решения (39) вблизи BF-сингулярности с точки зрения квантовой теории. Для этого получим уравнение Уилера-де Витта для рассматриваемой модели. Запишем действие в виде: где A;2 = 87rG, N - функция хода. Далее будем считать, что N = 1. Канонические импульсы равны: 7Г„ = —6аа/к2, 7Гф = —а ф. Гамильтониан имеет вид: 12а 2а3 Отсюда получаем уравнение Уилера-де Витта: где a = In а. Нас интересует поведение решения вблизи BF-сингулярности, поэтому достаточно аппроксимировать потенциал в окрестности этой точки. Заметим, что удобнее в уравнении Уилера-де Витта перейти от переменной ф к переменной rj, используя тот факт, в окрестности BF-сингулярности 77 7г/2 можно приближенно записать в виде: Будем искать решение уравнение Уилера-де Витта в виде Ф(а, rf) — HkCk(ot)i k( x, rj) (приближение Борна-Оппенгеймера), где фк( х-, v) есть решение уравнения Коэффициенты Cfc удовлетворяют уравнению: В окрестности BF-сингулярности имеем: где мы перешли к переменной а = 7г/2 — 77, таким образом, а 0 около BF-сингулярности. Если бы потенциал имел кулоновский вид, т.е. V = Vo/a, то вероятность найти вселенную в состоянии BF-сингулярности была бы равна нулю (аналогично, движущийся в атоме электрон не падает на ядро, как показывает квантовомеханический анализ). Таким образом, на квантовом уровне сингулярности можно было бы избежать. Для полученного же потенциала не существует нижнего "энергетического"уровня Ео(а), т.е. сингулярность неизбежна и в рамках квантового описания. Космологические модели с газом Чаплыгина, рассмотренные выше, являются хорошей теоретической иллюстрацией нового типа сингулярности. Реалистичные космологические сценарии должны учитывать тот факт, что темная энергия не является единственным компонентом плотности энергии вселенной. Замечательно, что добавление темной материи позволяет построить космологические модели, в которых оценка возраста вселенной весьма близка к общепринятой величине 10 - 20 млрд. лет. Более того, эти модели могут быть согласованы с современными данными об ускоренном расширении вселенной.
Итак, рассмотрим вселенную, заполненную темной материей р = 0) и обобщенным газом Чаплыгина с уравнением состояния р = —c?s2pl+e/3 = —c P2ajp1+e/3. Уравнения Фридмана примут вид: где мы ввели обозначения р — 0 6/e(a,f — ає)-3у/є и р = —с?Р2а р1+е для, соответственно, плотности энергии и давления обобщенного газа Чаплыгина. Интегрирование уравнения (53) от 77 = 0 до г/ = 770 = arcsin (-у/1 + 1/гУо) даст возраст вселенной. Время жизни вселенной может быть найдено интегрированием (53) от 77 = 0 до 77 = тг/2. Рассмотрим различные случаи. 1. Плоское пространство-время. Коэффициенты fi и v в этом случае зависят только от wo и б. Коэффициент 7 равен нулю. Значения возраста вселенной и времени от настоящего момента до конечной сингулярности в миллиардах лет для различных значений адоие даны в следующей Можно заметить, что приведенные выше численные оценки дают реалистичные результаты для возраста вселенной, который в этой модели слабо зависит от є и wo. Время жизни вселенной, напротив, сильно зависит от и wo, уменьшаясь с ростом є Важно отметить, что полученные выше результаты справедливы только в классическом приближении, когда не учитываются квантовые эффекты. Можно быть уверенным, что вблизи BF-сингулярности, где плотность газа Чаплыгина стремится к бесконечности, квантовые эффекты будут сильны. Как было показано в [68], фантомная энергия приводит к формированию лоренцевских кротовин Торна-Морриса. Следовательно, вселенная в которой доминирует фантомная энергия, должна содержать множество таких