Содержание к диссертации
Введение
1. Краткая предистория работы и формулировка решаемых проблем 2
2. Модель фракталов со случайными значениями масштаба и ее приложение для описания гетерогенных систем
2.1 Суть модели. Функция распределения пор по размерам. 15
2.2 Пористость, закон Арчи и проницаемость осадочных пород. Сравнение с экспериментом
2.3 Диэлектрическая релаксация
3. Дробный интеграл и его физический смысл. Модели систем, описываемые уравнениями в дробных производных 53
3.1 Какая "физика" скрыта в дробном интеграле? .59
3.2 Некоторые обобщения полученных результатов
3.3 Физические модели, сводящиеся к уравнениям в дробных производных
4. Другой подход к пониманию нецелой производной. Новые элементы цепей - реинды и рекапы
4.1 Динамические свойства ветвящихся самоподобных цепей лестничного типа. Точное решение модели Лиу-Каплана-Грея.
4.2 Самоподобные цепи Фостера. Фрактальные инварианты.
4.3 Реинды и рекапы - двухполюсные элементы с новыми импедансными характеристиками. Свойства цепей, построенных на их основе
5. К построению электродинамики фрактальных сред
5.1 Учет эффектов временной дисперсии
5.2 Функция К Сы) и "универсальный" отклик
5.3 Эффекты нелокальности во фрактальных структурах. Построение электростатики с самоподобным распределением заряда 142
6. Новый подход к описанию диффузии во фрактальных средах
6.1 "Сверхмедленная" диффузия в ветвящихся системах
6.2 Возможные обобщения. Законы сохранения в дробных производных
6. 3 Длинные линии с реинд и рекап-э лементами как модель "сверхмедленного диффузионного процесса
Заключение.
- Пористость, закон Арчи и проницаемость осадочных пород. Сравнение с экспериментом
- Физические модели, сводящиеся к уравнениям в дробных производных
- Самоподобные цепи Фостера. Фрактальные инварианты.
- Функция К Сы) и "универсальный" отклик
Введение к работе
КРАТКАЯ РАБОТЫ И ФОРМУЛИРОВКА РЕШАЕМЫХ ПРОБЛЕМ
Идея этой работы возникла примерно десять лет назад во время десятимесячной стажировки автора в Челсиколледд (Лон донский .университет) в лаборатории физики диэлектриков АД, Дконшера. Как физику теоретику мне было предложено разобрать-, ся в явлении ".универсального" отклика дробно-степенных зависимостях временного спада функции отклика
В этих работах была выдвинута идея о том, что первопричину явления ".универсального" отклика следует искать в структурных неоднородностях среди, которые связывались с ее самоподобной (фрактально!) организацией во времени (релаксационная динамика процесса) и пространстве (геометрическая структура вещества).
Но попытка связать математический аппарат дробного исчисления и фрактальную геометрию оказалась непростой. Необходимо... было дать ясный и понятный (и в тоже время математически строгий и корректный) ответ на вопрос: Каков физический смысл one » рации дробного интегрирования иди дифференцирования и как эта операция связана с. временными и пространственными неоднородностями среды? Фигурально выражаясь, необходимо было найти, нечто промежуточное между понятием площади (интеграл) и тангенсом .угла наклона (производная).
Поиск физического содержания дробной производной заставил более глубоко разобраться в идеях и концепциях фрактальной геометрии. Этот анализ позволил разработать новую модель фракталов со случайными значениями, масштаба, которая оказалась довольно продуктивной и была применена к широкому классу гетерогенных систем. Она не прошла незамеченной и была .упомянута в обзоре [б J .Суть модели и ряд приложений изложены ВО ВТО?? рой главе диссертации. Но разумеется этого оказалось недостаточно. Интуитивное понимание динамики процессов, которые могут быть описаны уравнениями в нецелых (Дробных) производных 1/4 L J ВДжДалось в строгом математическом обосновании и глубоком физическом осмыслении.
Интересно отметить, что почти одновременно идея о неразрывной связи фрактальной геометрии с математическим аппаратом дробного исчисления была высказана в работах французских ис -4 следователей во главе с доктором А, Д&.Мзотэ...
Но вопрос строгого математического обоснования по-прежнему оставался неразрешенным. Чтобы .убедить серьезного исследователя о существовании такой связи необходимо было дать такое понимание операции дробного диффинтегрирования, которое существует у обыкновенного интеграла и производной. Только ясная физическая интерпретация и должное математическое обоснование интуитивного понимания могли бы обеспечить "проникновение" аппарата дробного исчисления в физику и технику, обеспечивая тем самым новую и широкую область разнообразных приложений. Такая интерпретация была найдена во время второго визита в Великобританию в лабораторию физики диэлектриков проф.Р,М,
Хилла в 1990 г, и опубликована в работе [9] . Детали этой работы, составляющей ядро диссертации»изложены в третьей главе.
После встречи автора с АДё Меотэ в Лондоне в 1990 г, возникла идея объединить усилия в этом направлении; чтобы заложить основы физики дробного исчисления» В конце I991 года и начале 1992 г, автор по приглашению фирмы "Алкатель-Альстом" и отделения прикладной математической статистики университета "Дари-Сюд" (Орсэ) был приглашен во Францию для совместной на-? .учной работы. Результаты оказались оригинальными и интересными и поэтому вместо первоначальной идеи написания обзора по опубликованным ранее результатам родилась идея написать книг.у объемом 200-250 стр., посвященную, "физике" дробного исчисления и вопросам необратимости в системах с фрактальной геометрией. Замысел был реализован в течение трехмесячного срока пребывав ния автора во Франции и согласно, договора с издательством "Гермес" (HER ME Ь ) книга выйдет в начале 1993 года во Франции. Затем если ей "повезет"»(а авторы в этом не-сомневаются), то книга б.удет переведена на английский язык. Эт.у краткую и с -5" торическую справку необходимо бнло дать во введении потому, чтобы понять основной замысел этой диссертационной работы,ко-. торая более чем наполовину состоит из оригинального материала. Сраау следует оговорить и такой факт. Обычно диссертационная работа докторского .уровня представляет собой законченное и оригинальное исследование некой проблемы, имеющей важное научное и прикладное значение. Что касается оригинальности исследования» то оно, как .убедятся оппоненты, присутствует в каждой главе. Относительно законченности исследованияіпо мнению автора, говорить преждевременно, так как эта работа и дреддолатаемая книга лишь закладывают основы новой физики которая занимает промежуточное положение между физикой микро--й макро-мира. По мнению А Де Меотэ и автора этой работы за кладывается некая"мина", взрыв которой, как мы надеемся, по родит всеобщий интерес к затрагиваемой проблеме и "осколки" которой послужат "зародышами" новых публикаций и книг. Поэто-му в работе больше, внимания уделяется именно изложению принципов новой физики, чем приданию "законченности" вопросам,затронутым в главах .диссертации.
