Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Инфляция и космологические возмущения 8
1.1. Инфляционные модели 8
1.2. Скалярное поле в космологии
1.2.1. Динамика самогравитирующего скалярного поля 11
1.2.2. Плотность энергии и плотность давления 13
1.2.3. Приближение медленного скатывания 14
1.2.4. Параметры медленного скатывания 14
1.2.5. Времена Хаббла 15
1.3. Точные решения 17
1.3.1. Потенциал полной энергии скалярного поля в рамках точных решений 17
1.3.2. Хаббловские времена в точной инфляции 18
1.4. Теория космологических возмущений 20
1.4.1. Характеристики возмущений 20
1.4.2. Классификация возмущений 23
1.4.3. Калибровочные преобразования 25
1.5. Квантовая теория космологических возмущений 27
1.5.1. Уравнение гравитационных волн 28
1.5.2. Спектр мощности тензорных мод космологических воз
мущений 30
1.6. Наблюдательные данные 31
1.6.1. Анизотропия реликтового излучения 33
ГЛАВА 2. Квантовое рождение начальных космологических возмущений . 39
2.1. Квантование инфляционного поля 41
2.2. Гауссовость и спектр мощности возмущений 43
2.3. Квантовые флуктуации в течение де Ситтеровского расширения
2.3.1. Адиабатичность возмущений 49
2.3.2. Пересечение горизонта 50
2.4. Возмущения скалярного поля 54
2.4.1. Эволюция скалярного поля 54
2.4.2. Возмущения метрики 55
2.5. Квантовое рождение космологических
возмущений 57
2.6. Точные решения уравнений эволюции скалярного поля 59
2.7. Спектр мощности для степенной инфляции 60
2.8. Спектр мощности в случае точных решений уравнений эволюции скалярного поля 63
2.8.1. Спектр мощности скалярных возмущений 63
2.8.2. Спектр мощности тензорных возмущений 65
2.9. Метод вычисления космологических параметров 67
2.10. Пост-инфляционная эволюция
космологических возмущений 70
2.11. Космологические параметры для точных решений 73
2.11.1. Степенная инфляция 73
2.11.2. Де Ситтеровские решения 74
2.11.3. Обобщенная экспоненциальная инфляция 75
2.11.4. Экспоненциально-степенная инфляция 76
2.12. Различие между параметрами и 7 77
ГЛАВА 3. Построение и проверка моделей инфляции в рамках точных решений уравнений эволюции скалярного поля . 79
3.1. Основные уравнения и точные решения 80
3.2. Сопоставление с параметрами инфляции 84
3.3. Оценка времен Хаббла для различных моделей инфляции 85
3.4. Ограничение решений тензорно-скалярным отношением 88
3.5. Скалярные поля в конформно-плоских пространствах 92
3.6. Космологические параметры 93
3.7. Модели инфляции 97
3.8. Тензорно-скалярное отношение в различных моделях инфляции 100
3.9. Модели с нетривиальной кинетической частью 102
3.9.1. Обобщение инфляционных моделей медленного скатывания 104
3.9.2. Построение модели 106
Заключение 108
Список литературы
- Плотность энергии и плотность давления
- Гауссовость и спектр мощности возмущений
- Спектр мощности тензорных возмущений
- Тензорно-скалярное отношение в различных моделях инфляции
Введение к работе
Актуальность темы работы. Прогресс, достигнутый в инфляционной космологии1, позволяет сопоставить наблюдательные данные с предсказаниями теории: выбрав космологическую модель, описывающую эволюцию Вселенной на инфляционной стадии можно определить спектр мощности возмущений плотности, спектральный индекс скалярного и тензорного возмущений и их отношение, а также отношение тензорных и скалярных мод по квадрату амплитуд. Основные теоретические выводы, как правило, получены в рамках приближения медленного скатывания2. Сравнительно недавно был предложен метод получения теоретических выводов на основе точных решений в моделях инфляции3, который позволяет внести поправки при вычислении спектра возмущений при их уходе за горизонт. В работе4 было найдено точное выражение для вычисления спектрального индекса через потенциал полной энергии скалярного поля для моделей степенной инфляции и экспоненциально-степенной модели.
Таким образом, появляется возможность переопределить параметры инфляции в терминах потенциала полной энергии 5, которые отличаются от стандартных параметров приближения медленного скатывания. Это позволяет найти взаимосвязь спектрального индекса тензорных возмущений с тензорио-скалярньш отношением для точных решений, не обращаясь к виду потенциала скалярного поля.
