Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ экспериментальных данных по влиянию агрессивных сред на материал конструкций. методы построения расчетных схем 17
1.1 Работа конструкций в реальных условиях эксплуатации 17
1.2 Классификация коррозионных процессов 18
1.3 Влияние агрессивных рабочих сред на прочностные и деформационные характеристики материалов 20
1.4 Обзор методов расчета конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами 37
2. Уравнения изгиба пластинок в агрессивной среде 50
2.1 Математическое моделирование деформирования и долговечности пластинок в агрессивных средах 50
2.2 Основные допущения при описании процесса деформирования материала с наведенной неоднородностью 52
2.3 Построение функций деградации 57
2.4 Аппроксимация зависимости а,=а(єі) 60
2.5 Методы линеаризации нелинейных уравнений 67
2.6 Инкрементальное уравнение изгиба нелинейно-упругой пластинки в агрессивной среде 70
2.7 Граничные условия 74
2.8 Решение линеаризованного уравнения 76
3. Определение долговечности и резерва несущей способности шлишйно-упругих пластинок в аг рессивных средаХ 81
3.1 Постановка задач исследования напряженно-деформированного состояния пластинок в рабочих средах 81
3.2 Исследование точности решения задач изгиба нелинейно-упругих пластинок по методу конечных разностей 82
3.3 Исследование точности решения задач изгиба нелинейно-упругих пластинок методом последовательных нагружений и двухшаговым методом последовательного возмущения параметров 84
3.4 Определение параметров напряженно-деформированного состояния, долговечности и резерва несущей способности пластинок в рабочих средах 86
3.5 Исследование изменения относительной скорости деградации Я на долговечность пластинки в агрессивных средах 97
3.6 Исследование влияния параметра В0 на долговечность пластинки при изгибе в рабочей среде 105
3.7 Исследование изменения толщины пластинки h на долговечность нелинейно - упругих пластинок при изгибе в агрессивных средах 116
3.8 Определение резерва несущей способности поврежденной пластинки при прекращении действия агрессивной среды... 122
3.9 Оценка влияния параметров наведенной неоднородности на долговечность пластинки в агрессивной среде 127
Выводы по третьей главе 129
Заключение 131
- Классификация коррозионных процессов
- Основные допущения при описании процесса деформирования материала с наведенной неоднородностью
- Исследование точности решения задач изгиба нелинейно-упругих пластинок по методу конечных разностей
- Исследование влияния параметра В0 на долговечность пластинки при изгибе в рабочей среде
Введение к работе
В реальных условиях эксплуатации многие строительные конструкции подвержены действию агрессивных эксплуатационных сред природного или техногенного характера.
Результаты экспериментальных исследований и натурных испытаний свидетельствуют о том, что действие агрессивных сред приводит к существенным изменениям механических свойств материала конструкции, а в некоторых случаях к изменению самой конструкции. Для прогнозирования этих изменений необходимо иметь расчетные модели и методы расчета, учитывающие отрицательное влияние эксплуатационной среды.
В инженерной практике распространены тонкостенные конструкции типа пластинок, сочетающие легкость и прочность, выполненные из материалов, отличающихся повышенной стойкостью к воздействию таких сред и имеющих нелинейную диаграмму деформирования.
Изучение физических закономерностей взаимодействия материалов с агрессивными средами охватывает фундаментальный пласт от макроуровня проблем расчета параметров напряженно-деформированного состояния, прочности, устойчивости и долговечности конструкций в агрессивных средах до микроуровня молекулярного и атомного строения. Круг ученых, работающих в этом направлении, невелик. В решение этой проблемы внесли свой вклад такие ученые как Ю.А. Арчаков [9 - 10], В.М. Долинский [42 — 46], В.Н. Киселевский [72], В.В. Петров [153 - 171]; И.Г. Овчинников [111 - 138], Р.Д. Степанов [199 -200], В.П. Селяев [186], В.И. Соломатов [194 - 195], О.В. Соснин, В.В. Горев [196 - 198], А.Н. Тынный [210], Г.Е. Фрегер, Н.Г. Цой [214], АЛ. Федорцов, Ю.С. Потапов [212], О.Р. Шленский [220 -221] и другие авторы [24, 30-31, 36 -40, 74 - 79, 81, 87, 142, 180 - 181, 183 - 185].
В настоящее время большое значение приобретает система целенаправленных экспериментов, проводимых в интересах специалистов-расчетчиков.
Целью такой программы является накопление и анализ данных для построения модели и осуществления ее полной и корректной идентификации.
После экспериментальных исследований, большое внимание уделяется моделированию коррозионных процессов под напряжением на основе феноменологического подхода, позволяющего построить формальную математическую модель, которая при отсутствии полной ясности физико-химических процессов в материале, адекватно отражает их и может быть достаточно точной в том диапазоне изменения параметров, в котором проводились экспериментальные измерения.
К настоящему времени значительные успехи достигнуты в области построения математических моделей, основанных на теории накопления повреждений без учета и с учетом нелинейности диаграммы деформирования. Решены задачи длительной прочности конструкционных сталей в условиях водородного воздействия, полимерных материалов с учетом действия инертных жидких сред, бетонов при климатических воздействиях, решаются задачи влияния радиационного и лазерного облучения.
