Содержание к диссертации
Введение
3 К механизму Блэндфорда-Знаека потерь энергии вращающейся черной дырой 23
3.1 Введение 23
3.2 Течение с преобладающим потоком энергии частиц. Точное решение 28
3.3 Течение с доминирующим потоком электромагнитной энергии 37
3.4 Заключение 48
4 К непрерывности МГД течений вблизи особых точек 50
4.1 Введение 50
4.2 Основные уравнепия 52
4.3 Бифуркация характеристик 55
4.4 Гидродинамическое течение 59
4.5 Магнитогидродинамическое течение 64
4.6 Заключение 67
5 К внутренней структуре нерелятивистского цилиндрического струйного выброса 69
5.1 Введение 69
5.2 Асимптотическая структура струйного выброса 71
5.2:1 Основные уравнения 71
5.2.2 Метод разрешения 73
5.3 Модель холодного джета для протозвезды 76
5.4 До-Альфвеновское течение 82
5.5 Сверх-Альфвеновское течение 89
5.6 Транс-Альвеновское течение 92
5.7 Астрофизические приложения и обсуждение 96
6 Уравнение Грэда-Шафранова с анизотропным давлением 99
6.1 Введение 99
6.2 Основные уравнения; (перелятивистский случай) 100
6.3 Два примера 105
6.3.1 Свободное истечение 105
6.3.2 Паркеровское истечение 107-
6.4 Основные уравнения для релятивистского случая 108
6.5 Релятивистское уравнепие Трэда - Шафранова с анизотропным давлением 112
6.6 Заключение 116
7 Заключение 117
- Течение с преобладающим потоком энергии частиц. Точное решение
- Магнитогидродинамическое течение
- Модель холодного джета для протозвезды
- Релятивистское уравнепие Трэда - Шафранова с анизотропным давлением
Течение с преобладающим потоком энергии частиц. Точное решение
Здесь мы не будем включать в рассмотрение возмущение однородного магнитного поля возле вращающейся черной дыры. Это возмущение должно уменьшить магнитный поток проходящий через дыру, т.е. уменьшить потери энергии. Таким образом, в реальных объектах черная дыра может играть только пассивную роль, и основные потери энергии могут быть связанны с линиями магнитного поля проходящими через аккреционный диск [100].
Другая критика связана со справедливостью самого механизма Блэнд-форда - Знаека citepc. Дело в том, что, как было показано при выводе выражения (29), в действительности было использовано условие (35). Но, ясно, что горизонт причинно не связан с внешним пространством и, следовательно, он не может влиять па структуру течения или определять поток энергии вдали от вращающейся черной дыры. По той же причине, поверхностные токи не могут играть никакой роли в торможении черной дыры. В результате, можно сделать вывод, что черная.дыра не может работать как униполярный индуктор. Цель нашей работы - обосновать использование механизма Блэндфорда - Знаека для потерь энергии черной дыры. В частности, мы определим роль горизонта. По нашему мнению, самосогласованный анализ может быть сделан на основании подхода уравнения Грэда - Шафранова. По этой причине, в разделе 2 мы рассмотрим простой пример квазимонопольного втекающего/ эжектироваиного течения с доминирующим потоком энергии частиц, где точное решение потокового уравнения: может быть получено. Мы покажем, что естественные граничные условия в области-генерации электрон - позитронных пар достаточны, чтобы определить не только продольный электрический ток /, но также угловую скорость течения QFJ ЧТО является решением задачи. В результате, потери энергии вращающейся черной дыры должны определяться физическими параметрами в области генерации частиц, а не "граничными условиями"на горизонте. Наконец, в разделе 3 мы рассмотрим некоторые свойства течения с доминирующим потоком электромагнитной энергии, когда структура течения близка к бессиловому. Наконец, в разделе 4 мы обсудим общие свойства трансзвуковых течений. Продемонстрировано, что такие течения могут быть реализованы только, если нет ограничения на продольный электрический ток в источнике плазмы.