кротовин. Расчеты показывают, что кротовые норы, достаточно малые для того, чтобы быть устойчивыми по отношению к поляризации вакуума, будут чрезвычайно быстро расти,за счет аккрекции фантомой энергии. Рост величины горловины настолько быстр, что кротовины поглотят вселенную за конечное время, равное [7], [69], [70] где &о - начальный радиус горловины сферической кротовой норы, Р - константа, а А является численным коэффициентом, порядка единицы. Таким образом, вселенная оказывается внутри горловины, проходя от одного "рта" кротовины к другому и происходит это еще до того, как реализуется сингулярность большого разрыва. Относительные кинематические характеристики двух "ртов" кротовой норы определяют, как потребное для этого прохождения время, так и направлениедвижения во времени: в будущее или в прошлое. Возможность такого перемещение вселенной была обнаружена в [7] и позднее получила название большого перехода (big trip). Если большой переход реализуется до того, как скалярная кривизна станет достаточно велика, то описанный механизм вполне позволяет избежать катастрофических последствий большого разрыва 10. Замечание 6. Утверждение, гласящее, что космологические модели, содержащие фантомные поля, приводят к сингулярности большого разрыва, подвергалось многочисленной критике. В серии работ делалось заключение, что режим суперраздувания должен прекратиться и перейти в обычный Де Ситтеровский. В частности, появление полей с духовым кинетическим членом вполне естественно в рамках полевой теории струн.
Так, эволюция неэкстремальной D-браны описывается как переход из нестабильного в стабильное состояние за счет динамики открытой фермионной струны, концы которой закреплены на бране. В низшем тахионном возбуждении используется метод обрезания по уровням» [72], [73], что в приближении медленно меняющегося вспомогательного поля приводит к действию, определяющему интегральные уравнения движения, содержащие роллинговое решение п. В свою очередь, поведение такого решения на больших временах эффективно описывается лагранжианом с духовым знаком кинетического члена, который в космологическом приближении описывает "вещество" с фантомным уравнением состояния w —1. Проведенный в [74] анализ показал, что динамика такой вселенной не приводит к сингулярности большого разрыва, а выходит на асимптотику решения Де Ситтера. Вместе с тем можно показать, что при определенных значениях параметров модели в ней остается возможным явление большого перехода. Замечание 7. Возможность феномена большого перехода было недавно подвергнуто критике в [75]. В частности, автор цитируемой работы отметил, что радиальная скорость аккреции фантомной энергии на кротовину пропорциональна a3(w+1)/2 с w —1 и потому при приближении к сингулярности большого разрыва стремится к нулю, предотвращая таким образом гиперболический рост "кротовых нор" и, следовательно, возможность большого перехода. В ответной заметке [76] показано, что рост кротовых нор определяется не скоростью, а потоком 11 Существование роллинговых решений для обсуждаемого уравнения было определено путем численного интегрирования в [74] фантомной энергии, что приводит к быстро растущему выражению a-3(w+i)/2 приводящему к неограниченному росту кротовых нор. Это обстоятельство открывает новые возможности для интерпретации ряда точных космологических решений. Рассмотрим, например, (18). Как мы видели, если считать, что такая вселенная родилась из исходной сингулярности, то ее время жизни более чем на порядок превосходит общепринятые оценки возраста реальной вселенной (10 — 20 миллиардов лет).
