Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Детерминированные и статистические модели слоистого мелкого моря на языке скалярно-векторного описания 29
1.1 Детерминированные модели 35
1.1.1 Общая формулировка краевой проблемы 35
1.1.2 Задача на собственные значения 38
1.1.3 Аналитические слоистые модели мелкого моря 46
1.1.4 Полуаналитические слоистые модели 59
1.2 Влияние случайных слоистых флуктуации на акустические поля в мелком море 65
1.2.1 Постановка статистической проблемы 68
1.2.2 Модели среды и случайных неоднородностей, оценка параметров 70
1.2.3 Результаты статистического моделирования 78
1.3 Об акустических шумах в слоистом океане 99
Глава 2 Модели горизонтально-неоднородного мелкого моря 118
2.1 Уравнения первого порядка для метода поперечных сечений 119
2.2 Моделирование уравнений первого порядка для мелкого моря с плавным характером изменения глубины 125
2.3 Океан с существенными горизонтальными неоднородностями. Уравнения погружения 147
Глава 3 Нестационарные волновые задачи распространения и рассеяния импульсов (детерминированная проблема) 169
3.1 Формулировка проблемы, простейшие решения 174
3.2 Уравнения для неоднородной среды, аналитические решения 179
3.3 Аналитико-численные алгоритмы поиска волновых полей при произвольных слоистых неоднородностях 190
3.4 Моделирование волновых полей в периодически неоднородных средах на основе аналитико-численных методов 198
3.4.1 Рассеяние импульсов на полупространстве и слое периодической среды 202
3.4.2 Поля импульсов внутри периодических сред 214
Глава 4 Статистическое моделирование рассеяния импульсов в случайно-неоднородных слоистых средах 226
4.1 Задание флуктуации, стохастические масштабы 229
4.2 Поведение статистических моментов обратно рассеянного поля 236
4.3 Корреляционные функции и спектры обратно рассеянного поля 250
4.4 Анализ асимптотического поведения статистических моментов 255
4.5 О наклонном падении импульсов и многомерных задачах 267
заключение 270
Приложение А 282
- Влияние случайных слоистых флуктуации на акустические поля в мелком море
- Моделирование уравнений первого порядка для мелкого моря с плавным характером изменения глубины
- Аналитико-численные алгоритмы поиска волновых полей при произвольных слоистых неоднородностях
- Корреляционные функции и спектры обратно рассеянного поля
Введение к работе
Последние 20 лет ознаменовались бурным развитием вычислительной техники. Переход от громоздких компьютеров огромных размеров к небольшим настольным - персональным и даже портативным (ноутбукам) принципиально изменил ситуацию во многих областях жизни и деятельности человека, в том числе и в науке. При той же, а зачастую и большей производительности, в 1990-х годах персональные компьютеры (ПК) стали доступны широкой общественности и приобрели большую привлекательность в качестве инструмента проведения научных исследований. Естественно, не только в 1990-е годы электронно-вычислительные машины (ЭВМ - название компьютеров эры до персональных) использовались в научно-исследовательских работах, но прежде была совершенно иная ситуация. Автор хорошо помнит время, когда приходилось затрачивать недели, чтобы отладить учебную задачу, и месяцы, чтобы получить решение в требуемом виде. Еще недалек и период начала-середины 1980-х годов, когда совершался переход от перфолент и перфокарт к непосредственному доступу на ЭВМ в дисплейном режиме, что воспринималось как революционный шаг, поскольку позволяло резко сократить сроки выполнения научных расчетов. Однако лишь с появлением легкодоступных для исследований ПК началась эпоха, когда компьютер стал желанным помощником и неотъемлемым инструментом в работе ученого. Прежде, проведение численных расчетов, как правило, являлось самостоятельной стороной научной деятельности, так как требовало специальных знаний и отдельного значительного времени. Поэтому при решении научной проблемы обычно существовало разделение труда: теория, аналитические изыскания выполнялись одним человеком (иногда группой ученых), а далее, при необходимости, на том или ином языке писались программы и осуществлялись расчеты на ЭВМ другим человеком - программистом. Совмещение же в одном лице аналитика и вычислителя-программиста было событием нетипичным. Являясь таким «нетипичным» исследователем, автор хорошо знаком со всеми недостатками подобной работы в тот период времени. Однако у нее были и достоинства, заключавшиеся прежде всего в том, что ЭВМ 1970-х - 1980-х годов, будучи сравнительно труднодоступными и потому требовавшими серьезных усилий для своего использования, служили только полезным дополнительным средством для получения окончательных результатов «в цифре» и наглядном представлении после того, как вся необходимая аналитическая работа была завершена. С этой точки зрения появление и быстрое распространение легкодоступных ПК при всей своей революционности привнесло в научные исследования, на взгляд автора, тот существенный недостаток, что на практике компьютерные расчеты стали чуть ли не подменять аналитическую сторону решения задач. Рельефнее всего это обстоятельство демонстрируют работы зарубежных (в подавляющей массе, американских) исследователей. Перенесение центра тяжести научных исследований непосредственно на компьютерные вычисления характерно там уже для начала 80-х годов. Отражением данного уклона в научной деятельности явилось возникновение самостоятельных научных журналов и проведение отдельных конференций, на которых приветствовалось выполнение подобных работ. Например, в акустике с 1993 года американцами издается «Журнал Вычислительной Акустики» (Journal of Computational Acoustics) и уже на протяжении 10 лет проводится международная конференция по «Теоретической и вычислительной акустике». В процессе участия в данных мероприятиях мне приходилось постоянно убеждаться в том, что название «теоретическая» западными коллегами понимается весьма своеобразно и является, скорее, данью исследованиям предшествующих десятилетий. При прослушивании таких работ возникает двойственное ощущение, неизменно оставляющее чувство неудовлетворенности. С одной стороны на компьютерах выполняются расчеты самых сложных задач, чего еще 15-20 лет назад позволить себе было практически невозможно, с другой же, редко происходит углубление понимания ситуаций, которые эти задачи описывают, зачастую же наоборот -появляется серьезная почва для сомнений в результатах. По мнению автора, это проистекает из самого подхода к проведению данных работ. «Голое» компьютерное моделирование, которое не является логическим продолжением предшествующих аналитических исследований проблемы, оценок параметров, выяснения областей применимости методов и адекватности конструируемых на их основе схем вычислений, приводит в большинстве случаев лишь к условному решению задачи. Под этим понимается получение результатов, которые должным образом не может проинтерпретировать сам их автор, результатов, которые не столько проливают свет на физическое существо проблемы, сколько лишь демонстрируют хорошую или плохую работоспособность той или иной вычислительной схемы. Примеров тому можно привести немало. Так, акустические монографии [1,2] наряду с множеством полезных сведений, которые, правда, в заметной степени являются видоизмененным повторением известных результатов классических книг [3-6], содержат результаты компьютерных расчетов последних 10-15 лет, представляющих наибольший интерес. Однако рассмотрение численных результатов для сложных акустических моделей вызывает неудовлетворенность, так как должного физического анализа не проводится, и, кроме того, возникает множество вопросов, касающихся их адекватности моделируемым ситуациям, ибо используемые методы, на основании которых разрабатывались вычислительные схемы и программы, часто не вписываются своей областью применимости в эти ситуации. Автору диссертации близка область акустики океана, изучающая генерацию и распространение динамических шумов. Одна из глав монографии [1] посвящена изучению именно этой проблемы применительно к трехмерно-неоднородному океану с резко выраженными неоднородностями рельефа дна (подводные горы). При этом для вычислений используется метод параболического уравнения (МПУ) и приводятся графические материалы, иллюстрирующие компьютерные расчеты. Естественно, никакой интерпретации результатов этих иллюстраций и физического осмысления материала в монографии нет. Между тем, сразу возникает вопрос об адекватности использования МПУ для моделирования подводных шумовых полей в присутствии таких резких трехмерных неоднородностей. Не имея ничего против проведения подобных расчетов в принципиальном плане, хотелось бы при этом получить вразумительный ответ на ряд естественно возникающих вопросов: какую часть рассмотренного явления и насколько правильно описывают расчеты, что остается невыясненным и лежит за границами применимости выполненного моделирования и т. п. К сожалению ответа нет, и совершенно очевидно, что освещение таких вопросов зачастую потребовало бы не менее серьезных отдельных изысканий, которые, как правило, исследователями не проводятся, поэтому и поставленные важные вопросы остаются открытыми. Здесь уместно кратко остановиться вообще на использовании упомянутого метода ПУ в акустике океана, так как это дополнительно иллюстрирует взгляды автора диссертации на многие современные компьютерные исследования в акустике и проливает свет на подходы, развиваемые для решения задач подводной акустики и радиофизики на протяжении 20 лет, которые нашли отражение в диссертационной работе.