Содержание и краткая характеристика работы
Так как вопросы о связи дробного исчисления и фрактальной геометрии затрагивались лишь в работах А. Де Меотэ и автора диссертации, то написание обзора», посвященного именно.этому вопросу и поиск своего оригинального "места" в ряду других исследований фактически отпадает. Автор решил рассредоточить обзор по всей диссертации в целом, чтобы конкретизировать специфику проблем, рассматриваемых в каждой отдельной главе.
Во второй главе диссертации предлагается разработанная автором модель фракталов со случайными значениями масштаба.
- 6 Излагается принцип модели и ее отличие от мультифрактального подхода (см.,например,
Чтобы показать эффективность данной модели, были рассчитаны пористость, вывод закона Арчи и проницаемость осадочных пород. Сравнение с экспериментом показывает, что данная модель является непротиворечивой и приводит к разумным величинам рассчитанных параметров фрактальной размерности базирующихся на измеренных значениях пористости» проницаемости.
Та же модель, как показывает раздел 2#3, при некоторых . предположениях неплохо "справляется" с описаниями экспериментов по диэлектрической релаксации.
, В третьей главе диссертации, которая является ядром всей работы, раскрывается физическое содержание операции дробного интегрирования и ее возможные обобщения. В этой же главе рассматриваются новые линейные динамические процессы, которые описываются .уравнениями в дробных производных. Наибольший интерес представляет собой "сверхмедленная" релаїшация, когда изменение какой-либо физической величины происходит медленнее чем ее первая производная по времени. Для таких процессов обычное понятие скорости совпадающее, с первой производной, отсутствует и экспоненциальный режим релаксации заменяется на более мед ленный - дробно-степенной г -Ь с показателем степени, лежащим в интервале (0 V • { ). Для решения таких .уравнений была разработана специальная техника, основанная на преобразовании Лапласа и применении обобщенной теоремы умножения Эфроса. Помимо анализа "сверх медленных релаксационных процессов рассмотрена линейная модель затухающего осциллятора со столкнови взаимодействием, когда показатель производной лежит в интервале между единицей и двойкой, давая в одном предельном случаев = 0) чисто экспоненциальный режим релаксации» а в другом случае (9 = 1") переходя в режим свободных незатухающих колебаний,
В четвертой главе, основываясь на анализе импеданса элементов с постоянной фазой предлагается другой путь к пониманию нецелой производной. Для этой цели предложен метод расчета ветвящихся самолодобных цепей лестничного типа, основанный на решениях определенного класса дифференциальных уравнений. Но-вый подход позволяет получить точные выражения для импеданса таких цепей и выявить условия, когда связь между током в цели и приложенным напряжением выражается через дробный интеграл или производную. Как показывают последующие разделы этой главы такая связь присуща не только самоподобным цепям лестничного, типа (цепям Кауэра), но также и каноническим схемам Фос-тера. Определения канонических схем Кауэра и Фостера можно найти к примеру, в книге \\\J , Анализ аддитивных самоподобных структур позволил выявить определенный класс сумм, которые остаются инвариантными относительно преобразований сжатия или расширения масштаба. В работе они подучили название фрактальных инвариантов. Выявив достаточно общие причины появления импеданса типа г .(и ) « ? Q и ) можно проанализировать и следствия, важные для практических дрйлЬжений, Одним из таких важных следствий, на наш взгляд, является появление новых пассивных двухполюсников, занимающих по импедансным характеристикам промежуточное положение между индуктивностью и сопротивлением (реинды), емкостью и сопротивлением (рекаяы). Не имея возможности полностью и во всех деталях рассмотреть свойства цепей, построенных на новых элементах (это может составить тему отдельной монографии) можно тем не менее заложить основы рас , смотрения таких цепей в частотном и временном представлении. Основы теории таких элементов рассмотрены в разделе 4.3.
B пятой главе предпринята попытка построить электродинамику для сред, имеющих фрактальную, геометрию» Анализ проблемы показывает, что проблему в первом приближении следует по крайней мере разделить на две части: рассмотрение по-отдельности эффектов временной дисперсии и эффектов нелокальности. Временная дисперсия приводит к появлению дробного оператора во временных производных в системе .уравнений Максвелла, эффекты не локальности дают аналогичный эффект для пространственных производных. Решение этой проблемы позволило найти весьма существенное обобщение, важное для всей фрактальной геометрии в целом - получить формулу преобразования физических неоднородное » тей, присутствующих.на "гладких" геометрических объектах в неоднородности "фрактального" типа, когда объект изменяет свою обычную геометрию на фрактальную. Это преобразование, названное нами "фрактальным фильтром".закладывает основы физически неоднородной фрактальной геометрии. Так, в частности, показано, что формула Мандельброта для объема поверхности ЛЦНЫ фрактального объекта представляет собой частный случай этой формулы, примененной к физически однородному объекту. Эта формула открывает новые возможности для построения математической физики объектов, имеющих фракталь&ую структуру. В качестве примера показано как можно "построить" электростатику с самоподобным (фрактальным) распределением пространственного заряда. Эту "технологию" можно легко перенести и на др.угие уравне ния математической физики для .учета фрактальной стр.укт.уры рассматриваемых объектов.
Последняя,заключительная шестая глава диссертации лосвя-. щена новому подходу к описанию диффузии во фрактальных средах. На примере рассмотрения диффузионного процесса в однородных ветвящихся каналах показано, что при определенных условиях течение диффузионного процесса в главном канале замедляется, что приводит к "сверхмедленному" диффузионному процесау с показателем временной производной в .уравнении диффузии не превышающим единицы. Такой подход позволяет по-новому взглянуть на динамику процессов переноса во фрактальных структурах!, которые для своего описания мог.ут содержать в исходных .уравнениях и нецелые производные. Интересно отметить также, что такой подход в качестве важного следствия приводит к новым законам сен? хранения, содержащим нецелые временные производные..Более детальное обсуждение этого вопроса дается в разделе 6.2,некоторые модели "сверхмедленного" диффузионного процесса рассмотрены в заключительном разделе 6,3.