Различные модели дают различные предсказания для спектральных индексов возмущений и наблюдения анизотропии реликтового излучения будут удовлетворять многим из них. Измерения спектральных индексов возмущений позволяют определить применимость тех или иных моделей. Значения спектральных индексов обычно связаны с числом е-фолдов инфляции или времен Хаббла, характеризующих инфляционную стадию развития Вселенной.
На основе метода построения точно решаемых моделей космологической инфляции при заданной эволюции скалярного поля возможно оценить отклонение значений космологических параметров от тех, которые получены в приближении медленного скатывания.
При построении и проверке инфляционных моделей большую роль
>.А. Starobinskiy, Phys. Lett., N1, 24 (1980); А. Н. Guth, Phys. Rev. D23, 347 (1981); A.D.Linde, Phys. Lett. B108, No.6, 389 (1982); A. Albrecht, P.J.Steinhardt, Phys. Rev. Lett. 48, No.17, 1220 (1982). 2A.R. Liddle and D.H. Lyth, Phys. Rep. 231 1 (1993). 3S.V. Chervon. . 36 (7), 1547 (2004).
4S.V. Chervon, M. Novello and R. Triay. Grav к Cosm. Vol.11, No.4, 329-332 (2005). 5B.M. Журавлев, C.B. Червон. ЖЭТФ, т.118, c.259 (2000)
играет значение отношения квадратов амплитуд тензорных и скалярных мод космологических возмущений, то есть вклад гравитационных волн в анизотропию реликтового излучения6. Экспериментальные оценки тензорно-скалярпого отношения позволяют оценить корректность приближения медленного скатывания при решении уравнений эволюции скалярного поля.
Современные оценки тензорно-скалярного отношения в рамках стандартных моделей медленного скатывания не превышает величины (T/S < 0.2)7. Это приводит к необходимости построения моделей с большим значением тензорно-скалярного отношения в рамках обобщения моделей медленного скатывания.
Таким образом, исследование точных решений уравнений эволюции скалярного поля могут использоваться для обработки новых астрофизических данных, поступающих с наземных и космических обсерваторий и построения адекватных моделей, то есть является актуальной задачей современной космологии.
Цель и задачи работы. Основной целью диссертационной работы является исследование широкого класса моделей космологической инфляции в контексте точных решений уравнений эволюции самогравитирую-щего скалярного поля и их сопоставление с наблюдательными данными. В процессе работы необходимо решить следующие задачи:
Разработать методы построения точных решений и вычисления космологических параметров в моделях инфляции.
Оценить корректность приближения медленного скатывания в рамках определения основных космологических параметров.
Исследовать изменение вклада тензорных мод гравитационнных возмущений в анизотропию реликтового излучения в случае точных решений.
Научная новизна Представленные в диссертации теоретические результаты о точных решениях уравнений эволюции скалярного поля являются новыми, не полученными ранее.
"Polarski D., Starobinsky А.А. Phys. Rev. D. V. 50. P. 6123 (1994), B.H. Лукаш. УФН, т. 176, №1, с.ПЗ (2006)
7D.N. Spergel et al. First year Wilkinson anisotropy probe (wmap) observations: Determination of cosmological parameters Astrophys. J. Suppi 148:175 (2003)
Практическая значимость исследования. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты дают возможность вычислять основные космологические параметры и могут быть использопаны в дальнейших исследованиях космологических возмущений, анизотропии реликтового излучения, работах по экспериментальному обнаружению гравитационных волн.
Положения, выносимые на защиту:
Разработаны методы вычисления космологических параметров: спектров мощности и спектральных индексов тензорных и скалярных возмущений, теизорно-скалярное отношение в точно решаемых моделях инфляции на основе исследования широкого класса космологических моделей.
Дана оценка корректности приближения медленного скатывания на основе различия точных решений уравнений эволюции самограви-тирующего скалярного поля и решений, полученных с помощью указанного приближения.
Получена процедура квантования космологических возмущений в случае точно определяемых параметров инфляции.
Доказано, что можно провести перерасчет из приближенных решений в точные Можно установить взаимосвязь между точными и приближенными решениями на основе оценки тензорно-скалярного отношения.
