Введение к работе
Актуальность темы.
Гамильтонова механика (ГМ) сыграла важнейшую роль при построении квантовой механики. Важно еще и то, что она допускает нетривиальные обобщения. В частности, в диссертации найдено обобщение ГМ, позволяющее включить в формализм так называемые "нелагранжевы" системы, долгое время остававшиеся за рамками возможностей стандартной механики. Ещё в 1896 году Пуанкаре изучал подобные уравнения - это уравнения движения заряженной частицы в поле магнитного монополя. Данное направление исследований актуально, поскольку развитие физики привело к необходимости выявления наиболее общих законов механики, что важно для изучения физики на планковских расстояниях. О фундаментальном характере ГМ, ее важности в поиске наиболее общих законов природы свидетельствует и тот факт, что именно с модификацией механики связаны попытки решения проблемы темной материи. Довольно давно было предложено обобщить второй закон Ньютона для малых ускорений (а <^ Ю-8 см/с2), известный как MOND (modified Newtonian dynamics). Несмотря на нерелятивистскую формулировку, модель объясняет некоторые нетривиальные особенности излучения галактик. Имеется обобщение, связанное с релятивизацией MOND (теория TeVeS).
При аксиоматическом формулировании ГМ необходимо знание теории симплектических многообразий. Тот факт, что содержательная геометрия может базироваться и на антисимметричном тензоре, был осознан только в середине XX в. Пространства, которые помимо 2-формы оснащены связностью, называются пространствами Федосова. Они играют особую роль при деформационном и геометрическом квантовании.
Оказывается, что даже отказ от симплектичности многообразия (фазового пространства) ведет к физически содержательным теориям. Например, это позволяет описать диссипативные системы в рамках общей идеологии ГМ. Применительно к гравитационному полю это ведет к по-
явлению космологического Л члена, что открывает новые возможности в решении проблемы темной энергии. Обращение к физике на планков-ских расстояниях проясняет природу амплитуд вероятности (квантовая механика). В диссертации рассмотрены некоторые несимплектические обобщения ГМ.
Различные варианты ГМ могут получаться друг из друга с помощью деформации скобок Пуассона, т.е. модификацией симплектической формы. Вопрос изучен достаточно плохо, поэтому приходится рассматривать лишь простейшие примеры. В 2006 году Мартинез-Мерино и Монтезинос на примере двух гармонических осцилляторов рассмотрели случай собственных модификаций ГМ, т.е. с различными симплектическими структурами и гамильтонианами, но с неизменными уравнениями движения. Наиболее известные примеры - несобственные деформации, такие, как переход к q-осцилляторам (имеются и другие примеры подобных деформаций) .
Поэтому не удивителен тот факт, что вариационный принцип (ВП) в ГМ также подвергся пересмотру. Стандартный ВП не удовлетворителен с геометрической точки зрения, т.к. не обладает свойством ковариантности. Изначально геометрическая (ковариантная) формулировка ГМ предполагает существование инвариантного действия с заданной симплектической матрицей. В литературе не описан общий случай ВП для нетривиальной симплектической формы. Между тем данная проблема достаточно важна. Например, системы с гироскопическими силами не могут быть описаны обычным способом как гамильтоновы системы с точными симплектическими формами (т.е. глобально не существует 1-форма 7 такая, что симплектическая форма ш2 = d'-f). Проблему можно решить переходом к некоторой нетривиальной симплектической структуре.
Цель работы.
Основной целью работы является изучение различных обобщений ГМ: исследование свойств различных деформаций скобок Пуассона; на-
хождение новых обобщений, которые позволяют включать в рассмотрение так называемые "нелагранжевы" системы; построение обобщенной конструкции Федосова на случай несимплектических многообразий; решение проблемы формулировки ковариаитного ВП; построение ВП на случай неточных симплектических форм.
Научная новизна.
Решены проблема ковариаитного формулирования ВП и проблема граничных условий в ГМ. Их решения полностью согласуется с квантовой механикой.
Построен инвариантный ВП в общем случае, т.е. с включением неточной симплектической формы (нетривиальное фазовое пространство).
Найдено несимплектическое обобщение ГМ, которое позволяет включить в рассмотрение "нелагранжевы" системы. Некоторые "нелагранжевы" уравнения получены в рамках ГМ со связями (модификация фазового пространства) и стандартной симплектической структурой.
Рассмотрены некоторые простейшие собственные модификации ГМ (ранее Мартинез-Мерино и Монтезинос в 2006 году рассмотрели собственные модификации ГМ на примере двух осцилляторов).
