Введение к работе
Актуальность проблемы. Более двадцати лет прошло с тех пор, как было понято, что квантовая хромодпнамика - теория Янг-Мпллеовского поля с цветной калибровочной группой SU(3) п с фермпонамп (кварками) в фундаментальном представлении - является фундаментальной теорией сильного взаимодействия. За двадцать лет работы теоретикам удалось систематизировать п в ряде случаев оппсать количественно огромный массив накопленных экспериментальных данных по адронной фпппке.
Однако, точность теоретического описания имеет рапный статус в равной области характерных энергий. Когда характерные энергии велики и мы имеем дело с -жестким процессом КХД (классические примеры - это глубоконеупругое рассеяние, е+е~ аннигиляция в адроны ц процесс Дрелла-Яна), характерная константа связи КХД as{E) мала (в силу- асимптотической свободы константа падает с ростом энергии). В этом случае работает теория возмущений и результаты представимы в виде ряда по малому параметру as{E) (пли даже as(E)/7r). Статус теоретических предсказании здесь практически такой же как в квантовой электродинамике.
Ситуация иная в области малых энергий Е < 1 ГэВ. Константа связп здесь велика и теория возмушенпй неприменима. Вместо кварков и глюонов - элементарных полей, фпгурирутощнх в лагранжиане КХД-мы имеем дело с адронами - бесцветными составными объектами. Само существование адронов не выведено до сих пор строго в рамках КХД. Полное понимание придет только тогда, когда будет строго решена самая сложная пз всех проблем КХД -проблема конфайнментн.
Но ситуация вовсе не гак плоха. Несмотря на отсутствие точного и строгого решения, к настоящему моменту достигнуто качественное, а в большом числе случаев - полуфеномено.югическое количественное (включаюшее незначительное число параметров, не фиксируемых пока из первых принципов теорпи) понимание картины адронного спектра п многпх адронных дннамичгекпх свойств. Успехи достигнуты на трех магистральных направлениях:
1. Решеточные, вычисления. Главная идея метода - это числен-
ное вычисление функционального интеграла в КХД. Успехи здесь весьма велики, но главный недостаток этого подхода - это как раз его численный характер. После расчетов, занимающих сотни часов на специализированных (специально построенных для решения этой задачи) компьютерах получаются результаты для масс, констант распада, магнитных моментов и других динамических характеристик адронов, которые находятся в близком согласии с экспериментом. Но результаты эти не могут вполне удоволетворить теоретика, так как онн дают ответ на вопрос "сколько", но не дают ответа на вопрос "почему".
2. К-иралъная теория возмущений. Лагранжиан КХД с бозмас-совымп кварками обладает высокой глобальной киральнон симметрией:
A-LVi, QR—> ARqR, (1)
где qi,R = |(1 Т75)Nj флэиворных компонент, a Al и Ar - две -разные унитарные матрицы. Симметрия Ul(N/) Ujt(JVf) включает также спнтлетную аксиальную симметрию Ua(1), которая не остается в полной квантовой теории ввиду аномалии . Оставшаяся симметрия SUi(Nf)
SUL{Nf) SUR{Nf) —+ SUv(Nf) . (2)
В результате в спектре появляется NJ — 1 безмассовых голдсто-уновскнх бозонов. Параметр порядка, отвечающий спонтанному нарушению симметрии (2), есть вакуумное ожидание < q/<7/ >о (не подразумевается суммирование по индексам), которое называется киралъпым конденсатом.
В реальном мире кварки имеют небольшую массу, симметрия (1) не является точной симметрией лагранжиана, не может нарушиться спонтанно в строгом смысле этого слова и не возникает поэтому строго безмасеовых голдстоуновских состояний. Однако, массы и- и d-кварков малы (и то же с некоторыми оговорками относится к s-кварку). Массовый член в лагранжиане можно вслед-
ствне этого трактовать как возмущение. В результате, вместо безмассовых голдстоуновскпх состояний, мы приходим к легким пеевдоголдстоуновскнм состояниям -октету псевдоскалярных мезонов (жКт}).
