Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Распространение акустических волн в диссипативных средах. вопросы описания 20
1.1. Способы описания диссипативно-дисперсионных свойств сред 22
1.1.1. Эмпирическое описание 23
1.1.2. Механические модели 23
1.1.3. Микроскопические модели релаксационных механизмов 25
1.1.4. Термодинамический подход Мандельштама - Леонтовича 28
1.1.5. Проблема единого описания релаксационных и резонансных сред в рамках термодинамического подхода 33
1.2. Теорема Эфроса об обобщенной свертке 34
1.3. Распространение импульсов в средах с релаксацией 35
1.3.1. Известные точные одномерные функции Грина (среда Максвелла, среда Фойгта, среда с одним временем релаксации) 42
1.3.2. Асимптотические методы 45
1.3.3. Распространение импульсов в неоднородных средах 48
1.3.4. Экспериментальные результаты
1.4. Закономерности изменения энергии короткого импульса, распространяющегося в среде с одним релаксационным механизмом 50
1.5. Проблемы описания распространения звука
1.5.1. Система гидродинамических уравнений 54
1.5.2. Распространение малых возмущений 55
Заключение к первой главе 59
ГЛАВА 2. Распространение коротких импульсов в средах с экспоненциальной релаксацией 61
2.1. Среда с двумя временами релаксации 61
2.1.1. Функция Грина задачи о распространении импульса в среде с двумя релаксационными процессами 61
2.1.2. Аналитическое выражение для функции Грина среды с двумя релаксационными процессами 71
2.2. Среда с распределенным СВР 1 /t 79
2.2.1. Функция Грина 79
2.2.2. Асимптотики функции Грина
2.2.3. Асимптотики исходного представления 84
2.3. Аппроксимация одномерной функции Грина для произвольного СВР 86
2.3.1. Аналитическое представление динамики короткого импульса, распространяющегося в среде с произвольным СВР 86
2.3.2. Примеры численных расчетов динамики импульса
2.4. Импульсная акустодиагностика релаксационных сред 97
2.5. Экспериментальные результаты 106
Заключение ко второй главе 114
ГЛАВА 3. Распространение коротких импульсов в неоднородных средах с релаксацией 115
3.1. Степень «компенсации» акустических импульсов и ее связь с затуханием 116
3.2. Распространение коротких акустических импульсов в неоднородных релаксационных средах
3.2.1. Факторизация решения в неоднородной среде 123
3.2.2. ВКБ приближение 127
3.2.3. Случай пространственно неоднородного СВР 131
3.2.4. Распространение импульсов в температурно неоднородной среде 133
3.3. Точные решения задачи распространения акустического
импульса в неоднородной среде Максвелла 142
3.3.1. Одномерный импульс в среде Максвелла с экспоненциально меняющейся плотностью 145
3.3.2. Одномерный импульс в среде Максвелла с линейно меняющейся скоростью 148
3.4. Функции Грина точечного и линейного источников в изотермической атмосфере с релаксационными свойствами Максвелла 150
3.5. Распространение импульса в неоднородной релаксационной среде при изменении температуры вдоль трассы 159
Заключение к третьей главе 167
ГЛАВА 4. Распространение коротких импульсов в средах с резонансной релаксацией 168
4.1. Обобщение термодинамического подхода на случай среды с резонансной релаксацией 170
4.2. Дисперсия фазовой скорости и частотная зависимость коэффициента
поглощения в среде с резонансной релаксацией 176
4.3. Механическая модель обобщенной функции отклика
с резонансной релаксацией 183
4.4. Функция Грина для среды с резонансной релаксацией 188
4.5. Анализ поведения функции Грина
4.5.1. Прифронтовые асимптотики 196
4.5.2. Асимптотики больших расстояний. Случай А 0 198
4.5.3. Асимптотики больших расстояний. Случай А 0 207
4.6. Основные типы распространения импульса в среде с одним обобщенным процессом резонансной релаксации 218
4.7. Экспериментальные результаты для жидкости с пузырьками газа 230
Заключение к четвертой главе 242
ГЛАВА 5. Обобщенный вариационный принцип для диссипативной механики сплошной среды 243
5.1. Вариационные принципы 244
5.1.1. Вариационный принцип Гамильтона 244
5.1.2. Вариационный принцип Онзагера 245
5.1.3. Вариационный принцип для механических систем с диссипацией 246
5.2. Обобщенный вариационный принцип для диссипативной гидродинамики 248
5.2.1. Независимые переменные 249
5.2.2. Связь гидродинамического описания с механикой частиц 250
5.2.3. Вариационный принцип термодинамические диссипативные системы 253
5.2.4. Сравнение с системой гидродинамических уравнений 254
5.3. Интегралы движения 256
5.4. Вязкость в диссипативной гидродинамике 260
5.4.1. Вариационный принцип с учетом внутренних параметров в рамках подхода Мандельштама - Леонтовича. Релаксация вязкости 260
5.4.2. Релаксация в случае большого числа внутренних параметров 263
5.4.3. Релаксация сдвиговой вязкости 266
5.4.4. Сдвиговая вязкость как следствие релаксации углового момента при гидродинамическом описании сплошной среды 269
5.4.5. Учет релаксации вязкости и инерции температурного поля 274
Заключение к пятой главе 276
ГЛАВА 6. Приложения обобщенного вариационного принципа для многокомпонентных и многофазных сред 278
6.1. Распространение волн в многокомпонентных средах 278
6.1.1. Однокомпонентная среда 280
6.1.2. Двухкомпонентная среда 281
6.1.3. Двухкомпонентная среда при постоянной температуре 281
6.1.4. Двухтемпературная теплопроводность неподвижной среды 283
6.1.5. Двухкомпонентная среда с общей температурой 384
6.2. Распространение волн в пористых проницаемых средах 286
6.2.1. Уравнения Био на основе обобщенного вариационного принципа 287
6.2.2. Обобщение уравнений Био при учете сдвиговой релаксации флюида : г 289
6.2.3. Распространение волн в обобщенной модели Био 291
6.2.4. Сдвиговая диффузионная волна 296
Заключение к шестой главе 298
Заключение 300
Список литературы
- Проблема единого описания релаксационных и резонансных сред в рамках термодинамического подхода
- Аналитическое выражение для функции Грина среды с двумя релаксационными процессами
- Факторизация решения в неоднородной среде
- Основные типы распространения импульса в среде с одним обобщенным процессом резонансной релаксации
Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ
Исследование закономерностей распространения акустических полей в различных средах является важным источником информации о неидеальных свойствах этих сред. Поэтому установление новых закономерностей в распространении акустических полей и разработка на их основе методов акустической диагностики сред является актуальной задачей.
