Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Законы сохранения и псевдотензоры энергии-импульса . 11
I.I. Теорема Нетер 11
1.2. Псевдотензор Эйнштейна 15
1.3. Псевдотензор Шредингера-Меллера-Мицкевича .21
1.4. Псевдотензор Ландау-Лифшица 27
1.5. Псевдотензор Папапетру 31
1.6. Одноиндексные сохраняющиеся величины 39
ГЛАВА II. Поля Керра-Шилда 42
II.1. Геометрические свойства 42
II.2. Свойства псевдотензоров для полей Керра-Шилда 51
ГЛАВА III. Гравитационное поле в гармонических координатах 59
III.1. Мультипольные моменты и гармонические координаты 59
III.2. Поле Шварцшильда в гармонических координатах 69
III.3. Поле Керра в гармонических координатах 73
III.4. Вычисление динамических характеристик поля Керра 78
III.5. Поле НУТ в гармонических координатах . 86
III.6. Метрика световой нити в гармонических координатах 93
Заключение 100
Библиография 102
- Псевдотензор Шредингера-Меллера-Мицкевича
- Одноиндексные сохраняющиеся величины
- Свойства псевдотензоров для полей Керра-Шилда
- Вычисление динамических характеристик поля Керра
Введение к работе
Проблема определения глобальных динамических характеристик является важной задачей в общей теории относительности, поскольку она связана с выяснением физического смысла существующих в настоящее время точных решений уравнений Эйнштейна. Теоретический подход при анализе указанной проблемы основывается на определении сохраняющихся величин и на выделении специальной системы координат, которая с физической точки зрения лучше всего отражает свойства изучаемой физической системы (ее симметрию, асимптотику и т.п.).
Конечно, в настоящее время рассматривается целый ряд определений сохраняющихся величин, и поэтому самостоятельный интерес представляет также их всесторонний анализ. Эти величины обладают, если их сравнивать друг с другом, различными достоинствами и недостатками. Для того чтобы сделать окончательный выбор между ними, необходимо более четко сформулировать и проанализировать те цели, ради которых эти величины вводятся (напомним, что в задачах математической физики учет законов сохранения служит для упрощения анализа, однако без него можно было бы и обойтись).
С этой точки зрения рассматриваемый в настоящей диссертации круг проблем представляется актуальным, так как пока не вполне понятна структура сохраняющихся величин, существует потребность в науке проводить возможно более глубокий и всесторонний анализ, основанный на изучении конкретных физических моделей; кроме того, физический смысл более широкого круга таких моделей, в свою очередь, может быть сделан более ясным и однозначным при анализе соответствующих им сохраняющихся вели-
чин.
Отметим сразу же, что среди псевдотензоров, описывающих плотность сохраняющихся величин, особое место занимает псевдотензор Папапетру, поскольку, кроме ряда интересных свойств, его можно последовательно выводить с помощью двуметрического формализма, вторая метрика в котором, в силу асимптотического поведения изучаемой островной физической системы, выбирается плоской. Введенная этим способом плоская метрика дает возможность определить новый перенос, не зависящий от пути, и тем самым распространить на общую теорию относительности простые свойства частной теории. Использование псевдотензора неизбежно приводит к фиксированию такой системы координат, которая отвечала бы физическим требованиям и дополнительным условиям, вытекающим из особенностей решаемой физической задачи.
В настоящей работе мы, следуя подходу к определению глобальных динамических характеристик использованному в Г j "I , методически сформулировали метод определения глобальных характеристик гравитационных полей с помощью псевдотензора Папапетру в гармонических координатах. Этот метод приложен к исследованию гравитационных полей, обладающих аксиальной симметрией, какими являются, например, метрика Керра, световой нити, НУТ. Для них произведен расчет соответствующих динамических характеристик. Также исследуются энергетические и геометрические свойства полей типа Керра-Шилда с негеодезической изотропной конгруэнцией.
В результате проведенных исследований впервые в нашей работе установлены новые теоремы о геометрических свойствах полей типа Керра-Шилда с негеодезической изотропной конгруэнцией;
для них найдены соответствующие выражения, определяющие плотность энергии-импульса; установлен вид стационарной аксиально-симметричной метрики, которая допускает разделение переменных в уравнении Даламбера; получены гармонические координаты для полей Керра, НУТ и световой нити; рассчитаны предложенным методом глобальные характеристики этих полей.
