Содержание к диссертации
Введение
1. Формулировка задачи... 15
1.1 Основные предположения . 15
1.2 Потенциальное ядро : 19
1.3 Область основной толщины пограничного слоя 20
1.4 Зона нелинейных возмущений 23
1.5 Вязкий подслой 28
1.6 Предельные задачи 30
2. Задачи о взаимодействии пограничных слоев, вызванном неровностями стенки 36
2.1. Вырожденная задача 36
2.2. Изменение свойств течения при возникновении взаимодействия 46
2.3. Уединённые волны 57
3. Взаимодействие с источником на срезе 63
3.1. Характерные картины возмущений на примере вырожденной задачи 63
3.2. Развитое взаимодействие 65
4. Учёт вязкости в задачах о взаимодействии . 82
4.1. Особенности расчёта уравнения Прандгля для четырёхслойной структуры 82
4.2. Возникновение особенности при расчёте 92
4.3. Решение вязкой задачи для трёхслойной структуры 98
5. Трансзвуковые течения .. 103
5.1. Классификация трансзвуковых режимов 104
5.2. Краевые задачи трансзвукового взаимодействия 110
5.3. Трансзвуковые режимы в канале 117
6. Численный метод 124
6.1. Разностные схемы и проверка точности 124
6.2. Верификация численного метода 135
Выводы 145
Список литературы 148
- Область основной толщины пограничного слоя
- Изменение свойств течения при возникновении взаимодействия
- Особенности расчёта уравнения Прандгля для четырёхслойной структуры
- Краевые задачи трансзвукового взаимодействия
Введение к работе
Исследование течений при больших числах Рейнольдса является одной из ключевых задач разработки современной сверх- и гиперзвуковой техники.
В настоящее время наиболее прогрессирующим методом исследования таких течений является прямое численное моделирование. В этом направлении имеются определённые успехи. Стремительное развитие " рынка комплектующих для персональных компьютеров даёт возможность рассчитывать полные уравнения Навье-Стокса в домашних условиях, и это, безусловно, способствует популяризации указанного подхода.
Вместе с тем необходимо отметить, что его широкое распространение
постепенно уменьшает роль анализа в механике жидкости, в то время как
задачи о течениях в областях с особенностями требуют в первую очередь
аналитического подхода. Действительно, в таких областях могут изменяться
как физические, так и математические свойства задачи, и оттого, как именно
они изменяются, зависит пригодность самого численного метода. В этом
смысле результаты расчётов полных уравнений Навье-Стокса могут не
отражать микроскопических в масштабах основного течения процессов,
которые, тем не менее, способны оказывать влияние, заметное на
макроскопическом уровне. Поэтому численное моделирование течений в
возмущённых зонах должно проводиться обязательно на основании детального
анализа. В этом состоит принцип настоящего исследования*,
С начала и до середины двадцатого столетия общепринятым подходом к описанию течений при больших числах Рейнольдса являлась теория пограничного слоя Прандтля [1]. Согласно этой теории, вследствие того, число Рейнольдса велико, вязкие члены уравнения Навье-Стокса в основном потоке несущественны. Вблизи стенки существует узкий слой, где задача описывается уравнением параболического типа, а толщина его обратно пропорциональна числу Рейнольдса. Во внешнем течении справедливо уравнение Эйлера,
4 решение которого задаёт распределение давления на внешней границе пристеночного слоя.
Однако в сороковых годах прошлого века учёные обратили внимание на то, что в областях с большой локальной кривизной контура тела, местах падения скачков уплотнения, точках отрыва и присоединения потока теория Прандтля неприменима. На этот вывод их натолкнули результаты экспериментов. В сборнике [2] приведена одна из таких работ. В ней при взаимодействии скачка уплотнения с пограничным слоем в сверхзвуковом потоке отрыв наблюдался в точке, где градиент давления в невязком течении был отрицательным.
За этим последовал целый ряд экспериментальных исследований [3-10], которые позволили не только получить общие представления о характере отрыва» но и обнаружить интересное явление. Оно состояло в том, что при падении скачка уплотнения на пограничный слой наблюдалось распространение возмущений вверх по потоку.
Обнаруженный эффект вызывал интерес ещё и потому, что согласно линейной теории сверхзвуковых течений вне конуса Маха информация не распространяется. Очевидно, что здесь имело место распространение возмущений по дозвуковой части пограничного слоя.