Как известно, метод ПУ был предложен для решения дифракционных задач почти горизонтального распространения радиоволн вдоль земной поверхности [7]. В акустические исследования ПУ введено в начале 1950-х годов Г.Д. Малюжинцем [8,9], и далее метод развивался им и его учениками применительно к ситуациям, в которых основную роль играют волны, распространяющиеся под малыми углами к горизонтали (вдоль трассы прохождения звука) [10-14]. Преимущество ПУ в том, что, имея первый порядок по координате вдоль преобладающего направления распространения волн, оно позволяет в сравнении с другими методами значительно проще (например, разделенными шагами) численно моделировать акустические поля в сложной ситуации горизонтально-неоднородного океана. Кроме того, оно в известной степени (в приближении Френеля) учитывает волновые эффекты. Поэтому можно изучать средиечастотные и в некоторых случаях низкочастотные звуковые поля, что недоступно, скажем, в рамках метода геометрической акустики. Американскими учеными МПУ был взят на вооружение в середине 1970-х годов (обычно здесь ссылаются на работы Ф. Тапперта [15,16]), причем, именно по причине привлекательности параболического уравнения для расчетов на ЭВМ. За последние 20 лет подобных расчетов было выполнено великое множество. Например, две конференции по «Теоретической и вычислительной акустике» 1993 и 2001 годов были целиком посвящены применению и развитию МПУ (читай, его вычислительным аспектам), а весь номер «Журнала вычислительной акустики» за 2000 год [17] - обзору работ по методу ПУ в 20-м столетии. Количество ссылок этого обзора составляет около 300 наименований, и вызывает только сожаление, что нет никаких упоминаний не только на исходные работы [8,9], давшие путевку этому уравнению в подводную акустику и заложившие основы для его численного решения, развитые в дальнейшем Ф. Таппертом и другими зарубежными учеными, но и на более поздние фундаментальные работы [18-20]. А ведь им научная общественность обязана физическому обоснованию МПУ и изучению краеугольных вопросов о границах его применимости при наличии трехмерных неод породи остей. Неудивительно, поэтому, что в цитируемом обзоре не уделено никакого внимания ни аналитическим аспектам решения ПУ, ни вопросам обоснования применения метода для решения тех или иных задач, будто этих проблем не существует вовсе. Между тем, даже при использовании в известном смысле точного уравнения Гельмгольца, следствием которого является ПУ, указания на условия, при которых оно адекватно описывает изучаемую ситуацию, являются не лишними. Зато в конце обзора [17] авторы вновь повторяют вопрос, поставленный еще в 1993 году, остались ли еще в подводной акустике задачи, которые нельзя было бы решить методом ПУ? Такого рода вопросы вызывают лишь недоумение, ибо произвести численные расчеты можно, конечно, во многих ситуациях и не только методом ПУ. Вся проблема в том, что будут описывать результаты таких расчетов? Более 20 лет назад мной была выполнена работа по исследованию статистических характеристик гидроакустических полей в регулярных волноводах с флуктуациями [21]. Исследование проводилось в рамках метода ПУ, и одним из результатов данной работы (также [22-24]) являются аналитические оценки областей справедливости МПУ в конкретных достаточно простых ситуациях (звуковых каналах с линейным и параболическим профилями скорости звука). Эти оценки хорошо демонстрируют специфику параболического уравнения, которое плохо описывает не только дальнее распространение звука, но и зоны существенных изменений поля (области фокусировок, каустики), что обязательно должно учитываться при использовании ПУ, особенно при описании сложных акустических ситуаций, когда очертить область его адекватности можно лишь в весьма общей форме. Сказанное относится, в частности, к анализу распространения звуковых волн в океане в случаях сильного влияния дна, его неоднородного рельефа, что типично, например, для мелкого моря. В таких условиях наблюдается не только почти горизонтальное распространение, а происходит рассеяние волн на любые углы и отражение, что сразу вызывает сомнение в адекватности использования ПУ для подобных исследований. Выше уже упоминалась работа [1], в которой проведены расчеты методом ПУ поля акустических шумов, распространяющихся в условиях сильного влияния неоднородного рельефа дна. При отсутствии каких-либо объяснений по ключевым вопросам, касающимся применимости МПУ для описания подобных условий распространения, справедливость численных результатов закономерно вызывает серьезные сомнения. Из российских исследователей расчетами по методу широкоугольного ПУ в настоящее время занимается К.В. Авилов [25-27]. В одной из последних работ [27] проводилось сопоставление результатов расчетов по ПУ и по лучевому методу с измеренными зависимостями в глубоком море на расстояниях до первой зоны конвергенции, и указывалось на отличие, которое дают модельные расчеты, в том числе при использовании широкоугольного ПУ. Хотя прямое сравнение результатов модельных расчетов с экспериментальными не является достаточно корректным, оно лишний раз показывает, что не все так просто при численных расчетах сложных акустических задач, и слишком рано делать далеко идущие заявления, которыми пестрят зарубежные статьи по акустике, о возможности успешного решения таких проблем в настоящее время даже с помощью высокопроизводительных компьютеров и приближения ПУ.
Данные примеры хорошо иллюстрируют тот перекос в акустических исследованиях, который произошел вследствие повсеместного внедрения в рабочую практику расчетов на компьютерах, ставших легкодоступными. Точка зрения автора диссертации, конечно, далека от призыва совсем отказаться от использования в научных разработках персональных компьютеров, которые без сомнения могут служить полезным инструментом, расширяющим возможности решения актуальных проблем. В этом смысле другой крайностью, по нашему мнению, является проведение на современном этапе только аналитического изучения физических задач, которое зачастую превращается в «аналитику ради аналитики». Хорошо известно, что мощным инструментом аналитического исследования научных проблем в докомпьютерную эпоху 1950-1970-х годов, как в акустике, так и в физике вообще, был арсенал асимптотических методов [28,29], которые в тот период получили фундаментальное развитие и, по сути, были единственным способом довести решение задачи до определенного логического завершения, чтобы понять общие закономерности явления. Однако к сегодняшнему времени в подавляющем большинстве задач акустики, радиофизики и других волновых дисциплин результаты, которые могли дать асимптотические методы, уже установлены, в то же время интерес представляют не только качественные закономерности, но и более точное количественное описание. В итоге приходится зачастую сталкиваться с видоизмененным переписыванием ранее полученных результатов, либо с развитием метода ради метода, проведением анализа только ради параметров, позволяющим внести непринципиальные уточнения. В качестве примера, приведем ссылки на работы, являющиеся, на наш взгляд, квинтэссенцией сказанного. Группа исследователей [30-36] в попытке аналитически решить сложные задачи (например, распространения импульсов в неоднородных средах, описываемых трехмерным волновым уравнением, или задачи распространения волновых полей в случайной среде) разработала столь громоздкий и трудный для понимания математический аппарат приближенного анализа, что полученные весьма скромные физические результаты служат хорошей иллюстрацией, как сугубо аналитический подход к подобным проблемам может оказаться не вполне адекватным усилиям, потраченным на его разработку. Более глубокие результаты для такого рода задач, как будет видно в дальнейшем, могут быть получены на основе концепции решения, представленной в настоящей диссертации. Конечно, асимптотические методы не устарели и не лишены пользы, все же следует признать, что «золотой век» их закончился в середине-конце 1980-х годов, по крайней мере, в акустике и радиофизике. Они заняли свое место в качестве одного из инструментов в руках теоретика, теперь располагающего возможностями ПК, и не должны сдерживать выполнение расчетов, если таковые необходимы для завершения работы над задачей.
