Содержание к диссертации
Введение
1 Общие свойства рассеянных полей 27
1.1 Система пластина - акустическая среда 27
1.2 Задачи рассеяния и общие свойства решений 30
1.3 Функция Грина невозмущенной задачи 33
1.4 Интегральное представление 37
1.5 Оптическая теорема 41
1.6 О единственности решения 48
1.7 Изгибпая волна, сосредоточенная у кругового отверстия 52
2 Обобщенные точечные модели 56
2.1 Классические точечные модели 56
2.2 Обобщенные точечные модели 65
2.2.1 Обобщенные модели для жесткого экрана . 66
2.2.2 Изолированная пластина 68
2.2.3 Обобщенные точечные модели для пластины в контакте со средой 71
2.3 Структура моделей 77
3 Модель узкого выреза 84
3.1 Схема изложения 84
3.2 Случай идеально жесткого экрана 85
3.3 Случай изолированной пластины 87
3.4 Обобщенная точечная модель узкой трещины 88
3.5 Рассеяние на точечной модели узкой трещины 90
3.6 Дифракция на трещине конечной ширины в пластине, погруженной в жидкость 96
3.6.1 Постановка задачи 97
3.6.2 Вывод интегральных уравнений 98
3.6.3 Асимптотика поля при ка <С 1 104
3.7 Обсуждение и численные результаты 107
3.8 Модель узкой трещины для косого падения 113
3.9 Кромочные волны, сосредоточенные у узкой трещины . 115
3.10 Обсуждение моделей 126
4 Модель выступающего ребра в упругой пластине 133
4.1 Предварительные замечания 133
4.2 Классическая постановка задачи 134
4.3 Акустическая компонента 135
4.4 Изгибная компонента 137
4.5 Обобщенная модель выступающего ребра жесткости . 138
4.6 Численные результаты 141
5 Модель короткой трещины 144
5.1 Введение 144
5.2 Рассеяние на короткой трещине в изолированной пластине 145
5.2.1 Постановка задачи 145
5.2.2 Вывод интегральных уравнений 146
5.2.3 Численный анализ 150
5.2.4 Численные и асимптотические результаты . 155
5.3 Обобщенная точечная модель короткой трещины . 161
5.3.1 Изолированная пластина 161
5.3.2 Пластина в контакте с акустической средой . 165
5.4 Рассеяние на обобщенной точечной модели короткой трещины 166
5.5 Дифракция на короткой трещине в пластине, находящейся в контакте с акустической средой 170
5.6 Обсуждение 175
6 Модель отверстия малого радиуса 177
6.1 Введение 177
6.2 Случай абсолютно жесткого экрана 178
6.3 Случай изолированной пластины 179
6.4 Обобщенная точечная модель 185
6.5 Другие модели отверстий 188
6.6 Периодический набор препятствий 189
6.6.1 Изолированная пластина с периодическим набором точечных масс 189
6.6.2 Погруженная пластина с периодическим набором точечных масс 193
6.6.3 Изолированная пластина с периодическим набором отверстий 195
6.6.4 Погруженная пластина с периодическим набором отверстий 196
Заключение
- Задачи рассеяния и общие свойства решений
- Обобщенные точечные модели
- Случай идеально жесткого экрана
- Классическая постановка задачи
Введение к работе
Актуальность темы. Моделирование процессов рассеяния на тонкостенных конструкциях играет важную роль в задачах гидроакустики, звукоизоляции помещений, и др. При этом необходим учет влияния различных крепежных элементов типа ребер жесткости, а также отверстий и других неоднородностей конструкции. В зависимости от соотношения длины волны падающего излучения и размера крепежного элемента, отверстия или неоднородности можно выделить несколько характерных ситуаций. На низких частотах, когда на длину волны приходится много ребер или иных неоднородностей, их учет возможен в форме усреднения массы, момента инерции и других характеристик неоднородности, "размазывании" по конструкции, что сказывается лишь на замене параметров пластины или оболочки на некоторые эффективные значения. При повышении частоты, когда расстояния между неоднородностя-ми становятся сравнимы с характерной длиной волны, подход с усреднением неоднородностей по конструкции перестает быть применим. В этом случае приходится учитывать расположение неоднородностей, но сами неоднородности можно еще считать точечными. Этот диапазон частот обслуживают гранично-контактные задачи математической физики. Дальнейшее увеличение частоты в конечном счете приводит к необходимости рассматривать задачу в трехмерной постановке теории упругости. И здесь возможен лишь трудоемкий численный анализ. Однако можно выделить некоторый промежуточный диапазон частот, когда неоднородность уже нельзя считать точечной, но пластину еще можно описывать в рамках приближенной модели. Вопросу моделирования процессов дифракции на препятствиях имеющих малые, но не нулевые размеры и посвящена данная диссертация.
