Содержание к диссертации
Введение
1 Черные дыры с петлевыми поправками в четырехмерной гетеротпческой теории с N = 2 суперсимметрией 15
1.1 Введение 15
1.1.1 Структура N = 2 суперсимметричной четырехмерной гетеротпческой теории, полученной компактификацией шестимерной гетеротпческой теории с N = 1 суперсимметрией 15
1.1.2 Формулировка задачи и результаты 19
1.2 Универсальный сектор четырехмерного четырехмерного эффективного действия гетеротпческой теории 21
1.3 Стандартная форма действия универсального сектора действия N = 2 суперсимметричной теории 23
1.3.1 Древесное приближение теории 24
1.4 Вычисление поправок к древесному эффективному действию интегрированием по тороидальным мировым листам струны 26
1.5 Препотенциал и действие в одной струнной петле 29
1.6 Калибровочные "константы"взаимодействия 31
1.6.1 Неоднозначность препотенциала и калибровочных констант связи . 32
1.7 Уравнения Максвелла и симплектические преобразования 33
1.8 Спинорные уравнения Киллинга 36
1.8.1 Преобразования суперсимметрии в N = 2 суперсимметричной теории
и спинорное уравнение Киллинга 36
1.8.2 Альтернативная форма спинорных уравнений Киллинга 39
1.9 Диошюе решение спинорных уравнений Киллинга в древесном приближении 40
1.9.1 Решение с постоянными модулями 42
1.9.2 Решение спинорных уравнений Киллинга в альтернативной форме с произвольными электрическими и магнитными зарядами 42
1.9.3 Киральные нулевые модели 44
1.10 Решения спинорных уравнений Киллинга и уравнений Максвелла с одно-петлевыми струнными поправками 45
1.10.1 Напряженности поля с петлевыми поправками для дионного решения с постоянными древесными модулями 46
1.10.2 Решение уравнений Киллинга для дионных черных дыр с постоянными древесными модулями 48
1.10.3 Сшшорное уравнение Киллинга для гравитино и петлевые поправки
к дилатону и метрике 50
1.10.4 Решение преобразованной системы уравнений Киллинга с произвольными древесными модулями 51
1.10.5 Случай постоянных древесных модулей 53
1.11 N = 2 -суперсимметричные компактификации гетеротической теории с дополнительными векторными полями (вильсоновские линии) 53
1.12 Магнитные черные дыры 56
1.13 BPS и ADM массы 58
1.14 Уравнения для аксиопов 62
1.15 Дионная черная дыра в окрестности горизонта 63
1.16 Обсуждение результатов 65
Черные дыры с петлевыми поправками в теориях замкнутых бозонпых струн 68
2.1 Введение 68
2.2 Эффективное действие в струнной теории возмущений замкнутых бозонпых струн 71
2.3 Древесные двумерные и трехмерные решения уравнений движения (черная дыра и черная струпа) 76
2.4 Калибровочные модели WZNW с косетом SL(2, R) х RN/R 78
2.5 Асимптотика метрики и дилатона трехмерной черной струны 81
2.5.1 Альтернативная параметризация метрики и дилатона 83
2.5.2 Асимптотика метрики трехмерной черной струны с петлевыми поправками 84
2.6 Квазилокальная энергия 87
2.6.1 Квазилокальная энергия двумерной черной дыры 88
2.6.2 Квазилокальная энергия черной струны 89
2.6.3 Действие в эйнштейновской форме 91
2.6.4 Термодинамическое соотношение 92
2.7 Четырехмерная сферически-симметричная черная дыра 93
2.8 Заключение и обсуждение 95
Статистическая энтропия черных дыр в теории струн 98
3.1 Введение 98
3.2 Четырехмерная магнитная черная дыра 101
3.2.1 Фактор BTZ в метрике магнитной черной дыры 101
3.2.2 Геометрическая и статистическая энтропии пятимерных и четырехмерных магнитных черных дыр 103
3.3 Компактификации решений одиннадцатимерной супергравитации на много образиях Калаби-Яу и JV = 2 суперсимметричные четырех и пятимерные черные дыры 105
3.3.1 Неэкстремальные четырехмерные решения
3.3.2 Пятимерные N = 2 суперсимметричные черные дыры 108
3.3.3 Статистическая энтропия околоэкстремальных четырехмерных черных дыр выделением части BTZ 109
3.3.4 Статистическая энтропия околоэкстремальных шестимерных и пятимерных черных дыр 111
3.4 Заключительные замечания 113
Заключение 115
Литература 118
- Структура N = 2 суперсимметричной четырехмерной гетеротпческой теории, полученной компактификацией шестимерной гетеротпческой теории с N = 1 суперсимметрией
- Решение спинорных уравнений Киллинга в альтернативной форме с произвольными электрическими и магнитными зарядами
- Асимптотика метрики трехмерной черной струны с петлевыми поправками
- Компактификации решений одиннадцатимерной супергравитации на много образиях Калаби-Яу и JV = 2 суперсимметричные четырех и пятимерные черные дыры
Введение к работе
В настоящее время теория струн представляет собой наиболее продвинутый подход, в котором унифицируются калибровочные взаимодействия, включая гравитацию. Изучение гравитации в рамках теории суперструн оказалось очень плодотворным. Гравитация входит как одно из полей в эффективное действие, описывающее динамику безмассовых мод струны. Поскольку полная теория струн ультрафиолетово конечна, то снимается одна из сложных проблем в гравитации. К достижениям гравитации в рамках теории струн следует отнести обнаружение широкого класса решений уравнений движения, следующих из эффективного действия теории, имеющих интерпретацию черных дыр, черных струн, мембран и т.п. Важным результатом исследования черных дыр (мембран) в теории струн является вычисление их геометрической и, что особенно существенно, статистической энтропии. В теории струн имеются как заряженные, так и нейтральные решения типа черных дыр; в реалистических моделях суперструн, в решениях, кроме гравитации, присутствуют также другие поля (скалярные, векторные и тензорные).
В теории струн амплитуды рассеяния струнных мод имеет вид суммы вкладов от процессов, представляющихся в виде мировых листах струны различной топологии, к которым присоединены внешние концы, соответствующие рассеивающимся модам [1]. Действие струны на мировом листе представляет собой двумерную конформную теорию и имеет следующую структуру
/(яг, v») = /о(я;) + Е / V5(x)^*,
где Iq свободное действие, :г-поля, от которых зависит действие струны, Vi вершинные операторы размерности 2, соответствующие возбуждению безмассовых мод струны, ірг соответствующие безразмерные "константы взаимодействия". Объекты ф1 можно интерпретировать как пространственно-временные поля, соответствующие безмассовым модам. Производящий функционал корреляторов вершинных функций строится в виде суммы вкладов от интегрирования по мировым листам струны различного рода и символически может быть представлен в форме [2, 3]
00 г г г
Z&) = /
n=0J 71=0-7 "'Е»
где та -модули, от которых зависит метрика каь на мировом листе струны „.
Поля tpi определяются из условия вейлевской инвариантности производящего функционала вершинных функций, которое имеет вид требования, чтобы /^-функции, через
которые выражается вейлевская аномалия производящего функционала, обращались на этих полях в нуль [4]
tfV) = о.
