Содержание к диссертации
1. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ
ЭЛЕКТРОЛИЗА АЛЮМИНИЯ 11
-
Электролитическое производство алюминия 11
-
Топологический метод синтеза многосвязных систем управления технологическими процессами 16
-
Структурная идентификация процесса получения алюминия 26
-
Выводы 35
2. АНАЛИЗ ТЕХНОЛОГИИ ОБРАБОТКИ РАЗРЕЖЕННЫХ
МАТРИЦ 36
-
Предварительные сведения о разреженных матрицах 36
-
Специальные формы разреженных матриц 38
-
Эквивалентное матричное преобразование 41
-
Блочная диагональная форма 44
-
Блочная треугольная форма 50
-
Выводы 58
3. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ПРИВЕДЕНИЯ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ РАЗРЕЖЕННОЙ МАТРИЦЫ К
БЛОЧНОМУ ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ 59
-
Анализ возможной структуры разреженной матрицы 59
-
Алгоритм приведения матрицы к форме BDF 62
-
Критерии приводимости матрицы к форме BDF 69
-
Статистический анализ разреженных матриц 75
-
Выводы 83
4. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ БОЛЬШИХ
РАЗРЕЖЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 84
4.1. Выбор метода решения систем линейных уравнений 84
-
Разработка методики решения систем линейных уравнений, представимых блочными диагональными матрицами 88
-
Решение СЛАУ в модели управления процессом электролиза алюминия 94
4.4. Выводы 102
5. МАШИННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА ПРИВЕДЕНИЯ
МАТРИЦЫ К ФОРМЕ BDF 103
-
Программное обеспечение, предназначенное для решения систем линейных уравнений 103
-
Разработка программного обеспечения по приведению прямоугольной разреженной матрицы к форме BDF 106
5.3. Выводы 112
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 113
ЛИТЕРАТУРА 115
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 120
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 122
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 125
ПРИЛОЖЕНИЕ 4 129
ПРИЛОЖЕНИЕ 5 131
Введение к работе
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 1.1. Актуальность работы
Россия занимает второе место в мире по производству первичного алюминия. Так, при общем объеме мирового производства в 1996г. - 20844 тыс. тонн, на долю России приходится 2871 тыс. тонн, или 13,8% [47].
На современном этапе алюминий широко используется во многих отраслях рыночной экономики: - электрификации, машиностроении, строительстве, быту и много других отраслях. Применение алюминия в современном производстве дало большой скачок в его развитии.
В 1993 г. Россия вышла на первое место в мире по экспорту первичного алюминия и к 1996г. ушла далеко вперед, поставляя 2455 тыс. тонн алюминия против 1841 тыс. тонн у Канады и 1129 тыс. тонн у Австралии, занимающих второе и третье места соответственно [48].
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что из 11 отечественных производителей, два (Братский и Красноярский) алюминиевых завода являются крупнейшими в мире.
Российской алюминиевой промышленности характерны высокая конкурентоспособность, тесная интеграция в мировой рынок и экспортная направленность.
Проблемы по защите окружающей природной среды, улучшению условий труда, повышению технико-экономических показателей работы определяют необходимость модернизации и реконструкции основной части алюминиевых заводов России.
Политика администрации Братского алюминиевого завода (БрАЗа) направлена на совершенствование уровней механизации и автоматизации. В последнее время на заводе появляются все больше механизмов и машин, облегчающих работу персонала. Это машины по пробивке корки электролизера, машины по загрузке анодной массы, краны с автоматическими манипуляторами и т.п. В области автоматизации идет реорганизация старых систем АСУТП на новые, соответствующие новейшим технологиям.
В связи с этим идет непрерывная работа по оптимизации управления отдельными объектами и всего алюминиевого завода. Учеными строятся и анализируются различные математические модели, большинство из которых сводятся к решению больших разреженных систем линейных уравнений.
Разреженные матрицы встречаются при решении многих важных практических задач: структурного анализа, теории электрических сетей и энергосистем распределения энергии, численного решения дифференциальных уравнений, теории графов, а также генетики, социологии и поведенческих наук, программирования для ЭВМ [53]. В связи с развитием современной техники можно ожидать, что и дальше большие разреженные матрицы будут встречаться во многих прикладных задачах, включающих большие системы.
Литература на русском языке, посвященная разреженным матрицам, пополнилась за последние несколько десятков лет достаточно хорошо [49,22-25,17,19,40,41,13-14,54,44]. В каждой из названных выше книг рассматривается лишь какая-нибудь одна задача линейной алгебры, а подчас даже ее специальный случай - спектральный анализ, решение симметричных положительно определенных систем, несимметричные системы с квадратными матрицами и т.п.
При оптимизации процесса получения алюминия получается несимметричная прямоугольная разреженная система линейных уравнений, которая требует отдельного подхода.
Чем больше параметров исследуемого объекта охватывает математическая модель, тем точнее и ближе к реальности получается результат. С ростом параметров растет размер матрицы. По мере того, как растут производительность и быстродействие вычислительных машин, становится возможным обрабатывать все большего размера матрицы, и тем самым уточнять математические модели. Несмотря на стремительное развитие вычислительной техники, по-прежнему, как и несколько десятков лет назад основными характеристиками остаются: память, трудоемкость и быстродействие. С ростом порядка матричной задачи растет и стоимость ее решения, становясь решающим фактором.
При условии, что система уравнений является разреженной, считается неэффективным хранение и обработка всей матрицы. Можно значительно сэкономить память, уменьшить время решения поставленной задачи и тем самым уменьшить стоимость решения, если хранить и обрабатывать только ненулевые элементы.