Цель работы. Классические точечные модели приводят к задачам, решение которых может быть получено в явном виде. Благодаря этому анализ волновых полей достаточно прост. Однако точность моделирова-
ния процессов дифракции, которую обеспечивают классические точечные модели может оказаться недостаточной. Для получения поправок поля, которые бы учитывали конечность поверхности препятствия, приходится привлекать достаточно трудоемкие методы интегральных уравнений или применять также весьма трудоемкую процедуру сшивания локальных асимптотических разложений. Основной целью диссертации является разработка обобщенных точечных моделей препятствий, которые бы позволяли вычислять волновые поля с большей точностью, чем классические точечные модели, и в то же время приводили к явно решаемым задачам.
Научная новизна. В диссертации предложен новый класс точечных моделей неоднородностей тонкой упругой пластины, находящейся в контакте с акустической средой. Обобщенные точечные модели расширяют набор явно-решаемых точечных моделей в гранично-контактных задачах акустики, при этом классические точечные модели являются их частным случаем. Условия в задачах рассеяния на обобщенных точечных моделях формулируются в виде некоторых линейных соотношений, накладываемых на коэффициенты локальных асимптотических разложений акустического поля и поля изгибных деформаций пластины вблизи рассеивающего центра, что может быть проинтерпретировано как замена препятствия пассивными точечными источниками. В основе данной техники лежит теория потенциалов нулевого радиуса, которая впервые применена к гранично-контактным задачам математической физики.
Основной проблемой при построении обобщенных моделей является выбор параметров в указанных соотношениях адекватно моделируемому рассеивателю. На основе анализа структуры условий предложен упрощенный метод определения параметров модели на основе рассмотрения более простых вспомогательных задач. Этот метод сформулирован в виде гипотезы, которая затем проверена для нескольких вариантов пре-
пятствий.
Научная и практическая ценность. Построенные модели конкретных препятствий, а также другие обобщенные точечные модели, которые могут быть получены предложенным в диссертации способом, могут быть использованы во всех прикладных задачах, где ранее использовались классические точечные модели. Это приведет к расширению области применимости соответствующих решений в сторону более высоких частот. Обобщенные точечные модели могут быть также использованы для моделирования препятствий, которые не описываются классическими точечными моделями, что возможно позволит обнаружить интересные физические эффекты.
Ранее, для получения поправок к полям, отвечающим классическим точечным моделям, приходилось привлекать громоздкие математические методы (метод интегральных уравнений с последующим переходом к асимптотике или метод сращивания локальных асимптотически разложений). Построение же поправок к старшим членам асимптотик решений при помощи обобщенных точечных моделей сводится к решению алгебраической системы небольшой размерности, что существенно более эффективно.