При распространении акустических волн малой амплитуды наиболее существенными из неидеальных свойств реальных сред являются диссипативно-дисперсионные свойства, которые характеризуются зависимостью от частоты коэффициента поглощения и фазовой скорости, и, в конечном счете, связаны с внутренней микроструктурой среды. Влияние структуры среды, и частности, ее внутренней микроструктуры на распространение акустических волн разнообразно и, в зависимости от соотношения между длиной звуковой волны Я, размерами неоднородностей l, определяющих микроструктуру, и расстояний между ними L, может описываться в рамках разных подходов. В частности, при Я<< l, L работает геометрооптическое приближение [1,2], при l << Я << L удобно пользоваться методами теории рассеяния [3,4], при Я>> l,L описание может проводиться в терминах эффективной среды, релаксирующей к состоянию термодинамического равновесия [5-7]. В последнем случае, который только и рассматривается в диссертации, также могут существовать дополнительные масштабы, связанные с релаксацией тепловых полей и полей сдвиговых напряжений, которые обусловлены самой микроструктурой. Такие среды принято называть микронеоднородными [8,9], к ним, в частности, относятся многофазные среды [10,11], например, суспензии, жидкости с пузырьками газа и пористые проницаемые среды. Учет специфических особенностей таких сред требует адекватного описания всей совокупности физических полей, участвующих в процессах релаксации.
Во многих случаях диссипативно-дисперсионные свойства могут быть описаны в терминах локальных релаксационных процессов, которые возникают в поле акустической волны при ее распространении в среде [5,6]. Основной характеристикой при таком описании является спектр времен релаксации (СВР).
Одним из традиционных способов определения параметров СВР служат акусто- спектроскопические измерения температурно-частотной зависимости коэффициента поглощения и фазовой скорости звука в среде [5,6]. При этом существующие методы акустодиагностики сред основаны на теоретической базе закономерностей распространения монохроматических акустических волн.
В последнее время для решения таких задач все более широкое применение находят импульсные методы измерения, которые к тому же часто оказываются более технологичными и дешевыми при реализации. Поэтому одним из перспективных методов дистанционного неразрушающего контроля среды является импульсная акустодиагностика [12], когда по закономерностям изменения динамических характеристик (амплитуды и формы) акустических импульсов получают информацию о диссипативно-дисперсионных свойствах среды, и, следовательно, о тех релаксационных механизмах, которые приводят к таким свойствам.
Однако использование импульсных методов сдерживается недостаточной развитостью теории и связанными с этим трудностями в интерпретации наблюдаемых искажений амплитуды и формы импульса в процессе его распространения, несмотря на прилагаемые в этом направлении усилия [13,14]. Поэтому актуальной задачей, которую необходимо решить для целей импульсной акустодиагностики, является выявление закономерностей изменения профиля акустического импульса в процессе его распространения в среде и разработка на этой основе количественных методов определения параметров, характеризующих свойства среды. При этом особую роль играют короткие импульсы, длительность которых меньше характерных времен релаксации в изучаемой среде, поскольку в этом случае изменение профиля импульса мало зависит от его начальной формы.
Более широкий взгляд на распространение малых возмущений в сплошных средах, связанный с выходом за рамки локальных релаксаций и учетом тепловых полей и релаксаций в микронеоднородных средах, приводит к необходимости вывода соответствующей им системы уравнений движения на основе единого универсального подхода, такого, как вариационный принцип.
В частности, на основе вариационного принципа может быть решена фундаментальная проблема последовательного описания распространения термо-акустического поля с конечной скоростью распространения фронта в микронеоднородных (многофазных) релаксирующих средах.
Однако до настоящего времени сама возможность формулировки вариационного принципа для диссипативной механики сплошной среды ставится под сомнение [15], хотя попытки его сформулировать предпринимались неоднократно [16-20]. Поэтому формулировка вариационного принципа для диссипативной гидродинамики и механики сплошной среды может открыть новые возможности для исследований в области акустики, гидродинамики и механики диссипативных сред.
Исследование закономерностей распространения коротких импульсов в однородных средах, обладающих спектром времен релаксации. Вывод и анализ новых точных решений. Формулировка основ импульсной акустодиагностики релаксирующих сред.
Разработка методов описания распространения коротких импульсов в неоднородных средах с релаксацией. Вывод и анализ новых точных решений.
Обобщение термодинамического подхода Мандельштама-Леонтовича на случай резонансных релаксаций. Классификация различных типов распространения коротких импульсов в средах с резонансной релаксацией. Анализ новых точных решений.
Формулировка и обоснование обобщенного вариационного принципа для диссипативной механики сплошной среды.