Строится обобщение многообразия Федосова на случай незамкнутых 2-форм (несимплектические многообразия). С помощью построенной конструкции изучается структура фазового пространства системы "заряженная частица в поле магнитного монополя".
Практическая ценность.
Поскольку диссертация касается основ физики, фундаментальных законов движения, то ее значимость представляется очевидной. Результаты, касающиеся ковариаитного ВП в ГМ, позволяют избежать недоразумений и возможных ошибок при рассмотрении вариационных задач механики в целом.
Полностью инвариантная формулировка ВП в ГМ может применять-
ся для всех симплектических гамильтоновых систем. Эта формулировка ВП справедлива даже в случае неточных симплектических форм (на языке алгебраической топологии это означает, что симплектическая форма реализует ненулевой класс двумерных когомологий де Рама). Таким образом, данный принцип может оказаться полезным и в теории динамических систем, и в симплектической топологии. Например, фазовое пространство систем типа Кирхгофа после редукции имеет структуру кокасательного расслоения сферы, т.е. структуру пространства с нетривиальной топологией. К системам типа Кирхгофа относятся уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой в осесимметричном силовом поле, уравнение Леггетта для магнитного момента в низкотемпературных фазах 3Не (ядерный магнитный резонанс) и др. Помимо систем Кирхгофа, фазовое пространство с нетривиальной топологией может появиться в калибровочных теориях, например, уже в простейших случаях фазовое пространство имеет структуру конуса.
Построенные обобщения ГМ позволяют изучать различные "нелагранжевы" системы, долгое время остававшиеся за рамками общей теории. Кроме того, некоторые системы со связями могут быть сведены к "нелагранжевым" системам, что имеет существенное значение в калибровочных теориях.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались на семинаре кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета СПбГУ, теоретическом семинаре ПИЯФ им. Б.А. Константинова.
Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях. Список публикаций приведён в конце автореферата.
На защиту выносятся следующие основные положения.
1. Сформулировано четыре варианта ковариантного ВП в ГМ. Выяснилось, что в ГМ к ВП следует относится с учетом ее специфики: во-первых, как к утверждению о свойстве уравнений движения (действие принимает минимум на решениях уравнений движения); во-вторых, как
к средству для получения уравнений движений. Решена проблема граничных условий.
Построен инвариантный ВП в гамильтоновой механике, справедливый (глобально!) в случае любых симплектических форм (даже неточных форм). Представлено две формулировки ВП: с использованием внешних дифференциальных форм в "сверхрасширенном" фазовом пространстве и без использования внешних форм ("полностью динамическая версия").
Найдено несимплектическое обобщение ГМ (за счет выбора 2-формы), которое позволяет рассматривать "нелагранжевы" системы. Представлен анализ данного обобщения. Рассмотрено несколько характерных примеров.
Получены уравнения движения заряженной частицы в поле магнитного монополя не только за счет выбора 2-формы, но и в рамках стандартной ГМ с модифицированным фазовым пространством за счет введения в теорию нефизических переменных, т.е. теории со связями. Представлено две модели: в одной гамильтониан с учетом связей равен нулю, а во второй отличен от нуля.
5. Рассмотрены простейшие случаи переноса информации из 2-
формы в гамильтониан и наоборот (при тех же уравнениях движения).
Одна из рассмотренных моделей при таком переносе демонстрирует весь
ма необычную механику (с несохраняющейся энергией!), хотя в исходной
теории энергия сохраняется.
6. Построено обобщение многообразий Федосова в случае не замкну
тых 2-форм (несимплектические многообразия). В этом случае связно
сти, согласованные с соответствующей 2-формой не могут быть симмет
ричными, и, следовательно, в таких теориях фазовые пространства осна
щены ненулевым тензором кручения. Найдены симметрии тензора кри
визны по первым и последним двум нижним значкам. Доказано, что
скалярная кривизна, как и у стандартных многообразий Федосова, рав
на нулю.
7. На языке обобщенных многообразий Федосова изучена структура фазового пространства такой системы, как "заряженная частица в поле магнитного монополя". Имеются две модели - собственные модификации гамильтоновои механики. У первой модели, в отличие от второй, имеются ненулевые элементы тензора Риччи. Для второй модели найдены все 54 ненулевых элемента тензора кривизны.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Списка литературы и Приложения . Объём диссертации — 105 страниц. Список литературы включает 93 наименований.
