Содержание к диссертации
Введение
1 Методика стендовой калибровки блока акселерометров 12
1.1 Модель блока акселерометров 12
1.1.1 Акселерометр 12
1.1.2 Матричная модель блока акселерометров 14
1.2 О выборе плана эксперимента при калибровке блока акселерометров 19
1.2.1 Основное калибровочное соотношение 20
1.2.2 Стандартная форма задачи оценивания 25
1.2.3 О гарантирующем подходе к задаче оценивания 26
1.2.4 Оптимальный гарантирующий план измерений 43
1.2.5 О сокращении числа положений в плане эксперимента 47
1.3 Основные расчетные соотношения 49
1.3.1 Расчетная калибровочная система 49
1.3.2 Анализ ошибок оценок 51
1.3.3 Простейшая итерационная процедура 55
1.3.4 Алгоритм калибровки (I) 56
1.4 Общая итерационная процедура построения оценок 57
1.4.1 Об одном способе выбора расчетной системы координат . 57
1.4.2 Построение итерации 64
1.4.3 Алгоритм калибровки (II) 73
1.5 Результаты моделирования 77
1.5.1 Ход моделирования 77
1.5.2 Результаты моделирования 79
1.6 Заключение к главе 1 84
2 Математическое исследование алгоритма стендовой калибровки БИНС, разработанного в МИЭА 86
2.1 Общие обозначения 86
2.2 Модели блоков чувствительных элементов 87
2.2.1 Приборный трехгранник 87
2.2.2 Учет разнесения чувствительных масс акселерометров 88
2.2.3 Матричная модель показаний блока акселерометров 89
2.2.4 Упрощения модели блока акселерометров 91
2.2.5 Искажения вектора инструментальных погрешностей 92
2.2.6 Модель погрешностей датчиков угловой скорости 93
2.3 Описание алгоритма калибровки 94
2.3.1 Используемые системы координат и их связь 94
2.3.2 Описание калибровочных операций 96
2.4 Динамическая система уравнений 99
2.4.1 Обозначения для фазового вектора динамической системы . 100
2.4.2 Динамическая система уравнений в блочном виде 101
2.4.3 Выражения для блоков и, F, U, Sk(i), sj(t), s$(t), 5*(t), W{t). 104
2.4.4 Выражение для переходной матрицы 113
2.5 Дискретизация уравнений ошибок 115
2.5.1 Дискретная система 115
2.5.2 Вектор случайных возмущений 117
2.5.3 Вычисление переходной матрицы 118
2.5.4 Замена переменной Д.т 120
2.5.5 Уравнение измерений 123
2.5.6 Математическое ожидание начального значения вектора состояния 125
2.5.7 Начальная ковариационная матрица 128
2.5.8 Итоги параграфа 2.5 133
2.6 «Телескопическая» система 133
2.6.1 «Телескопическая» система в непрерывном времени 134
2.6.2 Дискретная «телескопическая» система 143
2.7 Результаты вычислений 145
2.7.1 Ход вычислений 146
2.7.2 Значения параметров 148
2.7.3 Оценка точности формул, полученных в МИЭА 149
2.7.4 Результаты вычислений 152
2.8 Заключение к главе 2 158
Заключение 159
Список литературы 160
Приложения 168
- Стандартная форма задачи оценивания
- Об одном способе выбора расчетной системы координат
- Динамическая система уравнений в блочном виде
- «Телескопическая» система в непрерывном времени
Введение к работе
Актуальность темы. Инерциальная навигация — метод определения местоположения, скорости и ориентации подвижных объектов без использования внешней информации, исходя из показаний чувствительных элементов механической природы, находящихся на объекте. Решающий вклад в создание основ инерциальной навигации внесли работы Б. В. Булгакова, А. Ю. Ишлинского, А. Н. Крылова, Е. Б. Левенталя, Г. О. Фридлендера, Ч. Дрейпера, М. Шулера. Интенсивное развитие метода инерциальной навигации началось в послевоенные годы; значительный вклад в развитие теории инерциальной навигации в этот период в нашей стране внесли В. Д. Андреев, Е. А. Девянин, С. П. Дмитриев, Н. А. Парусников и многие другие ученые. В настоящее время широкие исследования в области инерциальной навигации ведутся во многих учреждениях — в частности, в лаборатории управления и навигации Московского государственного университета под руководством А. А. Голована и И. А. Парусникова.