Диссертация содержит Введение, 3 главы, Заключение и список цитируемой литературы.
В первой главе, посвященной в целом описанию теоремы Не-тер, различных псевдотензоров и одноиндексных сохраняющихся величин, рассматривается история их появления, определения, их преимущества и недостатки.
Главным звеном во всех определениях псевдотензоров является теорема Нетер, поскольку она дает наряду с другими характеристиками конкретные выражения для сохраняющихся величин. Эти величины определяются из свойства инвариантности интеграла действия относительно бесконечно малых преобразований.
В зависимости от вида лагранжиана, от условий на порядок производных метрического тензора, входящих в состав псевдотензоров, и от требований симметрии определяются различные объекты: псевдотензор Эйнштейна, Ландау-Лифшица, Шредингера-Меллера--Мицкевича, Папапетру и т.п. Все эти объекты не обладают тензорными свойствами относительно произвольных преобразований, и в этом заключается их главный недостаток. Однако псевдотензорный подход непротиворечиво действует, если берутся островные системы с асимптотически евклидовым пространством, причем на бесконечности используются лишь декартовы координаты. Соответствующие расчеты особенно просто проводятся, если обратить-
ся к методу суперпотенциалов; тогда интегральные выражения можно упростить с помощью теоремы Гауеса-Остроградского.
Опираясь на псевдотензор и его суперпотенциал, можно, вводя в рассмотрение поле контравариантного вектора, построить ввиду хороших трансформационных свойств используемого строительного материала (общековариантный лагранжиан) контравари-антную векторную плотность, дивергенция которой равна нулю. Дополнительное векторное поле выбирается из соображений, привносимых извне в теорию. Это может быть поле монады при соответствующем определении системы отсчета, а может быть и поле тетрады; в первом случае мы имеем дело только с энергией, во втором - с четверкой величин, которую можно понимать как энергию-импульс.
Во второй главе проводится анализ некоторых геометрических и энергетических свойств полей типа Керра-Шилда с метрикой
гДе <**= <<*<* (1 -1 -і -1) ~ метрика Минковского, а на вектор Л накладывается условие изотропности относительно 3u<v и J^v
гул - ГУЛ- о
(обычно оно бывает дополнено требованиями геодезичности, бес-сдвиговости и т.п.).
В первом параграфе вычисляются геометрические свойства этого риманова пространства, такие как символы Кристлффеля, тензор Римана, тензор Риччи и скалярная кривизна, и на их осно-
ве доказан ряд соотношений, имеющих геометрическое значение. В том числе доказано, что условие геодезичности векторного поля в метрике Керра-Шилда является необходимым и достаточным условием того, чтобы это пространство было алгебраически специальным.
Во втором параграфе вычисляются для общего случая полей Керра-Шилда и анализируются псевдотензоры Папапетру, Шрединге-ра-Меллера-Мицкевича, Ландау-Лифшица и Эйнштейна, а также соответствующие им псевдотензоры энергии-импульса гравитационного поля. В частности, для решений типа Керра-Шилда с геодезическим векторным полем, которые, как известно, охватывают все известные решения такого вида, найдено, что
Є L ел — LL c ^ ее — MC * - - / oc .
Далее, при анализе полученных результатов подчеркивается, в частности, что при вычислении глобальных характеристик этих полей с помощью полученных соотношений нельзя получить приемлемых результатов вследствие того, что они справедливы лишь вне сингулярности, и интегрирование по объему будет в этом случае незаконным. Возможность получения ненулевой глобальной массы может быть реализована, если использовать метод суперпотенциалов для соответствующих псевдотензоров. В этом смысле полученные результаты говорят в пользу общепринятой концепции о нелокализуемости гравитационной энергии.
Третья глава посвящена изучению динамических характеристик гравитационных полей.
Псевдотензор Папапетру выделяет метрику плоского мира и в гармонических координатах принимает вид
,0-"= - а*)-1 п З'-; Cu-rva.-a)
На этом основании в первом параграфе сделано предложение распространить определение глобальных характеристик из частной теории относительности на случай искривленного пространства--времени, которое из-за (I) тогда может описываться полем метрического тензора, определяемого из уравнения (I) на фоне плоского мира.
Приведены выражения для глобальных динамических характеристик, которые удается преобразовать с помощью теоремы Гаус-са-Остроградского к интегралам по двумерной пространственной поверхности.
