Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Постановка и общее решение задачи коррекции показаний морской навигационной системы с использованием нелинейных измерений 11
1.1. Постановка задачи коррекции показаний морской навигационной системы в рамках теории нелинейной фильтрации 11
1.2. Общее решение задачи нелинейной фильтрации при использовании линейного и нелинейного оптимальных алгоритмов 15
1.3. Обзор субоптимальных методов построения алгоритмов решения задач нелинейной фильтрации 18
1.4. Методика анализа эффективности алгоритмов нелинейной фильтрации...24
1.5. Модели ошибок морских навигационных систем, внешних датчиков и классификация соответствующих задач фильтрации 27
1.6. Выводы к главе 1 33
ГЛАВА 2 Исследование линейного оптимального алгоритма и его модификаций 35
2.1. Анализ особенностей линейного оптимального алгоритма 35
2.2. Сопоставление нелинейного и линейного оптимальных алгоритмов 40
2.3. Сопоставление линейного оптимального алгоритма с фильтрами калмановского типа 46
2.4. Исследование возможностей повышения точности при использовании модификаций линейного оптимального алгоритма 58
2.5. Анализ возможности реализации рекуррентного линейного оптимального алгоритма 61
2.6. Выводы к главе 2 64
ГЛАВА 3 Разработка шлинейных алгоритмов с использованием последовательных методов монте-карло
3.1 Анализ особенностей последовательных методов Монте-Карло для решения исследуемой задачи нелинейной фильтрации 66
3.2 Применение процедур частичного аналитического интегрирования для решения задачи коррекции показаний морской навигационной системы 75
3.3. Алгоритм коррекции показаний морской навигационной системы с использованием последовательных методов Монте-Карло и приема частичного аналитического интегрирования 79
3.4. Сопоставление метода сеток и последовательных методов Монте-Карло в задаче коррекции показаний морской навигационной системы 81
3.5. Выводы к главе 3 86
ГЛАВА 4 Исследование эффективности линейных и нелинейных алгоритмов в задачах коррекции показаний морской навигационной системы 87
4.1. Анализ причин снижения точности линейного оптимального алгоритма по сравнению с нелинейным оптимальным алгоритмом в задачах коррекции показаний морской навигационной системы 87
4.2. Исследование эффективности модификаций линейного оптимального алгоритма для решения задачи коррекции показаний морской навигационной системы 98
4.3. Сопоставление нелинейных алгоритмов на основе последовательных методов Монте-Карло с методом сеток для решения задачи коррекции показаний морской навигационной системы 107
4.4. Описание комплекса программ для оценки эффективности линейных алгоритмов и их модификаций при решении нелинейных навигационных задач 118
4.5. Выводы к главе 4 121
Заключение 123
Список сокращений и условных обозначений 125
Список литературы
- Обзор субоптимальных методов построения алгоритмов решения задач нелинейной фильтрации
- Сопоставление линейного оптимального алгоритма с фильтрами калмановского типа
- Применение процедур частичного аналитического интегрирования для решения задачи коррекции показаний морской навигационной системы
- Сопоставление нелинейных алгоритмов на основе последовательных методов Монте-Карло с методом сеток для решения задачи коррекции показаний морской навигационной системы
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. При обработке навигационной информации зачастую приходится сталкиваться с необходимостью решения задач, в которых использование традиционных алгоритмов калмановской фильтрации, широко применяемых на практике, оказывается неприемлемым. Это связано с существенно нелинейным характером задач, обусловленным, как правило, нелинейной зависимостью измерений от оцениваемого вектора состояния. Одной из таких задач является задача коррекции показаний навигационной системы с использованием информации от внешних датчиков. Особенность ряда задач коррекции показаний морских навигационных систем (НС) заключается в длительном характере процедуры коррекции, что обусловлено, в том числе, недостаточно высокой скоростью движения морских объектов по сравнению, например, с летательными аппаратами. Это приводит к необходимости учета изменчивости оцениваемого вектора состояния, который включает ошибки выработки навигационных параметров НС. В применяемых в настоящее время алгоритмах учет изменчивости ошибок морских НС осуществляется лишь приближенно. По сути, при синтезе алгоритмов предполагалось неизменность (постоянство) ошибок выработки координат корректируемой НС. Поэтому такие алгоритмы малоэффективны при длительном характере проведения коррекций, необходимость которых возникает для обеспечения наблюдаемости ошибок показаний НС. К примеру, известно, что для уточнения двух составляющих координат при проведении коррекции по информации о геофизическом поле требуется прохождение участков, на которых градиенты поля располагаются под углами, близкими к 90 градусам. Зачастую такие участки находятся в некотором удалении друг от друга, что и обосновывает необходимость длительного проведения коррекции показаний морских НС.