Информация в инерциальных навигационных системах формируется на основании показаний чувствительных элементов, к которым относятся акселерометры и датчики угловой скорости, или гироскопы. В показаниях этих чувствительных элементов содержатся ошибки, которые со временем приводят к накоплению ошибок определения координат, скоростей и углов ориентации объекта. Таким образом, один из путей повышения точности решения навигационной задачи заключается в оценивании инструментальных ошибок и введении соответствующих поправок в показания чувствительных элементов. Определение указанных ошибок называется калибровкой.
Проблема калибровки инерциальных навигационных систем исследовалась, начиная с 1970-х гг., во многих научных учреждениях и специализированных предприятиях. Однако, несмотря на значительное количество исследований, посвященных проблеме калибровки, и существенные успехи, достигнутые в этой области, общая целостная и методически корректная теория, которая содержала бы подробное математическое исследование этой проблемы, до сих пор отсутствует. Часто на предприятиях ограничиваются приближенными «инженерными» алгоритмами, основанными на хорошей профессиональной интуиции и дающими приемлемые (а иногда и весьма точные) оценки параметров моделей; при этом суждения об эффек-
тивности алгоритмов калибровки выводятся из окончательного поведения инерци-альной системы на штатных траекториях. Подобные алгоритмы часто позволяют успешно решать конкретные задачи; однако, при таком подходе источники основных погрешностей остаются недостаточно ясными, а предельно допустимые точности оценивания не обсуждаются, и, следовательно, усовершенствование алгоритмов калибровки затруднено. Отметим, что эпизодически доступные западные публикации не содержат внятного анализа ключевых этапов калибровки, определяющего ее эффективность. Поэтому описание алгоритмов калибровки со строгих математических позиций представляется актуальным.
Наиболее эффективным является подход к решению задачи калибровки, основанный на теории оценивания в линейных динамических системах. В соответствии с этим подходом задача калибровки рассматривается как задача оценивания вектора ошибок инерциальной навигационной системы по измерениям выходных сигналов инерциальной системы и, возможно, по некоторым внешним измерениям. Классические методы оценивания исходят из предположения, что вероятностные характеристики ошибок измерений известны; в частности, в задаче калибровки бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС) часто полагают, что флуктуационные ошибки чувствительных элементов описываются процессами типа белого шума. Это предположение приводит к методам оценивания, подобным методу наименьших квадратов или фильтру Калмана. Однако на практике не всегда можно с достаточной уверенностью сделать какие-либо предположения относительно статистических характеристик ошибок измерений; в этом случае представляется целесообразным применение гарантирующего подхода, который обеспечивает оптимальную оценку параметров в предположении ограниченности модулей ошибок измерений известными величинами. Широкое развитие гарантирующих методов оценивания началось в 60-е годы XX века; значительный вклад в разработку этих методов внесли Н. Н. Красовский, А. Б. Куржанский, М. Л. Лидов, Ф. Л. Черно-усько, П. Е. Эльясберг, X. Витценхаузен, П. Хьюбер, Ф. Швеппе и многие другие отечественные и зарубежные ученые. Гарантирующий подход с успехом применяют и для решения навигационных задач.
Цель работы. Цель диссертации состоит, во-первых, в разработке итерационного алгоритма калибровки блока акселерометров БИНС, основанного на использо-
вании гарантирующего подхода, и, во-вторых, в математической формализации методики стендовой калибровки БИНС, разработанной в Московском институте электромеханики и автоматики, и в исследовании этой методики в рамках стандартной постановки задач оценивания.
Достоверность и обоснованность. Результаты, полученные в диссертации, обоснованы при помощи методов и соотношений теоретической механики, теории оценивания, инерциальной навигации и линейной алгебры. Проведенные вычисления и результаты моделирования разработанных алгоритмов подтверждают их корректность.
Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты.
