Содержание к диссертации
Введение
1 Поперечная неустойчивость, спонтанное образование нелинейных когерентных структур и коллапс 12
1.1 Поперечная неустойчивость в квадратичных оптических средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости 12
1.2 Гексагональные световые структуры в фоторефрактивных кри сталлах с зеркалом обратной связи 18
1.2.1 Основные уравнения 21
1.2.2 Линейная теория неустойчивости 26
1.2.3 Трехволновое взаимодействие боковых волн 32
1.2.4 Четырехволновое взаимодействие боковых волн 33
1.2.5 Динамика формирования гексагонов и их устойчивость . 37
1.2.6 Численный эксперимент 38
1.3 Спонтанное формирование гексагональных световых структур в фоторефрактивном кристалле при отсутствии встречной волны накачки 44
1.4 Коллапс в нелинейном уравнении Шредингера с внешней силой 50
1.5 Коллапс в конденсате Бозе-Эйнштейна с диполь-дипольным взаимодействием 58
2 Неустойчивость, диффузия и коллапс частично некогерентного лазерного пучка в высокотемпературной плазме 66
2.1 Распространение лазерного пучка в высокотемпературной плазме в пренебрежении тепловыми эффектами 66
2.1.1 Основные уравнения 67
2.1.2 Вероятность возникновения коллапсов 70
2.1.3 Коллективная неустойчивость 71
2.1.4 Нелинейная диффузия лазерного пучка 74
2.2 Распространение лазерного пучка в высокотемпературной плаз ме с учетом флуктуации электронной температуры 80
3. Нелинейные когерентные структуры в оптических коммуникациях 91
3.1 Нелинейные оптические линии 91
3.2 Солитон с управляемой дисперсией 93
3.2.1 Ширина и амплитуда солитона с управляемой дисперсией 93
3.2.2 Осциллирующие хвосты солитона с управляемой дисперсией 98
3.2.3 Граница области существования солитона при отрицательной средней дисперсии 103
3.3 Параллельный алгоритм для моделирования многоканальных оптических линий 106
3.4 Точечная компенсация нелинейности в оптических волоконных линиях 112
3.5 Бисолитоны в системе с управляемой дисперсией 118
3.6 Влияние случайных флуктуации параметров системы с управляемой дисперсией на распространение оптических импульсов 121
3.6.1 Случайная дисперсия 121
3.6.2 Диффузия оптического импульса при наличии случайной анизотропии и дисперсии в дисперсионно-смещенном оптическом волокне 126
4. Динамика сингулярностєй и регулярность уравнений гидродинамики жидкости со свободной поверхностью и границы раздела жидкостей 133
4.1 Точно интегрируемая динамика границы раздела между тяжелой идеальной жидкостью и легкой сильно вязкой жидкостью 133
4.2 Оптимальные канонические переменные для динамики идеальной жидкости со свободной поверхностью 142
4.2.1 Основные уравнения и гамильтонов формализм 143
4.2.2 Приближение слабой нелинейности 145
4.2.3 Анализ коротковолновой устойчивости в гамильтониане четвертого порядка 147
4.2.4 Некорректность гамильтониана четвертого порядка 148
4.2.5 Каноническое преобразование 150
4.2.6 От комплексного к действительному уравнению Хопфа 152
4.2.7 Устранение неустойчивости из членов четвертого порядка 152
5. Макроскопическая динамика и коллапс бактериальных колоний и биологических клеток 165
5.1 Коллапс бактериальных колоний 165
5.2 Макроскопические уравнения для движения бактерий за счет случайных флуктуации их формы 177
5.3 Макроскопическое описание динамики клеток с учетом контактных взаимодействий 182
Заключение 191
Публикации по теме диссертации 194
Литература 195
- Гексагональные световые структуры в фоторефрактивных кри сталлах с зеркалом обратной связи
- Вероятность возникновения коллапсов
- Ширина и амплитуда солитона с управляемой дисперсией
- Оптимальные канонические переменные для динамики идеальной жидкости со свободной поверхностью
Введение к работе
Нелинейные когерентные структуры - это структуры, в которых когерентность, к примеру, согласованность фаз волновых процессов, обусловлена нелинейными взаимодействиями в системе. Нелинейные когерентные структуры имеют большое значение практически во всех областях физики. Их исследования в настоящее время активно развиваются [1-5]. В то же время, при всем разнообразии физических систем и эффектов, лежащих в основе образования нелинейных когерентных структур, они имеют много сходных свойств, позволяющих рассматривать нелинейные когерентные структуры с единых позиций нелинейной физики. Нелинейные когерентные структуры могут возникать на нелинейной стадии развития линейной неустойчивости или вследствие наличия внешнего воздействия на систему. К примеру, развитие модуляционной неустойчивости в нелинейной оптической среде или гидродинамическая неустойчивость могут приводить к образованию уединенных волн - солитонов. Примером образования солитонов за счет внешнего воздействия является их формирование в нелинейной оптической среде иод воздействием лазерной накачки с формой импульсов, близкой к солитонной, что является распространенным экспериментальным приемом в нелинейной волоконной оптике. Если образовавшиеся когерентные структуры устойчивы, то они зачастую определяют динамику системы на больших временах. Однако, нелинейные когерентные структуры могут и не существовать или быть неустойчивыми. В этом случае возможно образование сингулярности за конечное время, называемое коллапсом.