Давайте рассмотрим идеальное холодное магпитогидродинамическое течение вблизи медленно вращающейся черной дыры. Для простоты проанализируем случай, когда плотность энергии магнитного поля много больше чем плотность энергии плазмы Это не означает, что существует поток электромагнитной энергии, который играет основную роль в торможении черной дыры, потому что для невращающейся черной дыры поток электромагнитной энергии исчезает. В этой части мы рассмотрим случай, когда поток энергии частиц много больше потока энергии электромагнитного поля: пределе есть четыре особые поверхности - две Альфвеновские и две быстрые магнитодинамические для входящего и выходящего течения. Известно, что плазма может проходить через особую поверхность только в одном направлении - наружу для внешней Альфвеновской поверхности и внутрь черной дыры для внутренней [101]. Следовательно, плазма должна создаваться между двумя Альфвеновскими поверхностями. Как мы увидим далее, свойства области рождения пар полностью определяют структуру течения, включая потери энергии вращающейся черной дыры.
К сожалению, эффективность рождения пар в магнитосфере черной дыры иеопределена вплоть до настоящего времени. В частности, этот процесс зависит от плотности и энергии фотонов вблизи черной дыры. В результате, если плотность жестких гамма-квантов с энергиями ШэВ достаточно велика, рождение частиц может быть связано с прямым процессом.
С другой стороны, если плотность фотонов невысока, единственная возможность рождения пар связана с узким слоем возле поверхности, где необходимая для экранировки продольного электрического поля плотность заряда меняет знак (более детально см. [103, 104]). Эта поверхность аналогична внешнему зазору в магнитосфере пульсара [105]. В дальнейшем мы рассмотрим этот последний механизм рождения частиц.
Потоковое уравнение, описывающее магнитные поверхности Ф(г, 9) вблизи вращающейся черной дыры, было впервые сформулировано в [101]. На языке 3 + 1 расщепления. Оно может быть записано в компактной форме (20).
Для холодного течения это уравнение содержит четыре инварианта. Два из них - потоки энергии и углового момента (11, 12). Для рассматриваемого холодного течения, энтальпия р, = const. Другие два инварианта-угловая скорость Пр(Ф) и отношение потока частиц к потоку магнитного поля /?(Ф)
Магнитогидродинамическое течение
Следовательно, механизм Блэндфорда-Знаека выделения электромагнитной энергии вращающейся черной дырой не имеет проблем в связи с причинным разрывом между горизонтом событий и внешней магнитосферой. В частности, для дважды трансзвукового течения величины продольного электрического тока / и угловой скорости Г2р (и следовательно потери энергии Wtot) должны определяться физическими параметрами в области рождения пар и критическими условиями на особых поверхностях, которые находятся в причинном контакте друг с другом.
С другой стороны, если продольный электрический ток определяется областью рождения пар, тогда есть бесконечное множество решений, которые не проходят одну или обе быстрые магнитозвуковые поверхности. В частности, для достаточно малых продольных электрических токов, эффективное ускорение частиц может иметь место вблизи световых поверхностей. В этом случае идеальная МГД не может распространяться до самого горизонта.
Как и в магнитосфере пульсара, если вторичной плазмы достаточно, чтобы заэкранировать продольное электрическое поле, ее плотность заряда и электрические токи приводят к потоку электромагнитной энергии, распространяющейся от центральной звезды до бесконечности. По той же причине вращающаяся черная дыра, погруженная во внешнее магнитное поле, работает как униполярный индуктор, выделяющий энергию вращения потоком электромагнитной энергии.