Степень разработанности темы диссертации. Известно, что единого алгоритма, позволяющего эффективно решать весь спектр задач нелинейной фильтрации, с которыми приходится сталкиваться на практике, не существует. Основой для построения алгоритмов нелинейной фильтрации служат работы Стратоновича Р. С, Пугачева B.C., Тихонова В.И., Бьюси Р.С, Крамера С.К., Кушнера Г. Язвинского А. и др. Применительно к задачам обработки навигационной информации значительный вклад в развитие нелинейных алгоритмов внесли Красовский А. А., Белоглазов И. Н., Дмитриев СП., Степанов О.А., Ярлыков М. С, Бергман Н.
В области разработки алгоритмов решения нелинейных задач фильтрации на сегодняшний день наблюдается значительный прогресс, при этом наибольшее распространение получают два направления.
Одно из них связано с построением нелинейного оптимального алгоритма (НОА), направленного на нахождение условного математического ожидания для оцениваемого вектора состояния и обеспечивающего минимизацию среднеквадратической ошибки оценивания с использованием так называемых последовательных методов Монте-Карло (англ. Sequential Monte Carlo methods),
часто называемых парциальными или частичными фильтрами (англ. particle filters). Эти методы получили развитие в работах Шимелевича Л.И., Зарицкого B.C., Doucet, A., Gordon N.J., Bergman TV. и др.
Другое направление, представленное в основном, в работах зарубежных авторов Juiler S. J., Uhlmann J. К., Li X. Rong, а также работах Степанова О.A., опирается на алгоритм, обеспечивающий минимизацию среднеквадратической ошибки, но уже в классе оценок, линейным образом зависящих от измерений, и его различные модификации, приводящие к алгоритмам калмановского типа, например ансцентный фильтр Калмана (от англ. Unscented Kalman Filter). Такой алгоритм называется далее линейным оптимальным алгоритмом (ЛОА).
Таким образом, представляется целесообразным с учетом современных достижений в области построения алгоритмов нелинейной фильтрации исследовать возможность построения эффективных алгоритмов в задачах коррекции показаний морской НС, обеспечивающих адекватный учет изменчивости ее ошибок в течение всего времени коррекции. Под эффективными алгоритмами в работе понимаются алгоритмы, обеспечивающие точность, близкую к точности НОА и вырабатывающие расчетную характеристику точности в виде матрицы ковариаций ошибок оценивания, отражающую действительный уровень ошибок фильтрации.
Наличие таких алгоритмов создаст предпосылки для существенного расширения области применения внешних датчиков, используемых при коррекции показаний морских НС по нелинейным измерениям, что и определяет актуальность темы диссертации.
Цель работы: разработка эффективных алгоритмов фильтрации в задачах коррекции показаний морской НС с использованием нелинейных измерений за счет адекватного учета изменчивости ее ошибок.
Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие основные задачи:
сформулировать математическую постановку задачи коррекции показаний морской НС в рамках теории нелинейной фильтрации;
проанализировать современные достижения в области построения линейных и нелинейных алгоритмов фильтрации;
сформировать модели ошибок морской НС, адекватно описывающие их изменчивость в течение времени коррекции;
проанализировать специфику рассматриваемых задач коррекции и предложить классификацию соответствующих им задач нелинейной фильтрации;
предложить методику оценки эффективности разрабатываемых алгоритмов;
исследовать особенности ЛОА и его эффективность по сравнению с НОА и известными алгоритмами калмановского типа и на основе этого разработать модифицированные линейные алгоритмы, позволяющие повысить эффективность с точки зрения достигаемой точности и быстродействия при решении задачи коррекции показаний морской НС;
выявить пути повышения эффективности и разработать нелинейные алгоритмы, основанные на последовательных методах Монте-Карло, для решения задачи коррекции показаний морской НС;
сравнить алгоритмы, основанные на последовательных методах Монте-Карло, с алгоритмами, основанными на методе сеток для решения задачи коррекции показаний морской НС.
Положения, выносимые на защиту:
-
Линейные модели для нелинейных измерений в задаче коррекции показаний морской НС.
-
Модифицированные линейные алгоритмы фильтрации для решения задачи коррекции показаний морской НС.
-
Нелинейный алгоритм фильтрации для решения задач коррекции показаний морской НС, учитывающий изменчивость ее ошибок.