Основная идея метода киралыюй теории возмущений состоит в том, что при низких энергиях свойства псевдоголдстоунов определяются эффективным лагранжианом. Его вид фиксируется сішме-трппнымп соображениями.
Недостаток этого метода — в сравнительно узкой области его применимости, р-мезоны и (с оговоркамп) нуклоны кпральной теорией возмущении не описываются.
3. Правила сумм КХД. Этому методу [Вайнштейн, Захаров, Шифман, 1979] посвящена значительная часть диссертации.
Рассмотрим эвклидов коррелятор < T{j^(x)jl/(0)} >о двух векторных токов ]р(х) = u(x)yILu(x) — d{x)yILd{x) с квантовыми числами /э-мезона. Когда расстояние х мало, коррелятор дастся графиками теории возмущении КХД - кварковой петлей и связаными с ней глюоннымп обменами. Основная идея метода состоит в том, что еще раньше, чем пертурбатпвный ряд для < T{jfi(x)jl,(0)} >о начинает расходиться, становятся существенны непертурбативные эффекты, связанные с взаимодействием кварков с длинномасштаб-ными вакуумными полями. При малых х эти эффекты представляют малые поправки к пертурбативному вкладу в коррелятор.
На феноменологическом языке корхэелятор представим в виде суммы графиков с обменом р - мезоном п возбужденными состояниями с квантовыми числами р - мезона. На больших расстояниях вклады возбужденных состояний подавлены и коррелятор эффективно насыщается вкладом низшего резонанса.
Оказывается, существует область расстояний х, в которой, с одной стороны, непертурбативные поправки к коррелятору < 2^(^(^)^(0)} >о и другим аналогичным корреляторам находятся еше под контролем и описываются всего несколькими феноменологическими параметрами (глюопным конденсатом < Ga Gav >о, кварковымп конденсатами < йи >о=< dd >о и < ss >о и смешанными конденсатами < qcr^G^q >о, а с другой стороны. - коррелятор в значительной мере насыщается вкладом низшего резонан-
са. Вклады возбужденных состояний оцениваются из соображений дуальности. Свойства практически всех низколежащих адронных состояний могут быть определены этим методом.
Основная теоретическая проблема, которая встает в связи с учетом вклада вакуумных полей в корреляторах - это собственно природа этих полей. В литературе имеются две конкурирующие модели для вакуумных полей в КХД. Это модель квазштоетоянных полей [Симонов, 1988] п модель пнстантон-антшшстантонной жидкости [Гросс, Дьяконов, Петров, Шуряк, Вербаршот, 1979-1990]. Некоторые из результатов, представленных в диссертации, свидетельствуют скорее в пользу последнеп модели, но аргументы носят косвенный характер, и вопрос по сути дела пока не решен.
Основным ингредиентом модели пнетантон-антппнетантонной жидкости является сам инстантон. Это -. самодуальная (G^ = 'k-^iivcipG^) конфигурация калибровочного поля, несущая единичный топологический оаряд
Существуют кроме того решения с двойным и сколь угодно большим целым и.
Цель работы состоит в теоретическом исследовании свойств характерных полевых конфигураций в КХД, а также в некоторых родственных двумерных, теориях как при нулевой, так и при конечной температуре. Как оказывается, можно получить ряд точных результатов, относящихся к вакуумному, а также к высокотемпературному функционалу КХД и к свойствам характерных полей. Одпн из важных полученных в диссертации результатов - это прояснение роли конфигураций с общим топологическим зарядом (3) в КХД. Значительная часть диссертации посвящена разработке и обобщениям метода правил сумм КХД, позволившим решить такие нетривиальные задачи, как вычисление мезонных формфакторов и барпонных магнитных моментов.
