Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Модель "Тирринг X Лиувилль" в классической теории поля 38
1.1 Формулировка модели и задача Коши в классе сингулярных решений 38
1.2 Скобки Пуассона и спектральная задача 46
1.3 Регулярные канонические переменные 56
1.4 N-солитонные решения 62
Глава II. Локально-минимальные поверхности и модель "Тирринг х Лиувилль" 68
2.1 Редукция 3D струны к модели SL(2,R)-значного ки-рального поля 68
2.2 Описание локально - минимальных поверхностей в терминах (сингулярных) решений модели "Тирринг X Лиувилль" 73
2.3 Геометрия мирового листа в четырёхмерном простран стве-времени 84
Глава III. Гамильтонова динамическая система "Протяжённая частица" 91
3.1 Основные структуры гамильтонова формализма 91
3.2 Струнное действие и дополнительные условия . 103
3.3 Формулировка основного результата главы 110
3.4 Геометрические объекты на мировом листе 113
3.5 Отображение V W и топологический заряд . 121
3.6 Реконструкция V Л , динамика 131
Глава IV. Квантование и модели частиц 139
4.1 Общая схема и выбор квантовой статистики внутренних мод 139
4.2 Редукция jf'a(0 = 0 Модель массивной частицы с нулевым изоспином 145
4.3 Редукция /() = 0, ja{i) ^ const. Модель массивной частицы с произвольным спином s, изотопическим спином і и гиперзарядом Y 161
Заключение 175
Приложения 180
- Регулярные канонические переменные
- Описание локально - минимальных поверхностей в терминах (сингулярных) решений модели "Тирринг X Лиувилль"
- Формулировка основного результата главы
- Редукция jf'a(0 = 0 Модель массивной частицы с нулевым изоспином
Регулярные канонические переменные
Построим теперь регулярные канонические переменные для рассматриваемой модели, диагонали зующие пуассонову структуру (26). Применяя правило Лейбница, из скобок (ТМ(/,) Q(r))} находим: (Напомним, J3±{v) — l Tra Qi(??).) Нам понадобятся здесь также некоторые из скобок (21) и (22), а именно Введём вещественное регулярное векторное поле Даламбера Из (45) следует, что для компонент поля i?; 0, 1) справедливы такие скобки: Построим теперь из элементов матриц Ш±(1) регулярное спинор-ное поле. Введём обозначения для элементов матриц монодромии: В силу (40), опуская для краткости нижние индексы "±", имеем: Определим две вещественные функции: причём, по определению, если c(l) = 0, то (\na(t)T)(l))/c(l) = b(l). Прямая проверка показывает, что поле с компонентами является регулярным, при преобразованиях Пуанкаре плоскости 0 1 ведет себя как спинор и удовлетворяет свободному уравнению Дирака. Заметим, что выбранная динамика поля (С0, 1) естественно порождается зависимостью от параметра - времени - элементов матриц монодромии. Данная зависимость будет приведена ниже после обсуждения дискретного спектра. Скобки (47) показывают, что переменные с±, f)± каноничны: где s,p обозначения для знаков ±. В терминах введённого спи-норного поля w имеем: При этом, как следует из определения регулярного ПОЛЯ Bi 0 1) и из формулы (44) так что поля и и В{ - независимые свободные поля.
Как хорошо известно (см, например, [100, 153]), полный набор данных рассеяния для линейных систем общего вида содержит, кроме матриц монодромии, также и константы, характеризующие дискретный спектр соответствующих спектральных задач. Мы не будем давать здесь детального определения этих констант [100], а приведём лишь необходимые для дальнейшего их свойства. Значения спектрального параметра 17 при котором системы (28) имеют квадратично интегрируемые решения, мы будем обозначать символами а± и d, где п = 1,...,JV±, т — 1,...,М±. Для данных констант выполнены условия Вещественность матриц Q± означает, что а\ — — (а±) , dl± = {d±) дл Нам понадобятся здесь также некоторые из скобок (21) и (22), а именно Введём вещественное регулярное векторное поле Даламбера Из (45) следует, что для компонент поля i?; 0, 1) справедливы такие скобки: Построим теперь из элементов матриц Ш±(1) регулярное спинор-ное поле. Введём обозначения для элементов матриц монодромии: В силу (40), опуская для краткости нижние индексы "±", имеем: Определим две вещественные функции: причём, по определению, если c(l) = 0, то (\na(t)T)(l))/c(l) = b(l). Прямая проверка показывает, что поле с компонентами является регулярным, при преобразованиях Пуанкаре плоскости 0 1 ведет себя как спинор и удовлетворяет свободному уравнению Дирака. Заметим, что выбранная динамика поля (С0, 1) естественно порождается зависимостью от параметра - времени - элементов матриц монодромии. Данная зависимость будет приведена ниже после обсуждения дискретного спектра. Скобки (47) показывают, что переменные с±, f)± каноничны: где s,p обозначения для знаков ±. В терминах введённого спи-норного поля w имеем: При этом, как следует из определения регулярного ПОЛЯ Bi 0 1) и из формулы (44) так что поля и и В{ - независимые свободные поля.