Метод линеаризации и космологические модели без горизонтов событий
Обычно обнаружение нестыковки известных физических закономерностей с данными космологических наблюдений трактуется как свидетельство существования еще не открытых фундаментальных принципов. Есть, однако, и иной, значительно менее распространенный подход: считать основные физические принципы уже установленными и использовать упомянутые нестыковки для отбора космологических моделей, свободных от последних. Именно при таком взгляде на вещи становится принципиально важным изучение глобальной эволюции вселенной. С другой стороны, по-видимому, почти все пространство-время вселенной лежит в будущем относительно текущего момента, поэтому изучение глобальной эволюции означает, главным образом, изучение будущего. О каких нестыковках идет речь? Как упоминалось, физическая причина наблюдаемого ускоренного расширения вселенной может иметь две компоненты: квинтэссенцию (предположительно скалярное поле неизвестной природы) и космологическую постоянную. Какая из этих компонент реализуется в действительности (возможно, что обе) пока нельзя сказать со всей достоверностью. Пока что мнение космологического сообщества, судя по всему, склоняется ко второму варианту [79]. Если это верно, то мы являемся свидетелями процесса перехода динамики вселенной от фридмановской (степенной) к де Ситтеровской (экспоненциальной) фазе. В случае мира де Ситтера вся будущая динамика наблюдаемой вселенной ограничена горизонтом событий Rh = с/Н, где Н - постоянная Хаббла. В этом случае возникает активно обсуждаемая проблема о том, каким образом можно сформулировать фундаментальную теорию (например, теорию струн или гипотетическую М-теорию) в конечном объеме [80], [81], [82]. Трудность здесь в том, что традиционный аппарат, основанный на использовании S-матрицы, по-видимому, не может быть математически корректно использован в такой ситуации. Не исключено, что непротиворечивое описание возможно лишь при Rh — со. В работе [83] вышеприведенный аргумент был использован в качестве довода в пользу моделей с фантомной энергией.
Отталкиваясь от "голографической" модели темной энергии, предложенной в [84], автор [83] показал, что возможны ситуации, когда Rh = со, а, значит, голографическая фантомная энергия (специального вида) является более предпочтительным кандидатом на роль голографической темной энергии, поскольку в этом случае фундаментальная теория, вероятно, может быть непротиворечиво сформулирована. С другой стороны, фантомные поля выглядят пока слишком экзотически, чтобы безоговорочно согласиться с их существованием. Кроме того, неограниченное расширение вселенной приводит к парадоксальному выводу, недавно сформулированному в работе [85]. Оказывается, если возраст де Ситтеровской вселенной с современным темпом расширения превысит Т = 1060 лет, то в такой вселенной на протяжении всей ее эволюции будут доминировать квантовые флуктуации, что вряд ли может быть согласовано с нашими повседневными наблюдениями. Более того, полученная в [85] оценка максимального времени жизни вселенной резко расходится с оценками времени жизни г метастабильной де Ситтеровской" фазы, которые сделаны к настоящему времени в рамках теории струн. Согласно [87], [88] г є0-5 10 лет. В ряде моделей это число удается понизить до е10 и даже до е10 лет (например, в модели, содержащей KPV инстантоны [89]), но и в этом случае время жизни вселенной неизмеримо больше, чем 1060. Аналогичные трудности будут, по-видимому, возникать и в фантомных моделях, для которых Rh = со 12. Эти результаты являются веским аргументом против моделей вселенной, переживающей вечное расширение. Отсюда следует, что более предпочтительными являются сценарии, в которых современная 12Интересно отметить, что парадокс из [85] не появляется в фантомных космологических моделях общего вида, в которых Rh — 0 при неограниченном росте масштабного фактора [86]. Однако эти модели нас не интересуют по вышеизложенной причине. фаза расширения должна смениться на фазу сжатия с последующим коллапсом, причем время жизни вселенной не должно превышать предельных значений, полученных в [85]. Таким образом, наиболее привлекательными являются модели, которые (і) оканчивают свое существование в финальной сингулярности на стадии сжатия и (іі) не содержат горизонта Rh оо. Будем называть согласованными в будущем (пишется без кавычек) или просто "согласованными" (пишется в кавычках) космологические модели, удовлетворяющие этим двум условиями. Это означает, в частности, что темная энергия представляет собой квинтэссенцию, а не космологическую постоянную.