Научная новизна. Впервые получены точные формулы, описывающие вклад в функциональный интеграл КХД конфигурации с определенным общим топологическим зарядом (3). Получены так-
7 же новые нетривиальные соотношения для собственных значений эвклидова оператора Дирака. Простейшее in них имеет вид
^).-^-
где V — объем эвклидова 4-мерного ящпка, в котором определена теория, Е — абсолютное значение фермпонного конденсата, v — фиксированный топологический заряд полевых конфигураций, Nf — число легких ароматов и к = \и\ + Nf.
Предложена новая техника вычисления степенных поправок в методе правил сумм КХД, основанная на калибровке фиксированной точки (х — х0)цАи — 0. Эта техника позволяет унифицировать и существенно упростить расчеты. Разработаны две нетривиальные модификации метода правил сумм. В одной по них анализируются трехточечные корреляторы, что позволяет определить электромагнитные формфакторы мезонов в области промежуточных Q2 и решить многие другие задачи. Другая модификация основана на рассмотрении двухточечных корреляторов во внешних статических полях. Метод применяется для вычисления статических магнитных моментов барионов.
Показано, что в чистой теории Янга-Миллса при высоких температурах имеется всего одна физическая фаза. Прояснена роль кпра.тьной аномалии при конечных температурах.
Исследовались также двумерные калибровочные теории, имеющие много общих черт с КХД (конфайнмент, кпральная аномалия, наличие топологически-нетривиальных полевых конфигурации, генерация фермпонного конденсата и т.д.). В частности, продемонстрировано, что характерные полевые конфигурации в модели Швингера (безмассовой двумерной электродинамике) представляют "жидкость" из вихревых конфигураций, весьма аналогичную пнетантон-антшшетаптонпой жидкости в КХД4. Показано также, что в КХДг с присоединенными фермионами имеются топологически нетривиальные инстантонные конфигурации, приводящие при Nc = 2 к генерации фермпонного конденсата (при Nc = 3 ситуация не вполне ясна).
Практическая ценность работы. Результаты диссертации для
электромагнитных формфакторов мезонов и для магнитных моментов барионов, полученные в главах 3 и 4, находятся в хорошем (в пределах 10%) согласпп с экспериментом. Это является дополнительным подтверждением того, что КХД есть правимунажтеория сильных взаимодействий и что свойства низколежащих адронных состояний могут быть описаны в рамках КХД при учете непертур-багпвных эффектов, включающих всего несколько универсальных вакуумных параметров.
Результаты глав 1 и 5 не могут быть проверены в лабораторных экспериментах — они касаются свойств эвклидова функционала КХД п дннадшкп теории при высоких температурах, недоступных для лабораторного исследования. Однако, эти результаты могут быть сравнены с результатами компьютерных решеточных вычислений. Уже имеются первые расчеты статсуммы КХД и спектра эвклидова оператора Дирака с учетом фермионного детерминанта, т.е. в полной теории с динамическими кварками (колла-борация Колумбийского университета, 1994). Поведение фермионного конденсата как функции массы в конечном эвклидовом ящике находится в близком согласии с результатами главы 1. Однако, решеточные результаты для спектральной плотности оператора Дирака ^(А) в термодинамическом пределе не согласуются с теорией (компьютерные данные показывают неаналитическую зависимость р(Х) ~ Л + В\\\ при малых А в случае двух легких ароматов. Теоретически такая неаналитичность должна появляться только начиная с JV/ > 3 — см. (17) ). Это выявляет известную несамосо-гласованность имеющихся решеточных вычислений. Только после прояснения причин этого противоречия и приведення данных численных расчетов в согласие с теорией мы сможем быть уверены, что эти расчеты действительно правильно описывают низкознер-гетическую динамику КХД.