Как хорошо известно (см, например, [100, 153]), полный набор данных рассеяния для линейных систем общего вида содержит, кроме матриц монодромии, также и константы, характеризующие дискретный спектр соответствующих спектральных задач. Мы не будем давать здесь детального определения этих констант [100], а приведём лишь необходимые для дальнейшего их свойства. Значения спектрального я некоторых 7Ї, т, I, к, причём возможно п = т, I = к. Константы с± и Ь±, дополняющие введённое выше множество (a± d±)? обладают свойствами Введём следующие обозначения: Используя скобки (37), (40) и формулы (49)-(51), прямой проверкой убеждаемся, что причем введённые дискретные переменные имеют нулевые скобки с каноническими полями Вии. ]
Динамика переменных р\ и q±, также как и динамика свободного спинорного поля ш, определяется зависимостью от времени данных рассеяния. Используя (12), стандартным способом [100] находим: О.А _ ап±Ки;0 = a±(l) b±(0exp(±2i/)\ с±(0ехР( 2 ) ъ±[1) ) так что а± = ( =0, Для констант Ь\ и с получаем: Данные формулы определяют динамику дискретных переменных: Для того, чтобы сделать описание системы полей ф и 0 в новых переменных Д, ш, 7 ±,9± полным, выразим в терминах последних тензор энергии-импульса Wyf 0, 1). Для этого удобно свести пару спектральных задач (28) к обобщенным задачам Захар ова-Ш абата [154]. Сделаем для этого преобразование 5±(/,0 удовлетворяют линейным системам
Описание локально - минимальных поверхностей в терминах (сингулярных) решений модели "Тирринг X Лиувилль"
Уравнения (5) модели ВЗНВ, полученные в предыдущем параграфе для некомпактной группы SL{2, Л), могут быть связаны с моделью "Тирринг х Лиувилль". Запишем разложение Гаусса [160] для матрицы К 0, 1) : которое, как известно, однозначно определяет вещественные числа р и а± для всех К Є 5L(2,J?) за исключением тех матриц, у кото рых Ац = 0- Последнее равенство можнет быть записано в виде так что разложение (6) однозначно определяет сингулярные, вообще говоря, функции р = ( 0) 1) и а± — ct 0, 1). Исходя из (5) и (6), несложно получить систему уравнений, которой должны удовлетворять поля (р и а±: Введём обозначения р± = (д±ат)е . Заметим, что в задаче Коши для полученной системы набор начальных данных ( , ф, а±, oi±) при 0 эквивалентен набору (9?, ф} аг±, р±). Это означает, что функции р± мы можем рассматривать далее как динамические переменные, а вместо системы (8) - (9) рассматривать следующую, эквивалентную ей: Таким образом, мы получили уравнения модели "Тирринг х Ли-увилль", детально исследованые в первой главе. Напомним, регулярные решения системы (10) - (12) впервые изучались в работе [121] для случая р± 0. В нашем случае функции р±(±) являются динамическими переменными (канонически сопряженными для "конфигурационных" полей а±), причём какие-либо ограничения типа неравенств на них отсутствуют. Система (10)-(12) обладает широкой группой инвариантности /С, которая обобщает группу (0,8). Действительно, справедливо Предложение 2.2 Пусть функции 9? (+,_), р±(±) « а±(+ -) удовлетворяют системе (10)-(12), а дифференцируемые функции f±{Q 9±{Q и A±{Q где Af_A + ф О, произвольны. Тогда преобразование вновь даёт решение рассматриваемой системы, если Доказательство заключается в непосредственной проверке сделанного утверждения.
