Введение к работе
Актуальность темы
В настоящее время происходит все большее и большее проникновение алгебраических идей и методов в различные области физики. Определенную нишу занимают здесь исследования, связанные с изучением возможности использования в физике альтернативных неассоциативных алгебр, самым известным примером которых является алгебра октонионов или чисел Кэли. С альтернативными алгебрами тесно связаны алгебры Мальцева и аналитические лупы Муфанг, между которыми имеется соответствие, аналогичное соответствию между алгебрами и группами Ли. Все эти алгебраические структуры хорошо изучены и в той или иной степени находят применение в физике частиц.
По-видимому, впервые интерес к октонионам возник в связи с проблемой классификации элементарных частиц в период после введения понятия странности в середине прошлого века. Экспериментальные данные о спектре частиц тогда были весьма скудными, поэтому между собой конкурировали разные схемы симметрии, связанные с группами 577(3), ( 50(8) и др. Некоторые из них были сформулированы на языке октонионов. Однако, после того, как приближенная 517(3) симметрия адронных мультиплетов была твердо установлена, эти работы потеряли актуальность и не получили дальнейшего развития.
Вновь интерес к октонионам усилился в начале 70-х, после работ Гю-найдина и Гюрши. В этих работах был предложен октонионный формализм для ненаблюдаемых цветных кварков с точной цветовой 517(3)-симметрией и наблюдаемых бесцветных адронных состояний. Для описания внутренних степеней свободы адронов было построено одноча-стичное представление группы Пуанкаре в гильбертовом пространстве векторов состояний с октонионными компонентами. Было показано, что октонионное гильбертово пространство позволяет описывать пленение кварков, поскольку не все элементы этого пространства соответствуют наблюдаемым физическим состояниям. Однако позже октонионная квантовая механика Гюнайдина - Гюрши подверглась значительной критике, поскольку было доказано, что удержание цвета не может иметь алгебраического происхождения в рамках рассматриваемого формализма.
Примерно в те же годы началось изучение единых калибровочных
моделей сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий. После того, как Пати и Салам предложили идею объединения цвета и аромата, появилось ряд моделей основанных на простых и полупростых калибровочных группах. Простейшими из них были модель Джорджи и Глешоу, основанная на группе SU(5)7 и модель, основанная на ортогональной группе 5*0(10). Среди теоретических моделей, использующих группы более высокого ранга, особое внимание было уделено тем, в которых происходит объединение фермионов различных поколений. В частности, были исследованы модели великого объединения, основанные на исключительных простых группах Eq и Ej. Хорошо известно, что эти группы связаны с октонионами. Поиск единых калибровочных теорий продолжается и в настоящее время, хотя не так активно. Последней заметной работой была предложенная Лиси год назад единая теория поля, основанная на группе Е%.
В начале 80-х годов в теории элементарных частиц возродилась фантастическая идея Калуцы о том, что пространство-время имеет больше чем четыре измерения. Современное развитие этого подхода началось после работ Шерка и др., которые предложили рассматривать дополнительные измерения как физические, равноправные с наблюдаемыми четырьмя измерениями, а очевидное различие между наблюдаемыми и добавочными измерениями интерпретировать как результат спонтанной компактификации дополнительных измерений. Были исследованы различные механизмы спонтанной компактификации: механизмы Фройнда-Рубина, Энглерта и др. Одновременно активно изучались теории супергравитации в многомерном пространстве-времени и их вакуумные решения. Одно из таких решений одиннадцатимерной супергравитации, найденное Энглертом в 1982 году, можно представить в виде прямого произведения пространства анти-де Ситтера и семимерной сферы, допускающей наряду со стандартной римановой метрикой две плоские геометрии с кручением. Дальнейший анализ этого решения выявил тесную связь кручения с неассоциативностью алгебры октонионов. Позже свойства алгебры октонионов были использованы для нахождения мембранных решений одиннадцатимерной супергравитации и их классификации. После появления в 1995 году М-теории интерес к теориям типа Калуцы - Клейна вновь возрос. Среди работ, в которых свойства октонионов использовались для изучения непертурбативных эффектов в М-теории,
отметим исследование компактификации М-теории на многообразиях с б^-голономией и исследование мембранных инстантонов.
Примерно в те же годы началось систематическое изучение многомерных калибровочных теорий. После пионерской работы Корригана и др. 1984 года, где были классифицированы автодуальные уравнения Янга -Миллса (уравнения автодуальности) в евклидовых пространствах размерности восемь и менее, встала задача о нахождении и последующей интерпретации решений таких уравнений. Следует отметить, что уже в первой статье Корригана была отмечена связь октонионов с уравнениями автодуальности в размерности d = 7 и 8. Позже эта связь была использована для получения ряда тензорных тождеств, которые существенно упростили поиск нетривиальных решений многомерных уравнений Янга - Миллса. Простейшее из них, 5'рт(7)-симметричное решение было найдено в том же 1984 году. Годом позже был найден универсальный способ построения решений уравнений автодуальности в размерности d = Ак, обобщающий известную ADHM-конструкция инстантонов в d = 4. Использование развитой в этой работе техники позволило найти серию новых 5*р(2А;)-симметричных решений уравнений автодуальности. Новое, (^-симметричное решение, было построено в 1992 г. Исследование многомерных уравнений автодуальности и поиск их решений продолжается в настоящее время.