Дпнампка КХД при конечных температурах также исследовалась на решетках. В частности, было продемонстрировано, что в чистой теории Янга-Мпллса (без динамических кварков) имеется температурный фазовый переход — переход деконфайнмента. Однако, ранее этот фазовый переход неверно интерпретировался как переход, отвечающий спонтанному нарушению Zn - симметрии
в высокотемпературной фапе. Мы покапываем, что это не так и предлагаем для окончательного прояснения вопроса проделать решеточные вычисления не со стандартными унитарными матрицами, а с матрицами ФаЬ — Tr{taUtbW}, лежащими в присоединенном представлении группы. Фазовый переход пдееь должен наблюдаться только в непрерывном пределе , а при любом конечном а должен наблюдаться кроссовер, становящийся все более и более резким и все больше напоминающий фазовый переход по мере уменьшения размера ячейки а. Вопрос важен п потому, что он свяпан с одним из наиболее фундаментальных вопросов решеточной КХД — описывают ли разные решеточные приближения КХД (т.е. теории с разной ультрафиолетовой регуляризацией) одну и ту же континуальную теорию в пределе а —+ 0. Мы полагаем, что да, описывают, но в литературе можно встретить разные мнения на этот счет.
На защиту выносятся следующие положения
-
Имеются точные теоремы КХД, следующие из кпральной симметрии лагранжиана а факта ее спонтанного нарушения, для спектральной плотности оператора Дирака как в конечном объеме, так и в термодинамическом пределе L —> оо.
-
Наиболее общий и технически удобный способ вычисления степенных поправок в операторном разложении корреляторов бесцветных токов состоит в использовании калибровки фиксированной точки (а; - Хо)мА^ = 0.
-
Степенные поправки ос 1/Q6 в поляризационном операторе векторных токов отсутствуют. Это — одно из следствий простых аналитических свойств поляризационных операторов на фоне самодуального поля.
-
При переходе к временпподобным q2 экспоненциально убывающие в эвклидовой области члены становятся сушествоны и хорошо симулируют резонансную структуру.
-
Имеется обобщение метода правил сумм для трехточечных корреляторов, которое позволяет вычислять электромагнит-
ные формфакторы алронов, адронные константы типа др„ж и т.д.
-
Имеется обобщение метода правил сумм на случай слабого внешнего бесцветного поля, которое позволяет определять статические магнитные моменты барпонов, константы дА и пр.
-
В высокотемпературной глюодпнамике имеется всего одна физическая фаза.
-
Интегрируя явно по жестким модам, можно предложить численный алгоритм для вычисления скорости процессов с несо-храненпем киральностп в безмассовой КХД и барионного заряда в электрослабой теории при высоких температурах, который свободен от проблем, связанным с ультрафиолетовыми расходимостями.
-
Фермпонный конденсат в модели Швингера. определяется вихревыми полевыми конфигурациями в инстантонном топологическом классе. Характерные полевые конфигурации представляют жидкость по вихрей с положительными и отрицательными потоками.
10. В КХД2 с фермионами в присоединенном по цвету представлении также имеются пнетактокы, которые приводят к генерации фермионного конденсата.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях Отделения ядерной физики АН России по фундаментальным взаимодействиям элементарных частиц (Москва, ИТЭФ - МИФИ - ФИАН, 1981-1995 гг.), на Зимних школах ИТЭФ, ЛИЯФ и Тбилисского Института фшшкн (1981-1990 гг.), на конференции "Effective field theories of the standard model" (Добогоко, Венгрия, 1991), на XXXIII Краковской школе по теоретической физике (Закопане, Польша, 1993), на конференции ІСНЕР-94 (Глазго, Великобритания, 1994), на конференции "Continuous advances in QCD" (Миннеаполис, США, 1994), па конференции PASCOS-94 (Сиракузы, США, 1994), на конференции "Chiral Dynamics in Hadrons and Nuclei" (Сеул, Южная Корея,
1995) и на ряде других конференшшп. Автор систематически докладывал результаты исследований на научных семинарах ПТЭФ, Бернского и Мнннеаполнсского Университетов и во многих других научпых центрах. На работы, вошедшие в диссертацию, имеется 532 ссылки в индексе цитирования.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 28 печатных работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 95 страниц. Диссертация содержит 21 рисунок, одну таблицу и список литературы из 130 наименовании.
