Физика частиц и космология в моделях с дополнительными пространственными измерениями и с нарушением Лоренц- инвариантности Либанов Максим Валентинович

Содержание к диссертации

Введение

1. Происхождение фермионных поколений и иерархия масс в моделях с большими дополнительными измерениями 46

1 Общее рассмотрение 46

1.1 Вихрь в шестимерном пространстве-времени 47

1.2 Спиноры в поле вихря 50

1.3 Фермионные массы 56

1.4 Калибровочный вихрь: реалистическая массовая матрица фермионов 62

1.5 Нейтрино 67

1.6 Калибровочные поля Стандартной модели 76

2 Иерархия масс фермионов 81

2.1 Численное нахождение устойчивых вихревых конфигураций 81

2.2 Значения масс фермионов 89

2.3 Модель со смешиванием 96

3 Сфера S2 как пример компактных измерений 100

3.1 Вихрь на сфере 101

3.2 Фермионные нулевые моды в поле вихря на сфере. 106

3.3 Иерархия поколений 114

3.4 Векторные поля 117

3.5 Взаимодействие фермионов с калибровочными бозонами 121

4 Поиск дополнительных измерений в редких процессах 130

4.1 AG — 0: распады каонов 131

4.2 AG = 1: нарушение лептонного числа 134

4.3 AG = 2: разность масс KL — Ks и СР-нарушение в физике каонов 136

4.4 Ускорительные эксперименты 139

5 Бозон Хиггса 143

5.1 Амплитуда фонового поля Хиггса 145

5.2 Подстройка параметров 147

5.3 Бозон Хиггса в эффективной четырёхмерной теории. 152

2. Эффекты нарушения Лоренц-инвариантности, связанного с существованием дополнительных измерений 156

1 Влияние нарушения Лоренц-инвариантности на спектр кос мологических возмущений 157

1.1 Описание модели 157

1.2 Статическая фоновая метрика 161

1.3 Инфляция с не зависящими от времени параметрами. 163

1.4 Инфляция с медленно изменяющимся во времени параметром 168

1.5 Явный пример 175

2 Модель с сильным влиянием нарушения Лоренц-инвариант ности на спектр космологических возмущений 180

2.1 Описание модели 181

2.2 Рождение локализованных на бране возмущений. 189

3 О существовании статических метрик, нарушающих Лоренц- инвариантность 196

3.1 Постановка задачи 196

3.2 Теорема о несингулярных статических метриках. 200

3.3 О необходимости условий теоремы 206

3. Нарушение Лоренц-инвариантности и ускоренное расшире ние Вселенной 211

1 Спонтанное нарушение Лоренц-инвариантности и модифика ция гравитации в модели с векторными полями 211

1.1 Свойства модели: общее рассмотрение 212

1.2 Состав полей и лагранжиан модели 218

1.3 Спектр возмущений без учёта гравитации 221

1.4 Спектр возмущений в общековариантной теории. 225

1.5 Гравитационный потенциал статического источника. 229

1.6 Космологическая эволюция 230

2 Космологическая эволюция тёмной энергии, нарушающей Лоренц-инвариантность, с промежуточной фантомной эпохой 232

2.1 Модель, нарушающая Лоренц-инвариантность 232

2.2 Эволюция тёмной энергии 235

2.3 Численный анализ системы 241

2.4 Характерные импульсы нестабильностей 247

2.5 Анизотропия реликтового излучения, индуцированная тахионными флуктуациями тёмной энергии 257

Заключение 285

• Спиноры в поле вихря
• Калибровочные поля Стандартной модели
• Фермионные нулевые моды в поле вихря на сфере.
• Поиск дополнительных измерений в редких процессах

Введение к работе

В последние несколько десятилетий достигнут значительный прогресс в понимании физики микромира, а также эволюции Вселенной. Этот прогресс в первую очередь связан с созданием объединённой теории электрослабых взаимодействий [1, 2, 3], а также теории сильных взаимодействий [4, 5, 6]. Объединение этих двух теорий приводит к Стандартной модели (СМ) - теории, основанной на калибровочной группе S77c(3)1. С другой стороны, успехи в понимании эволюции Вселенной связаны с созданием теории инфляции [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15], а также с применением СМ к описанию процессов, происходящих на ранней стадии развития Вселенной.

Несмотря на то, что СМ с успехом справляется с описанием физики микромира при энергиях < 1 ТэВ, а возможно, и больших, эту теорию нельзя рассматривать как фундаментальную. Даже если не принимать во внимание того, что по всей видимости электрослабые и сильные взаимодействия объединяются в рамках моделей Великого объединения (см., например, исторически наиболее ранние работы на эту тему [16, 17, 18, 19]), СМ в любом случае нельзя использовать для описания явлений при энергиях, сравнимых с массой Планка² Мрі = 1.2 10¹⁹ ГэВ. При таких энергиях сила гравитационного взаимодействия становится сравнимой с силами других взаимодействий, и необходимо учитывать эффекты квантовой гравитации. Таким образом, СМ можно рассматривать только как эффективную низкоэнергетическую теорию, в лучшем случае справедливую до масштаба Мрь (либо до масштаба Великого объединения ~ 10¹⁶ ГэВ).

^хДля описания физики нейтрино Стандартную модель, в её буквальной трактовке, необходимо расширить, чтобы по крайней мере два из трёх сортов нейтрино получили массу.

²Во всей диссертации используется система единиц, в которой h = с = 1. По поводу этого и других соглашений и обозначений см. Приложение А.

CM сама по себе, будучи перенормируемой теорией [20, 21, 22], не содержит внутренних противоречий. Однако рассмотрение СМ как эффективной теории с масштабом обрезания, скажем Mpl, приводит к проблеме, называемой проблемой калибровочной иерархии (см., например, [23]). Дело в том, что в СМ массы всех частиц возникают за счёт спонтанного нарушения калибровочной симметрии (механизма Хиггса) [24, 25]. Характерный энергетический масштаб этого нарушения задаётся вакуумным средним хиггсовского поля Vsm — 250 ГэВ. Соответственно массы всех частиц, в том числе и до сих пор необнаруженного бозона Хиггса, должны быть, по грубому, сравнимы с этим масштабом. Наличие в теории столь сильно отличающихся масштабов Мрь и Vsm само по себе не только вызывает удивление, но и сигнализирует о присутствии внутренних противоречий: весьма проблематична возможность последовательного рассмотрения такой сильной иерархии при учёте радиационных поправок [26]. Трудность заключается в том, что радиационные поправки к квадрату массы хиггсовского бозона могут быть порядка квадриро-ванного масштаба обрезания, т.е. Mj>_L - это так называемая проблема квадратичных расходимостей. С такими поправками малая масса скалярного поля (~ Vsm) может быть получена только за счёт очень тщательного подбора параметров в каждом порядке теории возмущений. Отметим здесь, что масса хиггсовского бозона не может быть очень большой (должна быть меньше 1 ТэВ), так как в противном случае в СМ в древесном приближении будет нарушена унитарность [27, 28].

Другой проблемой, присутствующей в СМ, является загадка удвоения или дублирования фермионных поколений и тесно связанная с ней проблема иерархии масс фермионов. Как известно, в состав полей СМ входят три поколения фермионов, не отличающихся никакими квантовыми числами, но имеющих существенно различную массу. Так, напри-

мер, наблюдаемое отношение между массой t—кварка, m_t — 175 ГэВ, и массой электрона, т_е ~ 0.5 МэВ, превышает 10⁵. Включение в рассмотрение нейтринного сектора приводит к увеличению значения отношения массовых параметров ещё на шесть порядков. Если мы ставим задачу построить теорию, низкоэнергетическим пределом которой является СМ, то получение вышеуказанной большой величины можно сформулировать как отдельную проблему иерархии фермионных поколений. Помимо механизма получения иерархии фермионных масс в теории должна восстанавливаться иерархическая структура матрицы смешивания Кабиббо-Кобаяси-Маскавы (ККМ) [29, 30].

Ещё одной загадкой, имеющей иерархический характер pi возникающей при включении в рассмотрение гравитации, является проблема космологической постоянной, или проблема тёмной энергии, и наблюдаемое ускоренное расширение Вселенной [31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42] (см. также обзоры на эту тему и ссылки в них [43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57]). Причиной ускоренного расширения Вселенной могут являться ненулевая космологическая постоянная, т.е. плотность энергии вакуума, новые слабовзаимодействующие поля, модифицированная гравитация или какой-нибудь иной вид тёмной энергии. Проблема заключается в том, что величина плотности тёмной энергии очень мала:

ГэВ р_А ~ 0.73р_с ~ 4 10"⁶—_Т ~ 3.1 Ю^-12 эВ⁴,

где р_с - полная плотность энергии во Вселенной. Она на много порядков меньше величин той же размерности, которые могли бы появиться в результате сильного, слабого и гравитационного взаимодействий,

_РА ~ ю-⁴⁵л⁴_хд - 10-⁵⁷ - 10'¹²⁴M⁴_L, здесь Л_Кхд — 200 МэВ - энергетический масштаб сильных взаимодей-

ствий. Такое различие в масштабах и есть проблема космологической постоянной.

Совершенно очевидно, что для решения указанных выше проблем необходимо привлечь новые физические концепции и идеи. Так, например, проблема квадратичных расходимостей может быть решена в суперсимметричных теориях [58]. Суперсимметрия также помогает в решении проблемы иерархии поколений (см., например, [59] и обзор [60]). Суперсимметричные обобщения СМ хорошо изучены (см., например, [61, 62]). В настоящее время поиск подтверждения этих теорий является одной из основных задач экспериментальной физики. Стоит подчеркнуть, что суперсимметричные теории не решают проблему калибровочной иерархии, т.е. не отвечают на вопрос, почему в теории присутствуют два столь различных масштаба Vsm и Mpl, а лишь устраняют наиболее опасное проявление калибровочной иерархии - проблему квадратичных расходимостей. Кроме того, суперсимметричные теории не решают загадки дублирования поколений.

