Резонансные и нерезонансные колебания в задачах динамики механических систем Холостова Ольга Владимировна

Содержание к диссертации

ВВЕДЕНИЕ 7

ЧАСТЬ 1.

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ И БЛИЗКИХ К ГАМИЛЬТОНОВЫМ СИСТЕМ ПРИ РЕЗОНАНСАХ

Глава 1.

Резонансные колебания и устойчивость в системах с одной степенью свободы

1. Резонанс в вынужденных колебаниях в гамильтоновой и близкой к гамильтоно-

вой системах 33

2. Параметрический резонанс в гамильтоновой системе 49

Глава 2.

Нелинейные колебания гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при резонансах

1. Периодические движения неавтономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при параметрическом резонансе основного типа 78

2. Нелинейные колебания автономной гамильтоновой системы, близкой к системе с циклической координатой, при внутреннем резонансе 84

ЧАСТЬ 2.

РЕЗОНАНСНЫЕ И НЕРЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ В ЗАДАЧАХ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Глава 3.

Некоторые задачи о движении маятника с вибрирующей точкой подвеса

1. Движения маятника при горизонтальных колебаниях точки подвеса 90

5. Периодические движения, рождающиеся из колебаний и вращений, и их устойчивость 96

Положения равновесия системы с укороченным гамильтонианом .... 103

Существование и устойчивость 27г-периодических движений маятника 104

Глава 4.

Динамика волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса

2. Динамика волчка при колебаниях точки подвеса малой амплитуды 112

72. Периодические движения волчка при резонансе в вынужденных колебаниях 116

3. Высокочастотные периодические движения, близкие к регулярным

прецессиям 122

3. Случай \а'\ф\/3'\ 123

5. Случай а' =-/3' 139

Глава 5.

Некоторые задачи о движении тел, контактирующих с неподвижной поверхностью

1. Периодические движения тела с острием на гладкой плоскости при внутреннем

резонансе 159

2. Об устойчивости двухзвенной периодической траектории тяжелой материальной

3. Периодические движения точки над эллиптической кривой при резонансе четвертого порядка 173

ЧАСТЬ 3. РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ В ЗАДАЧАХ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ

Глава 6.

Резонансные задачи динамики спутника в центральном ньютоновском гра

витационном поле

1. Плоские резонансные колебания спутника на эллиптической орбите ... 176

2. Резонансные движения спутника в геомагнитном поле 183

3. Периодические движения динамически симметричного спутника, близкие к цилиндрической прецессии 186

1969. 11. Случай /5 = 0 188

      12. Случай ар = 2 190

      4. Периодические движения близкого к динамически симметричному спутника в окрестности конической прецессии 193

      Глава 7.

      Периодические движения в ограниченной задаче трех тел при резонансах

      1. Периодические движения вблизи треугольных точек либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел 214

      Введение к работе

      Диссертации посвящена исследованию нелинейных колебаний периодических по времени или автономных гамильтоновых систем при наличии резонансов и приложению полученных результатов к задачам классической и небесной механики. Рассматривается также ряд нерезонансных задач теории нелинейных колебаний и устойчивости.

      Исследование движений механических систем при резонансах является актуальным направлением в теории нелинейных колебаний, теории устойчивости, в задачах классической и небесной механики. Этой проблеме посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов.

      Начало современным методам исследования нелинейных систем положили фундаментальные работы А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре [116, 185].

      А.М.Ляпунов [116] впервые в самой общей постановке рассмотрел задачу об устойчивости движения механической системы и разработал строгие и эффективные методы ее решения. Идеи Ляпунова были развиты его учениками и последователями, в основном, в нашей стране (см., например, монографии [49, 88, 89, 105, 121, 161, 259]).

      А.Пуанкаре [185] разработал теорию периодических решений систем дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Первоначально метод Пуанкаре был предложен для задач небесной механики, позднее он был подробно разработан для аналитических систем общего вида [119, 120, 184, 236, 254].

      Принципиальный вклад в развитие математических методов классической механики внесли А.Н.Колмогоров, В.И.Арнольд, Ю.Мозер [10, 11, 14, 100, 164], создав теорию возмущений условно-периодических движений гамильтоновых и родственных им систем (КАМ-теорию).

      Использование методов КАМ-теории позволило сделать значительный шаг вперед в разработке теории устойчивости гамильтоновых систем, являющихся основными в классической механике. Для нерезонансных случаев вопрос об устойчивости периодических по времени гамильтоновых систем с одной степенью свободы и автономных систем с двумя степенями свободы решается на основании теоремы Арнольда—Мозера [11, 164]. Для многомерных систем получены [11, 13] результаты по устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий; показано, что неустойчивость может обнаружиться только на множестве траекторий малой меры (диффузия Арнольда [12, 14, 71]). Исследована [42, 172, 305, 339] формальная устойчивость, когда движения системы остаются ограниченными на весьма большом, но конечном интервале времени.

      В книгах [99, 232] изложена теория интегрирования систем Гамильтона, обсуждаются причины неинтегрируемого поведения таких систем, дается анализ стохастического слоя в системах, близких к интегрируемым.

      Наиболее интересными для теории и приложений являются резонансные случаи, когда между частотами системы имеются целочисленные соотношения. Резонансные задачи существенно отличаются от нерезонансных: например, наличие резонансов может сделать устойчивую в линейном приближении систему неустойчивой при добавлении нелинейных членов.

      Первые нестрогие исследования влияния резонансов на устойчивость гамильто- новых систем были проведены в работах [277-279, 328]. Некоторые частные случаи неустойчивости периодических по времени гамильтоновых систем с одной степенью свободы при резонансах изучены в работах [73, 85, 162, 163, 169, 332].

      Строгие результаты устойчивости для неавтономных гамильтоновых систем с одной степенью свободы при резонансах третьего, четвертого и высших порядков получены в статье [127]. Устойчивость автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при резонансах третьего и четвертого порядков исследована в работах [125-127, 147], а также другими способами в работах [235] и [128]. Случаи неустойчивости многомерных неавтономных гамильтоновых систем при резонансах третьего и четвертого порядков рассмотрены в работе [128]. Резонансы первого и второго порядков в автономных и неавтономных гамильтоновых системах с двумя степенями свободы изучены в статьях [92, 216, 218, 220] и [78, 79].

      Изложение результатов исследований устойчивости гамильтоновых систем содержится в монографии [130] и обзорах [107, 148]. В работе [107] дается также обзор результатов исследования систем общего вида при резонансах.

      Технически исследование гамильтоновых систем осуществляется путем проведения последовательности канонических замен переменных, приводящих функцию Гамильтона к максимально простому виду (нормальной форме) с учетом специфики задачи. Метод нормальных форм предложен впервые Пуанкаре [341] и к настоящему времени хорошо разработан [43]. Созданы [78, 79, 130, 218] алгоритмы нормализации квадратичной части гамильтониана. Нелинейная нормализация проводится либо при помощи классического преобразования Биркгофа [36], либо при помощи более удобного с точки зрения создания вычислительного алгоритма метода Депри — Хори [60, 130, 293, 318]. В ряде случаев при нормализации периодических по времени гамильтоновых систем используется метод точечных отображений [130]. Изучение свойств коэффициентов нормальной формы функции Гамильтона позволяет сделать выводы об устойчивости или неустойчивости гамильтоновой системы.

      Следующим шагом в развитии теории гамильтоновых систем при наличии резонансов является исследование поведения таких систем не в бесконечно малой, а в конечной окрестности изучаемого движения (положения равновесия или периодического движения); при этом необходимо рассматривать как случаи точного резонанса, так и близкие к резонансным случаи. Возникают задачи о существовании в указанной конечной окрестности периодических движений системы и их устойчивости, о характере и частотах условно-периодических движений. В случае неустойчивости гамильтоновой системы весьма актуальным является вопрос об ограниченности ее траекторий, а также существование траекторий, асимптотических к неустойчивому движению, и исследование стохастического слоя в их окрестности. Актуальным (особенно в задачах небесной механики) является распространение результатов исследования на бесконечный интервал времени.

      Разработке такой теории нелинейных колебаний в ряде резонансных и близких к резонансным случаев движения гамильтоновых систем с одной и двумя степенями свободы посвящена первая, теоретическая часть диссертации.

      Первым этапом является рассмотрение перечисленных проблем для периодических по времени гамильтоновых систем с одной степенью свободы.

      Следует отметить, что к настоящему времени существуют и давно известны исследования конкретных механических систем с одной степенью свободы в резонансных и близких к резонансным случаях. Наибольшее число из них связано с изучением резонансных движений малых планет в плоской ограниченной задаче трех тел (см., например, работы [44, 51, 298, 313, 335, 344, 355] по соизмеримости первого порядка и работы [44, 52, 283, 315, 331] по соизмеримостям второго и высших порядков). Имеются работы по динамике маятника при вертикальных гармонических колебаниях точки подвеса в случае параметрического резонанса [225, 362] и при горизонтальных колебаниях точки подвеса в случае резонанса в вынужденных колебаниях [175, 320, 361].