Отметим одно существенное обстоятельство: во вселенной, заполненной излучением или барионным веществом, приближение к финальной сингулярности будет иметь хаотический характер. В наиболее интересной модели Бианки-IX по мере сжатия имеют место режимы смены "казнеровских эпох", причем их порядок смены быстро приобретает стохастическое поведение 13. При этом существенный вклад вносят члены в уравнении Эйнштейна, зависящие от пространственной кривизны. Плотность энергии от таких членов убывает как а6, поэтому при а — О имеем Nq —» оо вплоть до достижения вселенной точки финальной сингулярности. К сожалению, в этих условиях вероятность реализации вселенной с единственной с-границей в виде точки (а это естественно следует из условия отсутствия горизонтов) оказывается пренебрежимо малой величиной. Вместе с тем, эти выводы существенно меняются при наличии безмассового скалярного поля (например, дилатона) в присутствии которого колебательный режим приближения к сингулярности сменяется монотонным. Другими 13В течении каждой эпохи расстояпия вдоль двух осей осциллируют, а расстояние вдоль третьей монотонно уменьшается. словами, для согласованности в процессе будущей эволюции требуется наличие переменного безмассового скалярного поля. При этом условие отсутствия горизонтов в замкнутой вселенной выполняется, если при приближении к сингулярности параметр w —1/3. Как оказалось, описанный в главе 1 математический метод построения точных решений космологических уравнений Эйнштейна приводит в частном случае (при п = 1) к решениям, обладающим именно таким поведением, т.е. удовлетворяющим сформулированным выше требованиям "согласованности". В разделе 3.3 мы приведем конкретные примеры таких решений. В качестве затравочных будут браться решения для различных случаев w и к. Наиболее подробно мы остановимся на случаях, когда w соответствует пыли и излучению. Для этих моделей сильное энергетическое условие всегда выполнено, а, значит, как отмечено выше, оно будет удовлетворяться и для их двухпараметрических обобщений. Для пространств с положительной и нулевой кривизной это автоматически означает выполнение и слабого энергетического условия, поэтому ниже мы не будем подробно останавливаться на этом. Удобно обозначать построенные нами модели по следующему принципу: если в качестве стартового решения берется решение уравнений (4), (5) для барионной материи или/и излучения, то построенную по описанной схеме модель будем называть В-, R- или BR-моделью соответственно.
Преобразование Дарбу и космологические модели без горизонтов событий
В предыдущем разделе мы использовали уравнение (5) в качестве поставщика точных "согласованных" космологических решений. Разумеется, это уравнение можно решить лишь для специальных видов потенциала U(t). Эффективным способом генерации новых интегрируемых потенциалов является метод преобразования Дарбу (ПД) [91],[92]. Ключевым свойством, делающим ПД полезным в космологическом контексте, является то, что ПД переводит функции Йоста исходного уравнения Шредингера (7) с заданным потенциалом U в функции Йоста уравнения с преобразованным потенциалом U [93]. Это означает, что ПД сохраняют асимптотическое поведение исходных, непреобразованных решений, если функции, входящие в крамовские определители (см. [94]) имеют перемежающиеся нули. С точки зрения построения точных решений, описьшающих "согласованные" космологические модели, это свойство можно сформулировать следующим образом: правильно выбирая опорные функции с помощью которых реализуется ПД, можно получать сколь угодно длинные последовательности потенциалов U таких, что решения уравнения (5) будут описывать согласованные в будущем космологические модели, т.е. модели, удовлетворяющие условиям (і), (іі) из раздела 4.2. Мы не будем приводить точное математическое доказательство этого утверждения, а. ограничимся демонстрацией одного конкретного примера. Пусть w = —1/3. Легко убедиться, что в этом случае уравнение (7) верно при А = U = 0. Решение, очевидно имеет вид Для осуществления ПД необходимо использовать второе, отличное от (107), решение ф\ (7) с тем же потенциалом U = 0, но другим значением спектрального параметра Аь Мы будем считать, что эта величина отрицательна: А = —к2, где к - вещественное число. Несингулярное решение уравнения (7) имеет вид: ф\ = cosh«;t. Однократное ПД осуществляется по формулам: В результате находим 27rG cosh х Вселенная, которую описывает новое решение (109), рождается из исходной сингулярности при ХІ —1.1997 и заканчивает свое существование в финальной сингулярности при xj = — ХІ. Окрест х — Xf при t — tf. Другими словами, новая модель не содержит горизонтов событий в будущем подобно исходной, как и утверждалось выше.