Первая попытка описания этого эффекта была предпринята в 1948 году Говардом (Howarth) [11]. Он разделил поток на две невязкие зоны: сверхзвуковую, куда приходило возмущение, и дозвуковую, по которой оно передавалось вверх. Цзян (Tsien) и Файнстон (Finston) в 1949 году дополнили эту модель присутствием стенки под дозвуковой зоной [12]. Лайтхилл (Llghthill) попытался улучшить её в работе [13], введя многослойную структуру по скоростям, а затем, используя методы спектрального анализа, учесть прилипание на стенке [14]. Однако, даже такая постановка была всё же слишком приближённой и не давала правдоподобных результатов, которые подтверждались бы опытом.
5 В полной мере рациональное математическое описание этого явления, дающее хорошее совпадение с результатами эксперимента, было получено лишь с появлением асимптотической теории взаимодействия пограничного слоя с невязкой частью течения для сжимаемой [15-17] и для несжимаемой жидкости [18-19]. После того, как в конце шестидесятых годов задача о распространении возмущений в пограничном слое была переведена на новый качественный уровень, интерес к ней усилился. В нашей стране исследования данной проблемы с использованием асимптотической теории вязко-невязкого взаимодействия проводили Нейланд [25] и Ермак [26]. За рубежом одними из первых по этой теме стали работы Смита (Smith) [20-24].
Они же положили начало серии трудов, посвященных исследованию процесса распространения возмущений в пограничных слоях внутренних течений.
В работах Смита [20-24] для несжимаемой жидкости была рассмотрена стационарная задача о взаимодействии между собой пограничных слоев, которые развиваются на противоположных стенках плоского канала. Подобное взаимодействие может осуществляться посредством передачи возмущений через невязкое ядро потока. В работах [20-21] эта задача была исследована на устойчивость, а в [24] был дан обзор различных типов взаимодействия для внутренних течений несжимаемой жидкости.
Согласно этой классификации и [29], асимптотическая теория свободного взаимодействия позволяет выделить четыре возможных режима течения жидкости в плоском канале, принимая за характерный размер ширину канала d: Re = pmtt„dfi~l.
1. Первый режим реализуется при условии L«dR&st где L -расстояние от входа в канал до области взаимодействия. В этом случае на верхней и на нижней стенках канала существуют две не связанные между собой области взаимодействия, течение в каждой из которых описывается известной теорией.
2. Переход к следующему режиму происходит, если L&d Re/5. У
пограничных слоев, развивающихся на стенках, в этих условиях появляется возможность взаимодействовать друг с другом через невязкую зону, общую для обеих структур.
3. Третий режим является переходным. Он соответствует случаю
у d Re/5 « L « d Re. На этом режиме взаимодействие между
пограничными слоями происходит по гидравлическому типу.
4. Наконец, когда реализуется течение L&dRe, противолежащие
пограничные слои смыкаются, образуя единое завихренное ядро.
Исследования Смита были продолжены в работе Богдановой и Рыжова
[28], в которой объектом изучения стала нестационарная задача для режима
У взаимодействия LxdR.e/5. Рассматривалось уравнение Прандтля,
линеаризованное в соответствии с [27], исследование которого производилось
методами разделения переменных и гармонического анализа. Полученные
дисперсионные соотношения допускали для рассматриваемой краевой задачи
существование на входе в область взаимодействия двух типов возмущений -
симметричного и антисимметричного, что соответствует результатам Смита
для плоского канала [21]. Решения были исследованы на устойчивость, кроме
этого были сформулированы дисперсионные соотношения для предельного
случая слияния пограничных слоев (режим L « d Re ).
Исследование задачи о течении в плоском канале проводилось также
У Рубаном и Тимошиным в [29] для переходного режима dKc/s «L«dRe,
соответствующего гидравлическому приближению. Было решена
линеаризованная задача о влиянии возмущений на стационарные дозвуковые и
сверхзвуковые течения. Методом Фурье-анализа было показано, что на
дозвуковом режиме взаимодействия возмущения, вносимые в пограничный
слой, не оказывают влияния на течение вверх по потоку, а для сверхзвуковых
течений характерно затухание возмущений вверх по потоку по
7 экспоненциальному закону. Эти результаты в целом согласуются с [20], [26], [28].
