Введение к работе
Актуальность темы
Нелинейный взрывной процесс или, другими словами, процесс, в котором происходит образование сингуляріюстей за конечное время
- это одно из основных явлений в нелинейной физике. Принципи
ально, что взрывные процессы возможны исключительно в силу на
личия нелинейностей в физических системах, поскольку линейные
неустойчивости могут обеспечивать не более чем экспоненциаль
ный рост возмущений, что соответствует возникновению сингуляр
іюстей за бесконечный период времени.
Нелинейные взрывные процессы играют исключительно важную роль во многих областях физики. Одним из частных случаев таких процессов является волновой коллапс или образование особенностей при нелинейных взаимодействиях волн в диспергирующих средах. Термин волновой коллапс был предложен В.Е.Захаровым в 1972 г [1]. С математической точки зрения наличие волнового коллапса-означает, что решение задачи Коши для нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных существует только до определенного момента времени to и не может быть продолжено при t > to. Коллапс часто сопровождается катастрофическим сжатием волновых пакетов и, таким образом, представляет собой эффективный механизм концентрации и последующей диссипации энергии. Поэтому весьма актуальной представляется задача исследования характера особенностей, возникающих при развитии коллапса и получения достаточных условий возникновения коллапса. В частности, волновой коллапс в нелинейном уравнении Шре-дингера [1,2]
{^ + Аф+\ф\2"ф = 0, а>0 (1)
описывает одно из фундаментальных явлений в нелинейной оптике
- самофокусировку световых пучков. Другим примером коллапса
является взрывная неустойчивость, возникающая при распростране
нии трех волновых пакетов в активных средах, допускающих волны
с отрицательной энергией [3,4]. Взрывная неустойчивость имеет
место при выполнении условий резонанса трех волн
Цк1)+ы(к2)+ы(к3) = 0, ki + k2+k3 = 0, (2)
где «(к) - закон дисперсии волны с волновым вектором к.
В гидродинамике жидкости со свободной поверхностью нелинейные взрывные процессы характеризуют интенсивное взаимодействие волн с ветром, что приводит в конечном счете к обрушению волн и вспениванию водной поверхности. Таким образом, взрывные процессы являются одним из важнейших механизмов лерекачки энергии в малые масштабы, где энергия диссипирует за счет вязкости (см. например [5]). Исследование этих процессов представляет большой интерес и как фундаментальная теоретическая проблема, и как важная практическая проблема изучения взаимодействия атмосферы и океана.
. Нелинейные взрывные процессы также играют существенную роль в системах с жестким самовозбуждением, представляющим собой аналог фазового перехода первого рода. На начальной стадии эволюции таких систем наблюдается взрывной рост возмущений, который связан с трехврлновыми процессами. Устойчивые пространственные структуры образуются за счет конкуренции между взрывными трехволновыми неустойчивостями и старшими волновыми процессами, обеспечивающими стабилизацию этих неустой-чивостей. Типичный пример - это формирование гексагональных пространственных структур в оптике и гидродинамике. Важно, что взрывные неустойчивости приводят к нарушению исходной пространственной изотропии системы и возникновению упорядоченных структур. Исследование подобных явлений привлекает в последнее время повышенное внимание [6-8].
Цель диссертации
-
Построение нелинейной теории возбуждения волн ветром за счет неустойчивости Кельвина-Гельмгольца.
-
Исследование области применимости теории Кельвина-Гельмгольца путем сопоставления инкрементов неустойчивости Кельвина-
Гельмгольца границы раздела двух идеальных жидкостей и неустойчивости Майлса [9], возникающей из-за конечной вязкости жидкостей.
3. Нахождение динамического критерия коллапса в нелинейном
уравнении Шредингера (1) и обобщение достаточных условий кол
лапса в других нелинейных дифференциальных уравнениях в част
ных производных.
4. Выявление нелинейных механизмов формирования гексаго
нальных световых структур в фоторефрактивных кристаллах в
схеме с зеркалом обратной связи.
Научная новизна
В диссертации построена нелинейная теория возбуждения волн ветром, обобщающая классические результаты Кельвина и Гельмгольца о линейной неустойчивости тангенциального разрыва поверхности раздела двух идеальных жидкостей. Показано, что нелинейность не насыщает неустойчивость, а приводит к взрывному росту амплитуд возмущений. Вблизи порога неустойчивости получено уравнение для огибающих, совпадающее с (2 +/-1) - мерным уравнением Клейна-Гордона. Для этого уравнения впервые найдены достаточные условия коллапса интегрального вида.
Проведено количественное сопоставление инкремента неустойчивости Кельвина-Гельмгольца границы раздела двух идеальных жидкостей с инкрементом неустойчивости Майлса, обусловленным конечной вязкостью этих двух жидкостей. Рассмотрено применение этих результатов к случаю ветра, дующего над водной поверхностью.
Получен динамический критерий коллапса нелинейного уравнения Шредингера (1), обобщающий ранее найденные достаточные условия коллапса в этом уравнении. Получены обобщения критериев коллапса в других нелинейных уравнений в частных производных.
В диссертации впервые развита нелинейная теория образования гексагональных световых структур в схеме с зеркалом обратной
связи. Встречные пучки в фоторефрактивных кристаллах оказываются неустойчивыми относительно возбуждения боковых волн. Показано, что на нелинейной стадии развития этой неустойчивости трехволновое взаимодействие между слабыми боковыми пучками не стабилизирует неустойчивость, а приводит к взрывному росту амплитуд пучков, поперечные волновые векторы которых образуют углы, кратные тг/3. Исследовано насыщение взрывной неустойчивости за счет старших волновых процессов. Найдена зависимость интенсивности гексагонов от расстояния между кристаллом и зеркалом обратной связи.
Объем и структура диссертации
Диссертация состоит из Введения, 4-х глав, Заключения, и списка литературы.