Для .удобства чтения диссертации некоторые "квазинезависимые" математические приложения, обобщения выделены в отдельную глав.у. Это работа, решая часть принципиальных проблем, выдвигает новые, не менее важные проблемы, решение которых может быть делом ближайшего будущего. Ряд принципиальных проблем сформулирован в заключительной.части, диссертации.
Какие положения этой работы мог.ут быть вынесены на публичную защиту? По схеме построения глав-диссертации они могут быть сформулированы в следующем порядке.
I. Разработана модель фракталов со случайными значениями масштаба. Найдена соответствующая функция распределения масштабов, а также параметр Их , учитывающий структурные искажения на множестве масштабов рассматриваемого фрактального объекта. Показано как эта модель может быть применена для .. расчета пористости, проницаемости и проводимости осадочных пород. Сравнение с экспериментом показывает, что рассчитанные значения фрактальных размерностей ложатся в физически разумный интервал значений для широкого диапазона измеренных значе ІО ний пористости, проводимости и проницаемости.
При некоторых физически разумных предположениях данная модель может быть применена для описания экспериментов по диэлектрической релаксации ряда осадочных пород, содержащих "связанную" .воду. По измеренным значениям параметра И/ .входящего в выражение (1.1а), (1.2) может быть восстановлена объемная фрактальная размерность и отношение масштабов самоподобия Яял/Л рассматриваемых песчаников. Эти данные хорошо коррелируют с другими независимыми измерениями.
2. Дается строгое математическое доказательство сходи мости дискретного множества Кантора при /v - • °° (Л/- номер этапа разбиения) к. дробному интегралу. Ряд обобщений этого доказательства расширяют область его применимости. [Ci,b;Cj процедура демонстрирует "технологию" превращения при опреде ленных условиях обыкновенного (целого) интеграла в дробный, что приводит к новому и достаточно широкому классу линейных динамических процессов., описываемых уравнениями в дробных про изводных. В качестве первого примера таких процессов рассмот рена "сверхмедленная" релаксация, когда изменение процесса во времени происходит медленнее первой временной производной.Ряд экспериментов несомненно .указывает на существование таких про цессов в природе» Второй пример приводит к модели осциллятора с затуханием, но это затухание обеспечивается дробной произ водной лежащей между целыми производными с показателями один и два. Найдены условия, которые помогут обнаружить колебание такого рода на эксперименте.
3. На примере точного расчета импеданса самоподобных электрических цепей типа Кауэра и Фостера показано,что вре менная зависимость между током и напряжением при определенных условиях выражается в форме дробного интеграла. Как оказалось, -1.1 такая связь может носить достаточно общий характер и служит неким альтернативным подходом к пониманию дробного интегро-дифференциального оператора.
5, Появление пассивных элементов с импедансными характеристиками, содержащими постоянную фазу, позволяет предложить два новых пассивных элемента» названных нами реиндами (Vе \ь\-аллсе,+ Щ d act а и се.) и рекапами Огеы ь сщсе. сардсііьллсА) Рассмотрены простейшие свойства таких цепей, которые могут в ближайшем будущем открыть новую главу в электротехнике и радиоэлектронике.
6, Основываясь на обобщенной теореме умножения Эфроса была разработана специальная математическая техника, позволяющая получить решения уравнений в дробных производных в. .ид» тегральной форме. Этот же подход позволяет-получить точные математические выражения для переходных характеристик цепей выражается через дробный временной интеграл. Рассмотрение эффектов нелокальности (пространственной дисперсии) позволяет дать ответ на следующий важный вопрос: как преобразуются физические неоднородности гладкого геометрического объекта, если объект из гладкого превращается во фрактальный? Это преобразование названное нами "фрактальным фильтром" позволяет построить физически неоднородную фрактальную геометрию и .устанавливает тесную связь между пространственными дробными производными и фрактальной геометрией. Из этой формулы следует, в частности» что формула Мандэльброта для фрактального объема, поверхности, прямой соответствует физически однородному случаю, В качестве примера применения этой, формулы показано как построить электростатику с распределением заряда,сосредоточенном на фрактальном объекте,
8, Показано, что ветвящиеся системы каналов радикально меняют характер диффузионного процесса. При определенных условиях процесс диффузии в главном канале замедляется и обыкновенное .уравнение диффузии преобразуется в "сверхмедленное", когда показатель дробной производной во временной части становится меньше единицы Этот подход заставляет по-новому взглянуть на характер диффузионного процесса в средах с фрактальной геометрией и пересмотреть .уравнение диффузии, обычно испольауемые при ее описаний,
Апробация работы
Часть результатов этой работы докладывалась на многочисленных семинарах, конференциях и симпозиумах. Мы.упомянем здесь только доклады (.устные и стендовые) и тезисы Всесоюзных и Международных конференций и семинаров,
4» Геометрические аспекты явления "универсального" отклика а каолинитах (стендовый доклад,тезисы). ХІУ Всесоюзное совещание "Глинистые минералы и их применение.в народном хозяйстве", Новосибирск, 27-29.09,1968.-СД7-І8. Соавторы Ю.А.Гусев, Н.Н.Сутугин,
5. Особенности диэлектрической релаксации воды в ионосо-держащих монтмориллонитах (стендовый доклад,тезисы), УІ Всесоюзная конференция по физике диэлектриков, Томск, нояёръ, 1968.-.С.І23-І23, Соавторы Ю.А.Г.усев,Н.Н.Сутугин.
6. Диэлектрическая релаксация неоднородных сред в,модели фракталов со случайными масштабами (тезисы доклада). I Всесоюзное Совещание "Диэлектрические материалы в экстремальных.условиях", Суздаль 1969,- С.276-284, Соавторы«-Ю.А,Г.усев, Н.Н.Сутугин.
7. Проводимость и проницаемость пористых сред в модели случайных фракталов. Тезисы Всесоюзной,научно-технической конференции по синэргетике. Уфа, 1969,- С.57--59.
8. "Универсальный" отклик и импеданс самоподобных цепей, (стендовый.доклад) на международном совещании по физике ди- .. электриков.- Кэнтенбэрри, Кентский .ун-т (Англия),апрель, 1990.