      В этих и аналогичных работах исследование резонансной задачи ограничивается рассмотрением приближенной (модельной) системы: строятся фазовые портреты, дается классификация траекторий, рассматриваются положения равновесия и их устойчивость и т.п. Наиболее полный перечень фазовых портретов при резонансах в плоской ограниченной задаче трех тел приводится в книге [44]. В ряде работ (например, в [361]) решение уравнения движения строится методом последовательных приближений в виде ряда и отыскивается несколько первых его членов.

      Одной из целей диссертации является обобщение полученных ранее результатов исследования конкретных задач классической и небесной механики и построение теории нелинейных колебаний произвольной периодической по времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансах. Рассмотрены случаи, близкие к резонансу в вынужденных колебаниях, резонансам третьего и четвертого порядков, а также случай точного параметрического резонанса.

      Показано, что построенные ранее для конкретных задач модельные гамильтонианы и фазовые портреты при резонансах имеют универсальный вид для любой гамильтонойвой системы с одной степенью свободы при соответствующем резонансе. Проведен детальный анализ модельных гамильтонианов. При помощи теории периодических движений Пуанкаре и КАМ-теории его результаты перенесены на полную систему: получены строгие выводы о существовании, бифуркациях и устойчивости периодических движений полной системы, исследованы условно-периодические движения, дана оценка области ограниченности движений. Для случая точного параметрического резонанса получена оценка ширины стохастического слоя в окрестности асимптотических движений.

      В работах [138], [137], [135] и [141] аналогичные вопросы решены соответственно для случая, близкого к параметрическому резонансу, для границы области параметрического резонанса, для точного резонанса третьего порядка и критического случая резонанса четвертого порядка.

      В статьях [142, 143, 145, 146, 150] для ряда резонансных случаев исследуются нелинейные колебания и устойчивость автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

      Решению задач о существовании движений, асимптотических к неустойчивому положению равновесия или периодическому движению гамильтоновых систем с одной и двумя степенями свободы в резонансных случаях, посвящены работы [17, 132, 133, 163].

      В диссертации рассмотрен также вопрос о влиянии малых диссипативных сил на число и устойчивость периодических движений близкой к гамильтоновой системы с одной степенью свободы в случае резонанса в вынужденных колебаниях и резонанса четвертого порядка. Случай резонанса третьего порядка в близкой к гамильтоновой системе исследован в статье [136].

      Полученные результаты дают не только теоретическую базу, но и содержат эффективные алгоритмы, которые могут быть использованы при исследовании конкретных задач при соответствующем резонансе. Во второй и третьей частях диссертации в качестве приложений рассмотрены резонансные задачи о движении маятника и волчка Лагранжа с колеблющимися точками подвеса, движении материальной точки над неподвижной поверхностью, а также ряд резонансных задач динамики спутника относительно центра масс.

      Исследования нелинейных резонансных колебаний гамильтоновых систем с одной степенью свободы составляют основу при переходе к изучению гамильтоновых систем с двумя и большим числом степеней свободы при резонансах.

      В диссертации дается строгое решение вопроса о существовании, числе и устойчивости периодических движений близкой к автономной периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при параметрическом резонансе основного типа. Полученные результаты применены к исследованию периодических движений в окрестности треугольных точек либрации плоской эллиптической задачи трех тел и периодических движений динамически симметричного спутника в окрестности его цилиндрической прецессии на слабоэллиптической орбите при указанном резонансе.

      Одна из глав диссертации посвящена исследованию движения автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, близкой к системе с циклической координатой. Предполагается, что в порождающей системе имеется стационарное вращение и отвечающее ему положение равновесия приведенной системы устойчиво в линейном приближении. При этом в системе имеет место внутренний резонанс, когда отношение собственной частоты малых колебаний приведенной системы к частоте изменения циклической координаты близко к целому числу.

      Показано, что наличие описанного резонанса между частотами системы вызывает резонанс в вынужденных колебаниях для позиционной координаты. Эти резонансные колебания обеспечиваются внутренними силами системы, так как для автономной системы полная энергия сохраняется и нет "подкачки" энергии извне. При изучении свойств данной системы использованы результаты исследования гамильтоновых систем с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях, а также метод малого параметра Пуанкаре и КАМ-теория. Построены семейства периодических движений исходной системы с двумя степенями свободы с частотой, близкой к частоте изменения циклической координаты, исследована их бифуркация и устойчивость; изучены условно-периодические движения системы.

      Ранее системы с циклическими и квазициклическими координатами рассматривались в работах [89, 180, 181, 189-193, 195]: исследованы вопросы устойчивости стационарных движений, влияние на устойчивость потенциальных, гироскопических, диссипативных сил, наложенных на систему и т.п. Некоторые вопросы построения приближенных уравнений квазистационарных движений механических систем, близких к системам с циклическими координатами, обсуждаются в работе [202].

      Полученные результаты исследования периодических движений автономных систем, близких к системам с циклическими координатами, при внутреннем резонансе применены в диссертации при решении следующих задач: 1) задачи о близких к регулярной прецессии периодических движениях тяжелого твердого тела по неподвижной абсолютно гладкой горизонтальной плоскости; 2) плоской круговой ограниченной задачи трех тел при построении периодических движений, рождающихся из круговых движений невозмущенной задачи; 3) задачи о периодических движениях близкого к динамически симметричному спутника, рождающихся из его конической прецессии на круговой орбите. В последней из перечисленных задач результаты теории периодических движений автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при внутреннем резонансе обобщены на случай автономной системы с тремя степенями свободы.

      Вторая часть диссертации посвящена исследованию резонансных и нерезонансных нелинейных колебаний и устойчивости в ряде задач классической механики, среди которых задачи динамики маятника и волчка Лагранжа с колеблющейся точкой подвеса, а также задачи о движении тел, контактирующих с неподвижной поверхностью.

      Динамика маятника с колеблющейся точкой подвеса является предметом множества исследований.

      В 1908 г. А.Стефенсон [360] показал, что перевернутое неустойчивое положение равновесия маятника может стать устойчивым в случае высокочастотных вибраций точки подвеса. Эта работа послужила толчком для целого ряда исследований , как зарубежных, так и отечественных авторов, по повышению динамической устойчивости механических систем под воздействием высокочастотных возмущений.

      В работах [15, 86, 87, 111, 294, 317, 327] изучаются различные (линейные и нелинейные) аспекты движения математического маятника при высокочастотных гармонических колебаниях точки подвеса малой амплитуды. Рассматриваются движения точки подвеса вдоль произвольной наклонной оси [15, 317, 327], по вертикали [86, 87, 294], горизонтали [111], при наличии демпфирования [15]. Важный вклад в развитие этой задачи внес П.Л.Капица [86, 87], который рассмотрел физические аспекты проблемы, а также получил условия устойчивости верхнего положения маятника.

      Условия устойчивости верхнего положения физического маятника при быстрых вертикальных вибрациях точки подвеса получены в работе [37]. В монографии [104] исследована возможность стабилизации верхнего положения равновесия математического маятника при помощи условно-периодических колебаний точки подвеса. В книге [225] рассмотрена стабилизация маятника или системы маятников при периодических и условно-периодических вибрациях точки подвеса по вертикали, вдоль наклонной прямой, по эллипсу.

      В статье [5] изучается маятник при высокочастотном квазипериодическом параметрическом возмущении. В качестве возмущения взяты кинематическое возбуждение с помощью вибрации точки подвеса и параметрическое возбуждение посредством изменения длины маятника. Устойчивость положений равновесия математического маятника, маятника переменной длины, упругого маятника при быстрых вибрациях точки подвеса и наличии случайного возмущения изучена в статьях [93, 95].

      В статье [4] исследуются резонансные вращательные движения плоской системы из N связанных математических маятников, точки подвеса которых совершают высокочастотные колебания вдоль наклонных прямых, при этом частоты колебаний соизмеримы. В работе [271] изучается вопрос о стабилизации верхнего положения равновесия п-звенного маятника.

      В большинстве перечисленных работ исследование движения маятника проводится при помощи асимптотических методов. Рассматривается приближенная система уравнений, полученная при помощи метода усреднения, отыскиваются ее стационарные точки ("квазиравновесия" маятника) и исследуется их устойчивость.

      В книге [120] на основании теории периодических движений Пуанкаре дается строгое доказательство существования высокочастотных (с периодом, равным периоду колебаний точки подвеса) движений математического маятника при вибрациях точки подвеса вдоль наклонной прямой. Исследована устойчивость таких движений в линейном приближении.

      В диссертации иным путем, чем в [120], доказано существование высокочастотных периодических движений маятника при косых вибрациях точки подвеса и предложен эффективный алгоритм их построения. Проведен строгий нелинейный анализ устойчивости этих движений.

      Другое направление исследований динамики маятников относится к случаю соизмеримости частоты колебаний точки подвеса с частотой собственных малых колебаний маятника. Субгармонические колебания маятника, когда частота колебаний точки подвеса кратна собственной частоте малых колебаний, исследовались в работах [284, 359, 362, 363] в случае вертикальных и в работах [262, 361, 364] в случае горизонтальных колебаний точки подвеса. В этих работах решения уравнения движения маятника строятся в виде ряда при помощи метода последовательных приближений. Аналитически и численно симметричные субгармонические колебания маятника получены в статье [76].