Объектом исследования в работе Николаевой и Тригуба [30] стала стационарная задача, соответствующая режиму, при котором возможна
передача возмущений через потенциальное ядро потока (L~dRe7 ). Рассматривалась трёхслойная схема вязко-невязкого взаимодействия для двух противолежащих пограничных слоев плоского канала. Была сформулирована система уравнений, описывающая процесс обмена возмущениями. В невязкой зоне, описываемой уравнениями гиперболического типа, они принимают форму волн, которые могут быть сдвинуты по фазе друг относительно друга.
Именно постановка задачи из работы [30] легла в основу настоящего исследования, и на основании полученных здесь результатов можно с уверенностью сказать, что наличие в пограничном слое возмущений, взаимодействующих с вязким потоком и друг с другом в разных фазах, является ключевым моментом, открывающим путь к исследованию ранее не встречавшихся эффектов.
В работе [30] для анализа связанных систем уравнений вязкого подслоя был применён метод разделения переменных. Также как и в работах [21], [28] полученная в результате задача на собственные значения допускала две ветви решения - симметричную и антисимметричную. Был также проанализирован предельный случай, соответствующий нулевой разности фаз, для него было найдено единственно возможное собственное значение.
Численный метод, который использовался в [30] для получения решений задачи о взаимодействии, заключался в маршевом расчёте по х от некоторого сечения, где были заданы все необходимые начальные условия. Найти с его помощью решения без возвратных токов не удалось.
Такие результаты могут объясняться двумя причинами. Во-первых, гарантировать устойчивость маршевого метода можно, только ограничив определённым образом масштабы используемых величин. Это требование сводит возможные результаты задачи в область, в которой интересующих нас
8 решений может и не быть. Во-вторых, уравнения стационарного пограничного слоя являются значительно более чувствительными к условиям потока, чем нестационарные, и получение стационарного решения в условиях свободного взаимодействия является нетривиальной задачей. Это возможно лишь при рассмотрении течений, имеющих такой запас количества движения, который способен переработать особенность. Она, в свою очередь, должна иметь не слишком большую амплитуду, и, наконец, для расчёта необходимо использовать более сложные, неявные методы типа [65].
Можно сказать, что в настоящей работе рассматривается задача [30] в нестационарной постановке. Несмотря на то, что некоторые различия всё же имеются, (например, в настоящей работе число Рейнольдса вычисляется по расстоянию до области взаимодействия, а не по ширине канала, и это немного изменяет вид уравнений) в целом задача сохраняется почти той же самой. Однако метод анализа предлагается иной.
При наличии в потоке возмущений большой амплитуды, имеется возможность выделить область нелинейных возмущений в самостоятельную зону, описываемую своими собственными уравнениями. Соответственно, структура взаимодействия становится четырёхслойной. Этот подход был впервые сформулирован в работах [31-35], и он имеет следующие особенности.
Во-первых, на каждом из двух нижних слоев можно применить для расчёта существенно более устойчивый, и притом не требующий больших затрат неявный метод, который не накладывает таких ограничений на величины функций уравнений, как использовавшийся в [30].
Во-вторых, и это особенно важно, выделение нелинейных процессов даёт шанс уловить такие эффекты передачи возмущений, которые не характерны для трёхслойных структур. С одной стороны эти эффекты могут играть ключевую роль во внутренних течениях, с другой стороны их можно не заметить, рассматривая задачу в более общей постановке.
Область основной толщины пограничного слоя
Для решения системы уравнений с вышеуказанными особенностями был разработан и программно реализован численный метод, который отличается от подходов предыдущих работ [20-24], [28-30], применявшихся для решения аналогичной задачи о взаимодействии в плоском канале. Во-первых, настоящий метод позволяет решать систему нестационарных уравнений с запаздывающим аргументом. Во-вторых, он рассчитан на решение именно нелинейных задач, без какой бы то ни было линеаризации, которая, к примеру, применялась для внутренних течений в работах [28-29]. В-третьих, метод является полностью неявным, что существенно уменьшает ограничения на пространственно-временные масштабы функций и аргументов.
При помощи этого метода впервые была установлена зависимость между волновой структурой течения и его ключевыми параметрами, которые могут изменять механизм передачи возмущений.
Вследствие того, что в отличие от предыдущих работ, в настоящей постановке удалось получить целое многообразие численных решений, впервые удалось показать, что обмен информацией между пограничными слоями во внутренних течениях может вызывать появление качественно различных волновых процессов. К ним относятся и локально возмущённые области, и непрерывные осцилляционные зоны, и, характерные для предельных режимов, уединённые волны.