-
Результаты сопоставления алгоритмов решения задачи коррекции показаний морской НС с использованием метода сеток и последовательных методов Монте-Карло.
Научная новизна
-
Предложены линейные модели для нелинейных измерений, позволяющие анализировать причины снижения точности линейного оптимального алгоритма фильтрации по сравнению с нелинейным оптимальным алгоритмом в задаче коррекции показаний морской НС.
-
Исследованы взаимосвязь и отличительные особенности линейного оптимального алгоритма фильтрации от нелинейного оптимального алгоритма и субоптимальных фильтров калмановского типа и предложены модификации линейного алгоритма, повышающие его эффективность при решении задачи коррекции показаний морской НС.
-
Разработан нелинейный алгоритм фильтрации в задаче коррекции показаний морской НС при использовании нелинейных измерений, основанный на применении последовательного метода Монте-Карло и приема частичного аналитического интегрирования, позволяющий учесть изменчивость ошибок морской НС и значительно (до четырех раз по сравнению с применяемыми в настоящее время алгоритмами) увеличить время эффективной работы алгоритма коррекции.
-
Проведено сопоставление метода сеток и методов Монте-Карло в задаче коррекции показаний морской НС при изменчивости ее ошибок и выявлено два преимущества метода Монте- Карло, связанных с возможностью применения процедур частичного аналитического интегрирования и сокращением объема вычислений.
Теоретическая и практическая значимость 1. Предложенные линейные модели, модифицированные линейные алгоритмы фильтрации и нелинейные алгоритмы, основанные на применении последовательного метода Монте-Карло и приема частичного аналитического интегрирования могут быть использованы не только в задачах коррекции морской НС, но и при решении задач коррекции других НС, а также при решении ряда прикладных задач фильтрации, особенность которых заключается в оценивании случайных последовательностей, описываемых
линейными формирующими фильтрами с использованием нелинейных измерений.
-
Разработанные линейные модели для нелинейных измерений использованы при создании математического и программного обеспечений для автоматизированных интегрированных навигационных систем в рамках ОКР «Созвездие», выполненной в ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор».
-
Применение разработанного нелинейного алгоритма фильтрации позволяет значительно увеличить время его эффективной работы и создает предпосылки для существенного расширения области применения внешних датчиков, используемых при коррекции показаний морской НС по нелинейным измерениям. Такой алгоритм внедряется в навигационные комплексы, создаваемые в ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор».
-
Разработан комплекс программ для исследования эффективности линейных алгоритмов при решении задач обработки навигационной информации с нелинейными измерениями. С его использованием создана лабораторно-практическая работа для изучения алгоритмов решения задач обработки навигационной информации, внедренная в учебный процесс на базовой кафедре информационно-навигационных систем Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики в рамках магистерской программы «Интеллектуальные системы управления движением и навигации».
Методология и методы исследований. В работе использовался аппарат теории вероятности и математической статистики, теории линейной и нелинейной оптимальной фильтрации, матричной алгебры, а также методы математического моделирования.
Степень достоверности, апробация работы и публикации. Материалы работы докладывались на российских и международных конференциях: Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам (в 2008 и 2010 гг.), конференциях молодых ученых «Навигация и управление движением» (2008, 2009, 2010 гг.), конференциях памяти выдающегося конструктора гироскопических приборов Н. Н. Острякова (2006, 2008, 2010, 2012), симпозиуме IFAC по интеллектуальным автономным объектам (Франция, 2007 г.) и 17-м Всемирном конгрессе IF АС (Корея, 2008 г.). Всего по материалам диссертации опубликовано 22 работы, из них 5 статей (в т.ч. 4 в научно-технических журналах, рекомендуемых ВАК), 13 докладов и 4 реферата докладов. Результаты работы также представлены в отчетах по гранту РФФИ 11-08-00372-а и гранту по конкурсу «У.М.Н.И.К.».
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка публикаций автора, списка использованной литературы, приложений. Общий объем диссертации составляет 147 страниц, в тексте имеется 32 рисунка, 12 таблиц, 5 приложений, список литературы содержит 102 наименования.
Обзор субоптимальных методов построения алгоритмов решения задач нелинейной фильтрации
Обсудим основные известные из литературы методы построения алгоритмов решения задач нелинейной фильтрации, направленные на реализацию ЛОА и НОА.
