Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ методов исследования асимптотической устойчивости линейных систем управления и их обобщение для исследования асимптотической неустойчивости. 42
1.1 Введение. 42
1.2 Методы исследования устойчивости и неустойчивости непрерывных линейных систем управления . 43
1.3 Методы исследования устойчивости и неустойчивости дискретных полиномов, разностных уравнений и их систем. 53
1.4 Методы локализации и оценки спектров линейных операторов для исследования устойчивости и неустойчивости матриц систем управления. 57
1.5 Методы исследования знакоопределенности квадратичных форм и их приложение к исследованию устойчивых систем управления. 72
1.6 Методы вычисления характеристического полинома. 81
Глава 2. Аналитические методы исследования робастного поведения семейств интервальных полиномов . 85
2.1 Введение. 85
2.2 Критерии принадлежности классам (п,к)-эквивалентности семейств интервальных полиномов с вещественными коэффициентами . 86
2.3 Критерии принадлежности классам (п,к)-эквивалентности семейств интервальных полиномов с комплексными коэффициентами. 93
2.4 Робастное поведение дискретных интервальных полиномов. 103
Глава 3. Графические критерии исследования робастного поведения семейств интервальных полиномов . 109
3.1 Введение. 109
3.2 Графические критерии робастной устойчивости семейств интервальных полиномов с вещественными коэффициентами . 110
3.3 Графические критерии робастной устойчивости семейств интервальных полиномов с комплексными коэффициентами. 118
3.4 Графические критерии принадлежности семейств интервальных полиномов классам (п,к)-эквивалентности. 124
Глава 4. Методы исследования робастного поведения семейств полиномов с неинтервальными описаниями неопределенности . 130
4.1 Введение. 130
4.2 Критерии робастного поведения непрерывных и дискретных аффинных семейств полиномов и семейств полиномов с неинтервальными описаниями неопределенности коэффициентов . 132
4.3 Исследование робастного поведения семейств полиномов методом допустимых линейных преобразований. 142
4.4 Критерии существования выпуклых множеств устойчивых и неустойчивых полиномов. 151
4.5 Робастная ^-стабилизация для объектов, описанных одномерными передаточными функциями. 160
4.6 Вероятностный подход к исследованию робастного поведения семейств полиномов. 166
Глава 5. Методы исследования робастного поведения матричных семейств . 173
5.1 Введение. 173
5.2 Робастное поведение семейств матриц с k-диагональным преобладанием. 179
5.3 Робастное поведение семейств матриц с неопределенностью заданной матричными нормами. 183
5.4 Условия существования выпуклых областей робастной устойчивости в пространстве коэффициентов нестационарных линейных систем управления. 189
5.5 Условия существование робастной экспоненциальной устойчивости нестационарных линейных систем управления. 196
5.6 Достаточные условия отрицательной определенности нестационарных линейных систем управления. 201
5.7 Вероятностный подход к проблеме робастного поведения матриц. 210 Заключение.
- Методы исследования устойчивости и неустойчивости непрерывных линейных систем управления
- Критерии принадлежности классам (п,к)-эквивалентности семейств интервальных полиномов с вещественными коэффициентами
- Графические критерии робастной устойчивости семейств интервальных полиномов с вещественными коэффициентами
- Критерии робастного поведения непрерывных и дискретных аффинных семейств полиномов и семейств полиномов с неинтервальными описаниями неопределенности коэффициентов
Введение к работе
Стремительное развитие науки, техники и технологий на современном этапе является причиной ускорения фундаментальных исследований в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных систем. Поэтому, необходимо разрабатывать новые качественные и количественные методы исследования поведения решений динамических систем, построения программных управлений, поиск условий устойчивого, надёжного и безопасного функционирования сложных динамических систем, имеющих различные особенности. В настоящее время создание новых технологий, сложных информационных и технических систем не может обойтись без развития фундаментальной науки в различных отраслях знаний.
Анализ направлений развития науки, существующие научные публикации и тематика международных научных конференций, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед цивилизацией в XXI веке является следующий неполный перечень:
- создание новых космических технологий и ракетно-космических систем;
- создание нетрадиционных энергетических технологий;
- создание общемировой системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем;
- глобальное решение транспортной проблемы;
- создание новых биотехнологий;
- создание многофункциональных гибких автоматизированных систем;
- создание нанотехнологий;
- создание глобальных систем прямого влияния на климат. Следствием этих глобальных задач является необходимость разработки управления для контроля и минимизации негативных последствий развития цивилизации. Создание управления и технологий для защиты и противодействия глобальным угрозам, таким как климатические, биологические, сверхточное ракетно-космическое и психотропное оружие. Сюда можно отнести и терроризм, который может воспользоваться любым достижением новых технологий.
Решение этих проблем не может быть осуществлено без серьёзной научной проработки, создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учётом надёжности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью.
В настоящее время, в промышленно развитых странах, развитие современных средств производства и транспорта, в первую очередь, характеризуется созданием всё более сложных технических систем и технологических процессов. При эксплуатации этих технических систем и технологических процессов, в связи с увеличением числа составляющих их элементов и усложнением взаимосвязи между ними, естественным образом, на практике, увеличивается интенсивность отказов, что приводит к увеличению числа крупных технических и техногенных катастроф [79, 119]. В последнее время это практически подтверждается увеличением числа различных аварий и катастроф в развитых странах (отказы на АЭС, массовое отключение электричества, аварии на транспорте и т.д.). В связи с этим возникает задача обеспечения безопасности динамики функционирования технических систем и технологических процессов зависящих от многих параметров и характеризуемых нелинейными связями.
Таким образом, одной из важнейших проблем современного производства, является развитие фундаментальных научных исследований в области обеспечения динамической безопасности функционирования сложных технических систем и технологических процессов. В первую очередь, это касается использования, в качестве объекта исследования, адекватных динамических моделей и создания математических методов исследования их динамической безопасности.
Сделаем небольшой исторический экскурс к постановке и выбору тематики, рассмотренной автором в диссертационном исследовании. Теория автоматического управления находится в процессе интенсивного развития. При этом существенно меняются взгляды как на предмет, так и основные проблемы этой теории, также как и используемый математический аппарат.
В XIX веке главным объектом исследования были автоматические регуляторы производственных процессов, такие как регулятор Уатта для паровой машины. Было введено важнейшее понятие устойчивости регулируемого процесса и получены первые критерии устойчивости линейных систем, выражаемые в терминах характеристического полинома (Максвелл, Раус, Вышнеградский, Гурвиц, Стодола, [95, 109, 111, 116]). В работах A.M. Ляпунова были получены первые результаты по устойчивости нелинейных систем, опирающиеся на фундаментальную идею введения функции Ляпунова [94].
В 30-е годы XX века, с появлением телефонии и радиосвязи, основным аппаратом теории становятся частотные методы и соответствующие частотные критерии устойчивости (Найквиста, Михайлова, [109, 111]). Эти методы в 1940-50-е годы распространяются на импульсные и дискретные системы (Цыпкин, Джури, [32, 133]) - такие системы приобретают особую роль в связи с появлением цифровой вычислительной техники и некоторых классов нелинейных систем (Лурье, Айзерман, Попов, [1, 93,113]).