Сравнительно недавно появился новый подход к решению проблемы калибровочной иерархии. Этот подход основан на предположении, что наше пространство имеет несколько дополнительных пространственных измерений большого размера [63, 64] (см. также обзор по этой теме [65]). Гипотеза о том, что наше пространство может иметь более трёх пространственных измерений не нова. Так, вскоре после создания общей теории относительности появились первые попытки синтеза электромагнитных и гравитационных взаимодействий за счёт введения одного компактифицированного дополнительного пространственного измерения (теории Калуцы-Клейна [66, 67, 68]). Более того, теории струн и М-теории, допускающие последовательное квантовое описание гравитации, в большинстве случаев могут быть сформулированы самосогласованным образом

только в пространстве-времени с числом измерений, большим четырёх (см. книгу [69] и библиографию в ней, а также, например, обзоры [70, 71]). Поскольку наблюдаемый нами мир существенно четырёхмерный, то основной задачей многомерных теорий является то, как скрыть дополнительные измерения (ДИ). Обычно, в духе модели Калуцы-Клейна, считается, что ДИ должны быть компактифицированы, причём их размер, определяемый гравитационным взаимодействием, должен быть порядка плаиковской длины Lpi, — Мр\ ~ Ю^-33см (см., однако, работы [72, 73, 74, 75], в которых обсуждалась компактификация на электрослабом масштабе). Конечно, такой малый размер ДИ делает их бесполезными с точки зрения феноменологических проявлений. Революционным оказалось простое наблюдение, сделанное в работе [63]. Авторы этой работы предположили, что масса Планка многомерной «фундаментальной» теории может отличаться от «эффективной» четырёхмерной массы Планка. Действительно, пусть наше пространство имеет ещё d ДИ. Пусть, для простоты, все эти измерения компактифицированы с радиусом ком-пактификации R, а фундаментальную (4 + <і)-мерную массу Планка обозначим за Mji+d- Ясно, что закон Ньютона на расстояниях меньших R, представляет собой (4 + cQ-мерный закон с (4 + с?)-гравитационной постоянной M^_d '. Этот закон должен переходить в обычный четырёхмерный закон Ньютона на расстояниях порядка R. Откуда немедленно можно получить связь [63] (см. также [65], где эта формула получена из рассмотрения действия для гравитационного поля)

Mp_L ~ М_м {M_MR)2 (1)

с точностью до множителя порядка единицы, зависящего от деталей ком-пактификации. Конечно, если в этой формуле положить Мд+d = Mpl, то мы придём к хорошо известному результату R ~ Lpl. С целью решить

проблему калибровочной иерархии предположим, что M^+d ~ 1 ТэВ. Тогда при d — 1 получим R ~ 10¹⁵ см, что феноменологически неприемлемо; R ~ 2 мм при d = 2; R ~ 10~⁶см при d — 3; при d = 6 (десятимерная теория струн) — І? ~ Ю^-12 см. В настоящее время закон Ньютона экспериментально проверен вплоть до 56мкм [7б]³. Видим, что наиболее близко экспериментальное ограничение соответствует случаю d = 2. Этот случай широко обсуждался в литературе (см. обзор [65]). Были изучены различные феноменологические следствия, проявляющиеся в ускорительных экспериментах [79, 80, 81, 82, 83, 84], в космологии [81, 85] и в астрофизике [81, 86, 87, 88]. Основной вывод, полученный в этих работах, заключается в том, что наиболее правдоподобная оценка снизу на фундаментальную шестимерную массу Планка составляет 30 ТэВ. Эта величина соответствует радиусу компактификации R ~ 1-^10 мкм, что немного ниже ограничения 44 мкм, полученного из прямой проверки закона Ньютона [76]. Отметим здесь два момента. Во-первых, формула (1) получена в предположении, что все ДИ имеют одинаковый радиус компактификации. Конечно, нет никакой гарантии, что это именно так. Может случиться, что два ДИ компактифицированы с радиусом R ~ 1 -f- 10 мкм, а остальные ДИ имеют значительно меньший радиус компактификации. Это означает, что отклонение от закона Ньютона может быть на микрометровом масштабе и при d > 2. Во-вторых, гипотеза о больших ДИ не решает проблему иерархии, а лишь переформулирует её на новом (геометрическом) языке: необходимо объяснить, почему радиус компактификации так велик,

R Vsm ~ Ю¹³.

Тем не менее, вполне вероятно, что эту проблему будет гораздо проще

³Стоит отметить, что гипотеза о больших ДИ стимулировала проверку закона Ньютона на малых расстояниях. Так в 1998 г. ограничение на расстояние, на котором изменяется закон Ньютона, было на уровне нескольких миллиметров (см. обзор [77]), а в 2000 г. оно уже составляло 0.2 мм [78].

решить.

Возникает вопрос, а что происходит с другими полями СМ? Ведь никаких проявлений существования ДИ в негравитационных взаимодействиях не обнаружено вплоть до расстояний Vg^ ~ Ю^-16 см. Очевидно, необходим механизм, позволяющий скрыть ДИ от полей СМ. Для фермионов такой механизм был предложен достаточно давно [89, 90, 91, 92]. В простейшей модели такого типа имеются одно ДИ и скалярное поле, образующее топологический дефект - доменную стенку, или кинк, - со-литоноподобное решение, возникающее в моделях со спонтанным нарушением глобальной ^-симметрии. Спектр оператора Дирака во внешнем поле кинка имеет [93] нулевую моду, локализованную вблизи доменной стенки, причём размер области локализации имеет порядок (gv)^-1, где д - константа взаимодействия спинорного поля с полем кинка и v - вакуумное среднее последнего. Высшие (ненулевые) возбуждения отделены от нулевой моды энергетической щелью порядка gv. С четырёхмерной точки зрения нулевая мода представляет собой безмассовый киральный фермион, а высшие моды являются массивными фермионами с массами > gv. Если величина gv достаточно велика, gv > Vsm, то в спектре четырёхмерной низкоэнергетической теории отсутствуют тяжёлые возбуждения, и ДИ оказывается скрытым. Для того чтобы воспроизвести весь фермионный состав СМ, необходимо ввести три поколения пятимерных фермионов, причём каждый фермион будет давать нулевую моду определённой киральности, локализованную вблизи доменной стенки или, как говорят, браны. Малые (по сравнению с энергетическим масштабом локализации gv) массы нулевые моды фермионов приобретают в результате взаимодействия с полем Хиггса, которое имеет (нетривиальный) профиль в ДИ. Интересно, что таким образом можно решить проблему иерархии масс фермионов [94, 95, 96, 97, 98, 99]. Действительно, если максимумы

фермионных волновых функций находятся в разных точках ДИ, то интегралы перекрытия, определяющие массы четырёхмерных фермионов, могут экспоненциально отличаться для разных поколений.

Описанный выше сценарий можно обобщить и на большее число ДИ. Так в случае двух ДИ топологическим дефектом может служить как глобальный, так и калибровочный вихрь Абрикосова-Нильсена-Олесена (АНО) [100, 101]; в случае трёх - монополь [102, 103] и т.д. Включение в рассмотрение двух и более ДИ позволяет не только объяснить иерархию фермионных масс, но и решить загадку дублирования фермионных поколений [104], что является одним из важнейших результатов настоящей диссертации.

Основная идея заключается в следующем. Предположим, что пространство имеет два или более ДИ, а наш мир представляет собой топологический дефект в таком пространстве. Кроме того, будем считать, что в многомерном пространстве существует только одно фермионное поколение. При определённом выборе взаимодействия этого фермионно-го поколения с полями, формирующими топологический дефект, могут возникнуть киральные (с четырёхмерной точки зрения) фермионные нулевые моды, локализованные на дефекте. Во многих случаях теорема об индексе гарантирует, что число таких нулевых мод совпадает с топологическим числом дефекта (см., например, [69, 105, 106]; явные выражения для фермионных волновых функций в различных внешних полях приведены в работах [93, 107, 108]). При этом нулевые моды будут, например, различаться проекцией углового момента или другими квантовыми числами, связанными с возможными симметриями топологического дефекта. По этой причине функциональная зависимость волновых функций нулевых мод от координат ДИ будет различна. С точки зрения четырёхмерного наблюдателя, живущего на топологическом дефекте (бране), эти

нулевые моды представляют собой безмассовые киральные фермионы, несущие одинаковые заряды по калибровочной группе СМ. Таким образом, в случае возникновения трёх нулевых мод их молено отождествить с безмассовыми фермионами трёх поколений СМ, а номер поколения будет соответствовать проекции углового момента, т.е. иметь геометрическую природу. Для того чтобы фермионы приобрели массы, необходимо ввести их взаимодействие с полем Хиггса, также имеющим нетривиальную зависимость от координат ДИ. В результате эффективные массы ферми-онов будут выражаться в виде некоторых интегралов по координатам ДИ от произведений поля Хиггса и фермионных волновых функций. В силу того что волновые функции разных поколений (с разными угловыми моментами) имеют различные профили в ДИ, массы фермионов будут также различны, и при некоторых условиях их отношения будут иметь иерархическую структуру. Работоспособность описанного подхода была продемонстрирована в работе [104] на примере глобального вихря.

Эта идея нашла своё дальнейшее развитие в последующих работах. Так в работе [109] была предложена модель, в которой в качестве топологического дефекта был выбран калибровочный вихрь АНО (соответственно число ДИ равно двум). В этом случае за счёт расширения скалярного сектора модели (введения ещё одного скалярного поля) естественным образом возникают не только диагональные массовые члены фермионов, но и ненулевые недиагональные элементы, приводящие к нетривиальной матрице смешивания ККМ с правильной иерархической структурой. В работах [ПО, 111] был проведён численный анализ возникающей иерархии масс фермионов как в случае глобального, так и в случае калибровочного вихря. Было показано, что в случае глобального вихря возникающая иерархия имеет неправильную структуру: первое (лёгкое) поколение имеет параметрически такую же массу, как и второе (среднее). В случае же

калибровочного вихря получаемые отношения масс фермионов согласуются с наблюдаемыми. Причина заключается в том, что калибровочное поле вихря привносит небольшое притяжение мод к вихрю, причём это притяжение оказывает наибольшее влияние на тяжёлую моду с нулевым моментом, что в конечном счёте, в силу того что тяжёлая и лёгкая моды образуют один шестимерный спинор, сказывается на нормировке лёгкой моды и приводит к параметрическому уменьшению массы лёгкой моды по сравнению со средней. Стоит отметить, что представленная модель обладает достаточно большой предсказательной силой. Так, например, девять параметров СМ, характеризующих массы кварков: шесть масс кварков и три угла смешивания, фитируются семью параметрами рассматриваемой модели⁴.

Далее, в работе [112] была продемонстрирована принципиальная возможность объяснения существования малой массы нейтрино в модели [109]. При этом, с одной стороны, удалось обойти проблему с быстрым остыванием суперновых [113, 114], обычно возникающую при объяснении малой массы нейтрино за счёт введения ДИ (см., например, [115, 116]), а с другой стороны, не пришлось вводить три дополнительных спинора (играющих роль правых нейтрино), что шло бы вразрез с основной идеей о происхождении трёх поколений из одного. Предложенный механизм позволяет дать массу двум нейтрино СМ, что не противоречит современным наблюдательным данным - в настоящее время доступны наблюдению только квадраты разности масс нейтрино.

Интересным и важным следствием моделей [104, 109] является то, что, в силу того что источником поколений служит одно шестимерное поколение, могут (и будут) происходить процессы с нарушением аромата-нейтральными токами [117]. Действительно, шестимерные калибровоч-

⁴ Фаза ККМ матрицы является свободным параметром нашей модели.

ные бозоны взаимодействуют только с одним шестимерным пропоколе-нием, и в этом смысле нет отличия, скажем, между мюоном и электроном (их просто не существует с шестимерной точки зрения). Поэтому с четырёхмерной точки зрения невозможно запретить процессы с участием «части» пропоколения - нулевых мод - и мод нейтральных калибровочных бозонов (фотона, Z-бозона и глюонов). Однако четырёхмерные поколения отличаются своими волновыми функциями, в частности, их угловыми зависимостями, т.е. моментами. Это означает, что не всякие моды калибровочных бозонов смогут изменить номер поколения, т.е. аромат - это смогут сделать только те моды, которые несут подходящий ненулевой угловой момент. Моды же, несущие нулевой угловой момент, к которым относятся и нулевые моды бозонов (как состояния с наименьшей энергией), не смогут изменить аромат. Следовательно, такого рода процессы чувствительны только к высшим модам. Зная ограничения на вероятности таких процессов, можно найти ограничение на массы высших мод калибровочных бозонов. Однако, для того чтобы сделать это, необходим механизм локализации калибровочных бозонов. К сожалению, такого механизма в общем случае не существует, и это является основным недостатком моделей с большими ДИ. Главной проблемой при этом является сама калибровочная инвариантность и вытекающее из неё условие универсальности заряда. Более подробное обсуждение этой проблемы и путей её решения представленью в разделе 1.6 Главы 1 диссертации.

