Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Система линеаризованной модели полярона в магнитном поле 9
1.1. Свободная энергия полярона 13
1.2. Свободная энергия полярона для одночастотного случая 24
1.3. Линейный полярон в отсутствии магнитного поля 24
1.4. Вычисление свободной энергии полярона методом диагонализации 26
1.5. Сравнение двух теорий 26
ГЛАВА 2. Боголюбовское представление модели полярона и ее полная интегрируемость в приближении случайных фаз 29
2. 1. Модель полярона в приближении случайных фаз 33
2. 2. Модель полярона в приближении случайных фаз в постоянном магнитном поле 35
2.3. Масса полярона 37
ГЛАВА 3. Кинетические уравнения в теории полярона в случае пространственной неоднородности 42
3.1. Теория полярона 43
3.2. Фермионная система 44
3.3. Эволюционное и кинетическое уравнения 45
Заключение 60
Литература 62
- Свободная энергия полярона для одночастотного случая
- Вычисление свободной энергии полярона методом диагонализации
- Модель полярона в приближении случайных фаз в постоянном магнитном поле
- Эволюционное и кинетическое уравнения
Введение к работе
Актуальность темы. Одной из основных задач статистической механики является развитие строгих методов исследования систем многих взаимодействующих частиц, прежде всего ориентированных на последовательное микроскопическое описание фазовых переходов эволюции и кинетики динамических систем. Развитие строгих методов в равновесной статистической механике позволило получить ряд существенно важных результатов и исследовать модели, не поддававшиеся адекватному исследованию в рамках приближенных методов [1]-[5].
Большой интерес представляет строгий подход в неравновесной статистической физике, где получение точных результатов является еще более сложной задачей. В связи с этим важно получение точных эволюционных и кинетических уравнений для различного рода взаимодействующих систем. Математические исследования в физике неравновесных процессов [6] инициированы как чрезвычайной сложностью возникающих в теории задач, так и естественным стремлением распространить идеи и методы строгого подхода, нашедшего успешное применение в равновесной статистической механике [1] - [6], в кинетическую теорию. Большое стимулирующее значение исследований в этом направлении имеет метод изучения эволюции динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем, предложенный Н.Н.Боголюбовым в работе [7] и развитый в работах [8] - [10], являющийся принципиальным обобщением метода кинетического уравнения Больцмана в теории электронов, движущихся в кристалле и взаимодействующих с колебаниями решетки и внешним электрическим полем, а также развитие и применение мощного аппарата двумерных корреляционных и гриновских функций [5], [4] к
таким системам.
В работе [7] дан вывод точного эволюционного уравнения для электрон-фононных систем, находящихся под действием внешнего электрического поля. С помощью специально доказанной леммы операторы фононного поля исключены из уравнения и получено обобщенное точное эволюционное уравнение, содержащее только переменные электронной подсистемы. Аналогичное уравнение получено в работе [8] с использованием квантово-полевой техники Г-произведений. Обобщение этих результатов на более широкий класс систем дано в работах [9], [10]. В работах [7] - [10] дано применение полученного точного уравнения к конкретным системам. Показано, что для модели полярона при выборе надлежащей аппроксимации можно получить уравнение Больцмана, исследованное в работе [9] при низких температурах, и соотношение Фейнмана-Торнбера, связывающее среднюю скорость движения электрона в криссталле с внешним электрическим полем.
Выход за рамки стандартного кинетического уравнения неизбежен и при описании эволюции носителей в конденсированных средах, например, при рассмотрении кинетики электрона с учетом эффектов локализации и авто локализации, а также под действием высокочастотных полей.
Действительно, для целого ряда веществ в широком диапазоне экспериментальных условий изучение кинетики электронов не может быть сведено к исследованию в рамках стандартного кинетического уравнения. В связи с этим большой интерес представляют исследования по созданию более мощного подхода к кинетической теории, основанного, например, на эффективных методах квантовой теории поля.
Одной из наиболее актуальных задач в данной области является проблема полярона.