Однако в конце 1950-х годов вновь происходит обновление в теории управления. В связи с развитием ракет и космонавтики возникает совершенно новый аппарат описания систем управления - описание в пространстве состояний. Иначе говоря, движение системы подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению (вообще говоря, нелинейному), в правой части которого стоит функция, которая может выбираться проектировщиком (управление). Более того, возникла фундаментальная идея оптимальности -выбор управления должен оптимизировать некоторый показатель качества. Был разработан принцип максимума Понтрягина [109], который дал необходимое условие оптимальности управляемой системы. Работы специалистов по управлению (Калман, Беллман, Летов, [12, 80, 107]) показали важность и продуктивность созданной теории оптимального управления.
В то же время постепенно выяснилось, что такая теория адекватно описывает лишь сравнительно узкий круг практических задач, таких как управление космическим полётом или наведение ракет. В остальных ситуациях имеется масса факторов, препятствующих применению красивой математической теории оптимального управления. Во-первых, в каждой задаче имеется неизбежная неопределённость, связанная либо с наличием внешних возмущений, либо с невозможностью точно определить параметры модели. Во-вторых, в теории оптимального управления решение ищется в виде функции от времени (программное управление). Ясно, что необходимость строить стратегию управления заранее является крайне нежелательной. Для инженера гораздо более естественно выбирать управление в форме обратной связи, как функцию от выхода системы в текущий момент (задача синтеза).
Эта критика вызвала очередную переоценку теории управления в 1970-е годы. В инженерной практике происходит возврат к классическим способам регулирования с помощью простых регуляторов (типа ПИД) и к простым методам их настройки. В теории восстанавливается интерес к частотным методам: они обобщаются на случай многомерных систем (Розенброк, [177]). Однако настоящие революционные изменения произошли в 1980-е годы.
Возникла так называемая Н -теория (Зеймс, Френсис, Дойл, Гловер, [ПО, 155, 157, 161, 189]); она позволила объединить частотные методы и методы пространства состояний и по-новому ставить оптимизационные задачи. Эта же постановка позволила рассматривать задачи с неопределённостью (робастное управление), именно задачи, в которых частотная характеристика объекта имеет неопределённость, ограниченную в Н -норме. Появились и
другие постановки задач робастного управления, в которых неопределённость может быть задана иначе - либо как параметрическая, либо как ограниченная в матричной норме при описании в пространстве состояний. При этом были найдены многие красивые решения отдельных задач; например, задача о робастной устойчивости интервального полинома допускает очень простой ответ (теорема Харитонова, [131]). Был создан математический аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределённостей
- //-анализ (Дойл, [100, 155]). Помимо Н -теории и робастности, новое решение получил ряд других разделов теории управления. Так, задача о подавлении внешних возмущений привела к появлению так называемой L оптимизации (Барабанов-Граничин, Пирсон-Далех, [100, 111, 152]). Новый математический аппарат, оказавшийся чрезвычайно удобным, связан с линейными матричными неравенствами. Эти неравенства возникли ещё в 1960-е годы в ряде задач управления (Якубович, Виллемс, [97, 138, 183]); позже выяснилось (Бойд, [149]), что они представляют собой очень общий метод анализа и синтеза линейных систем. Наличие эффективных программ решения линейных матричных неравенств сделало этот аппарат весьма эффективным с вычислительной точки зрения.
Таким образом, за последние 20 лет теория управления претерпела очень большие изменения, расширившись за счёт новых направлений проблем инициированных новейшим этапом развития человечества в XXI веке.
Важнейшим из новых направлений является теория робастной устойчивости, получившая развитие буквально в последние 20-25 лет. Вернёмся опять к истокам.
В очерках истории автоматического управления [109] Ю.П. Петров приводит интересный факт, заключающийся в том, что регуляторы Д. Уатта для паровых машин переставали устойчиво работать при повышении их мощности и имели тенденцию к неустойчивой работе и самораскачиванию. Выдающийся английский физик Д.К. Максвелл поставил задачу исследования «странного» поведения этих устройств. Однако, в своей работе «О регуляторах» (1868) не дал чётких практических рекомендаций для обеспечения устойчивости работы этих устройств. Только спустя 20 лет русский инженер И.А. Вышнеградский сумел решить эту проблему. Он построил первую математическую модель всех регуляторов подобного вида. С его работы «О регуляторах прямого действия» берет начало современная инженерная теория автоматического регулирования [95]. Фактически, он нашёл те параметры конструкций регулятора, которые существенным образом влияют на устойчивость его работы. Более того, И.А. Вышнеградскому удалось найти допустимые границы изменения этих параметров, в рамках которых работа регулятора должна носить устойчивый характер. Эти фундаментальные исследования можно считать «предтечей» нового направления в теории устойчивости, а именно робастной устойчивости. Заметим, что впервые ввел аналогичное понятие (устойчивость грубых систем) по А.А. Андронов еще в 1937г. Конечно, базой развития новой (робастной) теории являются достижения классической теории устойчивости динамических систем.
Основные подходы к созданию аналитических методов устойчивости и её приложений были разработаны (см. литературу) такими учёными как A.M. Ляпунов, Н.Н. Красовский, Н.Г. Четаев, А.Н. Крылов, К.П. Персидский, Е.А. Барбашин, А.А. Андронов, А.А. Марков, В.В. Румянцев, Н.П. Еругин, Л.А. Эсгольц, В.И. Зубов, Ю.А. Митропольский, В.М. Матросов, А.Н. Тихонов, В.В. Степанов, Н.Н. Боголюбов, В.В. Немыцкий, Н.М. Крылов, Б.С. Разумихин, А.Д. Мышкис, С.Н. Шиманов, М.Г. Крейн, А.А. Воронов, Б.Г. Болтянский, И.Г. Малкин, Б.П. Демидович, A.M. Летов, В.В. Семенов, А.А. Первозванский, Р. Беллман, Дж. Хейл, Т. Иошидзава, Ж.П. Ла-Салль и другими крупными отечественными и зарубежными математиками и их научными школами. Методы исследования нелинейных динамических систем управления по первому линейному приближению получили наиболее полное развитие трудами Э. Рауса, А. Гурвица, А.В. Михайлова, Найквиста, Е.П. Попова, Л.С. Понтрягина, всех перечислить невозможно (многие остались неизвестными из-за режима секретности в период холодной войны).
Однако, математические модели учёта неопределённости в динамических системах управления появились гораздо позже новаторских работ И.А. Вышнеградского - почти через сто лет. Общая характеристика работы
Актуальность темы. При моделировании систем управления учет неопределенности всегда являлся одной из основных задач. Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная) была предложена в работах А.П. Лурье ([93], 1951), М.А. Айзермана и Ф.Р. Гантмахера ([1], 1963). Модели параметрической неопределенности в линейных системах появились позднее. Их систематическое изучение начал И. Горовиц ([28], 1970). Важное направление в анализе неопределенности связано с моделью неизвестных, но ограниченных возмущений. Большой вклад в это направление внесли А.Б. Куржанский и Ф. Л. Черноусько [89, 135]. Модели частотной неопределенности интенсивно разрабатывались в 1980 гг., вероятностный подход к робастности получил большое развитие в последние 10-15 лет [111, 150,172,182,185].
Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов впервые подробно рассмотрел S. Faedo ([156], 1953). Однако, он получил только достаточные условия робастной устойчивости, основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Более ранний результат по робастной устойчивости получили Л. Заде и Ч. Дезоер [39]. Затем В.Л. Харитонов доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов, что являлось большим продвижением в этой области ([131], 1978). Далее, в этом направлении, в качестве наиболее известных результатов, можно отметить реберную теорему - полученную в 1988 г. (А.С. Bartlett, C.V. Hollot, Н. Lin) и графический критерий робастной устойчивости полиномов доказанный - в 1990 г. (Б.Т. Поляк, ЯЗ. Цыпкин, [111]).
Основными задачами робастной устойчивости, с одной стороны, являлось определение границ устойчивости в пространстве параметров системы первого приближения (И.А. Вышнеградский [95]), а с другой, получение оценок области асимптотической устойчивости расчетных режимов исходных систем. Исследование устойчивости систем управления при наличии неопределенности в пространстве параметров (робастная теория) является весьма важным и актуальным направлением научных исследований, т.к. позволяет, на этапе проектирования, определить, является ли устойчивым весь класс рассматриваемых систем. Это позволяет обеспечить безопасное функционирование управляемого объекта, несмотря на то, что в процессе изготовления и эксплуатации его параметры хотя и могут отличаться от расчетных, но гарантировано будут отвечать устойчивому поведению этого объекта, т.к. они принадлежат области робастной устойчивости. Заметим, что разработка методов решения задач робастной устойчивости, является весьма сложной проблемой. Например: устойчивость всех вершинных и реберных матриц семейства не обеспечивает робастной устойчивости всего этого семейства и, поэтому на практике, усилия инженеров и конструкторов направлены на решение конкретных задач. Для робастной устойчивости матриц вопросов еще много, например, задача о робастной устойчивости интервальных матриц и т.д.
Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) включают в себя как известные подходы, например, теорию возмущений [132], так и новые: //-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк, [111, 155]) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray, R.Tempo[182, 185] и др.).
Разработке и созданию методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, П.С. Щербаков, А.С. Немировский, ЮЛ. Петров, М.Г. Сафонов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Kogan, R. Tempo, D.D. Siljak и др (см. литературу).
Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления диктуется, во-первых, современными потребностями науки и техники и ее приложениями в практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и т.д.; во-вторых, наличием большого числа нерешенных задач, прямо связанных с инженерной практикой. Фактически, результаты, полученные в теории робастной устойчивости, позволяют обеспечивать динамическую безопасность управляемых систем на этапе их конструирования и эксплуатации.
Однако до сих пор в научных исследованиях и инженерной практике избегали объектов с неустойчивыми режимами эксплуатации. Поэтому в теории эти случаи рассматривались редко и мало [171, 188]. Развитие техники и новых технологий показали, что явление неустойчивости является не только пограничным явлением к устойчивым режимам, но и, как показали математические исследования, является преобладающим с ростом размерности систем. С другой стороны, неустойчивость может быть полезной во многих случаях - это давно замечено в природе и использовалось человеком ещё до промышленной эры: переход человека в вертикальное положение (неустойчивое состояние) упростило передвижение (ходьба) и быстрое перемещение (бег); использование уже в древности различных балансиров («журавль» для подъема воды и грузов, качели, шлагбаумы, шест для хождения по канату или бревну); управление телом спортсмена упрощается в свободном полете (батутист, парашютист, движения бойцов боевых искусств, прыжки с вышки в воду); неустойчивые (беспорядочные) движения противника мешают другой стороне быстро строить свою стратегию (теория игр); при игре в городки или боулинг надо сообщать палке или мячу неустойчивое (хаотичное) движение, чтобы произвести максимальные разрушения.
Перечислим несколько технических примеров, когда можно использовать неустойчивость объекта или процесса при переходе из одного устойчивого режима на другой устойчивый режим через промежуточное неустойчивое состояние: выход катера из воды на подводные крылья; старт экраноплана с водной поверхности с переходом на полет над водой; посадка и взлёт самолёта; подъём подлодки из глубины на поверхность. Понятие устойчивости по части переменных даёт примеры в целом неустойчивого движения или режима эксплуатации: юла и гироскопы; кручение снаряда в плоскости перпендикулярной движению; кувыркание пули или ножа со смещённым центром тяжести вдоль траектории полёта; движение ракет и космических беспилотных аппаратов часто не требует устойчивости по всем фазовым переменным.
Ещё несколько примеров из военной области: маневрирование военного истребителя и уход объекта от преследования удобнее выполнять на неустойчивых режимах; чтобы сбить ракету или самолёт с траектории (что равносильно уничтожению) надо перевести их в неустойчивый режим полёта.
Управление в чрезвычайных ситуациях в условиях угрозы техногенных катастроф или глобальных природных катаклизмов может потребовать быстрой смены состояния системы при минимальных затратах энергии. Это возможно когда переход (осуществляется, по выше приведенной схеме, т.е. устойчивое движение -- неустойчивое движение -- устойчивое движение. Гипотетически, можно предположить, что по такому сценарию придётся отклонить движение астероида или крупного метеорита от Земли. Для быстрой смены состояния катастрофического размножения вирусов, грызунов, саранчи и т.д., нужно перевести биологическую популяцию в неустойчивое состояние (например, подавление иммунитета или потеря ориентации) с целью успешного управления развитием в нужном направлении.
Примеры из области социологии и политологии: приведение общества в неустойчивое положение обычными средствами (голод, гиперинфляция, безработица, беззаконие) даёт возможность лёгкого манипулирования (управления) поведением населения; создание неустойчивости на бирже может быть следствием управления в чьих-то целях и спровоцировать переход рынка в другое состояние. Пример из новейшей истории: можно назвать политическую систему в СССР до перестройки, хотя и не привлекательной (для одних), но, в целом, устойчивой в своей стагнации, а время перестройки даёт пример более привлекательного (для других) режима, но неустойчивого на тот период состояния России.
Таким образом, необходимость исследований неустойчивых процессов в природе, технике и в обществе диктуется следующими причинами: в известном смысле устойчивость это значительно более редкое явление, чем неустойчивость; хотя неустойчивые режимы в технике всегда избегали, но знание областей параметров неустойчивых режимов позволит их обойти; имеется довольно много примеров в технике, когда управление объектами в неустойчивом режиме значительно легче и удобнее, когда критерием качества управления является минимизация времени и энергозатрат; в науке давно известно, что с ростом порядка системы её устойчивость становится редким явлением (вероятность получить устойчивую случайную матрицу стремится к нулю с ростом порядка см. приложение); в условиях противодействия движение устойчивой системы легче прогнозируется противником, а движение неустойчивых объектов мало предсказуемо, что может быть благом для первой стороны; перевод объекта или процесса из одного устойчивого состояния в другое устойчивое состояние за минимальное время и при минимальных затратах энергии возможен через неустойчивое промежуточное состояние; изучение только устойчивых систем является однобоким, т.к. устойчивость и неустойчивость - две стороны одного явления -асимптотического поведения динамических систем; устойчивая система (объект, процесс) обладает большой инерционностью к смене состояния (что не всегда хорошо) и хуже поддаётся управлению в чрезвычайных ситуациях, когда минимизация времени и энергозатрат являются главными.