      Субгармонические колебания маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса в случае, когда удвоенная частота собственных колебаний маятника близка к частоте колебаний точки подвеса, исследована в работе [139]. При помощи методов Ляпунова и Пуанкаре дано строгое решение задачи о существовании и устойчивости колебаний маятника с периодом, равным удвоенному периоду колебаний точки подвеса.

      В статье [50] для случая периодических колебаний точки подвеса маятника по эллипсу рассмотрен случай, когда частота собственных колебаний и вращений маятника близка к (r/s)u, где и — частота колебаний точки подвеса, г и s — взаимно простые числа. Для усредненных уравнений найдены стационарные режимы, исследована их устойчивость в линейном приближении.

      В работах [320, 361] исследован случай резонанса в вынужденных колебаниях, когда частота собственных малых колебаний маятника близка к частоте горизонтальных гармонических колебаний точки подвеса. Установлен факт существования одного или трех решений приближенного уравнения движения маятника, исследована [320] их устойчивость в линейном приближении.

      Кривая ветвления и периодические решения на ней в задаче о движении маятника с горизонтальными колебаниями точки подвеса в случае резонанса в вынужденных колебаниях построены в статье [19].

      В диссертации подробно исследуется уравнение движения маятника, точка подвеса которого совершает горизонтальные гармонические колебания малой амплитуды. Доказывается неинтегрируемость уравнения движения маятника; изучены периодические движения, рождающиеся из устойчивого и неустойчивого положений равновесия маятника, а также из его колебаний с произвольной амплитудой и вращений с произвольной средней угловой скоростью.

      В ряде работ изучается устойчивость относительных равновесий маятника при вертикальных гармонических колебаниях точки подвеса произвольной частоты и амплитуды. В линейном приближении эта задача решена в работах [118, 223, 224]. Строгое решение задачи об устойчивости нижнего положения равновесия маятника для малых амплитуд колебаний точки подвеса изложено в статье [137]. Достаточное условие неустойчивости перевернутого положения маятника получено в работе [38]. Полное и строгое решение задачи об устойчивости относительных положений равновесия маятника на вертикали дано в статье [20].

      В работах [24, 25] аналитическими и численными методами изучаются колебательные и вращательные периодические движения маятника с вертикально колеблющейся осью подвеса, исследуются их бифуркации, области существования и устойчивости (в линейном приближении). В статье [25] изучаются вращательные движения маятника, синхронные с колебаниями его оси, когда за р периодов колебаний оси маятник делает q оборотов.

      В статье [72] рассматривается физический маятник при вертикальных колебаниях точки подвеса произвольной частоты и амплитуды. Исследуется вопрос о существовании и устойчиости (в линейном приближении) периодических колебаний маятника (с периодом, равным удвоенному периоду возмущающего воздействия) и его периодических вращений (с периодом, равным периоду возмущения).

      В работе [165] дано глобальное качественное исследование уравнения маятника с вертикально колеблющейся точкой подвеса при наличии линейного вязкого трения. Проводится анализ резонансных зон, рассматривается поведение решений в колебательной и вращательной областях, в окрестности сепаратрисы, устанавливаются условия существования квазиаттрактора.

      В работах [6, 144, 176, 225, 336] проводится исследование сферического маятника с колеблющейся точкой подвеса. В статье [336] рассматривается случай гармонических колебаний точки подвеса малой амплитуды, когда частота возмущения близка к собственной частоте малых колебаний маятника. Для приближенной системы найдены равновесные точки в случае плоских и пространственных движений маятника, исследована их устойчивость (в линейном приближении).

      В книге [225] исследуется динамическая устойчивость верхнего положения равновесия сферического маятника при вертикальных высокочастотных периодических и условно-периодических вибрациях точки подвеса малой амплитуды.

      Для случая вертикальных высокочастотных гармонических вибраций точки подвеса малой амплитуды в статье [144] решена задача о существовании, бифуркации и устойчивости высокочастотных колебаний маятника вблизи конических движений, для которых маятник составляет постоянный угол с вертикалью и вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью.

      В работе [6] в более общей постановке моделируется динамика сферического маятника, установленного на вертикально вибрирующем основании. Исследование задачи проводится методами теории возмущений. Найдены квазистационарные движения и условия их устойчивости по Ляпунову (для усредненной системы).

      Движение сферического маятника при произвольных (в пространстве) высокочастотных вибрациях точки подвеса изучается в статье [176] при помощи метода усреднения. Перечислены точки равновесия усредненной системы и характер их устойчивости.

      Естественным развитием исследований динамики маятников с подвижной точкой подвеса являются задачи динамики твердых тел, имеющих подвижную точку закрепления. Одна из таких задач — задача о движении волчка Лагранжа с колеблющейся точкой подвеса.

      В 1788 г. Ж.Лагранж во II томе "Аналитической механики" [109] описал свой знаменитый случай интегрируемости твердого тела с неподвижной точкой, когда эллипсоид инерции для неподвижной точки является эллипсоидом вращения, а центр масс находится на оси динамической симметрии.

      Регулярные прецессии волчка Лагранжа впервые рассмотрены в работах [351, 366]. В [351] исследована устойчивость регулярной прецессии по отношению к углу нутации; устойчивость по отношению к угловым скоростям прецессии и собственного вращения рассмотрена в статье [215]. Устойчивость другого частного движения волчка Лагранжа — вращения вокруг оси динамической симметрии, расположенной вертикально ("спящий" волчок), исследована в работе [258].

      Динамика классического волчка Лагранжа с неподвижной точкой подробно описана во всех классических и современных монографиях по динамике твердого тела (см., напр., [16, 39, 56, 58, 59, 96, 117, 188]).

      Исследованию динамики волчка Лагранжа с неподвижной точкой и связанных с ним задач посвящено также значительное количество работ последнего времени.

      В статье [227] доказана частотная невырожденность волчка Лагранжа, если его центр масс не совпадает с неподвижной точкой. В работе [91] введены переменные действие—угол для приведенной системы дифференциальных уравнений (с исключенной циклической координатой), описывающей движения волчка Лагранжа. Переменные действие—угол для полной системы введены в статье [1].

      В работах [21, 22, 47, 48, 64, 65, 160, 167, 201, 212] исследуются движения возмущенного волчка Лагранжа. Показана [201] неинтегрируемость возмущенного случая Лагранжа при малом смещении центра масс с оси динамической симметрии.

      В статьях [47, 48] методом малого параметра Пуанкаре исследуются периодические решения приведенной системы, отвечающей твердому телу с неподвижной точкой и с распределением масс, близким к случаю Лагранжа. При тех же условиях, но для полной системы, в работе [212] методом Пуанкаре доказывается существование семейств периодических решений, которые представляются в виде рядов по степеням малого параметра и близки к периодическим решениям невозмущенной задачи.

      В работах [64, 65] для симметричного и близкого к симметричному твердого тела с центром масс, не лежащим на оси симметрии, исследуется задача о продолжении по малому параметру семейства периодических решений, соответствующих равномерным вращениям вокруг оси симметрии в случае Лагранжа.

      В статье [160] изучается эволюция регулярных прецессий твердого тела, близкого к волчку Лагранжа, в нерезонансном случае. В работе [21] при помощи метода Пуанкаре исследуются несколько семейств периодических и условно-периодических движений близкого к осесимметричному тела с точкой закрепления вблизи центра масс. В статье [22] рассматриваются эволюционные свойства возмущенного движения динамически симметричного тела вокруг закрепленной точки в случае, когда частоты невозмущенного эйлерова движения характеризуются соизмеримостью 1:1.

      В статье [167] при помощи метода теории возмущений Хори исследуется движение тяжелого твердого тела с закрепленной точкой, распределение масс в котором мало отличается от случая Лагранжа, а центр масс расположен достаточно близко к закрепленной точке. Проводится анализ решений усредненных уравнений в нерезонансном случае.

      Ряд исследований посвящен движениям волчка Лагранжа с неподвижной точкой под действием внешних возмущающих сил и моментов различной природы. В статьях [177, 178] изучаются периодические движения волчка Лагранжа или тела, близкого к волчку Лагранжа, в случаях ньютоновского поля тяготения или суперпозиции однородного и ньютоновского полей тяготения. В работе [35] исследуется аналог случая Лагранжа в ньютоновском поле сил в предположении, что проекция угловой скорости на подвижную ось динамической симметрии равна нулю. В статье [8] рассматривается движение волчка Лагранжа в поле сил, зависящем от косинуса угла нутации. Найдены необходимые и достаточные условия устойчивости перманентных вращений волчка вокруг оси, произвольно расположенной в теле. В работе [179] исследуется влияние на возникновение и устойчивость стационарных движений гироскопа Лагранжа переменного по направлению поля сил.

      В работах [2, 102] проведена аналогия между возмущенной задачей о волчке Лагранжа в случае малых потенциальных возмущений и задачей о вращении спутника с сильным магнитом, взаимодействующим с магнитным полем Земли, когда центр масс спутника движется по круговой экваториальной орбите.

      В работах [90, 110] исследуется влияние диссипативных и постоянных моментов на вид и устойчивость стационарных движений волчка Лагранжа; найдено однопара- метрическое семейство регулярных прецессий волчка и исследована их устойчивость. В статьях [200, 358] изучается асимптотическое поведение движений гироскопа Лагранжа, близких к регулярной прецессии, под действием малого постоянного момента и при наличии полости, заполненной жидкостью большой вязкости. Исследовано влияние малых возмущений, обусловленных нарушением динамической симметрии и наличием линейного диссипативного момента.