Как известно, локальные изменения электронного состояния в кристалле приводят к соответствующим локальным изменениям во взаимодействии между индивидуальными атомами в кристалле, и отсюда к возбуждению фононов. И, соответственно, наоборот - любое локальное изменение состояния ионов решётки изменяет локальное электронное состояние. В такой ситуации общепринято говорить об «электрон-фононном» взаимодействии. Когда электрон движется через кристалл, он переносит вместе с собой искажение решётки. От этого взаимодействия изменяется энергия электрона. Электрон вместе с сопровождающим его самосогласованным полем поляризации можно рассматривать как квазичастицу, называемую поляроном. Потенциальная яма полярона вместе с осциллирующим в ней электроном может перемещаться по кристаллу в виде своеобразной поляризационной волны. С помощью расчётов показано, что у такой волны необычный закон дисперсии. Таким образом, полярон движется в кристалле, подобно частице с зарядом электрона и с некоторой эффективной массой, которая больше, чем эффективная масса (блоховского) электрона.
Состояния с неполяризованным кристаллом и свободным электроном, которые фигурируют в обычной "зонной" теории, могут произойти лишь в результате сравнительно редкой тепловой флуктуации. Поэтому подавляющее большинство электронов проводимости должно находиться в поляронном состоянии.
Следует отметить, что одной из существенных проблем статистической механики является исследование динамического процесса в системе, слабо
взаимодействующей с «большой» системой (термостатом). Начало изучению этой проблемы положила работа Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова [11]. В этой работе был развит метод, позволивший уже в первом приближении получить уравнение Фоккера - Планка. В дальнейшем была изложена модифицированная версия метода, развитого у Боголюбова и Крылова, и обсуждена его связь с теорией двухвременных функций Грина. В основе метода лежит исключение бозе-переменных из операторных уравнений движения при усреднении последних с матрицей плотности начального состояния. Предложен вывод точного уравнения, описывающего эволюцию для частицы, взаимодействующей с бозонным полем. Показано, что в случае слабого взаимодействия это уравнение приводится к уравнению Больцмана в теории полярона. Особое внимание уделяется исследованию неравновесных свойств линеаризованной модели полярона. Основные характеристики такой системы, импеданс и адмитанс, явно вычисляются. Показано также, что равновесная функция распределения по импульсам в пределе слабой связи может быть получена с помощью формализма Т-произведений без использования приближённого уравнения Больцмана.
Цель работы состоит в исследовании линейной модели полярона во внешнем магнитном поле, в исследовании модели Фрелиха в приближении случайных фаз, а также в построении точных эволюционных уравнений для электрон-фононных систем с исключенными бозонными операторами в пространственно-неоднородном случае и получении из них кинетических уравнений в том же пространственно-неоднородном случае.
Научная новизна и практическая ценность работы. Впервые линейная модель полярона во внешнем магнитном поле рассмотрена как точно
решаемая модель статистической физики в рамках метода двухвременных температурных функций Грина. Развитый подход позволил получить ряд принципиальных результатов в теории полярона в магнитном поле: точные макроскопические величины на основе динамики системы (гл.1). Кроме того, в рамках метода исключения бозонных переменных для динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем, впервые рассмотрен пространственно-неоднородный случай (гл.З).
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Кафедре квантовой статистики и теории поля Физического факультета МГУ им. Ломоносова, семинаре по статистической физике Математического института РАН им. В.А. Стеклова, на Международной конференции по статистической физике во Львове (Statiatical Physics: "Modern Trends and Applications", 23-25 июня 2009 г.), на Международной конференции по проблемам теоретической и математической физики в Дубне (THE INTERNATIONAL BOGOLUBOV CONFERENCE: PROBLEMS OF THEORETICAL AND MATHEMATICAL PHYSICS, 21-27 августа 2009г.), посвященной 100-летию Н.Н. Боголюбова.
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 5 научных работ.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания и заключения. Всего 70 страниц текста, библиографический список литературы из 88 наименований.