К счастью, для исследования феноменологии представленной модели нет необходимости знать конкретный механизм реализации локализации калибровочных полей. Достаточно знать только то, что такой механизм в принципе возможен, и он приводит к существованию постоянной нулевой моды калибровочного бозона, обеспечивающей универсальность заряда. Причём размер локализации калибровочного бозона может быть много

меньше, чем размер ДИ. Действительно, достаточно выбрать компактное многообразие такое, что, во-первых, в нём существовал бы вихрь и нулевые моды, локализованные на вихре, а во-вторых, чтобы на нём существовала нулевая мода калибровочного бозона, приводящая к универсальности заряда. Один из способов - это выбрать компактное замкнутое многообразие, например, сферу радиуса R, при этом радиус R надо рассматривать не как размер ДИ, а как размер локализации калибровочных полей. В работе [118] была построена модель, в которой пространство ДИ представляет собой сферу. Было показано, что несмотря на то, что пространство ДИ компактно, по-прежнему существует стабильный топологический дефект - калибровочный вихрь, на котором локализуются киральные фермионные нулевые моды. Также как и в модели [109] эти нулевые моды в результате взаимодействия с полем Хиггса приобретают массы, причём отношения этих масс имеют правильную иерархическую структуру, хотя и имеют другую зависимость от параметров модели. Таким образом, модель на сфере обладает всеми необходимыми свойствами, что и модель плоского случая [109].

Далее, в работе [117] был построен эффективный четырёхмерный лагранжиан взаимодействия нулевых мод фермионов и калуца-клейно-вских мод калибровочных бозонов, возникающих на сфере. Было показано, что в отсутствие смешивания процессы с нарушением номера поколения (AG ф 0) запрещены в силу закона сохранения углового момента. Однако процессы, сохраняющие аромат, но нарушающие закон сохранение лептонного числа, например, распад каона К\ —> //е, разрешены, и их вероятности подавлены только массами калуца-клейновских мод калибровочных бозонов. Включение в рассмотрение смешивания приводит к (небольшому) нарушению вращательной симметрии вихря, что, в свою очередь, разрешает процессы с нарушением номера поколения. При этом

вероятности таких процессов будут подавлены не только массами возбуждений калибровочных бозонов, но и малыми параметрами, ответственными за смешивание фермионов. Таким образом, можно ожидать, что наиболее сильные ограничения на массы (а значит, и на размер локализации) возбуждений калибровочных бозонов будут возникать из редких процессов с сохранением номера поколения. И действительно, в работе [117] были проанализированы вероятности редких процессов с AG — 0: распады каонов К\ —> fie и К⁺ —» тт⁺/і⁺е~; с AG = 1: процессы с нарушением лептонного числа fi —» ееё, /Ае-конверсия и fi —> Є7; с AG = 2: разность масс каонов К і — К$ и СР-нарушение в физике каонов. Было найдено, что наиболее сильное ограничение на размер локализации калибровочных бозонов

R < (60 ТэВ)-¹ (2)

возникает из рассмотрения распада каона К\ —> fie. Таким образом, характерной чертой предложенной модели является наблюдение распада каона К —» fie без наблюдений распадов fi —> ееё, fi —> ej и /іе-коиверсии на том же уровне точности (см. обсуждение в работах [119, 120, 121]).

Существование ДИ может проявиться не только в описанных выше редких процессах, но и в ускорительных экспериментах, особенно в процессах с нарушением аромата и с лептонами в конечном состоянии. Такая возможность была проанализирована в работе [122]. В частности, было найдено число событий рождения пар fie в год на Большом адронном коллайдере в зависимости от массы возбуждений векторных бозонов.

Предложенная модель, помимо предсказаний ненулевых вероятностей процессов с нарушением номера поколения, могла бы обладать интересным с феноменологической точки зрения хиггсовским сектором. Действительно, нулевые моды фермионов приобретают массы за счёт взаимодействия с внешним полем Хиггса, являющимся нетривиальной функ-

цией от координат ДИ. Эта функция отлична от нуля внутри кора вихря и стремится к нулю при удалении от него. С другой стороны, частица Хиггса соответствует возбуждению над этим классическим внешним полем, поэтому, в принципе, бозон Хиггса мог бы иметь свойства, отличные от свойств хиггсовской частицы СМ. В частности, молено было бы ожидать, что хиггеовский бозон окажется тяжелее, чем обычный хигг-совский бозон, или может оказаться делокализоваиным и, будучи рождённым на ускорителе, исчезнуть с нашей браны и начать свободно распространяться в ДИ. В любом случае можно было бы ожидать изменения в соотношениях между массой и константами связи при кубическом взаимодействии и взаимодействии четвёртой степени. Все эти необычные и интересные с феноменологической точки зрения свойства были изучены в работах [123, 124]. Оказалось, что из-за ограничения на радиус локализации калибровочных бозонов (2) характерная амплитуда классического решения для поля Хиггса в коре вихря должна быть малой по сравнению с характерными масштабами модели. Малость амплитуды хиггеовского поля означает необходимость введения некоторой тонкой подстройки параметров исходной модели и приводит к тому, что хиггсовская частица становится практически неотличимой от бозона Хиггса в СМ. Кроме того, в работах [123, 124] были приведены аргументы в пользу того, что бозон Хиггса в рассматриваемой модели должен быть лёгким, с массой, незначительно превышающей 100 ГэВ.

Гипотеза о существовании больших ДИ помогает не только объяснить необъяснимые (или пока необъяснённые) загадки, такие как обсуждались выше, но и приводит к новым эффектам, которые могут изменить традиционную точку зрения на окружающий мир. Одним из таких эффектов является нарушение Лоренц-инвариантности (ЛИ) [125, 126, 127, 128, 129, 130, 131]. Действительно, если ДИ запол-

нены какой-либо материей, то это, в общем случае, может привести к нарушению ЛИ в пространстве ДИ, так как при этом обычно возникает выделенная система отсчёта, связанная с наличием материи. Например, одним из хорошо изученных решений такого типа является брана, движущаяся в пространстве Шварцшильда-анти-де Ситтера [132, 133]. Другая возможность - это нарушение ЛИ в ДИ за счёт возникновения Лоренц-нарушающего конденсата [134]. Так как волновые функции полей, локализованных на бране, могут своими «хвостами» простираться достаточно далеко в дополнительное пространство, то они могут «чувствовать» Лоренц-нарушенную геометрию ДИ, что в конечном итоге приводит к Лоренц-неинвариантным дисперсионным соотношениям для четырёхмерных частиц (подчеркнём, что при этом геометрия браны подразумевается Лоренц-инвариантной). Более того, некоторые многомерные геометрии обладают возможностью «рождать», или «генерировать», моды в том смысле, что при малых трёхмерных импульсах существуют моды, локализованные или квазилокализованные на бране, в то время как при больших импульсах такие моды отсутствуют [130, 131]. Это свойство может повлиять на спектр первичных космологических возмущений. Действительно, во время расширения Вселенной трёхмерные импульсы испытывают красное смещение - «краснеют» - и все больше и больше мод появляется (рождается) на бране. При этом начальное состояние хорошо определено при условии, что моды при больших трёхмерных импульсах находятся в адиабатическом режиме в дополнительном пространстве.

Рассмотрение такого рода моделей может пролить свет на так называемую «транспланковскую проблему», которую коротко можно сформулировать следующим образом: «Принимая во внимание, что характерные, наблюдаемые нами сегодня, длины волн в космологических спектрах изначально были много короче длины Планка, можем ли мы что-либо ска-

зать о транспланковской физике, в частности, о нарушении ЛИ при план-ковских или даже более низких энергиях?» [135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156]. Действительно, стандартный инфляционный механизм возникновения космологических возмущений подразумевает ЛИ (подробное изложение стандартной четырёхмерной теории космологических возмущений можно найти в оригинальных работах [157, 158, 159, 160], либо в обзорах и книгах [161, 162, 163]), однако, ЛИ может быть нарушена не только при транспланковских, но и при более низких энергиях⁵, что и объясняет повышенный интерес к сформулированной выше проблеме.

В литературе можно найти несколько подходов к транспланковской проблеме. Один из них - это предположить, что дисперсионные соотношения при достаточно малых длинах волн не являются Лоренц-инвариантными [135, 136, 137, 138, 139, 140, 141]. Если при асимптотически больших импульсах соответствующие частоты превышают инфляционный параметр Хаббла, адиабатический вакуум (см. [169], а также книгу [170] и ссылки в ней) является естественным выбором начального состояния, и первичный спектр возмущений остаётся плоским для чисто деситтеровской инфляции [135, 136, 137, 138, 139], в то время как предсказания для наклона спектра могут отличаться от стандартных, если инфляция не является чисто деситтеровской. Противоположный случай малых частот при больших импульсах плохо поддаётся анализу: возмущения изначально находятся в неадиабатическом режиме, так что не существует предпочтительного начального состояния (исключение здесь представляет модель, предложенная в [140]).

Другой подход заключается в специальном предположении о началь-

⁵ Например, слабое нарушение ЛИ может быть привлечено для объяснения загадки космических лучей сверхвысоких энергий (см., например, [164, 165, 166], а также обзоры по проблематике космических лучей сверхвысоких энергий [167, 168]).

ном состоянии возмущений [142, 143, 144, 145]. Однако этот подход страдает следующим недостатком: сложно оправдать любой выбор вакуума, отличного от адиабатического, в то время как различные вакуумы приводят к ощутимо отличным спектрам возмущений [144, 145].

Ещё одна возможность заключается в рассмотрении моделей, допускающих рождение мод, т.е. в которых число мод растёт по мере расширения Вселенной [146, 147, 148, 149, 150]. Такая ситуация возникает, если, например, физический импульс эффективно ограничен сверху. Эта возможность по сути аналогична предыдущей: спектр возмущений существенно зависит от выбора состояния, в котором рождаются новые моды. Если это состояние является адиабатическим вакуумом, то получающийся спектр похож на стандартный, по крайней мере для чисто деситтеров-ской инфляции [148, 149, 150].

Таким образом можно заключить, что в наименее экзотических сценариях спектр возмущений является плоским для чисто деситтеровской инфляции, тогда как предсказания для наклона спектра в не деситте-ровском случае в общем могут отличаться от стандартных. Если масштаб энергий нарушения ЛИ к много больше хаббловского параметра во время инфляции, то, как показано из общих соображений, например, в работах [138, 151, 152], отклонения спектра от предсказываемого стандартным механизмом будут подавлены степенями Н/к. При этом, однако, не ясно, будет ли подавление порядка (Н/к)², или возможно более слабое подавление - этот вопрос вызвал достаточно широкое обсуждение в литературе (см., например, [151, 152, 171, 172]). С другой стороны, радикальные предположения, такие как, например, дисперсионное соотношение Корлей-Якобсона [173] с частотой, стремящейся к нулю при больших импульсах, ведут к радикальным последствиям: спектр может в значительной степени отличаться от стандартного даже для чисто де-

ситтеровской инфляции [135, 136, 141]. Кроме того, при к < Н свойства первичных возмущений могут существенно отличаться от стандартных даже в некоторых менее экзотических моделях, например, в модели [153], основанной на некоммутативной теории поля.

В этой связи модели с большими ДИ и нарушением ЛИ в дополнительном пространстве представляют особый интерес, в силу того что, как уже отмечалось, некоторые из них обладают свойством рождения мод, при этом начальное состояние для мод хорошо определено. Одной из целей настоящей диссертации является исследование такого рода теорий в контексте транспланковской проблемы. Так в работах [174, 175] было рассмотренно две модели, представляющие собой инфляционные версии модели типа [130, 131]. В этих моделях имеется одно ДИ'с «сжатым» пространством и бесконечно тонкой браной в нём⁶. Нарушение ЛИ в этих моделях возникает за счёт того, что пятимерная метрика не является Лоренц-инвариантной (хотя и сохраняет вращательную симметрию трёхмерного пространства): функциональная зависимость goo от координаты ДИ отличается от зависимости трёхмерной части метрики.

