Содержание к диссертации
Введение
2. SU{2) x SU{2) нелокальная киральная кварковая модель типа Намбу-Иона-Лазинио 9
2.1 Построение эффективного мезон-кваркового действия 9
2.2 Введение внешних калибровочных полей 12
2.3 Пропагаторы и вершинные функции мезонов 14
2.4 Соотношение Гелл-Манна-Окса-Реннера 17
2.5 Соотношение Голдбергера-Треймана 18
2.6 Выводы 20
3. Определение форм-фактора и описание сильных взаимодействий 21
3.1 Выбор на осноRe нелокального кваркового конденсата 22
3.2 Альтернативный выбор форм-фактора 24
3.3 Численные оценки модельных параметров 26
3.4 Массы мезонов 27
3.5 Сильные распады 29
3.6 Выводы 32
4. Электромагнитные взаимодействия 34
4.1 Распад р -4 е+е~ 34
4.2 Электромагнитный форм-фактор и радиус заряженного п иона 35
4.3 Переходный радиус нейтрального пиона 38
4.4 Поляризуемость заряженного пиона 42
4.5 Выводы 47
Заключение 49
А. Приложение 52
А.1 Нелокальные вершины взаимодействия с внешними полями 52
А.2 Вычисление интегралов 57
- Введение внешних калибровочных полей
- Соотношение Голдбергера-Треймана
- Альтернативный выбор форм-фактора
- Электромагнитный форм-фактор и радиус заряженного п
Введение к работе
Актуальность темы. Квантовая хромодинамика(КХД) является теоретическим фундаментом сильных взаимодействий элементарных частиц. Асимптотическая свобода на малых расстояниях обеспечивает существование малого параметра as, что позволяет успешно применять хорошо разработанные методы теории возмущений. Однако значительно более сложная ситуация имеет место при средних и низких энергиях, где уже не существует малого параметра для построения теории возмущений и в этом случае приходится использовать непертурбативные методы квантовой теории поля. Поэтому в этой области энергий является оправданным применение различных эффективных моделей. В отсутствие строгой динамической теории основным принципом построения эффективных моделей является киральная симметрия сильных взаимодействий. Одной из наиболее известных моделей, приводящих к хорошим результатам, является модель Намбу-Иона-Лазинио(НИЛ), которая базируется на локальном четырехкварковом взаимодействии. В этой модели в силу спонтанного нарушения игральной симметрии происходит перестройка вакуума, возникает квар-ковый конденсат и появляются безмассовые голдстоуновские частицы (пионы). Явление конденсации почти безмассовых токовых кварков приводит к тому, что новыми эффективными степенями свободы являются массивные составляющие кварки. В рамках НИЛ модели возможно построить спектр масс псевдоскалярных, скалярных, векторных и аксиально-векторных мезонных нонетов, и объяснить их внутренние свойства и взаимодействия друг с другом. Модель НИЛ также успешно применяется для рассмотрения радиальных возбуждений мезонов и поведения мезонов в горячей и плотной среде.
Однако локальная модель НИЛ имеет недостатки, которые существенно
сужают область ее применения. Поскольку модель НИЛ является неперенорми-
руемой теорией, для устранения ультрафиолетовых расходимостей необходимо
введение феноменологического параметра обрезания по импульсам Л ( 1 ГэВ в
"———.
РОС НАНИОНАль^Хі*} 6И6ЛИОТЕКА
оэям»7««»
кварковых петлевых интегралах. Физический смысл этого параметра связан с выделением области энергии-импульса, где происходит спонтанное нарушение киральной симметрии. Несмотря на то, что такая процедура неоднозначна, различные схемы регуляризации обычно приводят к похожим результатам. Непере-нормируемость модели НИЛ приводит к трудностям и при рассмотрении следующих порядков разложения по обратной величине числа цветов кварков, 1/NC, которая является естественным малым параметром в калибровочных теориях. В каждом следующем порядке l/Nc возникают новые параметры обрезания ме-зонных петель. Модель НИЛ не обеспечивает также конфайнмент кварков.