Принимая во внимание вышесказанное, основным достижением диссертационной работы, представляющим, на взгляд автора, первостепенную научную ценность, является решение крупных научных проблем акустики неоднородных сред. Это - актуальные детерминированные и статистические задачи распространения звуковых волн и импульсов в стратифицированной и горизонтально-неоднородной морской среде. Исследование включает аналитический и численный анализ многослойных моделей мелкого моря, описывающих реальные условия распространения звука, причем физические выводы являются непременным атрибутом всех модельных вычислений, представленных в работе. Решение важных для акустики волновых проблем осуществляется в точной постановке (как краевых задач для волновых уравнений) и на основе подхода к моделированию, объединяющего все изучаемые проблемы. Суть его в том, что краевые задачи для волновых уравнений переформулируются в эквивалентные задачи Коши для уравнений 1-го порядка, после чего вычисление звуковых полей при произвольной стратификации параметров среды осуществляется на основе явных рекуррентных формул, не содержащих особенностей. Эти формулы представляют собой точные аналитические решения указанных причинных уравнений для сред с многослойной (и мно го параметрической, в общем случае) структурой, а при задании параметров стратификации непрерывными функциями отвечают решению при их удобной кусочной аппроксимации. Поэтому, в силу своего аналитического содержания, данный подход имеет преимущества простоты при вычислениях и прозрачности при физической интерпретации результатов моделирования. Численные результаты не заменяют теоретическое исследование, а дополняют его, чего нельзя сказать об отмеченных выше «компьютерных» методах решения современных акустических проблем. Правильно будет сказать, что обычные вычислительные схемы, вытекающие из традиционных численных методов решения уравнений [37,38], почти не используются. Вместо этого, как непосредственное и логическое продолжение аналитики, строятся расчетные процедуры, основанные на ней и позволяющие получать решение акустической проблемы в окончательной форме.
Исторически разрабатываемый подход, который назовём для краткости аналитико-численным моделированием, как система взглядов автора и рабочий инструмент акустических исследований, сформировался в процессе разработки процедур решения уравнений метода погружения (МП). МП был привнесен в волновую теорию В.И. Кляцкиным, и в 1980-х годах развит им и его учениками для исследования различных проблем радиофизики и акустики [39-42]. Автор диссертации принял непосредственное участие в разработке этого метода применительно к решению задач акустики океана, и работа под руководством В.И. Кляцкина оказала сильное влияние на идеологию моих последующих работ в области распространения подводного звука и создания моделей, описывающих данное явление. В этом плане поучительна диалектика, демонстрирующая исследования в их развитии. МП для изучения акустических проблем первоначально развивался, с одной стороны, как точный волновой подход к решению краевых задач, формулируемых уравнениями акустики и граничными условиями, а с другой стороны - как альтернатива классическим разложениям звуковых полей по нормальным волнам [40,41,43], альтернатива, дающая возможность преодолеть трудности, с которыми приходится сталкиваться при расчетах на основе таких представлений. Под этим углом зрения на основе уравнений МП в цикле работ [44-54] был развит подход к точному моделированию низкочастотных шумовых полей в глубоком слоистом океане, и в волновой постановке изучена эта проблема. Полученные результаты на тот период времени не имели аналогов в акустической литературе, но были интересны не только сами по себе, как точное волновое решение для проблемы акустических шумов. Они позволили также выяснить области применимости приближенных методов лучевой теории, выводы которой в то время служили ориентиром в теоретических и экспериментальных исследованиях шумовых полей океана. Однако уже в процессе моделирования пришлось столкнуться с рядом сложностей при интегрировании решений уравнений погружения для перехода в нужную область временных спектров функций, что препятствовало выполнению дальнейших обобщений в рамках МП. Данные трудности можно понять, например, из работы [46], которая посвящена изучению резонансной структуры спектральных компонент акустического поля шумов в океане. Самое курьезное то, что в этой работе впервые (но лишь в виде дополнения! к основным результатам) показана возможность с помощью уравнений погружения находить собственные значения и собственные функции краевых задач, описывающих любые слоисто-неоднородные модели. Как раз это является краеугольной проблемой при решении волновых акустических проблем (и не только акустических) модовым подходом, за исключением простых ситуаций, когда полностью можно осуществить аналитическое исследование. Сейчас совершенно ясно, что установленная тогда в пространственно-временной спектральной области резонансная структура поля шумов океана являлась непосредственным отражением модовой природы звукового поля. Тем не менее, только позднее к автору пришло понимание того факта, что решение краевых задач подводной акустики только на основе МП не является перспективным, и не имеет смысла при моделировании отказываться от классического представления о нормальных волнах. Как это часто и бывает в науке, в данном случае подход к исследованиям получился наиболее продуктивным не при отказе от ранее развитого метода теоретического анализа в пользу нового, кажущегося более привлекательным, а при умелом объединении преимуществ разных методов. Именно побочный результат работы [46], позволивший в дальнейшем научиться эффективно решать задачи на собственные значения, оказался тем мостиком, перекинув который к классическим модовым разложениям акустических полей удалось разработать достаточно общие аналитико-численные алгоритмы моделирования для задач распространения подводного звука в слоистых океанских средах. Этим задачам посвящена значительная часть диссертации. Здесь уместно несколько подробнее остановиться на аналитико-численном моделировании, которое не является каким-то специальным математическим методом, а, как уже говорилось выше, представляет подход автора к решению волновых проблем акустики, подход, который лежит на стыке аналитического и численного описания. В результате применения его к задачам распространения звука на завершающем этапе исследования удается придти либо к явной аналитической форме записи решения (что имеет место в простых случаях), либо в сложных случаях к полуаналитическому представлению - посредством точных рекуррентных выражений, записанных на подходяще выбранной сетке и обеспечивающих быструю сходимость к точному решению. По этим рекуррентным выражениям остается лишь выполнить простые вычисления, чтобы «в цифре» получить решение задачи с желаемой точностью. Важной отличительной особенностью полуаналитического представления решения, о котором идет речь, является то, что оно не содержит в себе никаких особенностей. Все математические трудности, в том числе возможные сингулярности и «плохие» интегралы, преодолеваются на этапе аналитического исследования, то есть на этапе вывода отмеченных рекуррентных соотношений. В этом смысле у построенного таким образом решения имеется серьезное преимущество перед известными вычислительными схемами [1,37,38], ибо оно полностью основано на аналитике, а не на аппроксимациях уравнений тем или иным конечно-разностным (элементным) образом. Хотя следует отметить (см. Приложение А), что иногда можно провести параллели между классическими конечно-разностными представлениями и тем, что дает развитый подход.
Для решения случайных акустических проблем, которые рассмотрены в диссертации наряду с детерминированными, использовалось статистическое моделирование. Первоначальный вариант метода статистического моделирования для исследования случайных волновых задач был предложен в статье [55]. В математической литературе часто встречается также другое название - метод Монте-Карло [56]. На базе этого метода в точной постановке в работах [41,57,58] были изучены простейшие одномерные задачи о флуктуациях плоских волн и поля точечного источника в полупространстве случайно-слоистой среды, актуальные для решения проблем статистической радиофизики. В настоящую диссертацию включены результаты модельных исследований случайных акустических задач для стратифицированного мелкого моря, выполненные в соавторстве с И.О. Ярощуком, при этом сам метод статистического моделирования подробно не описывается. Такое описание представлялось нецелесообразным, поскольку прерогатива его развития и математического обоснования принадлежит, в основном, И.О. Ярощуку. В выполненных совместных работах [59-74] мой приоритет заключается в формулировке акустических проблем и физической стороне осмысления результатов, которая, как и в случае с разработкой аналитико-численного подхода к моделированию, представляла для меня первоочередный интерес, обладая самостоятельной научной ценностью.