Эти достижения, в большей мере, связаны с изучением поведения материалов при агрессивных воздействиях и в меньшей мере к проблеме расчета конструкций из них. В значительно меньшей мере разработаны численные методы расчета конструкций на основе существенно нелинейных моделей с учетом влияния агрессивной эксплуатационной среды. Это относится к пластинкам, являющимися составной частью технологического оборудования в химическом, нефтяном, энергетическом машиностроении и других отраслях промышленности.
Учет агрессивных воздействий рабочих сред, отличающихся большим разнообразием, в настоящее время из-за недостаточной экспериментальной информации, сводится к проблеме расчета конструкций с особым видом наведенной неоднородности. Очевидно, что такая феноменологическая модель будет
адекватно отражать лишь те процессы взаимодействия, которым соответствуют принятые в модели допущения.
Целью диссертационной работы является дальнейшее развитие методов расчета долговечности пластинок с учетом действия агрессивной рабочей среды. Для этого сформулированы следующие задачи:
провести анализ и систематизацию экспериментальных данных по влиянию агрессивных рабочих сред на поведение материалов и конструкций и методов построения расчетных схем;
провести моделирование напряженно-деформированного состояния пластинок с учетом концентрации агрессивной среды в материале;
разработать методику расчета, программное обеспечение и выполнить численное исследование напряженно-деформированного состояния квадратной пластинки в условиях воздействия агрессивных рабочих сред;
провести анализ эффектов, вызываемых в материале пластинки совместным действием нагрузки и агрессивных сред;
разработать методику определения долговечности конструкций в агрессивных средах;
разработать методику определения резерва несущей способности поврежденных пластинок после устранения источника агрессивной среды;
аппроксимировать полученные результаты аналитическими выражениями, построить графики долговечности и относительных прогибов пластинки.
Научная новизна работы:
проведена систематизация экспериментальных данных, выполнен анализ эффектов, вызываемых в конструкционных материалах действием агрессивных рабочих сред, и показано, что под действием агрессивной среды происходит значительная деградация свойств материалов;
дальнейшее развитие получила модель нелинейно-упругой пластинки, изгибаемой в агрессивных средах, и произведена верификация модели;
разработаны методика, алгоритм, программное обеспечение для расчета долговечности, и выполнено численное исследование поведения квадратной нелинейно-упругой пластинки с учетом совместного действия нагрузки и агрессивной эксплуатационной среды;
исследовано влияние различных факторов модели наведенной и развивающейся неоднородности на долговечность нелинейно-упругой пластинки. Получены аналитические описания долговечности, относительных прогибов пластинки и резерва несущей способности (остаточного ресурса) поврежденных пластинок с учетом концентрации агрессивной среды.
Практическая ценность и реализация полученных результатов:
уточнены расчетные модели, описывающие параметры напряженно-деформированного состояния пластинок, изгибаемых в агрессивной среде;
разработаны методика, алгоритм и программа решения задач изгиба прямоугольных пластинок из нелинейно-упругого материала с учетом концентрации агрессивной среды в произвольной точки материала.
предлагаемая методика позволяет достоверно определить долговечность пластинок, изгибаемых в агрессивных средах;
исследовано влияние параметров расчетной модели, и обоснованы аналитические зависимости долговечности, относительных прогибов и резерва несущей способности пластинок с учетом действия агрессивной среды;
результаты диссертационной работы могут быть использованы научными и проектными организациями при расчете и прогнозировании поведения элементов конструкций в сложных условиях эксплуатации.
Достоверность результатов работы основана на корректности математических моделей, взятых в качестве основы разработанных методик и строгости используемого математического аппарата, что подтверждается сопоставлением результатов расчета по предложенным математическим моделям с известными аналитическими решениями, а также экспертными оценками специалистов в области механики деформируемого твердого тела, полученными при об-
суждении диссертационной работы на научных конференциях, семинарах и консультациях.
Диссертация состоит введения, трех глав, заключения и приложений.
В первой главе сделан обзор, состоящий их двух частей. В первой из них проведена систематизация данных натурных и лабораторных исследований. Во второй части обзора изложено сегодняшнее состояние проблемы расчета элементов конструкций в агрессивных средах, проводится анализ основных результатов, достигнутых исследователями в этой области. Рассматриваются достоинства и недостатки основных моделей, описывающих поведение пластин в условиях «коррозия под напряжением» и даются их сравнительные характеристики.
Во второй главе работы предлагается дискретная (табличная) методика аппроксимации диаграммы деформирования материала, позволяющая точно отобразить характер произвольной кривой «деформации-напряжения» на всем диапазоне изменения деформаций. Этот способ позволяет отказаться от аналитического описания кривой деформирования.
Большая часть второй главы посвящена описанию модели наведенной неоднородности и математической сущности алгоритма решения задачи изгиба нелинейно-упругой пластинки, находящейся под действием постоянной нагрузки в агрессивной среде. В основу алгоритма положены физические соотношения технической теории изгиба пластин. На основе феноменологического подхода и совокупности допущений получены инкрементальные уравнения изгибаемых конструктивных элементов, подвергающихся действию агрессивной рабочей среды, проведена его линеаризация двухшаговым методом последовательного возмущения параметров и показана методика решения на основе метода конечных разностей. Подробно описан алгоритм определения переменных жесткостных характеристик пластинки и «фиктивной» нагрузки, заменяющей действие агрессивной среды.