В работах [174, 175] мы изучили спектр возмущений безмассового скалярного поля, подразумевая, что оно описывает возмущения инфлатона и/или гравитационного поля. Основное отличие модели [174] от [175] заключается в том, что в первой эффективный потенциал для мод скалярного поля стремится к некоторой ненулевой константе при удалении от браны, и эта константа характеризует степень нарушения ЛИ, во второй же модели потенциал стремится к нулю, и степень нарушения ЛИ характеризуется координатой положения браны. Поведение потенциала на бесконечности определяет характер спектра возбуждений: если в мо-

⁶ Статическая версия модели представляет собой Лоренц-неинвариантный аналог известной модели Рэндалл-Сандрум [176].

дели [174] имеется локализованная на бране нулевая мода, отделённая от непрерывного спектра нелокализованных мод энергетической щелью, то в модели [175] нулевая мода оказывается вложенной в непрерывный спектр. Различный характер спектра скалярных возбуждений сказывается на спектре первичных космологических возмущений.

Так, в работе [174] был фактически подтвержден результат, полученный другими исследователями. В простейшей версии модели с не зависящими от времени параметрами дополнительного пространства спектр первичных возмущений, генерируемый во время инфляции, является плоским для чисто деситтеровской инфляции, однако его амплитуда в общем случае может отличаться от стандартного предсказания. Если к ^> Н, где к и Н по-прежнему масштабы, связанные с нарушением ЛИ и скоростью инфляционного расширения Вселенной соответственно, то отклонения от стандартного предсказания являются малыми. Было показано, что эти отклонения подавлены как ехр(—const к/Н), т.е. в этом отношении мы ничего не можем добавить к дискуссии по поводу того, насколько сильно подавлены эффекты нарушения ЛИ (и в общем случае «тяжёлой физики») в спектре первичных возмущений.

Гораздо более интересная картина возникает, если предположить, что параметры дополнительного пространства зависят от времени, так что к становится меньше Н к концу инфляции. Как пример был рассмотрен случай, в котором к медленно уменьшается со временем от к ^> Н на ранних стадиях до к < Н к концу инфляции. В этом случае первичный спектр, являясь плоским при малых импульсах, сильно вырастает при промежуточных импульсах и снова становится плоским при больших импульсах (см. рис. 2.5 на стр. 173). Импульсы, при которых спектр начинает расти, а также интервал импульсов, при которых спектр растёт, зависят от параметров модели. При этом интервал может состав-

лять несколько (необязательно много) порядков величины. Кроме того, и отношение амплитуд спектра при больших и малых импульсах может составлять несколько порядков величины⁷. В противоположном случае растущего со временем параметра к ситуация зеркально изменяется: при малых импульсах амплитуда спектра может превосходить на несколько порядков амплитуду при больших импульсах.

Такое поведение спектра легко понять. Действительно, если физический трёхмерный импульс больше к, то картина является существенно многомерной, и при к ~^> Н влияние высших нелокализованных мод на первичный спектр практически отсутствует. С другой стороны, если нарушение ЛИ характеризуется небольшими энергиями к < Н_: первичный спектр начинает сильно зависеть от деталей космологической эволюции во время инфляции, в частности от того, как много мод «оседает» на бране, и может сильно отличаться от стандартного приблизительно плоского спектра.

Стоит отметить, что случай с падающим во времени к интересен с феноменологической точки зрения. Если рассматриваемое скалярное поле интерпретировать как тензорные возмущения, то получаемый спектр соответствует большим (может быть очень большим) первичным амплитудам гравитационных волн при малых длинах волн⁸. Если это так, то возможное отсутствие влияния тензорных возмущений на спектр реликтового микроволнового излучения не исключает возможность обнаружения коротковолновых первичных гравитационных волн с помощью таких методов, как тайминг пульсаров или наземных интерферометров. Более того, так как интерферометры работают в достаточно широкой области

⁷Во избежание недоразумений скажем, что в ультрафиолетовой области спектр обрезается таким же образом, как и в стандартном механизме.

⁸Как обычно, гравитационные волны падают как обратный масштабный фактор после выхода из-под горизонта.

длин волн, то при удачном стечении обстоятельств будет возможно наблюдение очень необычного и интересного спектра реликтовых стохастических гравитационных волн в нашей Вселенной.

С другой стороны, случай с растущим к соответствует относительному усилению спектра в длинноволновом диапазоне, возможно, измеряемом через спектр микроволнового излучения. При этом отклонение от плоского спектра может быть потенциально измеримо с помощью экспериментов по поиску гравитационных волн в коротковолновой области.

В отличие от модели [174] результаты, полученные в работе [175], в некотором смысле оказались неожиданными. Во-первых, подавление вкладов в первичный спектр, возникающих из-за наличия ДИ, в сильной степени зависит от геометрии дополнительного пространства и может быть слабее, чем (Н/к)², и даже чем Н/к, что, очевидно, противоречит утверждению, сделанному в работах [151,152]. Во-вторых, вклад в спектр от нелокализованных мод усилен фактором є^-3, где є ещё один безразмерный малый параметр модели. Таким образом, при достаточно малом є эффекты, связанные с нарушением ЛИ, могут конкурировать и даже доминировать над стандартными инфляционными предсказаниями, несмотря на иерархию к ^$> Н\ Существует простая причина для такого усиления: нелокализованные моды, нарушающие ЛИ, выходят из-под космологического горизонта раньше и, следовательно, «замораживаются» с более высокой амплитудой, чем моды, локализованные на бране. Относительно большие возмущения, возникающие в дополнительном пространстве, затем частично трансформируются в возмущения на бране за счёт последующего (но всё ещё происходящего на инфляционной стадии) смешивания между нелокализованными и локализованными модами.

В модели [175] спектр дополнительных, возникающих за счёт наличия ДИ, возмущений является плоским при Н = const (в соответствии с

масштабными аргументами, приведёнными в работе [174]) и остаётся почти плоским для инфляции с медленно меняющимся параметром Хаббла. Однако амплитуда и наклон спектра определяются скоростью расширения на более ранних, по сравнению со стандартной теорией, этапах инфляции. В сценарии с медленным скатыванием это бы означало, что эта часть возмущений имела бы спектр с меньшим наклоном. Таким образом, потенциально наблюдаемым свойством является то, что первичные возмущения представляют собой сумму двух гауссовых полей с различными наклонами и амплитудами. Это свойство является характерной чертой модели [175] и, вероятно, целого класса моделей с нарушенной ЛИ в ДИ.

Таким образом, можно заключить, что в моделях с нарушением ЛИ в ДИ свойства космологических возмущений, генерируемых на инфляционной стадии, могут сильно зависеть от динамики в ДИ, даже если масштаб трёхмерных импульсов, при котором происходит нарушение ЛИ на бране, сильно превышает инфляционный хаббловский параметр. Стоит отметить, что эта динамика может быть совершенно отлична, скажем, для инфлатонных и гравитационных мод, так что стандартные соотношения между скалярными и тензорными возмущениями (см., например, [177, 178, 179]) могут быть полностью (или частично) нарушены.

Как уже отмечалось, рассмотренные модели обладают рядом преимуществ по сравнению с другими подходами к транспланковской проблеме: начальный спектр возмущений хорошо определён, и не возникает проблем с обратным влиянием возмущений на фоновую метрику. Таким образом, такого рода модели представляют собой удобный полигон для исследования транспланковской проблемы. Однако эти модели страдают от одного существенного недостатка. Дело в том, что фоновая метрика моделей была выбрана «руками». В частности, не был специфицирован ни механизм, приводящий к нарушению ЛИ, ни механизм, ответственный за

инфляцию . В принципе, такая геометрия может быть полностью нереалистична: она может потребовать введения материи с нефизическими свойствами либо на бране, либо в дополнительном пространстве, либо и там и там. Таким образом, возникает вопрос, какими свойствами должна обладать материя, приводящая к нарушению ЛИ в дополнительном пространстве.

Этот вопрос в статическом случае был прояснён в работах [180, 181]. Была сформулирована и доказана теорема, гласящая, что материя, приводящая к нарушению ЛИ в ДИ, должна нарушать слабые энергетические условия [182]. Кроме того, в этих работах обсуждались пути обхода теоремы.

Нарушение ЛИ (необязательно в моделях с большими ДИ) может помочь при решении проблемы космологической постоянной. Как уже упоминалось, одной из загадок, стоящих перед современной физикой, являются различные наблюдательные данные, указывающие, что сравнительно недавно (при красном смещении z ~ 1) Вселенная вошла в стадию ускоренного расширения. Было выдвинуто немало гипотез, призванных объяснить этот феномен. Среди них - существование космологической постоянной, модификация гравитации на сверхбольших масштабах и временах, наличие новых лёгких полей (см., например, обзоры [48, 50, 52, 54, 56, 183]). В последнем случае тёмную энергию, ответственную за ускоренное расширение, можно характеризовать уравнением состояния р = wp (р - давление, ар- плотность энергии), где параметр w отличен от —1 и, вообще говоря, зависит от времени. В простом варианте, когда в качестве тёмной энергии выступает скалярное поле с положительной энергией (квинтэссенция), параметр w удовлетворяет ограниче-

⁹В статическом случае механизм, ответственный за нарушение ЛИ, был предложен в работах [130,

131].

нию w > —1, в то время как космологической постоянной соответствует w = — 1. Однако уравнение состояния может быть и сильно отрицательным, w < — 1; тёмную энергию с таким уравнением состояния называют фантомной. Современные космологические наблюдения не исключают и возможности того, что при сравнительно больших красных смещениях z уравнение состояния соответствовало квинтэссенции с w > —1, а в более поздние эпохи - фантомной энергии с w < —1 [38, 184, 185].

Фантомная энергия нарушает слабое условие энергодоминантности -это свойство с трудом поддаётся последовательному описанию в рамках обычной теории поля (см. обсуждение в 3 Главы 2). Простейшей моделью, в которой реализуется фантомное уравнение состояния, является минимально связанное с гравитацией скалярное поле с отрицательным кинетическим членом [186, 187, 188] (см. также работы [189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199] и ссылки в работе [200]). Отрицательная кинетическая энергия ведёт к квантовой нестабильности вакуума в ультрафиолетовой области [188, 201, 202, 203, 204, 205]: вакуум нестабилен по отношению к катастрофическому рождению духов со сколь угодно большими импульсами и нормальных частиц с положительной энергией.

Было приложено немало усилий реализовать фантомное уравнение состояния без патологического поведения в ультрафиолетовой области. Одним из примеров является скалярно-тензорная гравитация, в которой скалярное поле с положительным кинетическим членом связано со скаляром Риччи [206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215]. Такая связь ведёт к модификации гравитационной постоянной, однако, как было показано в работе [216], существует некоторая область параметров, в которой реализуется фантомное уравнение состояния без нарушения ограничений, накладываемых локальными гравитационными экспериментами.

Другим примером являются модели с модифицированной гравитаци-

ей, включая /(Я)-модели гравитации [217, 218], а также теории типа Гаусса-Боннэ [219, 220, 221, 222]. В /(Д)-моделях существует возможность получить w < — 1, однако в этом случае практически отсутствует предварительная материальная эпоха [223, 224, 225]. В случае моделей Гаусса-Боннэ в работах [226, 227, 228, 229] было показано, что пересечение границы космологической постоянной w — — 1 возможно, однако локальные гравитационные эксперименты накладывают очень сильные ограничения на такие модели [230]. Вдобавок, если в таких моделях член Гаусса-Боннэ ответственен за ускоренное расширение Вселенной, то тензорные возмущения начинают страдать от нестабильностей в ультрафиолетовой области [231, 232, 233]. Таким образом, можно заключить, что очень сложно построить жизнеспособные модели модифицированной гравитации, не нарушив при этом космологические и локальные гравитационные ограничения.