Если бы существовал простой переход от решения детерминированных задач к решению статистических, то можно было бы сказать, что статистическое моделирование базируется на схожей идеологии с аналитико-численным подходом, то есть речь идет о построении статистических решений на основе вывода аналитических рекуррентных выражений. В действительности такого перехода нет, так как с математической точки зрения детерминированные задачи принципиально отличаются от статистических, в частности, из-за разных определений меры. Так, в статистическом случае вводится понятие стохастической меры [75,76], не совпадающее с обычным детерминированным понятием. Поэтому по сравнению с аналитико-численным моделированием детерминированных задач, когда, по сути, речь идет об исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями и не возникает дополнительных вопросов с математическим обоснованием единственности получаемых решений, их сходимости и точности (ибо такая сходимость всегда существует при уменьшении шага в любой сеточной аппроксимации гладких функций, описывающих коэффициенты в уравнениях), при статистическом моделировании данное обоснование необходимо. Дело в том, что с точки зрения математической теории стохастических уравнений разработка любого нового метода статистических вычислений требует прояснения ряда фундаментальных вопросов. Именно, в каком смысле понимаются возникающие стохастические интегралы, в каком смысле понимаются сами дифференциальные уравнения при наличии в них флуктуирующих функций, удовлетворяет ли алгоритм сеточного решения условиям слабой сходимости к точному и т. п. [74,77]? Без ясного ответа на данные вопросы любая схема статистических вычислений «шита белыми нитками», и адекватность результатов, полученных на ее основе, будет неизвестна, а потому сомнительна. Исходя из этого, в Приложении Б приведено краткое математическое обоснование вычислительного алгоритма статистического моделирования, принимая во внимание, что в диссертации анализируются результаты поведения статистических характеристик флуктуирующего акустического поля в мелком море, а также обратно рассеянного поля импульсов, нормально падающих на случайную среду, которые получены с помощью данного алгоритма. Поскольку при решении статистических задач были использованы процедуры усреднения по ансамблю многих случайных реализаций, численные расчеты здесь, в отличие от детерминированных ситуаций, становятся не вспомогательной, а неотъемлемой частью исследования, хотя они и в этом случае не подменяют, а логически продолжают аналитику.
В первой половине Введения мы уже останавливались на том факте, что существующие сегодня компьютеры в принципе позволяют решать акустические проблемы для двух- и трехмерно-неоднородной (3-D) океанской среды, и это демонстрируют американские ученые в течение последних 10-15 лет. То есть постановка проблем во многих случаях вроде бы оказывается максимально близка к реальным условиям. В то же время было бы совсем неправдоподобно утверждать, что по задачам такого рода наступило понимание физики происходящих процессов, описание которой предусматривается исходной постановкой. Дело именно в том, что за проводимыми расчетами З-О-неоднородных задач не стоит адекватного аналитического изучения всех аспектов решаемой проблемы. Как уже указывалось выше, мы считаем, что численные результаты не должны подменять такое изучение, а должны дополнять его, причем на том этапе, когда они естественным образом вытекают из аналитического рассмотрения. Можно возразить, что нет никаких подходов, кроме прямых компьютерных вычислений, к исследованию волновых задач для неслоистых сред, поэтому для их решения приходится обращаться к непосредственным численным расчетам, тогда как автор диссертации выступает против подобного способа исследования. На этот счет можно высказать следующие соображения. Действительно, сколько-нибудь хорошо развитых волновых методов решения таких проблем, если не считать приближенных, как уже рассмотренный МПУ, на сегодняшний день не имеется. Но, во-первых, их можно и нужно разрабатывать, причем в этом смысле очень велика ценность исследования слоистых задач, поскольку, по нашему мнению, не понимая в деталях закономерностей формирования полей в океане, вытекающих из анализа слоистых случаев, невозможно адекватно представить физику более сложных проблем - в 2-D и З-О-неоднородных средах, какие бы компьютерные вычисления не проводились. Отсюда ясна важность располагать точным решением задач для слоистых сред, что вполне реально в настоящее время и подтверждением чего служат волновые задачи из разных разделов подводной акустики, решенные в диссертации. С другой стороны, для многих практически интересных ситуаций горизонтальные неоднородности принципиально не меняют картину формирования полей в слоистой среде, а приводят лишь к необходимости делать поправки количественного характера. Поэтому физическое понимание основных закономерностей в таких случаях дает гораздо больше, нежели прямые компьютерные расчеты. Так, например, зачастую обстоит дело с распространением звуковых волн в условиях глубокого океана. Во-вторых, следует провести ясное разграничение между приближенным характером аналитических методов исследования неслоистых сред, вытекающих из физического анализа конкретной ситуации, и использованием приближений в случаях, выходящих за рамками их применимости. На это уже указывалось выше при обсуждении МПУ и работ [1,2,17]. Например, метод поперечных сечений в общей формулировке для волновых задач акустики можно считать точным. На основе него уже могут быть сделаны те или иные осмысленные приближения, скажем адиабатическое, ВКБ. Но это физика, и условия применимости подобных приближений хорошо известны [3,5]. Совсем другое дело, когда, имея уравнения в частных производных, описывающих исходную проблему с трехмерными неоднородностями, начинают решать их численно приближенными схемами, аппроксимируя само поле, производные разного порядка и операторы, содержащиеся в уравнениях. Например, используя конечно-разностные или конечно-элементные аппроксимации в уравнениях типа волнового, Гельмгольца, или обобщенного параболического [1,2,17,26,78]. Это как раз и есть компьютерное решение задачи «в лоб», за которым не стоит адекватного анализа и понимания физики процессов. Подобные решения, по существу условные, автор и не приветствует. В-третьих, следует обратить внимание на то, что развитый в диссертации для исследования слоистых сред подход к моделированию очень полезен при выполнении обобщений на неслоистые ситуации. Так, совершенно ясно, что если мы умеем эффективно находить собственные значения и собственные функции при исследовании задач для слоистых сред, то есть быстро и точно рассчитывать нормальные волны, нетрудно получить решение для плавно неоднородного океанского волновода, описываемого адиабатическим приближением, приближением ВКБ или методом параболического уравнения, адекватным в ситуациях, когда вдоль трассы звуковых волн нет резко выраженных неоднородностей. Более того, в статье [79] показано, что в рамках теории, развитой в диссертации для неслоистых сред, получаются эволюционные уравнения первого порядка, которые позволяют моделировать звуковые поля горизонтально-неоднородного океана без приближений, связанных с плавностью горизонтальных неоднородностей. Результаты исследований для подобных моделей в мировой литературе практически отсутствуют [1].