В конце этого параграфа приведен общий вид метрического тензора стационарных аксиально-симметричных полей, который позволяет решать уравнения Даламбера для определения гармонических координат методом разделения переменных. На этой основе в последующих параграфах найдены гармонические координаты для полей Шварцшильда, Керра, НУТ и световой нити.
В случае поля Шварцшильда, гармонические координаты которого были найдены Фоком, полученные нашим методом определения глобальных динамических характеристик вполне совпадают с их значениями, следующими из его физического толкования.
Для других полей впервые получены соответствующие гармонические координаты и на их основе вычислены их глобальные динамические характеристики, что позволяет делать определенные выводы относительно физического смысла параметров, входящих в соответствующие метрики.
Метод определения глобальных характеристик физических систем может быть применен для анализа многих решений уравнений Эйнштейна, прежде всего,с целью их физического истолкования. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании процессов, в которых определяющую роль играет гравитационное взаимодействие.
Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены и обсуждены на научных семинарах УДН им.П.Лумумбы, МГУ им.М.В.Ломоносова, на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук УДН им.П.Лумумбы, на У и УІ Всесоюзных конференциях по теории относительности и гравитации.
- II -
Псевдотензор Шредингера-Меллера-Мицкевича
Анализируя создавшееся к тому времени положение, Паули справедливо указал [7 , с.246 ]: "При более близком рассмотрении появляются, однако, большие затруднения, которые на первый взгляд противоречат подобному пониманию. В конечном счете эти затруднения проистекают из-за того, что величины не образуют тензора. Поскольку эти величины не содержат производных от v выше первого порядка, можно сразу заключить, что при подходящем выборе координат (в геодезической системе отсчета) они могут быть сделаны равными нулю в любой заданной мировой точке".
Ввиду нетензорного характера , эта величина приводит к выражению для плотности энергии, зависящему от преобразования пространственных координат. В случае же плоского пространства-времени ХА Эйнштейна дает бесконечную величину для энергии, когда при вычислениях используется полярная система координат \_8 l Если при вычислении используется декартова система координат, энергия оказывается равной нулю. Шредингер \_ 3] нашел, что при соответствующем выборе системы координат все компоненты etfi энергии гравитационного поля шара (вне его) обращаются ъ. нуль. В ответе на статью Шредингера Эйнштейн смог далее показать [10]» что при взаимодействии многих масс EtAu заведомо не исчезает везде сразу.
Окончательное разъяснение вопроса принесла работа Эйнштейна [lj[]. Здесь было дано доказательство того, что выражения (1.2.9) для полной энергии и полного импульса замкнутой физической системы в значительной степени не зависят от выбора координат, лишь бы эти координаты переходили в галилеевы на достаточно больших расстояниях от замкнутой системы, хотя локализация энергии в различных системах координат, вообще говоря, осуществляется совершенно по-рнзному. Таким образом, мы должны отказаться от придания физического смысла самим величинам в0/(; другими словами, нельзя провести локализацию энергии и импульса в гравитационном поле общековариантным и физически удовлетворителъным образом. Интегральные величины имеют тем не менее определенный физический смысл. Значение уравнения непрерывности (1.2,9) заключается ЙИШЬ в том, что оно позволяет простым способом вычислять изменение энергии замкнутой физической системы.
В качестве поучительного подтверждения сказанного можно кратко изложить известную работу Дж.Вебера и Дж.Ушюра [12]» в которой авторы проводят анализ энергетических характеристик цилиндрических гравитационных волн наиболее общего вида в присутствии материи и, как частный случай, в вакууме. С помощью комплекса энергии-импульса Эйнштейна можно найти, что для этих волн
Другими словами, если материя отсутствует, то плотность гравитационной псевдоэнергии (компонента st44 псевдотензора энергии-импульса) цилиндрических волн равна нулю, Если материя присутствует, то гравитационное поле автоматически подстраивается таким образом, чтобы плотность псевдотензора энергии гравитационного поля была равна и противоположна по знаку плотности всех прочих форм энергии, а гравитационный вклад в плотность импульса в радиальном направлении в точности компенсировал бы все прочие вклады в этот импульс. Отсюда авторы делают вывод, что не имеет смысла говорить о плотности локализованной гравитационной энергии. Только полная энергия имеет вполне определенное значение, и то только в том случае, если удовлетворяется ряд весьма специальных условий. Для определения полной энергии необходимо, чтобы метрика была асимптотически плоской. Точнее, должна существевать система координат, в которой компоненты метрического тензора переходят в соответствующие компоненты плоского евклидова пространства с точностью до членов по крайней мере порядка -±- ( 1 - расстояние от начала координат). Тогда гравитационное поле убывает как 1 /12" или быстрее, и поверхностный интеграл позволяет однозначно вычислить массу или энергию системы. Это условие не выполняется в случае бесконечной цилиндрической гравитационной волны.
