Содержание к диссертации
Введение
1 Линейная теория возмущений в инфляционной космологии . 12
1.1. Разложение метрического тензора 12
1.2. Калибровочные преобразования метрики 14
1.3. Преобразование скалярных и векторных величин 14
1.4. Наиболее часто используемые калибровочные условия 15
1.4.1. Продольная калибровка 15
1.4.2. Калибровка постоянной кривизны 1G
1.4.3. Сопутствующая ортогональная калибровка 16
1.4.4. Синхронная калибровка 17
1.5. Общие уравнения Эйнштейна для фоновой метрики и скалярных возмущений 18
1.6. Идеальная жидкость 19
1.6.1. Основные уравнения 19
1.6.2. Уравнения в продольной и в сопутствующей калибровках 21
1.6.3. Связь между неоднородностями плотности и метрики В сопутствующей ортогональной калибровке 21
1.6.4. Приложения к модели "холодное темное вещество - излучение". 22
1.7. Скалярное поле 28
1.7.1. Фоновые решения 30
1.7.2. Режим медленного скатывания 32
1.7.3. Эволюция неоднородностей 33
1.8. Генерация неоднородностей из квантовых флуктуации скалярного ноля. 35
1.8.1. Действие для возмущений 35
1.8.2. Квантование неоднородностей 36
1.8.3. Спектр возмущений плотности в расширяющейся Вселенной, заполненной скалярным полем 41
2 Модели инфляции с несколькими скалярными полями и киральные модели . 46
2.1. Основные уравнения для моделей с несколькими скалярными полями- 46
2.2. Сохраняющиеся величины 48
2.3. Примеры моделей инфляции с несколькими скалярными полями 50
2.3.1. Модели инфляции с минимально взаимодействующими скалярными полями 50
2.3.2. Гибридная инфляция 52
2.3.3. Вспомогательная инфляция 53
2.4. Первичные неоднородности в модели с двумя массивными скалярпы.ми полями 55
2.5. Киральные модели инфляции и конформное преобразование 58
2.6. Модели инфляции, конформно эквивалентные сигма моделям GO
2.6.1. Инфляция в теории Бранса-Дике GO
2.6.2. Инфляция в теории с неминимально взаимодействующим безмассовым скалярным полем G2
2.6.3. Аксион-дилатонные космологии 62
2.6.4. Теории с высшими производными 63
2.7. Основные уравнения для двухкомпонентных сигма моделей G4
2.8. Анализ уравнений для некоторых частных случаев 67
2.8.1. Предельно жесткое вещество G7
2.8.2. Диагональная сигма модель частного вида: />ц = 1. /122 = -Р{^)-U = U( 3 Скалярные возмущения в моделях инфляции на основе НСМ . 73 3.1. Двухкомпонеитные сигма модели в режиме медленного скатывания 7-і 3.1.1. Коротковолновое приближение 75 3.1.2. Длинноволновое приближение 76 3.1.3. Пример: два неминимально взаимодействующих с кривизной скалярных поля, одно из которых имеет потенциал Xip4 80 3.2. Трехкомпонентные сигма модели в режиме медленного скатывания 83 3.2.1. Длинноволновое приближение 84 3.2.2. Пример: двойная инфляция в теории Бранса-Дикке 87 3.3. Декомпозиция возмущений метрики на инфлатонные и неинфлатонные. 91 3.4. Декомпозиция возмущений на адиабатические и энтропийные 95 3.4.1. Фоновые поля 95 3.4.2. Неоднородности 9G 3.4.3. Применение к инфляционным моделям в режиме медленного скатывания 100 3.4.4. Численный пример 102 Приложения Литература Введение к работе Актуальность работы Стандартное предположение современной космологии - существование в истории ранней Вселенной стадии ускоренного расширения, когда вторая производная масштабного фактора положительна. Это расширение было названо инфляционным. Наличие достаточно продолжительной инфляционной стадии позволяет разрешить такие хорошо известные трудности теории Большого Взрыва, как проблемы однородности, горизонта и плоскостности [26, 54]. Кроме того, инфляционная теория указывает источник возникновения первоначальных неоднородностей. из которых возникла наблюдаемая крупномасштабная структура Вселенной. В простейших моделях хаотической инфляции предполагается наличие одного скалярного поля (р с потенциалом Y( Введение полей перед стадией теплового разогрева [43, 44]). В моделях инфляции с N скалярными полями существуют 2JV независимых мод неоднородностей полей и метрики. Две из них являются адиабатическими - падающая и растущая адиабатические моды, остальные называются модами постоянной кривизны. Как следует из названия, для мод постоянной кривизны на протяжении инфляционной стадии (или по крайней мере после ее окончания) возмущения метрики пренебрежимо малы. При рассмотрении эволюции неоднородностей прежде всего интересуются адиабатической растущей модой. поскольку моды постоянной кривизны могут привести к наблюдательным эффектам только при специфических условиях. Рассматривая только растушую адиабатическую моду, закон сохранения калибровочно - инвариантной величины 71 позволяет вычислить спектральный индекс адиабатических возмущений для любой многокомпонентной модели инфляции в режиме медленного скатывания [79]. В режиме медленного скатывания неоднородности полей находятся "сшивкой"длинноволновых классических неоднородностей и коротковолновых квантовых флуктуации полей в момент, когда характерный физический размер неоднородностей становится равным размеру горизонта (хаббловско.