Содержание к диссертации
Введение 1
Глава!. Задача гарантирующего оценивания для динамических систем с запаздыванием 6
1 Л. Постановка задачи 6
1.2. Аппроксимирующая задача и ее решение 10
1.3. Оценка уровня не оптимальности приближенного алгоритма фильтрации 17
1.4. Схема вычисления величины Д° 24
1.5. Простейший пример 25
1.6. Заключение к главе 1 , 29
Глава 2. Приближенные решения аппроксимирующей задачи и конструктивные алгоритмы фильтрации 30
2Л. Исходная система определяющих уравнений 30
2.2. Решение системы определяющих уравнений
2.3. Метод малого параметра для приближенного решения системы на отрезке
2.4. Решение уравнений нулевого приближения 37
2.5. Решение уравнений первого приближения 39
2.6. Решение уравнений нулевого и первого приближений в исходных переменных 41
2.7. Приближенные алгоритмы фильтрации 42
2.8. Оценка уровня не оптимальности приближенных конструктивных алгоритмов 44
2.9. Схема вычисления величины Д° 49
2.10. Заключение к главе 2 , 51
Глава З. Колебательная система с одной, степенью свободы 52
3.1. Колебательная система с одной степенью свободы 52
3.2. Классическая среднеквадратическая задача фильтрации 55
3.3. Задача фильтрации при неопределенных статистических характеристиках
3.4. Замечание о не универсальности построенных алгоритмов оценивания 64
3.5. Уровни не оптимальности полученных алгоритмов фильтрации при Pi(i, г) = 0 66
3.6. Заключение к главе 3 69
Заключение .70
Приложение 1. Принцип Лагранжа и элементы теории двойственности—71
Приложение 2. Численные процедуры вычисления уровней не оптимальности приближенных алгоритмов фильтрации 79
Литература
Введение к работе
Во многих динамических процессах будущее состояние процесса зависит не только от текущего состояния, но и от состояния процесса в прошлом. В частности, модель процесса может содержать запаздывание (элемент задержки).
Математическое описание указанных процессов во многих случаях может быть осуществлено при помощи различных типов дифференциальных уравнений с запаздываниями. Такие уравнения также называются уравнениями с последействием или функционально-дифференциальными уравнениями [36, 58, 82, 88, 98, 99].
Отметим, что запаздывание, даже достаточно малое, может существенно влиять на характер решения. Например, приводить к дестабилизации системы, к появлению колебаний, к "слипанию" решений (когда решения с различными начальными условиями после некоторого момента времени совпадают) и т.д.
Приведем несколько примеров физических явлений, для математических моделей которых используются системы с запаздыванием. Системы с запаздыванием появляются в задачах управления механическими объектами, в которых используются регуляторы, зависящие от предшествующей траектории (пропорционально-интегральные и пропорционально-интегрально-диффере1щиалъные регуляторы) [4, 20]. Такие типы регуляторов используются в роботах-манипуляторах [80]. Уравнения с запаздыванием используются для описания процессов управления космонавтом космическим кораблем на орбите в состоянии невесомости. Уравнения с запаздыванием возникают при изучении напряженно-деформированного состояния упругих тел с учетом их взаимодействия с внешней средой [16]. С помощью систем с запаздыванием моделируют работу типовых элементов химико-технологических процессов, содержащих пневматические и гидравлические контуры. Например, физические и химические технологические процессы в реакторах, где запаздывание вызвано конечной скоростью распространения жидкости по тонким трубкам, временем, необходимым для перемешивания жидкостей, временем транспортировки жидкостей и т.д. Системы с запаздыванием широко применяются в теории вязкоупругости для описания напряженно-деформированного состояния некоторых материалов, например, бетона, полимеров, пластмасс, древесины и др. [5]. Инженерные задачи, в которых для описания объекта требовалось учитывать запаздывание, появились еще в первой половине 20-го века. Это, например, задачи о работе турбины при действии на нее гидроудара, о регулировании мощности гидроэлектростанции по водостоку [17], о генераторах СВЧ, об управлении тепловыми процессами [21] и т.