Третьим примером является многомерная модель Двали-Габададзе-Поррати [234] и её расширения с включением члена Гаусса-Боннэ в дополнительном пространстве [235], которые дают возможность получить w < — 1 [236, 237]. Однако, как было показано в работе [238], модель [234] содержит духовую моду, что вызывает сомнения в жизнеспособности «самоускоряющегося» решения.

Как видно из приведённых выше примеров, теории, в которых достигается фантомное уравнение состояния, имеют те или иные недостатки. В работе [205] были приведены аргументы, указывающие на то, что мало вероятно, что существуют теории с w < — 1, и в которых отсутствуют какие-либо патологии. Принимая это утверждение во внимание, можно предложить следующий подход к решению проблемы. Можно стартовать с эффективной теории поля в пространстве Минковского, являющейся самосогласованной при всех энергиях от нуля до масштаба ультрафиоле-

тового обрезания Л4 эффективной теории. Затем можно деформировать теорию в инфракрасной области таким образом, что её ультрафиолетовое поведение оставалось бы незатронутым, а слабое энергетическое условие нарушалось для пространственно однородной конфигурации, и патологические состояния возникали бы только ниже некоторого низкоэнергетического масштаба е. В теориях, в которых в спектре присутствует дух и ЛИ ненарушена, это бы было неприемлемо, так как нестабильности возникали бы при всех пространственных импульсах и частотах. Однако, если ЛИ нарушена, это замечание уже несправедливо, и теория с духом может быть жизнеспособной при достаточно больших инфракрасных масштабах [201, 239] (см. также [188, 240]). Если следовать по намеченному пути, то необходимо также позаботиться о возможном появлении сверхсветовых мод при больших импульсах после деформации теории в инфракрасной области: этот эффект, даже будучи очень малым, может сигнализировать о несамосогласованности полной теории [241].

В космологическом контексте такая теория будет приемлемой при условии, что масштаб є меньше или, по крайней мере, близок к современному параметру Хаббла. При этом необходимо отдавать отчёт, что это свойство требует определённой подстройки параметров помимо других подгонок, необходимых для приведения теории в согласие с наблюдательными данными.

Одним из результатов настоящей диссертации является построение и исследование такого рода теории. Мы начнём с более или менее обычной теории с двумя производными¹⁰ с хорошим поведением (по крайней мере в определённом внешнем поле) ниже ультрафиолетовой шкалы ЛА и затем добавим в действие член с одной производной. Такую конструкцию

¹⁰Другая интересная возможность может возникнуть в модели с духовым конденсатом [202] с потенциалом, имеющим отрицательный наклон [242, 243]. В расширяющейся Вселенной эта модель действительно приводит к w < —1. Однако в этой теории может возникнуть проблема, связанная с неправильным знаком перед квадратичным градиентным членом в действии для возмущений [244].

трудно реализовать в (ковариантной) теории, содержащей только скалярные поля. Поэтому мы начнём с модели, содержащей только векторные поля.

В работе [245] была рассмотрена четырёхмерная модель, содержащая четыре векторных поля, три из которых преобразуются по фундаментальному представлению глобальной внутренней группы 50^(3). Благодаря специально подобранному потенциалу эти поля приобретают ненулевые вакуумные средние, что приводит к нарушению ЛИ. При этом, за счёт того что модель инвариантна относительно группы SOg(3), вращательная симметрия трёхмерного пространства остаётся ненарушенной. Так как в модели присутствует нетривиальный потенциал для векторных полей, то такая теория не может быть калибровочно-инвариантной, следовательно, и кинетический член для таких полей не обязан быть калибровочно-инвариантным. Однако без калибровочной инвариантности существует опасность того, что в спектре возмущений таких полей может появиться дух, чей трёхмерный импульс может быть неприемлемо большим. Оказывается, если векторные поля обладают ненулевым вакуумным средним, то это происходит не всегда [246]. И в нашей работе мы использовали механизм¹¹, предложенный в [246], чтобы избежать проблем с появлением духов при больших импульсах. Таким образом мы получили теорию, свободную от патологий на всём энергетическом интервале от нуля до ультрафиолетового масштаба обрезания. Затем мы добавили в действие член с малой константой связи и линейный по производным. Этот член нарушает чётность по отношению к замене знака векторных полей, поэтому малость константы связи представляется достаточно натуральной.

¹¹ Этот механизм накладывает некоторые ограничения на параметры модели, которые можно легко удовлетворить без тонкой подстройки.

Наличие линейного по производным члена приводит к появлению в спектре при низких энергиях различных патологий: духов и тахионов, которые остаются и при включении гравитации. Эти патологии, однако, представляются неопасными. Более того, присутствие тахиона могло бы даже быть полезным с космологической точки зрения, так как оно свидетельствует о наличии гравитационных нестабильностей на очень больших масштабах расстояний и времён, что могло бы проявить себя как ускоренное расширение Вселенной. Кроме того, приблизительно те же энергетические масштабы, на которых появляются патологии, определяют масштабы времён и расстояний, на которых видоизменяется закон Ньютона, что также могло бы привести к наблюдаемому ускорению расширения Вселенной.

Однако оказалось, что, несмотря на все описанные только что особенности, уравнения Фридмана, описывающие эволюцию пространственно плоской, однородной и изотропной Вселенной, в точности совпадают с уравнениями, получающимися в эйнштейновской теории при условии, что векторные поля находятся в их вакуумном среднем. Единственным отличием от эйнштейновской теории, возникающим в нашей модели, является то, что «космологическая ньютоновская константа» не равна гравитационной константе, входящей в закон Ньютона - это явление было обнаружено в работах [247, 248]. Таким образом, конденсация векторных полей сама по себе не может объяснить наблюдаемого ускоренного расширения Вселенной. Более того, были приведены аргументы (см. также [249]) в пользу того, что в четырёхмерной локальной теории, допускающей разложение по производным, форма гравитационной части уравнения Фридмана для пространственно плоской Вселенной - Н², -фиксируется симметриями, так что крайне невероятно, что ускоренное расширение Вселенной появится в четырёхмерной теории исключитель-

но из-за конденсата любых тензорных полей.

Из сказанного следует заключить, что для того чтобы получить ускоренное расширение, необходимо включить в рассмотрение скалярные поля. И действительно, это было сделано в работе [250]. Модель [250] содержит одно векторное и одно скалярное поле. В этой модели за счёт возникновения ненулевого вакуумного конденсата векторного поля нарушается ЛИ (трёхмерная вращательная симметрия остаётся ненарушенной). Кроме того, в модели присутствует линейный по производной член взаимодействия скалярного и векторного полей. В работе [250] было показано, что при определённых условиях спектр возмущений не содержит опасных патологий, а главное, была продемонстрирована принципиальная возможность достижения фантомного уравнения состояния в рассматриваемой модели.

Детальное исследование описанной модели было продолжено в работе [200]. Было показано, что, действительно, в модели имеется десит-теровский аттрактор, ответственный за позднее ускоренное расширение. При ранних временах уравнение состояния тёмной энергии является нормальным с w > — 1. Переход в фантомную стадию (w < — 1) происходит между материально доминированной эпохой и конечной деситтеровской эрой. Были прояснены условия, при которых происходит пересечение границы космологической постоянной w = — 1, и Вселенная входит в фантомную стадию. Оказалось, что эти условия несколько отличаются от приведённых в работе [250]. Интересно отметить, что в достаточно широкой области параметров пересечение границы происходит в момент, когда плотность энергии материи становится сравнимой с плотностью тёмной энергии, что делает этот переход потенциально наблюдаемым.

Другим интересным свойством модели является то, что ньютоновская постоянная становится зависящей от времени. Эта зависимость достаточ-

но слаба, но может быть сравнима с современными экспериментальными ограничениями. Более того, зависимость эффективной гравитационной постоянной от времени коррелирует с отклонением w от — 1.

Кроме того, были найдены масштабы импульсов, при которых в пространстве-времени Минковского возникают нестабильности. В отличие от [250] этот анализ был проведён для случая массивного скалярного поля - это требование оказалось необходимым для возможности пересечения границы w = — 1. Было показано, что в ультрафиолетовой области теория свободна от различных патологий. В инфракрасной области, напротив, имеется мода, которая сначала (при уменьшении импульса) становится тахионной (наиболее опасная область), затем духом (но не тахионом), и при очень малых импульсах снова становится тахионной. В заключение была изучена эволюция возмущений в космологическом внешнем поле и оценена их амплитуда, усиленная наличием тахионной нестабильности, на масштабах, сравнимых с современным хаббловским радиусом. Оказалось, что при определённом ограничении на параметры модели возмущения остаются малыми по сравнению с внешним полем, что указывает на то, что теория остаётся самосогласованной.

Интересным с феноменологической точки зрения свойством рассмотренных моделей является присутствие в спектре возмущений тахионных мод. При этом пространственные импульсы, при которых возникает тахион, достаточно малы, так что время развития тахионной нестабильности

_л сравнимо с возрастом Вселенной, хотя может быть и несколько меньше

.<

> его. При более высоких импульсах тахионная мода переходит в нормаль-

ную осциллирующую моду.

По-видимому, существование тахионной моды при малых пространственных импульсах может быть довольно общим свойством, характерным для некоторого класса моделей с фантомной энергией, в которых на-

рушение слабого условия энергодоминантности проявляется именно как тахионная неустойчивость. Поэтому представляет интерес рассмотрение наблюдательных следствий такого рода моделей, особенно если заметить, что тахионная мода, взаимодействуя с гравитационным полем, приводит к экспоненциальному росту гравитационного потенциала [251]. Последний же за счёт интегрального эффекта Сакса-Вольфе [252] может повлиять на анизотропию температуры реликтового излучения.

Такая возможность была изучена в работах [253, 254] как для случая Лоренц-неинвариантпого дисперсионного соотношения тахионного типа, так и для случая релятивистски-инвариантного. На основании анализа спектра анизотропии реликтового излучения в обоих случаях были получены ограничения на параметры тахионных дисперсионных соотношений.

Цель настоящей диссертации состоит в разработке новых подходов к решению таких проблем современной физики, как проблема происхождения фермиоипых поколений Стандартной модели, проблема ускоренного расширения Вселенной и транспланковская проблема; в построении соответствующих теоретико-полевых моделей, расширяющих Стандартную модель физики частиц, а также в изучении феноменологических следствий этих моделей.

Диссертация состоит из Введения, трёх глав основного текста, Заключения и пяти приложений.