Для устранения указанных выше недостатков локальной модели НИЛ, предлагались различные нелокальные эффективные модели. Такого рода модели позволяют решать целый ряд задач, которые невозможно решить без привлечения дополнительных феноменологических предположений в рамках локальных теорий: корректное описание длин рассеяния, форм-факторов частиц, радиусов, поляризуемостей, параметров наклона и т.д. Одной из проблем является выбор нелокального взаимодействия, поскольку не существует однозначных методов вывода эффективного нелокального лагранжиана из КХД.
Широко известным способом построения нелокальной теории является использование модели вакуума КХД как жидкости инстантонов, которая основывается на феноменологических соображениях, о том что в ансамбле инстантонов доминируют инстантоны определенного размера. Среднее расстояние между инстантонами гораздо больше размера инстантонов, то есть инстантонная жидкость является разреженной. В результате инстантонное взаимодействие ведет к появлению эффективного нелокального взаимодействия Nf кварков. В инстантонном вакууме происходит спонтанное нарушение симметрии и генерируется динамическая масса кварка, зависящая от его виртуальности. В инстантонной модели происходит регуляризация петлевых интегралов за счет учета нелокальной структуры непертурбативного вакуума КХД. Параметры модели, средний размер инстантона и плотность инстантонов в вакууме, име-
ют наглядный физический смысл, а все величины низкоэнергетической физики выражаются через них. В то же время, инстантонная модель не обеспечивает конфайнмент.
Целью диссертационной работы является формулировка SU(2) х SU(2) нелокальной кварковои модели с конфайнментом и определение на ее основе внутренних свойств мезонов и их взаимодействий при низких и промежуточных энергиях.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации сформулирована нелокальная киральная кварковая модель типа Намбу-Иона-Лазинио. В модели реализуется механизм спонтанного нарушения игральной симметрии, приводящий к появлению динамической массы кварка и безмассовому, в ки-ральном пределе, пиону. Показано выполнение в рамках данной модели основных низкоэнергетических теорем: соотношений Голдбергера-Треймана и Гелл-Манна-Окса-Реннера. Ядро нелокального взаимодействия имеет сепарабель-ный тип, мотивированный инстантонными взаимодействиями. Нелокальность предложена в форме обеспечивающей конфайнмент кварков. В модели вычислен ряд сильных и электромагнитных процессов с участием легких мезонов и отмечено согласие результатов с экспериментом. Найдены электромагнитные и переходные радиусы пионов с учетом поправок от векторных мезонов и показано, что в нелокальных моделях устраняется известное противоречие локальной модели, приводящее к завышенным значениям радиусов.
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, на семинаре в г. Болонья (Италия), а также представлялись на XII Международной конференции "Избранные проблемы современной физики" (Дубна, 2003), на семинаре "Современные методы релятивистской ядерной физики" (Дубна, 2003).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 работ.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из пяти глав и одного приложения, общий объем 75 страниц, включая 7 таблиц, 20 рисунков и список цитированной литературы из 85 наименований.
Введение внешних калибровочных полей
Действие (2.6) не будет инвариантным относительно локальных калибровочных преобразований. Поэтому для калибровочно-инвариантного введения внешних калибровочных полей, которые можно отождествить с электрослабыми1 полями, необходимо учесть вклады индуцированные нелокальным взаимодействием. Метод состоит в добавлении к каждому кварковому полю швипгеровского фазового фактора q{y) -+ Q(x,y) = Vexp і ijdz (z) + АЦгЫТ- і q(y)7 (2.11) здесь V оператор упорядочивания по путям, V(z) и A (z) - внешние калибровочные векторное и акисальпо-векторное поля, которые могут быть отождествлены с электрослабыми полями, Ta генераторы группы ароматов2.
Следующим шагом является определение способа работы с интегралом по путям. В данной работе используется формализм, основанный на том, что производная от интеграла по пути от произвольной функции F z) не зависит от траектории, по которой берется данный интеграл [47]: у у A J dzv F„{z) = ЗД), 6 (х - у) J dzv Fv{z) = 0. (2.12) X X Фактически этот формализм означает, что при выполнении операции дифференцирования затрагивается только конечная точка пути, а вся остальная траектория остается неизменной. В результате неминимальные взаимодействия, которые могут быть индуцированы кинетическим членом кварков, отсутствуют.