Степень обоснования результатов диссертации обусловлена тем, что основные рассчеты в диссертации выполнены выполнены на основе надежно опробированных методов: дифференциальной геометрии, математического анализа, тензорного исчисления, математической теории линейных возмущений, квантовой теории поля; обусловлена корректностью построения моделей космологической инфляции; корректностью проведенных математических преобразований и расчетов; корректным воспроизведением некоторых известных ранее частных результатов из более общих результатов, полученных в диссертационной работе.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены на:
Международной конферренции по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике, посвященной 90-летию Станюковича РУДН, (Москва, 2006 г.);
Российской школе-семинаре "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии GRACOS-2007"(Казань, 2007 г.);
13-й Российской гравитационной конференции "Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике" РУДН (Москва, 2008 г.);
Международной научной конференции "Физические интерпретации теории относительности"МГТУ им. Н.Э.Баумана(Москва,200Э г.)
Личное участие автора. Основные результаты работы получены совместно с научным руководителем, д. ф.-м. н., профессором С.В.Червоиом. Использованные материалы других авторов помечены ссылками.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 5 работах. Из них 2 - статьи, 3 опубликованы в тезисах докладов конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения, 5 рисунков, содержит 122 страницы текста, включая оглавление и списка литературы состоящего из 91 наименования.
Плотность энергии и плотность давления
Стандартная теория Большого Взрыва утверждает, что Вселенная была рождена приблизительно 13 миллиардов лет назад, в состоянии бесконечно большой плотности и температуры. С быстрым расширением средняя энергия частиц уменьшилась, и Вселенная стала холодной. Эта теория стала особенно популярной после открытия реликтового излучения.
Однако к концу 70-ых стало ясно, что эта теория не совместима с существующей теорией элементарных частиц и имеет много внутренних трудностей (проблема горизонта, проблема однородности и изотропности, и т.д.). К счастью, все эти проблемы могут быть решены одновременно в контексте относительно простого сценария развития Вселенной - инфляционного сценария [1].
Главная идея этого сценария состоит в том, что Вселенная в самых ранних стадиях ее развития расширилась экспоненциально (стадия инфляции) в состоянии с преобладанием потенциальной энергии У(ф) некоторого скалярного поля ф. Это быстрое расширение сделало Вселенную плоской, однородной и изотропной.
Впоследствии, потенциальная энергия скалярного поля преобразовалась в тепловую энергию, а в более поздний период применима стандартная теория горячей Вселенной, предсказывающей существование реликтового излучения.
Рассмотрение эволюции Вселенной начинается с точного энергетического масштаба называемого массой Планка
где G - постоянная Ньютона. Массу Планка Мр = 4.342 х 10-6г можно записать в энергетических единицах 2.435 х 1020 Гэв. В рамках теории Эйнштейна невозможно превысить этот масштаб. Посредством комбинации h и с можно так же получить время Планка ТР ЕЕ Н/{с2Мр) = 2.70 х Ю-43 сек. и длину Планка LP = П/(сМР) = 8.10 х 10-33см.
Первые модели инфляции были сформулированы в контексте теории Большого Взрыва. Их успех в решении внутренних проблем этой теории удалил последние сомнения. Не смотря на это, инфляционная теория продолжает претерпевать значительные изменения. Таким образом, инфляционная теория отдаляется от старой теории Большого Взрыва. Для описания наблюдаемой части нашей Вселенной все еще можно говорить о Большом Взрыве, так же, как можно все еще использовать Ньютоновскую теорию гравитации, чтобы описать Солнечную систему с очень высокой точностью. Однако для осознания начала Вселенной, или ее конца, или ее глобальной структуры, некоторые из понятий теории Большого Взрыва становятся неадекватными. Например, один из главных принципов теории Большого Взрыва - однородность Вселенной. Утверждение однородности, казалось, было настолько важным, что это называлось "космологическим принципом".
Действительно, без использования этого принципа нельзя было доказать, что целая Вселенная появилась в единственный момент времени, который ассоциировался с Большим Взрывом. Пока, инфляция остается единственной теорией, которая объясняет, почему заметная часть Вселенной почти однородна. Однако почти все версии инфляционной космологии предсказывают, что в намного большем масштабе Вселенная должна быть чрезвычайно неоднородна, с плотностью энергии, изменяющейся от Планковской до почти нулевой. Таким образом, недавнее развитие теории инфляции значительно изменило привычную космологическую парадигму.