Покажем, что преобразования вида а± — а± + ± в точности соответствуют произволу (3) в выборе светоподобных векторов п±. Действительно, в силу (4) имеем Используя определение величин а± (разложением Гаусса), а также тот факт, что К = TlTjjT1, находим, что матрицы Т± при преобра зованиях а± —» а± + д± преобразуются как где В терминах матричных элементов іг ;± это означает, что С учетом явных формул (14) - (17), такие преобразования матричных элементов приводят к преобразованиям вида (3). Подчеркнём ещё раз, что система нелинейных уравнений (10) - (12) была выведена без наложения какой-либо калибровки, так или иначе фиксирующей остаточный репараметризационный произвол (0.8). Это означает, что среди преобразований найденной выше группы К есть, во-первых, преобразования, связывающие различные мировые листы и, во-вторых, преобразования, отвечающие репараметризации фиксированного мирового листа. Последние образуют некоторую подгруппу К,х С /С. Исследуем преобразования из подгруппы Кх более подробно. Выше было показано, что преобразования вида ос± -» а±+д± заведомо мировой лист не меняют, так что далее рассмотрим случай, когда д± 0. Учитывая явное выражение (6) для матрицы К( , ), вновь используя представление К — TLT+ , при указанных преобразованиях имеем: С помощью данной формулы, а также явных выражений (14) - (17), находим закон преобразования векторов д±х и п±: Обратим теперь внимание на такой факт: в предыдущих построениях под символами д±х. понимаются любые светоподобные векторы, удовлетворяющие требованиям Предложения 2.1. То, что символы д± означают производные, нигде использован не был. Однако именно это обстоятельство придает объектам 9±х дифференциально - геометрический смысл векторов, касательных к заданному мировому листу. Такие векторы при репараметризациях (0.8) должны преобразовываться специальным образом. Итак, рассмотрим такую репараметризацию какого-либо мирового листа {х(+,_)}. Лист фиксирован, так что
Формулировка основного результата главы
Струнные модели, рассмотренные в 3.2, допускают описание в терминах динамической системы "Протяженная частица". Точный результат формулируется в виде теоремы, доказательству которой посвящены последующие параграфы главы. Теорема. На пространстве Н определён вещественный функционал обладающий следующими свойствами: 1. функционал Фі - Пуанкаре - инвариантный интеграл движения; 2. равенства Ф = О (г = 1,2,3) являются в пространстве Ті системой связей первого рода; 3. поверхность связей имеет подмножество V С V такое} что: подмножество V всюду плотно2 в множестве V , т. е. существует непрерывное взаимно - однозначное соответствие Vf— -V/, где множество V определено в предыдущем параграфе; слоение множества V, задаваемое скобкой { , } и гамильтонианом HQ, переходит при соответствии і в слоение множества V , задаваемое скобкой { , } и гамильтонианом 4- нетеровские значения энергии - импульса и момента для струнной конфигурации (Хц. ±) совпадают с координатами Р и Мци точки пространства Ті , в которую указанная конфигурация отображается соответствием г . Таким образом, связь между двумя рассмотренными динамическими системами такова: 2 Топологический смысл замыкания поясняется на стр. 129 Множество V далее мы будем называть струнным сектором динамической системы "Протяжённая частица".
Оправдано это тем, что указанный в формулировке теоремы изоморфизм позволяет описывать струны 3.2 в терминах точек х Є V . Действительно, соответствие № сохраняет как все допустимые степени свободы, так и динамику. Что касается пуассоновых структур {-, }i и { ,} , заметим следующее. Известно, что корректное сужение скобки на подмногообразие возможно тогда и только тогда, когда это подмногообразие является объединением симплектических листов [168]. В нашем случае это не так - ни функционал HQ (напомним, связь HQ — 0 определяет подмногообразие V), ни функционал Фі анну-ляторами соответствующих скобок не являются. Следовательно, множества V и V как пуассоновы многобразия рассматриваться не могут. Поскольку этот факт важен для струнной интерпретации динамической системы "Протяжённая частица", прокомментируем его подробнее. Пусть F и G - некоторые функции, определённые на каком-либо подмногообразии V С T-Lu- Тогда V будет являться, по определению, пуассоновым (см., например, [169]), если "естественная" скобка функций F, G на V где F, G - гладкие продолжения функций F и G на объемлющее пуассоново многообразие %іе, не зависит от способа этого продолжения. Ясно, что в нашем случае такая зависимость есть. Пусть, например, F, G - некоторые фиксированные продолжения каких -либо функций F и G на пространство Ни. Тогда функции также будут продолжениями. Очевидно Аналогичные рассуждения справедливы для поверхности связей V и пространства W. Таким образом, множества V и V с точки зрения классической теории равноценны: на них нет структур, которые нарушались бы соответствием г . Заметим, что сами фазовые пространства Н\ и W как пуассоновы многообразия не изоморфны. Схематически представленная в данном параграфе конструкция изображена на рис Л. Цель последующих параграфов третьей главы - доказательство сформулированной выше теоремы.
