Содержание к диссертации
введение 4
глава i. кинематические и динамические характе
ристики физических систем 15
1. Унифицированное множество переменных 15
2. Кинетическая энергия и коэнсргия 18
3. Потенциальная энергия и коэнергия 22
4. Диссипативная функция и кофункция 26
5. Диаграмма Пойнтера 30
б. Понятие пространства конфигураций и фазового про
странства систем различной физической природы 31
7. Обобщенные координаты 34
8. Свободные и несвободные системы. Связи и их классифи
кация 36
9. Вариационные понятия 46
-
Классификация перемещений 46
-
Виртуальная работа 49
-
Идеальные связи 52
-
Классификация усилий 55
ГЛАВА П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВ
НЕНИЯ ДИНАМИКИ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ 63
1. Уравнения динамики в форме Лагранжа 63
1.1. Построение уравнений динамики относительно обоб
щенных координат 64
2. Определение множителей Лагранжа 73
2.1. Определение реакций голономных связей 73
2.2. Определение реакций неголономных связей 78
3. Уравнения динамики в форме Гамильтона 82
3.1. Уравнения динамики системы в канонических
переменных 83
4. Определение реакций связей 86
-
Определение реакций голономных связей в канонических переменных 86
-
Определение реакций неголономных связей в канонических переменных 89
ГЛАВА III. СТАБИЛИЗАЦИЯ СВЯЗЕЙ 95
1. Устойчивость многообразия. Основные определения 96
2. Условия устойчивости интегрального многообразия 99
ГЛАВА IV. УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИ
ЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 104
1. Уравнения динамики системы 105
2. Приведение уравнений динамики к системе дифференци
ально-алгебраических уравнений 110
3. Решение системы дифференциально-алгебраических урав
нений динамики 117
4. Результаты численных экспериментов 118
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 122
ЛИТЕРАТУРА 123
Введение к работе
Актуальность темы. Физическое моделирование - научная задача, которая основывается на глубоком проникновении в явление (в процесс). Оно призвано разрабатывать экспериментальные и теоретические методы исследования с целью получения достоверных результатов и рекомендаций для решения практических задач. Альтернативой физическому моделированию является математическое моделирование, получившее интенсивное развитие в последние десятилетия XX века. Математическое моделирование - это, как правило, построение и численное решение алгебраических, дифференциальных или интегральных уравнений, вытекающих из применения законов механики, физики, химии, биологии, экономики к решению конкретных задач. Области математики, физики, информатики, вопросы обработки экспериментов, разделы вычислительной техники и другие вопросы математического моделирования довольно подробно освещены в [33]. О современном значении методов математического моделирования можно судить и по работам [14, 65]. Также в работах [10, 40, 45, 49, 50] предлагается решение задачи моделирования динамики управляемых систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.
Среди разнообразных явлений различной физической природы нередко можно встретить похожие явления, обнаруживающие одинаковые признаки и закономерности. В таких случаях говорят о физических аналогиях, или аналогичных системах. Физические аналогии, существующие между электрическими, механическими, акустическими и другими системами, давно с успехом используются при исследованиях и расчетах. Методы, основанные на применении аналогий, в ряде случаев оказываются весьма плодотворными при решении задач. Они позволяют использовать методы аналитической механики для исследования систем различной физической природы.
Моделирование систем различной физической природы представляет собой построение аналитических выражений, которые в полной мере описывают изменение свойств фазового состояния таких систем. При моделировании различных явлений можно встретиться с полным или частичным совпадением математических моделей, описывающих поведение объектов различной физической природы методами аналитической механики [11, 17, 28, 54].
Более подробный обзор литературы, научное развитие применения "физических аналогий", а также проблемы, возникающие при систематизации физических величин, представлены в обзорных статьях Когана И.Ш. [26, 27].
При построении математических моделей существенное значение приобретает систематизация физических величин, характеризующих кинематику и динамику исследуемого процесса. Этой проблемой занимаются ученые, начиная с XIX века. В 30-х годах XX века быстрое развитие получила теория физических (динамических) аналогий, которая в основу систематизации физических величин положила основное уравнение движения, или, как его еще называют, уравнение динамики, откуда и появился термин "динамические аналогии". Физические аналогии предполагали механическое прямолинейное, механическое вращательное движение, акустические и электрические процессы. Они получили широкое практическое применение, особенно в прикладной акустике, в теории электрических и механических цепей, в аналоговой вычислительной технике. В дальнейшем динамические аналогии были распространены и на гидродинамику малых скоростей и давлений с добавлением гидродинамической формы, принимая в качестве изменения координаты состояния изменение объема, изменение массы или изменение веса протекающей жидкости или газа.