Чтобы понимать лучше эту модификацию, мы должны помнить главные поворотные моменты в развитии инфляционной теории. Первая версия инфляционной космологии была предложена Старо-бинским [2]. Однако было не совсем ясно, в каком начальном состоянии должна находится Вселенная в этом сценарии. Инфляции в этой модели не могло быть, если Вселенная была-горячей с самого начала. Для решения этой проблемы, Зельдович в 1981 предложил, что инфляционная Вселенная была создана "из ничего ". Эта идея, в то время, казалась слишком экзотической, и большинство космологов предпочло изучать инфляцию в более традиционном контексте теории горячей Вселенной. Одна из наиболее важных стадий развития инфляционной космологии была связана с инфляционным сценарием Вселенной Алана Гуса [1].
Главная идея инфляционного сценария Вселенной была очень проста и привлекательна, и его роль в развитии современной космологии была очень важна [4],[5],[25]. Инфляция является эпохой, в течении которой масштабный фактор Вселенной ускорен а О Эквивалентным путем определения инфляции является определение как эпохи, в течении которой сопутствующее расстояние Хаббла (аН) 1 убывает со временем d 1 п dtaH что помогает решить проблему плоскостности.
Гауссовость и спектр мощности возмущений
Реликтовое излучение обладает уникальным свойством. Его температура удивительно изотропна. Она изотропна с точностью Тем не менее небольшая анизотропия существует. Анизотропия обусловлена разницей температуры в разных направлениях на небе. Ее величина равна примерно 3 мК. Это кинетическая составляюи анизотропии реликтового излучения, которая называется дипольной анизотропией.
Помимо кинетической составляющей, есть и потенциальные члены в анизотропии реликтового излучения, обязанные своим происхождением гравитационным полям очень больших масштабов, которые сравнимы с горизонтом частиц, другими словами, с расстоянием до окресности последнего рассеяния.
Низшая мультипольная гармоника для гравитационного поля будет квадрупольной. Дипольная гармоника возникает только в тех полях, которые имеют заряды разных знаков. Степень неоднородности гравиитационного поля характеризуется приливными силами, низшая гармоника в приливных силах — квадрупольная[16].
Расмотрим основное уравнение, описывающее анизоропию реликтового излучения, и основные физические эффекты, которые ее вызывают. Уравнение изменения температуры в направлении вектора е имеет вид ЕМ = _1 Г d,teMeV + isp + (е1) (131) Т 2 7, дг) 4 р \ с) к Первый член в этом уравнении описывает эффект Сакса-Вольфа, который был предсказан еще в начале 60-х годов Саксом и Вольфом и заключающийся в том, что фотоны, двигаясь в переменном потенциале, либо приобретают, либо теряют энергию [17]. Второй член обусловлен адиабатическим поджатием излучения до эпохи рекомбинации в зонах повышенной и пониженной плотности-эффектом Силка. Третье слагаемое обязано своим происхождением эффекту Доплера, который представляет собой рассеяние квантов на движущихся адиабатических возмущениях свободных электронов до и после рекомбинации. Поскольку поверхность последнего рассеяния есть сфера, то проще анализировать анализировать наблюдательные данные, разложив в ряд по сферическим функциям, которые являются полным и ортогональным набором функций на сфере: =; гЛп(е) (1.32) 1т где aim — мультипольные коэффициенты, a Y\m —- сферические гармоники. Надо также отметить, что удобнее представлять и сравнивать результаты наблюдений и теоретические расчеты в терминах величин, которые являются вращательно-инвариантными и не зависят от частного выбора системы отсчета. Коэффициенты аіт не являются вращательно-инвариантными. Поэтому обычно выделяют так называемую вращательно инвариантную величину l=m -f L lib 2 Z——m Спектр строят для величины 2 . Это связано с тем, что, если умножить Сі на 1(1 + 1), то образуется так называемое плато Харрисоиа-Зельдовича, которое па графике будет выглядеть горизонтальной линией. В такой нормировке представляется большинство экспериментальных данных по мультипольным спектрам. Гравитационные волны являются источником крупномасштабной анизотропии реликтового излучения. Качественные отличия в характеристиках анизотропии, генерируемой адиабатическими возмущениями в эпоху до и после рекомбинации водорода, и гравитационными волнами можно понять, анализируя особенности их эволюции. Прежде всего важнейшим отличием гравитационных волн от скалярных возмущений метрики, в силу тензорного характера первых, является независимость от распределения материи - гравитационные волны малой амплитуды не вызывают перераспределения плотности и скорости материи и эволюционируют независимо.