9. "Универсальный" отклик и уравнения релаксации в дроб -14 ных производных.- Международная школая-совещание по математическому моделированию процессов релаксации.- Сентябрь ,Карпачи (Польша), 1991.
10, Физическое понимание нецелого интеграла. Уравнения в дробных производных и их приложение в физике.- Семинар в Университете "Пари-Сюд" (Орсэ) Франция. Январь,1992.
Пористость, закон Арчи и проницаемость осадочных пород. Сравнение с экспериментом
Мы определяем пористость как отношение общего объема полового пространства Vp ко всему объему образца, имея ввиду абсолютную пористость. Допустим, что поры в среде образуют некоторую фрактальную стр.укт.ур.у. Тогда для вычисления пористости необходимо вычислить суммарный объем пор Vp« В рамках предлагаемой модели объем Vp определится выражением где МдгУ/и (А)- число самоподобных областей, масштаба А Учитывая выражение (2.1,50) и определение (2.2.1),получим окончательно выражение для абсолютной пористости для cL = 3 В случае I (см.табл. 2Л ) x,( U \ м « 1 ) имеем приближенно В работе были представлены измерения фрактальной размерности ряда песчаников с.помощью техники электронного сканирующего микроскопа (ЭСМ). Причина выбора этой работы, а также данных представленных теми же авторами в обзоре L J-J состоит в том, .что в них представлены данные дв.ух независимых измерений - пористости (Ф) и фрактальной размерности O()WIM Эти данные позволяют минимизировать число независимых параметров. Анализируя эти данные можно попытаться ответить на следующий вопрос; какая размерность сОг или 2) г измерялась на эксперименте? Экспериментальные данные обрабатывалась следующим образом. Если реализуются .условия случая 1 (8)ц,ц- )/),то справедливо разложение (2,2.4а). Неизвестная размерность может быть найдена из итерационной формулы Для сА -2 Д .Зи поэтому результаты расчетов по формуле (2.2.5) становятся бессмысленными, если нарушается неравенство В случае выполнимости .условий для случая 2 СДі&м - с) неизвестная размерность Вх может быть найдена из следую щей итерационной формулы Результаты расчетов представлены в таблице 2.2 . Независимые данные пористости и фрактальной размерности были взяты из работы 1.25]. Вычисленные значения ясно показывают выполнимость случая 2 для девяти из одиннадцати образцов, где Ви =r Dr » Для второго и шестого образцов 1- ,- . и. поэтому они мог.ут рассматриваться как предельные. К сожалению, из текста статьи f25] неясно какая пористость имеется ввиду - абсолютная или чисто фрактальная, которая составляет 85-90% от абсолютной пористости.
Поэтому мы предполагаем,что поправка на фрактальаую пористость была .уже введена. Таким образом модель фракталов со случайными значениями масштаба дает нам надежную статистику для характеристики по-рового пространства, функция распределения пор по размерам Различными экспериментальными методами для пористых систем может быть построена функция распределения лор по размерам. Типичная кривая такого типа показана на рис, 2. 5 Экстремум кривой для большинства веществ лежит в области порядка десятков ангстрем [2?J, Раз.умно допустить, что область кривой в,сторону .больших значений масштабов может носить фрактальный характер. С целью проверки этого предположения полу- чим вначале функцию d.V0))/a1) t следующую из рассматриваемой модели. Вероятность встретить фрактал масштаба 1 в интерва tfV(ti) и WOi) определяются формулами (2.1.20),(2.1.47) со ответственно. Следовательно, функцию распределения объема пор по размерам найдем из выражения Постоянная В не может быть определена из экспериментальных данных, но величину показателя степени І -ЗХ-І можно вычислить, если представить.измеренные значения в двойных логарифмических координатах. Так для кривой, взятой из І2?] и изображенной на рис. 2.5 было подучено Т . - ТХ=-ЦЯРЗ. В работах [26], L29] сходные идеи были использованы.для доказательства фрактального происхождения структуры лазерного излучения в ближней волновой зоне и мелких.магнитных "снежи нок". К сожалению,, дальнейшая детализация этих результатов .. оказалась невозможной в_ силу расхождения интересов авторов -теоретика и экспериментаторов. сражение (2,1 54) содержит в принципе дополнительную информацию о структуре норового пространства и нуждается в. более тщательной проверке на эксперименте. Формулы (2.1.33), (2.2.3) дают возможность углубить понятие концентрации в полифазных системах. Допустим, что.гетерогенная система является многокомпонентной и имеет фрактальное происхождение. Концентрация каждой компоненты характеризуется параметрами /U J)±-, D±- Если V-M Vj . объем і -ой фрактальной компоненты, то относительное содержание фрактальной компоненты С-І определится как Эта формула может иметь важное значение для исследования многофазных систем, имеющих фрактальное происхождение. Другое обобщение результатов может быть связано с формулами (2.1,40)-(2,1,44), Измеренная фрактальная размерность может включать в себя два или более ведущих фрактала и строго говоря не может служить некой единой или универсальной характеристикой. Если в формуле может быть представлена в виде Проверка формулы (2,2,11) треб.ует более тщательных и детальных экспериментов но некоторые факты говорящие в ее польад в литераторе имеются. Так в работе [503 для песчаника из месторождения „Cocohino было получено значение ї ьм = 2,96, Это значение отличается от величины T r u,w = 2. 5 для того же месторождения, приведенной в табл, 2.2 Различие между этими данными можно приписать глине, которая всегда присутствует в песчанике, имеет свою независимую структуру и соответствующую фрактальную размерность, К сожалению, данные работ 125 [50] не позволяют делать более определенных выводов.