Учёт волновых процессов, протекающих в пограничном слое, важен в первую очередь для корректной обработки результатов аэродинамического эксперимента, поскольку почти вся существующая экспериментальная база основана на использовании аэродинамических труб и на применении устоявшихся в таких исследованиях понятий. Одним из ключевых здесь является понятие о характеристическом ромбе, в котором реализуется равномерное течение, обеспечивающее воспроизведение натурных условий полета. В этом подходе с самого начала не учитывается влияние пограничного слоя на стенках трубы, поскольку толщины таких слоев малы- и почти очевидным является предположение об отсутствии их влияния на результаты эксперимента. Одной из целей данной работы является выяснение правдоподобности таких предположений, ибо написанные в учебниках истины могут и должны перепроверяться. Особенно это справедливо в рассматриваемом случае, поскольку с позиций физики мы имеем ситуацию, включающую в себя весьма разнообразные явления. С одной стороны в невязком поле течения информация передается вдоль характеристик, но в то же время мы имеем возможность и вероятность распространения возмущений вверх по потоку в пограничных слоях, где в среднем течение может быть дозвуковым. Можно предположить, что в отношении стационарных течений мы действительно имеем малое влияние течения в пограничных слоях на интегральные аэродинамические характеристики исследуемых: тел. В то же время этот вывод, очевидно, неприменим к изучению нестационарных аэродинамических характеристик, поскольку передача возмущений по дозвуковым пограничным слоям может существенно повлиять на аэродинамические характеристики. Следует учитывать, что результаты данной работы не отвечают пока на все вопросы практической аэродинамики, но вместе с тем задают новое направление, несомненно, нацеленное на решение её практических задач. Этим исчерпывающим приложением не ограничивается применение полученных результатов. Одно из современных направлений исследований связано с разработкой гиперзвуковых воздушно-реактивных прямоточных двигателей. Как оказалось, проблемы распространения возмущений по пограничным слоям играют там ключевую роль, — эти эффекты ответственны за возникновение псевдоскачков и вообще за параметры таких двигателей. Несмотря на развитие современных численных технологий, упоминаемые эффекты являются довольно специфическими по своей сути и не ухватываются современными численными методами. Дело здесь в том, что существующие технологии требуют достаточного числа узлов для разрешения течения в пограничном слое. Более тщательный анализ показывает, что нужно иметь достаточное число узлов не просто в пограничном слое, а в его дозвуковой части, по которой собственно и передаются возмущения. Предлагаемая в данной работе модель распространения возмущений, конечно, является приближенной и в дальнейшем предполагается проведение специальных экспериментов для ее уточнения. Это, в свою очередь, поможет в выработке мер по улучшению характеристик аэродинамических устройств для облегчения их запуска, что также является одной из целей настоящей работы. Основные результаты диссертации [50-58] докладывались на семинарах ЦАГИ, Академии имени LE. Жуковского и представлялись на следующих конференциях: Вторая Всероссийская научно-техническая конференция молодых ученых «Современные проблемы аэрокосмической науки» (Жуковский, 1999)j «Проблемы исследований и разработок силовых и энергетических установок XXI века» (Москва, 2000), «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва-Долгопрудный, 2001), «XXVI Академические чтения по космонавтике» (Москва, 2002), Четвёртая Международная конференция по нелинейным колебаниям ЕВРОМЕХ (Москва, 2002), Вторая Международная научно-техническая конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмичесвой науки и техники» (Жуковский, 2002). Глава №1 посвящена постановке задачи. В ней сформулированы основные предположения, в которых она рассматривается, выведены оценки масштабов функций течения. Для каждой из 4 областей пограничного слоя подробно описаны преобразования, необходимые для получения уравнений» и выписаны сами уравнения. Здесь же получена система эволюционных уравнений, соотношение для параметра взаимодействия, и рассмотрены пределы системы по величине этого параметра.
Предметом главы №2 является численное исследование краевой задачи, в которой в качестве источника возмущений выступает изменение давления, вызванное внезапным появлением неровности на стенке. Рассмотрение посвящено тому, чтобы на основании результатов расчёта проследить эволюцию свойств течения по мере усиления взаимодействия, начиная от предельного (вырожденного) случая, когда обмен между стенками отсутствует, и, заканчивая наиболее жёстким режимом.