Теперь уделим внимание вопросам изучения акустического поля, формирующегося в океане не только с точки зрения скалярной функции звукового давления, но и с точки зрения векторной функции колебательной скорости жидких частиц. Как известно, уравнения акустики, полученные линеаризацией исходных уравнений гидродинамики, включают в себя именно эти независимые функции. При определенных условиях, когда волновое поле можно считать потенциальным, между ними существует известная интегро-дифференциальная связь, которая позволяет вместо системы из четырех уравнений первого порядка в частных производных рассматривать одно уравнение второго порядка, например, уравнение Гельмгольца для акустического давления. Так осуществляется переход к скалярной акустике, который во многих (но не во всех!) случаях справедлив и удобен. Автор хорошо понимает, что среди российской акустической общественности достаточно много противников векторно-фазовых методов исследования. Аргументы обеих сторон хорошо известны. Противники утверждают, что акустика - скалярная наука, на основании отмеченного выше, поэтому не надо «огород городить» и дополнительно усложнять изучение звукового поля. Сторонники же на первый план выдвигают тезис о компактности, мобильности и большей эффективности векторных измерительных систем, позволяющих улучшить постановку эксперимента и расширить область исследуемых проблем [80-82]. В любом случае следует признать, что переход к анализу лишь скалярной функции давления есть уже определенное приближение, в целом сужающее класс возможных решаемых задач, так как существует немало ситуаций, когда скалярное описание обедняет картину волнового явления, а интегро-дифференциальная связь между давлением и колебательной скоростью фактически не может быть востребована. В первую очередь - это все статистические задачи, а также все сложные модели, учитывающие изменение плотности среды в слоистом случае и скорости звука в горизонтально-неоднородном океане, решаемые с помощью компьютеров. Кроме того, бесспорным является факт, что расширяя исследование посредством изучения поведения дополнительных функций, мы получаем в результате более богатый физический материал. Поскольку развитый в диссертации подход (аналитико-численное моделирование) вытекает непосредственно из анализа полной системы уравнений акустики, совершенно логичным и не лишним при анализе задач представлялось рассмотрение всех функций, характеризующих акустическое поле в океане. При этом выявляются новые эффекты, которые непросто установить в рамках традиционного скалярного подхода к исследованиям. Кроме того, одновременное рассмотрение уравнений первого порядка, не содержащих производных параметров среды, не приводит к дополнительному усложнению. На самом деле анализ даже упрощается по сравнению с рассмотрением уравнения Гельмгольца второго порядка, содержащего такие производные параметров. Не вдаваясь в дискуссию с противниками векторного описания заметим, что нельзя отмахнуться от факта проведения таких исследований акустических полей океана во всем мире на протяжении длительного времени [80-90]. Однако, основной их центр тяжести был смещен на разработку приборов (векторных приемников и приемных систем) и проведение измерений. Серьезной теоретической базы под эти исследования подведено не было, возможно именно поэтому у них до сих пор существует достаточно много критиков. Отдавая дань тому, что в разное время пришлось принимать участие в работах по изучению векторно-фазовой структуры гидроакустических полей [91], в том числе и в проведении измерений векторными приемниками, автор считал необходимым включить в материалы, выносимые на защиту, описание всех функций акустического поля для моделей, рассмотренных в диссертации. Это описание представляет самостоятельную ценность, и его можно рассматривать как развитие теоретической стороны данного направления исследований в подводной акустике. К тому же, как было отмечено, изучение скалярно-векторных характеристик поля естественным образом вписывается в развитый подход к моделированию.
Краткое содержание. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 235 наименований. В начале каждой главы кратко дано обоснование актуальности рассматриваемых акустических проблем и состояние исследований на сегодняшний день. В заключительной части представлена сводка основных результатов исследований и выводов.
Первый раздел Главы 1 посвящен развитию аналитико-численного моделирования и на этой основе построению точных решений для многослойных моделей мелкого моря. Рассмотрена общая формулировка краевой проблемы для линейных уравнений акустики, описывающих функции звукового давления и вектора колебательной скорости, и показано, как она может быть сведена к проблеме эволюционного типа для волнового импеданса среды и полей. Решение причинной задачи, в основе которой лежит уравнение Риккати и квадратуры, позволяет построить эффективные аналитико-численные алгоритмы поиска собственных значений и собственных функций слоистых краевых задач. Тем самым, для низкочастотного звука удается непосредственно использовать мощный инструмент получения точных решений - модовое представление акустических полей океана. Под данным углом зрения рассмотрен ряд детерминированных слоистых моделей мелкого моря по мере их усложнения, от сравнительно простых, до многослойных, учитывающих основные характерные черты распространения звукового поля в условиях стратифицированной мелкой воды. В рамках этих моделей для диапазона низких звуковых частот выполнен анализ поведения энергетических характеристик скалярных и векторных функций, описывающих подводное акустическое поле. При этом внимание концентрируется не на известных для слоистых моделей результатах, а на особенностях поведения указанных характеристик, которые не получили должного освещения в акустической литературе.
Во втором разделе Главы 1 исследование распространяется с детерминированных моделей слоистого мелкого моря на случайные. Идейно статистическое рассмотрение является непосредственным продолжением анализа поведения скалярно-векторных характеристик гидроакустического поля, выполненного в первом разделе для детерминированных ситуаций. Однако, формально математически, на что было обращено внимание выше, стохастические волновые задачи представляют совершенно самостоятельный класс проблем. Поэтому результаты их исследования естественным образом выделены в отдельную часть описания, хотя с физической точки зрения они опираются на детерминированные и сопоставляются с ними. Изучение влияния флуктуации слоистых неоднородностей, моделирующих тонкую термохалинпую структуру, проведено для мелкого моря на основе нескольких вариантов стохастической модели волновода с жидким поглощающим дном. В рамках диффузионного приближения исследованы возможности теоретического анализа проблемы с помощью известных методов возмущений и усреднения по быстрым осцилляциям. Приближенные методы позволяют выявить статистические масштабы влияния флуктуации и определить области параметров, важные при выполнении численных расчетов. Статистическим моделированием для указанных случаев среды получены результаты, позволяющие установить без каких-либо приближений основные закономерности влияния тонко структурных неоднородностей скорости звука на формирование среднечастотных акустических полей в мелком море.
Заключительный раздел 1.3 посвящен актуальной статистической проблеме акустики океана - возбуждению шумовых полей поверхностными источниками. Данную проблему предложено рассматривать так же на основе концепции аналитико-чи елейного моделирования, то есть с помощью суммирования нормальных волн, полученных посредством точной аналитико-численной процедуры определения собственных значений и собственных функций. Модовый подход к проблеме шумов океана не является откровением и использовался в целом ряде работ, однако его возможности, по нашему мнению, в значительной степени оказались недооцененными исследователями по сравнению с формулировкой проблемы в спектральной области. Разрабатываемый в диссертации подход позволяет более эффективно получить все известные на сегодняшний день результаты волнового исследования низкочастотных шумов (и среднечастотных для условий мелкого моря), как точного моделирования, например, цикла работ [43-54], так и приближенного анализа, например, в рамках метода ВКБ. В то же время данный подход позволяет адекватно перевести в плоскость практического моделирования и сложные задачи о возбуждении в океане шумов статистически неизотропным и неоднородным по пространству полем поверхностных источников, как в рамках корреляционной теории, так и с точки зрения отыскания высших моментов энергетических характеристик скалярно-векторного поля, что недоступно при использовании спектральных представлений. Указанные задачи на сегодняшний день не решены и являются актуальными для приложений.
В Главе 2 исследуются двумерно-неоднородные волновые проблемы распространения звука в условиях горизонтально-неоднородного океана на основе дальнейшего развития аналитико-численного моделирования, предложенного в Главе 1. С помощью идей метода поперечных сечений, обобщающих представления о нормальных волнах, выполнен вывод уравнений 1-го порядка для «горизонтальных» частей мод давления и колебательной скорости и построена волновая теория, позволяющая с новых позиций подойти к исследованию низко-частотных акустических полей в горизонтально-неоднородном океане. Данная теория свободна от ограничений известных приближенных методов описания - адиабатического, ВКБ, ГТУ, связанных с плавным характером горизонтальных изменений. Она дает возможность изучать волноводы не только с плавными, но и с существенными неоднородностями вдоль трассы распространения, когда нельзя пренебрегать полем обратно рассеянных волн. Таким образом, с помощью развитого точного описания удается выяснить условия, при которых переход к приближениям однонаправленного распространения является адекватным. Поскольку основу теории составляют эволюционные уравнения первого порядка, для их численного решения могут быть предложены традиционные схемы, в том числе алгоритмы аналитико-численного моделирования. В качестве практического примера проанализирована ситуация волновода переменной глубины с поглощающим жидким дном, моделирующего реальные условия распространения звука в шельфовой зоне Японского моря.