Настоящая диссертационная работа посвящена разработке прямых методов обращения больших разреженных несимметричных матриц и методике решения больших разреженных прямоугольных систем линейных уравнений на основе приведения матрицы системы к односторонне окаймленной блочной диагональной форме, программной реализации алгоритма приведения разреженной матрицы к блочной диагональной форме. Большое внимание уделяется критериям преобразования подобных матриц к некоторым простым формам, позволяющим оптимизировать дальнейшее решение основанных на них систем линейных уравнений.
1.2. Цель диссертационной работы
Состоит в разработке алгоритма приведения прямоугольной разреженной произвольного размера и структуры матрицы к блочному диагональному виду, обеспечивающему оптимизацию процесса решения больших разреженных систем линейных уравнений, основанных на подобных матрицах и используемых во многих математических задачах.
1.3. Основные задачи работы
К основным задачам диссертационной работы относятся:
1. Разработка алгоритма приведения прямоугольной разреженной матрицы произвольного размера и структуры к блочной диагональной форме (BDF).
Разработка критериев применимости алгоритма приведения разреженных прямоугольных матриц к форме BDF.
Разработка методики решения больших разреженных систем линейных уравнений разбиением матрицы системы на совокупность подсистем.
Применение методики решения больших разреженных прямоугольных систем линейных уравнений путем приведения матрицы системы к односторонне окаймленной блочной диагональной форме (SBBDF) на примере синтеза системы управления процессом электролиза алюминия. Сравнение и анализ результатов.
Реализация процесса приведения разреженных прямоугольных матриц к форме BDF на ЭВМ.
1.4. Методы исследования
В процессе разработки и анализа алгоритмов приведения больших разреженных матриц к блочному диагональному виду использовались методы теории графов, линейной алгебры, логики, теории вероятности и математической статистики.
Результаты работы получены с помощью программных пакетов: обработка матриц с целью получения данных для анализа - Delphi 6.0; первичная обработка полученных данных - Excel 97; статистическая обработка данных - Statistica 6.0, MiniTab 32; решение систем линейных уравнений -Matlab 6.1, Maple 7.0.
1.5. Научная новизна и вклад в разработку проблемы
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
1. Разреженную систему линейных уравнений предлагается разбить на несколько подсистем, за счет приведения матрицы к блочной диагональной форме. Это позволит избавиться от множества операций над нулевыми элементами, тем самым сэкономить время и память, представить математическую модель в более наглядном виде.
Обосновывается выбор приведения матрицы к блочной диагональной форме, как к наиболее приемлемой форме при достаточно большом количестве строк с несколькими ненулевыми элементами.
Разработан алгоритм приведения прямоугольной разреженной матрицы к блочной диагональной форме. Алгоритм имеет малую трудоемкость и легко поддается машинной реализации.
Проведен анализ полученного алгоритма, сравнение с другими алгоритмами по приведению матрицы к специальным формам, дано обоснование его применимости.
Выведены ограничения на структуру разреженной матрицы, позволяющие судить о результатах алгоритма до его применения. Это позволяет в некоторых случаях сэкономить время при выборе оптимального метода решения математической модели.
Предложен метод решения системы линейных уравнений с разреженной матрицей, неприводимой к блочной диагональной форме.
Проведено тестирование предложенной методики на примере анализа математической модели оптимального управления электролизом алюминия по выбранным критериям - максимум выхода по металлу при минимуме напряжения на электролизере.
1.6. Положения, выносимые на защиту
На защиту выносятся следующие положения: ш постановка задачи решения больших прямоугольных разреженных систем линейных уравнений; ш результаты исследования существующих алгоритмов обработки больших разреженных матриц; в алгоритм приведения прямоугольной разреженной матрицы к блочной диагональной форме; в анализ ограничений на структуру разреженной матрицы, позволяющих судить о результатах алгоритма до его применения; (=i методика решения больших прямоугольных разреженных .систем линейных уравнений с блочной диагональной матрицей; \т результаты тестирования предложенной методики на примере анализа математической модели оптимального управления электролизером по выбранным критериям - максимум выливаемого алюминия при минимуме напряжения электролизной ванны.
1.7. Практическая ценность
Исследования автора выполнялись в рамках госбюджетной тематики «Топологические методы идентификации и синтеза систем управления многосвязными объектами» (код ГРНТИ 27.19.19), выполняемой в Братском государственном техническом университете по направлению «Теория, методы и средства автоматизации систем переработки информации и управления».
Результаты диссертационной работы позволили оценить возможность организации оптимального решения больших прямоугольных разреженных .систем линейных уравнений по критериям экономии памяти компьютера, требуемой для хранения данных и уменьшению времени, затрачиваемого на анализ математической модели.
Настоящие исследования служат основой для дальнейшего развития методики решения больших прямоугольных разреженных .систем линейных уравнений и позволяют значительно увеличить объемы математических моделей, включая новую информацию об исследуемом объекте.
1.8. Апробация работы
Основные результаты работы докладывались на межрегиональной научно-технической конференции «Естественные и инженерные науки -развитию регионов» (Братск, БрГТУ, 2002; Братск, БрГТУ, 2003); на VI всероссийской научно-технической конференции "Новые информационные технологии» (г. Москва, Московская государственная академия приборостроения и информатики, 2003).
1.9. Публикации
По теме диссертации опубликовано девять работ, в том числе 3 статьи и 6 тезисов.
1.10. Структура и объем диссертационной работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации составляет 114 страниц основного текста, 24 рисунка, 7 таблиц, 5 приложений. Список литературы содержит 63 наименования.
1. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ЭЛЕКТРОЛИЗА АЛЮМИНИЯ.