Исследование динамических аналогий с общей точки зрения было проведено американским акустиком Г. Ольсоном (1943) [52]. Основными физическими величинами в [52] предполагались механические показатели: масса, длина и время, имеющие соответствующие аналоги для электрических и акустических систем.
Использование физических (динамических) аналогий показывает, что яв- ления различной физической природы могут рассматриваться в рамках единого математического аппарата.
На современном этапе приоритетной целью использования информации является управление. В общем плане управление можно трактовать как организацию целенаправленного взаимодействия информации, энергии и объекта управления. Универсальность принципов управления позволяет применять их к объектам любой природы: техническим, технологическим, производственным, экономическим, экологическим и социальным [22]. Автоматическое управление - это такая технология, которая использует обратную связь для улучшения функционирования объектов.
Вопросами управления занимались и занимаются множество ученых всего мира. В частности в [4] рассмотрены задачи управления системами при случайных возмущениях их параметров, современные численные методы теории управления, оптимальное управление детерминированными системами. В работе [44] устанавливается связь между решением задачи управления программным движением механической системы и задачей построения систем дифференциальных уравнений первого порядка, частные интегралы которой известны.
Изменение свойств фазового состояния многих механических, электрических систем и систем иной физической природы описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Возможности и правила составления дифференциальных уравнений определяются знанием законов той области наук, с которой связана природа изучаемой задачи. Так, например, в механике могут использоваться законы Ньютона, в теории электрических цепей — законы Кирхгофа, в теории скоростей химических реакций — закон действия масс и так далее. В частности, в работе [56] рассматривается множество примеров моделирования систем различной физической природы. В работе [55] изложены методы и алгоритмы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Применение каждого метода также продемонстрировано на решениях типовых и нетиповых примеров, охватывающих различные приложения к задачам механики, экономики, расчета электрических цепей и биологических систем. В [43, 70, 71, 74] предлагается численный метод решения дифференциально-алгебраических уравнений индекса-2.
При исследовании качественных свойств систем различной физической природы, моделируемых обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, большое теоретическое и прикладное значение имеет изучение свойств устойчивости динамики указанных систем.
Исследование проблем устойчивости является традиционным разделом математики. Это вызвано, прежде всего, большой важностью понятия устойчивости для прикладных наук. Так, решение различных задач по приближенным исходным данным, интерпретация решений и наблюдений, вопросы численного счета и другие прикладные проблемы непосредственно связаны с устойчивостью.
Исследованиями устойчивого или неустойчивого движения механической системы и построением устойчивых механических систем занимались многие механики и математики. Трудами Н.Е. Жуковского, A.M. Ляпунова, А. Пуанкаре [34, 35, 59, 69] были созданы основные методы современной теории устойчивости. В настоящее время теория устойчивости является таким разделом теоретической механики, методы которого применимы для исследования устойчивости не только механических систем, но и систем другой физической природы.
Для обеспечения устойчивости и асимптотической устойчивости вместо уравнений связей используются уравнения программных связей, уравнения возмущений связей. Основным методом изучения устойчивости систем является метод функций Ляпунова. Этот метод, созданный первоначально как метод анализа устойчивости движения систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, нашел затем более обширную сферу применения. В настоящее время он является основным строгим методом анализа разнообразных динамических свойств нелинейных систем самой различной природы и формы описания. Использование второго метода Ляпунова для исследования устойчивости позволило сформулировать достаточные условия устойчивости программных многообразий, условия равномерной устойчивости, условия устойчивости на конечном интервале времени, абсолютной устойчивости, условия устойчивости по части переменных и орбитальной устойчивости для механических систем, движение которых описывается дифференциальными уравнениями первого порядка. Результаты исследований по этим вопросам изложены в работах [16, 35, 37 - 39, 43, 44, 45, 47, 61, 62, 64]. В [43] устойчивость многообразия, соответствующего дифференциально-алгебраическим уравнениям, достигается введением уравнений программных связей и соответствующим построением уравнений возмущений связей.