      В диссертации [113] (см. там же библиографию работ автора) рассмотрены возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярным прецессиям в случае Лагранжа. При помощи метода усреднения исследованы механические модели возмущений, отвечающие 1) случаю тела, заполненного жидкостью большой вязкости; 2) линейному внешнему диссипативному моменту; 3) случаю малого момента, постоянного в связанных осях; 4) распределению масс, близкому к случаю Лагранжа. Рассмотрены возмущенные движения твердого тела, близкие к псевдорегулярным прецессиям в случае Лагранжа, а также вращательные движения, близкие к регулярным прецессиям, когда восстанавливающий момент зависит от угла нутации.

      В работе [70] при помощи метода интегральных многообразий и метода усреднения исследуются нелинейные резонансные эволюционные эффекты при движении твердого тела с неподвижной точкой, близкого к случаю Лагранжа; возмущения вызваны малым смещением центра масс с оси динамической симметрии, наличием постоянного и диссипативного моментов.

      Ряд работ посвящен исследованиям "спящего" волчка Лагранжа. В статье [28] получены необходимые и достаточные условия устойчивости "спящего" волчка в ньютоновском поле сил. В работе [9] методом осреднения исследуются движения волчка Лагранжа в окрестности его вращения вокруг вертикали; показано, что движения укороченной системы являются квазипериодическими, найдены их амплитуды и частоты. В статье [304] найдены достаточные условия устойчивости вертикальных вращений волчка Лагранжа при наличии демпфирующего момента, проекции которого на главные оси инерции относительно неподвижной точки являются нелинейными функциями соответствующих составляющих угловой скорости волчка. В работе [186] получены достаточные условия асимптотической устойчивости "спящего" волчка в сопротивляющейся среде в предположении, что диссипативная функция не является определенно-положительной квадратичной формой.

      В некоторых работах проводится исследование волчка Лагранжа с движущейся точкой подвеса. В работах [67, 68] выводятся уравнения движения волчка Лагранжа (в невырождающихся переменных) в случае, когда точка его подвеса совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости, а к волчку приложен произвольный внешний момент. В статье [159] для волчка Лагранжа на подвижном основании уравнения движения получены в инвариантной векторной форме. Проведено обобщение задачи на случай системы упругое—твердое тело. В работе [255] предложены кватернионные уравнения движения динамически симметричного твердого тела с точкой подвеса, движущейся произвольным образом в пространстве. К телу приложен произвольный внешний момент. В частности, рассмотрена задача о движении под действием сил тяготения симметричного твердого тела, имеющего малое смещение центра масс относительно точки подвеса, при произвольном движении последней.

      В статье [94] исследуются движения быстро закрученного волчка Лагранжа при вертикальных колебаниях точки опоры и наличии малых периодических и случайных возмущений. В работе [114] изучается устойчивость равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси в предположении, что точка подвеса тела совершает вертикальные колебания.

      В статье [103] обсуждается возможность стабилизации "спящего" волчка Лагранжа в одной из областей неустойчивости за счет вертикальных гармонических колебаний точки подвеса. В работе [196] для системы двух гироскопов Лагранжа показана возможность сделать ранее неустойчивые вращения устойчивыми за счет вибрации точки подвеса; установлены ограничения на частоту и амплитуду колебаний точки подвеса и угловую скорость вращения гироскопов.

      В диссертации исследуется динамика волчка Лагранжа, точка подвеса которого совершает вертикальные гармонические колебания. В случае колебаний точки подвеса малой амплитуды изучены периодические (с периодом, равным периоду колебаний точки подвеса) движения волчка, рождающиеся из его регулярной прецессии, при резонансе в вынужденных колебаниях и в нерезонансном случае.

      Рассмотрена динамика волчка Лагранжа, точка подвеса которого совершает высокочастотные колебания малой амплитуды. Исследуется вопрос о существовании, бифуркации и устойчивости высокочастотных периодических (с периодом, равным периоду колебаний точки подвеса) движений волчка, близких к его регулярной прецессии.

      Рассматривается "спящий" волчок Лагранжа, точка подвеса которого совершает вертикальные гармонические колебания произвольной частоты и амплитуды. При всех допустимых значениях параметров дается полное и строгое решение задачи об устойчивости как "висящего" волчка (центр тяжести расположен ниже точки подвеса), так и для "перевернутого" волчка (центр тяжести выше точки подвеса).

      Задача о движении твердого тела, контактирующего с неподвижной поверхностью, является классической задачей механики. Исследование движения тел, катящихся по горизонтальной плоскости, начато в 1734 г. Л.Эйлером [295] и продолжено в классических работах Ж.Даламбера, С.Пуассона, Э.Рауса, П.Аппеля, Д.К.Бобылева, Н.Е.Жуковского, С.А.Чаплыгина и др. Основные методы и результаты исследования движения тел по неподвижной поверхности содержатся в монографиях [7, 134, 170, 187, 226]. История вопроса и обширная библиография приведены в книге [134].

      В диссертации рассматривается задача о движении по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости близкого к динамически симметричному твердого тела с острием. Исследование движения тела сводится к изучению приведенной системы с двумя степенями свободы, близкой к системе с циклической координатой. Построены периодические движения, близкие к регулярным прецессиям динамически симметричного тела, в случаях внутреннего резонанса, исследована их устойчивость.

      Ранее динамика симметричного волчка с острием, движущимся по гладкой горизонтальной плоскости, изучалась в работах [226, 345].

      Большой интерес исследователей привлекают так называемые бильярдные задачи. Движение материальной точки в области, ограниченной замкнутой выпуклой кривой на плоскости, происходящее с соударениями об эту кривую, в случае отсутствия внешних сил начал изучать Дж.Биркгоф [36, 282]. Вопросы интегрируемости этой задачи обсуждаются в книге [98], исследование существования и устойчивости периодических решений проведено в работах [229, 230].

      Обобщением задачи о бильярде Биркгофа является задача динамического бильярда, когда точка движется внутри замкнутой выпуклой кривой, расположенной в вертикальной плоскости, в однородном поле тяжести. Численное исследование периодических движений точки для случая кругового бильярда проведено в работах [275, 276]. Существование периодических движений в задаче динамического бильярда в случае произвольной замкнутой гладкой кривой и, в частности, для кругового бильярда, аналитически доказывается в работе [182].

      В диссертации исследуются две задачи о движении точки в вертикальной плоскости в поле тяжести при наличии ее упругих соударений с гладкими кривыми. В первой задаче рассматривается движение точки внутри окружности. Дается строгое решение вопроса об устойчивости частного периодического движения точки вдоль вертикального диаметра, происходящего с двумя соударениями о верхнюю и нижнюю точки окружности. Во второй задаче изучается движение точки над кривой в форме эллипса в окрестности ее периодического движения вдоль вертикальной полуоси эллипса; орбитальная устойчивость такого движения исследована в работе [140]. В случае, близком к резонансу четвертого порядка, построены периодические движения точки (период которых в четыре раза превышает период невозмущенного движения), исследована их бифуркация и устойчивость.

      Третья часть диссертации посвящена исследованию нелинейных резонансных колебаний и устойчивости в ряде задач динамики спутника относительно центра масс и плоской ограниченной задаче трех тел.

      За последние десятилетия, начиная с 50-х г.г. XX века, появилось значительное количество работ, как теоретического, так и прикладного характера, связанных с исследованием динамики спутников. Интерес к этой проблеме связан, в первую очередь, с потребностями развивающейся космической техники. С другой стороны, эти исследования представляют и теоретический интерес, так как развивают один из разделов динамики твердого тела.

      Одной из наиболее разработанных задач является задача о плоских колебаниях и вращениях спутника на эллиптической орбите. Уравнение плоских колебаний и вращений спутника, когда одна из его главных осей инерции перпендикулярна плоскости эллиптической орбиты его центра масс, в центральном ньютоновском гравитационном поле получено В.В.Белецким в 1956 г. и впервые опубликовано в [29]. В случае движения спутника по круговой орбите это уравнение представляет собой уравнение движения математического маятника и интегрируется в эллиптических функциях [30]. В общем случае плоских колебаний несимметричного спутника на эллиптической орбите указанное уравнение не имеет аналитического первого интеграла [46].

      Плоские движения спутника на круговой орбите изучаются в работах [30, 129, 152, 213, 322, 323, 334]. В статьях [322, 323, 334] анализируется устойчивость (в линейном приближении) плоских колебаний и вращений спутника. В работах [129, 152] в нелинейной постановке изучается устойчивость плоских периодических движений динамически симметричного спутника ([129]) и спутника с неравными моментами инерции ([152]), когда одна из осей его эллипсоида инерции совершает в плоскости орбиты колебания произвольной амплитуды и вращения с произвольной угловой скоростью.

      В статье [213] в линейном приближении исследуется устойчивость плоских дол- гопериодических движений спутника с периодом, существенно превышающим период орбитального движения (им соответствуют фазовые траектории в окрестности сепаратрис).