В диссертации анализируется широкий класс систем, где нелинейные когерентные структуры играют важную роль. Нелинейная оптика представляет собой широчайшую область изучения поведения нелинейных когерентных структур. Так, в квадратичных нелинейных средах большую актуальность в последние годы приобрело изучение свойств сред с искусственно наведенной периодической модуляцией коэффициента нелинейности на длине, близкой к четверти длины волны первой световой гармоники [6, 7], что позволяет добиться условия фазового синхронизма между первой и второй гармониками света при их распространении навстречу друг к другу. Важное значение в этом случае приобретает изучение абсолютной неустойчивости но отношению к излучению волн под малыми углами - т.е. поперечной неустойчивости, что рассмотрено в диссертации. В то же время абсолютная неустойчивость для встречного распространения волн в средах с кубической нелинейностью не требует модуляции
коэффициента нелинейности и поэтому была исследована намного раньше [8, 9]. Другим классом материалов, где поперечные неустойчивости между встречными волнами играют важную роль, являются фоторефрактивные среды [10, 11]. В данном случае нелинейность в первом порядке малости приводит к ускорению развития линейной неустойчивости - взрывной неустойчивости, характеризуемой образованием сингулярностей за конечное время, что является одним из основных явлений в нелинейной физике. Стабилизация взрывной неустойчивости происходит за счет следующих порядков нелинейности и приводит к формированию нелинейных когерентных структур гексагонального типа [12]. Активные исследования посвящены образованию сингулярности за счет волновых коллапсов, т.е. обращения амплитуды волны в бесконечность за конечное время, сопровождаемое драматическим уменьшением ширины волнового пакета. Термин "волновой коллапс"был введен В.Е.Захаровым в 1972 г. [13]. В диссертации изучается возникновение волнового коллапса в нелинейных резонаторах с накачкой [14] и в конденсате Бозе-Эйшптейна с диполь-дипольными взаимодействиями [15-17].
Коллапсы играют большую роль и в задаче по достижению управляемого термоядерного синтеза за счет инерционного сжатия мишени с помощью лазерного излучения [18, 19]. Распространение света в плазме, окружающей термоядерную мишень, сопровождается столь сильным нелинейным оптическим взаимодействием, что может приводить к множественному образованию коллапсов. В настоящее время в США в Национальной Лаборатории Лоурепс Ливер-мор ведется строительство National Ignition Facility (NIF) - крупнейшей в мире установки но лазерному термоядерному синтезу с пиковой мощностью лазеров в 400 тераватт [19], что означает возможность одновременного формирования более 105 коллапсов. Коллапс в данном случае является крайне нежелательным эффектом, поскольку он приводит к потере контроля над лазерными пучками и их рассеянию. В результате может упасть степень обжатия мишени и не произойти зажигания самоподдерживающейся термоядерной реакции. Поэтому, существенные усилия предпринимаются для подавления коллапсов путем обеспечения частичной некогерентности лазерных пучков. Актуальным вопросом является определение максимально допустимой интенсивности лазерного пучка, позволяющей сохранить контроль над его распространением при увеличении частичной некогерентности. В этом случае возможна как медленная диффузия угловой ширины пучка, так и возникновение неустойчивости за счет вынужденного рассеяния Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ) вперед, приводящей к коллапсу, а также могущей вызвать существенное рассеяние лазерного пучка в обратном направлении.
Другой нелинейной оптической системой, в которой нелинейные когерентные структуры играют важную роль, являются оптические волокна. Нелинейное распространение света в оптических волокнах описывается нелинейным уравнением Шредингера (НУШ) с периодической пространственной вариацией дисперсии групповой скорости вдоль волокна [7]. Роль времени в этом случае
играет дистанция вдоль волокна, а время, наоборот, играет роль пространственной координаты. Динамика уединенных импульсов, каждый из которых несет один бит информации, на коротких расстояниях (порядка нескольких десятков километров) практически линейна и сводится к периодической вариации амплитуды и ширины импульсов. На больших расстояниях учет нелинейности необходим. Для типичных трапсокеанических расстояний в несколько тысяч километров нелинейность является основным ограничивающим фактором скорости передачи информации по оптическим кабелям. В этом случае возможны две стратегии для увеличения пропускной способности оптических волокон. Первая стратегия заключается в максимальном подавлении нелинейных эффектов. Однако, эта стратегия практически достигла своих пределов, поскольку, в силу квантовых шумов в оптических усилителях, мощность оптических импульсов должна оставаться достаточно большой для поддержания ошибок от шумов на приемлемом уровне. Вторая стратегия заключается в том, чтобы не пытаться бороться с нелинейностью, а использовать нелинейные когерентные структуры как носитель информации для увеличения пропускной способности оптических волокон. В качестве носителя информации может выступать как солитон с управляемой дисперсией (dispersion-managed soliton), так и его различные обобщения. В последние годы эта вторая стратегия привлекает большое внимание. В компании Люсент была досіигнуїа рекордная скорость передачи информации на основе этой стратегии [20].
В гидродинамике жидкости со свободной поверхностью исследования неустойчивостей и нелинейных когерентных структур имеют большую историю [1, 21, 22] и остаются областью активных исследований [23-25]. Существенным вызовом для теории и численного моделирования служит формирование особенностей на поверхности жидкости. Одним из важных и активно развиваемых теоретических подходов является описание этого процесса через движение син-гулярностей в пространстве вне жидкости [26-28]. Образование особенности на поверхности жидкости соответствует моменту времени, когда сингулярность касается поверхности жидкости. Численное моделирование динамики свободной поверхности представляет большие трудности. Актуальной задачей является вывод редуцированных уравнений, более удобных для численного моделирования. Недостатком существующих редуцированных моделей является их некорректность - они имеют неустойчивость на малых масштабах вследствии нарушения условия применимости теории возмущений, используемых для вывода этих редуцированных моделей. Поэтому задача построения корректных моделей является чрезвычайно актуальной.