му радиусу). Если возмущения постоянной кривизны и растущая адиабатическая мода сравнимы между собой на инфляционной стадии, то выделить адиабатическую моду возмущений достаточно трудно [82]. В этом случае для нахождения амплитуды адиабатических возмущений в момент пересечения волной неоднородности горизонта оказывается необходимым получить общее решение для .Y неубывающих мод неоднородностей в длинноволновом приближении. К сожалению, вычислить неоднородности оказалось возможным для очень немногих многокомпонентных моделей инфляции. В данной работе1 рассматривается эволюция неоднородностей г, киральных инфляционных моделях. Киральная модель инфляции [17] основана на бозонной нелинейной сигма модели с потенциалом самодействия. Действие для нее имеет вид s = J d'x^T, j-А + ^.4* (/VV* 'l - ^V)}- (і) где ipc - компоненты сигма модели, А, В, С — 1..N, N - количество компонент сигма модели, hав - компоненты киральной метрики. Нелинейная сигма модель описываем набор /V скалярных полей, взаимодействующих между собой геометрически. В частном случае, когда коэффициенты h^B киральной метрики не зависят от полей (^с, мы получаем просто набор скалярных полей с потенциалом самодействия U(ipc), минимально взаимодействующих с кривизной пространства - времени. Нелинейные сигма модели возникают после конформного преобразования в ряде неэйнштейновских теорий гравитации [61](например в скалярно-тензорных теориях типа Бранса-Дике, теориях с квантовыми поправками или в низкоэнергетическом Введение пределе теории суперструн). В работах [15, 19| представлено подробное обоснованно введенного в [17] термина "киральные модели космологической инфляции". Часго инфляционные модели с действием (1) называют просто моделями со скалярными полями [79, 70], однако мы не используем этот термин, чтобы подчеркнуть нетривиальность киральной метрики. Поскольку нахождение спектра первоначальных возмущений, сгенерированных в киральных моделях инфляции, представляет собой важную задачу, большое количество авторов рассматривали ее для все более и более сложных случаен. В двухкомпонентной модели с инфлатоном и полем Бранса-Дике (приведенное к эйнштейновскому виду соответствующее действие имеет форму нелинейной сигма модели) скалярные неоднородности были вычислены А.А. Старобинским и Дж. Иокоямой (Yokoyama) в работе [83]. В работах Дж. Гарсиа-Беллидо (Ganfa-Bellido) и Д. Вандса (Wands) [29, 30] эволюция неоднородностей в режиме медленного скатывания тщательно изучена для двухкомпонентной сигма модели с метрическими компонентами /іц = 1, h22 = ^22(^1) і ^12 = /121 = 0 и потенциалом самодейстпни У(<Рі,у>2) = ^1(^1)^2(^2)- Затем в работе В.Ф. Муханова и П.Дж. Штейпхардта (Steinhardt) [70] было получено решение для неоднородностей в двухкомпонентной диагональной сигма модели общего вида с произвольным потенциалом. Решение имеет вид интеграла по фоновым полям и в частных случаях приводится к простому алгебраическому выражению. В работе А.А. Старобинского. Ш. Тсуджикавы (Tsu-jikawa) и Дж. Иокоямы [82) вычислены неоднородности для несколько классов многокомпонентных моделей инфляции, конформно эквивалентных кнра. |ьным моделям. Большой интерес вызывает также описание эволюции неоднородноетей полей и метрики вне режима медленного скатывании (прежде всего при изучении прехитинга, а также в ряде многокомпонентных моделей инфляции, когда режим медленного скатывания нарушается). Для этого необходимо знать точные фоновые решения. Как правило, их находят численными методами, однако большую ценность имеют аналитические решения. Метод точной настройки потенциала, предложенный СВ. Червоном, В.М. Журавлевым и В.