Резюмируя вышесказанное, можно сказать, что исследование неустойчивости динамических систем является востребованным и этому посвящена настоящая работа.
Исследование проводится с единых позиций - системного анализа робастного поведения управляемых систем в целом, при этом робастная устойчивость этих систем рассматривается как частный случай робастной неустойчивости. Целью диссертационного исследования является разработка и развитие аналитических и вычислительных методов исследования устойчивости и неустойчивости систем управления, включающих методы исследования, как робастной устойчивости, так и робастной неустойчивости этих систем.
Областью исследования являются теоретические основы и прикладные методы системного анализа робастной устойчивости и неустойчивости управляемых динамических систем рассматриваемых в первом приближении.
Методы исследований. В работе применяются как классические методы теории устойчивости (при точном описании систем управления), так и методы робастной теории устойчивости (при неопределенности в описании этих систем). Кроме того, используются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, алгебры, математического анализа и математического программирования..
Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, основаны на известных достижениях в теории устойчивости, робастной теории и корректности поставленных задач. Все доказательства утверждений являются строгими и основаны на выводах фундаментальных наук, таких как математический анализ, теория функций и функциональный анализ, дифференциальные уравнения, алгебра, выпуклый анализ, теория матриц, теория вероятности.
Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в комплексном исследовании робастной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных и нестационарных систем управления, результатом которого стало, создание новых и развитие наиболее известных критериев робастного поведения непрерывных и дискретных систем, как в пространстве коэффициентов характеристического многочлена, так и в пространстве параметров самой системы. Этот подход является продвижением в развитии методов системного анализа, исследования робастной устойчивости и робастной неустойчивости нелинейных систем по первому приближению, что позволяет установить границы допустимых отклонений параметров исходной системы от расчетных, при которых система остается устойчивой или остается неустойчивой. Фактически, разработанные методы исследования робастной неустойчивости позволяют проводить исследование робастной устойчивости, как частного случая робастной неустойчивости.
Практическая значимость. На основе результатов диссертации созданы новые эффективные критерии исследования робастной устойчивости и неустойчивости систем первого приближения, позволяющие проводить системный анализ робастного поведения динамических систем для различных типов неопределенности, как в пространстве параметров самих систем, так и в пространстве коэффициентов их характеристических многочленов. Причем, эти результаты обобщены и на комплексный случай. Комплекс критериев и условий, а также разработанных на их основе алгоритмов позволяет исследовать и решать проблему динамической безопасности объектов системно, т.е. исследовать не только границы изменения параметров сохраняющих устойчивость, но и совокупность параметров оставляющих систему неустойчивой. Полученные автором новые прикладные методы системного анализа позволяют разрабатывать более эффективные системы управления, что дает возможность значительно снизить затраты ресурсов, средств и времени на разработку современных систем. Кроме того, отдельные теоретические положения, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в теорию робастной устойчивости, а также представляют новые возможности при решении матричных уравнений и неравенств. Результаты работы использованы для разработки новых спецкурсов по теории устойчивости в условиях неопределенности и чтении общих курсов, таких как дифференциальные уравнения, теория управления и методы численного анализа.
Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в научно-производственном объединении «Машиностроение», а так же в научно-исследовательской работе, проводящейся в Кубанском ГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова. По результатам диссертации планируется издание нескольких учебных пособий и монографий, из которых два учебных пособия и одна монография были опубликованы.
Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию вошли только те результаты, которые получены лично автором. Все результаты других авторов, упомянутых в диссертации, носят справочный характер и имеют соответствующие ссылки. Всем соавторам принадлежит рассмотрение технических вопросов и частных случаев.
Апробация работы. По результатам работы автором были сделаны доклады на 7-ми международных, 1-ой всероссийской и 2-х региональных конференциях, проходивших в Москве, Санкт-Петербурге, Саранске, Самаре, Новосибирске, Чебоксарах, Ростове - на - Дону, Новороссийске. Результаты также обсуждались на научных семинарах в Вычислительном центре имени А.А. Дородницына РАН, Московском физико-техническом институте, Институте системного анализа РАН, а так же на семинарах КубГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 34 научных работы, включая 1 монографию и 2 учебных пособия.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы состоят из параграфов. В каждой главе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации 249 страниц. Список литературы содержит 189 наименований.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту: Получены:
• Аналитические и графические критерии принадлежности интервальных полиномов однородным классам неустойчивости (классам (п,к)-эквивалентности).
• Аналитические и графические критерии принадлежности семейств полиномов классам (п,к)-эквивалентности для всех известных описаний неопределенностей. • Аналитические критерии робастной экспоненциальной устойчивости для нестационарных линейных систем управления.
• Аналитические и графические критерии робастной к -стабилизации одномерных систем, замкнутых единичной обратной связью.
• Аналитические критерии робастной к - диагональности, сверхустойчивости и сверхнеустойчивости к - диагональных матричных семейств.
• Результаты, устанавливающие связь между числами спектра нестационарной робастной матрицы системы первого приближения с отрицательной определенностью ее квадратичной формы. Разработаны:
• Методы построения выпуклых множеств, для систем принадлежащих классам (n,k) - эквивалентности, с помощью допустимых линейных преобразований коэффициентов их характеристических многочленов.
• Методы исследования робастной устойчивости и построения выпуклых множеств в пространстве параметров нестационарной системы первого приближения.
Краткое содержание диссертации.
Во введении приведена общая характеристика представленной диссертации по главам, включая актуальность темы исследования, достоверность, научную новизну, теоретическую и практическую значимость результатов, полученных в работе. Краткая справка о содержании параграфов помещена в начале каждой главы.
В первой главе сделан анализ основных методов исследования асимптотической устойчивости линейных стационарных систем управления с точки зрения возможности их обобщения и использования для выяснения характера неустойчивости этих систем, различая их по числу собственных чисел матрицы системы лежащих в правой и левой полуплоскости и доказан ряд теорем, дающих необходимые и достаточные условия принадлежности рассматриваемых систем определенному классу неустойчивости, причем аналогичные критерии для устойчивых систем, непосредственно следуют из приведенных теорем (критерии Михайлова, Найквиста и т.д.).
Введено новое понятие.