Разработан итерационный алгоритм калибровки блока акселерометров БИНС, основанный на использовании гарантирующего подхода; проведено подробное исследование второй итерации.
Разработана строгая математическая формализация методики стендовой калибровки БИНС. Построена динамическая система «телескопической» структуры, позволяющая погрузить рассматриваемую методику, содержащую многократные перезапуски и выставки системы, в русло стандартной постановки задач оценивания.
Теоретическая и практическая ценность. Проведенное исследование привносит методическую ясность в проблему калибровки. Полученные в работе соотношения могут быть использованы при исследовании существующих и при разработке новых алгоритмов калибровки. Разработанные методы могут быть эффективно применены на специализированных предприятиях.
Обсуждение работы и публикации. Результаты диссертации докладывались на научном семинаре им. А. Ю. Ишлинского кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ (2007, 2008 и 2011 гг.), на IX и X Конференции молодых ученых в ЦНИИ «Электроприбор», Санкт-Петербург (2007 и 2008 гг.), на Научной сессии МИФИ (2008 г.), на XV Санкт-петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам в ЦНИИ «Электроприбор» (2008 г.), на XVII международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» в г. Алушта (2008 г.). Основные результаты диссертации были опубликованы в восьми работах, список которых приведен в конце
автореферата. Работа над диссертацией выполнялась при поддержке РФФИ (грант № 08-08-00904-а).
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы (81 наименование) и пяти приложений. В работе приведены 10 рисунков и 11 таблиц. Объем основной части диссертации (без приложений) составляет 167 страниц, общий объем — 215 страниц.
Стандартная форма задачи оценивания
Полученные в рамках теории гарантирующего оценивания положения п? ч, s = 1,..., 18, являются «наиболее информативными». Поэтому их разумно включить в планы экспериментов и при других подходах к оцениванию — например, при использовании метода наибольшего (максимального) правдоподобия или метода наименьших квадратов.
При составлении итогового плана калибровки естественно пытаться сократить число положений, из которых состоит план эксперимента (без существенной потери в точности) для уменьшения общего времени калибровки. Укажем, во сколько раз ухудшатся предельно достижимые точности оценивания параметров А з, А53, А23, если сокращать число «диагональных» экспериментов. Обсудим только случай оценивания параметра А2, так как остальные случаи рассматриваются аналогично с тем же результатом.
Итак, пусть для оценивания параметра А2 вместо указанных выше четырех положений п?7ч, п?8ч, П/L, пУщ будут использованы обязательные для оценивания других параметров «вертикальные» положения njL, п% , п% п94у и только два (вместо четырех) ортогональных «диагональных» положения: например, п?7ч и п?10у Тогда, анализируя соответствующие двойственные экстремальные задачи, можно показать, что точность оценивания параметра Д2 будет равна (2 + \/2)Nmax, т. е. ухудшится примерно в 1, 7 раза. Если вместо двух ортогональных положений п?7ч, п?щ использовать антиколли-неарные «диагональные» положения — например, п?7ч и п?дч (вместе с «вертикальными» положений опять будет шесть), то точность оценивания параметра Д2 будет равна (3 + y/2)NmdX, т. е. ухудшится примерно в 2,2 раза. Если сокращать количество положений и дальше и использовать лишь одно диагональное положение — например, г??7ч (вместе с «вертикальными» положений будет пять), то точность оценивания параметра Д2 будет равна (2 + 2л/2)А7тах, т. е. ухудшится примерно в 2,4 раза. Судить о приемлемости такого сокращения числа положений с указанным ухудшением точности можно лишь после предварительного задания допустимой точности оценивания углов перекосов. Подытожим наши рассуждения в виде следующей наглядной таблицы. Положения блока Точность Ухудшение точности Итак, в данном параграфе рассматриваемая задача сведена к стандартной форме задач оценивания; приведен оптимальный план измерений, построенный с использованием гарантирующего подхода. Выведем в этом параграфе типичные расчетные соотношения, позволяющие получить оценки параметров блока. Получим расчетную калибровочную систему, учитывающую неидеальность установки блока акселерометров в приведенные выше положения оптимального плана. Установка блока акселерометров в предписанные положения осуществляется с помощью поворотного стола (или карданова подвеса), управление которым не может быть абсолютно точным. Поэтому указанные положения п?., s = 1,...,18, нельзя воспроизвести в точности. Тогда, устанавливая блок в близкие к п9 положения, информация о которых задается векторами n(s), s = 1,..., 18, построенными по показаниям угловых датчиков поворотного стола, составим следующую итоговую калибровочную систему:
Об одном способе выбора расчетной системы координат
Из табл. 1.1—1.3 видно, что в рассмотренных примерах вторая итерация позволяет добиться существенного улучшения точности оценки параметров блока акселерометров. Так, в примере 1 происходпт значительное (в 7 раз) улучшение точности оценивания параметра сц, а также существенное (в 3—5 раз) улучшение точности оценивания параметров с22, с3з п сі2- В примере 2 на второй итерации происходит значительное (почти в 10 раз) улучшение точности оценивания параметра Сіг и заметное (в 1,5—2,5 раза) улучшение точности оценивания параметров сц, С22, сзз и cX3. В примере 3 происходит значительное (почти в 10 раз) улучшение точности оценивания параметра е\ и существенное (в 3—5 раз) улучшение точности оценивания параметров сц, с22, с3з и сі2.