Вариационное обоснование вязких членов в гидродинамике;
Приложения обобщенного вариационного принципа для описания распространения малых возмущений в многокомпонентных и многофазных средах.
Для достижения поставленных целей используются теоретические методы, основанные, например, на специальных теоремах теории функций комплексного переменного, в частности, на теореме Эфроса об обобщенной свертке. Применяются высокочастотные асимптотические разложения, а также метод перевала, в том числе и в его специальных модификациях. Используются точные аналитические решения задач, а также их приближенные решения, например, в ВКБ приближении. Для вывода уравнений используются вариационные методы. Теоретические результаты, касающиеся распространения коротких акустических импульсов, подтверждаются данными специальных экспериментов.
В диссертации разработаны подходы для описания закономерностей распространения короткого акустического импульса в релаксирующих средах. Дано полное описание особенностей диспергирования формы короткого импульса, распространяющихся в линейных средах с локальным откликом. Сформулированы основы импульсной акустодиагностики релаксационных сред.
В диссертации предложена оригинальная формулировка обобщенного вариационного принципа для диссипативной диссипативной гидродинамики и механики сплошной среды, показана ее согласованность с традиционной гидродинамикой и предсказан ряд новых эффектов. Это открывает новые возможности для решения задач в указанных областях.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ Полученные результаты могут быть использованы:
при исследовании реологических свойств диссипативно-дисперсионных сред методами импульсной акустической диагностики;
в теоретических и экспериментальных работах по исследованию распространения звука в многофазных и многокомпонентных средах;
для решения практических задач, например, при изучении свойств нефтяных коллекторов на основе обобщенных моделей Био.
-
-
Получены и проанализированы новые точные фундаментальные решения для импульсов, распространяющихся в средах с двумя релаксационными процессами и с распределенным спектром времен релаксации вида 1/ т. Предложено аналитическое представление фундаментального решения для среды с произвольным спектром времен релаксации (СВР) и сформулированы основы импульсной акустодиагностики однородных релаксирующих сред, позволяющей определять параметры СВР по динамике профиля короткого акустического импульса.
-
Методом факторизации, позволяющим разделить влияние пространственной неоднородности и локальных диссипативно-дисперсионных свойств среды, исследовано распространение короткого акустического импульса в неоднородных релаксирующих средах. Получен ряд точных фундаментальных решений для импульсов, распространяющихся в неоднородной среде с реологическими свойствами Максвелла при экспоненциальном изменении плотности или линейном изменении скорости вдоль трассы распространения, а также в среде с одним релаксационным процессом при логарифмическом изменении обратной температуры вдоль трассы. Для изотермической атмосферы с реологическими свойствами Максвелла получены точные функции Грина линейного и точечного источников.
-
Показано, что резонансные релаксации, также как и экспоненциальные, могут быть описаны в рамках общего термодинамического подхода Мандельштама-Леонтовича и предложено общее уравнение состояния линейных сред с локальной функций отклика.
-
Получены точные фундаментальные решения для импульса, распространяющегося в среде с одним процессом резонансной релаксации общего вида и классифицированы возможные типы динамики профиля короткого импульса. Для модельной среды в виде жидкости с пузырьками газа проведена экспериментальная проверка теоретических выводов.
-
Сформулирован обобщенный вариационный принцип (ОВП) для диссипативной гидродинамики и механики сплошной среды, представляющий собой сумму вариационного принципа Гамильтона для бездиссипативной механики и вариационного принципа Онзагера для неравновесной термодинамики, и показано, что в линейном приближении система гидродинамических уравнений может быть выведена на основе ОВП.
-
Показано, что слагаемые в уравнении Навье-Стокса, ответственные за вязкость, могут быть введены в рамках ОВП на основе теории внутренних параметров Мандельштама- Леонтовича. Данный подход приводит к уравнению движения, являющемуся обобщением уравнения Навье-Стокса за счет учета релаксации вязкости, при этом оказывается, что на низких частотах полученное уравнение описывает поведение обычной вязкой (Ньютоновой) жидкости, а на высоких частотах жидкость ведет себя как упругое тело (модель Максвелла).
-
Показано, что физический смысл тензорного внутреннего параметра, введенного для описания сдвиговой вязкости, связан с внутренним угловым моментом вязкой жидкости.
-
Для двухфазной пористой проницаемой среды показано, что при учете дополнительной сдвиговой степени свободы, которой обладает вязкая жидкость, в теории Био наряду с двумя типами продольных волн (акустической и диффузионной на низких частотах) также могут существовать два аналогичных типа поперечных волн. При этом характер низкочастотного поведения поперечной диффузионной моды отличается от характера аналогичной продольной моды.
Точные аналитические решения задач основаны на теоремах теории функции комплексного переменного и проверены предельным переходом к известным решениям. Приближенные решения соответствуют известным асимптотикам точных решений. Результаты теоретического анализа находятся в согласии с результатами прямых численных расчетов. Анализ, как правило, сопровождается физической интерпретацией. Теоретические результаты имеют хорошее согласие с экспериментом и согласуются с результатами других авторов, где было возможно провести такое сопоставление.