Предложена методика определения долговечности и остаточного ресурса пластинок, изгибаемых в агрессивных средах.
В третьей главе анализируются результаты численных экспериментов. В качестве примера рассматриваются конкретные задачи изгиба прямоугольных пластинок в рабочей среде. Изучается влияние уровня предварительного на-гружения, толщины пластинки, концентрации жидких сред, контактирующих с материалом, условий закрепления, относительной скорости деградации, времени действия рабочей среды на прогибы и долговечность конструкции.
Приведены результаты решения одних и тех же задач разными методами, проведен сравнительный анализ выбора метода линеаризации нелинейного уравнения на точность получаемых результатов. Построены графики основных физико-механических характеристик пластинки при различных уровнях нагру-жения и воздействия сред. Результаты численных экспериментов аппроксимированы аналитическими выражениями, рекомендованными для применения в инженерной практике.
В заключении формулируются основные результаты и общие выводы диссертационной работы.
В приложениях приведены численные результаты экспериментов.
Практическое значение. Разработана методика и программы численного исследования деформирования пластин, работающих под поперечной нагрузкой в агрессивных средах с учетом нелинейности материала, которые могут быть использованы при проектировании конструкций различного назначения.
Применение предлагаемой методики позволит повысить уровень обоснованности решений инженеров-проектировщиков, а методика определения долговечности и остаточного ресурса позволит предотвратить техногенные катастрофы и тем самым увеличить безопасность разрабатываемых систем.
Результаты работы внедрены в учебном процессе при изучении курсов «Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности», «Строительная механика» и учебных курсах послевузовского образования.
Апробация работы: Основные положения и отдельные результаты докладывались на конференциях: «Математическое моделирование и краевые задачи», (Самара, 2006 г.); 2-м Международном форуме молодых ученых (7-я международная конференция), (Самара, 2006 г.); конференция молодых ученых Саратовского ГТУ, (Саратов, 2007); научных семинарах кафедры «Механика деформируемого твердого тела» Саратовского Государственного Технического Университета (2006, 2007,, 2008 г).
Публикации: Основные положения и результаты диссертационной работы опубликованы
В изданиях, рекомендуемых ВАК РФ для публикации научных достижений
1. Ленина О.В. Определение долговечности и резерва несущей способно
сти нелинейно-упругих пластинок при изгибе в агрессивных средах / В.В. Пет
ров, О.В. Ленина // Вестник Саратовского государственного технического уни
верситета. 2008. №4. - С. 16 - 22.
В других изданиях
Ленина О.В. Уравнения изгиба нелинейно-упругих пластинок средней толщины с учетом деградации свойств материала во времени / В.В. Петров, И.В. Кривошеий, О.В. Ленина // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2005— С.22-30.
Ленина О.В. Применение метода конечных элементов в расчетах нелинейно-упругих пластин средней толщины со сложной формой в плане // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2005. - С. 85-91.
Ленина О. В. Изгиб локально нагруженных нелинейно-упругих пластин средней толщины в агрессивной среде / О.В. Ленина // Математическое моделирование и краевые задачи: материалы III Всероссийской конференции / Са-
мар. гос. тех. ун-т, Самара: Изд-во Самарского гос. тех. ун-та, 2006. - С. 163-166.
Ленина О. В. К решению задач изгиба нелинейно-упругой пластинки, работающей в агрессивной среде / О.В. Ленина // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2006. С. 65-70.
Ленина О. В. Инкрементальные уравнения изгиба нелинейно-упругих пластин с учетом деградации свойств материала во времени / О.В. Ленина // Актуальные проблемы современной науки: тр. 2-го Междунар. форума мол. уч. (7-й Международной конференции). Самара, 2006. - С. 200 - 205.
Ленина О.В. Применение метода конечных разностей к расчету пластинок сложной формы из нелинейно-упругого материала / И.В. Кривошеий, О.В. Пенина // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2007. - С. 134 - 142.
Пенина О.В. Долговечность плит из нелинейно-деформируемого материала с учетом воздействия агрессивной эксплуатационной среды / В.В. Петров, О.В. Пенина // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2007. - С. 31 - 41.
Пенина О.В. Влияние параметров наведенной неоднородности на долговечность пластинок, изгибаемых в агрессивных средах / В.В. Петров, О.В. Пенина // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2008. - С.42-^1-8.
Пенина О.В. Расчет плит из нелинейно-деформируемого материала с произвольной диаграммой деформирования с учетом воздействия агрессивной эксплуатационной среды / В.В. Петров, О.В. Пенина, П.В. Селяев // Academia. 2008. №3.-С. 87-92.
