Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи 17
1.1. Описание модели колесного робота 17
1.2. Синтез закона управления 21
1.3. Требования к целевой траектории 29
1.4. Постановка основной задачи 32
1.5. Выводы к главе 1 33
Глава 2. Планирование пути колесного робота 34
2.1. Аппроксимация пути с помощью кубических В-сплайнов 34
2.1.1. Оценка погрешности аппроксимации кубическими В-сплайнами 37
2.1.2. Пример аппроксимации реальной траектории . 38
2.2. Определение расстояния до сплайновой кривой . 42
2.3. Движение вдоль составной сплайновой кривой 45
2.4. Моделирование управления движением колесного робота вдоль траектории, построенной по зашумленным измерениям 46
2.5. Выводы к главе 2 50
Глава 3. Сглаживание кривизны траекторий 51
3.1. Сведение к задаче условной минимизации 52
3.1.1. Учет ограничений на кривизну 57
3.2. Сглаживание кривизны длинных траекторий 60
3.2.1. Декомпозиция 60
3.2.2. Выделение примитива 63
3.3. Сведение к задаче безусловной минимизации 65
3.3.1. Рекуррентный метод 66
3.3.2. Методы со скользящим окном 71
3.3.3. Покомпонентный метод 75
3.4. Оценка числа обусловленности матрицы задачи сглаживания кривизны траекторий 83
3.5. Моделирование управления движением колесного робота вдоль траектории со сглаженной кривизной . 86
3.6. Выводы к главе 3 91
Глава 4. Реальные эксперименты по автоматическому управлению движением автомобиля 93
4.1. Описание оборудования 93
4.2. Описание экспериментов 98
4.3. Результаты реальных экспериментов по автоматическому управлению движением автомобиля 99
4.4. Выводы к главе 4 105
Заключение 106
Литература 109
Приложение А. Акт о внедрении 125
- Требования к целевой траектории
- Аппроксимация пути с помощью кубических В-сплайнов
- Сведение к задаче условной минимизации
- Результаты реальных экспериментов по автоматическому управлению движением автомобиля
Введение к работе
Актуальность темы. Автоматически управляемые колесные транспортные средства, или колесные роботы, широко используются при решении различных задач военного и гражданского назначения [48, 60, 86, 111, 113], таких как разведка, разминирование, очистка химически-загрязненных территорий, перевозка опасных грузов, перевозка грузов на складе или заводе, уборка помещений, перевозка еды и медикаментов в госпитале, исследование планет и окружающей среды, а также при проведении различных строительных, горных, дорожных и сельскохозяйственных работ. Для определения положения колесных роботов используются различные сенсоры [37, 60, 82, 86, 100, 111, 113]: одометры, лазерные дальномеры, сонары, геомагнитные сенсоры, видеокамеры, инерциальные сенсоры и GNSS оборудование.
Растет число работ, посвященных автоматически управляемым сельскохозяйственным транспортным средствам, оснащенным различными сенсорами [19, 30, 33, 34, 41, 49, 80, 82, 92, 100, 111, 115, 116, 122]. Неудивительно, ведь применение таких транспортных средств в сельском хозяйстве облегчает однообразный и утомительный труд водителя, позволяет ему сосредоточится не на вождении, а на контроле проводимой работы, дает возможность многократного точного повторения траектории даже в темное время суток и при плохой видимости (в зависимости от используемых сенсоров). При этом уменьшаются размеры необработанных зон и участков перекрытия, достигается большая экономическая выгода [32] за счет экономии топлива, удобрений и воды для полива, а также увеличивается потенциальная урожайность за счет точного и дозированного внесения удобрений.