Полученные в работе результаты докладывались:
на X Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (СДВ-10) (Винница, 1990);
на Международной конференции «Forth International Congress on Sound and Vibration» (St. Petersburg, 1996);
на 16 Международном Акустическом конгрессе (Seattle, USA, 1998);
на III Международной научно-технической конференции "Современные методы и средства океанологических исследований" (Москва, 1997);
на Третьем совещании по магнитной и плазменной аэродинамике в аэро- космических приложениях (Москва, 2001);
на конференции Optical Society of America. Integrated Photonics Research (Monterey, 2001);
на Eleventh International Congress on Sound and Vibration (St.Petersburg, 2004);
на Symposium on the Acoustics of Poro-Elastic Materials (Bradford, 2008, Ferrara, 2011);
на Международной конференции EUROMECH COLLOQUIUM 510 UPMC (Paris, France, 2009);
на Международной конференции "4th Saint Petersburg International Conference & Exhibition" (St. Petersburg, 2010);
на VIII Международной конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» (Санкт Петербург, 2006, 2010);
на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011)
на IV, X, XI, XIII, XVIII, XIX, XX, XXII, XXIV сессиях Российского акустического общества (Москва, Нижний Новгород, Саратов);
на сессиях Американского акустического общества (1999, 2001);
на международной конференции "Дни дифракции" (St.Petersburg, 2006, 2007, 2009, 2010);
на научных сессиях МИФИ (1999, 2000; 2001, 2003, 2006, 2007, 2008);
на постоянно действующем семинаре Акустического института «Акустика неоднородных сред» под руководством профессора С.А.Рыбака.
Материалы диссертации опубликованы в трех книгах, в 23 статьях в рецензируемых
журналах, в Ежегодниках Российского акустического общества за 2000, 2002, 2006, 2007,
2009 годы, а также в трудах и тезисах конференций.
Часть представленных в диссертации исследований проведена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 00-02-16556-а, 03-02-16934-а, 05-02-17670-а, 09-02-00927-а) и Международного научно-технического центра (грант 3691).
СТРУКТУРА РАБОТЫ
Проблема единого описания релаксационных и резонансных сред в рамках термодинамического подхода
Реальные среды уже в линейном приближении обладают широким разнообразием диссипативно-дисперсионных свойств и существует разнообразные подходы к их описанию в рамках различных моделей. В настоящей работе мы рассмотрим те среды, которые могут быть описаны в рамках локальных уравнений состояния. То есть в тех случаях, когда пространственной дисперсией можно пренебречь. Это накладывает ограничение на минимальную длину импульса /L , для которой такое описание является справедливым. Так должно выполняться условие Л L , где L - или длина свободного пробега фононов в среде, или же в общем случае - характерный масштаб области, в которой может установиться квазиравновесное термодинамическое состояние. По существу условие /L L позволяет считать среду сплошной и описывать ее в рамках квазиравновесной термодинамики. При этом описание диссипативно-дисперсионных свойств среды, проявляющихся в особенностях распространения коротких импульсов, также оказывается модельно зависимым. Сразу отметим, что в настоящее время нет единой теории, описывающей реологические свойства всех реальных сред. Именно с этим связаны основные трудности при решении обратных задач акустодиагностики. Отсутствие единого подхода при описании реологических свойств сред порождает множество моделей, описывающих эти свойства. Сюда следует отнести модели, основанные на экстраполяции экспериментальных данных по затуханию и дисперсии волн с учетом принципа причинности [Азими Ш.А. и др. (1968)]; чисто математические модели, допускающие разумную физическую интерпретацию [Работнов Ю.Н. (1977); Локшин А.А., Суворова Ю.В. (1982)]; множество моделей, построенных на основе конкретных предположений о физических особенностях строения среды на микроуровне [Новик А. Берри Б. (1975); Кондратьев O.K. (1986); Николаевский В.Н. и др. (1970)]. Естественно, что разные модели характеризуются разными параметрами, которые в свою очередь по разному проявляются в динамике распространения импульсов. Остановимся на основных подходах, используемых для описания дисперсионно-диссипативных свойств сред [Коган С.Я. (1961)].
Наиболее простым способом такого описания является прямое использование экспериментальных кривых частотной зависимости коэффициента поглощения и фазовой скорости, полученных в результате прямых спектроскопических измерений в определенной ограниченной области частот. Эти данные в дальнейшем могут быть экстраполированы на всю оставшуюся область частот в рамках той или иной модели, удовлетворяющей принципу причинности, что обычно достигается учетом дисперсионных соотношений Крамерса - Кронинга (см. например [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Т.VIII (1982)]). Такой способ не требует информации о физической природе механизмов, ответственных за дисперсионно-диссипативные свойства. Однако свойства среды, выявленные таким способом, являются чисто эмпирическими, и не могут быть использованы для другой среды, или той же среды, но находящейся в других условиях. Примеры теоретического обоснования и использования этого подхода можно найти в работах [Дерягин Б.В. (1931); Гинзбург В.Л. (1955); Горшков Н.Ф. (1957); Азими Ш.А. и др. (1968); Губкин К.Е. (1984); Lamb G.L. (1962)].
Другой подход к описанию дисперсионно-диссипативных свойств основан на моделировании реологии среды, т.е. ее механического поведения под влиянием внешнего воздействия. Несмотря на то, что ни закон Гука, ни закон вязкого течения Ньютона в отдельности в точности не описывают механическое поведение значительной части реальных сред даже в линейном приближении, качественное, а иногда и количественное согласие с экспериментами часто удается получить в предположении, что процессы упругого и вязкого деформирования протекают в среде одновременно. Механическое поведение материала при таком подходе может быть смоделировано совокупностью последовательно и параллельно соединенных упругих элементов (пружинки), подчиняющихся закону Гука и вязких элементов (демпферы, поршни), подчиняющихся закону вязкого течения Ньютона [Работнов Ю.Н. (1977); Новик А. Берри Б. (1975); Аскадский А.А. (1973)], а также сосредоточенных масс в качестве инерционных элементов [Achenbach J.D., Chao С.С. (1962); Новик А. Берри Б. (1975)], если реакция материала имеет также и инерционные свойства.