К. Щпголевым [21], позволяет найти широкий класс точных решений. В недавней работе СВ. Червона [1С| методом точной настройки потенциала получены новые точные решения без ограничений па потенциал самодействия. В работе К. Гордона (Gordon), Д. Вандса, Б.А. Бассета (Bassett) и Р. Мартенса (Maartens) [32] при изучении эволюции неоднородностей скалярных полей были введены новые переменные 6а и 5s , которые были названы "адиабатическими"и "энтропийными"неоднородностями. Эти переменные оказались удивительно удобными для описания временной эволюции сопутствующей кривизны Ц, а также при решении уравнений для неоднородностей в режиме медленного скатывания. Уравнения для неоднородностей, записанные в новых переменных. наилучшим образом подходят для решения численными методами (32, 86|. В работе Введение Ф.Д. Марко (Marco), Ф. Финелли (Finelli) и Р. Бранденбергера (Brandeiiberger) |G5| этот подход был обобщен на случай диагональных сигма моделей частного вида: hn = 1, Д22 = е2Ь(>1', а в работе С.Г. Ниббелинка (Nibbelink) и Б.Дж.В. ван Тента (Tent) [71] на случай произвольных сигма моделей в режиме медленного скатывания. Таким образом, изучение эволюции скалярных неоднородностеи в киральных моделях инфляции является актуальной задачей современной инфляционной космологии. Цель и задачи исследования. Основной целью диссертационной работы является изучение скалярных неоднородностеи в моделях инфляции на основе двухкомпонентных II трехкомпонентных нелинейных сигма моделей. В процессе работы необходимо решить следующие задачи: ИсСЛеДОВаТЬ ОСНОВНЫе ОСОбеННОСТИ ЭВОЛЮЦИИ СКаЛЯрНЫХ неОДИОрОДНОСТеЙ 15 киральных моделях инфляционного расширения Вселенной. Решить уравнения для неоднородностеи метрики и киральных полей Вычислить энергетический спектр первичных неоднородностеи в киральных Научная новизна и значимость. Найдены решения в квадратурах для скалярных неоднородностеи полей и метрики гравитационного поля, сгенерированных на стадии инфляции в режиме медленного скатывания в двухкомпонентных киральных моделях общего вила. При упрощении модели к двухкомнонентным диагональным кпра.тьиым моделям результаты совпадают с ранее известными. Впервые в режиме медленного скатывания уравнения эволюции В режиме медленного скатывания вычислены неоднородности в конце Введение 9 результатов с наблюдательными данными во второй модели вычислен спектральный индекс адиабатического энергетического спектра. Установлено, что в исследуемой области значений пераметров не возникают противоречия с наблюдениями. Показано, что в моделях инфляции на основе двухкомпонентных диагональных а также для киральных моделей инфляции в режиме медленного скатывания. Представлен вывод формального выражения, которое описывает Практическая значимость исследования. В режиме медленного скатывания для ряда конкретных моделей инфляции вычислены спектры первичных неоднородностей. Это позволяет сравнивать теоретические предсказания для неоднородностей в киральных моделях с данными. полученными из астрофизических наблюдений. Кроме того, для моделей инфляции на основе двухкомпонентных диагональных сигма моделей получено формальное выражение для энергетического спектра, которое справедливо и после окончания стадии медленного скатывания. Основные положения, выносимые на защиту. В рамках двухкомпонентной диагональной киральной модели степенной инфляции (с масштабным фактором a(t) = fto^'" и киральным пространством специального вила h\\ = 1,/^22 ос eAvi) в продольной калибровке получены решения для возмущений метрики в двух асимптотических случаях: длинноволновые неоднородности и коротковолновые неоднородности. Причем, использовался новый подход, основанный на сведении системы уравнений на возмущения к линейному дифференциальному уравнению в обыкновенных производных четвертого порядка для неоднородности метрики Ф. Для двухкомпонентных киральных моделей общего вида с потенциалом Введение по фоновым полям), которые описывают эволюцию скалярных неоднородностей полей и метрики гравитационного поля на стадии инфляции в режиме медленного скатывания. При известном фоновом решении они дают значения неоднородностей в конце инфляционной стадии. Получены общие выражения для неоднородностей полей и метрики. сгенерированных на стадии инфляции (в режиме медленного скатывания) для диагональной трехкомпонентной сигма модели вида /гц(9з) = /*22(^чМ':« = 1- г потенциалом самодействия U — V'(!, ^2)^(^3) Установлено, что в моделях инфляции на основе двухкомпонентных диагональных сигма моделей энтропийные неоднородности 6а эволюционируют независимо от адиабатических 6а после пересечения волной неоднородности горизонта. Найдено формальное выражение для энергетического спектра неоднородностей, которое описывает его временную эволюцию с учетом энтропийных неоднородностей и является справедливым как в режиме медленного скатывания. так и после его завершения. Личный вклад автора. Работа выполнена на основе теории возмущений в киральной модели инфляции. разработанной в 1997 году научным руководителем д. ф.