При управлении колесными роботами возникает множество задач, одна из них, планирование пути, заключается в построении опорной траектории, вдоль которой будет двигаться колесный робот. Построенная траектория должна удовлетворять определенным критериям гладкости и ограничениям на кривизну. Задача планирования пути может решаться заранее до начала движения колесного робота, или в реальном времени по мере его движения. В зависимости от выполняемой работы, могут ставиться различные задачи. Например, нахождение пути, возможно оптимального по некоторым критериям, из одной точки пространства в другую при наличии препятствий. Другой важной задачей планирования пути является построение целевой траектории через множество точек, которые могут задаваться, например, следующим способом. Управляемый вручную, колесный робот проводится по желаемому пути, координаты которого измеряются GNSS приемником и сохраняются в качестве задания для последующего повторения в автоматическом режиме. Очевидна практическая важность последней постановки задачи во многих областях, например, в сельском хозяйстве, когда трактору необходимо точно и неоднократно следовать вдоль криволинейной траектории в автоматическом режиме для выполнения операций посадки, полива, внесения удобрений и т. п.
Существуют множество способов представления пути, например с помощью отрезков прямых линий и дуг окружностей [33, 34, 45, 55, 71, 78, 79, 99, 106], полиномиальных кривых [36, 112], сплайнов [28, 33, 34, 36, 55, 59, 81], "intrinsic" сплайнов [44], G2- и -сплайнов [96, 97], сглаживающих сплайнов [36], В-сплайнов [35, 36, 76, 88, 108, 118], NURBS [36, 69], кривых Безье [36, 68], спиралей [33, 34, 55], кубических спиралей [65, 72, 83, 84, 91, 114], клотоид или спиралей Корню [54, 73, 106, 109], клотоид совместно с отрезками прямых линий и дугами окружностей [57, 58, 66, 74, 104]. Все перечисленные кривые можно разделить на кривые, чьи координаты выражаются в явном виде, например, полиномиальные кривые, В-сплайны, параметрические кривые, кривизна которых есть функция длины дуги, например, клотоиды, кубические спирали, "intrinsic" сплайны, G2- и С3-сплайны.
Кривые, указанные во втором пункте, имеют непрерывную кривизну, но их основной недостаток — отсутствие явной формулы задающей кривую, а это требует значительных вычислительных ресурсов при построении траектории. Самый простой способ построения траектории с помощью отрезков прямых линий и дуг окружностей имеет следующий недостаток. При переходе с одного сегмента траектории на другой, кривизна меняется скачком. Угол поворота колесного робота не может измениться мгновенно, поэтому такая траектория не является допустимой.
Несмотря на перечисленные недостатки в сельском хозяйстве широко применяются простые траектории в виде отрезков прямых линий и дуг окружностей. Также есть поля особой формы, по которым сельскохозяйственная техника движется по спирали. Но для полей со сложной границей или наличием препятствий на поле (например, в виде камней, деревьев, прудов, линий электропередач и т.п.) необходимо применение криволинейных траекторий. Для построения криволинейных траекторий по заданному набору точек используют различные полиномиальные сплайны. Недостаток сплайнов — сложность построения и сложность вычисления расстояния от робота до кривой. К тому же, как правило, форма сплайна зависит от всего набора точек, и при изменении хотя бы одной точки требуется пересчитывать весь сплайн. Этих недостатков лишены хорошо известные однородные (локально-аппроксимирующие) В-сплайны [15, 22, 31, 120], используемые в настоящей работе. В отличие от прочих сплайнов, эти сплайны вычисляются по простым формулам без решения систем уравнений или задачи аппроксимации методом наименьших квадратов. Также просто и эффективно вычисляется расстояние до данных сплайнов [20].
Если точки, по которым строится сплайновая кривая, получены в результате измерений с некоторой погрешностью, то форма её кривизны может оказаться неудовлетворительной для использования кривой в задачах автоматического управления. Отметим, что сплай-новые кривые с плавноменяющейся кривизной важны и используются во многих других сферах, например, при планировании траектории робота-манипулятора или траектории перемещения инструмента на станке с ЧПУ, в системах автоматизированного проектирования, компьютерной графики и геометрического моделирования.