Наиболее простые модели такого типа это совокупность упругого и вязкого элементов, соединенных последовательно (модель Максвелла) или параллельно (модель Кельвина-Фойгта), а также их обобщение - трехэлементная модель стандартного неупругого тела [Новик А. Берри Б. (1975); Аскадский А.А. (1973)], представляющая собой модель Кельвина-Фойгта последовательно соединенную с пружиной. Эти модели как правило лишь качественно описывают поведение неупругих сред. Однако более сложными моделями такого типа, состоящими из большего числа элементов можно эффективно описать поведение целого ряда материалов [Аскадский А.А. (1973); Новик А. Берри Б. (1975); Работнов Ю.Н. (1977); Николаевский В.Н. и др. (1970), Блэнд Д. (1965)].
Все возможные механические модели можно рассматривать как частные случаи общего подхода, положенного в основу наследственной теории упругости. Этот подход был предложен Больцманом [Аскадский А.А. (2001)], который исходил из того, что если тело ранее испытывало деформацию, то повторная деформация до той же величины потребует меньшего напряжения, причем это уменьшение напряжения тем больше, чем больше длилась первичная деформация. Далее предполагается, что описанный выше эффект суммируется при многократном воздействии. Таким образом, состояние среды в текущий момент времени оказывается зависимым от суммы возмущений во все предшествующие моменты. Это наиболее общее предположение о локальной реакции линейной среды на возмущение, может быть выражено в виде интегрального уравнения наследственного типа (уравнения Вольтерра) [Работнов Ю.Н. (1979); Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Т.VIII (1982)] с релаксационными ядрами, описывающими дисперсионные свойства среды.
Вид релаксационных ядер в рамках наследственной теории упругости подбирается, как правило, из эвристических соображений. Такие ядра обычно должны быть положительными, монотонно убывать с ростом времени, удовлетворять критерию «затухающей памяти» [Работнов Ю.Н. (1979); Локшин А.А., Суворова Ю.В. (1982)], а также аппроксимировать по возможности большее количество экспериментальных зависимостей и быть удобными для интегрирования. В литературе рассматривается ряд модельных релаксационных ядер: экспоненциальное, ядро Абеля, дробно-экспоненциальное ядро Работнова и др. (см. например [Коган С.Я. (1966); Работнов Ю.Н. (1979); Локшин А.А., Суворова Ю.В. (1982); Nigul U. (1983)]). Параметры таких ядер обычно не поддаются явной физической интерпретации. Хотя следует отмстить, что определенные соображения в пользу выбора той или иной формы ядра в некоторых случаях могут быть приведены. Механические модели, таким образом, можно рассматривать как метод получения экспоненциальных релаксационных ядер.
Как отмечено в работе [Работнов Ю.Н. (1979)], способ построения релаксационных ядер, основанный на построении механических реологических моделей, обладает тем преимуществом, что релаксационные ядра, построенные на его основе не противоречат законам термодинамики, хотя, по мнению автора [Работнов Ю.Н. (1979)], «было бы достаточно наивно искать в структуре материала соответствующие упругие и вязкие элементы».
Аналитическое выражение для функции Грина среды с двумя релаксационными процессами
Еще один асимптотический подход заключается в замене на больших расстояниях от источника исходного интегро-дифференциального уравнения уравнением более простого диффузионного типа [Roberts Т.М. Petropoulos P.G. (1996); Roberts Т.М. Petropoulos P.G. (1999)]. Функция Грина для такого уравнения также может быть получена в явном виде и использована на больших расстояниях от источника. Результаты, полученные в этом подходе согласуются с результатами, полученными методом перевала. [Roberts Т.М. Petropoulos P.G. (1999)]
Все упомянутые выше работы посвящены распространению импульса в средах с одним или, в некоторых случаях, двумя релаксационными процессами [Xiao, Н., Oughstun, К.Е. (1998)]. Однако, как уже отмечалось, в реальных средах может одновременно протекать множество релаксационных процессов с широким спектром времен релаксации (СВР). Таким образом, для описания распространения импульсов в реальных средах необходимо-разработка подходов, учитывающих наличие широких и даже непрерывных СВР.
Ввиду отсутствия до последнего времени общего подхода к проблеме описания распространения импульса в среде с произвольным СВР в ряде работ предпринимались попытки получить описание динамики различных частей импульса в различных асимптотических пределах. Так в работах [Blake T.R. (1974); Leander J.L. (1991)] и [Leander J.L. (1993)] для среды Максвелла с произвольным СВР получены прифронтовые асимптотики. Асимптотики больших времен и расстояний для импульсов в среде с произвольным СВР рассматривались в работах [Blake T.R. (1974); Дунин С.З., Максимов Г.А. (1988а)].
Однако отдельные асимптотики не позволяют описать эволюцию импульса в целом для среды с произвольным СВР, особенно в области его диспергирования. А такая постановка вопроса является весьма актуальной для задач импульсной акустодиагностики релаксационных сред.
В работе [Дунин С.З., Максимов Г.А. (1988в)] предложен подход к аналитической аппроксимации профиля короткого импульса в среде с произвольным набором релаксационных процессов, пригодный для всей области распространения. Он основан на построении выражения, переходящего в соответствующих пределах в высокочастотную (прифронтовую) асимптотику и в низкочастотную асимптотику, соответствующую большим расстояниям от источника и от фронта импульса в среде с произвольным набором релаксационных процессов. Коэффициенты этой аналитической аппроксимации выражены через три первых момента СВР г , к = 0,1,2,3 .