Апробация работы
Основные результаты диссертации доложены на Выездных научных совещаниях научного совета АН СССР по проблеме "Акустика" по теме Колебания и излучение механических структур, Репино 1989, 1991 гг.; IV Всесоюзной конф. "Смешанные задачи механики деформируемого тела", Одесса 1989; Всесоюзном симпозиуме "Взаимодействие волн с упругими телами", Таллинн 1989; 10-ом Всесоюзном Симпозиуме по дифракции и распространению волн, Винница 1990; Всесоюзной конф. "Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики", Влади-
восток 1990; NATO Advanced Research Workshop on Classical and Modern Potential Theory and Applications, Chateau Bonnas (Франция), 1993; 915-th Meeting of the AMS, Chattanooga (США), 1996; 4-ой Крымской осенней математической школе, Батилиман, Крым, 1997; VIII Symposium sobre Polinomios Ortogonales у sus Applicaciones, Sevilla (Испания), 1997; The 9-th Internat. Colloquium on Differential Equations, Plovdiv (Болгария); Workshop on the Analytical and Computational Methods for Convection-dominated and Singular Perturbed Problems, Lozenetz (Болгария), 1998; 5-th Internat. Conference Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, Santiago de Compostella (Испания), 2000; 1-st & 2-nd IMA Conferences on Boundary Integral Methods: Theory and Applications, Salford & Bath (Великобритания), 1998 & 2000; Marcus Wallenberg Symposium in memory of S.Kovalevski: Differential equations & applications, Stockholm (Швеция), 2000; IUTAM Symposium on Diffraction and Scattering in Fluid Mechanics and Elasticity, Manchester (Великобритания), 2000; Symposium "Theory of partial differential equations and special topics of theory of ordinary differential equations dedicated to 150-th anniversary of birthday of Sofia V. Kovalevskaya", St.Petersburg, 2000; The 2001 Internat. Congress and Exhibition on Noise Control Engineering, The Hague (Голландия), 2001; The 7-th Internat. Conference on Integral Methods in Science and Engineering (IMSE), Saint-Etienne (Франция), 2002, Symmetry and Perturbation Theory Conference (SPT), Cala Gonone, Sardinia (Италия), 2004 а также неоднократно на Международных семинарах "День Дифракции", С.-Петербург.
Были также сделаны доклады на семинаре мех-мат МГУ, на семинаре кафедры теории упругости математико-механического факультета СПбГУ, на семинаре по прикладной математике в университете Keele (Великобритания), и на семинаре в ENS Cachan, Париж (Франция).
Результаты, вошедшие в диссертацию, неоднократно докладывались на семинаре по математическим вопросам теории дифракции в Ленинградском - Петербургском отделении математического института АН
СССР - РАН и семинаре по вычислительной и теоретической акустике в Институте проблем машиноведения РАН.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в монографии [30], 35 статьях, приведенных в конце автореферата, а также в тезисах и трудах всесоюзных и международных конференций.
Объем работы составляет 258 страниц, 29 рисунков и графиков. В списке цитированной литературы приведено 207 наименований.
Задачи рассеяния и общие свойства решений
Рассмотрим задачи рассеяния на препятствиях Q в упругой пластине, находящейся в контакте с акустической средой. Такие задачи формулируются в виде краевых задач для уравнения (1.1) с обобщенными граничными условиями (1.3) на пластине и некоторыми граничными и контактными условиями на препятствии. Будем рассматривать два типа препятствий. Если область О ограничена в IR3, задача оказывается как правило трехмерной. В другом случае препятствием является бесконечный цилиндр Q х IR с ограниченным сечением Q. Если кроме того падающее поле не зависит от координаты у вдоль образующей цилиндра, задача сводится к двумерной. Области, в которых выполнены уравнение (1.1) и операторное им-педансное условие (1.3) — неограниченные, и для обеспечения единственности решения на бесконечности должны быть поставлены некоторые условия, например типа условий излучения. С физической точки зрения эти условия означают, что за исключением падающей волны все остальные компоненты упруго-акустического волнового поля могут лишь уносить энергию на бесконечность. На больших расстояниях от препятствия возможны два типа волн: пространственные волны в акустической среде и поверхностные волны, образуемые совместными колебаниями пластины и акустической среды. Тогда условия излучения можно записать в асимптотическом виде (здесь d = 2,3 Здесь r = y?