Определение 0.1. Полином степени п с вещественными или комплексными коэффициентами, не имеющий нулевых и чисто мнимых корней
q (s) = aQ + axs +... + a sn, aQ 0, a 0,
принадлежит классу (n, к) -эквивалентности, если к его корней, с учетом их кратности, лежат в правой полуплоскости. Анализ основных критериев устойчивости показал: коэффициентные критерии типа Рауса - Гурвица, Льенара - Шипара, Джури и им подобные, использующие характеристические полиномы матрицы А для анализа ее на устойчивость, не удается применить для анализа полинома на принадлежность классам (п, к) -эквивалентности при к = \,П — \; метод локализации собственных чисел матрицы В.И. Зубова, хотя и не требует построения характеристического полинома, решает частную задачу -выяснение местоположения всех чисел спектра в заданной области; фактически, если не считать критерия Михайлова, удобного лишь при небольших порядках системы, для проверки неустойчивости полиномов, остается только метод Рауса понижения порядка полинома, модифицированный Н.В. Зубовым, который однозначно решает вопрос о принадлежности полинома к одному из классов {п, к) -эквивалентности.
Приведем ряд основных теорем доказанных в первой главе.
Теорема 0.1. Пусть (pAs) и (р2($) взаимно простые полиномы степени т и П (тип) соответственно с комплексными коэффициентами и полином (р2{$) имеет /, {1 П) корней с положительной вещественной частью и не имеет нулевых и чисто мнимых корней. Полином P(s) = (p {s) + (p2(s) принадлежит классу (n, А;)-эквивалентности тогда и cpAs) только тогда, когда годограф R(JCO) функции R(s) = —- не проходит через точку -1 и делает вокруг нее ровно / — к оборотов против часовой стрелки при изменении СО от —оо ДО +00.
Частотный критерий Найквиста, проверки устойчивости замкнутой системы управления единичной обратной связью, является частным случаем этой теоремы для полиномов с вещественными коэффициентами при к = О, О СО +00 и / полуоборотов.
Теорема 0.2. Если полиномы с комплексными коэффициентами ср, (s)и (p2(s) принадлежат классу (п, к)-эквивалентности, то для принадлежности этому классу линейного политопа аср, (s) + (1- СХ)(р2 (s), а Є [0,1] необходимо и достаточно, чтобыгодограф R(jco) не пересекал отрицательную вещественную полуось.
Другие способы локализации спектра матриц как вещественных, так и комплексных, не решают задачу принадлежности данного полинома (п, к) классу эквивалентности.
Анализируя классические оценки для чисел спектра матрицы, в диссертации удалось усилить результат Бендиксона и найти короткое доказательство теоремы Гирша, не использующее никаких ссылок.
Одним из важных моментов изучения устойчивости систем управления и построения систем стабилизации является исследование знакоопределенности квадратичной формы. Новые подходы, предложенные в этой главе, направлены на получение более простых аналитических и рекуррентных критериев знакоопределенности квадратичных форм, как в общем случае, так и для отдельных классов задач. В работе получены достаточные условия знакоопределенности квадратичных форм не требующие вычисления главных миноров матрицы, а использующие только значения ее коэффициентов.
В основе целой группы методов вычисления коэффициентов характеристического полинома лежит теорема Кэли-Гамильтона-Фробениуса кроме того, она является основой многих теоретических результатов полученных в линейной алгебре. Однако, в частности, при решении матричных уравнений, возникает задача о том, имеет ли место обратная теорема. С помощью аппарата Л - матриц получено частичное решение поставленной проблемы.
Теорема 0.3. Пусть матрица А с вещественными элементами размера (п X п) - неособенная и справедливо матричное тождество А" + рпАА" Х +... + р1А + р0Е = 0, тогда величины р ,,...,/7,,/?0 являются коэффициентами характеристического многочлена ( ) матрицы А,
A(A) = det(A-AE) = (-])"(An + pn_lX"A+... + plA + p0).
Во второй главе проведен системный анализ аналитических критериев робастной устойчивости семейств полиномов с интервальными ограничениями на коэффициенты с целью создания общего подхода разработки критериев принадлежности этих семейств классам (п, к) -эквивалентности. Полученные в работе критерии, в частном случае, (когда к = 0) представляют собой, известные критерии устойчивости В.Л. Харитонова, т.е. они, в некотором плане, замыкают результаты в этой области. Таким образом, результаты, полученные другими авторами по устойчивости интервальных полиномов, являются частными случаями общих теорем о робастном поведении интервальных семейств полиномов полученных в диссертации. Точнее, при к = 1,/2-1 эти семейства разделяются на классы по неустойчивости. Причем эффективность этих критериев выше, чем известные D-разбиения удобные только в пространстве всего двух или трех параметров или коэффициентов полиномов. Теорема 0.4. Пусть полином
Далее, в главе сформулированы и доказаны геометрические критерии принадлежности комплексного интервального полинома классу (п,к) эквивалентности.
Кроме того, показано, что прямых аналогов подобных критериев для дискретных интервальных полиномов построить нельзя. Однако, в главе построены другие критерии робастного поведения дискретных интервальных полиномов, так, что известные критерии устойчивости таких семейств оказались частным случаем.
В третьей главе доказан ряд графических критериев принадлежности семейств вещественных и комплексных интервальных полиномов классам (ft, к) - эквивалентности, причем известный графический критерий Ципкина
- Поляка был усилен и обобщен на комплексные интервальные полиномы. В графическом аналоге теоремы Харитонова удалось снять ограничения на коэффициенты интервальных полиномов и охватить все вещественные
интервальные полиномы без ограничений на коэффициенты. Приведем ряд основных теорем доказанных в третьей главе. Запишем вещественный интервальный полином в форме:
Этот годограф часто называют годографом Ципкина-Поляка. Теорема 0.7. Пусть хотя бы один четный и хотя бы один нечетный интервалы коэффициентов не вырождались в точку (т.е. имеются
Пусть все нечетные интервалы вырождаются в точки, т.е. нечетные СХ- =0 п хотя бы один четный интервал не вырождается в точку, т.е. хотя бы
один четный а. 0. Тогда для принадлежности классу (п,к) эквивалентности интервального полинома F(s) необходимо и достаточно выполнение 2-х условий:
Пусть все четные интервалы вырождаются в точки, т.е. четные ОС. = О и хотя бы один нечетный интервал не вырождается в точку, т.е. хотя бы один нечетный а. 0. Тогда для принадлежности классу (п, А:)-эквивалентности интервального полинома F(s) необходимо и достаточно выполнение условий.
Таким образом, учитывая результаты главы 2 и 3, задача исследования любых семейств интервальных полиномов на устойчивость и неустойчивость в рамках единого подхода полностью решена. В четвертой главе строится аппарат исследования робастного поведения аффинных семейств полиномов и семейств полиномов с различными описаниями неопределенности в коэффициентах. В рамках нового подхода все известные критерии робастной устойчивости являются частным случаем доказанных в этой главе теорем. Приведем несколько из них.
Далее в главе строятся критерии робастного поведения для дискретных семейств полиномов с разного рода ограничениями на коэффициенты. Известные критерии робастной устойчивости являются здесь так же частными случаями общего подхода к проблеме робастности.