Биофизические исследования динамики бактерий и биологических клеток привлекают в настоящее время огромный интерес [29-33] и имеют большое прикладное значение для биологии и медицины. Нелинейные когерентные структуры возникают в этом случае при усредненном макроскопическом описании, когда динамика бактериальных колоний или клеток моделируется через распределение плотности клеток в пространстве и времени. Одним из наиболее распро-
страненных механизмов взаимодействия бактерий является хемотаксис, когда каждая бактерия реагирует на присутствие градиента химического вещества. Это вещество называется хемоаттрактантом (хемореиеллентом) - если бактерия стремится двигаться в направлении градиента (против градиента). Бактерии выделяют это химическое вещество в окружающее пространство, где оно испытывает диффузию, что обеспечивает нелокальное взаимодействие между бактериями. Малая концентрация бактерий часто приводит к образованию нелинейных когерентных структур в виде спиралей и их медленной эволюции, в то время, как большая концентрация приводит к быстрой агрегации бактерий. В рамках макроскопического описания агрегация соответствует коллапсу плотности бактерий. Асимптотическое поведение решений вблизи коллапса имеет общие черты с коллапсом в нелинейном уравнении Шредингера, хотя уравнения являются негамильтоновыми. Большой интерес представляет задача о выводе макроскопических уравнений, учитывающих размеры и форму клеток, и регуляризации коллапса за счет контактных взаимодействий между бактериями или клетками.
Целью диссертации является исследование образования нелинейных когерентных структур на нелинейной стадии развития линейной неустойчивости, анализ устойчивости нелинейных когерентных структур, их динамики на больших временах, а также их разрушения с образованием сингулярпостей и коллапсов в применении к ряду нелинейных оптических, гидродинамических и биофизических систем.
Все результаты, выносимые на защиту, являются оригинальными. Достоверность полученных результатов обосновывается надежностью использованных аналитических и численных методов. Результаты диссертации согласуются с данными экспериментов и численного моделирования, полученных другими авторами.
Результаты диссертации могут применяться в целом ряде оптических устройств, включая генерацию сверхкоротких импульсов за счет коллапсов в нелинейных оптических резонаторах, увеличение пропускной способности оптических систем путем использования предложенного устройства для компенсации нелинейности, использования бисолитонов, а также путем периодической компенсации случайной компоненты дисперсии в оптических волокнах.
Ряд результатов, полученных в диссертации, имеют большое практическое значение для NIF. Предсказано, что дальнейшее уменьшение времени корреляции лазерных пучков NIF (что является дорогой и технически сложной задачей) не является целесообразным, поскольку не сможет увеличить максимально допустимую интенсивность лазерных пучков. Это предсказание было подтверждено экспериментально. Результаты диссертации по максимальной допустимой интенсивности лазерного излучения в условиях плазмы инерционного лазерного термоядерного синтеза в настоящее время включены в программное обеспечение, используемое в Национальной Лаборатории Лос-Аламоса (США)
для расчета и дизайна NIF. Предсказано, что изменение максимально допустимой интенсивности может быть достигнуто путем изменения композиции плазмы, что также позволит контролировать ВРМБ назад, являющейся серьезной проблемой для NIF.
Подходы, развитые в диссертации, могут и уже активно применяются для анализа нелинейных оптических, гидродинамических и биофизических систем. Общие принципы формирования гексагональных структур в фоторефрактив-ных кристаллах позволяют объяснить существующие и предсказать новые эксперименты. Доказательство возможности образования коллапса в конденсате Бозе-Эйнштейна за счет одних диполь-дипольных взаимодействий предлагает возможность формирования коллапса в других системах с нелокальной нелинейностью и сингулярным взаимодействием на коротких расстояниях. Исследование коллективных неустойчивостей в плазме при наличии частичной некогерентности лазерного излучения открывает возможности новых направлений исследования коллективных неустойчивостей. 13 гидродинамике со свободной поверхностью анализ движения сингулярностей предлагает путь к поиску новых точных решений и точно интегрируемых моделей, включая динамику сверхтекучих жидкостей. В биофизике предложенный подход предлагает возможность вывода макроскопических моделей динамики клеток, исходя из микроскопической динамики отдельных клеток.
Ряд результатов, полученных в диссертации, имеют важное значение для численного моделирования. Так, предложенный алгоритм эффективного распараллеливания для многоканальных оптических систем, позволяет осуществлять суперкомпьютерное моделирование оптических линий на трансокеанических расстояниях. Предложенный переход к оптимальным каноническим переменным для гидродинамики жидкости со свободной поверхностью позволяет избавиться от численных неустойчивостей, вызванных некорректностью стандартных переменных, а также осуществлять моделирование при большем уровне нелинейности (угле наклона поверхности) поверхностных волн. Выведенная система макроскопических уравнений для динамики бактерий и клеток, с учетом контактных взаимодействий между ними, позволяет выполнять численное моделирование больших колоний ~ 106 — 107 клеток, что является чрезвычайно трудной задачей при моделировании на уровне микроскопического описания динамики флуктуации формы каждой клетки.