      Работы [19, 30, 32, 45, 75, 158, 204-206, 228, 256, 265, 367, 369] посвящены изучению плоских движений спутника на эллиптической орбите. Эксцентриситетные колебания спутника на орбите малого эксцентриситета в нерезонансном случае исследуются в работах [30, 367]. В статье [256] рассмотрены периодические вращения близкого к динамически симметричному спутника при произвольных значениях эксцентриситета, получены области устойчивости этих вращений. В работах [75, 228] исследуются нечетные периодические движения спутника с периодом, равным периоду обращения спутника по орбите, при произвольных значениях эксцентриситета и инерционного параметра; в линейной постановке решается вопрос об их устойчивости. В статье [369] исследование устойчивости указанных периодических движений проведено в строгой нелинейной постановке; получены условия устойчивости на кривых резонансов третьего и четвертого порядков.

      В цикле работ [204-206] численно и аналитически строятся семейства четных и нечетных 2тт-, n- и б7г-периодических плоских колебаний и вращений спутника на эллиптической орбите, исследована их устойчивость в линейном приближении.

      В работе [32] рассматриваются плоские резонансные вращения спутника, когда за m оборотов по орбите он делает к оборотов вокруг оси, перпендикулярной плоскости орбиты. В статье [265] исследуются плоские периодические движения спутника с периодом, кратным периоду его движения по эллиптической орбите малого эксцентриситета. В работе [19] для случая резонанса в вынужденных колебаниях построены 27г-периодические колебания спутника на эллиптической орбите малого эксцентриситета для значений параметров задачи, принадлежащих кривой ветвления. В статье [158] решена задача о существовании и аналитическом представлении движений спутника, асимптотических к его эксцентриситетным колебаниям.

      В цикле работ А.Д.Брюно и его учеников (обширная библиография и обзор результатов представлены в недавней статье [45]) анализ уравнения плоских колебаний и вращений спутника на эллиптической орбите (уравнения Белецкого) проводится, как аналитически, так и численно, во всем диапазоне изменения параметров, в том числе в области сингулярности уравнения (при значениях эксцентриситета, близких или равных единице); изучено расположение и строение семейств обобщенных 27г-периодических решений рассматриваемого уравнения.

      В диссертации изучаются плоские движения спутника на эллиптической орбите малого эксцентриситета. На основании результатов исследования нелинейных колебаний гамильтоновых систем с одной степенью свободы при резонансах решается вопрос о существовании, числе и устойчивости периодических движений спутника, происходящих в окрестности его эксцентриситетных колебаний. Рассмотрены случай параметрического резонанса, а также случаи резонансов третьего и четвертого порядков.

      Актуальным направлением исследования является разработка теории движения намагниченных спутников в геомагнитном поле Земли (см., например, монографии [30, 34, 209]). Наиболее изученными в этой области являются задачи о движениях экваториального и полярного спутников; при этом в большинстве работ магнитное поле Земли аппроксимируется диполем, ось которого совпадает с осью вращения Земли.

      Динамика экваториального спутника на круговой орбите изучалась в работах [34, 166, 237]; исследованы положения относительного равновесия спутника и его перманентные вращения, проанализирован вопрос об интегрируемости в квадратурах уравнений движения спутника относительно центра масс.

      Уравнение плоских движений по полярной круговой орбите динамически симметричного спутника, намагниченного вдоль оси симметрии, получено в [30] и несколько ранее в другой форме в [301]. Аналитическое и численное исследование этого уравнения содержится в работах [23, 173, 197, 208, 237].

      Влияние эллиптичности орбиты на плоские движения полярного динамически симметричного спутника с постоянным магнитом исследуется в работах [174, 210, 237]. Уравнение плоских движений трехосного спутника по полярной эллиптической орбите под действием гравитационных и магнитных моментов получено в [34]. В работах [33, 34] изучаются плоские резонансные вращения спутника с постоянным магнитом на полярной эллиптической орбите.

      В статье [84] анализируются общие свойства движения по полярной круговой орбите несимметричного спутника с постоянным магнитом в предположении, что момент магнитных сил много меньше гравитационного момента. Строятся периодические решения, рождающиеся из седловых точек, и сепаратрисные поверхности; доказывается несуществование первого интеграла дифференциального уравнения движения спутника.

      В диссертации также рассматривается движение несимметричного намагниченного спутника по полярной круговой орбите в предположении малости момента магнитных сил по сравнению с гравитационным моментом. Исследуется случай резонанса в вынужденных колебаниях, когда значение инерционного параметра близко к единице. На основании результатов исследования нелинейных колебаний гамиль- тоновых систем с одной степенью свободы при указанном резонансе построены периодические (с периодом, равным периоду обращения центра масс) движения спутника, происходящие в окрестности его устойчивого равновесия в орбитальной системе координат, имеющегося в невозмущенной задаче, изучена их бифуркация и устойчивость.

      Импульсом к другому направлению исследований динамики спутников в гравитационном поле послужило обнаружение у динамически симметричного спутника на круговой орбите трех типов стационарных вращений, при которых ось симметрии спутника занимает фиксированное положение в орбитальной системе координат, — цилиндрической, конической и гиперболоидальной прецессий. Вопросы существования и устойчивости трех указанных регулярных прецессий спутника на круговой орбите подробно изучены в работах [31, 61, 101, 123, 125, 147, 203, 219, 257, 321, 333, 346, 365].

      Существование цилиндрической прецессии симметричного твердого тела на эллиптической орбите показано в [203] , а задача о ее устойчивости рассматривалась в статьях [122, 124, 154, 324, 337, 368].

      Большое количество работ посвящено исследованию периодических движений спутника в окрестности регулярных прецессий. В работах [83, 155, 221, 222, 260] аналитически и численно строятся семейства ляпуновских периодических движений динамически симметричного спутника на круговой орбите, близких к его регулярным прецессиям. В [142] рассмотрены периодические движения динамически симметричного спутника на круговой орбите в окрестности его цилиндрической прецессии для значений параметров задачи, лежащих на границах, разделяющих области устойчивости и неустойчивости прецессии.

      В [203] для случая слабоэллиптической орбиты найдены (в виде формальных рядов по степеням эксцентриситета) периодические движения динамически симметричного спутника, рождающиеся из его конической прецессии на круговой орбите при условии отсутствия резонанса в вынужденных колебаниях. В [207] построены (в виде формальных рядов по степеням малого параметра) периодические движения близкого к динамически симметричному спутника на круговой орбите в окрестности его конической прецессии, исследована их устойчивость в линейном приближении.

      Близкие к конической прецессии периодические движения динамически симметричного спутника с периодом, равным периоду обращения его центра масс по слабоэллиптической орбите, в случае, когда одна из частот малых колебаний спутника близка к среднему движению его центра масс (случай резонанса в вынужденных колебаниях), построены в работе [261]; исследована их устойчивость в линейном приближении.

      В работах [198, 199, 214] построены 27гр-периодические движения динамически симметричного тела на слабоэллиптической орбите, совпадающие на круговой орбите с 2пр/q-иериодическими движениями (рид — взаимно простые числа) Ляпунова в окрестности конической прецессии; эти движения численно продолжены в область лроизвольных значений эксцентриситета орбиты, проведен анализ их устойчивости в линейном приближении.

      В статье [131] для спутника, близкого к динамически симметричному, методом Пуанкаре доказано существование периодических движений, рождающихся из гипербол оидальной прецессии.

      В случае цилиндрической прецессии решения Пуанкаре близкого к динамически симметричному твердого тела, представляющие собой плоские движения, исследованы в [334].

      В статье [269] решена задача о существовании и аналитическом представлении движений спутника, асимптотических к его регулярным прецессиям на круговой орбите; в работе [18] эта же задача рассмотрена для случая равных частот, отвечающего резонансу второго порядка.

      В диссертации рассматриваются две задачи о построении резонансных периодических движений спутника, близких к его регулярным прецессиям. В первой задаче исследуется движение динамически симметричного спутника на эллиптической орбите малого эксцентриситета. Построены периодические движения спутника, близкие к его цилиндрической прецессии, в случаях, когда в системе реализуется параметрический резонанс основного типа, исследована их бифуркация и устойчивость. Во второй задаче изучаются движения близкого к динамически симметричному спутника на круговой орбите. Строятся периодические движения спутника, рождающиеся из конической прецессии динамически симметричного спутника в невозмущенной задаче. Возмущенная система близка к системе с циклической координатой. Исследуется случай, когда в системе имеет место внутренний резонанс, и случай его отсутствия. Проведен строгий нелинейный анализ устойчивости этих движений.

      Ограниченная задача трех тел занимает центральное место в аналитической динамике, небесной механике и космодинамике. Ее исследованию посвящено большое количество работ зарубежных и отечественных авторов.

      История задачи начинается в 1772 г. с работы Л.Эйлера по теории движения Луны [297] и исследования Ж.Лагранжа [329]. Далее она получила развитие в трудах К.Якоби [319], А.Пуанкаре [185], Дж.Биркгофа [281] и многих других авторов. Ограниченная задача трех тел излагается во всех руководствах по небесной механике (см., например, книги [41, 62, 73, 168, 234, 253, 266]). Этой задаче посвящены также отдельные монографии [44, 211].