Для получения сплайиовых кривых с плавно меняющейся кривизной используют следующие широко распространенные подходы:
1. Совмещение процесса построения кривой с её сглаживанием 1 1 Здесь її далее, под сглаживанием кривой и кривизны кривой подразумевается улучше- [50, 51, 61, 89, 107]. Например, таким образом, строятся сглаживающие сплайны (smoothing splines) [2, 15, 17, 18, 26, 42, 43, 47, 51, 64, 101, 105, 120].
2. Сначала строится аппроксимирующая или интерполирующая кривая, а затем производится её сглаживание [46, 51-53, 67, 75, 85, 102, 103, 107, 119, 121].
В результате использования первого подхода можно получить сплайны хорошего «качества» с плавно меняющейся кривизной, но полученные кривые сложно использовать в задачах автоматического управления. Как уже говорилось, для задач планирования пути колесного робота можно использовать однородные В-сплайны. Данные сплайны можно сглаживать методами, относящимися ко второму подходу. Как правило, большинство из этих методов локальные, т.е. созданы для сглаживания части кривой. Для сглаживания длинных кривых требуются значительные вычислительные ресурсы и при этом может получиться кривая не очень хорошего «качества». Поэтому актуальна задача разработки эффективных методов сглаживания кривизны В-сплайновых кривых, построенных по зашумлепным измерениям.
Измерения и источники шумов измерений могут быть различными. В настоящей диссертационной работе используются GNSS измерения, на которые влияют различного рода ошибки, такие как, ошибки, вызываемой атмосферой Земли (ионосферой и тропосферой), ошибки часов спутников, ошибки эфемерид спутников, ошибки многолучево-сти и шумы аппаратуры. Используя избыточность измерений можно «отлавливать» аномальные измерения и обеспечить большую точ- ние их формы и «качества». Понятие «качества» кривой подробнее описано далее в работе. ность и надежность определения координат точек. «Хвосты» плотности распределений ошибок измерений оказываются практически отрезанными на уровне 1,5-2 см.
Изложение диссертационной работы построено следующим образом. В первой главе рассмотрена модель колесного робота с учетом ограниченности угла поворота рулевых колес и ограничений на ресурс управления. Для данной модели рассмотрена задача синтеза закона управления, позволяющего стабилизировать движение робота вдоль криволинейной целевой траектории. Сформулированы требования к целевой траектории и постановка основной задачи.
Во второй главе предложено аппроксимировать целевую траекторию однородными кубическими В-сплайнами. Проведена оценка погрешности аппроксимации такими сплайнами. Рассмотрена задача вычисления расстояния до В-сплайновой кривой. Описано как происходит движение вдоль составной В-сплайновой кривой. Проведено моделирование управления движением колесного робота вдоль траектории, построенной по зашумленным измерениям. Показана непригодность использования такой кривой в задачах автоматического управления и необходимость сглаживать кривизну траектории.
В третьей главе представлены различные методы сглаживания кривизны траекторий. Методы основаны на минимизации скачков третьих производных за счет вариаций контрольных точек в пределах оценки погрешности измерений. Эффективность всех методов проиллюстрирована численными примерами сглаживания кривизны траекторий, построенных по реальным GNSS измерениям. Некоторые из методов можно применять для сглаживания кривизны длинных тра- екторий при ограниченной оперативной памяти не только во время постпроцессинговой обработки, но и в режиме реального времени с небольшой задержкой. Предложенный покомпонентный метод не требует строгой равноудаленности контрольных точек, его можно применять для сглаживания кривизны трехмерных кривых, а также при наличии аномальных измерений, вызванных потерей или искажением сигналов навигационных спутников. Решена задача оценки числа обусловленности матрицы задачи сглаживания кривизны траекторий. Проведено моделирование управления движением колесного робота вдоль траектории со сглаженной кривизной, получены хорошие результаты и показана важность задачи сглаживания кривизны траектории.