-.м. н.. профессором С. В. Червоном. Проведение аналитических и численных расчётов, анализ полученных результатов для конкретных моделей выполнены автором самостоятельно. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на "Y международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона" (Москва, 2001 г.), "XIII международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга -13' 2001"(Казань, 2001 г.), "11-ой международной конференции "Теоретические и экспериментальные проблемы общей теории относительности и гранитацни"(Том< к. 2002 г.), научном семинаре имени Зельманова ГАИШ МГУ (Москва. 2002 г.). "3-ей международной школе-семинаре "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии UISS - 2003" (Ульяновск, 2003 г.), семинарах Лаборатории фундаментальных исследований физико - технического факультета УлГУ и кафедры теоретической и математической физики УлГУ. Введение 11 Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 7 работах. Из них 4 - статьи. 3 опубликованы в тезисах докладов конференций. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, двух приложениий, списка литературы из 94 наименований источников отечественных и зарубежных авторов, изложена на 139 страницах печатного текста, включает 3 рисунка. Первая глава содержит изложение основных уравнений и результатов линейной теории космологических возмущений. Особое внимание уделено моделям инфляции с одним ска.лирным полем, находящемся в режиме медленного скатывания. Во второй главе проведено рассмотрение моделей инфляции с несколькими скалярными полями и скалярных неоднородностей в этих моделях. В ней также рассматриваются примеры киральных моделей инфляции, выписаны основные уравнения для неоднородностей и проведен предварительный анализ этих уравнений для некоторых частных случаев. Третья глава полностью посвящена скалярным неоднородностя.м в киральных моделях инфляции. Из величин ф,ф,В,Е можно составить комбинации, которые не изменяются при калибровочных преобразованиях. Например, часто используются величины [G9: Ф = ф+-[{В-Е )а) , Ф = --(В-Я ), (1.24) которые впервые были введены Бардиным (Bardeen) [2. Калибровочно -инвариантные величины Ф. Ф не зависят от выбора системы координат и н продольной калибровке совпадают с величинами фі , -фі соответственно. Калибровка постоянной кривизны. Эту калибровку называют также внедиагональной. В ней на выбранной пространственной гиперповерхности трехмерная метрика однородна, что требуст -ф — Е — 0. Соответствующее калибровочное преобразование имеет вид: Эти величины также являются калибровочно-инвариантньгмн и были обозначены Л, В в работе [42]. В некоторых случаях оказывается более удобным использовать зти переменные вместо переменных Ф и Ф. Например, если рассчитывается эволюция возмущении во время сжатия в модели "перед Большим Взрывом", возмущения Л и В остаются малыми даже если Ф и Ф становятся большими (см. например (121). Возмущения скалярного поля в калибровке постоянной кривизны в силу закона преобразования (1.16) равны 6 рис = 6 р + р (1.28) и совпадают с калибровочно-инвариантной переменной Сасаки - Муханова [69. Сопутствующая ортогональная калибровка. Предположим, что материя во Вселенной может рассматриваться как идеальная жидкость. Сопутствующая ортогональная калибровка определяется таким образом. Глава 1. Линейная теория возмущений в инфляционное космологии. чтобы трехмерная скорость жидкости была равна нулю vlc = 0. Ортогональность гиперповерхностей постоянного времени к четырехмерной скорости требует выполнения условия В = 0. Такая калибровка часто используется при рассмотрении возмущений в радиационно - доминированной и пылевидно - доминированной Вселенной. Из уравнений (1.14) и (1.20) получаем соответствующее калибровочное преобразование: Калибровочно-инвариантная величина Wc впервые была использована в работе В.