Спектр мощности тензорных возмущений
Эволюция скалярного поля Рассмотрим невозмущенную метрику ФРУ, которая описывается масштабным фактором a(t) и однородным скалярным полем ф(і). ds2 = a2{ri)[drf - (т йхЧаР] (2.50) где 7/ = J dt/a(t), а ац - метрика пространства постоянной кривизны. Уравнения динамики, в таком случае, можно записать следующим образом [25]: ф + ЗНф + У (ф) = 0 (2.51) я + = 8" \ф2 + У(ф) (2.52) а2 Ш2 Уравнения (2.51) и (2.52) определяют поведение динамических переменных a(t) и ф{ї). Далее будем рассматривать случай плоской Вселенной К — 0. Дифференцируя уравнение (2.52) и, используя (2.51), получим Я = -%& (2.53) Рассматривая Н как функцию ф запишем dH 47Г : . _ч Это позволяет переписать уравнение (2.52) (dH\2 12тг 2/JLN 327г /JL, . . Ы -Щ М = -щуЮ (255) Для заданного потенциала У(ф) это является дифференциальным уравнением для Н(ф). Таким образом, если эта функция известна мы получаем ф{Ь) из уравнения (2.54) и a(t) из (2.53).
Возмущения метрики В течение инфляции, квантовые флуктуации скалярного поля будут создавать возмущения метрики. Запишем в линейном приближении метрику с учетом скалярных и тензорных возмущений и возмущения поля [11]: ds2 = a2(r])[-(l+2A)dr]2-2BAdxidr]+((1 2Dij)aij 2Elij+2hij)dxidxj} (2.56) ф = ф{гі) + 5ф{гі ) (2.57) Функции скалярных возмущений A(r),xl),B,D,E зависят от калибровки, \ij -ковариантные производные в оц. Калибровочно-инвариантным тензорным возмущениям соответствуют поперечные бесследовые гравитационные волны V /iy = h\ = 0. Используем преобразования координат [11]: ЇІ = г] + Є{гі,хі) (2.58) Xі = Xі+ (7), Xі) (2.59) с произвольными функциями (, ). В таком случае, скалярные и тензорные возмущения записываются следующим образом: А = А-(0) -Щ0,В = В + - ,Г = П-Н?,Ё = Е- (2.60) hij = hij, (2.61) где штрих означает производную по конформному времени, а ТС — a /a. Из них возможно сконструировать калибровочно-инвариантные потенциалы Бардина [11],[52]: Чг = А + -[а(В + Е )] (2.62) Lb = D + H{B + E ) (2.63) Запишем Ф = Ф. В течение инфляции плотность энергии определяется скалярным полем и, таким образом, калибровочно-инвариантные уравнения для возмущенной метрики: Ф" + ЖФ + {W + Н2)Ф = [W " 2У(Ф)6ф] (2.64) -V4 + ЗНФ + {W + Н2)Ф = — [ф бф + а2У(ф)бф] (2.65) Ф + ПФ = 2Ф 5Ф (2.66) 5ф" + 2Шф - У25ф = 4ф Ф - 2а2У{ф)Ф - а2Ф - а2У"{ф)5ф (2.67) Определим переменные, позволяющие решить эту систему уравнений [11]: и = адф + гФ (2.68) z = а (2.69) (2.70) (2.71) (2.72) В этих переменных система (2.64)-(2.67) выглядит следующим образом: ji ." Т72„ и" -Vzu = 0 (zuf — z u) Z у2ф= 87Г W,_, ЗМ а2 ZU а2Ф\ 8тг П J ЗМ Эта система уравнений позволяет найти 5ф.