В Главе 1 предложена модель с двумя большими ДИ, в которой три фермионных поколения СМ возникают из одного шестимерного поколения. Также в этой Главе проанализированы вероятности процессов, протекающих за счёт калуца-клейновских мод нейтральных калибровочных бозонов, и приведены ограничения на размер локализации калибровочных полей и на массу хиггсовской частицы. Первый параграф посвящен

общему описанию модели. В разделе 1.1 приводится описание топологического дефекта - вихря, на котором локализуются фермионные нулевые моды, и который по существу представляет наш четырёхмерный мир (брану). В разделе 1.2 даётся анализ спектра фермионов во внешнем поля вихря. Показано, что в поле вихря имеются фермионные нулевые моды, которые с четырёхмерной точки зрения можно рассматривать как безмассовые фермионы СМ. Кроме того, доказывается, что число фермионных нулевых мод определяется топологическим зарядом вихря и зарядом фермиона по группе вихря. Таким образом, при подходящем выборе зарядов число нулевых мод может быть равно трём, причём эти моды имеют с четырёхмерной точки зрения определённую киральность и отличаются проекцией (обобщённого) углового момента на брану, так что номер поколения имеет геометрическое происхождение. В разделе 1.3 описывается механизм, позволяющий дать нулевым модам массы. Также описываются свойства, которыми должны обладать фоновые поля, чтобы, во-первых, отношения масс имели иерархическую структуру, а во-вторых, чтобы возникали недиагональные массовые члены. Раздел 1.4 посвящен описанию реалистической модели, в которой роль топологического дефекта играет калибровочный вихрь, а также ещё два дополнительных скалярных поля, введение которых необходимо для получения нетривиальной массовой матрицы. Представлен состав полей, их заряды и лагранжиан взаимодействия. Кроме того, приводятся выражения для массовых матриц и матрицы смешивания. В разделе 1.5 демонстрируется принципиальная возможность включения в модель нейтрино, обсуждаются нейтринная массовая матрица и модельная зависимость результатов от способа компактификации. Раздел 1.6 посвящен включению в рассмотрение калибровочных полей СМ. Обсуждаются трудности, возникающие при попытках локализации калибровочных полей в моделях

с большими ДИ, а также пути их обхода. Описывается, каким образом калибровочные поля включаются в рассмотрение в нашей модели, и намечается дальнейшая стратегия исследования.

В 2 проводится детальный численный и аналитический анализ модели, представленной в разделах 1.1-1.4. В разделе 2.1 приводится численное решение для внешнего поля вихря (как глобального, так и калибровочного) в присутствии дополнительных скалярных полей, необходимых для получения масс фермионными модами. Раздел 2.2 посвящен численному нахождению фермионных нулевых мод во внешнем поле вихря. Подробно исследованы случаи глобального и калибровочного вихря. Показано (численно и аналитически), что в случае глобального вихря возникающая иерархия масс имеет неправильную структуру, в то время как в случае калибровочного вихря получающаяся иерархия соответствует наблюдаемой. В разделе 2.3 численно найдены массы и углы смешивания фермионов в модели раздела 1.4. Показано, что семь параметров модели хорошо фитируют девять (шесть масс и три угла смешивания) известных параметров кваркового сектора.

В соответствии со стратегией, намеченной в разделе 1.6, для того чтобы включить в рассмотрение калибровочные поля СМ, можно рассмотреть представленную модель на компактном дополнительном пространстве. В 3 в качестве дополнительного пространства выбрана сфера S². В разделе 3.1 показано, что несмотря на то, что пространство компактно, по-прежнему существует калибровочный вихрь, локализованный вблизи некоторой точки сферы. При этом, однако, в отличие от плоского случая заряды полей, взаимодействующих с калибровочным полем вихря, не могут быть произвольными, а должны подчиняться условию квантования Дирака. В разделе 3.2 исследован вопрос о существовании нулевых мод оператора Дирака в поле вихря на сфере. Показано, что при правиль-

ном (удовлетворяющем условию квантования) выборе зарядов спиноров по-прежнему существует определённое число киральных нулевых мод, локализованных вблизи кора вихря. В разделе 3.3 проанализирована получающаяся в сферическом случае иерархия масс фермионов. Показано, что иерархия соответствует наблюдаемой, хотя зависимость отношения масс от параметров модели отличается (за счёт другого выбора зарядов фермионов) от плоского случая. Далее, в разделе 3.4 приведено калуца-клейновское разложение калибровочных полей на сфере. В разделе 3.5 изучены взаимодействия нулевых мод фермионов с модами калибровочных бозонов как в калибровочном, так и в массовом базисе.

Параграф 4 посвящен изучению феноменологических следствий построенной модели, в частности, поиску проявлений ДИ в редких процессах и в ускорительных экспериментах. Так в разделе 4.1 рассмотрены распады каонов К\ —> /іе и К⁺ —> 7г⁺е~/х⁺, запрещённые в СМ законом сохранения лептонного числа. В разделе 4.2 изучены редкие процессы с нарушением номера поколения G на единицу: распад ^ —> ееё и реконверсия. В разделе 4.3 изучены процессы с AG = 2: разность масс каонов Kl—Ks и СР-нарушение в физике каонов. Показано, что наибольшее ограничение на размер локализации калибровочных полей возникает из распада каонов К\ —> \ie.

В разделе 4.4 рассмотрены обобщения модели, появляющиеся при изменении расположения и профилей фермионных волновых функций в ДИ. Тогда ограничения из редких процессов можно представить в виде условий на массы старших калуца-клейновских мод обычных калибровочных бозонов и константы связи этих частиц с фермионами. При небольших массах дополнительные взаимодействия можно искать в ускорительных экспериментах. Полученные предсказания для протон-протонных коллайдеров приведены в разделе 4.4.

В 5 изучен хигтсовский сектор модели. Исходя из полученного в 4 ограничения на размер локализации калибровочных полей, в разделе 5.1 приведена оценка амплитуды хиггсовского поля. Показано, что эта амплитуда должна быть мала по сравнению с характерным энергетическим масштабом модели, что требует некоторой тонкой подстройки параметров модели. Способ такой подстройки, необходимый в том числе и для численного анализа системы, описан в разделе 5.2. В разделе 5.3 построен четырёхмерный эффективный лагранжиан для частицы Хиггса. Показано, что свойства бозона Хиггса практически не отличаются от свойств хиггсовской частицы СМ, однако масса бозона не должна сильно превышать 100 ГэВ.

Спиноры в поле вихря

Мы начнём с рассмотрения поведения дираковского спинора в поле глобального вихря (1.2), а затем сделаем обобщение на случай вихря АНО. Рассмотрим шестимерное дираковское спинорное поле Q, имеющее аксиальный заряд 1/2 по отношению к действию глобальной группы Ug(l), и связанное со скалярным полем Ф через аксиальное юкавское взаимо- Будем считать, что константа взаимодействия д действительна - её комплексную фазу всегда можно изгнать с помощью аксиальных преобразований фермиона (1.9). Поскольку поле вихря не зависит от четырёхмерных координат, удобно сделать четырёхмерное преобразование Фурье для спинорного поля Тогда уравнение Дирака, следующее из лагранжиана (1.10), принимает вид: Легко проверить, что операторы С1 и D антикоммутируют, поэтому можно искать решение уравнения (1-11) в виде разложения по собственным функциям оператора D, Заметим, что если поле Ф находится в своём вакууме v, уравнение (1.11) описывает массивный дираковский фермион с массой gv. В этом случае спектр оператора D (1.12) является непрерывным и начинается с gv. Поскольку поле вихря стремится к своему вакуумному значению на бесконечности, а внутри вихря - к нулю, то у оператора D на фоне поля вихря могут в принципе существовать дискретные уровни с собственны- ми значениями т vg; при т gv начинается непрерывный спектр. Как следует из (1.11), при данном импульсе к собственные значения т удовлетворяют уравнению к$ = Щ -\-т2. Это означает, что для того чтобы возбудить уровни с ненулевым т, требуется энергия по крайней мере порядка gv. Мы будем считать, однако, что масштаб энергий, доступный четырёхмерному наблюдателю, много меньше gv. Таким образом, даже первый уровень с ненулевым т не возбуждается, и нам интересны решения уравнения (1.12) с нулевым т, - так называемые нулевые моды. В Приложении Б показано2, что существует ровно к линейно независимых нормируемых решений уравнения (1.13). Эти решения имеют вид (р а общее решение уравнения (1.11), соответствующее нулевым модам, представимо в виде: Причём Ск являются нормированными двухкомпонентными вейлевскими левыми спинорами, арк представляют собой произвольные комплексные функции трёхмерного импульса к, а функции fp являются нормируемы ми решениями дифференциального уравнения 2Мы вынесли вывод этого важного результата в Приложение Б, чтобы не отвлекаться от основной линии изложения.

Кроме того, аналогичные результаты получены в 3. и имеют следующее поведение вблизи нуля и на бесконечности: т.е. все нулевые моды имеют различную угловую и радиальную зависимость. Условие нормировки функций fp имеет следующий вид: Стоит подчеркнуть, что при фиксированном р существует только одна степень свободы для частицы (ко 0) и одна степень свободы для античастицы (ко 0), соответствующая состоянию с отрицательной спи-ральностью, т.е. левому (с четырёхмерной точки зрения) спинору. Так как функции fi(r) экспоненциально спадают при больших г, частицы, описываемые полем Ф (1.15), локализованы вблизи кора вихря. Интересно посмотреть, как полученный нами восьмикомпонентный локализованный спинор выглядит с четырёхмерной точки зрения. Для этого введём 8x8 представление четырёхмерных 7-матриц: Эти матрицы вместе с единичной матрицей, коммутаторами д и = f ру Т17] и произведениями 7М75 образуют алгебру А (т.е. любое произведение этих матриц может быть представлено в виде линейной комбинации этих же матриц). Поскольку матрица коммутирует со всеми матрицами из алгебры Л, алгебра А представляет собой прямую сумму двух подалгебр, Каждая из этих подалгебр изоморфна алгебре Л обычных четырёхмерных дираковских 7-матриц, поэтому можно построить унитарные операторы (матрицы размера 4x2), осуществляющие этот изоморфизм3, Из этого уравнения можно найти явный вид матриц U±, однако, проще это сделать, если заметить, что эти операторы должны быть собственными векторами (точнее матрицами) оператора сг45: a45U± = ±С/±. Имеем тогда одно из решений уравнения (1.19), отображающее матрицы из алгебр Л± в выбранном нами представлении в соответствующие матрицы алгебры Л в киральном представлении, Поскольку алгебра Л не изоморфна алгебре Л, то и отображение произвольного восьмикомпонентного спинора Фд, реализующего представление алгебры Л (но не алгебры всех матриц Г .!), в четырёхкомпонентный спинор также не является однозначным. Это отображение может быть осуществлено либо с помощью оператора С/+, либо с помощью оператора U_. ф± = /][_Фд, что соответствует тому факту, что решение четырёхмерного уравнения Дирака в представление 7-матриц из алгебры Л имеет в два раза больше степеней свободы, чем в обычном представлении.

Однако можно легко убедиться, что для комбинации нулевых мод (1.15) 3Необходимо подчеркнуть, что эти операторы являются унитарными только при действии на соответствующей подалгебре. оба спинора ф± эквивалентны с точностью до переопределения констант ак " ак_Р_ и несущественных с четырёхмерной точки зрения фаз. Эти спиноры имеют вид: т.е. действительно представляют собой с четырёхмерной точки зрения левые спиноры. Сделаем ещё несколько замечаний и обобщений, касающихся полученного результата. Во-первых, для того чтобы получить правые нулевые моды, достаточно рассмотреть спинор с аксиальным зарядом — 1/2 по группе Ug{l). Во-вторых, для появления к штук нулевых мод важен не топологический заряд вихря (важно, чтобы он был ненулевой), а заряд фермиона по группе Ug(V). Действительно, как следует из результатов Приложения Б, за возникновение нулевых мод ответственно поведение функции F в начале координат и на бесконечности (1.4). Поскольку функция Ф(к) имеет то же самое радиальное и угловое поведение, что и функция Фк(к = 1), то в системе, где заряд фермиона равен к/2, а соответствующее инвариантное юкавское взаимодействие имеет вид: появится ровно к штук локализованных нулевых мод на вихре с единичным числом наматываний. Мы воспользуемся этим фактом в дальнейшем, однако сразу отметим, что взаимодействие (1.20) выглядит непере-нормируемым. В действительности и взаимодействие (1.10) в шестимерном пространстве-времени является неперенормируемым. Поэтому взаимодействие (1.20) ни чуть не хуже, чем (1.10). Оба типа взаимодействий в любом случае нужно рассматривать как эффективные теории, определённые лишь (в лучшем случае) до масштаба шестимерных гравитационных взаимодействий. Наконец, изучим фермионные нулевые моды в случае вихря АНО (1.6). Взаимодействие с калибровочным полем вихря вводится путём удлинения производной (мы будем считать, что фермион имеет заряд к/2) В Приложении Б показано, что по-прежнему существует ровно к нулевых мод, причём они имеют точно такой же вид, как и (1.14), но с заменой где fp(r) по-прежнему удовлетворяют уравнению (1.16) (при этом, разумеется, функция F уже является решением уравнений (1.7), а не (1.3)). Учитывая поведение функции А(г) в начале координат и на бесконечности (1.8), видим, что поведение радиальных функций фермионов при г —» 0 не изменяется, на бесконечности же появляется дополнительный фактор подавления (ср. с (1.17)): Здесь и далее мы используем одинаковые обозначения для фермионных радиальных функций как в случае глобальной, так и в случае калибровочной группы Ug{\). Итак, мы получили к штук безмассовых киральных (с четырёхмерной точки зрения) нулевых мод, локализованных в окрестности кора вихря. Для того чтобы эти моды приобрели массу, необходимо использовать механизм Хиггса, к рассмотрению реализации которого в нашей модели мы и переходим. 1.3 Фермионные массы.