д. Запаздывание возникает при передаче на расстояние энергии или сигнала, например, при наблюдении и управлении удаленной динамической системой [4, 26]. Особенно явно запаздывание проявляется при управлении высокоскоростными объектами (самолетами, ракетами и т.д). Например, существенным в системе автоматического управления посадкой самолета является учет запаздывания в реакции тяги на отклонение рычага управления двигателем, а также запаздывание при обработке управляющих сигналов сервоприводами аэродинамических рулей [27]. Использование силовых следящих приводов с инерционными звеньями и зонами нечувствительности приводит к появлению запаздывания при управлении колебаниями деталей машин [28]. Часто запаздывание присутствует в моделях динамики атомного реактора (причины возникновения запаздывания различны: конечное время передачи тепла вдоль элементов циркуляционных контуров, время прогрева реактора, реакция систем управления) [31]. Уравнения с запаздыванием часто используются для описания различных систем живого организма. Например, модель функционирования щитовидной железы, модель системы для поддержания уровня сахара в крови (запаздывание вызвано конечным временем, необходимым для выработки инсулина), модель регулирования артериального давления (запаздывание в барорецепторах), модель процесса кроветворения, модель взаимодействия лекарств с клетками органов [48, 73]. Уравнения с запаздыванием используются в экологии для описание взаимодействия различ ных популяций [64]. При исследовании биологических систем, в которых передача управляющего сигнала связана с такими длительными процессами, как размножение, развитие, вымирание, введение запаздывания позволяет учесть различные факторы, например, неоднородность возраста популяции, конечную длительность времени взаимодействия и жизни, конечность времени, необходимого для принятия внешних сигналов и выработки ответной реакции и т.д. [9, 33]. Уравнениями с запаздыванием описывают процесс полимерной кристаллизации, где характеристики конечного продукта зависят от всей истории процесса изменения температуры и давления. Уравнения с запаздыванием часто применяются при управлении финансами, при описании экономических процессов, таких как колебания цен, колебания товарного предложения, циклов продаж и т.д.
Исследования систем с запаздыванием интенсивно проводятся в различных направлениях [4, 9, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 43, 45, 46, 58, 81, 82, 85, 91,100,101,113]. Особо стоит отметить работу [109], посвященную обзору недавних исследований.
Одним из направлений исследований систем с запаздыванием является гарантирующее оценивание. Классические методы оценивания исходят из предположения, что статистические характеристики ошибок и возмущений известны [7, 52, 62]. Например, известно их вероятностное распределение или известны такие характеристики их распределения как математическое ожидание и матрица ковариаций. Если система описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями и возмущения в ней являются гауссовскими белыми пгумами, то оптимальная оценка доставляется хорошо известным фильтром Калмана-Бьюси [52, 83, 84, 92, 93, 94]. Однако на практике для многих систем часто невозможно получить достаточно большое количество экспериментальных данных, которые позволили бы с нужной точностью определить необходимые статистические характеристики распределений. Поэтому в последние десятилетия стали развиваться методы гарантирующего (минимаксного, робастного) оценивания [39, 44, 47, 49, 50, 71, 72, 75, 76, 90, 91, 102, 106, 108, 110, Ш, 112, 114]. Отметим, что гарантирующий подход для решения механических задач применен еще Б. В. Булгаковым (18].
Одно из направлений новых методов оценивания было инициировано работами П. Хьюбера [89, 90] . В этих работах исходят из предположения, что ошибки измереїшй являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами, однако в отличие от классического случая предполагается, что известен лишь класс распределений, которому принадлежит истинное распределе ниє. Этот подход получил интенсивное развитие в исследованиях Я.З. Цыпкина, Б.Т. Поляка, С.А. Смоляка, Б.П. Титаренко [61, 65, 71].