Следует заметить, что на практике создавать одномерные импульсы часто бывает достаточно сложно, и соответствующее описание оказывается приближенным. В тоже время, довольно обычными являются источники, излучающие сферические и цилиндрические волны. Закономерности распространения сферических и цилиндрических импульсов в однородной релаксационной среде рассматривались в работах [Кукуджанов В.Н. (1963); Blake T.R. (1974); Баринова Т.Я., Маликова А.Ш. (1978); Кельберт М.Я. Сазонов И.А. (1987); Дунин С.З., Максимов Г.А. (1988а); Кельберт М.Я., Сазонов И.А. (1991); Рохлин Д.Б. (1995)], однако, даже в этом более простом случае найдены лишь асимптотики отдельных частей профиля импульса, а точных решений до последнего времени получено не было.
В силу этого представляет определенный интерес выяснить, как сказывается неодномерность геометрий излучения на- динамике изменения профиля импульса, распространяющегося в неоднородной релаксационной среде.
Все упомянутые выше работы, посвященные распространению импульсов, касались только однородных сред. В неоднородных средах помимо частотной дисперсии, связанной с микроструктурой среды, возникает также и пространственная дисперсия, определяемая неоднородностью. Таким образом, как для прямой задачи так и для задачи импульсной акустической диагностики среды на практике важно уметь описывать совместное влияние на форму распространяющегося импульса диспергирующих свойств среды, связанных с релаксацией и с пространственной неоднородностью. Такая задача может быть актуальна, например, в случае температурно-неоднородной среды, или при моделировании динамики импульсов, распространяющихся в газовой атмосфере, неоднородность плотности в которой определяется полем тяжести.
Идея общего подхода к описанию распространения импульсов в неоднородной среде с дисперсионно-диссипативными свойствами была высказана в работе [Шемякин И.Е. (1955)] и эффективно развита в работах [Дунин С.З., Максимов Г.А. (1988а); Дунин С.З., Максимов Г.А. (19886); Максимов Г.А. (19936); Максимов Г.А. (1994а); Максимов Г.А. (19946)]. Суть подхода заключается в разделении (факторизации) пространственно неоднородных свойств среды и ее дисперсионно-диссипативных свойств. Если такое разделение оказывается возможным, то решение задачи сводится к свертке решения упругой неоднородной задачи и фундаментального решения плоской задачи для дисперсионно-диссипативной среды.
Этот же подход использован в работе [Максимов Г.А. (1994а)] для получения точных решений, описывающих распространение плоского импульса в экспоненциально неоднородной среде, с релаксаций описываемой моделью Максвелла. Представляет интерес обобщить решение этой задачи с учетом реальной неодномерности распространения импульса в атмосфере. Кроме того, интересным представляется оценить влияние температурных неоднородностей в океане по методике описанной в работе [Максимов Г.А. (19936)] на динамику распространения коротких импульсов с целью их дистанционной диагностики импульсными методами.
Реальный смысл различные теоретические построения, в том числе и касающиеся распространения импульсов, приобретают тогда, когда они могут быть сопоставлены с экспериментом. В этой связи следует упомянуть несколько экспериментальных работ, которые подтверждают теоретические результаты.
Аналитическое "выражение функции-Грина во временной области было с успехом использовано для интерпретации результатов экспериментов по распространению коротких импульсов в уксусной кислоте [Андреев В.Г., Сапожников О.А., Тимофеев СТ. (1994); Зозуля П.В., Зозуля О.М. (2004)].
Здесь следует заметить, что для интерпретации более ранней экспериментальной работы [Carome E.F., Parks Р.Е., Mraz S.J. (1964)] по распространению импульсов конечной длительности в уксусной и пропановой кислоте, терахлориде и дисульфиде углерода использовалось численное суммирование рядов Фурье через которые был выражен источник [Carome E.F., Fleury P.A. Wagner W.J. (1964)]. А в работе [Moffett M.B., Beyer R.T. (1970)] использовался подход [Blackstock D.T. (1967)], основанный на классической теории дисперсии, для интерпретации результатов по распространению конечного импульса с узким спектром в терахлориде углерода. В обоих подходах удалось получить приемлемое согласие с экспериментальными профилями, но оба они, в отличии от [Андреев В.Г., Сапожников О.А., Тимофеев СТ. (1994); Зозуля П.В., Зозуля О.М. (2004)] не позволяют получить из экспериментальных профилей важные параметры среды, такие, например, как время релаксации.
Таким образом, из приведенного выше обзора следует, что в вопросе распространения коротких импульсов в реальных дисперсионно-диссипативных средах существует ряд нерешенных проблем, представляющих как фундаментальный научный интерес, так и практический интерес для различных приложений, в частности, для акустодиагностики сред.
Факторизация решения в неоднородной среде
В данном разделе, который основан на работе [Максимов Г.А. (1996)], дается анализ возможностей импульсной акустодиагностики релаксационных сред. Определены параметры среды, которые можно экспериментально определить методами импульсной акустодиагностики. Выяснены критерии, которым должны удовлетворять источник возбуждения импульса и область расстояний его регистрации, при которых импульсная акустодиагностика наиболее эффективна. Указан ряд преимуществ, импульсной акустодиагностики перед традиционными методами при определении параметров релаксационных сред в области низких и высоких частот.
Вопросы эффективной диагностики свойств самых разных сред и материалов возникают не только при решении исследовательских задач, но все чаще становятся неотъемлемым этапом при разработке новых технологий и производств. Одним из эффективных способов неразрушающего контроля свойств материалов является акустодиагностика. Существующие в ее рамках методы определения свойств среды можно разделить на две основные группы : 1) спектроскопические [Новик А. Берри Б. (1975); Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. (1964)], связанные с определением частотно-температурных зависимостей коэффициента поглощения и фазовой скорости однородных материалов, и, 2) импульсные, позволяющие определять дефекты строения, в том числе и неоднородных сред по кинематике приходов импульсов. К достоинствам методов акустической спектроскопии следует отнести подробную информацию, которую они дают о реологических свойствах однородных сред, связанных с их внутренней микроструктурой; к недостаткам - довольно сложные проблемы создания необходимых для этого стационарных условий излучения и однородности сред. Этих недостатков лишены импульсные методы, особенно в связи с появлением высокоэффективных лазерных источников генерации звуковых импульсов [Гусев В.Э., Карабутов А.А. (1991)]. Однако, теоретическая база импульсных методов ограничена рамками идеально-упругой среды и позволяет диагностировать только крупномасштабные неоднородности ее строения, не давая информации о реологических свойствах, хотя последние безусловно проявляются в динамике изменения профиля импульса.