Для построения выпуклых множеств коэффициентов полиномов Гурвица используются допустимые линейные преобразования их коэффициентов, оставляющие эти полиномы полиномами Гурвица. Они были предложены Наймарком и дополнены Н.В. Зубовым. Эти преобразования позволяют расширить множество устойчивых интервальных полиномов Харитонова, базируясь на одном интервальном полиноме. При этих преобразованиях угловые точки одного устойчивого выпуклого множества Гурвица переходят в угловые точки другого устойчивого выпуклого множества Гурвица. Однако, при этих преобразованиях, устойчивые интервальные полиномы Харитонова, переходя в устойчивые выпуклые множества Гурвица, могут терять свойства интервальности.
В главе сделано обобщение этой методики на классы (n,k) -эквивалентности и доказан ряд теорем в этой связи.
Кроме того, доказаны критерии существования выпуклых множеств робастно устойчивых и неустойчивых полиномов.
Методы исследования устойчивости и неустойчивости непрерывных линейных систем управления
Проведен анализ основных методов исследования асимптотической устойчивости линейных стационарных систем управления с целью их обобщения и использования для выяснения характера неустойчивости этих систем.
Доказаны ряд теоремы, дающие необходимые и достаточные условия принадлежности рассматриваемых систем определенному классу неустойчивости, причем аналогичные критерии для устойчивых систем, непосредственно следуют из приведенных.
Согласно определению 0.1 полином степени п с вещественными или комплексными коэффициентами, не имеющий нулевых и чисто мнимых корней принадлежит классу (я, А:)-эквивалентности, если к его корней, с учетом их кратности, лежат в правой полуплоскости.
При к = 0 полином (p(s) называют устойчивым полиномом. Если все корни полинома (p(s) находятся вне круга единичного радиуса с центром в нуле, то его называют устойчивым по Шуру.
Как оказалось, хорошо известные коэффициентные критерии типа Рауса - Гурвица, Льенара-Шипара, Джури и им подобные [111], использующие характеристические полиномы матрицы А для анализа ее на устойчивость, не удается применить для анализа полинома на принадлежность (п,к)-классам эквивалентности при к = 1, П — 1. Так как нет коэффициентных критериев для подсчета числа к.
Метод локализации собственных чисел матрицы В.И. Зубова [70,72], хотя и не требует построения характеристического полинома, решает частную задачу - выяснение местоположения всех чисел спектра в заданной области. Поэтому использовать его для подсчета чисел спектра с реальными частями разных знаков не удается. Однако метод является малоизвестным, но эффективным, и в комбинации с другими оценками спектров (см. 1.4) дает хорошие результаты. В [19, 72] показана методика его применения для некоторых областей.
Фактически, если не считать критерия Михайлова для вещественного и комплексного случаев, удобного лишь для небольших порядков, то остается метод Рауса понижения порядка полинома, модифицированный Н.В. Зубовым [72]. Его можно использовать для проверки неустойчивости с вычислением индекса к - числа корней справа от мнимой оси. Более того, метод понижения порядка в этом варианте дает полную качественную картину распределения корней полинома на плоскости. Для дискретных полиномов эту задачу решает принцип аргумента, однако, даже для не очень больших порядков является мало пригодным.
Теорема 1.1 Для того, чтобы полином (p(s) = aQ + al+... + afsn,ao 0,an ФО, с комплексными коэффициентами, не имеющий нулевых и чисто мнимых корней, принадлежал классу (п, к) -эквивалентности необходимо и достаточно, чтобы его годограф (p(jco) при изменении СО от —со до +оо проходил, не пересекая точку ноль комплексной плоскости, ровно П 2к полуоборотов в положительном направлении (против часовой стрелки) то есть Aarg (р(]со) = я(п-2к). -00 U +00
При к = О, получим, как частный случай, критерий Михайлова для устойчивых комплексных полиномов, а при СО 0 - для вещественных К полиномов и Aarg (p(jco) =—(п-2к). 0 ftK+oo В частности, если многочлен (p(s) с действительными коэффициентами имеет Л корней - в левой полуплоскости, Re S О, П корней в правой полуплоскости, Re S 0 и М корней на мнимой оси Re S — 0, то справедлива формула, Mrg(p(ico) = - -n) = -(n-2n-M) (l.i) 0 (У +оо Аналогичную формулу можно вывести для p(s) с комплексными коэффициентами и для дискретного случая.
Доказательство имеется во многих руководствах по теории управления. Далее, в таких случаях пояснение делать не будем, считая что при необходимости недостающие доказательства или их фрагменты можно найти в литературе или сделать по аналогии.
Теорема 1.2 (обобщенный критерий Найквиста) Пусть (pAs) и (prAs) взаимно простые полиномы степени т и П (т П) соответственно с комплексными коэффициентами и полином (p2(s) имеет /, (/ П) корней с положительной вещественной частью и не имеет нулевых и чисто мнимых корней. Полином P(s) = (pAs) + (p2(s) принадлежит классу (п, к) эквивалентности тогда и только тогда, когда годограф R(JO)) функции (pAs) R(s) = не проходит через точку -1 и делает вокруг нее ровно I — к оборотов против часовой стрелки при изменении СО от —со ДО +00.
Частотный критерий Найквиста, проверки устойчивости замкнутой системы управления единичной обратной связью, является частным случаем этой теоремы для полиномов с вещественными коэффициентами при к = О, 0 (О +оо и / полуоборотов и проверки неустойчивости при к = 1, П — 1 и 1 — к полуоборотов. Теорема 1.3 Если полиномы с комплексными коэффициентами (p. (s) и (p2{s) принадлежат классу {п, А:)-эквивалентности, то для принадлежности этому классу линейного политопа ССф (s) + (1 — (Х)(р2 (s), а Є [0,1] необходимо и достаточно, чтобы годограф R(JO)) не пересекал отрицательную вещественную полуось. Очевидно что, при к = 0 получим известный критерий устойчивости линейного политопа [38].
Критерии принадлежности классам (п,к)-эквивалентности семейств интервальных полиномов с вещественными коэффициентами
Напомним, что по определению 0.1, полиномы степени п с вещественными коэффициентами q {s) = aQ + axs + ... + а sn,aQ 0,ап 0 (2.1) находятся в классе (п, А:)-эквивалентности, если они не имеют нулевых и чисто мнимых корней. Кроме того, в правой полуплоскости находятся, с учетом кратностей, ровно к корней всех полиномов указанного семейства. Теорема 2.1. Пусть полином p{s,q) = aQ(q) + a{(q)s +... + aH(q)s", qeQ, Qe Rn\ Q - связно, aQ(q) 0, an(q) Ф 0, (2.2) принадлежит классу (n, к)- эквивалентности для некоторого q EQ . Тогда семейство (p(s,q) принадлежит классу (п, к)-эквивалентности тогда и только тогда, когда выполняется условие: 0 е S(a ) = { p(jco, q):qeQ,ae(0, +оо]}. (2.3)
Эта теорема является обобщением принципа исключения нуля для устойчивых семейств полиномов, так как класс (п, 0) дает это семейство.
Доказательство основано на критерии Михайлова и не имеет принципиальных трудностей. Надо только не забывать, что годографы неустойчивых полиномов могут быть немонотонными функциями.