Отметим, что в табл. 1.1—1.3 приведены «крайние» случаи, в которых благодаря подбору параметров ошибка оценки на первой итерации близка к максимальным значениям, определяемым соотношениями (1.3.9). Поскольку цель исследования состоит в определении параметров блока в том числе и при самых неблагоприятных комбинациях параметров, то рассмотрение подобных «крайних» примеров является необходимым. Кроме того, небезынтересным представляется также проведение усредненного статистического анализа. Такое исследование было выполнено: была проведена серия из 10000 экспериментов, моделирующих описанный выше алгоритм калибровки. В каждом из экспериментов значения углов в\8 , (р\ , трі, инструментальных, непараметрических ошибок и ошибки информации о величине д выбирались как независимые случайные величины, равномерно распределенные в следующих границах:
Из табл. 1.4 видно, что вторая итерация и в среднем дает улучшение точности оценки параметров блока акселерометров. Как было указано выше, в табл. 1.1—1.3 приведены некоторые «крайние» примеры: ошибки оценки некоторых параметров на первой итерации были достаточно велики, поэтому вторая итерация обеспечивала существенное улучшение точности оценивания. При рассмотрении же параметров, определяемых случайным образом, в значительной доле экспериментов уже первая итерация будет давать умеренные ошибки оценивания, и вторая итерация обеспечит не столь высокое улучшение точности оценивания. Этим и объясняется существенно меньшее улучшение точности в табл. 1.4 по сравнению с табл. 1.1—1.3. В главе 1 подробно описана общая методика калибровки блока акселерометров, позволяющая определить ошибки масштабных коэффициентов, систематические смещения и взаимные углы перекосов осей чувствительности блока. При этом решение задачи калибровки сведено к решению задачи пространственного гарантирующего оценивания. Проведен тщательный анализ точности оценивания параметров блока. Отличительной особенностью проведенного исследования является детальный анализ второй итерации, позволяющей повысить точность оценивания параметров. Описаны результаты моделирования, подтверждающего улучшение точности оценивания параметров на второй итерации. Изложенный подход позволяет провести декомпозицию исходной полной проблемы калибровки, сделав ее доступной для аналитического исследования и, тем самым, более контролируемой. В данной главе проведено математическое исследование алгоритма стендовой калибровки БИНС, разработанного в Московском институте электромеханики и автоматики (МИЭА) [18]. Построена «телескопическая» система, позволяющая описать алгоритм калибровки в рамках стандартной постановки задач оценивания. Получены оценки точности определения инструментальных погрешностей блока акселерометров и блока датчиков угловой скорости. Введем общие обозначения, которые будут многократно использоваться в настоящей главе. Обозначим через узиА соответственно широту и долготу места проведения эксперимента, через и — модуль угловой скорости вращения Земли. Введем обозначения щ = 0, «2 = wcostp, щ = usinip; через а будем обозначать большую полуось земного эллипсоида, через д — модуль ускорения силы тяжести в месте проведения эксперимента. Через Еп обозначим единичную матрицу п х п. В некоторых местах для придания записям большего изящества будем опускать индекс размерности, обозначая единичную матрицу просто через Е, если из контекста явно видна ее размерность. Ліатематическое ожидание произвольной случайной величины () будем обозначать через М(), а ее дисперсию — через D().