В настоящем разделе рассматривается вопрос о возможностях определения реологических свойств среды импульсными методами, то есть об импульсной акустической спектроскопии сред [Максимов Г.А. (1996); Maksimov G.A., Larichev V.A. (1996); Maksimov G.A., Larichev V.A. (1998)]. Следует сказать, что вопросы, связанные с распространением импульсов в средах с той или иной реологией рассматриваются уже давно [Вайнштейн Л.А. (1976); Кельберт М.Я., Сазонов И.А. (1991; Кондратьев O.K. (1986)] и их решению посвящено большое количество работ, особенно в таких науках как сейсмология и геофизика, где импульсные методы являются по-существу единственным надежным источником информации о свойствах вещества в глубинах Земли [Кондратьев O.K. (1986); Коган С.Я. (1966)].
Однако до настоящего времени вопрос о восстановлении детальной информации о реологических свойствах среды по динамике изменения импульса при его распространении не решался. Это было обусловлено двумя основными причинами: многообразием описания реологических свойств реальных сред, и недостаточной изученностью динамики распространения импульсов по таким средам.
Как уже было отмечено в Главе 1, реологические свойства сплошных сред в состоянии близком к термодинамическому равновесию в линейном приближении детально описываются в рамках теории внутренних параметров, развитой Мандельштамом и Леонтовичем [Мандельштам Л.И., Леонтович М.А. (1937)].
В случае малой дисперсии скоростей фундаментальное решение для импульса, распространяющегося в среде с одним временем релаксации хорошо известно (1.3.34) [Вайнштейн Л.А. (1976); Nigul U. (1983); Achenbach J.D., Chao С.С. (1962); Дунин С.З. (1986)]. Для среды с двумя временами релаксации соответствующее фундаментальное решение получено в разделе 2.1 [Ларичев В.А., Максимов Г.А. (1999)], а для распределенного СВР вида g(r) = 1/(г ln(rmax /rmin)) точное решение получено в разделе [Дунин С.З., Максимов Г.А. (1990)]. Для других типов СВР получить точных аналитических решений не удается. Несмотря на это, можно установить поведение фундаментального решения I{x,t) в окрестности некоторых точек его профиля, не касаясь конкретного вида СВР. Из аналитичности К(р) в области Re/? 0 следует существование переднего фронта импульса, движущегося со скоростью С . В окрестности фронта х « cmt структура I{x,t) определяется высокочастотным разложением волнового числа: хК(р -» со) = рх/с + Р - /3 г-1 Iр + р т 2 /р2 Подстановка этого разложения в (1.3.6), и учет слагаемых с точностью до \1 р после разложения экспоненты, приводит к следующему виду прифронтовой асимптотики I(x,t) I(x,t) = e /3[s(t ) + p T ] +гр\р т-] 2 /2- r"2 )W) (2.4.1) Из последнего выражения следует, что одновременно с предвестником на фронте имеет место скачек амплитуды тела импульса, величина которого равна е /3 т , а далее в зависимости от пройденного импульсом расстояния, амплитуда тела импульса сначала при /? 2 г I т возрастает, а затем при /В 2 г I т - убывает. Фактически на указанном расстоянии на профиле тела импульса появляется максимум, который в дальнейшем будет распространяться со скоростью с0 . Низкочастотное разложение волнового числа имеет вид: хК(р - 0) = рх{\ + А/2)/ст-р2/3 т2 +... и определяет структуру I(x,t) в окрестности точки, движущейся со скоростью с0 ( так
Такой вид характеризует гауссовский пакет, движущийся со скоростью с0 , характерная ширина которого равна 2-у//? г , и, следовательно, увеличивается пропорционально корню из пройденного расстояния. В разделе 2.3 [Дунин С.З., Максимов Г.А. (1988в); Ларичев В.А., Максимов Г.А. (1997а)] с использованием приведенных асимптотик и функциональных соотношений, получаемых методом перевала удалось построить аналитическую аппроксимацию, позволяющую описывать динамику импульса при его распространении по среде с произвольным видом СВР. Детальные исследования по распространению коротких импульсов в релаксационных средах, выполненные в работах [Дунин С.З., Максимов Г.А. (1990); Дунин С.З., Максимов Г.А. (1988в); Ларичев В.А., Максимов Г.А. (1997а); Максимов Г.А. (1993а)], приводят к следующей картине эволюции их амплитуды и формы: Первоначально близкий к дельта-функции импульс (фундаментальное решение) при своем распространении разделяется на распространяющийся с максимальной фазовой скоростью упругий предвестник, амплитуда которого экспоненциально убывает с пройденным расстоянием, и, тело импульса, имеющее на близких расстояниях вид экспоненциально спадающего во времени хвоста, а на больших расстояниях трансформирующееся в гауссов импульс, максимум которого движется с минимальной фазовой скоростью, а амплитуда убывает пропорционально корню из пройденного расстояния (см. рис.2.4.1).