Проблема непрерывности МГД течений вблизи особых поверхностей является одним из классических задач теоретической физики [63]- [67]. Однако даже в простейшем случае идеальной гидродинамики задача сводится к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка, меняющемуся от эллиптического к гиперболическому на звуковой поверхности. Напомним, что уравнения подобного вида, восходящие к классическому уравнению Трикоми, обсуждались с начала этого века в связи с проблемой трансзвуковых гидродинамических течений (сопло, крыло). В частности, для плоских течений чрезвычайно плодотворным оказался метод преобразования годографа (приводящий к линейному уравнению Чаплыгина), который позволил существенно продвинуться в понимании рассматриваемых процессов [63]- [65]. Несмотря на это, вопрос о построении последовательной аналитической теории-таких течений остается, фактически, открытым.
Сложность состоит прежде всего в том, что сама постановка прямой задачи в рамках уравнения равновесия оказывается нетривиальной. Иными словами, нетривиальной является задача построения решения по заданным граничным условиям. Поэтому даже для одной из простейших версий - плоского гидродинамического течения - построение решения прямой задачи (нахождение течения по форме сопла или крыла) не имеет последовательного решения. В результате, в большинстве случаев приходилось довольствоваться решением обратной задачи (нахождение формы.сопла по известному течению) [63]- [65].
Еще одна сложность такого подхода состоит в том, что, например, в гидродинамическом пределе уравнение равновесия содержит три "интеграла движения", которые должны быть определены из граничных условий. Однако для определения интеграла Бериулли, без знания которого уравнение равновесия, естественно, не может быть решено, необходимо знать все три компоненты скорости, что невозможно, поскольку третья компонента скорости сама должна быть найдена из решения. В такой непоследовательности и заключена, собственно, одна из основных сложностей излагаемого здесь метода. В результате, построение решения для прямой задачи сталкивается со значительными, трудностями. С другой стороны, было показано, что течение, гладко проходящее через звуковую и сепаратрисную поверхности, является аналитическим вблизи особой точки - точки касания звуковой и сепаратрисной поверхностей [65]. Этот важный результат позволяет анализировать свойства течения в случае, если оно слабо отличается от известного точного решения задачи, путем разложения решения по малым отклонениям от особой точки непосредственно в физической плоскости.
Недавно в работе Боговалова [57] по численному моделированию холодного замагниченного ветра из вращающейся звезды с квазимонопольным магнитным полем было показано, что при увеличении угловой скорости вращения звезды в районе особой точки за быстрой магнитозвуковой поверхностью появляется разрыв, который не исчезает при дальнейшем увеличении,угловой скорости. В той же работе была высказана гипотеза, что такой разрыв возникает в момент бифуркации характеристик, когда при непрерывном изменении параметров течения структура характеристических поверхностей вблизи особой точки резко изменяется. Цель настоящей работы состоит, фактически, в проверке этого предположения.
Во второй части будут сформулированы основные уравнения, описывающие осесимметричные стационарные течения. Третья часть посвящена обсуждению условий, при которой происходит бифуркация характе-ристик. В четвертой части течение вблизи особой точки рассмотрено в гидродинамическом пределе. Показано, что течение остается непрерывным в момент бифуркации характеристик, но, в принципе, может стать разрывным при дальнейшем искажении течения. Однако, для этого форма звуковой поверхности должна уже сильно отличаться от сферической. В пятой части подобная программа проведена для магнитогидродинами-ческой задачи, рассмотренной Боговаловым. Здесь особенность в момент бифуркации также отсутствует. С другой стороны, показано, что найденная выше неустойчивость могла бы служить причиной разрыва, обнаруженного Боговаловым.
Модель холодного джета для протозвезды
В результате, возникает вопрос, как пройти через особую поверхность для данных величин инвариантов. Конечно, есть определенная разница между двумерным случаем, когда критические поверхности пересечены всеми потоковыми линиями, И: одномерным: цилиндрическим течением, когда критические поверхности параллельны только одной критической линии поля. Кроме того, как замечено ранее, уравнение (191) имеет особенность на касповой поверхности. Этот вопрос требует более тщательного анализа, который выходит за рамки настоящей работы. По этой причине здесь будут рассмотрены, в основном, простейшие случаи без особенностей на критических поверхностях. Тогда для данных инвариантов необходимо задать еще два дополнительных граничных условия: отсутствие особенности на оси вращения Таким.образом, мы не рассматриваем здесь возможность того, что джет может иметь противоположное магнитное поле Вр 0 [122]).