Калибровочно-инвариантное введение полей приводит к появлению дополнительных вершин индуцированных нелокальным взаимодействием, содержащих произвольное количество внешних полей (рисунок 2.1). Получение вершин взаимодействия с одним и двумя внешними полями приводится в приложении (смотри также [48]). Полные вершины взаимодействия составляющих кварков с внешними векторным и аксиально-векторными полями удовлетворяют тождествам Уорда. При этом в аксиально-векторном канале необходимо рассмотреть вклад от промежуточного пиоиного поля [37, 49].
Для описания мезонов необходимо рассмотреть поляризационные операторы частиц. При этом массы частиц находятся по положению полюсов в пропагаторах, а условие того, чтобы мезонный пропагатор обладал еде-иичным вычетом на своей массовой поверхности приводит к перенормировке мезонных полей. Нелокалыюсть взаимодействия приводит к тому, что перенормировка мезонного поля вне массовой поверхности частицы будет являться не константой, а функцией импульса.
Необходимо отметить, что в модели возникает эффект смешивания псевдоскалярного (7г) и аксиально-векторного (аі) полей. В этом нет никакого противоречия, поскольку аксиально-векторное поле со спином 1 содержит продольную компоненту которая соответствует спину 0. В данной главе рассматривается формулировка киральной кварковой модели с нелокальным сепарабельным четырехкварковым взаимодействием. С помощью процедуры бозопизации осуществляется переход от четырехкваркового действия к действию, содержащему физические ме-зонные поля. При этом спонтанное нарушение киральной симметрии приводит к возникновению динамической, зависящей от импульса, массы кварка тп(р). В лидируещем порядке 1/NC разложения отсутствует непертурбативная перенормировка кваркового пропагатора.
Введение внешних калибровочных полей осуществляется при помощи швингеровских фазовых факторов и приводит к появлению нелокальных вершин взаимодействия кварков и мезонов с внешними полями. При этом полные вершины взаимодействия внешних полей и составляющих кварков, масса которых тп(р) имеет импульсную зависимость, удовлетворяют тождествам Уорда.
Показывается выполнение пизкоэпергетических теорем: соотношений Голдбергера-Треймана и Гелл-Мапна-Окса-Репнсра. Построены пропагаторы и вершинные функции мезонов. Учтен эффект смешивания псевдоскалярного (тг) и продольной компоненты аксиально-векторного (cti) полей.
Соотношение Голдбергера-Треймана
Необходимо отметить соотношения (3.3) и (3.4) приводят к представлению скалярной или векторной части кваркового пропагатора в виде целой функции. Результатом этих соотношений является уменьшению числа модельных параметров - динамическая масса кварка при нулевой виртуальности т(0) и параметр обрезания Л оказываются однозначно связанными между собой.
При выборе модельных параметров для предложенных нами форм-факторов мы придерживались следующей схемы: поскольку в кираль-ном пределе в скалярном-псевдоскалярном секторе существует только один свободный параметр, то он фиксируется по константе слабого распада пиона Fa , константа связи в векторном-аксиально-векторном канале фиксируется по массе р-мезона Мр = 770 МэВ. Вне кирального предела для фиксации токовой кварковой массы тпс дополнительно используется физическое значение массы пиона Мж — 140 МэВ.
Значения модельных параметров для различного форм-факторов различного вида в киральном пределе и при тс ф 0 приведены в таблице 3.1. Легко видеть, что значения модельных параметров при нулевой и ненулевой массе токового кварка отличаются незначительно. Более того, амплитуды физических процессов, таких как сильные распады, также могут вычисляться в киральном пределе, что значительно облегчает численные расчеты, при этом окончательные значения ширин распадов могут быть получены соответствующим изменением фазового объема с учетом конечной массы пиона. Из таблицы также легко видеть, что оба форм-фактора приводят к близким значениям динамической массы при пулевой виртуальности кварка и четырех-кварковым константам связи G\y G2 Напомним, что в локальной модели НИЛ составляющая масса кварка равна 234 МэВ без учета и 280 МэВ с учетом 7Г — а\ смешивания, токовая масса кварка тс равна 3 МэВа, а константы связи в скалярном-псевдоскалярном и вскторном-аксиально-вскторном каналах есть G\ = 4.9 ГэВ-2 и Gi = 16 ГэВ-2, соответственно. Легко видеть, что в нелокальной модели динамическая масса кварка при нулевой виртуальности имеет большую величину, чем постоянная масса составляющего кварка в локальной модели, m(0) 350 МэВ, что согласуется с феноменологическими оценками в рамках инстантонных моделей и данными полученными при вычислениях на решетках. Также следует отметить, что в нелокальной модели константа связи в векторном канале существенно меньше чем в скалярном: G1/G2 10, тогда как в локальной модели ситуация противоположная: G1JG2 0.25. Подобная ситуация может быть объяснена наличием конфаймента в нелокальной модели.