Пенина О.В. Долговечность пластинок из нелинейно-деформируемого материала при действии поперечной нагрузки и агрессивной среды /В.В. Пет-
ров, О.В. Ленина // Георесурсы: науч.- техн. журн — Казань: Изд-во Казан, унта, 2008. - №1 (24). - С. 28-32. На защиту выносятся:
уточненная математическая модель деформирования и методика численного решения задач изгиба пластинок в агрессивных средах с учетом концентрации агрессивной среды в точке материала;
дискретный (табличный) способ описания произвольной кривой деформирования материала, заменяющий ее аналитическое описание;
методики определения долговечности пластинок, изгибаемых в агрессивных средах и резерва несущей способности (остаточного ресурса) поврежденных пластинок после устранения источника среды;
результаты численных экспериментов и аналитические описания долговечности изгибаемых пластинок в агрессивных средах;
результаты численных экспериментов и аналитические выражения, прогнозирующие относительные прогибы пластинок с учетом рабочих сред;
результаты численных экспериментов и аналитические описания резерва несущей способности поврежденных пластинок.
Диссертационная работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский Государственный Технический Университет» под руководством академика РААСН, Заслуженного деятеля науки и техники РФ, доктора технических наук, профессора, заведующего кафедрой «Механика деформируемого твердого тела» В. В. Петрова. Автор приносит свою искреннюю благодарность научному руководителю Петрову Владилену Васильевичу и научному консультанту кандидату технических наук, доценту Кривошеину Игорю Васильевичу за внимание и ценные советы, высказанные ими в процессе выполнения работы.
Классификация коррозионных процессов
Агрессивная эксплуатационная среда, с которой контактирует конструкция, вызывает явление коррозии. Коррозионное поражение наблюдается в атмосфере, грунтах, речной и морской воде, в технологических средах производств [32]. Повреждение конструкционных материалов происходит по различным вариантам: материал полностью или частично растворяется; продукты коррозии образуются на поверхности изделия (ржавление); возникают локальные разрушения (питтинг, трещины и т. п.); изменяются физико-механические свойства металлов без заметных следов коррозии на поверхности. Эксперименты подтвердили, что в результате взаимодействия с агрессивной средой, наблюдается не только разрушение металлов с потерей массы [2], но и изменение их физико-химических свойств, существенно ухудшающее эксплуатационные характеристики конструкций [14, 21, 27, 39, 85, 91, 95, 153,187]. При разделении коррозионных процессов на отдельные виды ученые принимают за основу три основных признака: механизм протекания процесса, характер коррозионного разрушения и вид агрессивной среды. Согласно принятой в отечественной литературе [6 - 7, 72, 75 - 76] классификации, коррозионные процессы могут иметь в своей основе химический или электрохимический механизм. По характеру воздействия различают сплошную или местную коррозии. Сплошная коррозия может быть равномерная или неравномерная в зависимости от скорости протекания коррозии на равных участках поражаемой поверхности. Особые виды коррозионного разрушения возникают при совместном действии агрессивной среды и механических напряжений. Эти разрушения называют «коррозия под напряжением» и представляют особый интерес. Такой вид коррозии недостаточно изучен, и ее исследование является важной для проектирования конструкций, работающих под нагрузками в реальных средах. Зарубежные исследователи, в лице S. Saburo [236], предлагают другую классификацию. Коррозионные процессы разделены на семь классов: избира- тельная, щелевая, механико-химическая, электрохимическая, химическая, биологическая и высокотемпературная коррозии.
Внутри каждого класса выделены характерные виды коррозии, такие как коррозионное растрескивание, коррозионная усталость, эрозия, обесцинкование, графитизация, водородное ох-рупчивание и т. д. Каждый вид имеет особенности, которые следует учитывать при математическом моделировании коррозионных процессов, что делает невозможным построение единой теории для всех случаев коррозии. В этой работе рассматривается только случаи равномерной коррозии по верхней и нижней граням материала. Изучением поведения материалов с учетом внешних факторов занимается физико-химическая механика материалов (ФХММ) как «наука о деформировании и разрушении реального твердого тела, о связи этих процессов с физико-химическими явлениями, протекающими как в объеме тела, так и на его поверхности, в том числе обусловленными влиянием внешней среды» [95]. Основоположником этой науки является П.А. Рибиндер. Влияние среды на материал можно разделить на три разных вида: изменение толщины или сечения элементов, изменение сплошности материала и изменение механических свойств материала конструкции. В первом случае действие среды отражается в расчетных схемах при помощи измеряемого параметра, называемого внешним параметром поврежденности. В других случаях это влияние учитывается при построении моделей материала конструкции (внутренний параметр поврежденности). Оценка свойств материалов традиционными методами оказывается недостаточной для определения надежности конструкций. Важным достижением является применение при анализе коррозионного разрушения принципов механики разрушения [144]. При этом полагают, что непрерывность строения идеализированного тела сохраняется и в процессе его деформирования. Воздействие агрессивной среды приводит к нарушению сплошности тела, и мера сплошности (плотность сплошности) уменьшается в точках деформируемого тела. 1.3 Влияние агрессивных рабочих сред на прочностные и деформационные характеристики материалов В исследовании А.В. Шрейдера и др. [223] рассматривается влияние водорода на свойства сталей. Отмечается, что имеющиеся экспериментальные данные, с точки зрения расчетов на прочность неполны, а по некоторым материалам противоречивы. В [144] Р.Н. Паркинс показывает, что при наводораживании низкоуглеродистой стали происходит уменьшение модуля упругости, аналогичный вывод содержится в работах Л.А. Гликмана и др. [26 — 28] (рис. 1 — 2). В [28] Л.А. Гликманом и Н.Н. Колгатиным приводится кривая деформирования армко-железа, показанная на рис.1 в исходном состоянии (кривая 1) и после водородного охрупчивания (кривая 2). На рис. 2 показано снижение модуля упругости стали 20 в среде водорода [27]. М. Смяловски в работе [189] говорит о неизменности и даже некотором увеличении модуля упругости. В [237] S.Sykes, H. Burton, С. Gregg показывают неизменность, а в [225] Н. Bablik описывает уменьшение предела текучести. Отмечается, что физико-механические свойства стали при наводорожи-вании существенно зависят от ее исходных свойств.