Динамическая система уравнений в блочном виде
Введем общие обозначения, которые будут многократно использоваться в настоящей главе.
Обозначим через узиА соответственно широту и долготу места проведения эксперимента, через и — модуль угловой скорости вращения Земли. Введем обозначения щ = 0, «2 = wcostp, щ = usinip; через а будем обозначать большую полуось земного эллипсоида, через д — модуль ускорения силы тяжести в месте проведения эксперимента. Через Еп обозначим единичную матрицу п х п. В некоторых местах для придания записям большего изящества будем опускать индекс размерности, обозначая единичную матрицу просто через Е, если из контекста явно видна ее размерность. Ліатематическое ожидание произвольной случайной величины () будем обозначать через М(), а ее дисперсию — через D(). Символом р, как и в главе 1, будем для произвольного вектора р = (рі,Р2,Рз)г обозначать соответствующую ему кососимметрическую матрицу: Верхним индексом «т», как и в главе 1, будем обозначать операцию транспонирования вектора или матрицы. Наконец, через 5 обозначим символ Кронекера. Построим в этом параграфе модель блока акселерометров и модель погрешностей блока датчиков угловой скорости, учитывающие ошибки масштабных коэффициентов, смещения нуля, углы перекосов осей чувствительности блоков и разнесение чувствительных масс акселерометров. Модель показаний блока акселерометров была введена в параграфе 1.1. В данной главе, однако, эта модель будет представлена в неколько ином виде: во-первых, вместо строительной системы координат Ор будет рассмотрена некоторая специальным образом выбранная приборная система координат Oz, что несколько изменит выражения, определяющие показания блока; во-вторых, в модель будут добавлены слагаемые, возникающие при вращении БИНС из-за разнесения чувствительных масс акселерометров. Введем приборный трехгранник, материальной основой для которого является блок акселерометров, следующим образом. Центр М приборного трехгранника Mz поместим в точку расположения чувствительной массы первого акселерометра. Вторую ось Mz2 направим параллельно оси чувствительности второго акселерометра. Третью ось Mzs направим перпендикулярно осям чувствительности первого и второго акселерометров так, чтобы она образовывала малый угол с осью чувствительности третьего акселерометра. Первую ось Mz\ направим так, чтобы оси Mz\, Mzi и Mz3 образовывали правый ортогональный трехгранник. Отметим, что введенный таким образом приборный трехгранник жестко связан с корпусом БИНС. Обозначим через щ, г = 1,2,3, единичный направляющий вектор оси чувствительности г-го акселерометра. Отметим, что из-за неидеальности установки акселерометров по осям приборного трехгранника векторы ах и а3 неколлннеарны осям Mz\ и Mzz соответственно. Пусть проекции единичных векторов аг на оси Mz имеют вид где величины /хі2, //зі! А 32 «С 1 описывают несоосность осей чувствительности с приборными осями. Наличие нулей в выражениях для щ объясняется тем, что, согласно описанному выбору направления осей приборного трехгранника, (аг, ег3) = О, (аг, е.гз) = 0) (а2, егі) — (ег2, егі) = 0, где Є-І — единичный направляющий вектор оси Ozi, в этом состоит отличие от случая, рассмотренного в главе 1 (см. (1.1.4)). Чувствительные массы второго и третьего акселерометров, вообще говоря, не совпадают с точкой М; это разнесение дополнительно искажает показания акселерометров (в особенности при большой угловой скорости вращения приборного трехгранника), что приводит к необходимости учитывать этот факт и оценивать, наряду с другими параметрами блока, и разнесение чувствительных масс. Получим базовые соотношения, позволяющие учесть этот эффект. Будем полагать, что все повороты корпуса БИНС в рассматриваемой задаче осуществляются вокруг точки М, которая, как было указано выше, совпадает с точкой расположения чувствительной массы первого акселерометра. Замечание. Вообще говоря, эти две точки могут и не совпадать, что приведет к появлению дополнительных слагаемых в уравнениях ошибок БИНС. Так, в динамических уравнениях ошибок (3.3.32), во-первых, уже нельзя полагать VZx = 0, и, во-вторых, другим будет выражение для вектора инструментальных погрешностей. Однако в рассматриваемой задаче вносимые в уравнения ошибок искажения будут являться пренебрежимо малыми, в самом деле: при описанных ниже, в разделе 2.3.2, движениях БИНС порядок величины VZx составит около Ю-2 -f- Ю-1 м/с. Тогда произведения /3xiVZx, $x/uxVZx, uxfijVz и vZxVZx будут являться пренебрежимо малыми в силу малости величин fix , их и vZx. Искажением инструментальных погрешностей также можно пренебречь, как будет показано в конце данного параграфа (раздел 2.2.5).