Р.Вальнер в своей работе [13]» где кроме того сформулированы некоторые положения общей теории относительности на языке внешних форм Картана, показал, что для закрытой модели вселенной полная энергия и полный импульс, вычисленные по Эйнштейну равны нулю.
И наконец, мы хотим упомянуть статью Гюрсеса и Гюрсейа [1Ч] речь о которой более подробно пойдет в следующей главе. В этой работе, в частности, показано, что для полей типа Керра-Шилда все компоненты псевдотензора Эйнштейна равны нулю.
Приложение результатов теоремы Нетер (см. І.І) к исследованию псевдотензора Эйнштейна (см. также в книге [3] )
Одноиндексные сохраняющиеся величины
Свойство симметричности псевдотензора Ландау-Лифшица, т.е. возможность определения момента импульса, оценивается по-разному. Оно, как указывает Мицкевич Н.Б. [з] , больше связано с попыткой распространить подход к моменту импульса, используемый в частной теории относительности, где тензор энергии-импульса симметричен, на случай теории гравитации. Однако в принципе возможно симметризовать другие комплексы для достижения такой, цели (см., например, Розенфельд \_ZBj ). Тем не менее, нельзя недооценивать роли несимметричных комплексов, в построении с помощью которых момента импульса участвует также плотность спина полей - важная характеристика, возникающая уже на уровне классических теорий и приводящая к широко известным результатам при квантовании.
Папапетру в 1948 г. [2. 3] предложил для описания закона сохранения новый симметричный вариант псевдотензора, в основе которого лежит рассмотрение гравитационного поля, связанное с плоским пространством-временем, т.е. по сути дела с двуметри-ческим формализмом, как это явно показал позже Бурланков[30].
Следуя Розе ну [31,32], Папапетру в своей работе предлагает интерпретировать теорию гравитации Эйнштейна так же, как и другие теории поля, относительно $она плоского пространства-времени придавая компонентам метрического тензора $ v смысл гравитационного потенциала и вводя при этом независимо метрический тензор плоского пространства-времени. Заметим, что Папапетру исходя из своих прежних исследований о законе сохранения момента импульса в общей теории относительности, пришел к заключению о том, что этот закон может быть сформулирован в теории Эйнштейна только в случае явного введения метрического тензора плоского мира. Новая интерпретация обладает следующим математическим преимуществом: все величины, являющиеся псевдотен-зорами в общей теории относительности, и все псевдотензорные соотношения, как, например, закон сохранения энергии-импульса, приобретают истинный тензорный характер, если ввести ковариант-ное дифференцирование относительно вспомогательной плоской метрики.
Как известно, в частной теории относительности закон сохранения момента импульса является следствием двух обстоятельств. Во-первых, иныариантность интеграла действия относительно преобразований вращения и во-вторых, свойство симметричности тензора энергии-импульса материи. Б общей теории относительности с одной стороны нет естественного понятия трансляции и вращения, что не позволяет выводить закон сохранения момента импульса непосредственно из теоремы Нетер и с другой - выражение, получаемое из этой теоремы для комплексов энергии-импульса не обладают свойством симметричности.
Тем не менее, введение метрики плоского мира, приводящее к новому переносу, не зависящему от пути, позволяет распространить на общую теорию относительности такие понятия как трансляцию и вращение и, следовательно, сформулировать закон сохранения момента ..импульса. Исходя из того, что функция Лагранжа (1.2.12) является скалярной плотностью относительно линейных преобразований (трансляций и вращения), можно получить закон сохранения энергии-импульса с каноническим псевдотензором гравитационного поля в виде (1.2.II). Чтобы определить вращение в римановом Точно такой же вид имеют уравнения Эйнштейна для случая слабого гравитационного поля, с той лишь разницей, что вместо полного симметричного псевдотензора Р0"У в левой части стоит плотность тензора энергии-импульса материи f T""v Кроме того, это вшражение позволяет провести аналогию с уравнениями электродинамики, где вместо 4-векторав А и Х имеем теперь величины tf v и PQ V соответственно. На этой основе Гупта [34] считал, что соотношение (1.5.17) выражает уравнение для определения tf " ч причем источником этого поля является полный псевдотензор энергии-импульса, т.е. не только материя создает гравитационное поле, но и само гравитационное поле служит источником самому себе, откуда, по мнению Гупты, следует нелинейность уравнений Эйнштейна.