      В 1767 г. Л.Эйлер в работе [296] обнаружил три частные решения задачи трех тел, когда гравитирующие точки во все время движения расположены вдоль одной прямой. Существование треугольных решений для ньютоновского закона притяжения впервые установлено Ж.Лагранжем [329] в 1772 г. Треугольные решения в случае произвольного степенного закона притяжения получены П.Лапласом [330].

      Необходимые условия устойчивости треугольных точек либрации круговой задачи трех тел установлены впервые в работе Г.Гашо [303]. Э.Раус [350], А.М.Ляпунов [115] и Н.Е.Жуковский [66] получили необходимые условия устойчивости треугольных точек либрации для случая произвольного степенного закона притяжения, а также [115, 350] для случая неограниченной задачи трех тел. В работе Ляпунова [115] впервые получено условие устойчивости (в линейном приближении) треугольных точек либрации эллиптической задачи.

      Исследование устойчивости треугольных точек либрации для плоской круговой или эллиптической ограниченной задачи трех тел было продолжено в работах многих авторов. В нелинейной постановке устойчивость для случая круговой задачи впервые рассмотрена в работах [112, 289].

      В цикле работ А.П.Маркеева дан нелинейный анализ устойчивости треугольных точек либрации ограниченной круговой и эллиптической задачи трех тел в плоском и пространственном случаях. Изложение результатов и библиография по данному вопросу содержится в монографии [130]. В примыкающей к указанному циклу работе [217] получены результаты по устойчивости треугольных точек либрации при критическом отношении масс.

      В статье [231] исследуется характер потери устойчивости при переходе, в случае малых значений эксцентриситета, через граничную кривую, разделяющую области устойчивости и неустойчивости треугольных точек либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел.

      В статье [77] в нелинейной постановке исследуется устойчивость лагранжевых решений плоской неограниченной задачи трех тел. В работах [106, 233] изучен вопрос об устойчивости в строгом смысле лапласовых решений неограниченной задачи трех тел в области выполнения необходимых условий устойчивости Рауса — Жуковского.

      Существование двух семейств периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел, доказали Шарлье [285] и Пламмер [340]. Позднее эти движения строились различными методами (аналитическими и численными) в работах многих авторов.

      В статье [194] исследуется вопрос нахождения по методу Ляпунова периодических решений вблизи треугольных точек либрации плоской ограниченной круговой задачи трех тел; полученные решения применяются для построения аналитической теории движения планет троянской группы. В работах [286, 291] предложен метод аналитического продолжения по орбитальному параметру, основанный на методах Ляпунова и Пуанкаре. В статьях [290, 292] описана модификация этого метода, опирающаяся на теорию возмущений Депри—Хори. В работах [347-349, 288] рассмотрен метод численного продолжения. Разработанные методы аналитического и численного продолжения используются в этих и ряде других работ для построения периодических орбит в окрестности треугольных точек либрации систем Солнце—Юпитер и Земля—Луна.

      В статьях [287, 306] строятся семейства периодических решений в случае отношений масс основных тел, больших критического значения Рауса. В работах [312, 352] исследуется вопрос о периодических решениях, рождающихся из треугольных точек либрации, для таких значений отношений масс основных тел, для которых существование этих решений не следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле.

      В работах [151, 153] рассматривается задача о построении и устойчивости (в строгой нелинейной постановке) малых периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел, в плоском и пространственном случаях. В статье [325] предложен метод продолжения этих движений по параметрам задачи; выделены области линейной устойчивости построенных движений, установлен вид резонансных кривых.

      В статье [157] строятся движения, асимптотические к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел.

      Исследование устойчивости треугольных точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел и построение периодических движений в окрестности этих точек при наличии малых сил сопротивления проведено в работах [80, 81].

      Некоторые вопросы построения (в виде формальных рядов) 27т-периодических решений (n = 1, 2,3,4) в окрестности треугольных точек либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел рассмотрены в статье [63]. В работе [82] с помощью метода сжатых отображений и метода мажорант доказывается существование (уже не формальных) б7г-периодических решений в окрестности треугольных точек либрации.

      В диссертации рассматривается не исследованный ранее случай движений в окрестности треугольных точек либрации плоской эллиптической задачи трех тел, когда имеет место параметрический резонанс основного типа. Построены 47г-периодические движения системы, исследована их бифуркация и устойчивость.

      Исследование периодических орбит в окрестности точек либрации является частным случаем общей теории периодических орбит задачи трех тел.

      Одним из первых вопросами существования периодических орбит занимался Хилл [316] в связи с исследованиями по теории движения Луны. Пуанкаре [185, 342] создал общие методы нахождения и изучения целых классов периодических, а также некоторых других, близких к ним решений дифференциальных уравнений задачи трех тел (периодические решения первого, второго и третьего сорта). В основе нахождения периодических решений лежит разработанный Пуанкаре метод малого параметра.

      Изучение периодических движений первого сорта впервые проведено в работах [185, 356]. Доказательство существования и исследование периодических орбит второго сорта содержится в работах [185, 272-274, 356]. Обзор аналитических и численных методов исследования периодических и почти периодических орбит ограниченной задачи трех тел содержится в работах [44, 183, 211, 308, 309].

      Особый интерес для исследователей представляют резонансные движения пассивно гравитирующей точки, когда ее среднее движение соизмеримо со средним движением одного из основных притягивающих тел. Примеры таких движений в Солнечной системе дают астероиды группы Гекубы (соизмеримость 2:1), Гильды (3:2), Туле (4:3), Гестии (3:1), Минервы (5:2). Задача о движении резонансных астероидов актуальна в связи с попытками дать объяснение структуры астероидного кольца, особенностей поведения астероидов в люках и сгущениях, в распределении астероидов по средним движениям (см., напр., работы [149, 313, 353, 354]).

      Обзор литературы по резонансам для спутников планет содержится в статьях [300, 353]. Общие вопросы по построению резонансных моделей обсуждаются в работах [302, 314, 354].

      Наибольшее число исследований посвящено резонансу первого порядка (соизмеримость (7\Г+1)/ЛГ). Этот резонансный случай изучался в работах [272, 343, 344, 356] и позднее в работах [44, 51, 171, 298, 299, 313, 314, 335, 355, 357] в связи с исследованием движения малых планет при соизмеримости 2:1. Рассматриваются различные аспекты поведения приближенной системы: строятся фазовые портреты, обсуждаются области либрации и циркуляции, положения относительного равновесия и их устойчивость. Аналогичные вопросы для случаев резонансов второго и высших порядков исследуются в работах [44, 52, 283, 310, 314, 331, 355].

      В статье [311] при помощи метода продолжения получены периодические орбиты первого и второго сортов астероидной круговой и эллиптической задач трех тел в случаях соизмеримостей 2:1, 3:1 и 4:1 и исследуется их эволюция при изменении эксцентриситета Юпитера. В статьях [53-55] исследуется эволюция орбитальных элементов ограниченной и обобщенной задач трех тел при соизмеримости первого порядка. В работах [267, 268] проводится интегрирование осредненной плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел при резонансах первого и высших порядков.

      В диссертации исследуются периодические движения плоской круговой ограниченной задачи трех тел, рождающиеся из круговых движений пассивно грави- тирующей точки вокруг основного тела. Система дифференциальных уравнений, описывающих эти движения, близка к системе с циклической координатой. Предполагается, что средние движения пассивно гравитирующей точки и меньшего из основных притягивающих тел связаны резонансным соотношением первого порядка, что равносильно наличию в системе внутреннего резонанса. На основании общей теории периодических движений автономных систем, близких к системам с циклической координатой, при внутреннем резонансе, разработанной в первой части диссертации, предлагается иной, чем в цитируемых выше работах, способ построения периодических движений системы; делаются строгие выводы об их устойчивости.

      Основные результаты диссертации опубликованы в работах [238-252, 326] и докладывались на научных семинарах кафедры теоретической механики и мехатрони- ки механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова: на семинаре "Аналитическая механика и устойчивость движения" под руководством академика РАН В.В.Румянцева, члена-корреспондента РАН В.В.Белецкого, профессора А.В.Карапетяна (2000, 2001, 2002); на семинаре "Динамика относительного движения" под руководством члена-корреспондента РАН В.В.Белецкого, профессора Ю.Ф.Голубева, доцента К.Е.Якимовой (2002); на семинаре "Гамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством академика В.В.Козлова, профессора С.В.Болотина, профессора Д.В.Трещева (2002), а также на следующих Всероссийских и международных конференциях:

      1. Второй симпозиум по классической и небесной механике (Великие Луки, 1996).

      Международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1996).

      Всероссийская конференция с международным участием "Проблемы небесной механики" (С.-Петербург, 1997).

      Третий международный симпозиум по классической и небесной механике (Великие Луки, 1998). XXXV Всероссийская научная конференция по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания (Москва, 1999). VII Международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1999).

      IV международный симпозиум по классической и небесной механике (Великие Луки, 2001). VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001). XXVI академические чтения по космонавтике (Москва, 2002).

      Переходим к изложению содержания диссертации по главам. Диссертация состоит из введения, трех частей и заключения.

      Первая часть диссертации посвящена построению теории нелинейных колебаний в ряде резонансных случаев движения гамильтоновых и близких к гамильтоновым систем с одной и двумя степенями свободы и состоит из двух глав.