Наконец, нужно заметить, что уравнение (191) не содержит слагаемых ос йЕ{Щ/с№ и е?(Ф)Д/Ф, появляющихся в уравнении равновесия для магнитных поверхностей и в уравнении Бернулли. Очевидно, что гораздо проще использовать два уравнения первого порядка (191) - (192) вместо уравнения равновесия второго порядка и уравнения Бернулли, которые содержат маленькие, но важные слагаемые [79], Кроме того, можно прямо проверить, что в пределе w — со, М2 1 уравнение (191) может быть переписано в виде Как можно видеть, без последнего слагаемого ос Ь2(Щ уравнение (191) приводит к сохранению величины Н
В частности, М2 ос ш2 для Пр = const и 77 = const. Хорошо известно, что величина Н - точный инвариант для конических магнитных поверхностей [11], потому что для конической структуры слагаемое, содержащее L2, исчезает в пределе г — со. Это сохранение Я приводит к решению с кором (188). С другой стороны, в работе [46] было показано, что в релятивистском случае слагаемое содержащее Ї? может быть не ичезаю-ще малым. В результате, полоидальное магнитное поле не уменьшается с расстоянием. Система уравнений (191) - (192) позволяет рассмотреть эту задачу самосогласованно также и в нерелятивистском случае.
Наконец, необходимо отметить, что уравнения (191), (192) формально могут быть использованы только внутри светового цилиндра Фрет/е-С 1. Но, как мы увидим, для сверх - Альвеновского течения М2 1 эти уравнения действительно могут быть использованы и вне светового цилиндра, т.к. можно пренебречь слагаемым Qro2/c2 в релятивистском выражении (А2).
Для простоты, предположим, что энтальпия w пренебрежимо мала вдали от центрального объекта. Этот холодный режим означает нулевую скорость звука с3 и отсутствие касповой поверхности. Тогда, чтобы получить решение уравнений (191) и (192), четыре интеграла движения должны быть заданы, как функции потока Ф. Мы предлагаем следующую простую модель для струйного выброса протозвезды, которая может быть также применима для нерелятивистских джетов возле других компактных объектов. В нашей модели джет имеет две компоненты. В его внутренней части, соответствующей потоку Ф Фо, линии поля связаны с протозвездой жестким вращением. Внутренний поток Wo может быть оценен как
Во внешней части WQ Ф Wjet, которая, как мы полагаем, должна быть основной частью джета (Wjet ; Wo), линии поля привязаны к аккреционному диску. Мы предполагаем, что переход возникает возле радиуса коротации; следовательно, в линиях поля угловой скорости Пр нет разрыва.
Для внутренней части струйного выброса мы предлагаем две модели. Модель А описывает джеты с постоянным отношением потока вещества к потоку магнитного поля rj, модель В имеет коэффициент ту, изменяющийся с магнитным потоком, ту(Ф). Таким образом, для модели А мы предлагаем следующий выбор инвариантов для внутренней части джета:
Релятивистское уравнепие Трэда - Шафранова с анизотропным давлением
Наконец, возле внешней границы джета, в области кокона, где снова М? 1, уравнения имеют асимптотическую форму (266) и (267). Там энергетическая плотность полоидального поля основная, т.е., полоидаль-ное магнитное поле однородное. Следовательно, оно должно совпадать с внешним магнитным полем. Теперь, анализируя правую сторону уравнения (192) и используя условие Е « Q-pL, можно получить, что, чтобы пройти через Альфвеновскую точку М2 = 1 возле внешней границы джета, радиус джета должен удовлетворять условиям в соответствии с (303). Это означает, что есть только слабая зависимость радиуса струйного выброса от давления внешней среды.