В данном параграфе будут определены ряд вспомогательных геометрических объектов и конструкций, введение которых здесь является возможным (и естественным) благодаря дополнительным условиям (17). Введём обозначения: Определим далее пару векторов N±: Выполнение равенств (14) и (17) означает, что данные векторы являются светоподобными и удовлетворяют условиям:
Редукция jf'a(0 = 0 Модель массивной частицы с нулевым изоспином
Рассмотрим квантовую версию динамической системы "Протяжённая частица" с указанным в заглавии параграфа ограничением (У а = 0,..., 3). Выше было доказано, что в струнном секторе V выполнение тождеств ja = 0 соответствует редукции теории (3.8) к открытой релятивистской струне, на мировом листе которой определено некоторое всюду постоянное (но ненулевое) спинорное поле. Как следует из определения топологического заряда п (см. 3.5), выполнения условий ja = 0 достаточно, для того, чтобы п = 0. Далее мы покажем, что при п ф 0 для отдельных конфигураций фазовое пространство внутренних переменных Ни (см. стр. 95) является алгеброй su(2) как пуассоново многообразие. Для таких конфигураций естественно вводится понятие изотопического спина і; в иных случаях, в частности, в данном параграфе, положим I = 0 по определению. Введём в рассмотрение следующие объекты: операторы рождения и уничтожения b , Ь , порождающие про странство Фока Н/ и удовлетворяющие каноническим комму тационным соотношениям некоторую последовательность неотрицательных чисел В соответствии со сказанным в предыдущем параграфе, квантовые состояния рассматриваемой (редуцированной) системы являются векторами пространства
Далее необходимо убедиться, что связь (3.53) не приводит к противоречию. Более точно, будет указан однозначный способ выбора последовательности (s) такой, что ненулевые векторы состояния Itfpkys) Є Н, допустимые условием связи (3.53), существуют и имеют конечную норму. Определим операторо значную функцию Прямой проверкой убеждаемся в справедливости коммутационных соотношений В данном параграфе мы будем рассматривать только динамические переменные вида где 7 - полином степени т конечного числа переменных АІ , каждая из которых может быть одной из следующих величин: о компонента 4-импульса Рр; о компонента момента M v\ о интеграл вида Ядро (р Є ї?2іг( ) в указанных интегралах не является вырожденным и зависит только от разностей & — ,-. В качестве функций /;() допустима одна из следующих: 2. Первообразные вида /" ... .г f(j))dr], где символ р означает взятие первообразной и последующее вычитание нулевой моды: 3. Функции, комплексно-сопряжённые указанным. Коэффициенты полинома Т"1 - произвольные дифференцируемые функции величин Р2 и 52. Квантование Т рассматриваемой динамической системы - это отображение где 7 = а Ъ/Оо естественный безразмерный параметр теории, а символами Р и М „ обозначены соответствующие операторы, действующие в пространствах Н в. Правила построения функций от операторов приняты такие: 1. в указанных интегралах определение F аналогично определению /; 2. в полиноме Тт где суммирование ведётся по всем перестановкам чисел 1,...,. Таким образом, наблюдаемые рассматриваемого вида однозначно определены как операторы в пространстве Н (при этом оператор Ъп понимается как ф;і8(Ьп 1) и т.д.).
Как отмечалось выше, связь Ф% = 0 приводит к уравнению (4), отбирающему векторы состояния "физического" пространства Hphys Н. Её явный вид для рассматриваемой редукции ja = 0 выведен в Приложении АЛ. (см. формулы (А.13) и (А.14). Заметим, что разные формы записи одних и тех же связей могут приводить к неэквивалентным теориям уже на классическом уровне [174]. При переходе на квантовый уровень, как правило, это заведомо так, поскольку при любом способе квантования для двух произвольных наблюдаемых 71, % вообще говоря