В главе №3 аналогичная эволюция по величине параметра взаимодействия прослеживается для краевой задачи, в которой источником возмущений является изменение давления на срезе канала.
Изменение свойств течения при возникновении взаимодействия
Во-первых, настоящая задача имеет стационарное решение. Скорость, с которой она к нему сходится, определяется амплитудой источника, причём нестационарные процессы, вызываемые малыми возмущениями, продолжаются дольше. Во-вторых, источники малой амплитуды не способны производить бегущие волны. Этому факту здесь уделено внимание по причине того, что в процессе исследования свойств численных решений было обнаружено влияние масштаба возмущений на формирование одиночных волн, способных распространяться от источника одновременно и вверх и вниз по потоку. Указанные свойства проявляет задача с большими возмущениями. При амплитудах источника Кх « 2, он способен генерировать бегущие волны. Причиной такого эффекта могут, в том числе, являться и особенности используемой разностной схемы. Для того, чтобы избежать влияния подобных схемных эффектов все расчёты в данной работе были проведены для задач с малыми возмущениями. С настоящей главы начинается рассмотрение различных типов течения в четырёхслойном пограничном слое, и для того, чтобы внести дополнительную ясность, здесь уместно сделать небольшое отступление от анализа задачи (1.3)-(1.5). Схема анализа взаимодействия в пограничном слое такова, что сначала рассматривается задача о возмущениях в нелинейной области «3», а затем, на основании сформулированных в главах №№1.2-1.5 уравнений, определяется давление наверху структуры (в зонах «1» и «2»), и решается вязкая задача для удовлетворения условиям прилипания снизу (в зоне «4»). Поэтому основное внимание в работе уделено решениям в области «З», в частности распределению давления p{x,t) в возмущённом течении. Вместе с тем для понимания физической картины необходимо иметь представление о том, как выглядит само течение жидкости, формирующееся под влиянием этих распределений. Его могут дать приведённые на рис.2 Л .7 линии тока, взятые в некоторый момент времени U: На дне области «3» существуют зоны, где А 0 (рис.2.1.5), и, как следствие, Отрицательная скорость означает наличие в потоке возвратных течений, что видно на рисунке. На некоторой толщине зоны «З» в силу условия области возвратных токов исчезают. Подобным образом выглядят линии тока и в некоторых других задачах, рассмотренных ниже. В частности в невырожденных случаях, в которых зоны индуцированных возмущений разделены невозмущенными областями, (смотрите решения, представленные в главе №2.2 на рис.2.2.2-2.2.7), картина линий тока принципиально не изменяется, лишь увеличивается число зон возвратных течений. Сделанное выше отступление должно дать некоторое представление о том, какие именно течения возникают под влиянием рассматриваемых в настоящей работе источниках. Возвышенность с угловыми точками. Здесь и далее L - длина неровности, ха - расстояние до неё от начала расчётной зоны. Результаты расчётов для источника р(х) Кг=0Л представлены на рис. 2.1.8-2.1.9. Решение представляет собой фронт положительной амплитуды, который отделяется от угловой точки и движется вниз по потоку. На рисунках пунктирной линией обозначено распределение на момент времени / = 25, сплошной — на момент ґ = 100... Разрывная функция источника приводит к тому, что решение p\x,t) также терпит разрыв в первой производной в угловых точках неровности. От неровности отделяется горб волны давления, который двигается вниз по потоку.
Однако эта волна имеет иную природу, чем та, что генерируется гладким источником большой амплитуды. Действительно, на основании сравнения численных результатом задач с большими и малыми возмущениями, можно придти к выводу, что ни уменьшение, ни увеличение их амплитуды принципиально не изменяет картину течения на режиме обтекания негладких неровностей. Единственное различие состоит в том, что при малых амплитудах фронты отделяются от неровности на порядок позже и распространяются медленнее.
На этом основании можно сделать вывод, что распространение фронтов в задаче с разрывом в исходных данных не является следствием схемных эффектов, а имеет под собой физическую основу. Что касается фундаментального отличия в решениях задач о больших и малых возмущениях при обтекании гладкой неровности, то оно может являться как следствием влияния «искусственных» эффектов разностной схемы, так и групповых свойств уравнения Бюргерса. Эти групповые свойства, не относящиеся, правда, напрямую к рассмотренному факту, можно проиллюстрировать на следующем примере.