Закон Арчи и проницаемость осадочных пород Рассмотрим теперь применение модели фракталов со случайными значениями масштаба для описания проводимости осадочных пород. Как известно значительную долю в осадочных породах занимает свободное иди пустое пространства, которое называется поровым пространством. Если теперь осадочную породу насытить проводящей жидкостью, например, солевым раствором, то ее проводимость будет связана с долей порового объема, вовлеченной в этот процесс, т.е. пористостью Ф. Эмпирически было найдено [31"]» что где б - удельная проводимость породы, &с - проводимость насыщающей жидкости, Ф - пористость, определенная соотношением (2,2.1), Тл - некоторый показатель (т 1 ) , который можно назвать показателем Арчи. Как показывает анализ различных экспериментальных данных [26], соотношение (2.2.12) точнее отнести к какой-либо одной породе чем к группе пород с близкими значениями m t для которых зависимость LOQ(6/ 5O) ОТ ЯР есть прямая линия, Поровая cTp.YKT.ypa осадочных пород - это объект с весьма сложной геометрией и несмотря на ряд теоретических моделей \32] [30], [33 L26] ни одна из них не является достаточно удовлетворительной. Так в работе 52] зерна породы моделировались сферами случайных размеров. В приближении самосогласованного поля авторы этой работы получили соотношение (2,2.12) с 1т\=1.5 , Такое представление в силу выбора сильных упрощающих предположений остается нереалистичным описанием осадочных пород, которые имеют физическую структуру,да- лекую от модели сфер, P. WohQ я другие [5-43 моделировали поровое пространство в виде связанной системы труб со случайными значениями диаметра. Начиная с системы пор, имеющих постоянный диаметр cL другие присоединяемые поры рассматриваются как случайные с диаметром 0CcL (т,е. d- occL ),После .усреднения проводимости случайное распределение диаметров проводящих труб приводит к .уравнению (2,2,12) с т= Х Недостаток этого приближения заключается в том, что фактор .уменьшения X. не наблюдается в осадочных породах и лоэто« му весьма трудно понять как соотнести реально наблюдаемое значение 1.5 гп 2.5 со значениями ос и их распределением. Так как самоподобие является наиболее важной характеристикой структуры порового пространства осадочных пород, то в работах 21,353было предложено трактовать проводимость как аномальную диффузию заряда на фрактальной решетке,образованную на системе лор, В этом случае коэффициент диффузии приобретает зависимость от масштаба ( L ),Однако для того, чтобы подогнать известные значения фрактальной размерности Ъ± порового объема к измеренным значениям , показатель степени Т должен иметь необычно низкие значения 0.15 Т Ц5 что противоречит значениям Тсг-4/з t которые дает теория перколяции.
Физические модели, сводящиеся к уравнениям в дробных производных
Обыкновенная геометрия не дает .утвердительного ответа на этот вопрос, так как "не знает" промеадточного геометрического объекта между прямой и точкой. Фрактальная геометрия отвечает на этот вопрос .утвердительно, так как такой объект существует и известен под названием Канторовского множества иди канторовской пыли (см.главу 2,раздел 2.1). Проблему можно конкретизировать следующим образом. Еусть в физической системе с заданной пространственной геометрией в процессе эволюции "выживает" только часть состояний, а другая часть от их общего числа необратимо теряется в процессе эволюции» Потеря части состояний понимается в том смысле, что они необратимо теряются и становятся недосздшшии для системы. Множество Кантора устроено таким образом (см.рис. 3-1 ), что оно .учитывает недоступность части состояний автоматически. Что произойдет с множеством Кантора в пределе К - ( N -номер этапа разбиения) при условии, что нормировка суммарной площади (для определенности на единицу) канторовских "пальцев" сохраняется? № покажем, что свертка Канторовского множества с некоторой гладкой функцией { (Т) в пределе N сходится к дробному интегралу от { (т) , причем показатель л) дробного интеграла указывает на долю сохранившихся (или про-взадаодействовавших с термостатом) состояний и совпадает с фрактальной размерностью множества "О = 1)± Иными словами» Канторово множество для дробного интеграла (ДИ) является аналогом S -образной последовательности, которая, как известно, в пределе, когда единичная площадь вырождается в вертикальаую прямую, сходится к S -функции. Для ответа на вопрос, что произойдет с множеством Кантора в пределе N- «», мы реализуем следующую процедуру. двумя полосками на краях, каждая из которых имеет дли&у Т ( 0 к У2 ) Далее повторяем процедуру на каждом из оставшихся отрезков и т.д. 2 шаг. Находим координаты точек Tm (m=1,2,4,...,2 ) на М -ом этапе.
Соотношения между Н -ым и (N-1) -ым генерациями точек мог,ут быть выражены следующими рекуррентными соотношениями (см.рис. 5-1 ) Высота каждого "пальца" совпадает с плотностью множества и равна Трм = 1/(2 ) »что обеспечивает нормировку площади всех "пальцев" на единицу. 3 шаг. Вклад в интеграл от 2 полосок на N -ом этапе может быть выражен в виде Преобразование Далласа от D(t) выразится в виде (З.І.П) На этой стадии, если мы хотим продвинуться дальше, необходимо преобразовать последнюю сумму в выражений (3.1.II) и по воз- можности избавиться от координат Тт "" перейдя к новым переменным Ah= з "Г Эта сумма может быть преобразована в произведение посредством следующих соотношений. Рассмотрим некий отрезок Кадторовского множества на промежуточном п -ом этапе (см,рис. 3-2 ) Обозначения Д , Д -Ь показаны да рис. 3-2 .Исполь-з.уя соотношение =s t "n й вновь повторяя эту процеду-р.у, мы получим искомое преобразование, содержащее только переменные Ah (п= 0,1,2,... ) Используя последнее соотношение и .учитывая, что Дл= Т выражение (3.1.II) можно преобразовать к виду Ф.ункцйя Ц (ї) может быть названа аппаратной (передаточной) функцией или динамическим импедансом рассматриваемой системы. Причины появления такого термина б.удут рассмотрены несколько позднее. 4 шаг. Детальные исследования произведения (3.1.15) (детали приводятся в Математическом Приложении к главе З(МП-З)) показывают, что для интервала или для временной области QjijCi) .удовлетворяет функциональному уравнению Опираясь на неравенство что гарантирует сходимость произведения Ц (г.) можно показать, что для любого С .учетом (3.1.20) .уравнение (3.1.IB) принимает форму Сравнивая .уравнения (3,1,2) с (3.1,21) нетрудно видеть, что решение для Q () может быть записано в виде (3.1,1) Динамический импеданс Q(2) как следует из (3.1.22) в точности совпадает с импедансом элемента постоянной фазы (ЭПФ). Более детально ЭПФ как альтернативный подход к пониманию Щ рассматривается в главе 4 диссертации. Неизвестная константа, появляющаяся в (3.1,22) не может быть получена из уравнения (3.1,21). Для оценки А-ф необходимо по крайней мере приближенно оценить 0 (2) при N»1 . Детали такой оценки даны в Ш-3, Согласно этой оценке После реализации этих четырех шагов мы получим окончательно в пределе для больших N ( N » 1) Если мы вернемся к оригиналу 3( t) с использованием свойств преобразования Лапласа, то подучим основной математический результат этого раздела Фактически мы получили ответ на вопрос, сформулированный выше и показали, что свертка канторовского множества с гладкой функцией в пределе N - «о приводит к дробному интегралу от этой функции. Дробный показатель " ) совпадает в этом случае с Г ± -фрактальной размерностью канторовского множества и .указывает на долю состояний, сохраняющихся в результате эволюции физической системы. Интересно сравнить основной реаультат (3.1.25) с двумя предельными случаями, рассмотренными выше, для того, чтобы дать более детальную физическую интерпретацию.