Свободная энергия полярона для одночастотного случая
Интерес к модельным системам обусловливается тем, что их изучение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач статистической механики и, в частности, для обоснования приближенных методов. Например, точное решение модели БКШ-Боголюбова в теории сверхпроводимости дало значительный толчок дальнейшему развитию этой теории [21], [22], а точное решение двумерной модели Изинга [24] - [29] и других точно решаемых моделей в статистической физике [30] сыграло большую роль при построении теории фазовых переходов и критических явлений. Одой из интересных моделей квантовой теории поля, физики твердого тела и статистической физики является модель полярона [31] - [34]: электрона, движущегося в ионном кристале с сопутствующей ему поляризацией. Повышенный интерес к этой модели обусловлен тем, что здесь оказались применимы методы квантовой теории поля [35], [36]. При этом круг возникающих задач для этой модели, например, нахождение эффективной массы квазичастицы, определение подвижности полярона [37] и так далее не поддаются решению в рамках строгого подхода. Следует отметить, что рассмотрение данной модели в рамках неравновесной статистической физики [38], [39] представляет как большую сложность, так и большой интерес. Большой интерес представляет строгий подход в неравновесной статистической физике, где получение точных результатов является еще более сложной задачей. В связи с этим важно получение точных эволюционных и кинетических уравнений для различного рода взаимодействующих систем.
Математические исследования в физике неравновесных процессов [1] инициированы как чрезвычайной сложностью возникающих в теории задач, так и естественным стремлением распространить идеи и методы строгого подхода, нашедшего успешное применение в равновесной статистической механике [5] - [12], в кинетическую теорию. Большое стимулирующее значение исследований в этом направлении имеет метод изучения эволюции динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем, предложенный Н.Н.Боголюбовым в работе [40] и развитый в работах [41] - [43], являющийся принципиальным обобщением метода кинетического уравнения Больцмана в теории электронов, движущихся в кристалле и взаимодействующих с колебаниями решетки і и внешним электрическим полем, а также развитие и применение мощного аппарата двумерных корреляционных и гриновских функций [44], [10] к таким системам. В работе [40] дан вывод точного эволюционного уравнения для электрон-фононных систем, находящихся под действием внешнего электрического поля. С помощью специально доказанной леммы операторы фононного поля исключены из уравнения и получено обобщенное точное эволюционное уравнение, содержащее только переменные электронной подсистемы. Аналогичное уравнение получено в работе [41] с использованием квантово-полевой техники Г-ироизведепий. Обобщение этих результатов на более широкий класс систем дано в работах [42], [43]. В работах [40] - [43] дано применение полученного точного уравнения к конкретным системам. Показано, что для модели полярона при выборе надлежащей аппроксимации можно получить уравнение Больцмана, исследованное в работе [45] при низких температурах, и соотношение Фейнмана-Торнбера, связывающее среднюю скорость движения электрона в криссталле с внешним электрическим полем [46]. Выход за рамки стандартного кинетического уравнения неизбежен и при описании эволюции носителей в конденсированных средах, например, при рассмотрении кинетики электрона с учетом эффектов локализации и авто локализации, а также под действием высокочастотных полей [47]. Действительно, для целого ряда веществ в широком диапазоне экспериментальных условий изучение кинетики электронов не может быть сведено к исследованию в рамках стандартного кинетического уравнения. В связи с этим большой интерес представляют исследования по созданию более мощного подхода к кинетической теории, основанного, например, на эффективных методах квантовой теории поля [48]. Одной из наиболее актуальных задач в данной области является проблема полярона - квазичастицы, образуемой электроном, движущимся в кристалле, с сопутствующей ему поляризацией решетки [43], [49]. Гамильтониан Фрелиха, нашедший успешное применение в ряде задач физики конденсированных сред и теории элементарных частиц, послужил исходной моделью для развития нового метода [40] - [43] исследования электрон-фононных систем. Этот метод, развитый в основополагающих работах Н.Н.Боголюбова и Н.Н.Боголюбова (мл.), нашел успешное применение и для описания других динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем, каким, например, является многочастичная система двухуровневых объектов под действием электромагнитного излучения, описывающая процессы сверхизлучательной генерации [50] - [53], рассматриваемые в нелинейной оптике.