В Главах 3 и 4 внимание целиком сосредоточено на решении нестационарной проблемы распространения и рассеяния плоских звуковых импульсов. Фактический материал Главы 3 включает результаты исследования детерминированных задач, описывающих нормальное падение импульсов различной формы на слоисто-неоднородную среду. Исходная краевая постановка проблемы для волновых уравнений с зависимостью от времени аналогичным образом, что и в Главе 1, а также альтернативно - с помощью метода погружения, приводится к эквивалентной, но уже эволюционной формулировке. Элементарный анализ решений для однородных слоев среды переносится на описание стратифицированных ситуаций. Такое описание удается провести непосредственно в пространственно-временной области для функции Грина, что позволяет моделировать процессы рассеяния и распространения импульсов любой интересующей формы. В Главе получены и проанализированы точные аналитические решения нестационарной задачи для ряда слоистых профилей импеданса (и скорости звука). На основе этих решений разработаны эффективные аналитико-численные алгоритмы моделирования полей временных импульсов, падающих на неоднородную среду с произвольной стратификацией. С их помощью выполнено точное моделирование задачи рассеяния импульсов на периодически неоднородных средах, а также задачи о коллинеарной дифракции (рассеянии волн на волнах), актуальных для волновой акустики и многих других областей физики. Во временной области подробно исследованы явления параметрического резонанса и возникновения Брэгговского резонатора, известные из анализа стационарных задач и играющие важную роль при распространении узкополосных сигналов в периодических средах.
В Главе 4 рассмотрение обобщается на статистические проблемы рассеяния импульсов, нормально падающих на слои со случайными слоистыми флуктуациями скорости звука. Хорошо известно, что описание обратного рассеяния волн в случайных средах связано со значительными трудностями и выходит за рамки традиционных методов приближенного анализа [18,41,42] . Тем более это справедливо для нестационарных краевых задач рассеяния широкополосных импульсов и узкополосных сигналов. Для таких задач требуется волновое рассмотрение, которое затруднительно выполнить обычными методами. Поэтому в литературе известно очень мало работ, в которых бы данная проблема рассматривалась даже приближенно. В диссертации выполнено аналитическое изучение проблемы и точное статистическое моделирование для рассеяния импульсов различной формы. На этой основе получены новые результаты, характеризующие поведение обратно рассеянного поля импульсов и скорректированы выводы, известные из немногочисленных работ, посвященных данной тематике.
Публикации и апробация. Диссертация написана по материалам 57 работ автора. Из них более 30 статей опубликованы в советских, российских и международных рецензируемых изданиях SCI- уровня (индекс научного цитирования), 1 монография издана в соавторстве с И.О. Ярощуком, остальные - составили материалы научных отчетов, российских и международных конференций, где соответствующие исследования были доложены. На все публикации по мере их появления в тексте последовательно даются ссылки. Однако цикл работ [21,43-48], материалы которых составили содержание кандидатской диссертации автора [43], лишь ретроспективно отражен в тексте (Введение, раздел 1.3 Главы 1), как исходная историческая основа для последующего развития автором концепции аналитико-численного решения волновых задач акустики. Представлялось нецелесообразным увеличение объема диссертации за счет подробного изложения этих работ, которые давно опубликованы и результаты которых известны.
В Приложения вынесены вспомогательные материалы, касающиеся описания практических схем аналитико-численного моделирования при решении стационарных и нестационарных, детерминированных и случайных задач, рассмотренных в диссертации. Кроме того, рассмотрены вопросы обоснования вычислительных схем и аналогии с результатами, полученными для слоистых сред на основе уравнений погружения.
Все исследования, составившие содержание диссертации, были выполнены в рамках программ и научных тем Тихоокеанского океанологического института им. В.И. Ильичёва ДВО РАН: программа «Мировой океан», проект «Акустика», НИРы «Мальта», «Магистраль-Б», «Царевич-РАН-ТОИ», «Циклон-РАН-ТОИ». Кроме того, исследования на разных этапах были поддержаны Фондом фундаментальных исследований ДВО АН СССР (1988 г.), Российским Фондом фундаментальных исследований (гранты 95-02-04849, 95-02-04850), а также Фондом Минобразования Китая для ведущих ученых и преподавателей (2000-2003г.г.).
Считаю приятным долгом выразить благодарность И.О. Ярощуку, плодотворное сотрудничество с которым позволило выполнить исследование статистических задач акустики (из раздела 1.2 Главы 1 и разделов 4.2, 4.3 Главы 4) в полном объеме на основе вычислительных схем статистического моделирования. Я признателен В.И. Кляцкину за ценные советы и полезные обсуждения проблемы акустических шумов океана, а также нестационарных задач на начальном этапе их исследования. На стадии разработки аналитико-численных процедур моделирования детерминированных задач распространения импульсов принял участие В.В. Темченко под моим руководством в аспирантуре. Я признателен ему за помощь в выполнении части расчетов по импульсной тематике Главы 3.
Влияние случайных слоистых флуктуации на акустические поля в мелком море
Еще всего каких-то 12-15 лет назад гидроакустические исследования в своей основной массе были привязаны к распространению звуковых полей в условиях глубокого открытого океана. На протяжении длительного периода времени это диктовалось актуальностью задач дальнего распространения звуковых сигналов в разных частях Мирового океана, в том числе в областях глобальных течений, фронтальных разделов, синоптических вихрей и т. п. [96-100]. В 1980-х годах по мере понижения рабочей частоты измерений исследования нередко охватывали уже и океан в целом. Практически мало кто из отечественных акустиков отдельно интересовался тогда формированием звуковых полей в мелком море, условия которого характерны для прибрежных районов, когда трассы распространения звука относительно невелики. В качестве исключения здесь можно сослаться на работы теоретического плана [101,102] по расчетам акустических полей. Считалось, что частные подзадачи для мелкого моря могут быть без труда решены попутно с указанными выше. Однако в последнее десятилетие ситуация коренным образом изменилась. Актуальность мелководных исследований резко возросла и прежде всего для стран, имеющих более или менее протяженные водные границы и располагающих значительными шельфовыми зонами. Россия в этом смысле не стала исключением. С одной стороны очевидна необходимость освоения кладовых естественного богатства, какими являются прибрежные районы, как с точки зрения гражданских нужд, так и военно-морских потребностей, поскольку все отчетливее проявляются условия, когда сухопутные запасы ресурсов начинают заметно истощаться, и, одновременно, реальностью становится изготовление специального оборудования по добыче полезных ископаемых на шельфе. С другой стороны шельфовые зоны отличаются гораздо большей доступностью как для экспериментального изучения, так и для постановки стационарных систем мониторинга и слежения за подводной обстановкой по сравнению с организацией дорогостоящих исследований в глубоководных районах открытого океана на дальних трассах распространения звука, ставших в 1990-е годы нереальными. Кроме того выяснилось, что в прибрежных районах наблюдается множество физических эффектов, интересных для акустики, которые практически отсутствуют в условиях глубокого моря. Все это в течение последнего десятилетия способствовало повышению актуальности изучения звуковых полей прибрежных областей океана.