Совокупность уравнений Рг((р^) = 0 (или их линейных комбинаций) возникает как уравнения движения, следующих из низкоэнергетического эффективного действия S((f), определяющего динамику безмассовых мод струны. Эффективное действие строится из перенормированного производящего функционала корреляторов вершинных функций [4, 5, 6, 7, 8, 9].
Настоящая работа направлена на получение решений уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия, с учетом струнных петлевых поправок, и на вычисление статистической энтропии ряда черных дыр.
В качестве решений уравнений движения последовательно рассматриваются заряженные черные дыры в суперсимметричной гетеротической теории с группой E&xEs [1, 10, 11], компактифицированной к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией, и нейтральные черные дыры и струны в бозонных теориях замкнутых струн различных размерностей.
Первой возникающей задачей является построение эффективного действия теории струн с учетом петлевых поправок. Поскольку вычисление функциональных интегралов для корреляторов вершинных функций в явной форме удается произвести только в топологии сферы и тора, то для получения явных выражений для эффективного действия имеются две возможности: или рассмотреть варианты теории, в которых петлевые поправки выше первой отсутствуют, или ограничиться первой поправкой к древесному приближению теории, считая параметр разложения по струным петлям малым. В настоящей работе первая возможность реализуется в теории суперструн с расширенной суперсимметрией, второй подход используется в теории замкнутых бозонных струн.
Параметр суперсимметрии N — 1 суперсимметричной десятимерпаой гетеротической теории имеет 16 компонент. При компактификации к четырехмерному пространству на не твистованном 6-торе число ненарушенных суперсимметрий равно четырем, число супер-симметрий равно двум при компактификации на многообразии КЗ х Г2 с группой голоно-мии SU{2) или на орбифолде, получающемся твистованием 4-тора и оставляющем 2-тор не твистованным, и единице при компактификации на многообразии Калаби-Яу с группой голономии SU(3) или на орбифолде, получающемся твистованием 6-тора, не оставляющим ни одну из трех комплексных гиперплоскостей 6-тора не твистованной [1]. От способа компактификации зависит также вид группы внутренних симметрии компактифицированной теории.
В теориях с ненарушенной N = 4 суперсиметрией струнные петлевые поправки к части эффективного действия с числом производных не более двух исчезают, в теориях с iV = 1 суперсимметрией к членам с двумя производными возникает бесконечный ряд струнных петлевых поправок, в теориях с N = 2 суперсимметрией к членам с двумя производными может возникнуть только поправка, соответствующая одной струнной петле, т.е. от интегрирования по мировым листам струны, имеющим топологою тора [12, 13].
В работе рассматривается компактификация гетеротической теории с группой J5g х Е& к четырем измерениям с сохранением N = 2 суперсимметрии. Рассматривается специальный случай компактификации, сначала к шестимерной теории с N = 1 суперсимметрией,
которая далее компактифицируется на нетвистованном двумерном торе к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией [15, 17, 18].
Эффективное действие зависит от геометрии компактификации на двумерном торе через метрику тора Gmn и антисимметричный тензор Втп, где индексы т, п = 1,2 соответствуют двумерному тору. Поля Gmn и Вшп объединяютя в комплексные скаляры-модули N = 2 суперсимметричной теории
Т = Jdet Gmn + гВі2) U = .
Кроме того, строится модуль S = еф + га, где ф дилатон, и а аксион, дуальный напряженности антисиметричного тензора В^.
Для различных компактификации гетеротической теории общим является универсальный сектор, в бозонную часть которого входят гравитация, три модуля и четыре векторных поля Gmv и Bmv. Три векторных поля образуют векторные супермультиплеты с модулями S, Т, U и одна комбинация векторных полей образует гравифотоп, лежащий в гравитационном супермультиплете.
Кроме того, в эффективное действие могут также входить вильсоновские линии - векторные супермультиплеты, включающие абелевы поля А^г из картаповской подгруппы группы Е& х Е& и модули у/, где / = 1,..., Р, Р < 16 [20].
В общем случае N = 2 суперсимметричной компактификации гетеротической теории к четырем измерениям в произвольной точке пространства модулей безмассовыми бозон-ными полями являются метрика G^„, 2Р + 4 скаляра, локально параметризующих пространство модулей, и (Р + 3) [/(1) калибровочных поля Aft [19].
Эффективное действие с учетом струнной петлевой поправки к древесному приближению может быть построено или вычислением корреляторов путем функционального интегрирования по мировым листам с топологией тора, или получено из препотепциала теории с N = 2 суперсимметрией, определяющего динамику теории. В силу симметрии Печчея-Куин препотенциал N = 2 суперсимметричной компактификации гетеротической теории имеет только однопетлевую поправку [17, 26, 27]. Однако в этих двух подходах возникают выражения различной структуры, и отсутствует способ их сравнения. Поэтому в суперсимметричной теории вычислением корреляторов устанавливается общая структура эффективного действия: отсутствие поправок к эйнштейновскому члену и квадрату напряженности антисимметричного тензора (ср. [15, 16]), а также появление поправок к части действия, описывающей динамику полей из векторных супермультиплетов. Точная форма одпопетлевых поправок к древесному эффективному действию вычисляется с помощью препотенциала.
В суперсимметричных теориях решения уравнений движения с не полностью нарушенной суперсимметрией можно получить или непосредственным решением уравнений второго порядка, следующих из эффективного действия, или решением "спинорных уравнений Киллинга", представляющих собой условие равенства нулю преобразований суперсимметрии фермионных суперпартнеров бозонных полей и имеющих первый порядок по производным.
В настоящей работе последовательно используется второй способ, дающий суперсим-метричные решения с не полностью нарушенной суперсимметрией. В случае магнитных черных дыр решения спинорных уравнений Киллинга с учетом петлевой поправки сравниваются с решением уравнений движения второго порядка, следующих из эффективного действия. Показано, что возникает более широкий класс решений, включающий решения спинорных уравнений Киллинга. В качестве древесного приближения решений спинорных уравнений Киллинга рассматриваются дионные черные дыры и черные дыры с вильсо-новскими линиями. Дионные черные дыры представляют собой решения типа "киральных нулевых моделей" [21, 22, 23], для которых имеется результат, что в специальной схеме перенормировок все поправки по а' исчезают и низшее приближение является точным по а' решением уравнений движения [24, 25].
Уравнения дыижения как в гетеротической теории, так и в бозонной теории, решаются по теории возмущений в первом порядке по константе разложения по струнным петлям с = еф где фоо асимптотическое значение дилатона на пространственной бесконечности. Струнная поправка к древесному препотенциалу имеет первый порядок по е [17, 26, 27], поэтому при решении уравнений по теории возмущений в первом порядке по е все выражения, содержащие петлевую поправку к препотенциалу, вычисляется подстановкой в качестве аргументов древесных выражений для модулей.
Экстремальным суперсимметричным решением спинорных уравнений Киллинга и уравнений Эйнштейна-Максвелла, имеющим наиболее простую форму, на котором прослеживаются основные свойства решений более общего вида, являются статические, сферически-симметричные дионные решения с постоянными вещественными древесными модулями Т и U, что соответствует диагональной метрике Gmn и Втп = 0. В древесном приближении это решение в различных подходах рассматривалось в многих работах, например в [28, 29, 30, 23, 39, 40, 41, 42], а также в цитированной в этих работах литературе.