Как уже отмечалось выше массы 7Г и р мезонов используются для фиксирования модельных параметров. В и ионном секторе коэффициент Z определяющий дополнительную перенормировку пионного поля от смешивания с продольной компонентой аксиально-векторного поля численно мал Z = 1.04, в результате чего все эффекты такого смешивания будут подавлены малым фактором, поэтому можно пренебречь дополнительной компонентой пион ной вершинной функции (см. (2.25)). Следует отметить, что в локальной модели НИЛ Z = (1 - 6т2/МІ У1 «1.4 {Mai = 1.26 ГэВ - масса ах мезона) и данное смешивание является исключительно важным эффектом.
Масса скалярного мезона оказывается достаточно небольшой: 450 и 420 МэВ для массовых функций (3.3) и (3.4), соответственно. Такая масса находится в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными [51], более того, последние эксперименты показывают существование достаточно легкого скалярного резонанса (см. например [57]). Ширины сильных распады мезонов, вычисленные с использованием массовых функций кварка, определяемых уравнениями (3.3), (3.4). Для сравнения приводятся результаты локальной модели НИЛ [16] и экспериментальные данные[51]. В локальной модели распад р — 7гтг использовался для фиксации модельных параметров.
Из таблицы можно видеть, что ширина Г оказывается очень близка к экспериментальным данным (в локальной модели данная ширина использовалась для фиксации модельных параметров).
Ширина сильного распада скалярного мезона оказывается существенно ниже возможных экспериментальных значений [51, 57]. Подобную ситуацию можно было ожидать. Действительно, в скалярном канале с вакуумными квантовыми числами возможны поправки от различных источников, таких другие скалярные мезоны, скалярный глюбол(ы) [62], четырех кв ар ков ьге состояния [63] и пр. Более того в скалярном канале оказывается важным учет 1/NC поправок [64].
Ширина ai также получается заниженной, в основном это является результатом малости фазового объема. При массе Mai = 1.26 ГэВ ширина аксиально-векторного мезона будет порядка 200 МэВ. Важно также, что отношение RD/S имеет правильный знак и порядок.
Альтернативный выбор форм-фактора
В работе предлагается два варианта выбора массовой функции кварка. Эти варианты основываются на представлении скалярной или векторной части кваркового пропагатора в виде целой функции. Представление кваркового пропагатора в виде целой функции широко используется в литературе для обеспечения конфайнмента кварков. В нашей модели такое представление связывает два основных модельных параметров, а именно динамическая масса кварка при нулевой виртуальности и параметр обрезания.
Модельные параметры: массовая функция кварка при нулевой виртуальности т(0), константа связи в векторном-аксиально-векторном секторе G2, токовая масса кварка тпс, фиксируются по экспериментальным значениям слабой константы распада пиона F , массы р-мезона Мр и массы пиона Мж, соответственно.
В результате при описании сильных распадов ужо не остается свободных параметров, тем не менее сильный распад р — 7гтг находится в удовлетворительном согласии с экспериментальным данными. Модель удовлетворительно предсказывает массы сг-мезона и отношение D-, S- парциальных волн в распаде а\ — рп. Заниженная величина распада а і —» ртг может быть объяснена малостью фазового объема данного распада вследствие сильного расхождения вычисленной массы аі-мезона с экспериментальной. Относительно проблем с рассмотрением ширины распада скалярного мезона т — 7иг известно, что в скалярном канале возможны большие поправки от учета смешивания с другими скалярными мезонами, глюболом(и), четырехкварковыми состояниями и взаимодействия пионов в конечном состоянии.