В работе [43], кроме известной модели Фрелиха, рассмотрена также не менее важная линейная модель полярона во внешнем электрическом поле. Линейная модель полярона во внешнем электрическом поле в рамках техники двухвременных корреляционных функций и двухвременных функций Грина решена точно. То есть для этой модели математически строго в термодинамическом пределе (N—їоо, V— -со, у = const) вычислены функция свободной энергии, корреляционные функции и функции Грина. Данная работа посвящена исследованию линейной модели полярона во внешнем магнитном поле, исследованию модели Фрелиха в приближении случайных фаз, а также построению точных эволюционных уравнений для электрон-фононных систем с исключенными бозонными операторами в пространственно-неоднородном случае и получению из них кинетических уравнений в том же пространственно-неоднородном случае [54] - [58]. Как известно, локальные изменения электронного состояния в кристалле приводят к соответствующим локальным изменениям во взаимодействии между индивидуальными атомами в кристалле и отсюда к возбуждению фононов. И, соответственно, наоборот - любое локальное изменение состояния ионов решётки изменяет локальное электронное состояние. В такой ситуации общепринято говорить об «электрон-фононном» взаимодействии. Когда электрон движется через кристалл, он переносит вместе с собой искажение решётки. От этого взаимодействия изменяется энергия электрона. Электрон вместе с сопровождающим его самосогласованным полем поляризации можно рассматривать как квазичастицу, называемую поляроном. Потенциальная яма полярона вместе с осциллирующим в ней электроном может перемещаться по кристаллу в виде своеобразной поляризационной волны. С помощью расчётов показано, что у такой волны необычный закон дисперсии. А именно: энергия волны пропорциональна квадрату её скорости. В присутствии внешнего электрического поля полярон должен двигаться ускоренно. При этом ускорение его пропорционально напряжению электрического поля. Таким образом, полярон движется в кристалле, подобно частице с зарядом электрона и с некоторой эффективной массой, которая больше, чем эффективная масса (блоховского) электрона. Состояния с неполяризованным кристаллом и свободным электроном, которые фигурируют в обычной "зонной" теории, могут произойти лишь в результате сравнительно редкой тепловой флуктуации. Поэтому подавляющее большинство электронов проводимости должно находиться в поляронном
Вычисление свободной энергии полярона методом диагонализации
Свободная энергия гармонического осциллятора в магнитном поле имеет следующий вид: Эта свободная энергия совпадает со свободной энергией электрона. Л. Д. Ландау, решая уравнение Шрёдингера при Т — Ос гамильтонианом, содержащим магнитный член, получил известный в квантовой механике результат для энергии основного состояния электрона. где суммарное вырождение для п. Как оказалось, этот результат можно получить также методом, использованным в [40]. В обоих случаях для свободной энергии Fint , исходя из свободной энергии частицы (1.53), вырождения (1.55) и выражения, происходящего из гамильтониана свободной частицы [63], доказали, что обе теории дают схожие результаты для свободной энергии. Мы изучили линейную модель полярона при наличии постоянного однородного магнитного поля обобщённым методом функций Грина [44] и вычислили свободную энергию Fint электрон-фононного взаимодействия в магнитном поле. Рассмотрели также Fint при отсутствии магнитного поля (шс— ()) и получили результат для этого случая, который совпадает с результатом работы [43].