Н. Лукаша [60]. В работе Д.Х. Лиса (Lyth) [57] она получила обозначение TZ. которое в настоящее время широко используется. Используя уравнения Эйнштейна (см. п. 1.6.1), можно получить соотношение Н - п из которого потенциал скорости выражается через возмущения метрики. Величину 7Z можно записать в терминах калибровочно-инвариантных величин Ф и Ф: которая при Ф = Ф совпадает с величиной, обозначенной в обзоре 69. Синхронная калибровка. Синхронная калибровка задается условиями ф — 0 и В = 0. Из (1.6) видно, что из любой начальной системы координат можно найти преобразование в сиихронпую калибровку. Искомое преобразование имеет вид [69] Глава 1. Лннеґіная теория возмущений в инфляционной космологии. где индекс s обозначает синхронную калибровку. Как видно из этого правша преобразования, синхронные координаты также определены неоднозначно. поскольку имеется остаточная свобода: где Ci(x),C2(x) произвольные функции пространственных координат. Оставіиаяси свобода преобразований приводит к нефизическим калибровочным модам, которые затрудняют физическую интерпретацию полученных результатов. Общие уравнения Эйнштейна для фоновой метрики и скалярных возмущений. Уравнения Эйнштейна имеют вид: где С7- тензор Эйнштейна. Щ - тензор Риччи, R — R» - скалярная кривизна. Для фоновой метрики тензор Эйнштейна имеет вид Фоновые уравнения имеют вид где Тр - фоновый тензор энергии - импульса материи. Разлагая интересующие нас величины в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными членами, получаем линеаризованные уравнения Эйнштейна для малых возмущений где знак 5 обозначает члены, линейные по неоднородностям метрики и материи. Для скалярных возмущений уравнения Эйнштейна для возмущений получаются после вычислений [69]: Уравнения Эйнштейна можно записать в калибровочно-иивариангно.м виде. Трудность заключается в выборе калибровочно-инвариантных величин, в терминах которых записывать уравнения. Форма уравнений зависит от выбора mix величин. Приведем уравнения в терминах калибровочно-инвариантных величин Ф и Ф [G9: В координатном представлении (в справедливости коммутационного соотношения / можно убедиться простой проверкой). Решение уравнения (1.213) легко находится: Полная волновая функция является произведением волновых функций (1.214) для каждой пары волновых векторов Поскольку. то вероятность обнаружения поля с напряженностью v(k) распределена по гауссову закону Найти точный вид полевых мод, решив уравнение (1.152), в большинстве случаем оказывается затруднительным. Однако для очень важного случая расширения Вселенной в режиме медленного скатывания возможно приближенное решение задачи: в этом случае — — и задача сводится к квантованию оезмассового вещественного скалярного поля ф на фоне пространственно-однородной Вселенной. Действительно, после замены ф — v/a, действие (1.185) можно записан, в эквивалентном виде где индексы /г = 0,..,3 относятся к четырехмерному пространству - времени. Уравнение (1.152) в режиме медленного скатывания для моды с волновым вектором к приобретает вид Линейная теория возмущений в инфляционной космологии. При квазиэкспоненциальном расширении выполняется соотношение а(?/) = й (параметр Хаббла Н — - является медленно меняющейся величиной ), с учетом которого общее решение уравнения (??) можно записать в виде функции Ганкеля. Правильно нормированным решением, удовлетворяющим условию (1.208), будет [50 Прямой проверкой можно убедиться, что (1.219) действительно является решением (1.217). Через несколько хаббловских времен после пересечения волной горизонта (в момент конформного времени //») вакуумное ожидание будет равно Поскольку Н является медленно меняющейся функцией, то с- хорошей точностью можно заменить 7/„ на / и записать следующее соотношение для вакуумного ожидания Фурье-компонент возмущений поля в калибровке постоянной кривизны: кЫ2 = - (1.221) Выражение (1.221) записано для возмущений поля в калибровке постоянной кривизны. Используя асимптотические решения (1.170). (1.171) для возмущений метрики и поля, а также условия медленного скатывания, можно показать справедливость соотношения 5ipi г» b $vc для волн меньших или порядка длины горизонта. Отсюда следует справедливость выражения (1.221) и для Фурье-компонент возмущений ноля в продольной калибровке. Приведем основные