В четвертой главе описаны реальные эксперименты, проводимые с помощью автомобиля, оснащенного навигационным и управляющим оборудованием и программным обеспечением, написанным автором. Представлены результаты экспериментов по автоматическому управлению движением автомобиля вдоль траекторий, построенных по реальным измерениям и по точкам, к которым применялся метод сглаживания кривизны траекторий. Получены приемлемые результаты во время движения вдоль кривой со сглаженной кривизной. Показана адекватность применения на практике представленной в работе модели колесного робота, синтезированного закона управления, схемы движения вдоль составной В-сплайновой кривой, методов сглаживания кривизны траекторий и средств контроля, использующих инвариантные эллипсоиды.
В приложении представлен акт о внедрении результатов диссер- тационной работы.
Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка методов построения криволинейных траекторий по зашумлен-ным измерениям с целью их последующего использования в задачах автоматического управления движением колесных роботов.
Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры, теории приближений и методы организации вычислений в реальном времени на вычислительных средствах с ограниченными ресурсами.
Научная новизна. Разработаны различные методы сглаживания кривизны траекторий, представленных с помощью однородных (локально-аппроксимирующих) кубических В-сплайпов. Предложенные методы можно применять для сглаживания кривизны траекторий с учетом ограничений на кривизну. Методы позволяют обрабатывать большие массивы данных при ограниченной оперативной памяти и в режиме реального времени с небольшой задержкой. Покомпонентный метод можно применять для сглаживания кривизны трехмерных кривых, а также при наличии аномальных измерений.
Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования, а также экспериментами с реальным колесным роботом.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием вычислительных методов теории приближений и вычислительной математи- ки. Предложенные методы построения по зашумленным измерениям кривой с плавно меняющейся кривизной могут применяться при планировании пути колесного робота, а также при планировании траектории робота-манипулятора, траектории перемещения инструмента на станке с ЧПУ, в системах автоматизированного проектирования и компьютерной графики. Использование траекторий с плавно меняющейся кривизной в задачах автоматического управления движением колесного робота увеличивает качество сформированного управления, уменьшает расход энергии на повороты рулевых колес и повышает точность отработки целевой траектории.
Реализация и внедрение результатов работы. Результаты работы использованы в 000 «Джавад Джи Эп Эс Эс», что подтверждается актом о внедрении результатов диссертационной работы. Предлагаемые в работе методы реализованы во встроенном программном обеспечении спутникового навигационного приемника и в бортовом компьютере колесного робота.
Связь с планами работ. Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН в рамках исследований при финансовой поддержке Президиума РАН (Программа 22), Отделения ЭММПУ РАН (Программа 15) и государственной программы поддержки ведущих научных школ РФ (НШ-1676.2008.1).
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
1. Метод сглаживания кривизны траекторий с учетом ограничений на кривизну.
Метод декомпозиции для сглаживания кривизны длинных траекторий.
Рекуррентный метод сглаживания кривизны траекторий, позволяющий обрабатывать большие массивы данных при ограничениях на оперативную память.
Методы сглаживания кривизны со скользящим окном, позволяющие сглаживать кривизну длинных траекторий при ограниченной оперативной памяти и в режиме реального времени с небольшой задержкой.
Покомпонентный метод, который можно применять для сглаживания кривизны трехмерных кривых, а также при наличии аномальных измерений, вызванных потерей или искажением сигналов навигационных спутников.
Апробация результатов работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих всероссийских и международных конференциях: XLIX-й научной конференции МФТИ (Москва, 2006); П-й школе-ссмипаре молодых ученых «Управление большими системами» (Воронеж, 2007); ASME 2007 International Design Engineering Technical Conferences (Las Vegas, 2007); П-й Всероссийской молодежной конференции по проблемам управления (Москва, 2008); IV-й Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии» (Казань, 2008); 6th EUROMECH Conference ENOC2008 (St. Petersburg, 2008); Первой традиционной всероссийской молодежной летней школе «Управление, информация и оптимизация» (Переславль-Залесский, 2009); VI-й
Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Управление большими системами» (Ижевск, 2009); 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва, 2009).
Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре статьи [7, 11, 12, 20] в ведущих научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и девять работ в сборниках трудов всероссийских и международных конференций [4-6, 8-10, 13, 94, 95].
Личный вклад соискателя. Все исследования, представленные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и приложения. Работа изложена на 124 страницах, содержит 42 иллюстрации. Библиография включает 122 наименования.
Требования к целевой траектории
Единственная трудность может быть связана с размерностью задачи квадратичного программирования. С ростом числа точек нелинейно возрастает сложность данной задачи и время ее решения. В общем случае задача квадратичного программирования является NP-сложной [56, 117]. В нашем случае, при положительно определенной матрице Нс, задача решается за полиномиальное время [16] и требует выполнение около 0{nvL) арифметических операций (см., например, книгу [56] и приведенные там ссылки), где L — длина входа задачи (величина, определяющая число двоичных символов, необходимых для записи входной информации задачи), р 1, например, при решении задачи методом внутренней точки р = 3, 5.
Для повышения эффективности предлагается несколько способов, описанных в следующих параграфах. Во-первых, можно разбить путь на несколько участков и применять метод для каждого участка в отдельности. При этом возникает задача выбора граничных условий на концах участков, которая требует дополнительного исследования. Во-вторых, можно перейти от решения задачи условной минимизации к решению более простой задачи безусловной минимизации.
Для повышения эффективности метода сглаживания кривизны траекторий, описанного ранее, предлагается его модификация, сводящаяся к разбиению траекторий на несколько сегментов и применению метода к отдельным сегментам [10]. При этом уменьшается сложность задачи, но возникает следующая проблема. В описанном ранее методе сглаживания кривизны, к массиву данных добавляется по две точки в начале и в конце траектории, которые носят вспомогательный характер и не подвергаются вариации. Эти точки могут выбираться по-разному в разных задачах; например, они выбираются так, чтобы кривизна в начале и в конце траектории равнялась нулю. В случае достаточно длинной траектории конкретный выбор этих точек оказывает незначительный эффект на результирующую траекторию. Очевидно, что такой подход напрямую неприемлем в случае декомпозиции траектории, т.к. кривая может быть разбита в любой точке, кривизна в которой, вообще говоря, произвольна. Назначить другое значение кривизны и/или первой производной в точке разрыва мы также не можем, т.к. до применения метода, описанного в параграфе 3.1, их значения неизвестны.
Чтобы объяснить предложенный подход, рассмотрим случай, когда вся траектория разбивается на два сегмента, строящихся по контрольным точкам г\,..., г\ и r\,..., г . Предлагается выбирать граничные условия (дополнительные точки) в месте стыковки сегментов следу юіцим образом: в конец первого сегмента добавляются две первые точки из второго сегмента, а в начало второго сегмента добавляются две последние точки из первого сегмента. Применяя метод, описанный в параграфе 3.1, к каждому сегменту в отдельности, получим новые точки г\,...,г\ и fj, ...,ГтП. Если теперь построить В-сплайновую аппроксимацию по новым контрольным точкам, кривизна полученной кривой будет, как правило, не удовлетворительной в силу того, что граничные условия на стыке двух сегментов выбирались произвольно.
С другой стороны, выбранные граничные условия оказывают эффект на относительно небольшое число соседних точек. По мере удаления от места соединения сегментов, влияние сшивки двух сегментов быстро ослабевает. Поэтому, предлагается взять третий (меньший) сегмент, покрывающий место стыка двух первых сегментов и к нему также применить описанный ранее метод. Для третьего сегмента выбираются / последних точек первого сегмента и / первых точек второго сегмента.