Метрика и дилатон сферически-симметричного статического решения системы спинорных уравнений Киллинга и уравнений Максвелла с постоянными вещественными древесными модулями Т и U, точностью до членов порядка 0(e) имеют вид [45, 46, 47, 77]
и г2 ( РН \
90-~9 -{r + P){r + Q)[1-e7TQ)
Q + r{ r + Qj-
Здесь P = (PP1)1/2, Q = (Q2Qz)ll2, P, Pl и Q2, <3з магнитные и электрические заряды диона. Н = yfij, где h(T, U) однопетлевая поправка к препотенциалу, Т и U древесные модули. Петлевые поправки к метрике не твистованного тора Т2 равны
6GU = d7i-p, 5G22 = є (с2-ї— - (L2 - L3)-^—) .
г + Р \ г + Q r + QJ
Здесь С\ произвольная постоянная, L2 = drRe h/U and L3 = дцRe h/T.
В случае произвольных электрических и магнитных зарядов как древесное решение уравнений Киллинга, так и петлевые поправки к модулям имеют координатную зависимость.
В общем случае, при отличных от нуля зарядах Р и Q, в древесном приближении дилатон конечен во всей области изменения г, и петлевые поправки к метрике и дила-тону также конечны и убывают на пространственной бесконечности как 0(\). Такие же свойства имеют чисто электрические черные дыры [47].
В случае чисто магнитных черных дыр в древесном приближении теории дилатон растет при г —> 0 как 1/г, и метрика сингулярна при г = 0. В этом случае петлевые поправки к метрике и дилатону также имеют сингулярность в нуле [45, 76, 77]. Условие малости поправки по отношению к древесному приближению приводит к ограничению на допустимую область г: г > еРН.
Модули статических дионных черных дыр в древесном приближении вещественны. При учете петлевых поправок, вообще говоря, появляются мнимые добавки к модулям (аксионы) порядка 0(e), и решение перестает быть статическим и становится стационарным. При специальном выборе произвольных констант и зарядов аксионы обращаются в нуль, и решение остается стационарным [47].
Поскольку на пространственной бесконечности асимптотика поправок к метрике и модулям древесной черной дыры имеет тот же характер убывания 0(-), что и асимптотика решения в древесном приближении, то можно определить ADM и BPS массы с учетом петлевых поправок, которые сдвигаются относительно древесных значений на величину еРН и равны между собой [47].
В древесном приближении для широкого класса черных дыр в N = 2 суперсимметричной теории имеется результат, согласно которому горизонт черной дыры представляет собой аттрактор, что означает что на горизонте метрика и модули теряют зависимость от произвольных констант, фиксирующих вид теории на бесконечности. Как и в древесном приближении, петлевые поправки к метрике и модулям на горизонте не содержат произвольных констант [48], и на горизонте восстанавливается нарушенная суперсимметрия.
Уравнения движения N = 2 суперсимметричных теорий обладают инвариантностью относительно группы симплектических преобразований, которая для случая четырех векторных супермультиплетов имеет вид SP(8,Z). Симплектические преобразования связывают различные голоморфные сечения пространства модулей. Хотя все сечения эквивалентны, конкретная форма теории зависит от выбора голоморфного сечения. Физическая интерпретация полей теории имеется в голоморфном сечении, связанном с компактифи-кацией гетеротической теории. Однако в этом голоморфном сечении отсутствует препо-тенциал (см., например, [70, 17]), и калибровочные константы взаимодействия векторных компонент супермультиплетов вычисляются с помощью симплектических преобразований из констант взаимодействия, вычисленных в голоморфном сечении с препотенциалом. В древесном приближении теории имеются явные выражения как для препотенциала (в голоморфном сечении, в котором препотенциал существует), так и для калибровочных констант в гетеротическом голоморфном сечении. Это позволяет построить явную форму симплектического преобразования, связывающего два сечения. В однопетлевом приближении имеются два источника неопределенности формы симплектического преобразования, связывающего два сечения: во-первых, неопределенности, связанные с принципиально неустранимым произволом однопетлевого приближения для препотенциала [26, 17, 71], во-вторых возникающие из-за отсутстствия явного замкнутого выражения для калибро-
вочных констант векторных компонент супермультиплетов модулей в гетеротическом сечении. Показано, что неопределенность в симплектическом преобразовании сводится к четырем вещественным константам и убирается в произвол препотенциала.
Представляет интерес сравнить вид поправок к суперсимметричным древесным решениям уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия в суперсимметричной гетеротической теории, с не суперсимметричными решениями в бозошюй теории струн. Во второй главе работы рассматривается вычисление эффектиного действия теории в однопетлевом приближении теории струн и струнные поправки к решениям уравнений движения типа черных дыр и черных струн.
В бозошюй теории перенормированный производящий функционал корреляторов вершинных функций Zr((Pr), дающий эффективное действие теории S((pji), строится путем обобщения пертурбативной перенормируемости производящего функционала Zn((p1(e),e) в теории возмущений по параметру а' на мировой поверхности фиксированного рода п на перенормируемость как по отношению к разложению по параметру а', так и к разложению по струнным петлям. Поля <р1 представляются в виде разложения по перенормированным полям (pii
и перенормированный производящий функционал Zn((pR) равен
Zn(iPiR) = Zn(iPi{e)t).
В струнной теории возмущений статсумма Z равна сумме статсумм, вычисленных интегрированием по мировым листам струны различных топологий
оо _ оо .
Z =Y^Zn = Y^ \ dfin(m)Zn.
п-0 п=0J
Для -построения перенормированного эффективного действия, включающего вклады от высших топологий мирового листа струны, необходимо использовать согласованную регуляризацию ультрафиолетовых и модулярных расходимостей производящего функционала. Такая регуляризация достигается отображением мирового листа замкнутой струны, представляющего собой поверхность с п ручками, на комплексную плоскость с 2п удаленными дисками с попарной идентификацией границ [31, 32, 34]. С помощью параметризации Шоттки строится расширенное пространство модулей. На комплексной плоскости С группа Мебиуса действует как группа SL{2, С). Поверхность с п ручками описывается Зп комплексными модулями. Для каждой пары вырезанных дисков на комплексной плоскости, соответствующих ручке на сфере, 6 вещественных модулей определяют положение центров дисков, отношение радиусов и твист в отожествлении точек границ дисков. Если мебиусовская симметрия не фиксирована, то в W > 3-точечные амплитуды объем группы SL(2, С) входит как универсальный расходящийся множитель. При фиксации трех комплексных параметров группы SL(2, С), число независимых комплексных модулей становится Зп —3. Ультрафиолетовые расходимости, возникающие при сближении точек присоединения внешних линий к мировому листу струны (пунктаций) и стягивании в точку дисков от ручек, на комплексной плоскости регуляризуются с помощью одного параметра
и входят в амплитуды рассеяния безмассовых мод равноправным образом. Это позволяет произвести перенормировку производящего функционала вершинных функций с учетом как ультрафиолетовых расходимостей от слияния пунктаций, так и модулярных расхо-димостей [33, 34]. Эффективное действие получается перенормировкой суммы по родам мировой поверхности производящих функциналов, вычисленных на поверхности фиксированного рода и равно
S{(Pr)== д^Ге2{(р{е)'е)-Производная по In б ренорминвариантным образом снимает расходимость, связанную с расходящимся объемом группы Мебиуса.