Кроме того, при — !, поэтому мы получаем решение, для которого не выполняется теорема Борде-Гута-Виленкина (см. [77]). Происходит это потому, что параметр Хаббла для новой модели и Н —» —со при t — tf, что автоматически нарушает одно из условий, при которых была доказана эта теорема. Отсюда следует, что использование ПД является очень удобным для построения новых классов точных решений в космологии, обладающих свойством "согласованности". Использование условия; согласованности в будущем может быть подвергнуто критике на следующем очевидном основании: при-обычном подходе динамика вселенной предсказывается исходя- из уравнений движения и начальных условий. Использование же условия "согласованности" парадоксальным, образом использует предположение о характере будущей эволюции вселенной. Нам, однако, представляется, что здесь мы имеем дело скорее с непривычной, а не логически противоречивой ситуацией. Уместно вспомнить, что уже при описании горизонтов и внутренностей черных дыр мы с должны задавать граничные условия не в прошлом, а в будущем [90]. С этой точки зрения, подход, основанный на применения принципа согласованности в будущем, выглядит даже менее странно, чем использование "телеологических" граничных условий в физике черных дыр. Во-вторых,, использование принципа согласованности в будущем приводит, как мы видели, к появлению достаточно жестких условий, накладываемых на динамику вселенной (условиям (і), (іі) из раздела 3.2). Можно предположить, что более последовательное и систематическое изучение этого вопроса позволит получить еще более строгие ограничение на то, какой должна быть вселенная. Известно, что многие параметры наблюдаемой вселенной оказываются очень тщательно "подогнаны". В настоящее время, для объяснения того, почему имеет место столь точная "подгонка", используют так называемый антропный принцип, применение которого основано на гипотезе существования космологического мультиверса [71], представляющего ансамбль вселенных, которые однако невозможно наблюдать "непосредственно", т.к. отдельные члены ансамбля находятся за горизонтом видимости друг друга.
Наличие таких непроверяемых предположений, лежащих в самой основе антропного принципа, конечно, не выглядит обнадеживающе. Возможно, что использование принципа согласованности в будущем позволит обойтись без применения антропного принципа. Основные результаты и выводы диссертационной работы заключаются в следующем: 1. Уравнения Эйнштейна-Фридмана путем несложных математических преобразований можно свести к уравнению Шредингера для функции ап с "потенциалом", пропорциональным п2р — Зп(р + р/с2)/2. Для произвольного п это можно сделать только для плоского пространства, если же п = 1, то линеаризация возможна и для пространства-времени с произвольной кривизной. Процедура линеаризации может быть проведена и для космологических уравнений на бране. 2. Получаемые благодаря методу линеаризации трехпараметрические семейства решений демонстрируют наличие инфляционных режимов и выхода из них при весьма общих предположениях и безо всякой подгонки параметров. Это служит дополнительным указанием на то, что инфляция не является реализуемым лишь на весьма ограниченном классе моделей. Напротив, режим инфляции можно считать достаточно обычным явлением в космологии. Трехпараметрические могут демонстрировать несколько последовательных фаз инфляции. Наличие таких решений можно рассматривать, как косвенное указание на возможность существования единой, реалистичной модели, содержащей как инфляционный режим (с выходом без тонкой настройки) на стадии ранней вселенной, так и более позднюю инфляцию, которую вселенная, возможно, переживает сейчас.