Аппроксимация пути с помощью кубических В-сплайнов
В ходе экспериментов, машина, управляемая вручную оператором, проводится по желаемому пути. Координаты целевой точки машины отображаются на экране бортового компьютера и сохраняются в виде проекта, который затем можно открыть для повторения пути в автоматическом режиме. В проект можно записать как исходные точки, так и точки, полученные после применения метода сглаживания кривизны. Также можно записать матрицы Р инвариантных эллипсоидов, полученных применением методов, описанных в работе [21, 93] и основанных на решении линейных матричных неравенств. Их можно использовать следующим образом. Если траектория системы попадает в инвариантный эллипсоид, то гарантируется устойчивость замкнутой системы на данном участке траектории и у оператора на экране индикатор горит зеленым цветом, иначе — красным. Это дает следующую информацию оператору 1. на стадии приближения к целевой траектории — о том, что можно включить автоматическое управление, 2. на стадии автоматического управления — о том, можно ли продолжить движение, или необходимо сбавить скорость и перейти в ручной режим управления. Оператор, используя внешние ориентиры и информацию, отображаемую на экране компьютера (точки целевой траектории, текущее положение и ориентацию, цветовую индикацию), ставит машину рядом с ранее записанной траекторией. Затем он, управляя скоростью движения, запускает автоматическое управление, основанное на за 99 коне управления (1.26). Далее машина выходит на целевую траекторию и движется вдоль неё, как это описано в параграфе 2.3. Целевая траектория построенна по исходным точкам, или по точкам, полученным после применения одного из методов сглаживания кривизны, описанных в главе 3. В данном параграфе представлены результаты реальных экспериментов. Сперва, управляя автомобилем вручную, был получен набор точек 5 1. Затем проводились эксперименты по управлению движением автомобиля вдоль траектории C(Si), построенной по зашум-ленным точкам из набора Si (о данной траектории говорилось в параграфе 2.1.2) и вдоль траектории со сглаженной кривизной C(Siunc) (о данной траектории говорилось в параграфе 3.3.1). На представленных ниже иллюстрациях, рисунки слева с индексом а) соответствуют проезду вдоль траектории C(S\), а справа с индексом б) — C(Siur]C). Данные целевые траектории изображены на рис. 4.2 штриховой линией, па этом же рисунке сплошной линией показана реальная траектория движения автомобиля. Во время экспериментов автомобиль двигался со скоростью, изображенной на рис. 4.3, при этом подавалось управление, показанное на рис. 4.4, и угол поворота колес менялся, как это показано на рис. 4.5. Скорость движения вдоль траектории со сглаженной кривизной была почти в два раза больше, но, не смотря на это, автомобиль двигался с меньшим боковым отклонением, чем вдоль траектории, построенной по исходному набору точек «Si (см. рис. 4.6, где показаны боковое, угловое отклонение и отклонение кривизны траектории робота от целевой траектории). Также как это было во время моделирования (см. параграфы 2.4 и 3.5), подаваемое управление во время движения вдоль траектории со сглаженной кривизной C(S\unc) не достигало максимального значения. В то время как при движении вдоль траектории C(S\) руль автомобиля постоянно поворачивался из стороны в сторону с максимальной скоростью. Качество кривой C{S\unc) для ее использования в задачах автоматического управления можно также оценить по рис. 4.7, на котором изображены значения функции Ляпунова где матрица Р — матрица инвариантного эллипсоида, соответствующая сегменту траектории, вдоль которого в данный момент времени двигался автомобиль [21, 93]. Инвариантные эллипсоиды были построены для сегментов обеих траекторий. Не для всех участков траектории C(Si) удалось построить эллипсоиды, к тому же они оказались по размерам меньше чем для траектории C(Siunc). На левом рисунке 4.7 пробелы означают, что либо не получилось построить инвариантные эллипсоиды для данного участка траектории С (Si), либо значение функции Ляпунова превышает единицу, это означает, что не гарантируется устойчивость замкнутой системы. Несмотря на шумы измерительных устройств, при движении вдоль траектории C(Siunc), значение функции Ляпунова не превышало единицу, т.е. гарантировалась близость траектории системы к целевой траектории.