Эффективное действие замкнутой струны, включающее древесный и однопетлевой вклады, имеет вид
S = cJ' dDxJ\G\e*
-Л + ^ (л - ^ + (>Ф)2) + «Г*
где Л центральный заряд, є -формальный параметр разложения по струнным петлям и последний член под интегралом возникает от интегрирования по поверхностям с топологией тора [35].
Исследуются решения уравнений движения в бозонных теориях замкнутых струн в двух, трех и четырех измерениях. В древесном приближении рассматриваемые решения представляют собой черные дыры (черные струны). Уравнения движения решаются в первом порядке по параметру е.
Свойства решений с учетом петлевых поправок в гетеротической и бозонной теориях весьма различны. В суперсимметричной гетеротической теории поправки к древесной метрике и дилатону дионного решения с отличными от нуля электрическими зарядами конечны во всем пространстве, и на пространственной бесконечности асимптотики решения с поправками ведут себя также, как асимптотики древесного решения. Поправки к древесной части имеют параметрическую малость засчет константы разложения по струнным петлям. В бозонных теориях асимптотика метрики с учетом петлевой поправки на больших расстояниях от центра черной дыры (черной струны) имеет асимптотику, отличающуюся от асимптотики древесного решения, и характеризуется более медленным убыванием, чем асимптотика древесного приближения.
В двух измерениях в древесном приближении имеется статическое решение уравнений движения имеет вид [100, 110]
ds2 = g{p)dt2 + д(р)-Чр2 Ф = Фо+7(р-Яо),
д(р) = 1 + Се-^р-ро).
С учетом петлевой поправки в действии метрика модифицируется [35]
д(р) = 1 + Се-^»-ро) - 2ee^^e-^p-p0\
а дилатон сохраняет древесную форму. Отклонение асимптотики древесной метрики от плоской при р —> оо порядка е~7Р, а асимптотики решения с петлевой поправкой ре~1р.
В трехмерном случае в древесном приближении рассматриваются решения вида [111, 112]
ds2 = - (і - r2+e-2")) dt2 + (і - rle-2") dx2 + -2
72(l-r^e-2")(l-rle-2")'
Ф = с+2р, Bxt = r+r_e-2p,
2__2Л 7 ~~~ar'
с произвольными r+ и r_, имеющие интерпретацию бесконечной прямолинейной черной струны. При специальных значениях параметров г2 = 1 + Л, r2_ = A, 72 = 4 решение является конформной теорией, возникающей в калибровочной модели WZNW с косетом 51/(2, R)/R, где одновременно калибруются одномерная подгруппа SL(2, R) и бозон, соответствующий компоненте R [102, 103, 104, 129].
В древесном приближении теории компоненты метрики имеют асимптотику 1+0(6-2^)) где р расстояние от прямолинейной бесконечной черной струны. При учете петлевой поправки, в первом порядке по е, асимптотика метрики имеет вид 1 + 0(ре~2р) [35].
Возникает вопрос о массе (энергии) черной дыры (струны). Для этого используется определение квазилокалыюй энергии системы [113, 114, 115]. Для действия, записанного в канонической нормировке эйнштейновского члена,
= / (R + Lm)-2 [ (в-в0),
JM JD
где В граница области М, О и G0 внешняя кривизна границы, вычисленная с метрикой д и фоновой метрикой д0, с одинаковыми асимптотиками на границе, квазилокальная энергия статического решения уравнений движения с метрикой
ds2 = g^dx^dx" = -N2dt2 + gikdx4xk
равна
[E\ = -f N(k-ko).
JdBt
Здесь к внешняя кривизна квазилокалыюй границы dBt, представляющей собой слоение, образуемое пересечением границы В с пространственноподобными листами слоения, параметризованными параметром t.
В то время как в древесном приближении квазилокальная энергия рассматриваемых решений конечна, при учете петлевых поправок, в рассматриваемом приближении, выражение для квазилокалыюй энергии в пределе р —> оо растет пропорционально р. Однако при учете требования малости петлевой поправки по отношению к отклонению древесного решения от плоской конфигурации возникает ограничение на допустимую область значений р, для которых применимо решение с петлевой поправкой.
\
Развитие методов теории струн дало возможность решить ряд вопросов теории черных дыр, в частности, вычислить статистическую энтропию ряда экстремальных и околоэкстремальных черных дыр, являющихся решеними уравнений движения, следующихи из струнного эффективного действия, путем подсчета числа микросистояний черной дыры. Имеются различные подходы к вычислению энтропии черных дыр в теории струн: использование методов конформных теорий поля [19, 142, 143], методов, основанных на D-бранном описании черных дыр, позволяющих вычислить статистическую энтропию экстремальных и околоэкстремальных решений [144,146, 148,149], а также подходы, основанные на выделении из метрики черной дыры части, представляющей собой черную дыру низшей размерности, для которой статистическую энтропию можно вычислить методами конформной теории поля (например [157, 158, 159, 168, 169] и цитированые там работы).
В третьей части настоящей работы энтропия ряда черных дыр вычисляется путем выделения из многомерной метрики в окрестности горизонта метрики трехмерной черной дыры Баньядоса-Тейтельбойма-Занелли (BTZ) [150, 151]. Этот метод, вообще говоря, требует трансформации метрики преобразованиями группы U-дуалыюсти, сохраняющими энтропию, к требуемой форме решения [166, 167].
Вычисление статистической энтропии трехмерной черной дыры основано на том, что действие трехмерной гравитации представляется в виде разности двух (право-левых) действий Черна-Саймонса для группы SL(2, R) х SL(2, R) на уровне к = -^ [155, 156]. Этот факт, в свою очередь связан с тем, что диффеоморфизмы, сохраняющие асимптотику AdSz вакуума на пространственной бесконечности, генерируются двумя копиями алгебры Вирасоро с центральными зарядами cl = сд = ^ [153]. Асимптотическая плотность состояний в этой конструкции вычисляется (см. [158, 159, 160, 168] и др.) по формуле Карди [154]
1пр(Д,Д)-2^^ + 2.^,
где Д и А собственные значения генераторов Вирасоро Lq Lq. Для черной дыры BTZ операторы Lq и Lq выражаются через массу и заряд черной дыры с помощью соотношений
M=Lo + Lot J = L0-L0.
Первым примером, который обсуждается в этом разделе является четырехмерная ди-латонная гравитация, взаимодействующая с абелевым полем. Четырехмерное действие
получается редукцией многомерной Эйнштейн-Максвелловской гравитации в высших размерностях [178]
1 = J d^+phy/^[R-F2}. В случае р = 1 метрика пятимерного решения
ds\ = -(1 - r-±)dt2 + (1- — )dy2 + (1- ^)-х(1 - — )~Чт2 + r2dtf2,
где г+ ф г-, в окрестности горизонта представляется в виде суммы метрик черной дыры BTZ и двумерной сферы [161, 163]. Статистическая энтропия пятимерной черной дыры совпадает с геометрической энтропией Бекенштейна-Хоукинга S5 = A/AG5, где А площадь поверхности горизонта черной дыры.