Как отмечалось выше, для вычисления оптимальных оценок (1.2.1) требуется знание АП. Для ее описания используются различные методы аппроксимации, и интегралы (1.2.1) вычисляются с привлечение численных методов. В качестве таких методов наиболее часто применяются: метод Монте-Карло и его модификации [12], [52], метод сеток [80], метод точечных масс [54], полигауссовская аппроксимация АП [21] и др.
Обзор литературы показал, что в области построения алгоритмов фильтрации значительное развитие получило направление, основанное на основе широко известного метода Монте-Карло [1], [17], [21]. Рассмотрим идею этого метода на простом примере. Предположим, что требуется найти интеграл, представляющий собой математическое ожидание некоторой скалярной функции скалярного аргумента / = A//Wfe(x)}= ШДхУх. (1-3.1) При вычислении этого интеграла с помощью метода Монте-Карло с использованием /(х) моделируется набор независимых между собой реализаций xJ случайной величины х и его значение представляется в виде: / = 7=4 S 7), (1.3.2) где L - количество реализаций случайной величины. Понятно, что формируя выборки в соответствии, например, с АП /(x,-/Y,-), то НОА (1.2.1) может быть построен с использованием этого метода. Попытки построения алгоритмов нелинейной фильтрации, основанные на методе Монте-Карло, предпринимались ещё в 70-х годах прошлого века. Одними из первых этот метод был предложен отечественными учеными для решения задач фильтрации в работах [12], [100], [95], которые впоследствии были продолжены С. П. Дмитриевым, Л. И. Шимелевичем [7] и О.А. Степановым [21]. Из зарубежных авторов в этой области следует отметить работу [66]. Однако, по причине слабости вычислительной техники того периода эти алгоритмы не получили широкого распространения.
Интерес к этим методом усилился в последние годы в связи с значительный развитием средств вычислительной техники. Толчком к развитию алгоритмов, построенных на основе метода Монте-Карло послужила работа, в которой предлагался способ формирования повторной существенной перевыборки (Sampling Importance Resampling, SIR) [93], который впоследствии стал широко использоваться при построении так называемых последовательных методов Монте-Карло (Sequential Monte Carlo methods1) [59], [60] или парциальных (частичных) фильтров (particlefilters) [61], [64]. Первая работа, демонстрирующая эффективность применения повторной существенной перевыборки в задачах фильтрации появилась в 1993 г и алгоритм, её использующий, был назван bootstrap фильтр [63]. Впоследствии это направление стало широко развиваться, в частности, вышел ряд монографий, среди которых следует отметить [52], [55], [58], [59], [92] а методы «парциальной фильтрации» (particle filtering) нашли свое применение для решения задач слежения [52], [64] и распознавания речи [101] в средствах связи [91], а также для решения навигационных задач [25], [51], [52],
Не следует путать термин «sequential Monte Carlo methods», предложенный в работах [59], [60] с термином «sequential Monte Carlo», используемым в работе [67]. В работах [59], [60] этот термин применительно к решению задач оценивания, в то время как в работе [67] под ним понималось итерационное вычисление интеграла. [56], [57], [76]-[78], [81], [87], [88], [94]. В настоящее время существует несколько разновидностей парциальных фильтров, среди которых следует выделить [64]: - Sampling Importance Resampling particle filter, который является наиболее распространенным вариантом парциальных фильтров. Его особенность заключается в том, что на каждом шаге анализируется «необходимость» проведения процедуры повторной существенной перевыборки путем сопоставления вычисленного значения так называемых «эффективных» реализаций метода Монте-Карло с некоторым эвристически выбранным пороговым значением; - Auxiliary particle filter, который представляет разновидность «S/Я-фильтра, ориентированного на задачи с небольшим уровнем порождающих шумов - таких, при которых оцениваемый вектор практически неизменен во времени; - Regularized particle filter, представляющий собой субоптимальный по отношению к SIR фильтру алгоритм, позволяющий в некоторых случаях более точно «отслеживать» те области, в которых АП отлична от нуля. Кроме этого следует отметить, что алгоритмы, основанные на ПМК, можно различать по способам формирования повторной существенной перевыборки, обзор которых представлен в [53].
Для построения субоптимального алгоритма (1.2.5)-(1.2.10) требуется лишь знание первых двух моментах составного вектора, включающего оцениваемый вектор и вектор измерений. При этом, оценка вектора состояния линейно зависит от измерений. Задача построения алгоритма ЛОА (1.2.5)-(1.2.10) сводится к задаче нахождения линейной оптимальной несмещенной оценки вектора х( по ИЗМереНИЯМ Y,-.