Диаграммы необходимые для описания процесса р —ї е+е изображены на рисунке 4.11. Кроме обычной кварковой петлевой диаграммы с локальной фотонной вершиной в данный процесс дают вклады также и диаграммы с нелокальным вершинами взаимодействия фотон-кварк-антикварк и фотон-мезон-кварк-антикварк.
В результате для данного процесса можно получить следующие значения: Яр е+е- = 6.38 и Гр_ е+е- — 4.36 КэВ, что находится в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными Г е+е_ 6.75 ± 0.42 КэВ. Заметим, что в модели векторной доминантности [17] существует соотношение для констант распада / мезона држп — др е+е , которое как легко видеть (смотри также таблицу 3.4) не выполняется в рамках данной модели.
Заметим, что в локальной модели НИЛ учет контактных и р мезон-пых диаграмм приводит к значительному превышению радиуса пиона по сравнению с экспериментальной величиной. Действительно, только контактная диаграмма дает около 80% величины экспериментального значения радиуса пиона [65, 68]. Еще больший вклад дает диаграмма с промежуточным /0-мезоном [68]. В результате теоретическое предсказание для радиуса не согласуется с экспериментом.
В нелокальной модели диаграммы с промежуточным векторным мезоном значительно подавлены. Вклад контактных диаграмм рисунок 4,2 и диаграмм с промежуточным р-мезопом 4.2 в электромагнитный форм-фактор пиона в радиус пиона равны (r2)(;otlt, = 0.340 фм2 и (г2)р — 0.047 фм2, соответственно. Суммарное значение электромагнитного радиуса пиона равно (r2)em = 0.387 фм2. что находится в лучшем согласии с экспериментальными данными, чем результат локальной модели. Вклады диаграмм различных типов приводятся в таблице 4.1.
Рассмотрим более подробно їж лады р-мезонных диаграмм электромагнитный радиус пиона в локальной и нелокальной моделях. Эти диаграммы состоят из трех частей: переход фотон р-мезон, пропагатор р-мезона, и часть, описывающая вершину р —у тгл. Вычисления показывают, что в нелокальной модели первая часть более чем в два раза, меньше, чем в локальной модели, вторая часть не меняется, и третья часть в четыре раза меньше, чем в локальной модели НИЛ. Причиной сильного подавлении вершины р — ттп в нелокальной модели является сильная импульсная зависимость амплитуды. В результате вклад р-мезонной диаграммы меньше почти на порядок по сравнению с локальной моделью НИЛ.
Поведение электромагнитного форм-фактора пиона F 77-7T-(q2) во времени- и пространственноподобной областях показано на рисунках 4.3, 4.4. При этом н пространственноподобной области вклад от промежуточного р мезона подавлен и форм-фактор F7 7r+7r-((22) определяется контактным членом. Во времениподобной области происходит топкая компенсация контактного вклада и вклада с промежуточным векторным мезоном в области —q2 М2 как показано на рисунке 4.5. р-мезонный резонанс явно виден во времениподобной области вблизи — q2 « М2 где дополнительно учтена конечная ширина мезона.
Электромагнитный форм-фактор и радиус заряженного п
Что же касается теоретической стороны вопроса, то существует большое количество оценок поляризуемости в различных моделях. Отметим только, что одни из первых оценок поляризуемости, выполненные в рамках нелинейных киралытых моделей [77, 78] и моделях типа НИЛ [79, 16] и соответствовали экспериментальным результатам (4.10).
Как показано в работе [79, 16], в локальной модели НИЛ основной вклад в поляризуемость пиона в лидирующем порядке 1/NC разложения состоит из двух типов диаграмм: диаграмм с промежуточным сг-мезопом и боксовых диаграмм (см. рис.4.7). Наши вычисления показывают, что в нелокальной модели выбор модельного форм-фактора оказывает большее влияние на поляризуемость пиона, чем вклад боксовых диаграмм. Поэтому в диссертации будет рассмотрена оценка поляризуемости только с учетом вклада сг-полюсной диаграммы.
Вершина СГ7Г7Г описывается треугольной кварковой диаграммой и ее величина составляет Aavi: — 1.57 ГэВ. Вершина Т77 имеет более сложную структуру. В результате появления нелокальных вершин взаимодействия кварков и мезонов с фотонами, процесс о"77 состоит из 4-х типов диаграмм (рисунок 4.8), которые калибровочпо-ипвариаитпы только все вместе.