+ /y2 + z2 — радиус в сферической системе координат, а р — у/х2 + /2 — его проекция на пластину, /с определяется дисперсионным уравнением (1.4). Функции Ф и ф ограниченные и асимптотики допускают дифференцирование. Первая формула в (1.6) является условием излучения для акустических волн. Вторая формула является условием излучения для из-гибных волн в пластине. В случае изолированной пластины к заменяется на /CQ. Для постановки гранично-контактных условий на препятствии необходимо иметь формулы для перерезывающей силы и изгибающего момента теории пластин вплоть до кромки или линии сочленения пластин. В некоторых задачах такое допущение приводит к нефизическим результатам. Например, напряжения, вычисленные по теории пластин, на концах трещин, тонких включений или подкреплений имеют особенности. В действительности таких сингулярностей, очевидно, нет, тем не менее, последующая регуляризация позволяет при помощи коэффициентов при сингулярности (коэффициентов интенсивности напряжений) оценивать, например, возможность роста трещины или иного разрушения пластины. Форма препятствия О, и граничные условия на его поверхности могут быть произвольны. Это может быть твердое или упругое тело прикрепленное к пластине, или располагающееся отдельно от нее, или это может быть набор отверстий в пластине, или любое объединение таких неоднородностей. Единственным ограничением является требование выполнение которого должно автоматически следовать из поставленных граничных и краевых условий. В (1.8) введена внутренняя нормаль п к поверхности препятствия, Г2о обозначена область, по которой препятствие соединено с пластиной (например в случае отверстий Q,Q - объединение всех отверстий), дО о — контур QQ на пластине, а и внутренняя нормаль на этом контуре. Суммирование в (1.8) проводится по всем угловым точкам OQQ и D случае не гладкой поверхности дО, интеграл понимается в смысле предела интегралов, вычисляемых по гладким поверхностям, окружающим область О (В конкретных ситуациях может потребоваться задание условий Майкснера). С физической точки зрения величина EQ равна энергии, поглощаемой препятствием О. Первый член в (1.8) равен усредненному за период потоку энергии, переносимому акустическим полем U через поверхность дО,, а остальные члены дают потоки энергии, переносимые изгибными деформациями.
Обобщенные точечные модели
Классические точечные модели можно интерпретировать как введение пассивных точечных источников (дельта-функций в (2.1) или в аналогичное уравнение в трехмерном случае). При этом допустимые источники (порядок производных дельта-функций) ограничивались требованием условий Майкснера для акустического поля и поля изгибных смещений. Однако, изначальным требованием корректной постановки было лишь условие (1.8), означающее, что препятствие не излучает энергии. При построении обобщенных точечных моделей откажемся от конечности поля. То есть допустим обращение акустического давления и смещения пластины в бесконечность. Отметим, что это конечно же противоречит физике явления, и следовательно ближние поля будут описываться неверно. Однако и в случае классических моделей описание ближнего поля также было неверным поскольку формулы теории тонких пластин, выведенные в предположении бесконечной однородной пластины, вообще говоря, нельзя использовать вблизи кромок, включений, сочленений и других неоднородностей. Хотя сами поля в задачах рассеяния на классических точечных моделях остаются конечными, могут иметь место изломы а также сингулярности напряжений и сил. С математической точки зрения такого рода обобщения связаны с теорией потенциалов нулевого радиуса. При этом (см. [32] и другие работы автора) также как и для классических точечных моделей прослеживается связь исходной задачи и двух ее предельных случаев: случая идеально жесткой пластины и случая изолированной пластины. Поэтому сначала рассмотрим эти две предельные ситуации. На жестком экране акустическое давление удовлетворяет условию Неймана. Будем считать, что это условие выполнено всюду за исключением точки начала координат. В двумерной задаче имеем Условия на коэффициенты обобщенной функции в правой части этого условия будем получать исходя из требования равенства нулю потока энергии, исходящего из точечного источника, то есть из требования где S должна быть эрмитовой. В двумерном случае число параметров, которые однозначно задают обобщенную точечную модель равно 36. Рассмотрим теперь точечный источник в пластине, находящейся в контакте с акустическим полупространством. Рассмотрим сначала двумерную ситуацию. Заметим, что в случае жесткого экрана мы могли бы рассмотреть поле точечного источника, расположенного на некотором удалении ZQ ОТ пластины а зетем устремить ZQ К нулю, что привело бы к прежнему результату. В случае упругой границы связь полей точечных источников находящихся в среде и на пластине оказывается более сложной. Теперь система описывается двумя дифференциальными уравнениями и дельта-функции можно писать как в уравнении Гельмгольца, так и в