Диссертация состоит из Введения, пяти Глав, Заключения и Списка литературы. В Главе 1 исследована взаимосвязь между поперечной неустойчивостью, образованием нелинейных когерентных структур и коллапсом. В Разделе 1.1 рассмотрена поперечная неустойчивость при распространении навстречу друг к другу первой и второй гармоник в квадратичных средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости. В Разделе 1.2 рассмотрена нелинейная стадия развития поперечной абсолютной неустойчивости в фото-рефрактивных материалах. В Разделе 1.3 рассмотрено спонтанное формирование гексагональных поперечных структур в фоторсфрактивном кристалле
при отсутствии встречной волны накачки. В Разделе 1.4 исследуется коллапс в НУШ с внешней возбуждающей силой. В Разделе 1.5 изучается коллапс в НУШ с нелокальной нелинейностью (также называемое зависящим от времени уравнением Гросса-Питаевского), описывающего конденсат Бозе-Эйшитейна с дигюль-дшюльным взаимодействием. В Главе 2 исследованы неустойчивость, диффузия и коллапс лазерного пучка при нелинейном распространении в плазме лазерного пучка с частичной некогерентностыо в условиях высокотемпературной плазмы для экспериментов по лазерному термоядерному синтезу. В Разделе 2.1 предполагается, что электронная температура достаточно высока, так что можно учитывать только пондеромоторные эффекты. В Разделе 2.2 учитываются эффекты флуктуации электронной температуры помимо понде-ромоторных эффектов. В Главе 3 рассматривается применение когерентных структур для передачи информации в оптических коммуникациях. В Разделе 3.1 вводятся базовые понятия нелинейных оптических линий. В Разделе 3.2 рассматриваются свойства солитона с управляемой дисперсией (СУП). В Разделе 3.4 предложен новый оптический прибор - интерферометрический компенсатор нелинейного сдвига фазы. Этот прибор, являясь нелинейным аналогом интерферометра Маха-Зендера, позволяет получать отрицательный нелинейный сдвиг фазы (дефокусирующую нелинейность) и обеспечивать точечную компенсацию нелинейности в оптическом волокне. В Разделе 3.5 найдено новое бисолитонное решение в системе с управляемой дисперсией. В Разделе 3.6 рассматривается влияние случайной анизотропии и дисперсии вдоль оптического волокна на нелинейное распространение оптических импульсов. В Главе 4 рассматривается динамика жидкости со свободной поверхностью и границы раздела двух жидкостей. В Разделе 4.1 изучается динамика границы раздела между идеальной жидкостью и легкой сильно вязкой жидкостью. Найден новый интегрируемый случай, соответствующий двумерному течению границы раздела. Получены решения в виде движения конечного и бесконечного числа комплексных полюсов. В Разделе 4.2 рассматриваются редуцированные уравнения, описывающие трехмерные течения идеальной жидкости со свободной поверхностью. Показано, что стандартные редуцированные уравнения являются некорректными в силу наличия коротковолновой неустойчивости. Построена производящая функция, позволяющая совершить переход к новым каноническим переменным, в которых редуцированные уравнения являются корректными. Предложен выбор оптимальных канонических переменных, при которых уравнения являются корректными при максимально большом уровне нелинейности. В Главе 5 рассматривается динамика бактерий и биологических клеток и выводятся макроскопические уравнения для динамики плотности бактерий (клеток). В Разделе 5.1 изучается коллапс бактериальных колоний в пренебрежении размерами бактерий. Исследованы коллапсирующие решения уравнения Келлера-Сегела для макроскопически усредненной динамики бактерий и биологических клеток. Автомодельное решение вблизи коллапса имеет вид стационарного решения с зависящим от времени масштабом. В Разделе 5.2 приве-
ден вывод уравнения Келлера-Сегела из микроскопической модели движения бактерий и клеток эукариотов на основе случайных флуктуации формы клеток. В Разделе 5.3 получено макроскопическое уравнение для плотности клеток при учете контактных взаимодействий между клетками и эффекта исключенного объема. Показано, что наличие контактных взаимодействий предотвращает коллапс. В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.
Гексагональные световые структуры в фоторефрактивных кри сталлах с зеркалом обратной связи
Распространение встречных световых пучков в нелинейных средах часто приводит к появлению поперечной неустойчивости относителыю возбуждения волн иод малыми углами и формированию поперечных световых структур, имеющих гексагональную форму [48-51].Эта неустойчивость носит абсолютный характер и обусловлена положительной обратной связью между встречными пучками. Большой интерес вызывают явления в фоторефрактивных кристаллах [52-55] ,что обусловлено чрезвычайным удобством наблюдения процессов развития поперечной неустойчивости и образования регулярных структур. Характерные времена формирования таких структур лежат в пределах от десятых долей секунды до десятков секунд. Типичные нелинейные длины кристаллов, на которых существенно меняются амплитуды световых пучков, составляют несколько миллиметров, необходимые интенсивности пучков накачки лежат в диапазоне непрерывных лазеров [11, 56].
До сих пор теоретические исследования поперечной неустойчивости главным образом сводились к отысканию пороговых условий генерации поперечных световых структур. Первоначально пороги неустойчивости были найдены в кер-ровских средах [8, 9], а затем, применительно к фоторефрактивным кристаллам KNbOz и ВаТЮз, в схеме с зеркалом обратной связи [52] и к фоторефрактивным кристаллам LiNbOs, ЫТаОз, в схеме со встречными пучками накачки без зеркала обратной связи [57]. Экспериментально лучше всего исследованы кристаллы KNbOs и ВаТіОз, где в схеме с зеркалом обратной связи образуются стоячие гексагональные структуры и порог неустойчивости достаточно хорошо согласуется с теоретическими предсказаниями [12, 52, 54]. В работе [12] порог найден в предположении, что неустойчивость является апериодической, т.е. мнимая часть инкремента неустойчивости равна нулю в пороговой точке неустойчивости (в противном случае наблюдались бы бегущие световые структуры, чего на эксперименте можно добиться только небольшим рассогласованием направлений встречных пучков). Другими словами, можно сказать, что частотная расстройка между волнами накачки и боковыми волнами равна нулю на пороге неустойчивости.