Далее в отсутствии магнитного поля рассмотрели одночастотный случай на примере задачи двух тел. Отметили также, что существуют подходы, основанные на методе континуального интеграла Фейнмана, в частности, метод диагонализации Дефриза и Броузенса [70]. Сравнив обе теории, мы убедились в их эквивалентности. Как известно [43], [49], [74], [75], квантовая модель полярона в ионном кристалле объема Асі?3 может быть описана[74] с помощью оператора гамильтониана действующего в гильбертовом пространстве Ьг(Л; С)(8)Ф(Л; С), где Ф(Л; С) - соответствующее фоковское пространство для фононных квазичастичных состояний в кристалле, т - это эффективная масса электрона в кристалле, р := V есть его оператор импульса, Щ и bf, /є27гЛ_з 3 -соответственно бозе-операторы рождения и уничтожения фононов с энергией Tiu)fER+, функция Lf = L-f есть параметр поляронной связи в кристалле и .,. есть обычное скалярное произведение в евклидовом пространстве Ё3. Как было показано [35],[74], гамильтониан (2.1) при помощи унитарного преобразования может быть приведен к следующему виду: явно демонстрирующему существенно квантовую природу полярона, не зависяпгую от силы параметра взаимодействия Lf. Более отчетливо это видно из того факта, что модель (2.1) обладает законом сохранения общего электрон-фононного импульса: то есть [Нр, Р] = 0. Здесь интересно отметить, что изучение статистических свойств модели полярона практически во всех работах[49], [70], [74], [76], [77], кроме [35], [78], посвященных этой проблеме, проводилось на основе выражения для гамильтониана (2.1), хотя, как было указано в [74], статистические свойства модели не зависят, очевидно, от выбора унитарно-эквивалентного представления для оператора (2.1).
В частности, используя нормальное произведение операторов, выражение (2.3), можно легко привести к эквивалентному виду: в фоковском пространстве Ф(Л; С) и связанные с ним коммутативные свойства: Здесь необходимо отметить, что это представление оператора гамильтониана (2.3) обладает естественной физической интерпретацией как поляронной модели с коллективно обособленными потенциалами взаимодействия. Этим подтверждается важность того анализа, который будет приведен нами ниже. Как известно, в ряде работ но теории полярона [70], [74] анализировалась осцилляторная аппроксимация соответствующего полного гамильтониана (2.1), приводящая к так называемой "линеаризованной" модели полярона, когда фактически в экспоненте ехр{г г, f ) 1 + г г, / в (2.1) оставлялся только первый член ее разложения , а также добавлялся в исходный гамильтониан квадратичный компенсирующий член; -, где При этих условиях результирующий гамильтониан остается трансляционно-инвариантным, тем самым, сохраняется возможность анализа его термодинамических свойств в пределе 7V— -оо, Л— оо. Что касается представления гамильтониана (2.5), то можно сделать следующее важное наблюдение: операторный член и := 2mS(/,s)( Р/ %) + будучи представлен в нормально упорядоченной вторично квантованной форме, приводит в N-частичном инвариантном фоковском подпространстве [44], [75], [79], [80] к следующему выражению для двухчастичного оператора
Модель полярона в приближении случайных фаз в постоянном магнитном поле
Для модели полярона в ПСФ в постоянном магнитном поле используем гамильтониан (2.8), который остается квадратичным по фононным операторам. Принимая во внимание ранее изложенное, имеем соответствующая расщепленная статистическая сумма может быть вычислена последовательно. То есть предварительно найдем статсумму и далее, используя (2.19) и (2.21), получаем выражение Поскольку гамильтониан (2.20) является квадратичным по фононным переменным, то выполняя преобразование (2.12), получаем где 0,( ), kz; /?)=«,+ Uw - /)2 + ( ." Л)2-Подставляя результат (2.24) в (2.22), легко получаем выражение статсуммы для модели полярона в ПСФ в магнитном поле: Здесь, по определению, мы приняли как эффективный гамильтониан полярона с операторным потенциалом, определяемым выражением Таким образом, статистическая сумма (2.25) полностью определяется спектром одночастичной двумерной самосопряженной проблемы где є„(/3)єЯ+ и трпЄЬ Е2; С), nEZ+ являются соответственно модифицированным [49], [82], [75] спектром Ландау и собственными функциями оператора с периодическими граничными условиями: для всех (1х,1у)те22, (х,у)тЕЁ2. Тогда из (2.25) и (2.27) легко получить, что где значения спектра Ландау еп{0)GR, nEZ+ можно найти при помощи соответствующих квантово-механических приближенных методов, что представляет собой отдельную задачу.