Можно было бы ожидать, что скоростные измерения также будут искажены, поскольку, опять же, VZx, вообще говоря, уже не равно 0. Однако, как будет указано ниже, измерения относительных скоростей осуществляются только в те моменты времени, в которые БИНС неподвижна, то есть VZx = 0. Таким образом, искажения в скоростные измерения не вносятся.
В соответствии с приведенным замечанием будем без ограничения общности полагать точку, вокруг которой осуществляется поворот, совпадающей с точкой М расположения чувствительной массы первого акселерометра. Пусть чувствительная масса і-то акселерометра расположена в точке МІ (жестко связанной с корпусом БИНС), a WM, И и м суть векторы абсолютных ускорений точек МІ И М соответственно. Положим № = ММІ (отметим, что № = 0 в силу выбора точки М). Через иі обозначим вектор абсолютной угловой скорости вращения приборного трехгранника Mz (жестко связанного с корпусом БИНС). Тогда по известной кинематической формуле (теореме Ривальса [69])
«Телескопическая» система в непрерывном времени
Сформулируем теорему, позволяющую получить удобное выражение для переходной матрицы динамической системы.
Для реализации фильтра Калмана необходимо перейти от динамической системы в непрерывном времени (2.4.1) к эквивалентной ей дискретной, а для этого необходимо вычислить переходную матрицу системы (2.4.1). Однако явное вычисление входящих в A(t) членов, содержащих ф{і), не представляется возможным, поскольку функция ф{І) явно неизвестна и может принимать весьма большие значения в окрестностях концов отрезка [ti, 2]- Соответственно, и явное вычисление переходной матрицы Ф(, s) представляется затруднительным. Приведенная ниже теорема позволяет решить проблему. где Фі(, s) — переходная матрица усеченной системы w(t) = Ai(t)w(t) с матрицей Ai(t). В справедливости теоремы легко убедиться непосредственной подстановкой. Удобство такого подхода заключается в том, что все элементы матрицы Ai(t), в отличие от A(t), можно явно вычислить. Вычисление интеграла для произвольных t, s невозможно по указанным выше причинам, однако в этом и нет необходимости, поскольку после проведения дискретизации уравнений ошибок вычисление этого интеграла оказывается необходимым не для произвольных, а лишь для некоторых дискретных моментов времени. При определенном выборе этих моментов интеграл поддается явному приближенному вычислению (соответствующие формулы приведены в Приложении 1). Итак, в данном параграфе представлена в явном блочном виде динамическая система, описывающая поведение уравнений ошибок БИНС в каждой из калибровочных операций. Получено выражение для переходной матрицы системы. 1В этом параграфе получим дискретную систему, эквивалентную приведенной ранее непрерывной динамической системе (2.4.1); получим также соответствующие ей выражения для вектора случайных возмущений, переходной матрицы, вектора измерений, начальной ковариационной матрицы и математического ожидания начального значения вектора состояния. Приведем общий вид дискретной системы, эквивалентной непрерывной динамической системе (2.4.1). Выберем в качестве узлов дискретизации моменты времени 0, tx, t2, з- В соответствии с формулой Когаи непрерывную систему (2.4.1) можно представить в дискретном виде