Проведенный обзор позволил выявить большое количество алгоритмов, получаемых из различных соображений, построенных так же как и ЛОА, и использующих различные численные процедуры для вычисления моментов (1.2.8)-(1.2.10) [58], [86]. К ним, в частности, относятся широко известные фильтры, использующие локальную линеаризацию (обобщенный ФК, итерационный ФК, фильтры второго порядка [21]) а также статистическую линеаризацию (квазилинейный алгоритм [62, стр. 210], линейный регрессионный ФК [82]); алгоритмы, использующие специальные процедуры (напр. U-преобразование [73], [99]), алгоритмы, предполагающие точное отыскание линейной оптимальной оценки (линейный оптимальный алгоритм [22], или Best Linear Optimal Estimator (BLUE) [83]) и др. Эти алгоритмы получили широкое распространение при решении различных задач в биомедицине [5], [6], навигации [21], [23], радиотехнике [46], робототехнике [82] и других отраслях [58]. Выделим основные группы алгоритмов такого типа: - алгоритмы КТ, базирующиеся на приближенном представлении s,-(x,-); - алгоритмы КТ, основанные на методе статистической линеаризации; - алгоритмы КТ, основанные на методах приближенного вычисления двух первых моментов функции плотности распределения, для вектора, подверженного нелинейному преобразованию; -ЛОА (BLUE). Обсудим далее особенности таких алгоритмов. Основная идея построения алгоритмов КТ, базирующихся на приближенном представлении s,-(x;-), заключается в попытке сведения исходной нелинейной задаче к линейной с последующим применением к ней процедур калмановской фильтрации. При этом приведение к линейной постановке производится путем локальной линеаризации, с использованием разложения в ряд Тейлора малой в окрестности точки линеаризации с последующим отбрасыванием членов высших порядков малости.
Сопоставление линейного оптимального алгоритма с фильтрами калмановского типа
Из представленного материала с очевидностью вытекает, что ЛОА может быть получен в результате решения «эквивалентной» задачи линейного оценивания в предположении, что модель измерений задана в виде (2.1.8).
Таким образом, можно отметить следующую особенность ЛОА - исходные нелинейные измерения Y,- заменяются эквивалентными линейными измерениями (2.1.9), а для учета такой замены в модели измерений к исходному вектору ошибок V/ добавляется вектор дополнительных методических ошибок Vdoni, обусловленных такой заменой.
Обсудим смысл процедуры введения «эквивалентных» линейных измерений в ЛОА на примере [29]. Для простоты будем полагать, что проводится всего одно измерение в момент Т и решается задача оценивания частоты гармонического сигнала sm(xT) с использованием скалярного измерения y = sm(xT) + v, (2.1.15) где х - равномерно распределенная случайная величина в пределах [xmin,xmax], a v - ошибка измерения. В этом случае введение линейного измерения типа (2.1.9) сводится к замене s(x) = sin(7x) на линейное представление вида s(x)ay(T) + Hlm(T)(x-x). Примеры нелинейной функции и ее линейного представления при разных значениях Т приведены на рис. Нелинейная функция s(x) = sin(Tx) - 2 и её линейное представление s(x) y{T) + Hli"(T)(x-x) - 1 при Т = 0.25с (а) и Т = 0.53с (б). Анализ этих графиков подсказывает достаточно понятную геометрическую интерпретацию рассматриваемой процедуры. Необходимо подобрать линейное описание для нелинейной функции s(x) так, чтобы в области априорной неопределенности она наилучшим образом описывала s(;c). Вводя количественный критерий, определяющий отличие исходной нелинейной функции от ее линейного аналога в виде J{y,Hlin) = Mf )\sm{Tx)-Hlin{x-x)-y)2), (2.1.16) нетрудно убедиться в том, что выражения для у и "(Т), получаемые при минимизации этого критерия, совпадут с выражениями для параметров «эквивалентных» линейных измерений ЛОА. В общем случае, как показано в в приложении А, параметры, определяющие «эквивалентные» линейные измерения (2.1.9), обеспечивают минимизацию критерия у(/,Н,)=М/(х)[8Дх)-НКх-х)-У [8Дх)-НДх-х)-/]}, (2.1.17) используемого в методе статистической линеаризации [97]. Сопоставим объем вычислений, необходимый для реализации линейного (V ) и нелинейного (Fop ) оптимальных алгоритмов [30]. Для простоты будем полагать, что решается задача оценивания двумерного гауссовского вектора, а измерения - скалярные. В этом случае НОА может быть записан в виде (2.1.18) P (Yf) = f(x-x (YI))(x-x/74Y/))T f(x/ Yt)dx. Для АП в (2.1.16) справедливо следующее выражение: /(х / Y,) ос ехр{-р(х, ,)}/( ), (2.1.19) где p(x,Y/)=-Vf;U- (x))2, г2 Ы (2.1.20) а г - среднеквадратическое отклонение (СКО) шумов измерений.
