Введение к работе
Актуальность исследования. Многочисленные процессы в технических
устройствах, живой природе, экономических системах характеризуются тем, что их поведение в будущем зависит не только от настоящего, но и от предыстории их протекания на определенном промежутке времени. Математические модели таких процессов строятся, как правило, с помощью систем уравнений, называемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом или дифференциально-разностными уравнениями. Теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом активно развивалась в работах Дж. Хейла, Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина, Р. Беллмана и К. Кука, и в настоящее время широко используется для описания динамических объектов при решении различных задач управления.
Одной из актуальных задач теории управления является задача стабилизации динамических объектов, в том числе объектов с запаздыванием. Под задачей стабилизации динамических объектов понимается выбор такого закона управления (статического или динамического), который обеспечивает замкнутой системе свойство устойчивости в том или ином смысле. Особенно трудными и важными являются задачи стабилизации динамических объектов в
условиях неопределенности (координатной, параметрической, структурной). Одной из модификаций такого сорта задач является задача одновременной стабилизации конечного семейства объектов.
Задача одновременной стабилизации возникает в случаях, когда предполагается функционирование объекта в различных режимах, каждый из которых описывается своей математической моделью, или при функционировании объекта в нештатных режимах, каждый из которых вносит прогнозируемые изменения в математическую модель объекта. В качестве примера приведем задачу одновременной стабилизации по выходу семейства линейных скалярных стационарных объектов без запаздывания, заданных в пространстве состояний:
Для линейных объектов, задаваемых уравнениями
и находящихся в общем положении (управляемых и наблюдаемых), требуется
построить единый (универсальный) линейный регулятор, задаваемый уравнениями
который стабилизирует все объекты указанного семейства (1), т.е. обеспечивает устойчивость всех матриц
, i=1,2,…,k.
Отметим, что в общей постановке задача одновременной стабилизации является трудной и нерешенной. Основные направления исследований в этой области связаны с:
- сужением классов объектов, для которых устанавливаются необходимые
и достаточные условия одновременной стабилизации;
- получением общих необходимых условий одновременной стабилизации;
- расширением классов объектов, для которых устанавливаются достаточные условия одновременной стабилизации;
- ограничением класса регуляторов, среди которых устанавливается существование одновременно стабилизирующего регулятора.
В настоящей работе рассматривается задача одновременной стабилизации
Семейства линейных скалярных стационарных объектов с постоянными запаздываниями в фазовых переменных, управлении и выходе
где в -ой системе
Под задачей стабилизации понимается задача построения регулятора, обеспечивающего устойчивость замкнутой системы в том или ином смысле.
Приведем некоторые необходимые для дальнейшего изложения определения.
Спектром объекта вида
называется множество корней уравнения
Если существует некоторое число > 0 такое, что , и для некоторых целых чисел , и , то запаздывания называются соизмеримыми, в противном случае - несоизмеримыми.
Рассматриваемый класс объектов (2) является достаточно широким и с его помощью можно моделировать многие реальные процессы и объекты управления, содержащие запаздывание. Поэтому поставленная и решаемая в диссертационной работе задача является актуальной. При этом, даже для одного объекта вида (2) задача стабилизации является достаточно сложной.
Цели и задачи исследования.
Целью работы является разработка методов решения задачи одновременной стабилизации семейства линейных скалярных стационарных динамических объектов (2).
Для достижения намеченной цели были поставлены и решены следующие
задачи:
1) Задача одновременной стабилизации объектов вида с конечным спектром (2) дискретным регулятором.
2) Задача одновременной стабилизации дискретных объектов.
3) Задача одновременной стабилизации объекта вида (2) двухконтурным
непрерывно-дискретным регулятором с использованием спектральной приводимости.
4) Задача одновременной стабилизации объекта вида (2) непрерывным
регулятором на основе топологического подхода к одновременной стабилизации.
Научная новизна исследования.
В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на защиту:
1) Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по выходу линейных динамических объектов с несоизмеримыми запаздываниями
с конечным спектром дискретным регулятором.
2) Для решения задачи одновременной стабилизации по выходу линейных дискретных объектов применен топологический подход.
3) Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по фазовому вектору линейных динамических объектов с соизмеримыми запаздываниями с бесконечным спектром двухконтурным регулятором с использованием спектральной приводимости.
4) Разработан метод решения задачи одновременной стабилизации по выходу линейных динамических объектов с несоизмеримыми запаздываниями
с бесконечным спектром на основе топологического метода.
Личный вклад автора.
Все основные результаты диссертационного исследования получены автором лично.
Практическая значимость работы.
Работа имеет как теоретическую, так и практическую значимость. На практике результаты диссертационной работы могут быть использованы для построения алгоритмов управления, в том числе, алгоритмов стабилизации техническими объектами, на динамические свойства которых существенное влияние оказывает временное запаздывание передачи сигналов.
Апробация результатов исследования.
Основные результаты работы и отдельные её части докладывались:
- на Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» им. Е.C. Пятницкого (ИПУ РАН, 2012),
- на научной конференции "Ломоносовские чтения" в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова (МГУ, 2012, 2013),
- на научной конференции "Тихоновские чтения" в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова (МГУ, 2010, 2011),
- на всероссийском научном семинаре "Нелинейная динамика: качественный анализ и управление" под руководством академиков РАН С.В. Емельянова и С.К. Коровина (МГУ 2011, 2012),
- на научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М.В.Ломоносова (МГУ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах в рецензируемых ВАК изданиях. Список публикаций помещен в конце автореферата.
Структура и объем диссертационной работы. Диссертация содержит
Похожие диссертации на Одновременная стабилизация линейных динамических объектов с запаздыванием