Величина лежит в интервале При = У2. величина фрактальной размерности равна единице 0 =Dr-1) в этом сл чае 3(Т ) представляет собой полный интеграл и 4(4:) - обычная подинтегральная функция. Этот случай, как это следовало из предварительного анализа, соответствует случаю полной памяти (все состояния системы сохраняются). Если - 0 (S = tn2/th(1/ 0) то из (3.I.I5) следует что соответствует оригиналу в "t -области представляющем?/ линейную комбинацию двух дельта-функций половинной интенсивности, локализованных на концах выбранного интервала [о,Т], Этот предел отражает специфику вырождения множества Кантора при "О- - 0 и соответствует полной потере памяти, как это и следовало из предварительного анализа. Эти предельные случаи подсказывают также следующую интерпретацию. Показатель л) дробного интеграла дает нам информацию о доле состояний, которые вовлечены в процесс взаимодействия с термостатом. Случай л) = 1 соответствует ситуации, когда все состояния системы вовлечены в процесс взаимодействия с термостатом, В другом предельном случае i) = 0 система имеет один или несколько актов взаимодействия с термостатом в моменты времени 0 -L Т причем эти состояния системы бесконечно малой длительности имеют яу левую размерность. Для того, чтобы понять причины появления интеграла или производной именно половинного порядка в диффузионных процессах рассмотрим промежуточный случай - / (т) = V& ) Как известно [56"] для классической диффузии в одномерном случае связь между температурой Ts(-L) и тепловым потоком Q C b) на границе (зс= 0) для по лубе оконечной области 0 Х =о выразится в виде Нетрудно понять, почему в этом случае 50% - половина состояний необратимо теряется. Как мы знаем для одномерной диффузии в конечной области 0 Х L сущест&уют два эквивалентных решения. Одно из них соответствует тепловому потоку, распространяющемуся в положительном направлении (ос 0) f а другое - отраженному от границы области X = L и распространяющемуся в противоположном направлении (0С 0) Для полубесконечной области L120 второе решение отсутствует и поэтому половина состояний необратимо теряется. Поэтому можно ожидать появления дробных производных при описании диффузии в ветвящихся каналах. Эта проблема детально рассмотрена в главе 6. Отметим,также, что первая практическая реализация интеграла и производной половинного порядка в электрохимии была осуществлена в работе 15?"] . Приведем также конкретный пример возможной реализации дробного интеграла для простейшей электрической схемы, содержащей емкость, ключ и подключенной к источнику напряжения с большим внутренним сопротивлением (см.рис. Ъ-Ъ ). Этот пример конкретизирует физическую интерпретацию дробного интеграла, приведенную выше. Как известно ток тС"Ь) и напряжение Ц("Ь) на концах элемента цепи, содержащего емкость С связаны соотношением Если теперь ключ прерывает цепь в соответствии с последовательностью Кантора на интервале [0,Т], причем с .увеличением числа импульсов (N » 1 ) их площадь все время сохраняется, то в пределе связь между 11(-0 к І-С"Ь) в соответствии с формулой (3.1.25) примет вид b =Ao(1 s) - константа порядка единицы, появляющаяся в ре-аультате сглаживания импульсов тока на заданном интервале [0,Т].
Самоподобные цепи Фостера. Фрактальные инварианты.
В разделе 4.1 было показано, что точные решения для са моподобных цепей Кауэра приводят к даум типам аномального по ведения. Случай А таблицы 4.2 [ии/&] й С \i.\\/R] приводят к СРА поведению, а случаи оъ и Dj Для [ч /R, 2,1,/ 1 соответственно дают нам низкочастотный степенной отклик PPR . Появление второй ветви "универсального" отклика не является случайным. В этом разделе мы покажем, что для широкого класса самоподобных цепей типа Фостера импеданс типа FPR является достаточно общим. Случаи Ъъ для [2LM»)/R] или Db для [2u/RJ на первый ВЗГЛЯД (см.также выражение (4.1.33)) можно рассматривать лишь как малую поправку к действительной части импеданса в низкочастотной области. По-видимому, именно по этой причине она не принималась во внимание большинством исследователей. Но эта ветвь импеданса является непосредственно наблюдаемой величиной, если рассматривать МНИМУЮ часть соответстЕующего импеданса или восприимчивости, которая уже не может рассматриваться в качестве малой поправки. В этом разделе мы изложим основное содержание работы fS5J и попытаемся наметить пути к пониманию явления "универсального" отклика, который наблюдается во многих областях физики. Для того, чтобы разобраться в сути этого явления необходимо вначале ответить на следующий вопрос: Существует ли некоторый общий принцип, который может лежать в основе соотношений (4.1.1),(4.1.33),во многом сходный не только для импеданса, но и диэлектрической восприимчивости? В этом разделе мы постараемся показать, что именно свойство самоподобия может рассматриваться в качестве основной причины ".универсального" поведения импеданса (адмиттанса) или восприимчивости. Для этой цели рассмотрим вначале простейшие самоподобные цепи типа Фоствра, изображенные на рис,4,4 а,б). Адмиттанс системы (рис.4,4а) может быть записан как Здесь S pR»C=p/u)o - безразмерная частота, p=jtO+ b (jb О ) комплексная частота или параметр Лапласа, Импеданс последовательно соединенных R,C-ячеек системы, изображенной на рис,4,46 имеет вид и»о Сравнение выражений (4,2,1),(4,2,2) позволяет заметить следующую фундаментальную взаимозависимость между этими даумя моделями.