Для квантования скалярного поля запишем, что уравнение динамики скалярных возмущений (2.70) является уравнением Эйлера-Лагранжа для действия [26]: 2 , z „.2 (и )2 - (Vu)2 + и At (2.73) S = і fd3xdrj Лагранжиан для и {и )2 - {Vuf + -и2 As (2.74) Канонический импульс дС и канонические коммутационные соотношения (2.75) [й{т),х),й{г},х )] = [тг(77,ж),7г(тг,0] = 0,[й(г},х),7г(г),х )] =i5{3)(x-x ) (2.76) Представим оператор й(г]:х) виде Uk(j])elkx. В таком случае, уравнение (2.70) будет: и 1 + (к2 + ) ик = 0 (2.77) Не зависящую от времени нормировку выбираем следующим образом: и ки к - ики к = -г (2.78) В разложении Ufa, х) = (2тг)-3/2 / d3k {ик(фк х + «Ifajaje- ] (2.79) коэффициенты ик и а\ - операторы рождения и уничтожения с обычными коммутационными соотношениями. [ofc, а«] = [&, aj - 0, [afc, о] = 5(3)(& - /с ) (2.80) Моды щ(т)) выбраны таким образом, что на очень малых масштабах (к/аН — со) они представляют собой плоские волны uk(r]) = --Le-ib7, к/аН 1 (2.81) ylk В длинноволновом режиме где к исчезающе мало мы получаем решение в виде растущей моды щ = z, к/аН 1 (2.82) таким образом щ/z и скалярные возмущения метрики 7 постоянны на масштабах, превышающих горизонт.
Тензорно-скалярное отношение в различных моделях инфляции
Таким образом, сравнение параметров 7 и є приводит к рассмотрению тензорно-скалярного отношения в случае точных решений и приближения медленного скатывания (T/S = 4є). Причем, ввиду того, что инфляционный параметр 7 не ограничен условием І7І "С 1 (что, по сути, ограничивает форму потенциала), (T/S) может иметь достаточно большие значения. В связи с этим возникает проблема построения инфляционных моделей с большим отношением квадратов амплитуд тензорных и скалярных мод возмущений.
Аргументы против теорий с большим тензорно-скалярным отношением основаны на том условии, что амплитуда тензорных возмущений может быть большой только когда инфляция происходит при Ф Мр[61, 63]. То есть инфляция должна происходить в больших энергетических масштабах. Рассмотрим оценки тензорно-скалярного отношения для следующих моделей инфляции [64]: -Степенная инфляция, характеризующуюся потенциалом У(ф) = Voe . Значение тензорно-скалярного отношения T/S(B статье обозначено г) составляет T/S = 0.16 ±0.04 -Хаотическая инфляция с потенциалом У(ф) — VQ (&) . Для р = тензорно-скалярное отношение T/S — 0.14 ± 0.07 -Модель инфляции Колемана-Вайнберга, основанной на квадратичном потенциале У(ф) = Уоф41п(ф2/М%), где М Мр - нормировочная масса. Здесь T/S = 0.052 о;о2б -Модель спонтанного нарушения симметрии с потенциалом V = Vb[l - (Ф/v)2]2. Тензорно -скалярное отношение составляет T/S = 0 042+0Ш0
Видно, что хаотическая и степенная инфляции предсказывают наблюдение В-моды, то есть достаточно большую амплитуду гравитационных волн. Вклад тензорных возмущений в анизотропию реликтового излучения может быть существенно больше, чем в рассмотренных случаях. Такие модели можно получить посредством введения в лагранжиан нетривиальной кинетической части[90, 91].
Действие, описывающее скалярное поле, взаимодействующее с гравитационным S = Sg + вф = Jtfx Tg (--- +р(ф,Х)\ , (3.70) где R - скаляр Риччи и р{ф, X) - функция скалярного поля ф. X = \ „ф ф (3.71)
В случае обычного скалярного поля зависимость X от р тривиальна, именно р — Х-\-У(ф), в то время как / -инфляция основана на нетривиальной зависимости р от X. Для X 0 вариация действия дает тензор энергии-импульса для скалярного поля в форме тензора энергии-импульса идеальной жидкости Tjf = {є + p)u»uv - р5» (3.72) Здесь лагранжиан играет роль давления, а плотность энергии є = 2Хр,х р, (3.73) где pfx = др/дХ и четырех-скорость Рассмотрим пространственно плоскую Вселенную Фридмана с возмущениями ds2 = (1 + 2Ф)гі 2 + a2(t)[(l - 2Ф)6ік + hik}dx{ dxk, (3.75) где Ф - гравитационный потенциал, характеризующий скалярные метрические возмущения и hik - поперечные бесследовые возмущения, описывающие гравитационные волны. Изменение масштабного фактора a(t) описывается уравнением
Обобщение инфляционных моделей медленного скатывания Из уравнения (3.73) следует, что инфляция может происходить, если условие Х,р С р соблюдется достаточно долгое время. Это может быть достигнуто двумя путями. Рассматривая скалярное поле с р = Х—У(ф), можно выбрать плоский потенциал У(ф), такой , что X С V более чем для 75 е-фолдов. Это стандартная инфляция медленного скатывания и, в этом случае cs = 1. Другую возможность предоставляет fc-инфляция, где р - функция X, такая, что р,х мало. Здесь инфляция полностью основана на кинетической части и может происходить даже если поле эволюционирует очень быстро (X велико). Для к - инфляции с С 1.