Особенности расчёта уравнения Прандгля для четырёхслойной структуры
Интересной особенностью переходных режимов, для которых свойственно слияние возмущений в сплошную область уже на ранней стадии развития течения, является появление тенденции к распространению волновых пакетов вверх по потоку. В отличие от эффекта генерации волн источником с угловыми точками, описанного выше, данный эффект является целиком и полностью следствием взаимодействия пограничных слоё в между собой. На рис.2.2.9 представлено решение задачи для гладкого источника малой амплитуды (2.10). Как следует из рассмотрения главы №2.1, такой источник не проявляет способностей к генерации каких-либо волн, по крайней мере, в течение промежутка времени t = 300, а к этому моменту решение уже фактически является стационарным.. Тем не менее, в условиях обмена возмущениями движение волнового пакета вверх по потоку всё же наблюдается.
Сплошная возмущённая область, формирующаяся в пограничном слое, с течением времени расширяется внутри расчётной зоны.
Передача возмущений вниз по потоку, как и на более ранних стадиях взаимодействия, происходит вследствие распространения «гиперболических» волн давления в невязком ядре. Однако волновой пакет в этом случае принимает весьма характерную форму. В этой связи есть повод отметить, что подобный осциллирующий хвост, как доказано в работе [68], является одним из решений уравнения Кортевега-деВриза.
Расширение возмущённой области влево от неровности принимает форму волнового цуга, вытесняемого со временем вверх по потоку. Это свидетельствует о том, что внутри комплексной задачи о взаимодействии начинает работать механизм, который может управлять передачей информации за конус Маха. Другим подтверждением тому, что движение волн вверх по потоку обусловлено усилением взаимодействия, служат представленные на рис.2.2.10 результаты решения предельной задачи для моментов времени / = 0.1 (пунктирная линия) и t = 2.5 (сплошная линия). Здесь берётся минимально возможное в рамках используемой разностной схемы значение параметра взаимодействия. Получается, что в пределе Д - 0 возмущения справа от источника не появляются, поскольку на этом режиме они вынуждены концентрироваться в точках присутствия источника.
Зато эффект распространения волн вверх от неровности проявляется значительно сильнее, чем на более мягком режиме (2.18). Здесь явно наблюдается одиночная волна, бегущая вверх по потоку, причём скорость её движения на порядок выше скорости распространения цуга в задаче (2.18). Необходимо также отметить, что, во-первых, как и на всех остальных рассмотренных режимах, в зоне источника формируется стационарное решение, а во-вторых, в отличие от уединённой волны, генерируемой негладкой функцией источника, рассматриваемое возмущение подвержено диссипации и некоторому размазыванию в процессе своего движения.
Изложенные результаты позволяют сделать предположение о том, что процесс взаимодействия между структурами противолежащих пограничных слоев, вызванный присутствием даже абсолютно гладкой неровности, помогает проявляться совершенно новым и притом многообразным волновым механизмам, способным управлять передачей возмущений как вниз, так и вверх по потоку.
Завершая анализ волновых картин течения над неровностями, остановимся более подробно на антисимметричной задаче с разрывным источником. Она может порождать интересные нестационарные эффекты, которые являются предметом рассмотрения в настоящей главе.
При изучении свойств вырожденной задачи было показано, что в зависимости от типа источника в каналах на определённых режимах могут существовать локально возмущённые зоны, способные распространяться в различных направлениях. Направление их движения зависит от знака возмущающей функции, так, впадина генерирует волну, двигающуюся вверх по потоку, горб - волну, двигающуюся вниз.
До тех пор пока возмущённые зоны остаются локальными, то есть разделенными невозмущённой областью значительной протяжённости: (где N - количество точек в расчётной зоне, а Ах - шаг по координате), они не оказывают непосредственного влияния друг на друга, и для решений невырожденной системы справедлив механизм, работающий в уравнении Бюргерса. В то же время взаимодействие между этими областями может осуществляться через бегущие волны, которые они генерируют.
Если взять расчетную зону, в которой присутствует одна возмущённая область на источнике и одна область возмущений, индуцированная противоположной стенкой, то в ней можно получить две бегущие волны. На рис.2.3.1 представлено соответствующее решение симметричной задачи с параметром Д = І00, в которой и на верхней, и на нижней стенке возмущающим фактором выступает возвышенность (функция источника положительна). В этом случае на обеих стенках волны распространяются в одном направлении (в данном примере вниз по потоку).