Заметим, что вычисления поляризуемости заряженного пиона в похожей нелокальной модели, где динамическая масса кварка имела вид Заметим, что похожая ситуация с относительными вкладами т-полюсных и боксовых диаграмм имеет место и в нелокальной модели (см. например [81]). 5 Легко видеть, что вершина С„77 заметно подавлена по сравнению с локальной НИЛ моделью (смотри также таблицу 4.2). Необходимо подчеркнуть, что похожая ситуация имеет место в нелокальной модели другого типа с нелокальностью гауссовского типа [82]. простой гауссовой экспоненты т(р)=т(0)ехр(-2р7Л2), были выполнены в работе [49] с использованием метода правил сумм. В отличие от динамической массы, рассмотренной в диссертации, здесь отсутствует связь между параметрами т(0) и Л. В результате есть дополнительная свобода в выборе модельных параметров. В частности, в работе [49] использовались модельные параметры m(0) = 300 МэВ, Л = 1.085 ГэВ. В результате с использованием метода правил сумм для поляризуемости пиона была получена оценка an = 2.9. С другой стороны, можно произвести оценки с использованием ст-полюсных диаграмм.
Легко видеть, что в нелокальной модели существует сильная зависимость поляризуемости от формы нелокальности и модельных параметров . Радиационный распада / мезона р — е+е удовлетворительно предсказывается в рамках нелокальной модели. Далее в данной главе рассматривались электромагнитный и переходный радиусы пионов, а также электромагнитный форм-фактор пиона в области —1 ГэВ2 q2 1.6 ГэВ2. Известно, что в локальной модели НИЛ вклад диаграмм с промежуточными векторными мезонами в радиусы пионов имеет тот же порядок, что и вклад контактных диаграмм. В результате суммарное значение радиуса плохо согласуется с экспериментом. В нелокальной модели вклад векторных мезопов в радиусы оказывается сильно подавлен, что приводит к удовлетворительному согласию вычисленных радиусов с наблюда емыми. Показано, что учет вклада промежуточного -мезона позволяет также описать электромагнитный форм-фактор пиона во времени- и пространственно- подобных областях.
При этом в пространственноподобной области данный вклад подавлен, тогда как во времени подобной области происходит компенсация контактного вклада и вклада с промежуточным векторным мезоном. В результате электромагнитный форм-фактор пиона находится в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными.
Оценки поляризуемости заряженного пиона показывают, что в данной модели поляризуемость по сравнению с локальной моделью имеет меньшую величину. Причиной сильного уменьшения поляризуемости в нелокальной модели является подавление амплитуды двухфотошгого распада скалярного мезона a — уу.
Показано, что поляризуемость чувствительна к деталям модели и при наличии хороших экспериментальных данных может помочь при выборе форм-фактора.
В диссертации построена нелокальная киральная кварковая модель с отсутствием ультрафиолетовых расходимостей и конфайнментом кварков. Эти свойства модели обеспечиваются нелокальным сепарабельным ядром четырехкваркового взаимодействия. Такая форма взаимодействия может быть мотивирована моделью инстантонной жидкости. В отличие от инстантонной модели нелокальное взаимодействие было расширено с целью включения в модель векторных и аксиально-векторных мезонов.
Переход от четырехкваркового действия к действию, описывающему мезонные поля осуществлялся с помощью процедуры бозопизации. При этом в силу спонтанного нарушения симметрии у легких токовых кварков появляется динамическая масса, зависящая от импульса. В лидирующем порядке разложения по числу цветов кварков 1/NC в данной модели отсутствует перенормировка кваркового поля. В вершинах взаимодействия мезонов с кварками появляются нелокальные функции, при этом перенормировка мезонных полей является функцией импульса. Внешние калибровочные поля введены с помощью швингеровских фазовых факторов, при этом используется формализм основанный на независимости контурного интеграла от пути интегрирования [47]. В результате появляются дополнительные нелокальные вершины взаимодействия кварков и мезонов с внешними полями, при этом полные вершины удовлетворяют тождествам Уорда.