Сравним количество интегралов iff и //„", которые необходимо найти при получении оценок и матриц ковариаций (2.1.18), и (1.2.8)-(1.2.10) в рассматриваемом примере. При этом будем полагать, что решаемая задача относится к классу задач со смешанными нелинейностями, т.е. количество экстремумов уменьшается с накоплением измерений. Нетрудно заметить, что iff определяется размерностью вектора состояния и матрицы ковариаций, с учетом симметричности матрицы ковариаций iff = 9. lin Величина /int зависит не только от размерности вектора состояния, но и от размерности вектора измерений т. Принимая т = 1 - 20, легко убедиться в том, что ijn" = 4 -J- 270 (см. приложение Б).
Проанализируем количество реализаций в методе Монте-Карло, необходимое для вычисления интегралов (2.1.18) и (2.1.4)-(2.1.6). Заметим, что при увеличении числа обрабатываемых измерений т для расчета подынтегральных выражений (2.1.18) требуется намного больше реализаций в методе Монте-Карло, чем для расчета (2.1.4)-(2.1.6). Это связано с тем, что при увеличении числа измерений область, в которой АП существенно отлична от нуля «сужается», и поэтому для нахождения оценок требуется значительное количество реализаций для точного вычисления интегралов (2.1.18). Кроме этого, сложность вычисления подынтегральных выражений (2.1.18) выше, чем для подынтегральных выражений (2.1.4)-(2.1.6). Это объясняется тем, что для расчета (2.1.18) необходимо вычислять exp{-p(x,Y;)}, в то время как для нахождения (2.1.4)-
(2.1.6) требуется вычислять или Sj(x), или произведения Sj(x)Sj(x),xsj(x);i,j = l.m. Таким образом, хотя 1 1 , начиная с т 3, тем не менее, практика показала, что для реализации ЛОА требуется меньший объем вычислений, чем для НОА, т.е. Fopt Flin.
Следует отметить, что при изменчивости оцениваемого вектора ситуация существенным образом меняется. В этом случае для реализации ЛОА необходимо вводить расширенный вектор, включающий вектор оцениваемых параметров во все моменты времени. Понятно, что в такой ситуации объем вычислений ЛОА будет выше, чем у НОА. Таким образом, актуальной является задача построения ЛОА по рекурентной схеме, обсуждаемая в разделе 2.5.
Проведенный анализ особенностей ЛОА позволяет выявить возможные причины, по которым ЛОА будет проигрывать в точности НОА. Во-первых, это происходит в силу замены нелинейной функции ее линейной аппроксимацией, а во-вторых - за счет появления дополнительной ошибки, обусловленной такой заменой. Таким образом, исследование эффективности ЛОА по сравнению с НОА может быть сведено к оценке уровня снижения точности при использовании ЛОА по сравнению с НОА, вызванных этими причинами. В настоящем разделе предлагается ввести линейные модели для нелинейных измерений, но уже применительно не к ЛОА а к НОА, которые создают предпосылки для анализа причин снижения точности ЛОА [96]. Построение таких моделей базируется на использовании неравенства Рао-Крамера (1.4.5), при этом предполагается, что потенциальная точность, определяемая Gpt=Gpt, близка к потенциально достижимой точностью, часто называемой нижней границей точности (НГТ), и задаваемой J71 (1.4.6). Для гауссовского случая матрица J, определяется в виде [23]
Применение процедур частичного аналитического интегрирования для решения задачи коррекции показаний морской навигационной системы
Любопытным представляется тот факт, что веса в (3.1.14) и (3.1.15) совпадают. Анализ выражения (3.1.13) показывает, что для вычисления оценки и матрицы ковариаций (3.1.4), (3.1.5) на каждом шаге нужно иметь выборки х/_р с использованием которых формируются выборка х/, j = 1X. Отсюда следует, что при решении задач фильтрации на каждом / -ом шаге нет необходимости хранить в памяти всю «предысторию», т.е. выборки Х/_2. Особенность рассмотренного простейшего ПМК заключается в том, что формирование выборки происходит в соответствии с априорной плотностью. Функцию плотности, в соответствии с которой моделируется выборка, называют существенной, а в случае, если реализации в соответствии с этой плотностью может быть получены рекуррентно, то метод Монте-Карло с ее использованием называют методом Монте-Карло с последовательной существенной выборкой -іЖ-процедурой [59]. Выбор существенной функции является весьма важным, поэтому целесообразно в качестве существенной использовать функцию, которая позволяла бы моделировать выборку областях, где АП существенна отлична от нуля. Особенности применения различных существенных функций рассмотрены в [59], [64]. При этом отмечается, что при любом выборе существенной функции дисперсия весов (3.1.6) растет во времени [79]. Таким образом, с течением времени значения всех весов (3.1.6) могут стать близкими к нулю. Эта особенность 575-процедур обычно называется проблема «вырождения» алгоритма фильтрации {degeneracy of the algorithm) [64].