Так пластичные стали проявляют склонность к охрупчиванию, а для высокопрочных сталей характерно значительное снижение предела прочности. Анализ экспериментальных данных, доступных автору, показывает, что выделяются качественные стороны процессов взаимодействия материалов с агрессивными средами и только в ограниченном случае возможно описание их количественно. Сформулируем задачу - определить основные закономерности при действии агрессивных сред на конструкционные материалы, позволяющие построить формальную математическую модель изгиба пластинок, учитывающую изменение свойств материала во времени. На рис. 3, 4 показаны кривые прочности высокопрочной стали при испытаниях в камере с распыленным 3% раствором NaCl и. а- латуни, образцы которой испытывались при полном погружении в раствор аммиака [103]. Для многих материалов зависимость времени до разрушения от напряжения хорошо описывается степенной функцией, как при испытаниях на воздухе, так и в агрессивной среде. В работе И.Г. Овчинникова с соавторами [126] уравнение кривой длительной прочности принято в виде: В [126] экспериментальные данные аппроксимированы зависимостью (1), и получены значения коэффициентов, найденных по методу наименьших квадратов для некоторых сталей, подвергающихся действию агрессивной среды. При описании экспериментальных исследований, связанных с оценкой влияния агрессивных сред на свойства материала конструкции, большое значение имеет фактор, описывающий развитие неоднородности физико-механических свойств по толщине пластинки, вызванной диффузионным характером проникновения агрессивной среды в материал. Ю.С. Зуев отмечает, что процесс деформирования и разрушения с учетом агрессивной среды, приводит к явлениям, характеризующимся взаимным влия- нием процессов деформирования и действия агрессивной среды [49]. В частности для полимерных и композитных материалов характерно появление эффектов набухания под действием внешней среды [195, 199]. Неоднородность физико-механических свойств обусловлена также влиянием уровня напряжений на кинетику диффузии. В работе [200] Р.Д. Степанов и О.Ф. Шленский отмечают, что с некоторого времени возникает более сложный механизм массопереноса отличный от параболического, описываемого уравнением диффузии. На рис. 13 приведена зависимость коэффициента диффузии 5% серной кислоты в полимерный материал ДГ — 2 от уровня сжимающих напряжений при разных температурах. Уровень напряженного состояния влияет также на глубину проникания агрессивной среды в материал конструкции [200].
Основные допущения при описании процесса деформирования материала с наведенной неоднородностью
Экспериментальные данные показывают, что в процессе эксплуатации в материале конструкций под влиянием рабочей среды возникает неоднородность физико-механических свойств. Распределение неоднородности по сечению образца и кинетика развития этого процесса определяются сложными физико-химическими процессами, протекающими при взаимодействии материала с агрессивной средой. Такое распределение зависит от уровня и характера напряженного состояния материала. Этот вид неоднородности будем называть наведенной и развивающейся неоднородностью, предполагая, что материал в исходном состоянии считается макроскопически однородным. С точки зрения классических теорий упругости и пластичности однородных тел материалы считаются макроскопически однородными. Модели макроскопически однородной среды основаны на осреднении параметров, характеризующих свойства материала. Макроскопическая неоднородность материала характеризуется зависимостью от координат параметров, определяющих его свойства. Наведенная неоднородность физико-механических свойств материала, возникающая при действии рабочих сред, является одним из видов макроскопической неоднородности. Для построения основных соотношений моделей наведенной неоднородности введем ряд допущений, имеющих смысл для феноменологических моделей конкретных пар «конструкционный материал - агрессивная среда», и ограничения, в рамках которых модель может быть использована. 1. В нагруженном состоянии под действием агрессивной среды в материале развиваются два взаимосвязанных процесса - процесс деформирования материала и процесс деградации его физико-механических свойств, вызванных накоплением рассеянных микроповреждений по сечению образца материала. 2.