Касательно энергии основного состояния нашей модели полярона при нулевой температуре (то есть при /?— оо), следуя [49],[74], достаточно вычислить предел Е0 = —lim lnZ что также представляет собой отдельную важную и интересную задачу. 2.3. Масса полярона Важно отметить, что описание нашей поляронной системы с помощью канонического преобразования Боголюбова (2.2) дает возможность непосредственно вычислить массу полярона в магнитном поле нашей ПСФ-модели как при нулевой, так и ненулевой температуре. А именно: основываясь на доводах, выдвинутых в [83], можно рассмотреть при нулевой температуре состояние с наименьшей энергией \р eL2(A; (7)Ф(Л; С) при малом фиксированном импульсе \р єЕ2, если постоянная взаимодействия Lf = - соответствующий безразмерный параметр интенсивности. Тогда энергия полярона может быть определена как где Ео(а) удовлетворяет уравнению для собственного значения оператора гамильтониана при условиях рМрМ = р&ЦрМ для малого вектора р ЕЕ2. В случае ненулевой температуры Т 0 свободная энергия полярона определяется следующим выражением: где, по определению, в ПСФ в ионном кристалле может иметь определенные применения [75] в экспериментах типа де-Гааза-ван-Альфвена. При этом с точки зрения кинетических аспектов теории полярона чрезвычайно интересной является также модель поляронного газа в ионном кристалле, для исследования которой можно применять эффективные методы [49], [74], [75], [84] многочастичной квантовой теории, в частности, методы алгебры квантовых токов [85] и ее представлений, как это было продемонстрировано в [86]. Что касается нашей модели полярона и использованного приближения случайных фаз, то важно отметить следующее: опираясь на каноническое преобразование Боголюбова, операторный гамильтониан (2.2) был представлен в канонической форме в виде нормального произведения операторов как сумма точно решаемой операторной части и части, ответственной за многочастичное корреляционное взаимодействие. ЧЗлагодаря представлению последней в ПСФ форме ею можно пренебречь. Это приближение может быть использовано также для кристаллов либо при достаточно высоких температурах, либо при соответственно не малом параметре интенсивности аЄЯ+ (а 5,8), когда реализуется [83], [87] переход состояния полярона от нелокализованного к самолокализованному.
Как известно, зависимость эффективной массы полярона от температуры представляет большой интерес для физических применений, например, в связи с экспериментами циклотронного резонанса в полярных кристаллах [35], [78]. Измерения, осуществленные в кристаллах CdTe и AgBr в слабых магнитных полях при малых циклотронных частотах, достаточно ясно показывают, что соответствующая циклотронная масса полярона возрастает с увеличением температуры при ее низких значениях. Таким образом, можно ожидать, что вычисление массы магнитного полярона, основанное на наших результатах в рамках приближения случайных фаз может объяснить этот эффект и определить границы использования этого метода. Более того, можно ожидать, что наши результаты подтвердят теоретические предсказания существования [49], [77], [84] первого типа фазового перехода состояния полярона от его самолокализованного состояния до свободного состояния под воздействием достаточно сильного магнитного поля. Но на этих вопросах мы предполагаем остановиться отдельно в дальнейшем. Боголюбовский унитарно трансформированный оператор гамильтониана (2.5) может быть формально записан как
Эволюционное и кинетическое уравнения