Выше порога неустойчивость приводит к генерации слабых световых пучков под малыми углами 0 = - к пучкам накачки, где к0 - волновой вектор пучков накачки, кх - поперечная составляющая волнового вектора возбуждаемого пучка. При малых надкритичностях генерируются только пучки в узком слое вблизи kjj — A O_L, где инкремент неустойчивости максимален, ко± - значение поперечного волнового вектора, соответствующее максимуму инкремента. Таким образом, на начальном этапе развития неустойчивости образуются кольцевые (в плоскости, поперечной к пучкам накачки) структуры с экспоненциально растущими во времени амплитудами. Распределение интенсивности вдоль кольца на этом этапе является произвольным и определяется флуктуациями среды. Эта теория является линейной относительно амплитуд слабых пучков и, поэтому, не может описывать дальнейшее развитие неустойчивости, приводящее к формированию регулярных световых структур, таких, как гексагоны. Образование подобных структур обусловлено нелинейными взаимодействиями между собой слабых световых пучков. Теория такого взаимодействия построена в настоящей работе для случая фоторефрактивных кристаллов KNbOz и ВаТЮз в схеме с зеркалом обратной связи. Малым параметром теории служит амплитуда боковых пучков, нормированная на корень из интенсивности пучков накачки. Поскольку неустойчивость является апериодической, то на нелинейной стадии развития неустойчивости существенны трехволновые процессы, в которых взаимодействуют световые пучки с поперечными волновыми векторами, образующими углы, кратные 7г/3. Показано, что это взаимодействие не стабилизирует неустойчивость, а ведет к взрывному росту амплитуд слабых боковых пучков, в результате чего формируются гексагональные структуры. Это можно понять из следующего примера. Предположим, что в результате развития линейной неустойчивости возбуждены три слабых пучка с волновыми векторами Ч? = ( 0)kj_j), j = 1,2,3 с равными действительными амплитудами А и поперечными волновыми векторами \с±j, образующими углы 7г/3 между собой. Как следует из теории линейной неустойчивости [12], это одновременно означает, что в системе также возбуждены три пучка с противоположными знаками поперечных волновых векторов —k±j и шесть пучков с противоположным знаком к0 : q= (—A o,±kj_1]2,3). Амплитуды всех этих пучков равны А.
Отметим, что применимость уравнения (1.11), т.е. возможность ограничиться рассмотрением трех- и четырехволновых процессов, предполагает малость нелинейности. Для этого, вообще говоря, необходимо, чтобы матричный элемент U имел малость, не связанную с малостью надкритичности. В теории фазовых переходов этому соответствует фазовый переход первого рода, близкий к (разовому переходу второго рода в силу малости скачка параметра порядка. В фоторсфрактивпых кристаллах матричный элемент U не имеет никакой специальной малости, но матричный элемент Т_ккік2кз приобретает довольно большой численный множитель, что оправдывает существование области применимости уравнения (1.11), при условии, если суммарный вклад четырехволновых процессов обеспечивает как насыщение взрывной неустойчивости, так и устойчивость стационарных гексагонных решений. Ниже будет найдена область параметров, в которой действительно достигается такое насыщение и устойчивость, а также проведено сопоставление результатов аналитической четы-рехволновой теории с численным экспериментом, учитывающим более старшие волновые процессы. В результате будет показано, что аналитическая теория качественно правильно описывает процесс формирования гексагопов, однако, их стационарные амплитуды отличаются примерно в два раза от численного эксперимента. Таким образом, старшие волновые процессы приводят к существенной перенормировке амплитуд гексагопов. Численные расчеты также показывают, что в той области параметров, где четырехволповая теория заведомо не может обеспечить насыщение взрывной неустойчивости, стабилизация гексагопов достигается при больших амплитудах, т.е. при более сильной нелинейности.
Вероятность возникновения коллапсов
В виде первого шага найдем вероятность возникновения коллапсов (сильной самофокусировки) в пренебрежении коллективной неустойчивостью. Вначале рассмотрим предел Тс — со, когда временной зависимостью уравнений (2.1) и (2.2) можно пренебречь. Если средняя интенсивность (/) мала, то коллапсы возникают только в спеклах с высокой интенсивностью / {/), для которых оптическая мощность в спекле Р /2/ превышает Рс. Поскольку в модели случайного гауссового поля для Е всегда имеется конечная вероятность возникновения таких коллапсирующих спеклов, то угловая расходимость пучка А9 растет с каждым коллапсом. При распространении лазерного пучка в вакууме расходимость пучка постоянна Ав = 1/F, при F2 1. Если вероятность возникновения коллапсов мала, то пучок сохраняет свою первоначальную форму. Но если мощность пучка настолько велика, что возникает много спеклов с мощностью свыше Рс, то пучок дезинтегрируется на множество мелких пучков, что сопровождается быстрым ростом Ав (см. Рис. 2.lb,с).