Построение решения уравнений динамики систем различной физической природы предполагает использование численных методов [63, 66], Построение и решение системы дифференциальных уравнений проводится с помощью интегрированной системы компьютерной символьной математики Maple 7 [20, 21], которая позволяет автоматизировать математические вычисления - как численные, так и символьные.
В последние годы развитие систем программирования в нашей стране и за рубежом привело к созданию различных систем автоматизации вычислений, позволяющих в значительной степени сократить объемную рутинную работу по проведению стандартных математических выкладок при разработке математических моделей материальных объектов. Успешно развиваются численные методы [63, 66, 74], методы решения инженерных и математических задач и методы выполнения аналитических выкладок с помощью компьютера в системе аналитических вычислений MAPLE [20, 21]. Стали возможны вывод и анализ уравнений движения с помощью ЭВМ на качественно более высоком уровне. Множество литературы [15] посвящено применению численно-аналитических методов и систем аналитических вычислений (компьютерной алгебры) к получению и анализу уравнений движения, изучаемых в современном курсе теоре- тической механики.
В диссертации рассмотрены задачи, решение которых позволило выработать некоторые новые подходы к моделированию управления систем различной физической природы. Построение методов анализа таких систем требует некоторой систематической классификации физических составляющих объектов и процессов. Разработаны эффективные методы моделирования динамики систем различной физической природы. В системах управления возникает необходимость исследования устойчивости динамики систем относительно уравнений связей. Для решения проблем, возникающих при разработке методов, требуется широкий системный подход ко всему комплексу решаемых задач. Актуальность предложенных методов обусловлена тем, что они применимы к широкому классу систем.
Объект исследования. Моделирование и управление динамикой систем различной физической природы.
Предмет исследования. Системы, составленные из элементов различной физической природы.
Цель диссертации:
Анализ способов систематизации физических величин, характеризующих кинематическое состояние и динамические показатели систем различной физической природы.
Изучение возможностей применения методов аналитической механики для исследования динамики систем различной физической природы.
Построение уравнений динамики систем различной физической природы с голономными и неголономными программными связями в обобщенных координатах и в канонических переменных.
Определение условий стабилизации связей, определяющих программное изменение свойств фазового состояния систем различной физической природы.
Приведение кинематических соотношений и уравнений динамики систем различной физической природы к соответствующей системе дифференци- ально-алгебраических уравнений.
6. Разработка методов моделирования динамики электромеханической системы, обеспечивающих стабилизацию.
Методы исследования. В диссертации использовались методы классической и аналитической механики, теории устойчивости движения, численные методы и методы компьютерной алгебры.
Научная новизна. Разработаны методы моделирования динамики систем различной физической природы. Разработан эффективный в вычислительном плане метод составления уравнений динамики систем различной физической природы в форме уравнений Лагранжа и уравнений Гамильтона, обеспечивающих стабилизацию связей. Для интегрирования уравнений динамики разработаны эффективные алгоритмы, которые обеспечивают выполнение условий устойчивости. Разработан алгоритм моделирования динамики электромеханической системы, обеспечивающий устойчивость численного решения уравнений динамики.
Практическая значимость. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при исследовании устойчивости динамики электромеханических систем аналитическими и численными методами, в механике управляемого движения, при решении задач управления динамикой систем различной физической природы, роботами-манипуляторами, транспортными и космическими системами.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались: на XXXVIII - XLI Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, Российский университет дружбы народов, 2002 - 2005 г.г.); на межрегиональной научно-практической конференции "Инновационные процессы в области образования, науки и производства" (Нижнекамск, Нижнекамский химико-технологический институт, 2004 г.); - на международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, Казанский государственный университет, 2004 г.).
Публикации: основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. Уравнения динамики управляемых систем // Тезисы докладов XXXVIII Всероссийской научной конференции по проблемам математики, ин форматики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дис циплин. М, Изд-во РУДН, 2002 г., С.63.
Уравнения динамики управляемых систем // Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика, № 1, 2002, С. 80-82.
Управление динамикой электромеханических систем // Тезисы докладов XXXIX Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М, Изд-во РУДН, 2003 г., С. 56-57.
Управление динамикой электромеханических систем // Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика, № I, 2003, С. 63-71.
5. Уравнения динамики электромеханических систем в канонической форме // Межвуз. сб. научных трудов. Проблемы механики и управления. Не линейные динамические системы. Пермь, 2003, Вып. 35, С. 184-191.
Составление уравнений динамики электромеханических систем // Инновационные процессы в области образования, науки и производства: Материалы Межрегиональной научно-практической конференции. - Нижнекамск, 2004. - С. 280-284.