Основные типы распространения импульса в среде с одним обобщенным процессом резонансной релаксации
По поводу выражений (3.2.36) и (3.2.37) заметим, что при Т0 «аи0на достаточно больших расстояниях х»х0Т0/170 предвестник распространяется практически без затуханияс амплитудой, близкой к -начальной, в то время как характерная ширина тела импульса очень быстро растет, а его амплитуда убывает по экспоненциальному закону. Заметим также, что если бы обратная температура линейно убывала бы с расстоянием (чего на конечном интервале расстояний х « ах0 можно достичь, оставаясь в рамках (3.2.35), при х0 0, то закономерности в поведении предвестника и тела импульса поменялись бы местами. Приведенный выше пример подтверждает следующую закономерность: при возрастании температуры вдоль трассы распространения характерная ширина тела импульса, если и меняется, то незначительно, в то время как при убывании температуры вдоль трассы расплывание импульса может быть чрезвычайно большим.
В этой связи рассмотрим еще один интересный с практической точки зрения пример, когда внутри однородной среды с температурой Г0 и единственным релаксационным механизмом имеется локальная область размером Дх с небольшим отклонением температуры А7"0«7 . Исследуем влияние этой области на ширину прошедшего через нее импульса. Если бы эта область отсутствовала, то ширина импульса (первоначально близкого к дельта-функции) определялась бы выражением наличие же локальной области температурной неоднородности приводит к тому, что в выражении (3.2.38) вместо х следует писать
Откуда следует, что при небольших размерах области Ах«х и малом различии температур Ar0 /Т0 « Т0Ш0 « 1 ширина тела импульса изменяется незначительно. При более значительной разнице температур ЛГ0 /Г0 Т0 /U0 такое же поведение будет наблюдаться , если неоднородная область нагрета ЛГ0 0. Если же температурная область охлаждена ЛГ0 0, то это может привести к весьма существенному увеличению ширины импульса, которая в этом случае пропорциональна х + Ах ехр На этой основе может быть реализована методика дистанционного импульсного акустического контроля температуры среды, если, скажем, требуется, чтобы температуры среды была не ниже заданной. В этом случае при условии Т0 « UQ даже небольшие локальные понижения температуры легко можно диагностировать по существенному увеличению ширины импульса.
На рис.3.2.1-рис.3.2.2 приведен модельный пример влияния температурной неоднородности среды на форму импульса [Ларичев В.А., Максимов Г.А. (1997в)]. В работе [Максимов Г.А. (19936)] было показано, что даже небольшая температурная "яма", локализованная на малом участке трассы распространения, может привести к заметному искажению формы импульса по сравнению с однородным случаем. Профили импульса на безразмерном расстоянии у = 4.0 в среде с единственным механизмом релаксации при температурной неоднородности среды в виде небольшого локального понижения температуры показаны на рис.3.2.1. При этом зависимость времени релаксации от координаты - г (х) = г ехр , где Т- температура, U -энергия активации. СВР имеет [Т(х)) вид g(r,x) = S{T -т,(х)), Г(х) = Гна всей длине трассы кроме отрезка Ах на котором Т(х) = Т + АГ . Длина области локального понижения температуры Ах составляет, соответственно, 0.5%, 1%, 5%, 10% от полной длины трассы распространения (рис.3.2.1), а температура в этой области на 2% ниже чем на остальной трассе. При этом отношение температуры к энергии активации T/U составляет 0.01. Видно, что уже начиная с размера неоднородности порядка 1%, можно говорить о существенном отличии импульса, распространяющегося в неоднородной (сплошная линия) и однородной (пунктир) среде. Из рис.3.2.1 следует, что различия в форме импульса, прошедшего температурную неоднородность разного масштаба, имеют качественный характер и должны быть легко доступны наблюдениям. Аналогичный вывод следует и из рис.3.2.2 на котором приведены импульсы при одной и той же длине температурной неоднородности (10% от длинны трассы), но для различных величин AT IT. Отношение температуры к энергии активации T/U составляет 1%. Так же как и на рис.3.2.1 для сравнения пунктиром приведены импульсы в однородной среде.
Так же были проведены модельные расчеты для морской воды, в которой основным релаксационным механизмом является диссоциация MgS04, соответствующее время релаксации по данным работы [Житковский Ю.Ю. (1995); Кельберт М.Я. Сазонов И.А. (1987)] составляет около 2.5 10 бс. Дисперсия скорости в морской воде А = 1 — с0 I с около 5 10"5 .В качестве энергии активации была взята энергия диссоциации MgS04 (полученная из взятой с противоположенным знаком стандартной энтальпии образования MgS04 в водном растворе по данным из [Лидин Р. А., Андреева Л. Л., Молочко В. А. (1987)]) U = 1963 кДж. Энергия вещества, соответствующая температуре 25 С составляет соответственно 2.48 Дж. Таким образом, отношение U/T составляет около 550. В результате расчета профиля импульса (рис.3.2.3, рис.3.2.4Г рйс.3.2.5) на расстояниях 400, 600, 800, 1000 метров от источника мы видим существенное отличие профиля для импульса прошедшего через однородную среду (пунктир) и импульса прошедшего через ту же среду, но в которой на участках суммарной длиной около двух метров температура понижена на 2 С.
Таким образом, приведенные расчеты показывают, что с помощью регистрации изменения формы импульса, на трассе распространения от сотен метров до километра, можно диагностировать локальные понижения температуры порядка долей градуса и выше, даже если суммарная длина этих участков составляет всего несколько метров. Эти результаты позволяют надеяться на то, что использование данного метода может найти реальное применение для мониторинга и изучения динамики температурных полей океана мезо-масштабного диапазона.
Похожие диссертации на РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ АКУСТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ В СРЕДАХ С РЕЛАКСАЦИЕЙ И ОБОБЩЕННЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ ДИССИПАТИВНОЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
-