Для преодоления указанного недостатка может быть использована процедура повторной существенной перевыборки {Sampling Importance Resampling, далее называемая SZR-процедура) [92], суть которой поясняется ниже. Предположим, что имеется выборка X/_l5 j = l.L, полученная в соответствии с плотностью /(Хм /Y j), т.е. имеется представление вида /(XM/YM) }5(xM-X/4). (3.1.16) Lj=\ В работах [63], [92] показано, что располагая X/_j возможно сформировать выборку, соответствующую АП /(X//Y,-). Для этой цели необходимо в соответствии с (3.1.13) сформировать выборку X/ = x/,X/lj и вычислить веса вида (3.1.11), где qU=\- (ЗЛ.17) Выборка X/, соответствующая АП, может быть получена путем моделирования случайных векторов в соответствии дискретным законом распределения [11], [20], задаваемым множеством X/ и весами q{, j = l.L, которые трактуются как вероятности принятия случайным вектором значения X/. Таким образом формируются реализации X{ f{XiIYi),j = \I, (3.1.18) а для АП может быть записано /(X//Y/ i-E5(x/-X/). (3.1.19) В результате для АП имеем представление, в котором веса одинаковые, т.е. их дисперсия нулевая. Использование же іЖ-процедурьі равносильно применению аппроксимации (3.1.14), в которой веса различны, т.е. их дисперсия отлична от нуля и кроме этого, возрастает во времени.
Особенность рассмотренной 7/?-процедуры заключается в том, что её возможности при решении задач оценивания постоянного вектора или вектора с малым уровнем порождающих шумов ограничены. Действительно, при увеличении количества измерений многократное применение 57/?-процедуры в такой задаче неизбежно приведет к тому, что выборка будет состоять из одного элемента с весом 1/L, который в выборке повторяется L раз. Эта проблема известна как проблема вырождения выборки {sample impoverishment) [64]. Для снижения риска возникновения этой проблемы, а также с целью снижения объема вычислений, при построении алгоритмов фильтрации на каждом шаге предлагается анализировать «необходимость» проведения 57Я-процедуры путем сопоставления вычисленного значения так называемых «эффективных» реализаций метода Монте-Карло с некоторым эвристически выбранным пороговым значением.
Поясним на примере задачи оценивания частоты (2.3.4) особенности ПМК с SIR - процедурой. Будем считать что х - гауссовская случайная величина с математическим ожиданием х = 2% и СКО ст0 = 0,87і:, а ошибки измерения V/ - центрированные случайные величины, распределенные по гауссовскому закону с одинаковыми СКОг = 1. На рисунке 13 приведены графики, полученные при дискретности измерений 0.2 с, т = Ъ, числе реализаций ПМК =10000 и истинном значении оцениваемого параметра д:нст = 5: вертикальные графики соответствуют первому, второму и третьему измерению. Верхние три рисунка показывают вид нелинейной функции в области априорной неопределенности и значения проведенных измерений. В середине представлены графики АП, а в нижней части - гистограммы, полученные с использованием «SZR-процедуры, соответствующие представлению (3.1.13). Аналогичные результаты для оценивания винеровской последовательности по измерениям гармонического сигнала представлены на рис. 14. Порождающие шумы в модели оцениваемой последовательности предполагались единичной интенсивности, а истинные значения принимали следующие значения: хтгї = 8,4, хист2 = 7,6, хист3 = 8,3.
Из представленных рисунков видно, что элементы моделируемых выборок при использовании ПМК располагаются в областях, где АП существенна отлична от нуля, т.е. в областях экстремумов АП. Это наглядно иллюстрирует способность 57 -процедуры бороться с вышеупомянутой проблемой «вырождения» алгоритма фильтрации.
Проиллюстрируем проблему вырождения выборки при использовании SIR-процедуры на рассмотренных выше примерах при небольшом объеме выборки L=100 и числе измерений т=50 (рис.15).