В работе Бурланкова [ЪО] определение, данное Папапетру, получает дальнейшее обоснование, причем устраняются недостатки, присущие изложению Папапетру, а именно, до некоторой степени искусственное введение плоской метрики, нолевая интерпретация метрического тензора на фоне плоского пространства-времени, связь с определением плотности момента импульса, что приводит к незаконному использованию понятий трансляции и вращения, и, кроме того, нековариантная запись законов, полученных им. Хотя работа Бурланкова физически менее обоснована, тем не менее, она обладает математической строгостью и последовательностью, к тому же тензор энергии-импульса гравитации-материи получается из свойства инвариантности интеграла действия относительно бесконечно малых преобразований симметричным без привлечения метода симметризации Белинфанте.
Бурланков рассматривал одновременно два топологически эквивалентных римановых пространства: физическое пространство--время, описываемое метрическим тензором $ „ , и нефизическое пространство-время сравнения, описываемое вспомогательным метрическим тензором 5-«v
Свойства псевдотензоров для полей Керра-Шилда
В частности, заметим, что для вакуумных решений все рассмотренные выше псевдотензоры дают нулевое значение плотности энергии-импульса гравитационного поля.
Все эти результаты (П.2.31), (П.2.32) справедливы для полей Керра-Шилда с геодезическим изотропным вектором Л ; никаких других ограничений мы на него не налагали. Выводы (П.2.31) по-видимому, объясняются тем, что метрика Керра-Шилда заранее предполагает существование гравитирующих систем только в таких системах отсчета, в которых локально можно уничтожить гравитационное поле. Разница между суперштенциалами для псевдотензора Эйнштейна (П.2.25), псевдотензоров Ландау-Лифшица (П.2,26) и Папапетру (П.2.9) объясняется тем, что эйнштейновское определение в отличие от других основано на нековариантном лагранжиане, получающемся отбрасыванием дивергенциального члена, содержащего вторые производные метрического тензора. Все результаты сформулированы в декартовых координатах относительно метрики Минковского cL v 5 их нетрудно обобщить на случай произвольных координат, но тогда следует заменить частные производные на ковариантные относительно этой фоновой плоской метрики (это касается и уравнения непрерывности).
Если ввести систему отсчета, в которой монада направлена по линиям времени декартовой фоновой метрики, то при наиболее естественном выборе этих линий в случае метрики Шварцшильда (Керра) они совпадут с линиями времени системы координат кривизн (Бойера-Линдквиста), т.е. это будет киллингова система отсчета в таких островных системах. Так как рассмотренные здесь псевдотензоры не дают хронометрически инвариантного определения энергии, то последняя, конечно, будет различной в соответствующих системах координат, хотя они и отвечают одной и той же системе отсчета. Так как шварцшильдовские координаты кривизн не декартовы с точки зрения фоновой метрики, дифференциальный закон сохранения энергии, определенной по псевдотензору Папапетру, не сводится в этих координатах к равенству нулю частной дивергенции.
Эти соображения поясняют известные выводы о волнах Бонди--Переса, обсуждающихся Траутманом с разных точек зрения, и тот факт, что существуют системы координат, в которых все компоненты е г сразу обращаются в нуль для решения Шварцшильда и Райсснера-Нордстрема (Шредингер, 1918).
В целом можно говорить о тензоре Папапетру (с точки зрения последовательного биметризма в ОТО), и тогда в привилегированных координатах (но не системах отсчета в стандартном смысле слова) утверждение о свойствах энергии приобретает особенно простую форму. Именно, следует, что в классе источников типа электромагнитного поля и светоподобной жидкости (включая и чистый вакуум) энергия-импульс гравитационного поля полностью компенсирует энергию-импульс этих источников; в сингулярное-тях такая компенсация заведомо не выполняется, что и дает воз можность, например, глобальным системам Шварцшильда и Керра обладать ненулевой интегральной энергией (массой). [Ч8,4 9]
Проблема нахождения глобальных динамических характеристик тесно связана с проблемой определения плотности энергии--импульса системы гравитация-материя. Последняя, как известно, до сих пор не имеет общепризнанного решения. Трудность заключается в том, что пока нет полного понимания особенностей геометрического подхода в ОТО. Поэтому предлагаемый нами вариант вычисления глобальных динамических характеристик носит, до некоторой степени, условный характер, он основывается, в частности, на выборе псевдотензора Папапетру в качестве плотности физических характеристик поля и на выборе гармонических координат в качестве "привилегированных". Варианты, предложенные другими авторами [50- 53], основаны на других соображениях и дают в случае определения квадрупольных массовых моментов и моментов более высоких порядков результаты, отличающиеся от полученных нами.