Поведение RY (sO/? в параллельной модели аналогично поведению 2W( ")/R в последовательной при .условии взаимозамены масштабных параметров ск Jb. Б обоих случаях мы имеем дело с суммой вида свойства которой имеет смысл рассмотреть более детально. Инвариантные свойства самоподобных цепей Фостера, основанные на ".универсальных" свойствах суммы Ь (20. Попытаемся установить некоторые общие принципы возникновения суммы Srf () как функции переменной 2: , возникающей в результате аддитивного суммирования физической величины распределенной по фрактальной структуре и найдем, таким образом, некоторые общие свойства самоподобных систем. Для этой цели полезно напомнить определение некоторой аддитивной физической величины. Физическая величина & называется аддитивной, если она .удовлетворяет следующему простому соотношению где ои - величина, которая относится к И, -ой части подсистемы, S- величина, которая характеризует всю систему в целом. Когда записывается соотношение (4,2,4) обычно не анализируется следующий важный вопрос - Существуют ли некоторые общие критерии, позволяющие выбрать ц в качестве элементарной (и соответственно неделимой) структурной единицы подсистемы, входящей в более общую систему & Очевидно, что если части Ьц, не коррелируют друг с другом, то суммирование по независимым частям в сумме о и, является законным. Но если некоторые части Ь сильно коррелируют друг с другом, то разделение &ц становится невозможным и должен быть сформулирован некоторый принцип устанавливающий законность нового набора J ? и С слабо коррелирующих друг с другом. Разумеется, очень трудно провести грань, отделяющую коррелированные и некоррелированные части др.уг от друга, HD а каждом конкретном случае необходимо выбирать S как неделимую далее и некоррелированную с другими частями структурную единицу.большой системы о . Обычно в физике ограничиваются рассмотрением двух предельных случаев: - первый, когда система разбивается на некоррелированные друг с др.угом "атомы" и сумма S представляет собой некоторую .усредненную физическую величину, образующуюся в результате аддитивного суммирования вкладов отдельных "атомов"; - второй, когда части &и представляют собой большие (и совершенно не коррелирующие др.уг с другом) структурные единицы, составляющие компоненты ("точки") сплошной среды. Эта структурная единица носит название элементарного физического объема и составляет основу гидродинамики, механики сплошных сред и т.д. Физические системы с фрактальной геометрией занимают как бы промежуточное положение между этими двумя предельными случаями, так как с одной стороны такая система предполагает наличие неделимой структурной единицы, имеющей конечные размеры, а с другой стороны, наличие пропусков, что отличает эту систему от континуума. Поэтому имеет смысл детально рассмотреть соотношение (4.2,4) для систем, представляющих собой некоррелированные, но подобные друг другу части. Для этого рассмотрим некоторый физический процесс, который описывается функцией ;(/и"). 2. и - размерная переменная, относящаяся к К -ой части системы, - текущая переменная, которая может описывать, к примеру, эволюцию системы во времени х или зависеть от комплексной частоты р =Jи) - Ь (& о). Переменная может совпадать с некоторым характерным масштабом системы или фигурировать в качестве интенсивной переменной, характеризующей всю систему в целом, например, давлением, температурой и т.д.
Допустим теперь, что мы рассматриваем некоторый физический процесс, который может быть описан функцией j(2./zw) где г щ - относится к \м -ой части рассматриваемой системы и пропорциональна ее "объему". Слово "объем" означает линию для аеэА , поверхность с(Е-=2 и реальный объем с!Е - 3. Здесь, как и ранее, С4е - евклидова размерность. Разделим теперь всю физическую систему на части размера Л . Для масштабов V) А/ [ здесь и далее V) - обыкнованный масштаб и не совпадает с 10 4. - безразмерным масштабом, исполь- зованным в разделе 4.I.J система предполагается однородной, для масштабов И Л система является фрактальной. Объединяя формулы (2.1.196),(2.1,20) главы 2 где Цр Л /К - объем фрактала масштаба И Л/К11 Ьи =(Д 1\Л % - Ц - число фигур масштаба И , Crl -геометрический форм-фактор, И - число самоподобных генераций (И30,1,2,., Л/). Последняя стадия И= Д/ относится к минимальному масштабу Л Л / К . Принимая во внимание все ранее сделанные замечания, мы можем с учетом связи 2.и- Ctw, представить соотношение (4,2.4) в виде суммы (4.2,3) -ш-здесь Ь-р, fr-k /p, a a/fec AS, Л/л" число однородных областей масштаба Л . Схематически процесс аддитивного суммирования показан на рис.4,5, Как видно из соотношения (4,2,6), для процессов, характеризлющих всю фрактальную систему в целом, вновь возникает необходимость рассмотрения суммы (4,2,3). Если переменная .3 и имеет независимый масштаб 2. 92.0% или части системы р выбираются в соответствии с рассматриваемым процессом, то сумма вида (4,2,3) вновь сохраняется. Детальные исследования свойств суммы (4,2,6) даны в Математическом Приложении к главе 4 (МП-4).(См.результаты в табл.МП4 2). Возвращаясь к свойствам цепей, представленных на рис. 4.4 мы можем сделать ряд важных выводов, относящихся к их общим свойствам. Структ.урные элементы Sy, в данном случае совпадают с К(Ъ , Cck . Эти элементы рассматриваются далее как неделимые, Реаультаты оценок Y ( ) К/S , приведенные в табл.4.3, ясно показывают присутствие даух ветвей ".универсального" поведения (СРА и FPR-области) вместе с их промежуточной асимптотикой. Безразмерный диапазон частот для этих областей может лежать как в интервале "высоких" частот [і, ооГ) , так и низких [О,і] И определяется соотношениями между константами Ь = Д, J kQ Эти соотношения .указаны в четвертой колонке таблицы.