После открытия в 1984 году Грином и Шварцем сокращения аномалий и расходимостей в эффективной локальной теории для групп 5*0(32) и Eg х Eg резко возрос интерес к суперструнным теориям. Вскоре это привело к открытию гетеротической струны. Как и в большинстве других суперструнных теорий, изучение гетеротической струны началось с исследования ее низкоэнергетических возбуждений. Весьма интересной оказалась задача, связанная с поиском D-бранных солитонов в десятимерном пространстве Минковского. Исследование таких солитонов позволили изучать низкоэнергетическую теорию гетеротической струны без проблем связанных с компактификацией. Впервые 5-бранное солитон-ное решение низкоэнергетической теории гетеротической струны в десятимерном пространстве Минковского было построено Стромингером в 1990 году. Годом позже Калан и др. показали, что это суперсимметричное решение является точным решением теории струн. Позже были построены 1- и 2-бранные решения в десятимерном пространстве Мин-
ковского и 3-бранные решения на комплексных многообразиях Ивасава. При нахождении этих, а также ряда других подобных солитонных решений, эффективно использовались решения автодуальных уравнений Янга - Миллса в размерности 7 и 8.
После того как Полчинским в 1995 году было замечено, что открытая струна может заканчиваться на D-бране и безмассовая калибровочная мода открытой струны генерирует калибровочное поле на мировой поверхности браны, началось активное изучение суперсимметричных состояний Dp бран на DjZ-бранах. Было замечено также, что такие D-бранные конфигурации естественным образом возникают при изучении условий для ненарушенной суперсимметрии в низкоэнергетических суперсимметричных теориях. Оказалось, что существует класс суперсимметричных конфигураций, которые являются решениями многомерных уравнений автодуальности. В частности, такими конфигурациями являются DO—Dp системы, а также Dl—D3 системы, связанные с решениями обобщенных уравнений Нама в размерности 7. Исследование этих D-бранных конфигураций в настоящее время активно продолжается, в том числе и методами алгебры октонионов.
В последние годы активно исследовались автодуальные решения уравнений Янга - Миллса на некоммутативном пространстве. Первые примеры таких решений были построены Некрасовым в 1998 году, где он использовал модифицированную ADHM-конструкцию инстантонов в размерности d = 4: для нахождения несингулярных некоммутативных инстантонов. После того, как в 1998 году было показано, что некоммутативные калибровочные теории поля возникают из теории струн в пределе Зайберга - Виттена, начался активный поиск некоммутативных инстантонов и в высших размерностях. Первое такое решение было найдено в 2001 году Михаилеску и др. Они получили солитонное решение шестимерной некоммутативной калибровочной теории в результате размерной редукции десятимерной N = 1 калибровочной теории. Как оказалось, инстантоны в некоммутативных теориях поля очень хорошо отражают свойства D-бран в струне. Это стимулировало их активное изучение в последующие годы. В настоящее время изучение солитонных решений некоммутативных уравнений Янга - Миллса в высших размерностях и их бранных интерпретаций активно продолжается.
Цели и задачи исследования
-
Изучение многомерных уравнений автодуальности и поиск их решений методами альтернативной алгебры.
-
Изучение условий для ненарушенной суперсимметрии в низкоэнергетических суперсимметричных теориях, исследование соответствующих BPS уравнений.
-
Поиск новых солитонных решений низкоэнергетической теории ге-теротической струны.
-
Исследование моделей калибровочных теорий, в которых структурная группа заменена неассоциативной лупой.
-
Поиск и исследование решений классических полевых уравнений движения для бозонных полей N = 1 супергравитации в одиннадцати измерениях.
Научная новизна
Все основные результаты, представленные в диссертационной работе, являются новыми.
Положения выносимые на защиту
-
Найдены новые решения уравнений автодуальности в евклидовом пространстве размерности d = 7 и 8.
-
Классифицированы все BPS уравнения в евклидовом пространстве размерности d ^ 8, а также в пространстве Минковского размерности d ^ 6.
-
Описаны нетривиальные состояния с ненарушенной суперсимметрией в суперсимметричных теориях Янга - Миллса на пространстве Минковского.
-
Найдены новые 1-, 2- и 5-бранные солитонные решения низкоэнергетической теории гетеротической струны.
-
Развита теория представлений аналитических луп Муфанг, в основных чертах повторяющая теорию представлений групп Ли.
-
Предложена модель калибровочной теории, в которой структурная группа заменена неассоциативной лупой Муфанг, найдены классические решения инстантонного типа этой теории.
-
Показано, что такая калибровочная теория допускает расширение до А^ = 1 суперсимметричной неассоциативной калибровочной теории.
-
Найдены новые решения классических полевых уравнений движения для бозонных полей одиннадцатимерной супергравитации.
Научная и практическая значимость
Работа носит теоретический характер. Методы альтернативной алгебры, развитые в данной работе, могут найти дальнейшее применение в физике частиц.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах по квантовой теории поля в ФИ АН и ИТФ, на семинарах отделов теоретической и математической физики МИАН, на теоретических семинарах в МГУ, МПГУ, РУДН и ИвГУ, на семинаре в Институте физики университета Сан-Паулу (руководитель семинара — Д. М. Гитман), на третьей международной алгебраической конференции (Красноярск, 1993), на международной конференции "New frontiers in algebras, groups and geometries" (Monteroduni, Italy, 1995), на шестой международной конференции "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Киев, 2005), на 13-й Международной гравитационной конференции (Москва, 2008).
Исследования автора были поддержаны проектами РФФИ и международным грантом FAPESP. Часть результатов диссертационной работы была получена автором во время командировки в Институт математики университета Сан-Паулу (Бразилия).
Публикации и личный вклад автора
Результаты диссертации опубликованы в 14 научных статьях в ведущих российских и зарубежных журналах, входящих в перечень ВАК. Вклад автора во все полученные результаты является основным.
Структура и объем диссертации