Рассмотрим эволюцию скалярного поля в режиме медленного скатывания с плоским потенциалом, но нетривиальной кинетической частью. В таких моделях допускается с 1 в течение инфляции и, таким образом, тензорно-скалярное отношение увеличивается.
Лагранжиан р(ф, X) - лоренц-инвариантный и скорость космологических возмущений, превышающая световую, не противоречит принципу относительности. Фактически, сверхсветовое распостране-ние космологических возмущений возможно только в присутствии однородного скалярного поля, которое определяет предпочтительные временные рамки. Только в этих рамках скорость распостране-ния возмущений может превышать скорость света. Рассмотрим теории с лагранжианом р = К{Х) + V( j ) (3.80) В этом случае є = 2ХК,х -К - V, (3.81) и уравнение для скалярного поля становится ф + Зр,хНф + V} = 0 (3.82) Условия медленного скатывания ХК,Х V, К V, \ф\ «С (3.83) сохраняются по крайней мере для 75 е-фолдов, так что для потенциала У(ф) происходит обычный режим медленного скатывания. Например К(Х) = аХ? (3.84) Получаем с = 1/(2/? - 1) (3.85) 105 Следовательно, посредством рассмотрения нетривиальной кинетической части К(Х), можно получить произвольную скорость cs, которая становится свободным параметром теории. Можем записать тензорно-скалярное отношение в виде f-?H( (i+!)L. (386)
Здесь все величины вычисляются в тот момент, когда возмущения с волновым числом к пересекают радиус Хаббла к = аН. Амплитуда скалярных возмущений является свободным параметром теории и может быть взята из наблюдений. Следовательно, в моделях, в которых cs 1 масштабы энергий должны быть выше, чем в инфляции медленного скатывания. Тензорно-скалярное отношение увеличивается. 3.9.2. Построение модели Рассмотрим лагранжиан р(ф,Х) = - \(е-аХ2 + X) - 1І - У(ф), (3.87) a L J где а - константа. Вычислим р,х и р,хх 2 1 ,- - V2, 1 рх = -(1 - 2аХе аХ ), р,хх = -(-2а + Аа2Х2)е аХ (3.88) -і 1 + 2Х Таким образом, скорость распостранения космологических возмущений Г „, _1-і і 4 = , _ 1-2Х(2а-4а Х2) еа 2-2аХ Р,х \ (3.89) 106 В предельном случае X — 0 скорость распостранения возмущений cs равна скорости света. В этом случае кинетическая часть лагранжиана равна нулю.
Из формулы (3.89) видно, что скорость распостранения возмущений превышает световую когда выполняется условие 2Ха{3 - АХ2а) еаХ (3.90) Таким образом, тензорно-скалярное отношение увеличивается в cs раз. В общем случае комформного множителя вида А = е ч) коэффициент увеличения тензорно-скалярного отношения или скорость распостранения возмущений в моделях с нетривиальной кинетической частью будет записываться следующим образом „ = / 1 + ИР) 3 у 1 + F(P) + 2(1 + M2P{-(3"2 + IP 2}) l } где функция F{(3) имеет вид: w = т-гчІ)+№)]" H-fl-fe)+/ЛЧ)і)
Посредством выбора (3{rf) можно определять характерное увеличение тензорно-скалярного отношения.
Можно показать, что в теориях с нетривиальной кинетической частью вклад гравитационных волн в анизотропию реликтового излучения может быть существено больше, чем в простых моделях инфляции. Увеличение тензорно-скалярного отношения приводит к большей В-компоненте поляризации реликтового излучения, то есть лучшей возможности обнаружения гравитационных волн. Другим важным следствием таких моделей является более высокие энергии инфляции и, таким образом, более высокая температура перенагревания чем в случае простой инфляции.