Краевые задачи трансзвукового взаимодействия
Генератором осцилляции безусловно являются вырабатываемые задачей нестационарные возмущения давления на срезе (рис.3.2.12). Однако, нельзя не отметить и то, что на интенсивность распространения возмущений вглубь канала влияют причины, обусловленные взаимодействием между пограничными слоями. Действительно, в вырожденной задаче (1.4) колебание краевого условия не приводило к бегущей волне. Следовательно, взаимодействие усиливает распространение возмущений вверх по потоку.
Что касается области применения результатов рассмотренной задачи, то осциллирующие условия на срезах сверхзвуковых каналов силовых установок могут с одной стороны возникать самопроизвольно, с другой стороны сами задачи экспериментальных исследований могут подразумевать необходимость поддержания таких условий в определённых сечениях аэродинамических труб. В любом случае появление в канале колебаний, принимающих форму осциллирующего хвоста, (ещё раз вспомним результаты [68] для уравнения Кортевега-деВриза), который с уменьшающейся амплитудой распространяется вверх по потоку, является интересным феноменом.
Дальнейшее уменьшение параметра взаимодействия приводит к очередному качественному изменению в волновой структуре течения. В пограничном слое появляется уединённая волна, которая постепенно размывается, распространяясь вверх по течению. На рис.3.2.13 представлено решение для момента времени /»1 на режимах Л = 0.3, А = 0.2, Д = 0.1. Соответствующие граничные условия приведены на рис3.2.14.
Появление уединённой волны в пределе Л - 0 является характерной особенностью и для течений над неровностью, и для течений, возмущённых правым граничным условием. Это доказывает, что такой вид распространения возмущений является характерной особенностью самой предельной задачи, и не обусловлен краевыми эффектами.
Краевыми эффектами обусловлена другая особенность решений. Для её рассмотрения, как и при анализе краевой задачи типа (2.6)-(2.7), проверим совпадение результатов с аналитическим решением (2.14). Граничные условия допускают в пределе Д — 0 на промежутке NAx = 50 следующее решение задачи (2.1 (2.3): На рис.3.2.15, 3.2.16 представлена пространственно-временная эволюция соответствующих функций. Сходимость численного решения к предсказанным зависимостям (2.28) происходит по иному, чем в задаче (2.6)-(2.7). Если там решение приближалось к предельному распределению монотонно, то здесь решение совершает колебания вокруг предельного состояния. По этому поводу с уверенностью можно сказать, что указанное различие является следствием наложения в первом случае условий на производную функции, а во втором -на нее саму. В заключение отметим, что результаты анализа, проведённого в настоящей главе, подтверждают, что усиление процесса обмена возмущениями между пограничными слоями, развивающимися на противоположных стенках, пробуждает такие механизмы, которые нельзя увидеть в вырожденной задаче. В настоящей главе, посвященной течениям с изменённым давлением на срезе, приведена лишь малая часть полученных численных результатов. Обилие краевых задач, которые можно сформулировать в рамках настоящего рассмотрения, даёт пищу для изучения не только традиционных симметричных и антисимметричных мод течения, но и большого количества режимов при которых источники на стенках могут быть или не кореллированы между собой, или связаны с изменением термодинамических и геометрических характеристик потока В настоящей главе речь пойдёт о том, как учесть условия прилипания в задачах о вязко-невязком взаимодействии, а также о некоторых особенностях численного моделирования уравнений пограничного слоя. Первая часть главы посвящена построению решения уравнения Прандтля для четырёхслойной модели взаимодействия. Принцип- такого построения состоит в том, что на внешней границе решение должно удовлетворять распределению давления на дне области «3», а на границе со стенкой — условиям прилипания. Предметом второй части является анализ особенности, возникающей при численном моделировании рассматриваемой вязкой задачи. В третьей части главы рассмотрен один из способов [67] решения задачи о трёхслойном вязко-невязком взаимодействии. В ней расчёт вязкого течения, удовлетворяющего граничным условиям на стенке, проводится одновременно с расчётом индуцированного градиента давления. Решения, полученные на основании такого численного метода, приводятся здесь для сравнения с результатами, которые даёт четырёхслойная схема.