В работе вычисляется статистическая энтропия экстремальных и неэкстремальных четырехмерных и пятимерных черных дыр, являющихся решениями уравнений движения, следующих из струнных эффективных действий, полученных компактификацией М-теории, гетеротической теории и теорий типа II на торах, многообразиях КЗ и Калаби-Яу с сохранением N = 2 суперсимметрии.
Пятимерная черная дыра получается компактификацией одиннадцатимерного решения, представляющего собой неэкстремальную конфигурацию трех пятибран, каждая пара которых пересекается по трехбране с дополнительным бустом вдоль общего направления пересечения пятибран [181], являющуюся обобщением экстремального решения [182]. При дальнейшей компактификации одного измерения, вдоль которого произведен буст, получается четырехмерное решение с одним электрическим и тремя магнитными зарядами. В окрестности горизонта пятимерной черной дыры ее метрика рспадается на сумму метрик трехмерной черной дыры BTZ и метрику двумерной сферы. Это позволяет вычислить статистическую энтропию пятимерной черной дыры, и при компактификации одного измерения с бустом энтропию околоэкстремальной четырехмерной черной дыры.
Пятимерное решение с электрическим и магнитным зарядами строится как пересечение М2-браны и М5-браны с бустом вдоль направления пересечения. Сначала одиннадцатимерное решение компактифицируется к шести измерениям, результирующая шестимерная конфигурация является черной дырой, метрика которой в окрестности горизонта равна сумме метрик черной дыры BTZ и трехмерной сферы. Таким образом вычисляется статистическая энтропия шестимерного решения. При компактификации вдоль измерения с бустом возникает пятимерная черная дыра и определяется ее энтропия [162, 163]. Для всех рассмотренных примеров статистическая энтропия совпадает с геометрической энтропией Бекенштейна-Хоукинга.
Структура N = 2 суперсимметричной четырехмерной гетеротпческой теории, полученной компактификацией шестимерной гетеротпческой теории с N = 1 суперсимметрией
Основная задача, рассматриваемая в этой главе, состоит в вычислении струнных петлевых поправок к древесным решениям уравнений движения N = 2 суперсимметричной гетеротической теории, представляющим экстремальные черные дыры. Для того, чтобы вычислить петлевые поправки к древесным решениям уравнений движения, строится N = 2 суперсимметричное эффективное действие гетеротической теории с петлевыми поправками.
Прямым вычислением функциональных интегралов для корреляторов вершинных функций в однопетлевом приближении теории струн (интегрирование по мировым листам струны с топологией тора) устанавливается, что в части действия с числом производных не более двух эйнштейновский член и квадрат напряженности антисимметричного поля не имеют квантовых поправок, калибровочные взаимодействия векторных полей в универсальном секторе и кэлеровский потенциал, определяющий динамику скалярных модулей, приобретают квантовую поправку [13, 26, 15]. Это является отражением общего факта, что в гетеротической теории взаимодействия векторных супермультиплетов полей имеют струные петлевые поправки (см.,например, [49] и цитированные работы). Получающиеся выражения для петлевых поправок к древесному действию имеют, однако, сложную форму, в частности, остаются суммы по инстантонам, которые не удается свернуть в компактную форму.
Исследование решений и вычисление квантовых поправок к древесным решениям уравнений движения естественно производятся в стандартной формулировке N = 2 суперсимметричной теории в применении к гетеротической теории [65, 66, 67, 68]. Динамика N — 2 суперсимметричной теории определяется заданием препотенциала, который является голоморфной однородной функцией модулей степени 2 [63, 68]. Древесная часть препотенциала гетеротической теории фиксируется однозначно. Хотя для ряда компактификации на орбифолдах имеется явное выражение для однопетлевой поправки к препотенциалу [71, 18], общая структура выражений, используемых в работе, не зависит от деталей строения препотенциала. В универсальном секторе полей ищутся суперсимметричные решения уравнений движения с частично нарушенной суперсимметрией. Суперсимметричные решения получа ются решением системы спинорных уравнений Киллинга, представляющих собой условия обращения в нуль вариаций преобразований суперсимметрии спинорных полей, вычисленных на бозонных полях. Рассматриваются решения, интерпретируемые как экстремальные дионные черные дыры с двумя электрическими и двумя магнитными зарядами, а также черные дыры, получающиеся добавлением векторных супермультиплетов вильсоновских линий. Струнные петлевые поправки вычисляются в первом порядке по параметру разложе ния струнной теории возмущений є = е , где фоо значение дилатона на пространствен ной бесконечности, к статическим сферически-симметричным древесным черным дырам. В первом порядке по є поправка к препотенциалу вычисляется подстановкой в качестве , аргументов древесных значениях модулей Т и U. Спинорные уравнения Киллинга получены в различных функциональных формах, в частности, в форме, позволяющей в рассматриваемом приближении 0(e) решить уравнения для модулей и найти метрику, не привлекая уравнения Максвелла и тождества Бьянки. Решением системы спинорных уравнений Киллинга и уравнений Максвелла показано: В случае древесных решений, представляющих собой дионные черные дыры с отличным от нуля суммарным электрическим зарядом, петлевые поправки к метрике и дилатону конечны во всем пространстве вплоть до горизонта, стягивающегося для экстремальных решений в точку. Поправка к метрике имеет порядок 0(e) от древесного решения [47]. В случае чисто магнитных черных дыр дилатон в окрестности горизонта растет как 0( ), и поправка к метрике и дилатону имеет такой же рост [76, 76, 77]. С учетом петлевых поправок статическое в древесном приближении решение, вообще говоря, становится стационарным. При этом модули, вещественные в древесном приближении теории, при учете петлевых поправок приобретают мнимые части (аксионы), имеющие порядок 0(e). Получены решения для аксионов и показано, что при специальном выборе произвольных констант, содержащихся в решении, оно остается статическим [47]. Рассмотрены черные дыры с включением вильсоновских линий. Получены решения для метрики и модулей с струнными поправками порядка 0(e) [59]. Для того, чтобы сравнить вид поправок к древесным черным дырам, полученных реше нием спинорных уравнений Киллинга, с поправками, возникающими при решении системы , уравнеий движения Эйнштейна-Максвелла, рассматривается решение движения системы в случае, когда в качестве древесного приближения решения берется экстремальная маг нитная черная дыра. В этом случае решения для поправок к древесному приближению образуют более широкий класс, включающий поправки полученные решением спинорных уравнений Киллинга [45, 77]. Уравнения движения N = 2 суперсимметричных теорий обладают инвариантностью относительно группы симплектических преобразований, которая для случая четырех век торных супермультиплетов имеет вид SP(8, Z). Симплектические преобразования связы t вают формулировки теории в различных голоморфных сечениях пространства модулей. Хотя все сечения эквивалентны, конкретная форма теории зависит от выбора голоморфного сечения. В рассматриваемом случае поля N = 2 суперсимметричной теории имеют естественную физическую интерпретацию в голоморфном сечении, связанном с компактификацией гетеротической теории. Характерной особенностью этого сечения является то, что в этом сечении отсутствует препотенциал [17, 70]. Калибровочные "константы"в этом сечении получаются с помощью симплектического преобразования из "констант", вычисленных в сечении с препотенциалом. В древесном приближении теории известен как вид "констант"в четырехмерном эффективном действии гетеротической теории, т.е. в гетеротическом сечении, так и в сечении с препотенциалом, что позволяет восстановить вид симплектического преобразования, связывающего два сечения. В случае теории струн с учетом петлевых поправок, в принципе, имеется выражение для препотенциала с струнной поправкой, однако отсутствуют явные выражения для поправок к древесному приближению эффективного действия гетеротической теории, полученные вычислением функциональных интегралов для корреляторов, в замкнутой форме, позволяющей сравнить калибровочные константы в двух голоморфных сечениях и построить в явной форме симплектическое преобразование, связывающее два сечения.