В качестве строительного материала мы используем псевдотензор Папапетру, о достоинствах которого было уже детально сказано в главе I. Мы приводим далее лишь одно важное обстоятельство, говорящее в пользу этого псевдотензора, предпослав ему некоторые предварительные замечания.
Вычисление динамических характеристик поля Керра
Заметим, наконец, что недиагональные компоненты массового квадрупольного момента дают нулевые значения, поскольку в их выражениях появление тригонометрических функций л е и снимает расходимость, возникающую за счет угла 9
Подводя итоги, можно сказать, что из-за того, что параметр J нигде не присутствовал, все глобальные характеристики поля НУТ совпадают с характеристиками для метрики Шварцшиль-да не учитывая массового квадрупольного момента. Последний же содержит его, но в тоже самое время обладает угловой расходимостью. Из структуры величины tfr0" (см. (Ш.5.І5)) видно, что только при вычислении квадрупольного массового момента была возможность проявления параметра Л Бее другие мультиполь-ные массовые моменты заведомо, из (Ш.5.І5), будут давать расходящиеся значения благодаря присутствию с%в рядом с параметром J , так что физический смысл этого параметра по-видимому не связан глобальными динамическими характеристиками поля.
Стационарная метрика, обладающая цилиндрической симметрией где H--4S o-f , а с - масштабный параметр, была интерпретирована Мицкевичем [60] как метрика, описывающая гравитационное поле, создаваемое материей, движущейся в направлении оси z so световой скоростью и с плотностью массы на единицу длины вдоль этой оси. Ввиду простого вида метрики (Ш.б.І) для нахождения ее гармонических координат мы поступим несколько иначе, отклоняясь от привычной схемы, изложенной в Ш.І. Имея метрику (1.6Л), нетрудно убедиться, что
Если принять во внимание, что координаты t и z уже являются решениями уравнения (Ш.б.5) и поэтому могут быть взяты в качестве гармонических, и если предполагать, что остальные два решения не зависят от t и Z , то уравнение Далам имеет два решения вида (f , 1/f ), из которых следует, из соображений асимптотического поведения, отбросить второе решение. Окончательно имеем Это значит, что обычные декартовы координаты являются одновременно и гармоническими для метрики световой нити. Якобиан преобразования равен
Найдем теперь полную массу системы. Для этого запишем сначала операто и компоненту плотности контравариантного метрического тензора в гармонических координатах Из-за цилиндрической симметрии гравитационного поля вычисления легко проводить в цилиндрической системе координат. Интегриро-рование при этом будет производиться по цилиндрическому объему с осью, лежащей на оси z , с боковой поверхностью f=f„ и верхней и нижней поверхностями i = 2e , t = -ze . Применение теоремы Гаусса-Остроградского позволяет перейти от интеграла по объему цилиндра к интегралу по поверхностям, ограничивающим этот объем. Поскольку результаты интегрирования по верхней и нижней поверхностям будут отличаться лишь знаком, то они взаимно уничтожаются и поэтому необходимо будет провести интегрирование только по боковой поверхности $= fe Единичный элемент боковой поверхности в декартовых относительно v координатах имеет вид
Следует обратить внимание на тот факт, что при получении выражения (Ш.6Л8) у нас не было необходимости совершать предельный переход fo-+ оо , как это имело место в случае вычисления глобальных характеристик для полей Щварцшильда, Кер-ра, НУТ, где всегда была возможность определить, например, MR - массу, содержащуюся внутри сферического объема постоянного радиуса R . Поскольку выражение (Ш.6Л8) не зависит от j , то это значит, что вся масса сосредоточена в сингулярности f = 0. Если вспомнить еще, что 2 2«, есть длина нити, то можно заключить, что параметр имеет смысл линейной плотности массы (энергии).