Калибровочные поля Стандартной модели

В этом параграфе мы построили модель, в которой три четырёхмерных фермион-ных поколения возникают из одного шестимерного поколения. При этом натуральным образом возникает иерархия масс и углов смешивания. Интересным и важным следствием этой модели является то, что из-за того, что источником поколений служит одно шестимерное поколение, могут (и будут) происходить процессы с нарушением аромата нейтральными токами. Действительно, шестимерные калибровочные бозоны взаимодействуют только с одним шестимерным пропоколением, и в этом смысле нет отличия, скажем, между мюоном и электроном (их просто не существует с шестимерной точки зрения). Поэтому с четырёхмерной точки зрения невозможно запретить процессы с участием «части» пропоколе-ния - нулевых мод - и мод нейтральных калибровочных бозонов (фотона, Z-бозона и глюонов). Однако, как мы видели, четырёхмерные поколения отличаются своими волновыми функциями, в частности, их угловыми зависимостями, т.е. моментами. Это означает, что не всякие моды калибровочных бозонов смогут изменить номер поколения, т.е. аромат - это смогут сделать только те моды, которые несут подходящий ненулевой угловой момент. Моды же несущие нулевой угловой момент, к которым относятся и нулевые моды бозонов (как состояния с наименьшей энергией), не смогут изменить аромат. Следовательно, такого рода процессы чувствительны только к высшим модам. Зная ограничения на вероятности таких процессов, можно найти ограничение на массы высших мод калибровочных бозонов. Однако, для того чтобы сделать это, необходим механизм локализации калибровочных бозонов. К сожалению, такого механизма в общем случае не существует, и это является основным недостатком моделей с большими ДИ. По-видимому, глубинной причиной отсутствия общего механизма локализации калибровочных полей является сама калибровочная инвариантность и её прямое следствие - так называемая «универсальность заряда».

Хорошо известно, что теории с неабелевой простой калибровочной группой описываются только одной константой взаимодействия д: эта константа характеризует силу взаимодействия как калибровочных бозонов между собой, так и со всеми полями материи (конечно, есть ещё зависимость от представления, по которому эти поля преобразуются, но сейчас она для нас неважна). Для абелевой группы (электродинамики) константы взаимодействия разных полей могут быть в принципе разными, однако, как хорошо известно, в силу тождеств Уорда их отношения остаются постоянными даже в результате перенормировки. Поэтому можно считать, что и в абелевой теории существует только одна независимая константа - заряд электрона (что с высокой точностью подтверждает нейтральность атома). Предположим теперь, что мы хотим осуществить размерную редукцию из многомерного мира (обозначим дополнительные координаты за X) на нашу четырёхмерную брану. Тогда, во-первых, мы должны получить безмассовые калибровочные поля, локализованные на бране - нулевую моду (в противном случае фотон просто мог бы улететь с браны, что противоречило бы, например, закону Кулона), во-вторых, должна существовать достаточно большая (по крайней мере порядка 1 ТэВ) энергетическая щель между безмассовым возмущением и высшими уровнями (в противном случае, мы наблюдали бы несколько массивных векторных мод - партнёров калибровочного бозона). Первое условие равносильно тому, что на бране калибровочная инвариантность не нарушена, а значит, четырёхмерный эффективный заряд должен быть универсальным, т.е. не зависеть от типа материи. Такой заряд получается в результате интегрирования по объёму дополнительного пространства (мы для простоты считаем, что материя описывается спинорами): где 4.(0) (о) _ волновые функции нулевых мод калибровочного бозона и фермиона соответственно, а Е - многомерный калибровочный заряд. В силу универсальности заряда, этот интеграл не должен зависеть от типа материи, т.е. от фермионной волновой функции. С другой стороны, волновая функция фермионов может зависеть от способа локализации, или от независимых от калибровочного взаимодействия констант связи (в нашем случае это константы gu,gd gi, ответственные за локализацию мод), или от других факторов, не связанных с калибровочным взаимодействием. Единственным способом выполнить это условие, это предположить, что Л(о) не зависит от X, тогда интеграл (1.41) сводится просто к нормировке волновой функции фермиона и действительно не зависит от типа материи. Однако в этом случае мы сразу сталкиваемся с тем, что объём пространства должен быть конечным: нормировка волновой функции бозона имеет вид: что означает не только конечность объёма, но и то, что нулевая мода имеет такую же глубину проникновения в ДИ, что и гравитон - это, конечно, противоречит идее о больших ДИ, и именно так и происходит в большинстве моделей, где за локализацию калибровочного поля ответственна гравитация [269, 270, 271, 272, 273]. Существует два пути обойти эту проблему, которые по-сути приводят к одному и тому же. Первый путь [274] сводится к тому, чтобы изменить условие нормировки (1.42), но не изменять выражение для заряда (1.41).

Этого можно добиться, если перед кинетическим членом калибровочного поля в многомерном лагранжиане написать дополнительную функцию А(Х), зависящую от координат ДИ. Тогда глубина проникновения калибровочного поля в ДИ будет порядка расстояния, на котором эта функция существенно меняется. Этот размер можно выбрать отличным от размера локализации гравитонов. Нулевая мода калибровочного бозона остаётся постоянной, и условие универсальности заряда выполняется. Отметим, что в таком подходе необходимо, чтобы Л(Х) стремилась к нулю вдали от браны, а это в свою очередь означает, что теория становится сильно взаимодействующей в этой области: многомерная калибровочная константа становится зависящей от координат Е - Е/у/ЩХ). Другой путь - это сделать теорию сильносвязной динамически [275, 276]. При этом нулевые моды материи также не должны проникать в область сильной связи. В обоих случаях нам приходится работать с теорией в режиме сильной связи, а такие теории плохо поддаются анализу. Сто- ит отметить, что подобными трудностями страдают и другие подходы (см., например, [277]). Исключение, пожалуй, составляют только модели, основанные на некоммутативной геометрии, однако в этом случае локализованными являются только моды калибровочного поля, образующего топологический дефект [278, 279, 280, 281]. К счастью, для исследования феноменологии нашей модели нет необходимости знать конкретный механизм реализации локализации калибровочных полей. Достаточно знать только то, что такой механизм в принципе возможен, и он приводит к существованию постоянной нулевой моды калибровочного бозона, обеспечивающей универсальность заряда. Причём размер локализации калибровочного бозона может быть много меньше, чем размер локализации гравитона. Действительно, достаточно выбрать компактное многообразие такое, что, во-первых, в нём существовал бы вихрь и нулевые моды, локализованные на нём, а во-вторых, чтобы на нём существовала нулевая мода калибровочного бозона, приводящая к универсальности заряда. Простейшим был бы выбор цилиндра радиуса R. Однако, как мы уже обсуждали, в этом случае остаётся открытым вопрос стабильности вихря, а также появляются «паразитные» моды фер-мионов, локализованные вблизи границы. Это, конечно же, портит наши предыдущие построения. Отметим, что если бы существовал детальный механизм локализации калибровочных бозонов, приводящий к похожей картине, то, скорее всего, проблем со стабильностью и «паразитными модами» удалось бы избежать.

Фермионные нулевые моды в поле вихря на сфере.

В плоском случае мы использовали фермионы с полуцелым аксиальным зарядом по группе вихря Ug(l), преобразующиеся по закону Однако в предыдущем разделе мы показали, что введение полей с нецелым зарядом приводит к неоднозначности калибровочных преобразований, осуществляющих сшивку полей на пересечении разных карт. Чтобы обойти возникшую трудность, рассмотрим фермионы со следующим законом преобразования по Ug{l)\ где к - положительное целое число. Тогда оба четырёхкомпонентных вейлевских спинора 2 7 Ф, из которых состоит поле Ф, обладают целыми зарядами в соответствии с (1.73): верхний спинор имеет заряд к, тогда как нижний не заряжен. Мы собираемся показать, что у спинора Ф с таким зарядом существует ровно к киральных нулевых мод. Для описания спиноров на многообразии М4 g S2 с метрикой (1.64) введём следующий репер: где индексы а, 6 = 0,..., 5 соответствуют касательному шестимерному пространству Минковского. Тогда ковариантная производная спинорного поля записывается следующим образом: где спиновая связность определяется как и имеет единственную нетривиальную компоненту, соответствующую дифференцированию по углу ср: Все остальные ковариантные производные совпадают с обычными производными в плоском пространстве. Лагранжиан поля Ф, инвариантный относительно общековариантных и калибровочных (см. закон (1.78) ) преобразований, имеет вид: В соответствии с общей процедурой, описанной в разделе 1.2, выделим поперечный оператор Дирака во внешнем поле вихря и будем искать его нормируемые собственные функции Фт, Ненулевые собственные значения имеют порядок gvk и соответствуют четырёхмерным массам фермионов. Таким образом, в низкоэнергетической четырёхмерной теории существенны только нулевые моды оператора D: Далее мы по сути повторим рассуждения, приведённые в Приложении Б. Чтобы разделить переменные в уравнении (1.81), мы построим оператор, коммутирующий с оператором D. Внешнее поле вихря инвариантно относительно вращений вокруг оси вихря, дополненных глобальными Ug(l)-преобразованиями (см., например, [93]).