результаты в системе СГС. В этих единицах действие для массивного скалярного поля имеет вид Асимптотическая нормировка Сопутствующее волновое число к является безразмерной величиной, поэтому Линейная теория возмущении в инфляционнокосмологии. прямой проверкой убеждаемся, что размерности 6(р и / совпадают, как и должно быть. Спектр возмущений плотности в расширяющейся Вселенной, заполненной скалярным полем. Квантовые флуктуации скалярного поля, генерируемые на стадии инфляции. проявляют классические свойства на длинах волн, превышающих горизонт. Как видно из условия нормировки (1.208), при выполняется условие / = Ck/k, где Ск - не зависящая от времени константа. Это свойство позволяет выбрать величины /к вещественными. Кроме того, при условии (1.225) операторы г)(к) и р(к) коммутируют, что соответствует свойствам классических наблюдаемых. В важном случае режима медленного скатывании, используя явный вид решения (1.219), убеждаемся в выполнении неравенств (1.225) и коммутативности операторов v(k), p(k) для неоднородностей, покинувших гори ЗОНІ. По правилу квазиклассического предела квантовой механики (66]. в чтом случае1 мы должны рассматривать неоднородности как классический статистический ансамбль с функцией распределения (1.215), т.е. как классические гауссовы величины. Покажем прямым вычислением [76], что при выполнении (1.225) Фурье-компоненты поля и импульса можно считать классическими случайными ветчинами с законом распределения /?(и(к)) в следующем смысле: В непрерывном пределе классическое случайное поле v(k, rj) записывается и виде и(к, г]) где гауссовы случайные величины е(к) нормированы на д-функцию, обладают нулевым средним и единичной дисперсией. Величины е(к) могут быть выбраны вещественными. Пользуясь этим свойством, а также используя уравнение (1.221), для инфляционных моделей в режиме медленного скатывания можно записать возмущения поля в момент пересечения волной горизонта: На первый взгляд, знания одного этого соотношения недостаточно для определения дальнейшей эволюции длинноволновых неоднородиостей. поскольку общее решение для них содержит две подлежащие определению константы (как видно, например из выражения (1.169)). Поэтому запишем общее решение уравнения (1.217)) в длинноволновом приближении. Оно имеет вид Очевидно, что первое слагаемое в этом выражении соответствует растущей адиабатической моде, а второе - падающей. Сравнивая (1.229) с (1.219), получаем В момент времени к получаем теперь значения для амплитуд: Как видно из этих равенств, в момент пересечения горизонта растущая и падающая адиабатическая мода сравнимы по величине. Однако падающая адиабатическая мода экспоненциально быстро распадается и уже через несколько хаббловских времен после пересечения горизонта ее вкладом в возмущения ноля и метрики можно пренебречь. Вспоминая подробности вывода выражения (1.221). получаем что уравнение (1.228) дает значения неоднородиостей именно для растущей адиабатической моды. Поскольку неоднородности метрики для скалярных возмущений однозначно определяются неоднородностями поля, выражение (1.165) позволяет найти и возмущения метрики в момент tk- Например, для калибровочно-инвариантной величины 7к получаем из (1.28) соотношение так как в сопутствующей калибровке бірс — 0. Учитывая, что IZ является сохраняющейся величиной для длинных волн [69],[50] получаем значение 7к во все последующие времена до повторного пересечения волной горизонта. Для нахождения 7к по формуле (1.232) надо знать tk. Оценим tk следуя работе [50]. Для этого введем введем дополнительно еще три момента времени: ten(t - момент окончания инфляции. treh - момент окончания теплового разогрева (после которого Вселенная становится радиационно - доминированной), t0 - современное значение времени. Теория суперструн сегодня является одной из самых многообещающих физических теорий и бурно развивается. Большинство исследований космологических следствий теории струн [52] направлено на изучение роли дилатонного поля, наличие которого приводит к изменению со временем эффективной гравитационной константы. В отсутствие других полей низкоэнергетическое эффективное действие приводит к теории Бранса-Дике с параметром и = —1. Хотя это предсказанное значение не соответствует наблюдательным данным, возможно что учет высших квантовых поправок [28] изменит его до экспериментально приемлемого. Все теории суперструн в низкоэнергетическом пределе в простейшем случае приводят к теории с эффективным действием [23 где п - число безмассовых полей /і. Поле ф называется дилатоном, поле a - аксионом. После конформного преобразования с Q2 — е ф гравитационная часть действия Модели инфляции с несколькими скалярными полями л киральные модели. 