      В Главе 1 рассматриваются резонансные нелинейные колебания близкой к автономной 27г-периодической по времени гамильтоновой или близкой к гамильтоновой системы с одной степенью свободы. Предполагается, что функция Гамильтона системы содержит малый параметр е и представляется в виде ряда по степеням этого параметра. Предполагается также, что начало координат фазового пространства является положением равновесия либо невозмущенной (е — 0) системы (в 1), либо полной системы (в 2-4).

      В 1 изучается случай резонанса в вынужденных колебаниях, когда собственная частота малых колебаний невозмущенной системы в окрестности положения равновесия близка к целому числу. В 2 рассматривается случай параметрического резонанса, при котором линеаризованная в окрестности начала координат при в = 0 система устойчива по Ляпунову, корни ±ги ее характеристического уравнения чисто мнимые, а величина 2и равна целому числу. 3 и 4 посвящены исследованию случаев резонансов третьего и четвертого порядков, когда линеаризованная система устойчива по Ляпунову, ее характеристические показатели ±гь> чисто мнимые, а величина Зь> (3) или Аь (4) близка к целому числу.

      Для каждого из перечисленных резонансных случаев исследуются нелинейные колебания системы в окрестности начала координат фазового пространства. При помощи ряда канонических преобразований функция Гамильтона системы приводится к виду, характерному для рассматриваемого резонанса. Дается подробный анализ приближенной (модельной) системы: описаны движения системы для всех возможных значений параметров — постоянной энергии и параметра модельной системы, характеризующего величину резонансной расстройки; проведено интегрирование модельной системы; делается проверка условия невырожденности модельного гамильтониана в областях колебаний и вращений модельной системы.

      При помощи теории периодических движений Пуанкаре и КАМ-теории результаты исследования модельной системы переносятся на полную систему. Дается строгое решение вопроса о существовании, числе и устойчивости периодических движений системы с периодом, равным периоду внешнего возмущающего воздействия, аналитических по величине е¹/³ (при резонансе в вынужденных колебаниях); с периодом, равным удвоенному периоду внешнего возмущения, аналитических по величине е^1у'² (при параметрическом резонансе); с периодом, равным утроенному или учетверенному периоду внешнего возмущения, аналитических по параметру е (при резонансах третьего или четвертого порядков соответственно). Описаны условно-периодические движения полной системы. Для случая параметрического резонанса при помощи метода Чирикова [263, 264] дана оценка ширины стохастического слоя, возникающего вблизи движений, асимптотических к неустойчивому положению равновесия. Для каждого из рассматриваемых резонансных случаев дается оценка области ограниченности движений, начинающихся в достаточно малой окрестности начала координат.

      Исследуются также два резонансных случая движения близкой к гамильтоно- вой системы с одной степенью свободы, в предположении, что на систему действуют малые диссипативные силы, описываемые функцией Ре лея — случаи резонанса в вынужденных колебаниях и резонанса четвертого порядка (1 и 4). Изучается качественный характер поведения приближенной (модельной) системы в зависимости от параметров задачи — резонансной расстройки и величины диссипации. Дается строгое решение вопроса о существовании, числе ж устойчивости периодических движений системы.

      В Главе 2 проводится исследование нелинейных колебаний гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в двух резонансных случаях.

      В 1 исследуются движения близкой к автономной 27г-периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, функция Гамильтона которой представляется в виде ряда по степеням малого параметра е. Предполагается, что начало координат фазового пространства является положением равновесия системы, при этом линеаризованная в окрестности начала координат при г = О система устойчива по Ляпунову, ее характеристические показатели ±го;- (] = 1,2) чисто мнимые, а величина 2о»₁ близка к целому числу (случай параметрического резонанса основного типа).

      При помощи последовательности канонических преобразований функция Гамильтона приводится к виду, характерному для данного резонанса. В приближенном гамильтониане выделяется модельная часть, соответствующая гамильтоновой системе с одной степенью свободы при параметрическом резонансе (см. 2 Главы 1 диссертации для случая точного резонанса и работу [138] для случая, близкого к резонансному). При помощи метода Пуанкаре строятся 47г-периодические движения исходной системы, рождающиеся из положений равновесия приближенной системы и аналитические по величине г¹/²; исследуется их бифуркация. Дается строгое решение вопроса об устойчивости этих движений.

      2 посвящен исследованию движений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, функция Гамильтона которой содержит малый параметр е. Предполагается, что гамильтониан 27г-периодичен по одной из координат, но содержит ее только в своей возмущающей части. Тогда для системы с невозмущенным гамильтонианом эта координата циклическая. Предполагается также, что в невозмущенной системе имеется стационарное вращение, причем отвечающее ему положение равновесия приведенной системы устойчиво. Пусть, кроме того, в системе имеется внутренний резонанс: отношение собственной частоты малых колебаний приведенной системы в окрестности этого равновесия к частоте изменения циклической координаты близко к целому числу.

      Рассматриваются движения полной системы (близкой к системе с циклической координатой) в окрестности указанного стационарного вращения. При помощи изо- энергетической редукции осуществляется переход к уравнениям Уиттекера, описывающим движение неавтономной системы с одной степенью свободы. Упомянутый внутренний резонанс в исходной системе с двумя степенями свободы означает наличие в редуцированной системе с одной степенью свободы резонанса в вынужденных колебаниях. При помощи метода Пуанкаре, с использованием результатов 1 Главы 1, построены семейства периодических решений исходной системы с двумя степенями свободы, аналитических по величине в¹/³. Таких семейств, в зависимости от величины резонансной расстройки и значений постоянной энергии, может быть одно или три. Дано строгое решение вопрос об их устойчивости. При помощи методов КАМ-теории исследованы также условно-периодические движения системы.

      Во второй части диссертации (Главы 3-5) исследуются резонансные и нерезонансные нелинейные колебания и устойчивость в ряде задач классической механики.

      В Главе 3 рассматриваются некоторые вопросы динамики маятника с колеблющейся точкой подвеса. В 1 исследуется случай, когда точка подвеса маятника совершает горизонтальные гармонические колебания малой амплитуды. Показано, что рассматриваемая система при достаточно малых, но отличных от нуля значениях малого параметра, не имеет вещественно-аналитического первого интеграла, отличного от константы. При помощи метода Пуанкаре построены периодические движения маятника, рождающиеся из его устойчивого положения равновесия, в случае резонанса в вынужденных колебаниях и при его отсутствии, исследованы их бифуркация и устойчивость. Найдены неустойчивые периодические движения, рождающиеся из неустойчивых положений равновесия. Построены сепаратрисные поверхности, асимптотические к этим движениям. Изучен вопрос о существовании и устойчивости периодических движений маятника, рождающихся из его колебаний с произвольной амплитудой и вращений с произвольной средней угловой скоростью.

      В 2 исследуются движения математического маятника, точка подвеса которого совершает гармонические колебания малой амплитуды и высокой частоты вдоль прямой, составляющей произвольный угол с горизонталью. Дается иное, чем в [120], доказательство существования высокочастотных периодических движений маятника с периодом, равным периоду колебаний точки подвеса. Эти движения происходят в окрестности некоторых "средних" значений углов отклонения маятника от вертикали (положений равновесия приближенных уравнений движения). Предлагается алгоритм построения этих движений, основанный на проведении последовательности канонических преобразований с использованием метода Депри—Хори. Исследуется бифуркация и при помощи методов КАМ-теории дается строгий нелинейный анализ устойчивости этих движений.

      В Главе 4 проводится исследование движения волчка Лагранжа, точка подвеса которого совершает вертикальные гармонические колебания.

      В 1 получены уравнения движения волчка при произвольных значениях амплитуды и частоты колебаний точки подвеса.

      В 2 исследуется случай, когда амплитуда колебаний точки подвеса волчка мала. Построены периодические движения, рождающиеся из регулярных прецессий волчка с неподвижной точкой, в случае резонанса в вынужденных колебаниях и при его отсутствии. Получены строгие выводы об устойчивости этих движений (по отношению к углу нутации и канонически сопряженному с ним импульсу).

      В 3 изучаются движения волчка Лагранжа в случае, когда точка его подвеса совершает высокочастотные колебания малой амплитуды, а угловые скорости прецессии и собственного вращения малы. Известно, что в случае классического волчка Лагранжа с неподвижной точкой при любых значениях параметров задачи (значений а' и (3' постоянных циклических интегралов), не связанных соотношением си'| = \/3'\, существует единственная регулярная прецессия волчка; в случае а' = в зависимости от положения центра тяжести волчка на оси симметрии, существует либо одна регулярная прецессия волчка, либо ни одной; если же а' = — /3', то регулярные прецессии волчка отсутствуют.

      При наличии колебаний точки подвеса установлен следующий результат, не имеющий аналога ни в классической задаче, ни в задаче о движении волчка при колебаниях точки подвеса малой маплитуды. В случае а'| Ф \/3'\ в плоскости этих параметров выделены области, в которых при любом положении центра тяжести волчка на оси симметрии существует единственное периодическое (с периодом, равным периоду колебаний точки подвеса) движение волчка, близкое к регулярной прецессии, а также области, в которых, в зависимости от положения центра тяжести, таких движений может быть одно или три. Установлено также, что периодические движения волчка, близкие к регулярной прецессии, существуют как при а' = 3', так и при а' = —/3', причем число их различно (при а' — (3' два, одно или ни одного, а при а' = —3' два или ни одного), в зависимости от значений параметров задачи. При помощи методов КАМ-теории дано строгое решение вопроса об устойчивости этих движений.