В отсутствие этих явных выражений, рассматривая общую структуру калибровочных взаимодействий, показано, что при учете петлевой поправки к препотенциалу "неопреде-ленность"в форме симплектического преобразования сводится к двум в принципе определяемым вещественным константам [46, 47]. При симплектическом преобразовании "калибровочных констант"из сечения с препотенциалом в гетеротическое сечение не определенные вещественные постоянные в гетеротическом сечении аддитивно входят в топологические члены в векторной части действия, и не влияют на уравнения Максвелла.
Кроме того, поправка к препотенциалу содержит принципиально неустранимые неоднозначности вида полинома с мнимыми коэффициентами [26, 17, 71]. Неоднозначность препотенциала не влияет на кэлеров потенциал. В случае постоянных вещественных модулей неоднозначности препотенциала в уравнениях Максвелла сокращаются.
Решение спинорных уравнений Киллинга в альтернативной форме с произвольными электрическими и магнитными зарядами
В целях сравнения с вопросом о струнных петлевых поправках к черным дырам в гете-ротической теории суперструн представляет интерес вопрос о модификации эффективного действия и решений уравнений движения, при учете поправок от высших топологий мирового листа струны в бозонных теориях струн. Сравниваются поправки к суперсимметричным древесным решениям уравнений движения, следующих из эффективного действия гетеротической теории и не суперсимметричных решений в бозошюй теории струн. В работе рассматриваются поправки от мирового листа имеющего топологию тора, т.е. од-нопетлевые струнные поправки к древесному приближению, соответствующему мировым листам струны с топологией тора в теориях замкнутых струн. Рассматривается бозонные теории замкнутых струн в низших размерностях пространства-времени, D = 2,3,4 а также связанные с этими решениями уравнений движения калибровочные WZNW модели [97, 98, 99].
Уравнения движения, следующие из эффективного действия струны, представляют собой уравнения Эйнштейна для гравитации, взаимодействующей с полями материи. Поля, являющиеся решениями уравнений движения, входят в действие струны на мировой поверхности, которое имеет вид двумерной нелинейной ст-модели, как обобщенныме "константы взаимодействий", зависящие от динамических полей [4, 122, 120, 121]. Решения уравнений движения обеспечивают равенство нулю /3-функций двумерных теорий, т.е. обеспечивают конформность статсуммы [4, 122, 7] или производящего функционала вершинных функций бкзмассовых мод струны. Фоновые поля задают геометрию пространства-времени, в котором распространяется струна.
Первой возникающей задачей является построение струнного перенормированного эффективного действия бозошюй теории струн, включающего вклады от высших топологий мирового листа струны[5, 106, 107, 33, 34]. Проблема состоит в согласованной регуляризации ультрафиолетовых и модулярных расходимостей в амплитудах рассеяния безмассовых мод и в эффективном действии теории. Такая регуляризация достигается отображением мирового листа замкнутой струны, представляющего собой замкнутую поверхность рода п на комплексную плоскость с In удаленными дисками с попарной идентификацией границ удаленных дисков. С помощью параметризации Шоттки [31, 32,108, 109, 34] строится расширенное пространство модулей, в котором поверхность с п ручками описывается 3(п — 1) комплексными модулями. Ультрафиолетовые расходимости, возникающие при сближении точек присоединения внешних струн к мировому листу струны (пунктаций) и стягивании в точку вырезанных на комплексной плоскости дисков от ручек регуляризуются с помощью одного параметра и входят в амплитуды рассения безмассовых мод равноправным образом. Это позволяет произвести перенормировку теории с учетом как ултрафиолето-вых расходимостей от слияния пунктаций, так и модулярных расходимостей [33, 34].
Струнное эффективное действие строится в первом порядке по а! и по струнной константе (параметру разложения по струнным петлям) є, уравнения движения решаются в первом порядке по струнной константе связи є [134, 35].
Рассматривается решения уравнений движения типа черных дыр (струн), включающие косетные модели вида SL(2, R) х RN/R. В двумерной теории ешение с N = 0 вкладывается в класс двумерных статических решений уравнений движения [ПО], интерпретируемых как черная дыра в двумерной дилатонной гравитации [ПО, 127, 128]. Решение с N = 1, соответствующее трехмерному физическому пространству, принадлежит классу решений включающих гравитацию, взаимодействующую со скалярным полем (дилатоном) и антисимметричным тензором [111]. Аксиально-симметричную метрику в общем классе решений, а также связанную с ней метрику косетной модели, можно интерпретировать как бесконечную черную струну.
Калибровочные WZNW модели представляют собой косетные G/H конформные теории и имеют естественную лагранжеву реализацию. В определенном смысле калибровочные WZNW модели представляют простейшие реализации черных дыр в теории струн с минимальным числом необходимых фоновых полей, т.к. не требуют наличия векторных полей, модулей и т.д.. Эти теории представляют собой мост между конформными теориями поля и сг-модельным описанием струн, распространяющихся в нетривиальных фонах [100, 101]. Кроме того, класс калибровочных WZNW моделей представляет особый интерес поскольку в ряде случаев можно получить выражения для фоновых полей не только в старшем порядке 0(а ), но и точные по а [102,103,104,105] , не прибегая к решению (неизвестных) точных уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия. Ввиду того, что калибровочные WZNW модели конформно инвариантны, определяемые из них фоновые поля автоматически должны удовлетворять уравнениям движения, следующих из струнного эффективного действия во всех порядках по о/. Ряд таких моделей допускает интерпретацию возникающих решений в терминах геометрий черных дыр, черных струн и т.д. [100, 111, 102, 103, 104] .