Используя все рассмотренное выше и накладывая условия сшивки между внутреннем и внешним решениями, мы. попытались получить численное решение без разрывов, гладко проходящее через все Альфвеиовскис особенности. К сожалению, и это может быть главный результат нашей работы, мы не смогли этого сделать. Мы обнаружили, что невозможно пройти через первую Альфвеновскую точку М2 = 1, начиная с разумных граничных условий Ф(0) = 0, М2(0) = ІЦ2 1. Во всех случаях, правая сторона уравнения Бернулли становится отрицательной до того, как решение проходит особую поверхность.
Кроме того, даже наши довольно реальные оценки для внутреннего решения (300) - (302) соответствуют в действительности нефизическому течению. Нетрудно проверить, несмотря па то, что общая энергия истечения Е положительна, энергия потока частиц Wpa,rt оказывается больше, чем общий поток энергии, PKpart H ot- Это соответствует потоку вектора Пойнтинга, который направлен обратно к центральному объекту ( Wem 0 as / 0). Отсюда мы заключаем, что наша осисимметричная, стационарная внутренняя модель не может дать транс-Альвеновского течения. Заметим, что этот вывод не зависит от внешней структуры джета.
Как может быть интерпретирован наш отрицательный результат? Не рассматривая нефизическое предположение, что в.некоторых областях полоидальное магнитное поле исчезает, (т.е. есть области содержащие только тороидальное магнитное поле [ИЗ],) можно представить следующие возможности. Во-первых, интегралы движения внутри струйного выброса могут значительно отличаться от их величин возле области их образования. Это может иметь место в присутствии разрывов (ударных волн и.т.д) вдоль джета. Кстати, присутствие дозвуковой области внутри джета может говорить в пользу такой ударной волны. Хорошо известно, что протозвездный ветер проходит через быструю магнитозвуковую поверхность недалеко от центральной звезды, где структура течения близка к сферической [71]. Это означает, что где-то возле области образования цилиндрического струйного выброса (и рядом с осью вращения) течение должно снова стать дозвуковым. Сейчас есть прямые наблюдательные подтверждения нахождения таких ударных волн возле области образования джетов [124], [125].
Во-вторых, цилиндрический джет может содержать один или больше тангенциональных разрывов позволяющих перескочить от дозвукового к сверхзвуковому течению. Но самая притягательная возможность, по нашему мнению, связана с тем, что отсутствие решения для Д Ю-6 Гс может быть связано с нестационарностыо и неосесеммитричностью реального течения. Ясно, что такая структура не может быто описана в рамках подхода уравнения Грэда - Шафранова. Следовательно, более сложное рассмотрение необходимо, чтобы получить внутреннюю структуру реальных нерелятивистских джетов.
Мы попытались построить модель нерелятивистского, стационарного, осе-симметричного, цилиндрического струйного выброса, принимая во внимание как внутренние, так и внешние граничные условия. Внутренняя структура таких джетов в общем может быть довольно сложной. Мы выбрали МГД инварианты таким образом, чтобы суммарный ток внутри джета был бы равен нулю. Внутренняя часть струйного выброса предполагается исходящей из быстро вращающегося намагниченного объекта, а внешняя часть связана с Кеилеровским аккреционным диском.
Мы нашли, что цилиндрический струйный выброс, который остается асимптотически до-Альфвеновским, требует большего полоидального магнитного поля, чем наблюдаемое. Затем мы показали, что джеты, которые везде сверх-Альфвеновские, могут существовать, если нет внешнего давления. Тем.не менее, наблюдаемые межзвездные магнитные поля достаточны, чтобы не позволить существование таких струйных выбросов. Наконец, мы рассмотрели струйные выбросы, которые являются до-Альфвеновскими на оси и становятся сверх-Альфвеновскими на конечном расстоянии от оси. Для нашего выбора интегралов движения не было численно найдено транс-Альфвеновского решения.