Условия мелкого моря характеризуются рядом специфических особенностей по сравнению с глубоким океаном, отличающих процессы распространения подводного звука. Укажем наиболее важные. Прежде всего, здесь принципиально наличие дна, имеющего свою собственную структуру и, обычно, в качестве наиболее важного параметра, переменную глубину. Кроме того, водный слой характеризуется достаточно выраженной динамикой по всей глубине, одной из существенных особенностей которой для акустики является формирование в теплое время года резко очерченной области глубин термоклина, где наблюдаются быстрые изменения параметров среды, как регулярного, так и случайного (флуктуационного) характера. В частности, в зоне термоклина создаются особенно благоприятные условия для генерации внутренних волн, которые представляют для звука случайные крупномасштабные неоднородности [103-105]. В этой области водного слоя сильно развитыми являются также тонкоструктурные неоднородности [106-110]. К отличительным чертам мелководья следует причислить также особенности генерации и распространения шумовых полей как динамических (от поверхностного слоя океан-атмосфера), так и технических (от береговой зоны и судоходства). Все эти процессы, присущие полям шельфовой зоны, на сегодняшний день активно изучаются. Например, делаются попытки перенести томографические исследования в прибрежные районы [111,112], изучаются проблемы воздействия внутренних волн и течений на звуковые поля [113,114], но все работы находятся на этапе начального становления и во многом благодаря отсутствию адекватных теоретико-численных моделей, которые были бы способны давать хороший прогноз. Акустическим исследованиям мелкого моря и современному состоянию дел по данной проблематике, как в экспериментальном, так и в теоретическом плане, посвящена не так давно вышедшая монография [115]. В ней имеется обзор работ, опубликованных в данном направлении за последние 20 лет, число которых измеряется несколькими десятками, что, вообще говоря, на порядок уступает количеству публикаций, посвященных звуковым полям глубокого океана. В данной монографии и других известных работах (например, [116]) теоретическое рассмотрение в основном проводится в рамках классических детерминированных моделей, типа однородного океана с абсолютно жестким дном и однородного водного слоя, лежащего на однородном жидком полупространстве (волновод Пекериса). Ретроспективно внимание в [115] уделено распространению акустических волн в условиях двумерно и трехмерно (2-D, 3-D) неоднородного океана в рамках геометрической акустики, адиабатического приближения и метода адиабатических мод, развитого авторами, однако, расчетов, иллюстрирующих физические результаты моделирования полей, формирующихся в этих более сложных случаях, приведено очень мало. Всего лишь несколько страниц в цитируемой монографии посвящено случайно-неоднородному мелкому морю. При этом воспроизведен упомянутый во Введении приближенный диффузионный подход [117], разработанный для условий распространения звука в глубоком океане, и только в отдельных случаях специальной комбинации параметров применимый к описанию звуковых полей мелкого моря. Традиционно во всех указанных работах рассмотрение ограничено поведением скалярных функций акустического давления и интенсивности, а также весьма высокочастотным диапазоном, где волновые эффекты малосущественны. Таким образом, на основе анализа литературных источников приходится констатировать, что картина формирования гидроакустических полей, имеющаяся в настоящее время для описания мелкого моря, является далекой от желаемой. Нашей целью, поэтому, было проведение таких теоретических исследований, которые позволили бы дополнительно углубить и расширить знания об акустических полях шельфовых зон океана, как имеющих сложную волновую структуру и, вообще говоря, отличающихся принципиально стохастическим характером. Итогом любых подобных исследований мелкого моря, на наш взгляд, должны быть теоретико-численные модели, позволяющие прогнозировать подводную акустическую обстановку в прибрежных районах, привязанных к местам проведения экспериментальных работ. Такой прогноз мог бы позволить выработать конкретные рекомендации для проведения натурных измерений и последующего решения разнообразных практических задач в интересах народного хозяйства и обороны.
Моделирование уравнений первого порядка для мелкого моря с плавным характером изменения глубины
Рассмотрим точные решения для ряда детерминированных моделей, описывающих поле точечного источника в слоистом мелком море. С помощью этих простых моделей, главным образом аналитически, мы сможем проследить важнейшие особенности, которые отличают процесс формирования векторных звуковых полей в мелком море, и одновременно проиллюстрировать развитый подход. Интерес представляет анализ законов поведения энергетических характеристик поля, усредненных за период колебаний. Такими характеристиками являются: интенсивность поля давления (плотность внутренней энергии в точке) I = р2/2 , квадраты компонент колебательной скорости (плотность кинетической энергии в точке) lWU = {w2/2 , u2/2} и плотности активного вертикального и горизонтального акустического потока мощности Jz,r = {(pw )/2, (pu )/2}. Черточка сверху везде означает временное усреднение за период колебаний. Для данных функций справедливы нормально волновые представления, вытекающие из формул (1.19): Выражение для среднего квадрата горизонтальной скорости, как видно из (1.206), совпадает с выражением для интенсивности давления (1.20а) с точностью до множителя геі&т /(рсо) под знаком суммы.
В общем случае выражения (1.20),(1.21) состоят из двух модовых сумм. 1-я связана с некогерентным сложением нормальных волн (некогерентная сумма с / - т), 2-я - интерференционная составляющая (когерентная сумма мод / Ф т), как записано в (1.20а)-(1.20в). Обычно, анализируя качественное поведение интенсивности I , последней суммой пренебрегают. Это оправдано только в том случае, если выполнить усреднение вдоль горизонтальной координаты г по нескольким пространственным периодам, характеризующим интерференцию между соседними модами. Тогда остающаяся некогерентная сумма описывает точный усредненный закон спадания интенсивности с расстоянием. Аналогичные рассуждения имеют силу для квадратов компонент колебательной скорости и горизонтального потока мощности, поскольку он различается с интенсивностью I только множителем гет /р(й под знаком модовой суммы, Отметим, что из литературы хорошо известны приближенные законы спадания (например, [5,135, 136]), которые, однако, совпадают с указанными точными только в предельном случае лучевой теории, то есть в диапазоне высоких частот. При этом должны выполняться условия большого числа распространяющихся в слое мод и далеких расстояний от источника. Для большинства моделей мелкого моря на низких и средних частотах, как мы увидим далее, наблюдается весьма сильное расхождение между подобными приближенными и точными усредненными законами спадания. Что касается вертикального потока мощности J z, то при г » X он формируется в основном как раз когерентной суммой мод, в отличие, скажем, от среднего квадрата вертикальной скорости lw , и эта сумма не может быть отброшена без потери смысла. Поэтому для Jz под усредненными законами следует понимать характер спадания огибающей амплитуды. Можно сказать, что вертикальный поток мощности служит своеобразной мерой когерентности мод в океанском волноводе.
Первая модель RBM (rigid bottom model), которую мы кратко рассмотрим, параметрически наиболее проста: однородный водный слой с характеристиками С =1500 м/с, р =1000 кг/м лежит на абсолютно жестком основании. В этом случае Q = х , п граничное условие на дне (1.36) принимает вид w(r,h) = 0 . Оператор Штурма-Лиувилля (1.8) будет самосопряженным, так что все собственные числа и собственные функции в этой ситуации действительны. Решение уравнения Риккати для импеданса (1.6) дается выражением QH = - top q ctg[q(H - h)], поэтому из дисперсионного уравнения (1.13) сразу вытекает, что ае/ = к -% (I + 1/2) /(Н - h) , где / = 0,1,2... . На основании формул (1.14), (1.18) следуют выражения для ненормированных собственных функций ф/ (z) = cos Ці (z- h)/q/ , а также их нормы: //A/ // = (H - h)/2q/ 2 . Условия распространения мод для данной модели, как известно, наиболее благоприятные, поскольку какие-либо потери в среде отсутствуют. Некогерентная модовая сумма интенсивности обеспечивает точный цилиндрический закон спадания с расстоянием, вызванный только геометрическим расхождением поля в водном слое. Аналогично - для средних квадратов горизонтальной lu и вертикальной lw колебательных скоростей, и горизонтальной плотности потока мощности Jr . Напротив, вертикальный поток мощности Jz в данной модели не равен нулю только благодаря вкладу когерентной суммы мод, как было упомянуто. Если задаться конкретными параметрами - толщиной водного слоя Н - h = 50 м, расположением источника на глубине Н - Zo = 10 м и частотой звука f = 60 Гц, обсуждаемые зависимости будут такими, как показаны на рис. 1.1,1.2,
Аналитико-численные алгоритмы поиска волновых полей при произвольных слоистых неоднородностях
Развитый в первом разделе настоящей Главы подход не ограничивается рамками только детерминированных моделей океанской среды, но позволяет рассматривать с таким же успехом влияние флуктуации параметров на формирование акустических полей. Поэтому в данном разделе исследование обобщается с детерминированных на случайные модели мелкого моря, принимая во внимание наличие тонкоструктурных флуктуации скорости звука в морской среде. Подобные случайные неоднородности, как известно, всегда присутствуют в реальном океане, как в водной его толще, так и в донных осадочных отложениях [106-110,137,139]. Их влияние на звуковые поля может быть хорошо изучено в рамках слоистой модели среды (в отличие, скажем, от воздействия внутренних волн и мелкомасштабной турбулентности, которые имеют принципиально трехмерный характер).