Условие (2.3) означает, что в R (S(o)) - сечение) семейство годографов полиномов (p(s,q) образует связную трехмерную область, которая при СО — +00 «движется» по критерию Михайлова в направлении Ж угла —(п — 2к), поворачиваясь вокруг оси Ой) и не пересекает эту ось. Здесь монотонности и последовательного прохождения квадрантов на плоскости для S(co) может не быть. Назовем, по определению 0.2, интервальный полином с вещественными коэффициентами F(s) = {F(s) = an + a.s + ... + a ,s" l + a s \a. а. а., " — (2.4) і = 1, п) интервальным полиномом класса \П, к)-эквивалентности, если любой полином из этого семейства принадлежит классу (п, к) -эквивалентности. Пусть для определенности aQ О, а О (хотя достаточно выполнения условия CL й 0).
Четыре полинома, коэффициенты, которых составлены из крайних значений их интервалов, называются угловыми полиномами (pAs\ (pAs), (рЛ$), (pAs) интервального полинома F(s). Точнее: — (s) = + 5 + 0 +a3s + ... (2.5) ( ) = + 5 + 5 +tf3S +... (p2{s) = a0 + axs + a2s +a3s +... .2 , „З (p4(s) = aQ-\-als-\-a2s + a3s +...
Теорема 2.2. Интервальный полином F(s) принадлежит классу (п, к) -эквивалентности тогда и только тогда, когда: 1. Угловые полиномы (2.5) находятся в классе (п, к)-эквивалентности. 2. Для всех вещественных корней полиномов g(co), g(0)), h(G ), h{cd) выполняются следующие условия: Если g{(D) = О или g(co) - О, то h((0)h(co) 0; если h(co) = О или h(a ) = 0,то g(o))g(co) О. Где g(o)) = aQ-a2co +а4б) -...; g(a ) = ап- аэсо2 + а.соА -...; о (2.6) 1г(со) = а.со-ала) +а,а -...; к(о)) = ахсо-аъ(о +а5со -.. Утверждение можно независимо доказать с помощью критерия Михайлова или с помощью теоремы 2.1. Применим метод А.В. Михайлова.
Доказательство. Очевидно, что концы всех годографов F(jco) = g(co) + jh(co) полиномов F(s) входящих в интервальный полином F(s) принадлежат прямоугольнику Г((о) комплексной плоскости с вершинами образованными «угловыми» годогра При изменении СО от 0 до + со прямоугольник Т(со) перемещается по комплексной плоскости и его стороны остаются параллельными осям координат. При этом согласно критерию Михайлова, годографы угловых полиномов ТАсо), ТЛсо), ТА СО), Г.(со), поворачиваются против часовой стрелки на угол —\П — 2к), если они принадлежат классу (п, к) - эквивалентности. Для достаточно больших значениях величины СО прямоугольник Г(о)) прекращает «вращаться» и «прилипает» к одной из полуосей, т.к. максимальная координата любого годографа Г (со) стремиться к величине {JO)) .
Очевидно, что если угловые полиномы принадлежит классу (п, к)- эквивалентности, то прямоугольник Т(со) при своем перемещении может пересекаться с началом координат не по вершинам, а только по своим ребрам для некоторых значений СО = СО, . При этом возможно четыре ситуации:
Эта ситуация не возникает тогда и только тогда, когда выполняются соотношения (2.9) Н%)=о, g(%)-g(%)>o, g(<%) = 0, h(cokp)'h(cokp)>0, Если вместо величины СО = СО, взять все вещественные корни полиномов g(co), h(0)), g(co), h(C0), то теорема будет доказана.
Итак, мы показали, что если задан интервальный полином (2.4), то годографы Михайлова этого семейства полиномов принадлежат прямоугольнику Г (со), а годографы Михайлова угловых полиномов (2.5) этого семейства, являются вершинами этого прямоугольника.
Если интервальный полином (2.4), являлся интервальным полиномом класса (#, к)-эквивалентности (в том числе и угловые полиномы), то, согласно критерию Михайлова, все годографы этого семейства поворачиваются против хода часовой стрелки на угол —(п — 2к) при изменении СО от 0 до + со. Так как эти годографы образуют прямоугольник Г (со), то он не может, при изменении СО, пересекаться с началом координат, ибо это означало, по крайней мере, наличие мнимых корней, хотя бы у одного из полиномов этого семейства. Таким образом, соотношения (2.9) будут выполнены.
Обратно, выполнение условий теоремы означает, что прямоугольник Т(со) - образованный концами годографов Михайлова полиномов семейства (2.4), при изменении СО от 0 до + сю, поворачивается против хода часовой стрелки на угол —\п — 2к\ не пересекаясь с началом координат. Это означает, что все годографы Михайлова полиномов этого семейства также, при изменении СО от 0 до + оо, поворачивается против хода часовой стрелки на угол, то есть, согласно критерию Михайлова принадлежат классу (п, к) - эквивалентности. Теорема доказана. Теорема 2.2 является обобщением теоремы Харитонова [131], которая является ее частным случаем при к = 0. Следует отметить, что в теореме Харитонова не нужно проверять второе условие. Ослабим теорему 2.2 за счет второго условия, но получим утверждение, которое легче проверять.фами
Графические критерии робастной устойчивости семейств интервальных полиномов с вещественными коэффициентами
Известная теорема Харитонова о робастной устойчивости полиномов с вещественными коэффициентами [131] имеет свой графический аналог [111]. Это позволяет проверять поведение лишь одного годографа, а не четырех. Кроме того, в этой постановке можно вычислить максимальный размах неопределенности, при которой сохраняется робастная устойчивость. Однако в упомянутом графическом критерии сделаны ограничения на коэффициенты интервальных полиномов, которые здесь удается снять.
Запишем вещественный интервальный полином в форме: F{s) = {F{s) = aQ + axs + ...+ansn,a.-J! yari = 0,n} (3.1) и потребуем пока выполнения условий: CXQ О, Of. О, ОС . О, ОС 0. Рассмотрим функции: FAjco) = g0(co) + J6)h0(co) (номинальный годограф), g0(co) = a0- a co2 + a4co4 к (со) = a! - ctco2 + a,coA -. о 0 2,04 (3-2) ov 7 jj -a3co +a5i" A R(co) = an + a0co + a.co +..., 2 4 (13) Г(бУ) = Gfj + a3fe +«5бУ + .... Рассмотрим годограф (назовем его нормированным номинальным годографом): Z(co) = х(со) + jy(co\ 0 со +оо, / ч оИ / ч И (3.4) Годограф (3.4) часто называют годографом Ципкина-ГТоляка. Замечание 3.1. Можно рассматривать вместо НЛсо) функцию ho(co) = COhQ(co), а вместо Цб)) функцию 7 ((2)) = 07 (67). Тогда Ы(т) А0(0) функцию — нужно доопределить в СО = U значением , т.е. Го И Го(0) числом —.
Замечание 3.2. Если, все-таки, взять CXQ = 0 или СХ, = 0 (вырождение в точку первых двух интервалов для коэффициентов aQ, аД тогда годограф Z(co) существует при СО О и «приходит» при изменении СО от О до +00 из бесконечно удаленной точки комплексной плоскости. А если позволить обратиться в ноль CL или СХ ,то Z(co) и «уходит» в со.