обобщенном краевом условии. Рассмотрим решение задачи (2.28) (Уравнение (2.27) понимаем как предел при ZQ — 0) и найдем поток энергии EQ через полуокружность малого радиуса, охватывающую источники. Поскольку в выражении для потока энергии перекрестные члены между давлением и смещением пластинки отсутствуют, поток энергии будет равен сумме потоков, переносимых акустическим полем и полем изгибных деформаций. При этом надо иметь асимптотику давления U и смещения w на малых расстояниях от источника. Найдем эти асимптотики сначала для полей простых источников, то есть для функций Грина С(г;0,0) и G(r;0), построенных в параграфе 1.3, несложно установить, что Таким образом, сингулярная часть функции Грина G оказывается такой же как и у функции Грина GN отвечающей случаю жесткого экрана. Поправочное слагаемое убывает как Л б и не дает особенности даже после четырехкратного дифференцирования. В итоге G=--\n(r)+C + ... (2.31) Конкретное выражение для коэффициента С нам здесь не потребуется и мы его не приводим. Асимптотика смещения д может быть получена разложением по формуле Тейлора. При этом дифференцирование вплоть до 3-го порядка может быть произведено под знаком интеграла. Дальнейшие члены асимптотики содержат логарифм. Не останавливаясь здесь на конкретных выражениях для коэффициентов, укажем структуру асимптотического разложения Аналогичным образом обстоит дело и с асимптотикой акустического поля, порожденного источником на пластине. Структура асимптотики следующая В дальнейшем нам потребуются лишь значения при z = 0. Рассмотрим асимптотику смещения до. При подстановке формулы в интеграл Фурье для до(х;ш)1 первое слагаемое можно сосчитать по вычетам, что дает сингулярный член в асимптотике
Случай идеально жесткого экрана
Рассмотрим акустическую среду {—со х со, z 0}, ограниченную абсолютно жестким экраном {—со х со, z = 0} с вырезом —а х а. Пусть поле в среде возбуждается плоской волной падающей на экран. Тогда полное поле не зависит от координаты у, и мы имеем дело с двумерной задачей, формулируемой следующим образом: Акустическое давление U удовлетворяет уравнению Гельм-гольца с граничными условиями За исключением падающей волны все другие компоненты поля уносят энергию от экрана, то есть удовлетворяют условиям излучения Поле U также удовлетворяет условию Майкснера в точках х — ±а, z = О, где меняется краевое условие. Сформулированная выше задача хорошо изучена. Она имеет явное решение в функциях Матье, которое строится по методу разделения переменных в эллиптических координатах. Несмотря на то, что это решение точное, оно может оказаться не удобным для численных расчетов. Следуя [202], построим асимптотику U в случае узкого выреза, то есть при ка С 1. Сведем задачу к интегральному уравнению. Сначала, отделив падающую и отраженную плоские волны, которые в сумме образуют геометрическую часть поля U 9\ переформулируем задачу для рассеянного поля U s = U — U 9\ Поскольку функцией Грина является функция Ханкеля получаем интегральное представление для рассеянного поля в форме аналогичной (1.20) Функция ф(хо) определяется из интегрального уравнения которое возникает после подстановки интегрального представления в условие Дирихле на вырезе. Функция ф(хо) совпадает с нормальной производной полного поля на вырезе. Около краев полубсскопечпых экранов она может иметь слабые сингулярности, которые не противоречат условиям Майкснера (3.1). Удобно произвести растяжение координат так, чтобы вырез оказался в растянутых координатах единичной полуширины. Пусть новая координата t введена по формуле t = х/а. Интегральное уравнение принимает вид Ядро имеет логарифмическую особенность при t = to, что видно из асимптотики функции Ханкеля [1] Заменяя ядро указанными членами асимптотики и используя формулу (В.З) из приложения, получим старший член асимптотики решения Вторым предельным случаем задачи дифракции на узкой трещине является случай изолированной пластины. В этом случае мы имеем дело с обыкновенным дифференциальным уравнением. Две полубесконечные пластины при х —а и при х а оказываются абсолютно независимы. Пусть падающая волна бежит из х = —оо и отражается от свободной кромки х — —а. Легко проверить, что полное поле является суммой падающей волны и двух отраженных волн. Одна — распространяющаяся изгибная волна, вторая — экспоненциально затухающая Коэффициенты га и ta можно найти из граничных условий на свободной кромке Точные выражения следующие: Li Полагая к а малой величиной, в старшем приближении получим теже значения коэффициентов, что и для точечной трещины в х = 0, а именно: В частности это означает, что контактные условия в модели узкой трещины в изолированной пластине могут выбираться такими же как и для точечной трещины.