63 принимает эйнштейновский вид: Полученное действие имеет вид сигма модели и исследуется стандартными методами. Эта модель одна из немногих, где найдены точные решения не только для фоновых полей и метрики, но и для малых неоднородностей [23]. Теории с высшими производными. Рассмотрим теорию гравитации с метрическим тензором (jliu и действием произвольная функция скалярной кривизны (отклонение теории от ОТО обусловлено квантовыми поправками). Полевые уравнения теории получаются прямым варьированием действия (2.108): Эти уравнения совпадают с обычными уравнениями Эйнштейна щ- я = кгті;, (2.П0) в теории со скалярным полем и конформно-преобразованной метрикой /у,,,, = Fg t, при подходящем выборе конформного множителя F — F(R) и потенциала U скалярного поля p(R). Действительно, используя соотношения (2.95) и (2.9G) уравнения Эйнштейна (2.110) можно записать в виде Модели инфляции с несколькими скалярными полями и киральные модели. 04 Конформная эквивалентность имеет место также и в более общих теориях. В работе [61] показано, что теория с действием эквивалентна эйнштейновской теории с двумя скалярными полями, которые можно рассматривать как компоненты сигма модели: Явный вид потенциала можно получить выразив скалярную кривизн) R через компоненты сигма модели у и \. Примером модели инфляции, описываемой действием (2.114) является теория с высшими производными и неминимально взаимодействующим с кривизной скалярным полем. Эволюция неодпородностей в этой модели была изучена как на инфляционной стадии, так и в контексте прехитинга [89]. Основные уравнения для двухкомпонентных сигма моделей. Рассмотрим двухкомпонентную сигма модель с потенциалом самодействпя общего вида: где коэффициенты кнральной метрики /ilb h-n, / г - некоторые функции компонент сигма модели (киральных полей) и \ . Представим компоненты сигма модели в виде суммы однородных фоновых полей . X и малых неоднородностей бір, б\- Запишем основные уравнения. Фоновые уравнения Эйнштейна (1.40) запишем в виде двух соотношений между Модели инфляции с несколькими скалярными полями и киральные модели. С5 параметром Хаббла Я = и фоновыми полями: Уравнения для фоновых полей имеют следующий вид: Общие уравнения для возмущений метрики и компонент сигма модели в продольной калибровке записаны в работе [18]. Для сигма модели (2.117) уравнения Эйнштейна для возмущений имеют вид Как видно из этих выражений, уравнения для Фф совпадают с уравнениями для неоднородностей скалярного поля в продольной калибровке. Количество полученных уравнений превышает количество переменных и их справедливость необходимо проверять в каждом конкретном случае. В режиме медленного скатывания для коротких длин волн справедливость уравнений Эйпппейпа для ипфлатоппых и неинфлатонных возмущений метрики не вызывает сомнений. В работе [32] при изучении эволюции неоднородностей скалярных полей были введены новые переменные 6а и 6s , которые были названы "адиабатическими"и "энтропийными"неоднородностями (очень похожий метод описания неоднородностей был использован в работе [37]). Эти переменные оказались удивительно удобными для описания временной эволюции сопутствующей кривизны 1Z. решения уравнений для неоднородностей в режиме медленного скатывания, а также при численных решениях уравнений для неоднородностей (см. [32. 86]). Затем в работе [63] этот подход был обобщен на случай диагональных сигма - моделей частного вида: Ііц — 1. /і22 = е2 1), а в работе [71] на случай произвольных сигма моделей в режиме медленного скатывания. Здесь мы рассмотрим обобщение для случая произвольных диагональных двухкомпонентных сигма моделей, не ограничиваясь вычислениями в режиме медленного скатывания. Применим метод разделения возмущений метрики на инфлатонные и неинфлатонные к сигма моделям, рассмотренным в разделе п.2.8. Для сигма модели (2.135) уравнение на неинфлатонные возмущения метрики (3.144) совпадает с уравнением (2.138), т.