На рис. 4.8 показано в увеличенном масштабе боковое, угловое отклонение и отклонение кривизны траектории робота от целевой траектории. Как видно после выхода автомобиля на криволинейную целевую траекторию C(SiUnc) с максимальной кривизной ктах 0,11 м, он двигался с боковым отклонением не превышающим значение 5 см (среднеквадратичсское отклонение не превышало значения 2,4 см). Так, на примере автоматически управляемых сельскохозяйственных транспортных средств, скорость которых не превышает 4 м/с [19], допускаемые отклонения движения траектории в зависимости от типа проводимых работ находятся в пределах от 5 до 25 см [19, 41, 80].
Сведение к задаче условной минимизации
Сформулируем основные выводы и результаты проведенных исследований. 1. Представлена модель колесного робота с учетом ограниченности угла поворота рулевых колес и ограничений на ресурс управления. Представлена замена переменных, позволяющая привести систему к виду, допускающему линеаризацию с помощью обратной связи. Рассмотрена задача синтеза закона управления, позволяющего стабилизировать движение робота вдоль криволинейной целевой траектории, и учитывающего фазовые ограничения и ограничения на управление. 2. Сформулированы требования к целевой траектории. Предложено аппроксимировать целевую траекторию однородными (локально-аппроксимирующими ) кубическими В-сплайнами. Проведена оценка погрешности аппроксимации такими сплайнами. Рассмотрена задача вычисления расстояния до В-сплайновой кривой. Описана схема движения вдоль составной В-сплайновой кривой. Проведено моделирование управления движением колесного робота вдоль траектории, построенной по реальным измерениям. Показана непригодность использования такой кривой в задачах автоматического управления и необходимость сглаживать кривизну траектории. 3. Предложен метод сглаживания кривизны траекторий, сводящийся к решению задачи квадратичного программирования с простыми ограничениями. Предложено ввести дополнительные ограничения, учитывающие ограничения на максимальную кривизну траекторий. Предложен метод декомпозиции для сглаживания кривизны длинных траекторий. Предложено перейти от решения задачи квадратичного программирования с ограничениями к решению задачи безусловной минимизацией введением штрафа за большие вариации контрольных точек. Построена рекуррентная схема решения данной задачи. Предложены методы со скользящим окном, которые можно применять для сглаживания кривизны длинных траекторий при ограниченной оперативной памяти не только во время постпроцессинговой обработки, но и в режиме реального времени с небольшой задержкой. Предложен покомпонентный метод сглаживания кривизны траекторий, не требующий строгой равноудаленности контрольных точек и вычисления нормалей и их скалярных произведений. Данный метод можно применять при наличии аномальных измерений, вызванных потерей или искажением сигналов навигационных спутников. Также данный метод легко распространить на трехмерный случай. Решена задача оценки числа обусловленности матрицы задачи сглаживания кривизны траекторий. Проведены многочисленные эксперименты по сглаживанию кривизны траекторий, построенных по реальным GNSS измерениям. Проведено моделирование управления движением колесного робота вдоль траектории со сглаженной кривизной, получены хорошие результаты и показана важность задачи сглаживания кривизны траектории. 4. Реальные эксперименты с автомобилем, оснащенным навигационным и управляющим оборудованием и программным обеспечением, написанным автором, подтвердили результаты моделирования. Показана адекватность применения на практике представленной в работе модели колесного робота, синтезированного закона управления, программы движения вдоль составной В-сплайновой кривой, методов сглаживания кривизны траекторий и средств контроля, использующих инвариантные эллипсоиды. 5. Разработанные методы планирования пути по зашум ленным измерениям использованы в ООО «Джавад Джи Эп Эс Эс», что подтверждается актом о внедрении результатов диссертационной работы. Методы реализованы во встроенном программном обеспечении спутникового навигационного приемника и в бортовом компьютере колесного робота. Предложенные методы позволяют по зашумленпым измерениям спутникового навигационного приемника получать траектории с плавно меняющейся кривизной в режиме реального времени и при ограниченной оперативной памяти. Использование таких траекторий в задачах автоматического управления движением колесного робота увеличивает качество сформированного управления, уменьшает расход энергии на повороты рулевых колес и повышает точность отработки целевой траектории.