В двумерном случае получено точное решение уравнений движения, следующих из эффективного действия с петлевой поправкой, имеющее вид двумерной черной дыры. В трех и четырех измерениях петлевые поправки к древесным решениям уравнений движения получены в первом порядке по параметру разложения по струнным петлям е. Асимптотики полученных решений используются для вычисления квазилокалыюй энергии рассматриваемых конфигураций [35]. Рассматривается вопрос о массе черных дыр (струн) при учете петлевых поправок [35]. Для широкого класса геометрий масса (энергия) определяется как квазилокальная энергия системы [113, 114, 115]. В случае геометрий, имеющих структуру произведения време-ниподобного интервала, параметризованного параметром t, на пространственоподобную область М с границей В, и действия
В то время как в древесном приближении теории квазилокальная энергия черной струны конечна, квазилокальная энергия решения с петлевой поправкой, вычисленная на квазилокальнои границе, расположенной на расстоянии р от черной дыры, линейно зависит от р. Аналогичное явление наблюдается в трехмерном и четырехмерном случаях. В трехмерной теории в древесном приближении теории при р — со компоненты метрики ведут себя как 1 + 0(е 2р), где р расстояние от прямолинейной бесконечной струны, при учете петлевых поправок асимптотики компонент метрики имеют вид 1 + 0(е 2р) + 0(ере 2р). Поправочный член содержит дополнительный фактор р, и при формальной подстановке решения с однопетлевой поправкой в выражение для квазилокальнои энергии возникает линейная зависимость массы от расстояния поверхности, на которой вычисляется квазилокальная энергия, от прямолинейной струны. Эти результаты имеют место при формальном использовании решений с петлевой поправкой во всем пространстве-времени. Область применимости теории возмущений определяется условием малости поправки по сравнению с отклонением древесного решения от плоской конфигурации, 1 (ер) 1е2р, поэтому, вообще говоря, вычисление производится вне области применимости решений.
Полученные асимптотики радикально отличаются от асимптотик суперсимметричных с петлевыми поправками решений для дионных черных дыр в гетеротической теории. В последнем случае асимптотики поправок к метрике имеют такое же убывание как древесная метрика, и решение с петлевыми поправками допускает определение ADM массы, совпадающей с квазилокальной энергией системы. Такое поведение решения связано с видом действия в бозонной теории. Для сравнения можно рассмотреть не суперсимметричное решение уравнений движения в гетеротической теории, имеющее шварцшильдовский горизонт. Хотя в области близкой к горизонту это решение ведет себя также, как черная дыра в бозонной теории, асимптотики двух решений различны.
Асимптотика метрики трехмерной черной струны с петлевыми поправками
В трехмерной теории Черна-Саймонса отсутствуют локальные степени свободы, и единственными степенями свободы являются поверхностные степени свободы на удаленной поверхности, ограничивающей рассматриваемую область, которым соответствуют глобальные заряды, генерирующие остаточные калибровочные преобразования, сохраняющие на пространственной бесконечности асимптотику AdS$ вакуума. Диффеоморфизмы, сохраняющие на пространственной бесконечности асимптотику AdS$ вакуума, генерируются двумя копиями алгебры Вирасоро с центральными зарядами а, = CR = [153].
В достаточно общем случае глобальные заряды, генерирующие остаточные калибровочные преобразования, образуют алгебру, включающую в себя алгебру Вирасоро [153, 152]. Асимптотическая плотность состояний в этой теории вычисляется по формуле Карди [154] где А и А собственные значения генераторов Вирасоро L0 L0. Для черной С помощью формулы Карди для числа состояний на данном уровне алгебры Вирасоро конформной теории для статистической энтропии черной дыры BTZ получается выражение Подставляя выражения для массы и углового момента, получаем, что статистическая энтропия совпадает с геометрической энтропией (3.1).
Было показано, что ряд решений эффективной десятимерной теории струн и одиннадцатимерной М-теории путем преобразований U-дуалыюсти может быть приведен к различным формам, одни из которых при размерной редукции дают неэкстремальные четырех и пятимерные черные дыры, а другие приводят к геометриям, которые содержат в качестве фактора черную дыру BTZ [166, 167]. Если рассматривать различные сечения группы преобразований U-дуалыюсти как калибровки, то возникает возможность сравнения геометрической энтропии с микроскопическими вычислениями [167].
В работе [168] было показано, что вычисление числа микросостояний можно произвести для любой черной дыры, для которой геометрия вблизи горизонта содержит фактор AdSs- При этом, в отличие от решений, в которые BTZ фактор входит точно, (см., например [167, 169]) допустимы решения, которые можно привести к форме, содержащей вклад BTZ только в области вблизи горизонта. В дальнейшем эти идеи были успешно применены для вычисления микроскопической энтропии ряда черных дыр [171, 172, 173, 174]. Характерной чертой этого подхода является то, что вычисление не опирается на суперсимметрию и может быть выполнено в любой последовательной теории гравитации. Это открывает возможность микроскопического вычисления энтропии не только BPS или около- BPS черных дыр, как в случае D-бранной интерпретации [177], но и для черных дыр, далеких от экстремальности (ср. [167]). В частности, эти методы могут быть применимы для черных дыр в теориях cN = luN = 2 суперсимметрией, в которых, в отличие от случая более высокой суперсимметрии N=4, появляются квантовые поправки от высших струнных петель, что может привести к нарушению D-бранной интерпретации.
Первым примером, который обсуждается в этом разделе, является четырехмерная ди-латонная гравитация, взаимодействующая с абелевым полем. В этой теории имеются решения как вида экстремальных, так и неэкстремальных черных дыр [178]. Для некоторых значений дилатонной константы взаимодействия с векторным полем четырехмерное решение получается редукцией специального вида пятимерной Эйнштейн-Максвелловской гравитации без дилатона [178]. Вычисление статистической энтропии пятимерной черной дыры основано на том, что в окрестности горизонта 5D метрика имеет структуру вида BTZ&S2. Получающаяся статистическая энтропия магнитной черной дыры оказывается совпадающей с геометрической энтропией [163]. Поскольку пятимерное решение апрокси-мируется структурой BTZ@S2 только в окрестности горизонта, то из совпадения геометрической и статистической энтропии, повидимому, следует, что микросостояния системы, дающие статистическую энтропию, локализованы в окрестности горизонта (см. однако дискуссию вопроса о локализации мокросостояний в трехмерной теории в работе [160].)
Вторым рассматриваемым объектом являются черные дыры, являющиеся решениями уравнений движения, следующих из эффективных действий, полученных компактифика-цией одиннадцатимерной М-теории или теорий типа II к четырем и пяти измерениям с сохранением N = 2 суперсимметрии. Рассматривается класс экстремальных и неэкстре мальных решений уравнений движения и их обратная редукция до решений одиннадцатимерной М-теории [179, 180]. Рассматриваются примеры многомерных решений, которые при компактификации дают метрики, которые в окрестности горизонта распадаются на метрику трехмерной черной дыры и метрику сферы.
Вычисляется микроскопическая энтропия экстремальных и неэкстремальных четырехмерных и пятимерных черных дыр, полученных компактификацией решений одиннадцатимерной супергравитации (или десятимерных решений теорий типа II, получающихся компактификацией одиннадцатимерных решений на окружности) на торах и многообразиях Калаби-Яу. Рассматривается неэкстремальная одиннадцатимерная конфигурация трех пятибран, попарно пересекающихся по трехбрапам с дополнительным бустом вдоль общего направления пересечения [181], являющаяся неэкстремальным обобщением экстремального решения [182]. В случае компактификации на многообразии Калаби-Яу решения могут быть представлены как три М5-браны, обернутые вокруг 4-циклов в СУ% х S1 [179]. Метрика получающейся околоэкстремальной пятимерной черной дыры в окрестности горизонта представляется в виде суммы метрик черной дыры BTZ и двумерной сферы. Это позволяет вычислить статистическую энтропию пятимерной черной дыры и, используя связь между пятимерной и четырехмерной гравитационными постоянными, энтропию околоэкстремалыюй четырехмерной черной дыры. Статистическая энтропия совпадает с геометрической энтропией околоэкстремалыюй N = 2 суперсимметричной четырехмерной черной дыры [180].