Поэтому сохраняющейся величине соответствует не просто момент, а комбинация являющаяся генератором таких преобразований. Нас интересуют собственные функции этого оператора, удовлетворяющие условию антипериодичности Условие антипериодичности по /? вытекает из закона преобразований репера (1.79) при сдвигах на некоторый угол Ас/?: сдвиг угла на 27Г также подразумевает поворот репера на 27Г, что изменяет знак фермиона (см. рис. 1.7). где п - целое, и С(а) - двухкомпонентные вейлевские спиноры. Подстановка (1.83) в (1.81) даёт две системы уравнений (причём оказывается, ЧТО С(2) = Заметим, что систему (1.84) можно получить из уравнений (1.85) заменой п - 1 - -п, к - - Рассмотрим уравнения (1.85) на функции /(2,3)- Для удобства введём новые функции #(2,з)) определяемые соотношениями Тогда система уравнений для #(2,3) примет вид (штрих обозначает дифференцирование по переменной 9): Для выделения нормируемых мод нам понадобится следующая теорема: Теорема 1.1. Пусть функция д ) является решением уравнения (1.88) с несингулярной функцией А и дифференцируемой функцией Q{6), не имеющей нулей при 0 9 п. Пусть в некоторой точке 9Q функция 9(2)(во) и ее производная имеют одинаковый знак. Тогда функция #(2) и её производная имеют одинаковый знак при всех 9$ 9 7г. Следствие 1. Если функция р(2) и ее производная имеют разный знак в некоторой точке 9Q, то они имеют разный знак при любых 0 9 9Q. Доказательство буквально повторяет доказательство Теоремы Б.1 Приложения Б. Теперь мы готовы показать, что уравнения (1.85) имеют ровно к нормируемых решений для к 0, а система (1.84) не имеет нормированных решений14. Пусть п 0. (I) Найдём поведение функции д 2) в окрестности южного полюса ( = 7Г—9, —» 0). Вблизи него Q — 0, А —» 1, поэтому уравнения (1.88) имеют два линейно независимых решения 14Рассуждения по существу повторяют рассуждения, приведённые в Приложении Б, поэтому мы опустим некоторые шаги. Более подробно см. Приложение Б. где ап и Ъж - некоторые постоянные, Qn = Q{n). (Для п = 1, g/ w = fr ln ). Поведение функции glL соответствует следующему поведению которое ненормируемо для п 0. Таким образом, 6 = 0, и (II) Так как на южном полюсе нормируемому / соответствует только одно линейно независимое решение gLw (1-89), то можно определить со отношение между знаками функции #(2) и её производной. Действитель но, из (1.89) следует, что д, и gLs имеют разные знаки около южного полюса (дв = —д ), поэтому из Следствия 1 Теоремы 1.1 д ) и д л имеют разные знаки на всём интервале 0 9 7Г. (III) Рассмотрим поведение функции д ) в окрестности северного по люса {9 -» 0).

Тогда (см. (1.86), (1.75)) Q = CQ9k, А = С0А92, где CQ — gRC p. Два линейно независимых решения уравнения (1.88) имеют вид: где 2о и Ь0 некоторые постоянные. При п 0, функция #LL и её производная имеют одинаковые знаки, поэтому условие (II) требует, чтобы ао т 0. Из условий (1.90) и (1.87) следует, что Значит, /(2) нормируема только при к п. Выполнение последнего означает (см. (1.90)), что д 0 и её производная имеют одинаковый знак, поэтому из условия (II) следует &о 7 0- Таким образом, при 9 — 0 нормируемое решение уравнения (1.88) выглядит следующим образом: с ненулевыми ао и Ьо- Используя (1.91), (1.88) и (1.87), получаем следующее поведение функций /(2,3) при малых в: которые при 0 п к соответствуют к нормируемым нулевым модам. Случай п 0 и система (1.84) могут быть рассмотрены таким лее образом. А именно, надо найти поведение д ) (#(і)) на южном полюсе, и убедиться, что нормируемо только одно из двух линейно независимых решений. Затем следует убедиться, что решение и его производная имеют разные знаки около южного полюса сферы, и воспользоваться следствием из Теоремы 1.1. Из поведения решений в окрестности северного полюса и условий «разных знаков» для функций д ) І9(і)) и их производных, можно заключить, что нормируемых решений в этих случаях не существует. В заключении этого раздела сделаем несколько замечаний. Во-первых, МЫ ПОЛУЧИЛИ к Нормируемых МОД С Нетривиальными фуНКЦИЯМИ /(2), /(з) и равными нулю функциями /(і) и /(4). С точки зрения четырёхмерной теории эти моды соответствуют левым фермионам. Теория с лагранжианом (1.80) в присутствии других калибровочных полей становится аномальной (см. также обсуждение в [292]).

Поиск дополнительных измерений в редких процессах

В предыдущих параграфах мы построили модель, в которой три ферми-онных поколения возникают из одного шестимерного вектороподобного (по отношению к группе СМ) поколения. При этом фермионный сектор и сектор калибровочных полей для низкоэнергетической (по сравнению с энергетическим масштабом шестимерной теории) теории полностью соответствует секторам СМ. Поэтому все вероятности процессов с участием лёгких частиц нашей модели должны совпадать с вероятностями, предсказываемыми СМ. Однако включение в рассмотрение массивных калуца-клейновских мод калибровочных бозонов может повлиять на предсказание нашей модели и, тем самым, дать возможность определить массу или, что то же самое, размер локализащш калибровочных бозонов. В частности, высшие моды калибровочных бозонов могут разрешить процессы, запрещённые в СМ симметриями: сохранением лептонного числа и отсутствием в СМ нейтральных токов с нарушением аромата. Обычно наиболее сильные ограничения на новую физику возникают [294] из разности масс каонов: К — Kg, запрещённых каонных распадов К\ — \ie, К+ — 7г+е /і+ (см. таклсе [295]) и из процессов с нарушением лептонного числа: \і —» Є7, /І - Зе и /х - е конверсии на ядре. Мы обсудим все эти процессы в настоящем параграфе. Сейчас же заметим, что в нашей модели без включения смешивания номер поколения G строго сохраняется. Действительно, интегрирование по азимутальному углу (р в результате даёт правило отбора: в уравнении (1.118) ни один векторный бозон не имеет одновременно диагональных и недиагональных по аромату взаимодействий. Это запрещает все процессы с ненулевым изменением номера поколения G. Следовательно, вероятность последних в полной теории с учётом смешивания будет подавлена степенями параметра, ответственного за смешивание: где а определено в (1.121). Однако амплитуды процессов с AG — О, но с нарушением лептонного и кваркового ароматов по отдельности, будут подавлены только квадратами масс калуца-клейновских мод. Наиболее хорошо изученными среди такого типа процессов являются распады као-нов К\ — /ІЄ и К+ — 7г+е-/і+, запрещённые в силу сохранения мюонного и электронного чисел по отдельности, в СМ с безмассовыми нейтрино19.

В этом параграфе мы, тем не менее, изучим в рамках полной теории со смешиванием величины эффектов с нарушением аромата для разных значений AG. Распад К\ — \ie. Из всех известных экспериментальных ограничений на процессы с нарушением аромата и AG = 0 наилучшим является верхний предел для относительной ширины распада К\ — /ІЄ [285], 19 Амплитуда процесса /Sf — \хе при ненулевой массе нейтрино на тридцать порядков меньше, чем лучшее экспериментальное ограничение [296]. Нейтральный каон является псевдоскаляром, поэтому он не может распадаться через чисто векторный ток, взаимодействующий с модами фотона. Однако высшие моды Z-бозона взаимодействуют с фермионами через V — А ток20 и дают вклад в ширину распада. Из уравнения (1.123) получаем, в частности, доминантное, не подавленное (єо;), аксиальное взаимодействие в четырёхмерном лагранжиане (д - калибровочная константа слабого взаимодействия): Диаграммы для этого, а также и для других процессов, такие же, как и в работах [294, 295]. Поэтому мы воспользуемся результатами этих работ, при этом единственное отличие, которое возникает в нашей модели, - это необходимость просуммировать вклады от всех мод, как это было сделано в разделе 3.5 (см. (1.120)). Имеем, где ж 0.4 - коэффициент, полученный при численном нахождении суммы. Парциальную ширину распада К\ —»\±е удобно сравнить с парциальной шириной процесса К+ — fi+v: в приближении тпе С т фазовые объёмы и каонная константа /к сокращаются, и для отношения ширин получаем где T(KJJ И Т(К+) - соответствующие времена жизни. Взаимодействие, описывающее распад К+ — ц+и в СМ, даётся следующим выражением: При нашем выборе матрицы 75 (см. Приложение А) это будет "V 4- А" ток. где 9с - угол Кабиббо. В результате этого взаимодействия получаем следующий четырёхфермионный матричный элемент Здесь и далее мы обозначили за {.. .)t матричный элемент, выписанный без волновых функций и спинорной структуры. Используя результаты работы [297], можно найти теоретическое предсказание на относительную ширину распада К\ — /i+e_, из которого имеем следующее ограничение на радиус сферы: Подставляя необходимые экспериментальные величины из [285], находим Распад К+ — іг+{і+е .

Аналогично предыдущему случаю, ширина запрещённого распада сравнивается с шириной разрешённого (тоже трёхчастичного) распада К+ — 7Г/І+Л Взаимодействие, приводящее к запрещённому распаду, в нашей модели имеет вид: Отметим, что оно содержит как Z-бозонные моды, так и моды фотона. Для разрешённого распада К+ — TYJI+I/ взаимодействие даётся выражением (1.124), и матричный элемент (up,i/\s)t совпадает с (1.125). От- сюда, вместе с ограничением [285], получаем для радиуса что слабее ограничения (1.126). 4.2 AG = 1: нарушение лептонного числа. Как мы уже отмечали, процессы с AG ф О подавлены степенями параметра смешивания еа. Действительно, как это следует из формулы (1.123), эти процессы могут происходить за счёт «диагональных» векторных бозонов Af0, однако, каждая соответствующая диаграмма будет содержать по крайней мере одну вершину, подавленную фактором еа. Распад /І — ееё. Анализ распада мюона /і — ееё похож на анализ трёхчастичного распада каона, рассмотренного в предыдущем разделе. Ответственное за него взаимодействие имеет вид: где мы обозначили параметры е и а лептонной матрицы смешивания за б, OLL соответственно. Существует также вклад в амплитуду такого лее порядка по є а , НО С другим знаком, возникающий из-за взаимодействия через «недиагональный» Afv Однако мы не предполагаем, что будут какие-то заметные сокращения, поэтому будем считать, что основное взаимодействие даётся (1.127). Снова следуя работе [297], получаем для ширины Г(М - ЄЄЄ) = l9 {mwR) (eLOL) {0 2 0W откуда следует ограничение на радиус сферы: В лептонном секторе параметр EL неизвестен, однако, даже даёт подавление, достаточное, чтобы ограничение (1.126) было сильнее. /ге-конверсия. Обычно наиболее сильные ограничения на массы и константы связи новых векторных бозонов возникают из процесса реконверсии на ядре. Однако в нашей модели этот процесс не даёт более сильного ограничения, чем (1.126). Применяя результаты [298, 299] к нашему случаю, оценим число переходов мюонов в электроны за одну секунду на ядре с зарядом Z и количеством нейтронов N.

Похожие диссертации на Физика частиц и космология в моделях с дополнительными пространственными измерениями и с нарушением Лоренц- инвариантности

Модели теплой темной материи в физике частиц и космологииХМЕЛЬНИЦКИЙ Андрей Александрович

Возможные проявления новой физики частиц в космологии и ускорительных экспериментахГорбунов, Дмитрий Сергеевич

Эффекты нарушения киральной инвариантности, лоренц-инвариантности и изотопической симметрии в плотной кварковой среде в моделях Гросса-Невё и Намбу-Йона-ЛазиниоКурбанов, Сердар Гельдимуратович

Бозоны Хиггса в двухдублетной модели с нарушением CP-инвариантностиАхметзянова Эльза Нуровна

Эффекты гипотетического нарушения Лоренц-инвариантности в астрофизике частиц высоких энергийСатунин Пётр Сергеевич

Разрушение адиабатической инвариантности в некоторых задачах физики плазмы и гидродинамикиВайнштейн, Дмитрий Леонидович

Альтернативные алгебры в физике частицЛогинов, Евгений Константинович

Группа Лоренца и двойные симметрии в теории поля и физике частицСладь, Леонид Максимович

Однопетлевые КЭД и электрослабые поправки для процессов физики частиц при высоких энергияхКалиновская, Лидия Владимировна

Нелинейная динамика дисперсных частиц в акустических поляхДойников, Александр Анатольевич