Уравнения динамики электромеханических систем в канонической форме // Тезисы докладов XL Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М, Изд-во РУДН, 2004 г., С. 147-150.
Уравнения динамики управляемой системы в канонических переменных // Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика, № 1, 2004, С. 63-71.
Составление уравнений динамики управляемых систем // Материалы международной научной конференции. Труды центра им. Н.И. Лобачевского, Т. 25. Казанское математическое общество. Актуальные проблемы математики и механики. Казань: Издательство Казанского математического общества, 2004. -С. 284-286.
10. Задача управления системой с программными связями // Тезисы док ладов XLI Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М, Изд-во РУДН, 2005 г., С. 72-73.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы, содержащего 74 наименования. Объем диссертационной работы составляет 129 страниц, работа содержит 38 рисунков и 10 таблиц.
Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, отмечены ее научная новизна и практическая значимость. Дан сжатый обзор литературы, относящейся к теме диссертации. Также во введении кратко излагается содержание работы по главам, и приводятся основные результаты, полученные в диссертации.
В первой главе делается обзор основных понятий и определений, необходимых для решения задач, рассматриваемых в последующих главах. В связи с тем, что в работе рассматриваются системы различной физической природы, определяется так называемое унифицированное множество переменных [72]. Оно включает усилие, расход, импульс и перемещение. Унифицированное множество переменных позволяет обобщить системы различной физической природы и изменение свойств фазового состояния систем описывать аналогичными переменными данного множества. Предлагается использовать понятия энергии и коэнергии, функции и кофункции, для записи этих величин в различных переменных. Все основные динамические величины объединяются в диаграмме Пойнтера [73].
Вводятся понятия связей: наряду с ограничениями, накладываемыми на перемещения и расходы систем, вводятся ограничения, накладываемые на уси-лия систем различной физической природы, а также понятие динамических связей. Все необходимые понятия, описывающие изменения свойств фазового состояния вводятся с точки зрения систем различной физической природы.
Во второй главе составляются дифференциально-алгебраические уравнения динамики систем различной физической природы в форме уравнений Ла-гранжа и в форме уравнений Гамильтона. Кроме того, вводятся понятия уравнений программных связей и уравнений возмущений связей, накладываемых на систему для обеспечения устойчивости. Разработаны методы приведения уравнений в форме Лагранжа к виду, разрешенному относительно старших производных. Представлен метод выражения коэффициентов из уравнений динамики систем в форме уравнений Лагранжа II рода, а также из уравнений динамики в форме уравнений Гамильтона. В этом случае к полученным уравнениям возможно применение численных методов решения. Рассматриваются некоторые примеры составления дифференциально-алгебраических уравнений динамики систем различной физической природы (механической, электрической).
В третьей главе рассматриваются системы различной физической природы с голономными и неголономными связями, динамика которых описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка. В 2 формулируются условия устойчивости, асимптотической устойчивости, а также неустойчивости при изменении свойств фазового состояния таких систем. Аналогами этих условий являются теоремы Ляпунова об устойчивости, а также теоремы об устойчивости интегрального многообразия [46].
Для исследования условий устойчивости строится функция Ляпунова, которая включает уравнения возмущений связей. Производная функции Ляпунова приводится к виду, для которого необходимо определить условия знакоопределенности. Подбирая правые части уравнений возмущений связей, можно добиться выполнения условий асимптотической устойчивости динамики систем различной физической природы. Полученные условия асимптотической устойчивости используются для решения задачи управления динамикой электромеханической системы.
В четвертой главе ставится задача моделирования и решения уравнений динамики системы, содержащей элементы механической и электрической природы, в форме уравнений Лагранжа, обеспечивающих устойчивость многообразия, определенного уравнениями связей. В 1 этой главы описываются кинематические и динамические характеристики системы, вводятся уравнения голо-номных и неголономных связей и строится система уравнений динамики. В дальнейшем полученная система приводится к системе дифференциально-алгебраических уравнений, к которой применяются численные методы. Проведение численных экспериментов позволяет сделать выводы об эффективности применяемых методов.
В заключении указаны основные результаты работы, которые выносятся на защиту.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Р.Г. Мухарлямову за постоянное внимание к работе, многочисленные советы и пожелания которого, высказанные в индивидуальных беседах, оказали большую пользу при написании диссертационной работы.