Процесс изменения физико-механических свойств материала изображается гладкой непрерывной кривой, то есть при сравнении двух состояний в моменты времени t и t+At параметр состояния к, описывающий изменения физико-механических свойств тела за период At, отличается на достаточно малую величину А/с, при этом фазовые переменные также различаются на достаточно малую величину. 3. Свойства материала с наведенной неоднородностью в любой фиксированный момент времени tt находятся в пределах применимости теории малых упругопластических деформаций. 4. Полагаем, что в каждый момент времени t, тензоры ау, єу и история их развития известны в каждой точке тела. Параметры состояния материала, коэффициент объемного сжатия материала и относительная скорость деградации свойств материала считаются известными в любой момент времени вместе с историей их изменения. 5. В поврежденной зоне материала, подверженной действию агрессивных сред, происходит изменение физико-механических свойств материала, приводящее к развитию наведенной неоднородности, характеризующейся зависимостью от координат и концентрации агрессивной среды в произвольной точке сечения материала. Допускаем, что материал разделяется на зону неповрежденного материала и зону с изменяющимися во времени физико-механическими свойствами. По этому признаку разделяем сечение образца конструкционного материала на две зоны Vi и V2, обладающих следующими свойствами: область материала V2 не подвержена агрессивному воздействию и является макроскопически однородной. Область Vi характеризуется деградацией физико-механических свойств материала. Границу раздела областей будем называть фронтом деградации свойств материала. Полагаем, что существенным в развитии наведенной неоднородности материала является продолжительность действия среды, а, следовательно, и вели- чина концентрации агрессивной среды в произвольной точке образца. Скорость деградации физико-механических свойств в каждой фиксированной точке объема Vi и скорость движения фронта деградации зависит от мгновенных значений напряжений в рассматриваемой точке времени и от истории нагружения, причем зависимость эта является нелинейной. В области Vi агрессивная внешняя среда, воздействуя на материал конструкции, приводит к изменению внутренней структуры и физико-механических свойств. Для учета этого влияния необходимо установить связи между параметрами внешней среды, физико-механическими параметрами материала и напряженно-деформированным состоянием. Связь между переменными по объему тела и во времени физико-механическими параметрами материала и напряженно-деформированным состоянием устанавливают соотношения модели наведенной неоднородности.
Специфика перечисленных вопросов заключается в том, что они решаются с учетом предшествующей данному моменту истории деформирования и деградации физико-механических свойств, то есть развивающейся неоднородности материала. 7. Полагаем, что развитие наведенной неоднородности и деградацию материала можно учесть, вводя наряду с критерием объективной прочности понятие объективных диаграмм деформирования для фиксированных моментов времени, связанных с показателем объективной прочности и кривой длительной прочности, получаемых при испытании образцов в агрессивной среде. Развитие наведенной неоднородности материала во времени влияет на кривую деформирования ol (EJ при этом полагаем, что наведенную неоднородность можно учесть, изменяя параметры диаграммы деформирования и кривой длительной прочности, получаемых при испытании в условиях действия внешних эксплуатационных сред. Зависимости т,- (EJ), построенные для различных моментов времени взаимодействия с внешней средой, образуют поверхность деформирования, сечения которой плоскостями, перпендикулярными оси t, да- ют кривые деформирования материала для фиксированного момента времени (рис. 34 - 35).
Исследование точности решения задач изгиба нелинейно-упругих пластинок по методу конечных разностей
Исследуем точность решения задач изгиба нелинейно-упругих пластинок из композитных бетонов по методу конечных разностей (МКР). Рассматриваем квадратные в плане пластинки со стороной а = 2 (м), толщиной h = 0,2 (м) = = 0,1а при различных условиях закрепления на контуре. Физическая нелинейность кривой деформирования at (є,) описана при помощи табличного способа, рассмотренного в 2.4. Результаты МКР сопоставим с данными, полученными методами: 1. Методом Бубнова - Галеркина (МБГ) [160]; 2. Методом Бицено - Коха (МБК) [83]; 3. Модифицированным методом Бицено - Коха (ММБК); [88 - 89]. И.В. Кривошеиным в работе [89] рассмотрены аспекты применения мо дифицированного метода Бицено - Коха (ММБК) в теории нелинейно-упругих пластинок. Автором показано, что алгоритм этого проекционного метода эко номичнее метода Бубнова - Галеркина, обладает высокой скоростью сходимо сти при получении высокоточных решений. Нелинейные алгебраические уравнения решались методом Ньютона [65, 201] с относительной точностью выхода из итерационного процесса ІА 1=10"5. Эталонным считаем решение краевой задачи на каждом этапе нагружения (итерации) методом Бубнова - Галеркина с удержанием по 49 слагаемых в рядах разложения искомых функций [158,160]. В приложении 1 представлены результаты расчета шарнирно опертой пластинки, изготовленной из полиэфирного бетона, выдержанного в воде, экспериментальные кривые деформирования которого приведены на рис. 33, б. Для данного материала максимальная деформация без влияния среды составляет Еі тах= 0,073. Расчеты проведены на действие равномерно распределенного давления q=4 МПа. Начало системы координат расположено в центре квадратной пластинки. В скобках указаны безразмерные координаты точки в анали- тическои системе координат, для которой приводятся результаты расчетных параметров напряженно - деформированного состояния.