е. инфлатонные и неинфлатонные возмущения метрики описываются одним уравнением и уравнение (3.144) справедливо. Несколько другая ситуация возникает при анализе полевых уравнений. Например при P(ip) = const полевое уравнение (2.142) для г)г" принимает вид Мы рассматриваем линейные возмущения на фоне пространственно - плоского пространства ФРУ. Линейный элемент с учетом скалярных неодиородностей имеет вид (1.8). Здесь мы не будем использовать какие-либо конкретные калибровочные условия и проделаем вычисления по возможности не фиксируя калибровку. Без ограничения общности, неоднородности можно рассматривать в виде плоских волн с физической длиной X(t) = жак . где к - сопутствующее волновое число. Уравнения Эйнштейна для Фурье-компоиент неодиородностей имеют вид: Поля а и s в работе [32] были названы "адиабатическим"!! "энтропийным". Как следует из названия, возмущения с 6s — О являются чисто адиабатическими. Для некоторых моделей инфляции с двумя скалярными полями имеется очень простая связь между возмущениями энтропии 8s и возмущениями постоянной кривизны 13 начале радиационно - доминированной стадии [75], [49]. Пользуясь новыми переменными, уравнение (3.172) для эволюции возмущении кривизны можно записать в виде следующего равенства: которое по форме совпадает с соответствующими уравнениями работ 32, G5. Как видно из этого уравнения, для адиабатических возмущений, когда = п следовательно Ss = 0, на больших масштабах ( «С Я) выполняется закон сох])аиения величины 72-к Рассмотрим применение полученных выражений к моделям в режиме медлсміного скатывания. В этом случае квантовые вакуумные флуктуации полей после пересечения волной неоднородности горизонта (- Н) можно рассматривать как классические неоднородности. Из (3.17) и (3.174) получаем следующие выражения для 8ak и 5sk: 6ak(tk) = L(k), Ssk(tk) = =es(k), (3.187) где ест, es - также независимые гауссовы случайные величины с нулевым средним п единичной дисперсией. Ограничиваясь наиболее важными нераспадающимися модами длинноволновых неоднородн остей, как и в случае моделей инфляции с одним скалярным полем можно записать неравенство Фк ЯФк. (3.188) Ранее уже говорилось, что для неубывающих мод неоднородностей в режиме медленного скатывания делается стандартное предположение \5 /5 \ С 3#. \йх/$х\ ЗЯ и следовательно [32, 71 д ст[ 3tfH, \6s\ ЗЯ 5.ь-. (3.189) Это позволяет в полевых уравнениях для возмущений не учитывать da. 6a. Например, уравнение (3.180) для неубывающих мод неоднородностей можно записать в виде линейного дифференциального уравнения первого порядка
в асимптотических случаях. Найти неоднородности, сгенерированные па
инфляционной стадии при расширении Вселенной в режиме медленного скатывания.
моделях инфляции для сравнения с данными, полученными из астрофизических
наблюдений.
длинноволновых растущих мод неоднородностеи в трехкомпонентных диагональных
киральных моделях инфляции сведены к системе двух уравнений в обыкнноненпых
производных первого порядка с двумя переменными. Найдены общие решения этой
системы при определеных ограничениях на метрику кирального пространства.
инфляционной стадии для двух моделей инфляции: 1) модель с двумя неминимально
взаимодействующими скалярными полями, одно из которых является безмассовым, а
второе обладает потенциалом А4; 2) модель с двумя массивными полями в скалярно-
тензорной теории тяготения Бранса-Дике. Для сопоставления теоретических
сигма моделей энтропийные неоднородности 5s эволюционируют независимо
от адиабатических 5а после пересечения ими горизонта (выполнение режима
медленного скатывания не предполагается). Ранее этот факт был известен для
двухкомпонентной диагональной киральной модели вида
временную эволюцию энергетического спектра в моделях инфляции на основе
двухкомпонентных диагональных сигма моделей (с учетом энтропийных
неоднородностей). В отличие от ранее известных результатов, полученное
представление справедливо и после окончания стадии медленного скатывания.
самодействия получены общие аналитические выражения (имеющие вид интеграловСопутствующая ортогональная калибровка
Модели инфляции с минимально взаимодействующими скалярными полями
Пример: два неминимально взаимодействующих с кривизной скалярных поля, одно из которых имеет потенциал Xip4
Декомпозиция возмущений на адиабатические и энтропийные
Похожие диссертации на Космологические возмущения в киральных моделях инфляционного расширения Вселенной