Классическая постановка задачи
Заметим, что источник типа 8" {х) не присутствует в модели (4.6). Таким образом, при построении обобщенной модели выступающего ребра в пластине, находящейся в среде, можно воспользоваться моделью типа (2.39). Как уже отмечалось акустическое давление и смещение пластины присутствуют в контактном условии (4.2) одновременно, то есть наличие выступающего ребра приводит к дополнительному взаимодействию каналов рассеяния. Таким образом, вообще говоря, матрицы s и s в модели выступающего ребра могут быть отличны от нуля. Тем не менее будем по прежнему пользоваться процедурой В. То есть будем предполагать матрицу S% блочно-диагональной. В результате получим следующую формулировки "краевых" З словий в обобщенной точечной модели: акустическое поле U должно иметь локальную асимптотику вида где bx, b и Ь — произвольные постоянные, а смещение w должно удовлетворять контактным условиям (2.4). Построим решение задачи рассеяния на построенной модели выступающего ребра, с учетом того, что регулярная часть поля порождается как падающей волной, так и пассивными источниками, структура системы уравнений на амплитуды пассивных источников имеет вид аналогичный (3.11) Здесь учтено, что С = С2 = 0. Для того, чтобы получить матрицу Z надо найти асимптотики функций Грина G(x, z;0,0) и G(x,z;0). В дополнение к результатам параграфа 3.5 нам потребуется лишь асимптотика где Выражения для остальных компонент матрицы ІГ либо получены в параграфе 3.5, либо следуют из приведенных там асимптотик. Имеем Правая часть системы (4.8) определяется падающим полем Откуда найдем выражение для диаграммы рассеянной волны Если для первого слагаемого в квадратных скобках произвести разложение (1 + Q) l 1 — Q и собрать члены пропорциональные І72, то легко проверить совпадение выражения (4.9) с асимптотикой (4.3). Таким образом, гипотеза оказалась справедлива и в случае обобщенной модели выступающего ребра. Отметим также, что в отличие от (4.3) точное выражение для диаграммы в модельной задаче удовлетворяет оптической теореме. Точное выполнение энергетических тождеств является свойством обобщенных точечных моделей, в то время как для асимптотических разложений закон сохранения энергии выполняется вообще говоря лишь с точностью до членов некоторого порядка. Аналогично тому как это было проделано в главе 3 с обобщенной моделью узкой трещины, обобщенная модель выступающего ребра жесткости может быть переформулирована для трехмерных задач рассеяния па бесконечно протяженном выступающем ребре. При этом условия, задаваемые относительно смещений пластины следует брать такими же как и в соответствующей задаче для изолированной пластины, а условия для давления фиксируются в виде асимптотики (4.7), в которой все коэффициенты будут функциями от продольной координаты у.
Отметим также отличие построенной модели от моделей главы 3. В модели выступающего ребра жесткости точное решение (4.9 содержит величину Z\\ в которой в свою очередь имеется член &21п(&/2). Парного к нему члена вида к2 \п(Н) в асимптотике нет. Такой член мог бы появиться, если бы мы отступили от правила независимости матрицы с 2 от частоты падающего поля и добавили бы к элементу 5ц малую добавку