Данные приложения 1 свидетельствуют о высокой скорости сходимости МКР и о близости результатов МКР к данным МБК, ММБК, МБГ. Удовлетворительным для инженерной точности следует признать решение на сетке 16x16. Кроме того, на сетке 32x32 в МКР на одну итерацию метода Ньютона затрачивается около 1 сек. машинного времени ПК, разница результатов с приближением № 7 МБГ (49 членов ряда из ортонормированных полиномов) составляет: по W (0, 0) — 0,0009%, которые считаем совпадающими, по Му(0, 0) — 0,013% , по єі (0, 0) - 0,03%. Очевидно, что точность решения по МКР на сетке 32x32 следует признать высокой, при этом уровень деформаций єі, max—0,0653 составляет около 90% от предельного уровня для рассмотренного бетона. В приложении 2 представлены результаты расчета жестко защемленной по контуру пластинки, изготовленной из полиэфирного бетона с другим заполнителем, выдержанного в воде для которого єі, тах=0,053. Семейство кривых деформирования на сжатие для данного материала приведены на рис.33, а. Расчеты проведены на действие равномерно распределенного давления q=5 МПа. В круглых скобках указаны координаты точки в аналитической системе координат. Данные приложения 2 также свидетельствуют о высокой скорости сходимости МКР и о близости результатов МКР к данным МБК, ММБК, МБГ. Удовлетворительным для инженерной точности следует признать решение на сетке 16x16. Кроме того, на сетке 32x32 в МКР, на одну итерацию метода Ньютона затрачивается около 1 с машинного времени ПК, разница результатов с приближением № 7 МБГ (49 членов ряда из ортонормированных полиномов) составляет: по W(0, 0) - 0,8% , по М(0, 0) - 0,2% , по \му(0,\)\ - 0,9%, по е(0, 1) - 0,9% . Очевидно, что точность решения по МКР на сетке 32x32 для защемленной по контуру пластинки следует признать высокой, при этом уровень деформаций є І, тах=0,045 составляет около 79% от предельного уровня для рассмотренного композитного бетона. Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы: 1. Сходимость метода конечных разностей при использовании модели Кирхгофа является весьма высокой и для тестовых задач изгиба пластин решения по данной модели близки к точным (эталонным). 2. Требуемая инженерная точность достигается на сетке 16x16. 3. В дальнейших исследованиях этой работы используется метод конечных разностей на сетке 32x32, гарантирующий получение высокоточных решений задач изгиба пластинок в агрессивной среде по всем параметрам напряженно - деформированного состояния. 4. Табличный (дискретный) способ описания кривой деформирования позволяет с высокой точностью описать нелинейность материала на всем диапазоне деформирования для ряда современных материалов, имеющих єі до 7%. 3.3 Исследование точности решения задач изгиба нелинейно-упругих пластинок методом последовательных нагружений и двухшаговым методом последовательного возмущения параметров Используя алгоритм метода конечных разностей, исследуем конкретные краевые задачи изгиба пластинок и определим точность известных методов решения нелинейных задач. Рассматриваем метод последовательных нагружений (МЛН) [167] и двухшаговый метод последовательного возмущения параметров Петрова В.В. (ДМПВП) [154].
Анализ ДМПВП показывает, что приращение решения относительно начального приближения х0 зависит от направления касательной к нелинейной зависимости решения от возмущаемого параметра и величины его приращения. Так как описывается нелинейный процесс, то из точки х0 должен продолжаться отрезок дуги, а не отрезок прямой линии (касательной). Продолжение по касательным приводит к накоплению погрешностей линеаризации по одну сторону от искомого нелинейного решения. Сопоставим решения с данными по методу Ньютона-Канторовича (МНК) при задании относительной точности выхода из итерационного процесса по всем параметрам НДС пластинок A!=70"5. МНК выбран в качестве эталонного решения нелинейной задачи из соображений обоснованности соответствующими теоремами сходимости его к точному решению [201, 207]. При вычислительных экспериментах величина шага нагружения Aq варьировалась и указана в приложении 3. Здесь же приведены данные для защемленной по контуру пластинки, изготовленной из полиэфирного бетона, выдержанного в 20% водном растворе едкого натра, для которого максимальная деформация материала без воздействия среды составляет єігтах=0,03. Кривые деформирования этого конструкционного материала для образцов, выдержанных различное время в агрессивной среде приведены на рис. 33, г. Численные исследования проведены МКР на сетке 32x32 при действии равномерно распределенной нагрузке q = 4,5 МПа. В первом столбце приложения 3 указан метод решения нелинейной задачи, во втором - шаг решения в долях от наибольшей нагрузки, близкой к предельной нагрузке на пластинку. Далее: W - накопленный прогиб срединной плоскости пластинки, М — изгибающий момент, є(і - интенсивность деформаций. Начало координат в центре пластинки. В скобках приведены координаты точки в аналитической системе координат. Отметим, что решения по ДМПВП при крупном шаге по нагрузке Aq/qmax=l/3 близки к данным по методу Ньютона - Канторовича (МНК). Результаты по МЛН заметно отличаются от данных МНК при шаге по нагрузке Aq/qmax=l/10. При этих величинах шагов по параметру нагрузки Aq/qmax время счета ПК по ДМПВП меньше времени счета по МЛН и значительно меньше времени счета по методу Ньютона - Канторовича, необходимого для достиже- ния относительной точности д = 10"5. Кроме того, при одинаковых величинах шагов по параметру нагрузки Aq/qmax точность результатов по ДМПВП существенно выше точности результатов по МПН.