      В 4 рассматривается "спящий" волчок Лагранжа, точка подвеса которого совершает вертикальные гармонические колебания произвольной частоты и амплитуды. Дано полное решение задачи об устойчивости как "перевернутого" волчка (центр тяжести расположен выше точки подвеса), так и "висящего" волчка (центр тяжести ниже точки подвеса).

      Линеаризованное уравнение возмущенного движения волчка сводится к уравнению Матье; в плоскости параметров линейной задачи имеется счетное число областей устойчивости и неустойчивости.

      Нелинейный анализ устойчивости проводится в пространстве трех параметров задачи. В каждой из трехмерных областей устойчивости в линейном приближении построены поверхности, на которых нарушается условие невырожденности возмущенного гамильтониана. При условии отсутствия резонанса четвертого порядка для значений параметров, лежащих вне этих поверхностей, "спящий" волчок устойчив.

      Исследован вопрос об устойчивости " спящего" волчка на поверхностях резонанса четвертого порядка. Показано, что на каждой из таких поверхностей существует достаточно узкая область неустойчивости. Вне этой области " спящий" волчок устойчив.

      Рассмотрен также вопрос об устойчивости волчка на поверхностях, ограничивающих области его устойчивости и неустойчивости в линейной задаче. На каждой из таких граничных поверхностей построена кривая, разделяющая ее на две области, в одной из которых "спящий" волчок устойчив, а в другой неустойчив.

      В Главе 5 изучается ряд задач о движении тел, контактирующих с неподвижной поверхностью.

      В 1 рассматривается движение тяжелого твердого тела с острием по неподвижной абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Предполагается, что острие расположено близко к одной из главных центральных осей инерции тела, при этом моменты инерции тела относительно двух других главных центральных осей инерции близки. Изучение движения тела сводится к исследованию приведенной автономной системы с двумя степенями свободы, близкой к системе с циклической координатой. Изучаются движения этой системы в окрестности стационарного вращения невозмущенной системы (отвечающего регулярной прецессии динамически симметричного волчка с острием, расположенным на оси симметрии). Рассматривается случай внутреннего резонанса, когда отношение собственной частоты малых колебаний приведенной системы в окрестности устойчивого равновесия к угловой скорости собственного вращения волчка близко к целому числу. Построены и описаны периодические движения тела, близкие к его регулярной прецессии, получены строгие выводы об их устойчивости.

      В 2 рассматривается движение материальной точки в поле тяжести внутри вертикально расположенной окружности, происходящее с соударениями об окружность. Удар считается абсолютно упругим, трение отсутствует. Проводится анализ устойчивости частного движения точки вдоль вертикального диаметра окружности с соударениями о ее верхнюю и нижнюю точки. При исследовании используются результаты устойчивости неподвижной точки отображения, сохраняющего площадь [140].

      В 3 рассматривается движение тяжелой материальной точки над гладкой кривой, имеющей форму эллипса. Изучается частное движение, когда точка движется вдоль вертикальной полуоси эллипса, периодически ударяясь о его нижнюю точку. Орбитальная устойчивость такого движения исследована в работе [140]. Рассматривается случай, близкий к резонансу четвертого порядка. На основании результатов 4 Главы 1 строятся периодические движения точки, происходящие в окрестности невозмущенного движения и имеющие период, в четыре раза превышающий период невозмущенного движения, исследуется их бифуркация и устойчивость.

      В третьей части диссертации (Главы 6, 7) исследуются нелинейные резонансные колебания и устойчивость в ряде задач небесной механики.

      В Главе 6 рассматриваются задачи о резонансных движениях спутника — твердого тела относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой или эллиптической орбите.

      В 1 изучаются плоские движения спутника на эллиптической орбите малого эксцентриситета. На основании результатов Главы 1 дается строгое решение вопроса о существовании, бифуркациях и устойчивости периодических движений спутника в окрестности его эксцентриситетных колебаний в случаях параметрического резонанса, а также резонансов третьего и четвертого порядков. В случае параметрического резонанса получена оценка ширины стохастического слоя в окрестности движений, асимптотическим к его неустойчивым эксцентриситетным колебаниям.

      В 2 рассматриваются плоские движения намагниченного спутника под действием моментов гравитационных и магнитных сил на полярной круговой орбите. Спутник обладает постоянным магнитным моментом, направленным по одной из его главных центральных осей инерции, лежащей в плоскости орбиты; магнитное поле Земли моделируется диполем, ось которого совпадает с осью Земли. Предполагается, что момент магнитных сил много меньше гравитационного момента.

      Построены периодические (с периодом, равным периоду обращения центра масс) движения спутника, происходящие в окрестности устойчивого равновесия спутника в орбитальной системе координат, в случае резонанса в вынужденных колебаниях. Получены выводы об их устойчивости.

      В 3 исследуется движение динамически симметричного спутника на эллиптической орбите малого эксцентриситета. Рассматриваются движения спутника в окрестности его цилиндрической прецессии. Предполагается, что в системе реализуется параметрический резонанс основного типа, когда одна из частот собственных малых колебаний линеаризованных уравнений возмущенного движения близка к полуцелому числу. На основании результатов 1 Главы 2 построены и описаны периодические движения спутника, близкие к его цилиндрической прецессии, для трех случаев указанного резонанса. В плоскости параметров задачи (эксцентриситета орбиты и инерционного параметра) выделены области, где существуют два таких движения (одно устойчивое для большинства начальных условий и одно неустойчивое), одно движение (устойчивое для большинства начальных условий) и область, где такие движения отсутствуют.

      В 4 изучаются движения близкого к динамически симметричному спутника на круговой орбите. Система дифференциальных уравнений, описывающих эти движения, близка к системе с циклической координатой. Строятся периодические движения спутника, рождающиеся из конической прецессии динамически симметричного спутника в невозмущенной задаче. Исследуется случай внутреннего резонанса, когда отношение одной из частот малых колебаний приведенной системы в окрестности устойчивого равновесия к частоте изменения циклической координаты близко к целому четному числу, и случай его отсутствия.

      При наличии внутреннего резонанса проводится обобщение результатов исследования периодических движений автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (2 Главы 2) на рассматриваемый здесь случай системы с тремя степенями свободы. При отсутствии внутреннего резонанса выделены случаи параметрического резонанса, резонанса третьего и четвертого порядков, а также общий нерезонансный случай. Во всех перечисленных случаях проведен строгий нелинейный анализ устойчивости периодических движений спутника, близких к его конической прецессии.

      В Главе 7 строятся резонансные периодические движения плоской ограниченной задачи трех тел.

      В 1 решается вопрос о существовании и устойчивости периодических движений вблизи треугольных точек либрации плоской эллиптической задачи трех тел в случае параметрического резонанса основного типа. В плоскости параметров задачи (эксцентриситета орбиты и параметра, характеризующего отношение масс основных притягивающих тел) выделены области, где существуют два или одно такое движение, а также область, где периодических движений нет.

      В 2 рассматриваются движения плоской круговой ограниченной задачи трех тел, рождающиеся из круговых движений пассивно гравитирующей точки вокруг основного тела 5. Система уравнений, описывающих эти движения, близка к системе с циклической координатой. Предполагается, что в системе имеет место внутренний резонанс, когда отношение собственной частоты малых колебаний в окрестности положения равновесия приведенной системы к угловой скорости кругового движения близко к целому числу. Показывается, что, в зависимости от значения параметра системы, зависящего от резонансной расстройки и постоянной энергии, существует одно или три однопараметрических семейства периодических движений рассматриваемой задачи. Делаются выводы об их устойчивости.

      ЧАСТЬ1

      НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ И БЛИЗКИХ К ГАМИЛЬТОНОВЫМ СИСТЕМ ПРИ РЕЗОНАНСАХ

      Похожие диссертации на Резонансные и нерезонансные колебания в задачах динамики механических систем

      

      Некоторые задачи динамики маятниковых систем Буров Александр Анатольевич

      

      Обратные задачи динамики для управляемых механических системАубакиров, Дауренбек Азенович

      

      Программные связи и управление динамикой систем твердых телСоколов Алексей Владимирович

      

      Математическое моделирование кинематических свойств и управление динамикой систем с программными связямиИбушева Олеся Владимировна

      

      Моделирование динамики гидравлической системы управления шагающей машиныКостюк Александр Викторович

      

      Эффективные методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно тв#рдых и деформируемых телДмитроченко Олег Николаевич

      

      Методы анализа классов неконсервативных систем в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой Шамолин Максим Владимирович

      

      Динамика космической тросовой системы для доставки полезной нагрузки на землюСтратилатов Николай Ремирович

      

      Динамика орбитальной тросовой системы Левин Евгений Михайлович

      

      Особенности уравнений динамики некоторых неголономных систем и неявные дифференциальные уравненияЗакалюкин, Иван Владимирович