Функция К Сы) и "универсальный" отклик
В соответствии с целями этой главы - поиском возможностей "испортить" .уравнения математической физики, введением в них дробного интеграла или производной - рассмотрим другой подход, позволяющий .учесть эффекты нелокальности во фрактальных структурах. Мы покажем, как самоподобное распределение заряда в электростатике позволяет подойти к определению пространственного дробного интеграла. Мы проанализируем также возможное обобщение пространственного дробного интеграла для сред, обладающих различной симметрией. Причина выбора электростатики стимулирована работой Г&Й , где впервые был произведен расчет потенциала электрического поля,обусловленного фрактальной структурой распределения электрического заряда. Во многих проблемах теоретической физики необходимо бывает учесть эффекты нелокальности обусловленные различными неоднородностями среды. Соотношение между физической величиной Ф(г) и f(r ) локализованных соответственно в точках Г, г выражается в большинстве случаев формулой Интегрирование в (5.3.1) осуществляется по всем значение-ям переменной Г . V; . Обычно процедура расчета интегралов (5.3.1) достаточно сложная, потому что конкретный вид функции рСТ- ) для большинства случаев неизвестен. Поэтому функция р(г) выбирается из каких-либо общих соображений (симметрийных, инвариантных) или рассчитывается из модельных представлений, интересно поставить следующий вопрос: каков будет вид функции РС З для самоподобной фрактальной стр.укт.уры с размерностью 2!ц , расположенной в области масштабов (/\,Л) Мы покажем, что для широкого класса фрактальных структур функция плотности обладает иуниверсальным" поведением и выражается в виде степенной функции, совпадающей в свою очередь с определением дробного интеграла и его модификациями.
Нелокальность,обусловленная множеством Кантора Для того, чтобы ясно понять существо проблемы, мы рассмотрим расчет нелокальных эффектов от одномерного множества Кантора. Эти расчеты помогут нам использовать результаты главы 3 для пространственного случая. Пусть физическая величина ФСх) связана с другой величиной f x/), распределенной на отрезке [ О, ЛЛ с помощью соотношения м Пусть функция плотности Р(оО совладает со ступенчатой функцией Фактор обеспечивает нормировку функции плотности на единицу л А Если плотность РО 0 распределена равномерно на отрезке длины А и 0C=Af то из формулы (5.3.2) следует что совпадает со средним значением іСх) . В другом предельном случае р(эс) концентрируется в некоторых точках отрезка to,Л] с бесконечно большой плотностью в виде точечных зарядов. Эти два предельных случая хорошо известны в физике (включая электростатику как частный случай) и позволяют сформулировать суть рассматриваемой проблемы. Как усреднить произвольную функцию f (ос) ,если плотность р(ос) распределена по множеству Кантора с фрактальной размерностью ) при .условии, что число этапов построения М= ? Ответ на этот вопрос может быть получен с учетом результатов главы 3 и МП-3, Для этого случая удобно использовать одномерное преобразование Лапласа для того, чтобы использовать определение дробного интеграла в форме интеграла Римана-Лиувилля (см.определение в Щ-3). Соотношение 1 дает нам искомый ответ на поставленный вопрос. Как следует из (5.3.6) среднее значение функции f(oc) распределенной по множеству Кантора выражается в виде дробного интеграла,примененной к однородной функции { (А) . Если выбрать длину в качестве новой масштабной единицы и разделить весь отрезок произвольной длины X на отрезки длины Л ,то можно использовать [аЬс] процедуру, описанаую в главе 3. После усреднения вся дискретная структура множества Кантора в пределе Н = оо "сглаживается" и только длина А и фрактальная размерность Л) напоминают нам о сложной дискретной структуре, которая существовала до процедуры усреднения. После [abcl процедуры мы получим усредненное значение в любой "точке" выбранного отрезка. Результат выглядит следующим образом где X = / . Из выражения (5.3.7) следует, что учет эффектов нелокальности для множества Кантора в пределе Н =Ф сводится к операции дробного интегрирования, примененной к гладкой функции (х). Как понять появление дробного интеграла для пространственно-распределенных фрактальных объектов с физической точки зрения? Как известно, в настоящее время существуют две "физики" - микроскопическая и макроскопическая. Микроскопическая физика (квантовая механика, квантовая теория твердого тела) оперирует с объектами, типа атомов,молекул, которые распределены по пространству дискретным образом и "точки" представляют собой дельта-функции с бесконечной плотностью. Макроскопическая физика (механика электродинамика сплошной среды, гидродинамика) вводит понятие элементарного физического объема (ЭФО), которое служит "точкой" обычного трех- мерного пространства. Это понятие позволяет использовать хорошо разработанные методы теоретической физики (интегральное исчисление, .уравнения в частных производных и т.д.). Как это хорошо известно из физики сплошных сред .усредненная плотность точек определяется как (5.3.8) где сумма берется по всем "атомам" из выбранного ЭФО. Фрактальная геометрия .уточняет понятие ЭФО и .устанавливает пространственные пределы для "физик", .упомянутых выше.
Так для масштабов )Г & А физическая система является макроскопичео-кой, для Г . А она может рассматриваться как фрактальная или самоподобная, а для масштабов Х Г должна рассматриваться как микроскопическая. Концепция пространственного дробного интеграла,которая, естественно, появляется при таком подходе помогает наметить пути перехода от микроскопической физики к макроскопической, так как позволяет от двух предельных "физик" перейти в области промежуточных масштабов Г А. Фактически операция дробного интегрирования примененная к заданной области пространства корректно определяет понятие геометрической "точки? зависящей от рассматриваемой области масштабов. Если -0= Dt то дробный интеграл сводится к одной или нескольким дельта-функциям - точкам микроскопической физики. Если )= 1 » то отрезок длины А переходит в "точку" макроскопической физики- физическая величина .усредняется по "объему" порядка А (см.формулу (5.3.5)). Для 0 0 1 мы получаем определение "плавающей точки которое применимо для промежуточной области масштабов, причем в зависимости от особенностей рассматриваемой системы безразмерный параметр Ut= ос/А. может лежать в широкой области масштабов включая в себя и переходную точку 14. 1 . Из анализа результатов этого примера можно сделать следующий вывод. Если физическая система осуществляет переход от дискретной самоподобной структуры к непрерывной, то при таком переходе она "запоминает" свое происхождение, оставляя при ее макроописании два основных фактора \) - показатель дробного интеграла, А - масштаб ЭФО. С этой точки зрения все .уравнения классической физики, описывающие динамику сплошных сред, могут быть "растянуты" на промежуточную область масштабов. Обобщения, полученные в главе 3,МП-3 (часть 2) показывают, что переход от дискретной структуры к непрерывной может быть довольно общим. Результаты, полученные для одномерного множества Кантора с числом полосок М на каждой стадии деления (см.раздел 3.2),позволяют легко "обобщить"ре-зультаты на случай, когда эвклидова размерность ОІв 1