Исследование влияния параметра В0 на долговечность пластинки при изгибе в рабочей среде
На конкретных примерах исследуем изгиб квадратных пластинок в агрессивных средах при различных уровнях концентрации агрессивной среды на поверхности материала Во и разных условиях закрепления пластинки по контуру. В этом исследовании необходимо оценить влияние параметра В0 на долговечность конструкции при данных условиях эксплуатации. По причине от- сутствия необходимого пакета экспериментальной информации полагаем, что концентрация среды В0 зависит от плотности р раствора жидкой среды. Изменяя параметр В0, моделируем воздействие рабочих сред разной степени агрессивности на конструкционный материал. Берем сторону пластинки a = 2(i), толщину h = 0.3 (м) = 0,15а. Материал пластинки - эпоксидный бетон, имеющий семейство диаграмм деформирования, приведенного на рис.33, г, полученных в результате эксперимента при агрегировании водным раствором 20% едкого натра различной длительности. Эта агрессивная рабочая среда соответствует значению Во=1 г/см3 на поверхности материала (рис. 37). При аппроксимации нелинейной кривой деформирования использован табличный способ (таблица 1). Глубина проникания агрессивной среды в конструкционный материал задано в виде закона S{t) = a Jt (рис. 39), где а = 13,05 / / I ей а05. Деградация свойств материала и описывается выражением вида (16). Коэффициент деградации, описывающий изменения относительной ско-рости функции деградации - 2=0,4069 см 1г. При решении этой задачи применялся МКР на сетке 32x32. На каждом шаге расчета проводилась проверка наступления ОС вида (47). При удовлетворении данного условия расчет прекращался. Рассмотрим диапазон значений В0=0,5; 0,75; 1,0; 1,5; 2,0 г/см3. Полагаем, что этот интервал охватывает практически весь спектр жидких агрессивных сред, распространенных в инженерной практике.
Из-за экономии места приведем лишь некоторые результаты для шарнирно — опертых и жесткозаделанных по контуру пластинок при уровнях нагружения пластинки qlqmm =0,3; 0,5; 0,7, где дтах - максимальной возможная нагрузка для каждого вида опирання нагрузки без влияния агрессивной среды. Результаты численных экспериментов показаны в приложениях 14-19. Здесь в столбце 1 указан шаг расчета, 2 - глубина проникновения рабочей среды в материал, 3 - время действия агрессивной среды, соответствующее каждому шагу расчета, 4 - временный предел сопротивления материала, соответствующий времени воздействия рабочей среды, 5-9 - максимальные интенсивности напряжений. На рис. 53-53 в графическом виде показаны данные приложений 15-17. Кривые на этих рисунках отличаются параметром В0. Семейство восходящих кривых, описывающих развитие относительных напряжений, пересекаются с нисходящей кривой длительной прочности материала a(t). Точки пересечения определяют моменты наступления ОС. Проекции этих точек на ось времени определяют долговечность конструкции при изгибе в агрессивной среде. По точкам пересечения кривых построены кривые долговечности на рис. 56. Здесь по оси абсцисс принят предварительный уровень на-гружения пластинки q/qmax. По оси у принята долговечность конструкции Г. Графики на рис. 56 позволяют определить долговечность пластинки при изгибе в агрессивной среде при разных концентрациях агрессивной среды на поверхности материала. Графический анализ подтверждает, что с ростом параметра В0, который характеризует «агрессивность» рабочей среды, уменьшается долговечность пластинки. Следует констатировать высокую чувствительность разработанной математической модели к параметру Во- Результаты аналогичного численного эксперимента для жестко заделанной пластинки приведены в приложениях 4, 6, 8 и на рис. 57 - 59. Проекции точек пересечения кривых на ось времени определяют наступление ОС. По точкам пересечения построены графики семейства кривых долговечности жестко заделанной по контуру пластинки на рис. 60. Математическая обработка методом наименьших квадратов полученных данных позволяет записать долговечность пластинки Г в следующем виде: Выражение (57) может быть использовано для прогнозирования долговечности рассматриваемой частной пары «материал — среда». Следует отметить, что при постановке задач этого исследования экспериментальные кривые деформирования материала с разной концентрацией агрессивной среды и различной длительности действия среды отсутствовали (кроме данных В0=1 г/см ) Недостающие кривые были заменены на виртуальные с целью демонстрации возможностей предложенной модели и метода расчета.
При наличии экспериментальных кривых деформирования образцов материала, экспонированных различное время в агрессивных средах различной концентрации, проведение всех вычислительных мероприятий, рассмотренных в этом параграфе, позволит получить более точные аппроксимации функций долговечности пластинок. Для графического анализа влияния концентрации среды на поверхности материала данные рис. 53-55, 57—59 сводим к рис. 61-65: 1 - шарнирное опира-ние пластинки при q/qmax-0,7; 2 - жесткое опирание пластинки при q/qmax-0,7; 3 - шарнирное опирание пластинки при q/qmax-0,5\ 4 - жесткое опирание пластинки при q/qmax=0,5; 5 - шарнирное опирание пластинки при q/qmax=0,3; 6 — жесткое опирание пластинки при q/qmax=0,3. Графический анализ рис. 61-65 показывает, что условия закрепления влияют на долговечность конструкции. Например, если концентрация среды на поверхности В0=1 г/см и нагружение пластинки составляет q/qmax=0,5 долговечность конструкции при шарнирном опираний по контуру составляет Т = 0,34 года, а при жестком - Т = 0,42 года. В приложениях 20-25 показаны накопленные прогибы пластинки, изгибаемой в рабочей среде при разных условиях опирания по контуру. Данные этих таблиц свидетельствуют, что прогибы пластинки растут с увеличением времени действия среды и концентрацией агрессивной среды на поверхности материала.