Возвратимся к рассмотрению гамильтониана (3.5) и воспользуемся уравнением Лиувилля для статистического оператора А системы (S, Е): ІПйШ = H{t, S, Е)Dt - DtH(t, S, E) (3.9) при начальном условии Видно, что принятое начальное условие соответствует тому положению, когда в момент времени о фононное поле Е находится в состоянии статистического равновесия и в этот момент "включено" его взаимодействие с динамической системой S, характеризуемой статистическим оператором p(S). Так как из (3.9) следует, что то и мы имеем обычную нормировку для статистического оператора А динамической системы (5, Е). Введем оператор U(t,t0) = U(t,to, S, E), определяемый уравнением
Так как гамильтониан эрмитов, то видно, U является унитарным: С помощью операторов U из уравнения (3.9) имеем шредингеровском представлении A(t, S, Е). Ее среднее значение в момент времени t будет: A(t) = Sp(S,z)A(t, S, Е)A = Sp{s A(t, S ЕМ h)DtoU \t, t0) = Мы видим, что выражение является представлением Гейзенберга для рассматриваемой динамической величины A(t,S,12), которое при t = to совпадает со шредингеровским представлением этой величины. Такое гейзенберговское представление будем обозначать символом A(t, St, Et): представлении, данную оператором типа F(t, S), то Из (3.12) получим Введем приведенный статистический оператор Рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом (3.5) и начальным условием (3.10) для статистического оператора. Исходя из формулы (3.14) для гейзенберговского представления, имеем В]обозначает коммутатор: [A, B]=AB- В A. Мы видим, что если коммутатор двух динамических переменных в шредингеровском представлении есть с-число, то такое же значение будет иметь коммутатор этих динамических переменных в представлении Гейзенберга. Обозначим гейзенберговское представление для бозе-амплитуд соответственно ...bk(t)...b (t). Тогда по определению (3.14)
Поскольку bjj", bk коммутируют с F(t,S),Ck(t,S),C (t,S), мы видим, что Аналогичным образом Очевидно, что b (t),bk(t) имеют те же обычные перестановочные соотношения, что и b,bk- Имея в виду (3.5) и (3.17), уравнения для бозе-амплитуд приводятся к виду: B(t) = іДсігеМ )(«-)С (т,5т). Рассмотрим динамическую величину, которая в шредингеровском представлении изображается оператором типа /(5), явно не зависящим от времени. Ввиду (3.5) и (3.17) уравнения движения для f(St) Для того, чтобы избавиться от входящих в правую часть уравнения (3.21) бозе-амплитуд bk(t) и bk(t), в работах [40], [42], [43] сформулирована и доказана лемма. Мы дадим несколько иное доказательство этой леммы. Лемма. Для средних от произведений операторов bk(t) и bk+(t) на оператор R(S, Е) справедливы следующие соотношения: Заметим, что бозе-операторы bk и bk+ коммутируют с произвольными операторами L(S). Поскольку усреднение производится по начальному статистическому оператору всей системы, то есть Dto = p(S)D(Yl), имеем: Воспользовавшись определением bk(t) (3.19), имеем: bk(t) = e- W- bk - е н -Щке- н - \ откуда при j (t — to) = /3 следует, что или Учитывая, что D(E) = z le H \ получим 5p(s)bfc( )Q(E) (E) = 5p(s)Q(E) (E)6fc(i) =e W5p(E)Q(E)bfc(OD(E); 5р(2)д(Е)&;(0 (Е) = e- Mfc)s«p(s)b;(t)Q(S))(S). Фактически мы получили следующее соотношение: %s,S)i?(S,S)6fc( )A0 = e- WSP{s,z)bk(t)R(S,Z)Dt0, из которого следует, что р(ад&" ( )Я(5, Е)А0 - (1 - e- W) SP{S x}{bk(t)R(S, Е) - R(S, Е)6 ( )}А0, а также %5)Е)Л(5,Е)Ь;(ОА0 = .tfnX)SP{Sv{bk(t)R(S, Е) - Л(5,Е)Ь;(г)}Ао-Вводя обозначение Л7/. = t () для чисел заполнения, получим первые два соотношения утверждения леммы: Sp{s,zMt)R(S, Е)Ао - (1 + Nk)Sp{sv){WR{S, Е) - Д(5, )&( )}А0 %ад (5,Е)Ь;(ОА0 = NkSP(sMbh(t)R(S, Z) - R(S,Z)bk(t)}Dt0. Аналогичным способом можно доказать и последние два равенства для Ьк () утверждения леммы. Проделаем это. Имеем: %s,S)C(0tf(S,S)AQ = Sp{s bk+(t)R(S,E)p(S)D(E) = = sPlT1)bk+№Sp(s)H(s,z)p(s)}D(i:) - %S)C( )Q(E) (E); Sp{s R(S,i:)bk+(t)Dt0 = Sms)JR(5,E)6;+(i)p(5)D(E) = = 5p(E){5p(5)H(5,E)p(S)}6fc+( )i?(i:) = %Е)3(Е)С() (Е).