Сопоставление нелинейных алгоритмов на основе последовательных методов Монте-Карло с методом сеток для решения задачи коррекции показаний морской навигационной системы
Построение комплекса программ (КП), предназначенного для исследования эффективности линейного оптимального алгоритмов и его модификаций, осуществлялось в среде Matlab. Общая структурная схема представлена на рис. 31 [40].
Схема иллюстрирует процесс реализации методики оценки эффективности алгоритмов КТ, который заключается в следующем. На основании априорной информации моделируются реализации вектора состояния и измерений, которые являются входными данными для алгоритмов. Оценки, вырабатываемые в этих алгоритмах, используются для формирования действительных матриц ковариаций. Сопоставление полученных матриц ковариаций соответствующих алгоритмам КТ, оптимальному алгоритму и нижней границе точности, позволяет судить об их эффективности.
КП включает в себя следующие основные блоки [35]: 1. формирования модели оцениваемой последовательности и измерений; 2. вычисления оценки и матрицы ковариаций, соответствующей алгоритму КТ; 3. вычисления оптимальной оценки и матрицы ковариаций; 4. вычисления нижней границы точности; 5. формирования и вывода результатов; 6. интерфейса пользователя.
Блок формирования модели оцениваемой последовательности и измерений. В этом блоке формируются значения оцениваемой последовательности с использованием (1.1.1). Параметры формирующего фильтра (законы распределения оцениваемого вектора, вектора порождающих шумов, начальные условия и т.д.) задаются пользователем посредством диалога, реализованного в блоке интерфейса пользователя.
В блоке предусмотрено два способа задания измерений. Если вид функции измерений определяется несложными аналитическими скалярными функциями, то их вид может быть записан в синтаксисе Матлаб в одном из полей интерфейса пользователя.
Во втором случае пользователем формируется m-функция, в которой задается правило вычисления функции измерений.
Блок вычисления оценки и матрицы ковариаций, соответствующей алгоритму КТ. В этом блоке осуществляется вычисление оценки и матрицы ковариаций, соответствующих следующим алгоритмам КТ: - обобщенному ФК; - итерационному ФК; - ансцентный ФК; - пользовательскому алгоритму.
Для реализации этих алгоритмов создано три модуля, в первом из которых вычисляются прогнозные значения оценки и матрицы ковариаций. Далее эти параметры передаются во второй модуль, в котором вычисляются параметры соответствующего алгоритма (первые два момента). Сформированные во втором модуле параметры передаются в модуль вычисления оценки и матрицы ковариаций на текущем шаге. Если имеется необходимость исследования алгоритма КТ, не входящих в КП, то в этом случае можно воспользоваться функцией пользовательского алгоритма. Для этого пользователем формируется m-файл, в котором задаются правила вычисления первых двух моментов. По полученным значениям в КП формируются оценка и матрица ковариаций.
Удобство трехмодульного построения алгоритма КТ объясняется тем, что модуль прогноза и модуль вычисления оценки и матрицы ковариаций одинаковы для всех алгоритмов, т.е. для вычисления оценок и матриц ковариаций, соответствующих алгоритму КТ, необходимо сформировать только модуль вычисления параметров алгоритма.
Блок вычисления оптимальной оценки и матрицы ковариаций. В этом блоке осуществляется вычисление потенциальной точности на основе ПМК с использованием SIS и SIR процедур.
Блок вычисления нижней границы точности. Здесь вычисляется НГТ, которую можно получить при решении рассматриваемой задачи в рамках байесовского подхода.
Блок формирования и вывода результатов. В соответствии с методикой оценки эффективности для анализа алгоритмов КТ необходимо располагать осредненными (безусловными) расчетными и действительными характеристиками точности для НОА и алгоритмов КТ. С целью получения таких характеристик в КП предусмотрен блок, осуществляющий их вычисление.
После вычисления всех этих параметров производится построение графиков, которые показывают зависимость точности фильтрации для каждого выбранного алгоритма от времени.
В нижней части окна, изображенного на рис.32, располагаются клавиши с номерами, которые позволяют переключаться между страницами ввода параметров моделирования. Всего таких страниц шесть: 1 - окно ввода параметров модели оцениваемого вектора, 2 - окно ввода матрицы динамики, 3 - окно ввода матрицы порождающих шумов, 4 - окно ввода параметров модели измерений, 5 - окно выбора алгоритмов обработки измерений, 6 -окно выбора параметров выводимых графиков.