Хотя при этом расчет будет несколько неудобен, но поведение годографа в главном (совпадение квадрантов годографа из (3.2) и из (3.4)) не изменится.
Имеет место критерий [111], доказательство которого анализируется ниже с целью обобщения с помощью ослабления условий и охвата всех интервальных полиномов без ограничений на коэффициенты. Теорема 3.1. Для робастной устойчивости вещественного интервального полинома (1) при OCQ 0, а} 0, а _ О, #я 0 необходимо и достаточно выполнение условий: \.\.а0 уа0,ап уап- (3.5) годограф Z(cd) из (3.4) при изменении СО от 0 до +QO проходит через п квадрантов против часовой стрелки и не пересекает квадрата с вершинами (±/ ,±/).
Доказательство. Покажем, что множество значений годографов интервального полинома (3.1) является прямоугольником: (Не будем путать годографы g(d)) + JG)h(co) для семейства полиномов (3.1) и номинальный годограф g0(d)) + jCohAco) из (3.2) с нормированным номинальным годографом Ципкина-Поляка (3.4).)
Далее, по критерию Михайлова полином FAs) устойчив тогда и только тогда, когда годограф F0(JO)) проходит через п квадрантов последовательно против часовой стрелки. Но FQ(J0)) = g0(60) + jCuhAcd) находится в каком-либо квадранте тогда и только тогда, когда g0(co) \(&) Z(a)) = Vj находится в том же квадранте. Последнее R{0)) Т(ео) означает, что полином FAs) устойчив, если и только если нормированный номинальный годограф Z{(d) проходит последовательно через п квадрантов против часовой стрелки при изменении СО от 0 до +QO.
Очевидно, условие (3.5) в теореме обеспечивает положительность коэффициентов йлИй всех полиномов интервального семейства (3.1) (все полиномы степени п и не имеют нулевого корня). Параллелепипед коэффициентов Q в (3.1), QZ-R является связным множеством. Таким образом, условия принципа исключения нуля выполняются, что и заканчивает доказательство теоремы.
Если размах неопределенности у подчиняется неравенству у у , то интервальное семейство является робастно устойчивым, а у называют 114 радиусом устойчивости интервального полинома F(s); 7 =min{/ ,/п,У }, где 2у - размер наибольшего квадрата ИЩА vJ - - о а0 .11 . \\х\ у , у / } вписанного в годограф (3.4) с центром в нуле; К. = у =——. Причем нормированный номинальный годограф ограничен и, в " а п отличие от номинального годографа, начинается внутри квадранта и заканчивается внутри квадранта - это облегчает расчеты и визуализацию.
Замечание 3.3. Так как для устойчивого полинома по теореме Стодолы все коэффициенты положительны (точнее одного знака), то вычислять номинальный или нормированный номинальный годограф без этого условия нет смысла. Поэтому можно сразу требовать, чтобы tf ya.,i = Q,n (3.17)
Последнее, в частности, повлечет, что все интервалы коэффициентов не содержат нуля. Если же все числа ОС. 0(/ = 0, її), то это гарантирует, что нормированный годограф (3.4) является ограниченным. Замечание 3.4. Требование в (3.1) OCQ 0,OC. 0 существенно, т.к. иначе формула (3.4) при СО = 0 не имеет смысла. Если же в этом случае взять СО 0 и рассматривать предельное положение Z(o)) при й —»0, то нормированный годограф Z{(0) станет бесконечно удаляться, оставаясь в том же квадранте, что и при 0 СО « 1.
Критерии робастного поведения непрерывных и дискретных аффинных семейств полиномов и семейств полиномов с неинтервальными описаниями неопределенности коэффициентов
В этой главе строится математический аппарат исследования робастного поведения, т.е. устойчивости или неустойчивости, аффинных семейств полиномов и семейств полиномов с различными описаниями неопределенности в коэффициентах. В рамках новой теории известные критерии робастной устойчивости являются частным случаем доказанных в главе теорем.
В параграфе 4.2 рассматриваются аффинные семейства полиномов, как с вещественными, так и с комплексными коэффициентами. Доказаны обобщения рёберной теоремы для исследования принадлежности аффинных семейств полиномов классам (П,к)-эквивалентности в вещественном и комплексном случаях. В частности, при к = 0 получим рёберную теорему. Для эллиптических и сферических ограничений на коэффициенты семейства полиномов доказано обобщение критерия робастной устойчивости для проверки семейства с такими ограничениями на принадлежность классам in, к J -эквивалентности. Далее, в 4.2 сделаны замечания по мультилинейной зависимости коэффициентов полинома от параметров и по возможности обобщения критериев робастной устойчивости и неустойчивости на дискретные семейства, для не интервальных описаний неопределённости коэффициентов семейства полиномов (дискретные интервальные полиномы рассмотрены в 3.4).
Для построения выпуклых множеств коэффициентов полиномов Гурвица используются допустимые линейные преобразования их коэффициентов [72], оставляющие эти полиномы полиномами Гурвица. Они были предложены Наймарком и дополнены Н.В. Зубовым. Эти преобразования позволяют расширить множество устойчивых интервальных полиномов Харитонова, базируясь на одном интервальном полиноме.
В параграфе 4.3 сделано обобщение этой методики на классы (п,к) эквивалентности и доказан ряд теорем в этой связи. Предложены линейные преобразования сохраняющие принадлежность полиномов классу (п,к) эквивалентности после этих преобразований и позволяющие строить выпуклые множества полиномов с заданным робастным поведением.
В параграфе 4.4 доказаны критерии существования выпуклых множеств робастно устойчивых и неустойчивых полиномов. Доказан графический критерий принадлежности выпуклых множеств полиномов, имеющих конечное число угловых точек классу (п, к \ -эквивалентности.
В параграфе 4.5 вводится понятие робастной к -стабилизации пары семейств полиномов A(s,q), B(s,q), q Q так, чтобы с помощью пары полиномов f(s) и &(s) семейство полиномов F(s,q) = A(s,q)f(s) + B(s,q)g(s) принадлежало классу (п,к) эквивалентности. Как следствие, при к = О получим робастную стабилизацию объекта, описанного одномерными передаточными функциями A(s,q) п U(S,q) = , q[s с помощью заданного регулятора в цепи B(s,q) обратной связи С() = .
В случае непараметрической неопределенности одномерных передаточных функций для открытой системы замкнутой единичной обратной связью доказан критерий робастной к -стабилизации который, при к = 0 дает робастный критерий Найквиста.
Параграф 4.6 посвящен вероятностному подходу к общей задаче исследования принадлежности классам уП,к)-эквивалентности семейств полиномов. Проведен анализ метода Монте-Карло для построения множеств S(o)) годографов и исследования их геометрических свойств. Для некоторых законов распределения построены аппроксимации точных критериев принадлежности семейств полиномов классам In, к) -эквивалентности.
Вероятностные критерии робастной устойчивости семейств полиномов являются следствием этих теорем при к — 0.