Результаты реальных экспериментов по автоматическому управлению движением автомобиля
Для повышения эффективности метода сглаживания кривизны траекторий, описанного ранее, предлагается его модификация, сводящаяся к разбиению траекторий на несколько сегментов и применению метода к отдельным сегментам [10]. При этом уменьшается сложность задачи, но возникает следующая проблема. В описанном ранее методе сглаживания кривизны, к массиву данных добавляется по две точки в начале и в конце траектории, которые носят вспомогательный характер и не подвергаются вариации. Эти точки могут выбираться по-разному в разных задачах; например, они выбираются так, чтобы кривизна в начале и в конце траектории равнялась нулю. В случае достаточно длинной траектории конкретный выбор этих точек оказывает незначительный эффект на результирующую траекторию.
Очевидно, что такой подход напрямую неприемлем в случае декомпозиции траектории, т.к. кривая может быть разбита в любой точке, кривизна в которой, вообще говоря, произвольна. Назначить другое значение кривизны и/или первой производной в точке разрыва мы также не можем, т.к. до применения метода, описанного в параграфе 3.1, их значения неизвестны.
Чтобы объяснить предложенный подход, рассмотрим случай, когда вся траектория разбивается на два сегмента, строящихся по контрольным точкам г\,..., г\ и r\,..., г . Предлагается выбирать граничные условия (дополнительные точки) в месте стыковки сегментов следу юіцим образом: в конец первого сегмента добавляются две первые точки из второго сегмента, а в начало второго сегмента добавляются две последние точки из первого сегмента. Применяя метод, описанный в параграфе 3.1, к каждому сегменту в отдельности, получим новые точки г\,...,г\ и fj, ...,ГтП. Если теперь построить В-сплайновую аппроксимацию по новым контрольным точкам, кривизна полученной кривой будет, как правило, не удовлетворительной в силу того, что граничные условия на стыке двух сегментов выбирались произвольно.
С другой стороны, выбранные граничные условия оказывают эффект на относительно небольшое число соседних точек. По мере удаления от места соединения сегментов, влияние сшивки двух сегментов быстро ослабевает. Поэтому, предлагается взять третий (меньший) сегмент, покрывающий место стыка двух первых сегментов и к нему также применить описанный ранее метод. Для третьего сегмента выбираются / последних точек первого сегмента и / первых точек второго сегмента В качестве дополнительных точек для третьего сегмента выбираются в начале сегмента r _z_1, г _г, в конце, f+1,rf+2. К полученному третьему сегменту также применяем метод, описанный в параграфе 3.1, в результате получаем новые точки rf, ---,. Искомая В-сплайновая аппроксимация траектории строится по набору контрольных точек
В данном примере набор реальных измерений S\ (о данном наборе уже говорилось в параграфе 2.1.2) разбивается на два набора по 105 и 155 точек. Если к каждому набору в отдельности применить метод, описанный в параграфе 3.1, а затем полученные точки объединить в один набор, то кривизна кривой построенной по этому набору будет иметь большой скачок в точке разбивки и соединения. Кривизна этой кривой изображена на рис. 3.3 пунктирной линией.
Если сглаживать кривизну траектории, как это было предложено выше, с использованием дополнительного сегмента, то кривизна полученной кривой (на рис. 3.4 — пунктирная линия) будет практически неотличима от кривизны кривой C(S icon) (на рис. 3.2, 3.3 и рис. 3.4 — сплошная линия).