Рассмотрим теперь случай конечного Тс, когда в каждый момент времени распределение лазерной интенсивности имеет вид, показанный на Рис. 2.1а, но пространственное положение спеклов меняется на временах Тс. Если Тс — kmcsTc меньше, чем длительность коллапса « F\o/csy/P/Pc (эта оценка справедлива при Р/Рс 2.5, см. [105]), то коллапс будет подавлен в силу инерции плазмы. Этот эффект существенен, если Тс 1. С уменьшением Тс доля мощности лазерного пучка, вовлеченная в коллапсы, уменьшается и зависимость (2.8) следует заменить на dPsmttered/dz ос ехр(—а/Т ). Таким образом. в силу а 1, небольшое уменьшение Тс ниже единицы приводит к подавлению обусловленной коллапсами угловой расходимости. Это привело к распространенным представлениям [19], что доля мощности лазерного пучка, вовлеченная в коллапсы, может быть сделана произвольно малой с уменьшением Тс. Однако, идея подавления р за счет малого Тс не учитывает возможности существования коллективной неустойчивости, которая найдена в настоящем Разделе.
Коллективная неустойчивость не имеет порога, однако становится существенной только при kcutoff кт, что означает /0 21/2[1 + 21/2]1/2 2. В этом случае развитие неустойчивости на нелинейной стадии приводит к сильной самофокусировке и развитию коллапсов, вызывая дезинтеграцию лазерного пучка на множество малых пучков (см. Рис. 2.lb). Однако, достижение лазерного термоядерного синтеза в NIF требует контролируемого распространения лазерного пучка без потери его целостности. Таким образом, условие IQ = 2 дает предельно допустимую интенсивность лазерного пучка для использования в NIF. Это ограничение на интенсивность справедливо при сколь угодно малых Тс. Поэтому, одно из основных практических предсказаний настоящей главы для NIF заключается в нецелесообразности дальнейшего уменьшения Тс (что является технически весьма сложной и дорогостоящей задачей), по сравнению с тем, что уже достигнуто (Тс 4 пс). Это предсказание было подтверждено экспериментально [110] - было получено, что уменьшение Тс с 3.4пс до 1.7пс не приводит к уменьшению угловой расходимости пучка при (/) = 5 х 1014Вт/см2.
При /0 2 неустойчивы только Фурье моды Е(к) с к кт, лежащие внутри распределения top-hat, поэтому па нелинейной стадии развития неустойчивости происходит только небольшая неренормировка формы распределения, не производящая качественных эффектов. Вместо этого устанавливается статистическое квазиравновесие и происходит медленная диффузия лазерного пучка в Фурье пространстве (см. Рис. 2.1с). Качественно отсутствие эффекта от неустойчивости при /о 2 объясняется тем, что в этом случае максимум инкремента неустойчивости меньше обратной длины спекла. Таким образом, усиление на каждом сиекле мало, в то время как усиления на разных спеклах, пекоррелированые друг с другом, самоусредияются, что и приводит к наличию квазиравновесия.
Коллективная ВРМБ неустойчивость имеет пик вблизи и — ±kcs, поэтому следует ожидать, что пики акустического типа должны появиться в спектре флуктуации лазерной интенсивности /(А;,и;)2 при к, меньших, чем kcutoff- Прямое численное моделирование системы (2.1),(2.2),(2.3),(2.4) при (F = 8, пе/пс = 0.1) действительно показывает такие пики .
Ширина и амплитуда солитона с управляемой дисперсией
Нелинейную когерентную структуру, которую наиболее широко используют как носитель информации в оптических волокнах, называют солитоном с управляемой дисперсией (СУП), что является переводом с английского языка термина "dispersion-managed soliton". Использование термина "солитонпв данном случае не является строгим и возникло исторически, поскольку амплитуда и ширина СУП испытывают периодические осцилляции как функции z с периодом L. Однако, параметры СУП, усредненные по периоду L, являются константой па сколь угодно больших z, что и привело к использованию термина солитон.
СУП приобретает, однако, значение обычного солитона при усреднении уравнения (3.1) по быстрым линейным осцилляциям с переходом к новой переменной -ф : ф = йе iLi/2 { , где ф (и) = J (f)ewtdi - преобразование Фурье от "ф и аналогично для и. Идея усреднения состоит в том, что при типичных мощностях оптических импульсов порядка 1 мВт, нелинейность в уравнении (3.1) может рассматриваться как малое возмущение на типичных расстояниях порядка периода вариации дисперсии L 50км, поскольку типичная нелинейная длина Zni велика: Zn\ L, где Zni — 1/р2 и р - типичная амплиіу-да оптического импульса.
Заметим, что в этом частном случае ширина СУП 1//31/2 не зависит от амплитуды р, которая в свою очередь определяется константой распространения Л, зависящей от начальных условий. Это связано с инвариантностью уравнения (3.5) при (d) — 0 относительно двух масштабных преобразований: t — 5it, s — 5js, А(т) — А{т/5\) иЛ-+ 5Л, А — 52А. В общем случае {d) 0 (3 и р зависят друг от друга.
Основная трудность в численном итерировании (3.11),(3.13) состоит в вычислении интегрального члена R(A, со), что в общем случае требует N3 численных операций для каждой итерации, где N - число точек аппроксимирующих решение в и или -пространстве. Использовался значительно более эффективный численный алгоритм при вычислении R(A,o ).
Прямое и обратное преобразования Фурье выполнялись с помощью алгоритма быстрого преобразования Ф,урье (БПФ), что требует NLog2(N) численных операций. Полное число операций для одной итерации есть AMNLog2(N), где М - число точек при интегрировании по s . Использовались следующие типичные значения при численном решении уравнения (3.5): N = 8192; М = 800. Одна итерация на Alpha 500MHz рабочей станции требовала порядка 30 сек. при использовании 16-байтовой (32 значащие цифры) точности. Использование численной схемы (i)-(iv) обеспечивает огромный выигрыш в численном эксперименте. К примеру, 81923 операций потребовало бы 30 дней на той же рабочей станции. Заметим, что предложенный численный алгоритм может быть легко модифицирован для учета потерь в оптическом волокне и наличия оптических усилителей.