Среди теоретических работ, посвященных исследованию распространения акустических полей во флуктуирующем океане, следует выделить прежде всего [104,117], на которых базируются все современные представления. Можно также указать на некоторое число работ типа [140], в которых моделируется влияние на звуковые поля внутренних волн, однако используемый в них подход вряд ли можно назвать статистическим с точки зрения математической теории: ни способ задания флуктуации, ни метод решения не удовлетворяют данному критерию. В классической работе [104] случайная проблема рассмотрена, главным образом, на основе традиционного приближения геометрической акустики, а в публикации [117] развит асимптотический метод малого параметра, который в дальнейшем стал часто называться диффузионным приближением. В последние два десятилетия диффузионное приближение оказалось наиболее популярным и, особенно на первых порах, получило достаточно широкое распространение из-за своей плодотворности. Большинство работ по распространению звуковых волн в случайном океане, выполненных в течение этого периода времени, так или иначе используют инструментарий данного подхода (например, [141,142]). Главной привлекательной чертой указанных подходов является возможность получить качественное представление о влиянии на акустические поля в океане трехмерных флуктуации скорости звука. Основной же их недостаток кроется в весьма приближенном характере описания, который особенно грубо отражает ситуацию в рамках лучевого подхода. Говорить здесь поэтому о каких-либо достоверных количественных сторонах эффекта флуктуации не приходится. Для задач же мелкого моря в диапазоне не слишком высоких частот метод геометрической акустики вообще малопригоден. Однако и диффузионное приближение во многих случаях не способно привести к удовлетворительным результатам из-за ряда двухсторонних ограничений, которые должны выполняться в области его справедливости. Так, применительно к мелкому морю, из его описания выпадает наиболее интересный интервал средних расстояний [115]. Кроме того, диффузионное приближение, или метод малого параметра, неприменим для анализа слоистых сред. В итоге, занимаясь изучением влияния крупномасштабных трехмерных случайных неоднородностей на распространение звука в океане, исследователи практически полностью обошли вниманием слоистые модели флуктуации. Хотя с математической точки зрения такие модели являются более простыми, зачастую они могут служить достаточным приближением реально наблюдаемых явлений (например таких, как тонкая термохалинная структура океанской среды). Среди немногочисленных работ, в которых изучалось воздействие случайных слоистых неоднородностей на распространение звуковых волн в море, можно назвать [109,110, 143,144]. Однако рассмотренные там условия присущи лишь глубокому океану, и к тому же в [143,144] флуктуации предполагались столь малыми, что практически все результаты в виде небольших поправок к детерминированным зависимостям с хорошей точностью получались по теории возмущений. Дальнейшего же развития эти исследования к сожалению не получили, фактически ограничившись проверкой результатов приближенного статистического анализа в рамках метода возмущений и гипотезы эргодичности для уравнений погружения. Между тем в настоящее время для моделей слоистых сред можно осуществить описание, которое свободно от всех ограничений, присущих охарактеризованным выше работам, и в известном смысле является точным. Ниже представлены результаты такого описания влияния слоистых флуктуации скорости звука в мелком море на среднечастотные акустические поля. Эти результаты получены с помощью подхода, который можно условно назвать аналитико-численным статистическим моделированием [74,123,128]. Данное означает, что соотношения аналитико-численного метода, развитого при решении детерминированных задач (см. предыдущий раздел 1.1), фактически кладутся в основу схем статистических вычислений. Это позволяет выполнить строгое математическое моделирование для реальных задач распространения звука во флуктуирующем мелком море в тех ситуациях, когда приближенные методы статистического анализа становятся неприменимыми. Ряд закономерностей, которые установлены в ходе проведенного статистического исследования, не нашли своего отражения в известной опубликованной литературе.
Корреляционные функции и спектры обратно рассеянного поля
Влияние флуктуации скорости звука входит в это уравнение только через функции Uz и U2 , поэтому если теперь выполнить статистическое усреднение и усреднить по быстроосциллирующим функциям в правой части (1.31) с помощью формулы [149] то нетрудно видеть, что (\ц \1 (z) ехр [-2pko2p" (H - z)] и получается вообще не зависящей от флуктуации є. Таким образом, в ситуациях, когда справедлив метод усреднения по быстрым осцилляциям (а это - моды с немалыми углами скольжения, для которых р = 2n/Xz » DE ), влияние статистики на собственные функции отдельных нормальных волн, входящие в выражения (1.20), отсутствует. Данный результат был впервые установлен в статье [47] для задачи о шумах в случайно-слоистом океане. Очевидно, что и для комбинаций ( pi/(z)(p2/ (z) справедлива та же закономерность, а в силу линейности уравнения (1.31) - и для любых высших моментов ( pi/(z)n). Точные результаты на основе статистического моделирования позволяют внести далее необходимые коррективы в приведенные теоретические рассуждения.
Итак, рассмотрим сначала модель флуктуирующего мелкого моря, показанную на рис Л. 10а. Здесь глубина водного слоя Н = 50 м , а слой осадков предполагается однородным жидким полупространством (Hj —» оо) без поглощения. Если флуктуации отсутствуют, то на частоте f = 500 Гц в водном слое выбранной модели мелкого моря возбуждается 12 распространяющихся мод и 21 мода - вытекающая в подстилающие осадки (с Re аэ/ Re ki и Re ае/ 0). Анализ детерминированной модели волновода Пекериса (будем называть ее также невозмущенной моделью), выполненный в разделе 1.1.3, показал, что заметный вклад в акустическое поле вытекающие моды вносят до расстояний г 1 км от источника, а при г 3 км ими с хорошей точностью можно пренебречь. Так, из графиков рис. 1.11 для интенсивности полей давления и вертикальной колебательной скорости, которые дают картину потерь при распространении, следует, что для f = 500 Гц при учете только распространяющихся мод уже с расстояний г 1.5 км отличие от полного решения малозаметно, а для усредненных законов спадания (сплошные и штриховые монотонные кривые) - и вовсе с расстояний Г 0.8-ні км. Таким образом, прежний вывод о правомерности пренебрежения вытекающими модами при г 3 км остается в силе. Если учесть также и отмеченное выше обстоятельство, что вытекающие моды имеют сравнительно большие углы скольжения и поэтому наименее подвержены влиянию случайных неоднородностеи, то далее следует сосредоточить внимание только на изучении вклада распространяющихся мод в условиях флуктуации. В рассматриваемом случае, когда поглощение Pi = 0, все собственные значения и собственные функции этих мод действительные. Напомним, что в формулах (1.20),(1.21) сумма с / = т описывает точный усредненный (по пространству) закон спадания с расстоянием (монотонные кривые на рисунках), тогда как осцилляции вызваны наличием когерентных слагаемых (/ т). Появление случайных неоднород-ностей e(z) в изучаемой модели мелкого моря, очевидно, влияет на каждую распространяющуюся моду в выражениях (1.20),(1.21) через флуктуации собственных значений и собственных функций. Но поскольку интенсивность e(z) мала (а2Г = 10"6 м), это влияние на вертикальную структуру отдельно взятой моды, как обсуждалось выше, будет также мало, причем более подвержены изменениям собственные значения аз/ , тогда как собственные функции ф і / (z) в формулах (1.20),( 1.21) можно полагать заданными своими статистическими средними, которые с хорошей точностью совпадают с аналогичными Ф w (z) детерминированной задачи. Основные трансформации в звуковом поле, вызванные случайным характером скорости звука, будут возникать из-за наличия в суммах экспоненциального множителя е Ч" т г , приводящего к накапливающемуся с расстоянием эффекту флуктуации. Отсюда ясно (из выражений (1.20), (1.21) ), что флуктуации должны по-разному влиять на некогерентную и когерентную суммы мод.
На рис.1.12 представлены кривые потерь при распространении для детерминированных энергетических характеристик - интенсивности поля давления и вертикальной колебательной скорости (осциллирующие сплошные кривые), а также их статистических моментов (маркерные жирные кривые) при наличии флуктуации e(z). Предполагалось, что источник звука находится на глубине 10 м от поверхности (z0 = 40 м, Н - Zo = 10 м), а точка наблюдения на горизонте Н - Z = 30 м. Результаты расчетов на всех графиках приведены в децибелах относительно уровня поля, создаваемого источником в свободном пространстве на расстоянии 1 м , и все величины даны в эквивалентных единицах. Рис. 1.13 позволяет получить представление о распределениях тех же энергетических характеристик поля по глубине для трех характерных расстояний от источника Г = 1,3, 5 км .