В качестве примера вычисления статистической энтропии околоэкстремалыюй пятимерной черной дыры рассматривается конфигурация, получающаяся компактификацией пересекающихся М2 и М5 бран с бустом вдоль направления пересечения [182, 181]. В окрестности горизонта шестимерная метрика является суммой метрики трехмерной черной дыры BTZ и метрики трехмерной сферы. Это позволяет вычислить статистическую энтропию шестимерной черной дыры, и, компактифицируя координату с бустом, энтропию околоэкстремальной пятимерной черной дыры.
Пятимерная черная дыра, являющаяся решением уравнений движения пятимерной супергравитации с N = 2 суперсимметрией, имеющая три электрических заряда, получается в результате компактификации трех М2 бран, пересекающихся в одной точеке [182, 181]. Однако в этом случае из-за отсутствия направления пересечения с бустом в окрестности горизонта в метрике не выделяется часть с метрикой BTZ. (см. обсуждение в Заключе-ниик главе).
Компактификации решений одиннадцатимерной супергравитации на много образиях Калаби-Яу и JV = 2 суперсимметричные четырех и пятимерные черные дыры
В настоящй работе последовательно расматривались эффекты высших порядков струнной теории возмущений на примерах решений уравнений движения, следующих из эффективного действия теории. Эффективное действие определяет динамику безмассовых мод струны. Решения уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия, определяют фоновые поля, на которых теория струн конформно инвариантна. Таким образом, конформная инвариантность теории струн, рассматриваемой на мировой поверхности фиксированного рода распространяется на струнную теорию возмущений. Эффективное действие в теории струн, в принципе, можно построить вычисляя корреляторы вершинных функций путем интегрировани по мировым листам струны различных топологий. В бозонной теории эта процедура, повидимому, является единственной. В теориях суперструн с расширенной суперсимметрией имеется также другая возможность: динамика безмассовых мод струны определяется заданием препотенциала, исходя из которого можно построить эффективное действие.
В рассматриваемой в работе гетеротической теории, компактифицированной к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией, эффективной четырехмерной теорией является расширенная супергравитация, взаимодействующая с векторными супермультиплетами. В этом случае динамика полей, входящих в супермультиплеты, т.е. соответствующая часть эффективного действия, может быть найдена исходя из препотенциала теории. Препотен-циал JV = 2 суперсимметричной теории имеет только древесную и однопетлевую части, и высшие петлевые поправки к препотенциалу исчезают. Кроме того, в суперсимметричной теории классические решения могут быть получены не только решением уравнений движения, но подмножество решений уравнений движения с не полностью нарушенной суперсимметрией может быть найдено путем решения спинорных уравнений Киллинга, которые являются условиями суперсимметричности решения и имеют вид равенства нулю преобразований суперсимметрии спинорных суперпартнеров бозонных полей.
Целью работы являлось получение и исследование решений уравнений движения с струнными петлевыми поправками типа черных дыр (черных струн) в гетеротической и бозонной теориях струн.
В гетеротической теории был рассмотрен класс N = 2 суперсимметричных компак-тификаций десятимерной гетеротической теории с группой 8 х 8, получающихся в результате компактификации десятимерной теории к шести измерениям с N = 1 суперсимметрией, и компактификации шестимерной теории к четырем измерениям на двумерном торе.
В первом порядке по параметру разложения по струнным петлям е найдены дионные решения с струнными поправками с двумя электрическими и двумя магнитными полями и их расширения засчет включения супермультиплетов вильсоновских линий. Четыре векторных поля в дионном решении выражаются через смешанные компоненты метрики и антисимметричного тензора Gmv и Вт1,, где т, п = 1,2 индексы, соответствующие двумерному тору.
Поправки к древесной части решений выражаются через петлевую поправку к пре-потенциалу, вычисленную с подстановкой древесных модулей. Показано, что решение с петлевыми поправками на горизонте событий является аттрактором и и на горизонте событий восстанавливается нарушенная суперсимметрия решений.
В случае вещественных древесных модулей древесное решение статично. В следующем порядке по б могут появиться мнимые части модулей, и решение становится стационарным. Найдены условия, при которых решение остается статическим.
Поскольку как древесное, так и однопетлевое решения имеют одинаковый характер асимптотик на бесконечности, в обоих приближениях можно определить ADM массу черной дыры. С помощью конструкции Нестера показано, что ADM масса совпадает с BPS массой, вычисляемой из алгебры суперсимметрии. В рассматриваемом приближении древесная масса приобретает сдвиг, выражающийся через однопетлевую поправку к препо-тенциалу.
На примере магнитных черных дыр, для которых помимо решений системы спииорных уравнений Киллинга и Максвелла получено решение уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия, показано, что в этом случае возникает более широкий класс решений, включающий суперсимметричные решения.
В несуперсимметричной бозонной теории замкнутых струн решения для черных дыр (струн) с петлевыми поправками ищутся как решения системы уравнений Эйнштейна в дилатонной гравитации. Чтобы построить эффективное действие, включающее вклады древесного приближения и петлевой поправки (от интегрирования по мировым листам струны с топологией сферы и тора) используется универсальная регуляризация ультрафиолетовых и модулярных расходимостей струнных амплитуд. Для этого мировой лист струны, имеющий топологию сферы с п ручками, отображается на комплексную плоскость с 2тг удаленными дисками с попарным отожествлением границ. В перенормированном производящем функционале вершинных функций (в канонической нормировке эйнштейновского члена) однопетлевой вклад равен ее .
Уравнения движения решаются в размерностях пространства-времени D = 2,3,4. В двумерном случае имеется точное по параметру є решение вида черной дыры. В трехмерном случае рассматривается бесконечная прямолинейная черная струна, а в размерности четыре шварцшильдовская черная струна с дилатоном. В размерностях три и четыре найдены асимптотики статических решений в первом порядке по е. Во всех трех случаях асимптотики решений с петлевыми поправками на пространственной бесконечности отличаются от асимптотик древесных решений. В то время, как в древесном приближении асимптотики компонент метрики имеют вид 1 + 0(е_р), где р расстояние от центра (оси) симметрии черной дыры (струны), решение с петлевыми поправками имеет асимптотику вида 1 + 0(е р) +0(ере р). В связи с этим рассматривается вопрос об определении массы черной дыры в общей постановке вопроса об определении квазилокальной энергии системы. Несмотря на то что, как в древесном приближении, так и с учетом петлевой поправки метрика асимптотически плоская, квазилокальная энергия в этих двух случаях различна: квазилокальная энергия черной дыры в древесном приближении конечна и асимптотически не зависит от расстояния до поверхности, на которой вычисляется энергия; в случае решения с петлевыми поправками энергия, вычисленная на поверхности, удаленной от центра (оси) симметрии на расстояние го, при г — со растет как О(го). Отмечается, что при учете требования малости петлевой поправки по сравнению с древесной частью решения допустимая область значений г ограничена.