Кривые (г) (показаны точечными кривыми) построены на основе первой итерации уравнения (3.5) с использованием величин /3,р, полученных из уравнений (3.8). Кривые (п) (пунктирные кривые) построены на основе вариационного приближения (см. уравнения (13),(14) в работе [151]). Сплошные кривые {гіг) представляют численное решение уравнения (3.5). При построении пунктирных кривых (И) использовалось явное выражение TR S — l/VW Для гауссовой формы импульса. Сплошная кривая на Рис. 3.2Ь показана только для верхней ветви I решения, поскольку численная итерационная схема расходится при (d) = —0.01 на нижней ветви II, что находится в согласии с работой [151]. Также получено, что энергия Р = J A2dt как после после первой итерации, так и следующая из вариационного приближения, совпадают с аналогичным интегралом для полного численного решения уравнения (3.5) с точностью ( 1%). Таким образом заключаем, что уравнения (3.8) и вариационное приближение [151] предсказывают Р(Л) с высокой точностью, в то время, как зависимость TRMS{ ) воспроизводится из первой итерации (3.5) со значительно лучшей точностью ( 2%) по сравнению с точностью вариационного приближения ( 40%). Имеется существенное отличие в результатах наших численных экспериментов по сравнению с численными результатами [151] в отношении верхней ветви I для отрицательной средней дисперсии (d) 0. После примерно 50 итераций уравнения (3.5) в нашем численном эксперименте наблюдалось развитие численной неустойчивости на хвостах СУП при (d) = —0.01. (Вероятно эта неустойчивость не была найдена в работе [151], поскольку там делалось только несколько итераций). Более мелкая численная сетка замедляет неустойчивость, но не устраняет ее. Неустойчивость замедляется при (d) — 0 — 0 и при (d) 0 итерационная схема устойчива. Таким образом, сплошная кривая на Рис. 3.2Ь при (d) = —0.01 может быть только формально интерпретирована как СУП и вопрос о существовании СУП при малых отрицательных (d) остается открытым. Ниже в данном разделе показано, СУП не существует при достаточно сильно отрицательных (d). Однако, при малых отрицательных (d) возможно как существование резонанса между хвостами СУП и линейными волнами, приводящее к численной неустойчивости, так и альтернативный сценарий, при котором СУП не существует ни при каких отрицательных (d), а вместо этого в численных экспериментах наблюдаются квази-устойчивые долгоживущие структуры. Заметим, что существование СУП при (d) 0 было строго доказано в рамках уравнения (3.5) в работе [153]. Также было доказано [154], что даже в случае, если СУП существует при (d) 0, то он не может соответствовать минимуму гамильтониана уравнения (3.3) при фиксированном Р. Это указывает на неустойчивость СУП в этом случае.
Плоскость интегрирования {t\,t2) для уравнения (3.5) при t 0. Особый слой расположен вдоль АВ внутри точечной кривой. условием ti + t 0, 2 + 0, 11 + t2 + t 0. Внутри этого треугольника A(ti + t)A(t2 + t)A{t\ + 2 + 0 — е-ь , что воспроизводит экспоненциальные хвосты в левой части (3.5). Таким образом, Aenv е-6 4 совместимо с (3.5) и интегрирование в плоскости (ti,t2) внутри ABC и в слоях толщиной 0(1/6), окружающих ABC, дает вклад ведущего порядка в правую часть (3.5) при \t\ — 00. Интегрирование вне этой области дает экспоненциально малый вклад в правую часть. К примеру, A(U + t)A{t2 + t)A(ti + t2 + t) е-5ЬІ І при t\ t/2, t2 t/2. Этот результат был также подтвержден прямым численным интегрированием правой части (3.5). Заметим, что Aenv совместима с уравнением (3.5) при любом 6 0.
Однако, даже в этих особых слоях имеются быстрые осцилляции r(t, іІ5 і2) как функция ti,t2 при интегрировании внутри этих слоев в направлениях, параллельных ВС и АС: Л( і + t)A(ti +t2 + t) ei 4Vt+2t1+t2]-b\t2\ + сс + j0 (вдоль ВС) и A{t2 + t)A(ti + t2 + t) ei«i[2«+2«i+ ai-btii + cc + jQ (вдоль AC).