Другое направление минимаксных методов оценивания возникло из работы М.Л. Лидова [49] при постановке задачи о "наихудшей" корреляции. В этой задаче границы амплитуд возмущений считаются заданными, а их спектральный состав предполагается полностью неизвестным. Основные результаты этого подхода изложены в работах М.Л. Лидова, П.Е. Эльясберга, В.А. Архангельского, Б. Ц. Бахшияна, Л.Ю. Белоусова, М. И. Войсковского, А. И. Матасова, P.P. Назирова, А.Р. Панкова, В.Н. Соловьева [6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 59, 60, 66, 67, 68, 69, 103].
Основополагающий вклад в развитие теории управления и наблюдения в условиях неопределенности внесли работы Н.Н. Красовского, А.Б. Куржанско-го, Б. И. Ананьева, М. И. Гусева, И. Я. Каца, Ф.Л. Черноусько [2, 3, 23, 24, 25, 30, 39, 40, 42, 44, 47, 72, 78, 79]. В них основное внимание уделяется общим вопросам гарантирующего оценивания и их связям с соответствующими разделами выпуклого и функционального анализа и теории управления.
В предлагаемой диссертации развивается направление, основанное на работах М.Л. Лидова [49], [50] и представленное в обзоре [51], которое непосредственно связано с разработкой конструктивных методов гарантирующего оценивания для исследования прикладных задач [22, 53, 54, 55, 56, 57, 86} 87, 96].
В основе многих классических постановок задач оценивания лежит предположение, что возмущения в системе и ошибки измерений являются гауссовскими белыми щумами. В большинстве приложений система содержит и некоторые дополнительные нестохастические сигналы. Предполагается, что эти детерминированные сигналы неизвестны, но принадлежат некоторой ограниченной области (set-membership model) [105, 107]. В этом случае система может быть описана более реалистичной по сравнению с классическим подходом моделью. А именно, возмущения в системе и ошибки измерений представляются суммами гаус-совских белых шумов и неопределенных, но ограниченных детерминированных функций. Ограничения для этих функций считаются заданными. Другими словами, возмущения в системе и ошибки измерений описываются процессами типа белого шума с неизвестными, но ограниченными статистическими характеристиками — математическими ожиданиями и интенсивностями. Аналогичные предположения делаются и для вектора начального состояния системы. Кроме того, предполагается, что все эти процессы взаимно независимы. Так как возмуще ния в системе и помехи в измерениях содержат неизвестные детерминированные составляющие, то для описания качества оценивания вводится гарантированное значение ошибки оценки, которое определяется как максимальное отклонение оценки контролируемого параметра от его точного значения при всех возможных возмущениях в системе, ошибках измерений и векторах начального состояния системы. Ставится задача оптимального гарантирующего оценивания, состоящая в выборе метода оценивания, минимизирующего гарантированное значение ошибки оценки контролируемого параметра.
Таким образом, задача оптимального гарантирующего оценивания сводится к минимаксной задаче. Однако в виду сложности, а часто невозможности нахождения точного решения соответствующей вариационной задачи, целесообразно отказаться от поиска оптимального оценивателя, а воспользоваться конструктивным приближенным алгоритмом фильтрации. При этом необходимо оценить (без нахождения оптимального алгоритма) насколько увеличится ошибка оценки при использовании такого приближенного алгоритма оценивания.
Работа имеет следующую структуру. Первая глава посвящена постановке минимаксной задачи фильтрации для линейных динамических систем с запаздыванием при неопределенных статистических характеристиках действующих на систему возмущений и ошибок измерений и нахождению ее приближенного решения. В этой главе построена оценка уровня не оптимальности некоторого базового приближенного алгоритма оценивания. Во второй главе, в предположении, что запаздывание мало по сравнению со временем наблюдения, для приближенного решения исходной задачи применяется метод малого параметра и строится оценка уровней неоптимальности для новых приближенных алгоритмов, соответствующие нулевому и первому приближению относительно малого параметра (запаздывания). В третьей главе предложенный в работе подход используется в решении задачи фильтрации для механической системы с одной степенью свободы при наличии запаздывания.
Разработанные в диссертации методы построения алгоритмов и их уровней неоптимальности являются полезным инструментом решения задачи фильтрации для систем с запаздыванием. С их помощью могут быть решены многие прикладные задачи фильтрации, возникающие при исследовании механических систем.