Оптимальные канонические переменные для динамики идеальной жидкости со свободной поверхностью
Рассмотрим ситуацию, когда жидкость 2 отсутствует, поэтому изучение динамики границы раздела сводится к изучению динамики идеальной жидкости со свободной поверхностью. В отличие от Раздела 4.1, будем рассматривать более общий случай трехмерных течений идеальной жидкости. Уравнения Эйлера для течений идеальной жидкости со свободной поверхностью являются гамиль-тоновыми уравнениями, принимающими особо простую форму для потенциальных течений v = УФ, где v - скорость жидкости, а Ф -потенциал скорости. В этому случае уравнения Эйлера могут быть представлены в следующем виде [22, 23, 187]: dt 5Ф dt V } Здесь z = 77(г) - уравнения па форму свободной поверхности, z - вертикальная координата и г = (ж, у) - горизонтальные координаты, Ф = ФІ _ - значение І2 — 7} потенциала скорости на свободной поверхности. Гамильтониан Н совпадает с полной (кинетической и потенциальной) энергией жидкости. Гамильтониан не может быть выражен в замкнутом виде как функция поверхностных переменных г/, Ф. Вместо этого он может быть представлен в виде бесконечного ряда но степеням типичной крутизны свободной поверхности Vr7: # = #0 + Яі + #2 + .... (4.14) Здесь #о, Лі, #2 - квадратичный, кубический и четверной члены, соответственно. Уравнения (4.13), (4.14) широко применяются для численного моделирования жидкости со свободной поверхностью [24,25,193-200]. Для моделирования используются спектральные методы с типичным разрешением 512 х 512 гармоник. Канонические переменные также используются для аналитических исследований динамики свободной поверхности при малой крутизне. В работах [26, 182, 183] использовалось простейшее обрывание ряда (4.14): Н = Н0 + Н1, (4.15) что приводит к полностью интегрируемой модели - комплексному уравнению Хопфа в случае двумерных течений, что соответствует результатам Раздела 4.1 при нулевой эффективной вязкости и бесконечной глубине жидкости. Однако, использование канонических переменных 7/, Ф имеет недостаток, который удобно показать на примере комплексного уравнения Хопфа: дії 1/дП\2 142 следующего из (4.13), (4.15). В этом случае Ф = Де(П) (4.17) и П - аналитическая функция комплексной переменной х в полосе —h Im(x) 0, где h - глубина жидкости. Недостаток уравнения (4.16) состоит в его некорректности поскольку комплексные решения этого уравнения неустойчивы относительно коротковолновой неустойчивости. Как показано ниже, аналогичное утверждение справедливо и для более точной модели, учитывающей гамильтониан четвертого порядка: Я = Яо + Я! + Я2, (4.18) который используется в большинстве численных экспериментов. В этих экспериментах наблюдается неустойчивость и для ее подавления приходится включать сильное искусственное затухание на старших волновых числах. Даже в присутствии такого затухания удается моделировать волны с достаточно малой крутизной, не превышающей 0.15.
В настоящем разделе показано, что эти трудности могут быть преодолены путем канонического преобразования к другому набору канонических переменных. Это каноническое преобразование, вообще говоря, не единственно, однако оно выбирается однозначным образом если потребовать, чтобы гамильтонова система не имела коротковолновых неустойчивостей при максимально возможном значении малого параметра - характерного угла наклона поверхности. Назовем такие канонические переменные "оптимальными".
Второе уравнение (4.426) не зависит от г), поэтому, аналогично Разделу 4.1, можно вначале решить первое уравнение (4.426) и затем получить г/ из (4.42а). Подстановка П = Ф+г ЯФ в (4.426) приводит к комплексному уравнению Хопфа (4.16) для двумерных течений [182], которое является полностью интегрируемым.
Как следует из (4.55), эта неустойчивость возникает при больших значениях г о (поскольку щ мало). Если гравитация доминирует д a/h2, то (4.55) приводит к gh/v\ щ/h. В тоже время, приближение слабой нелинейности подразумевает щ/h С 1, что указывает на доминирование кинетической энергии по сравнению с потенциальной энергией. В частности, жидкость имеет достаточно кинетической энергии, чтобы двигаться вверх на расстояния h. В результате, на поздних стадиях эволюции приближение слабой нелинейности нарушается и свободная поверхность оказывается сильно возмущенной на масштабах h.
Если капиллярность доминирует: д a/h2, то неравенство (4.55) дает сг/(у2г}о) 1 и кинетическая энергия снова сильно превышает потенциальную энергию. Предположим теперь, что, в силу наличия неустойчивости для kh 1 на поздних временах эволюции возмущений, потенциальная энергия приобретает величину порядка кинетической энергии: 7;0fo с@2 VT?. Тогда ег/(г о7/о) ;$ 1 приводит к неравенству 0 1, нарушающему приближение слабой нелинейности. Таким образом, при произвольном соотношении между д и a/h2 и для kh 1, неустойчивость возможна для достаточно больших скоростей жидкости и эта неустойчивость приводит к нарушению приближения слабой нелинейности в процессе динамики жидкости. В этом смысле пет никакого сюрприза, что при больших скоростях жидкости имеется неустойчивость для kh 1. Эта неустойчивость является совершенно физической и сохраняет корректность динамических уравнений.
Выражение ЛФо(Л[г7о Фо] +% 2Фо) в уравнении (4.56) не является знако-оиределенным, что указывает на неустойчивость системы (4.32), (4.33) — (4.35). Поэтому заключаем, что гамильтониан четвертого порядка не предотвращает коротковолновую неустойчивость, хотя и ослабляет ее инкремент, добавляя дополнительный малый множитель 01/2 по сравнению с неустойчивостью кубического гамильтониана (сравнивая уравнения (4.56) и (4.44)). Неустойчивость (4.56) наблюдалась численно. Заключаем, что полная система четвертого порядка (4.32), (4.33) — (4.35) некорректна при нулевой капиллярности а = 0.
Некорректность уравнений (4.32), (4.33) — (4.35) (и, соответственно, динамических уравнений (4.37)) затрудняет их использование для численного моделирования. Имеется несколько путей преодоления этой трудности. Один путь состоит в разрешении всех масштабов вплоть до капиллярного, что чрезвычайно затратно численно. К примеру, если ставится задача изучения волн на воде в гравитационном диапазоне (длины волн несколько метров и больше), то в этом случае необходимо одновременно разрешать капиллярный масштаб 1см.
