Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Анализ задач идентификации объектов управления 11
1.1. Задачи идентификации. Особенности задач 11
1.2. Общая классификация задач идентификации объектов управления 12
1.3. Классификация задач идентификации объектов стационарными линейными моделями 15
1.3.1. Частотные характеристики 16
1.3.2. Временные характеристики 17
1.3.3. Дифференциальные уравнения 22
1.4. Вейвлет-преобразования 40
ГЛАВА 2. Преобразования гаусса. Свойства преобразований 46
2.1. Общие сведения о преобразованиях Гаусса 46
2.2. Численное обращение преобразований Гаусса 49
2.3. Преобразования Гаусса периодических функций 55
2.4. Преобразования Гаусса финитных сигналов 63
2.5. Сглаживающие свойства преобразований Гаусса 73
2.6. Особенности обобщённой параметрической
идентификации моделью вход-выход 79
ГЛАВА 3. Разработка алгоритмов обобщённой идентификации линейных стационарных объектов 85
3.1. Идентификация линейного объекта по сигналам вход-выход при нулевых предначальных условиях 85
3.1.1. Идентификация объектов простой структуры 86
3.1.2. Идентификаїщя объектов усложнённой структуры при нулевых предначанъных условиях 96
3.3. Идентификация простых объектов при ненулевых предначальных условиях 98
3.4. Идентификация объектов произвольного порядка при ненулевых предначальных условиях 107
3.5. Аппроксимация производных финитной функции рядами полиномов Эрмита 110
ГЛАВА 4. Численная реализация и моделирование процедур идентификации линейных стационарных обектов на основе преобразований Гаусса 114
4.1. Процедура идентификации объекта 114
4.1.1. Данные наблюдений 114
4.1.2. Множество моделей-кандидатов 116
4.1.2.1. Численное определение преобразований Гаусса 117
4.1.2.2. Формирование банка моделей-претендентов 120
4.1.2.3. Задача выбора численного метода решения систем линейных алгебраических уравнений 121
4.1.3. Определение «наилучшей» модели множества 126
4.1.3.1. Критерий идентификации 126
4.1.3.2. Определение вектора постначалъных значений фазовых координат выходного сигнала модели объекта 127
4.1.3.3. Численное решение задачи Коши 129
4.1.4. Контур идентификации объекта 132
4.2. Определение вектора предоконечных значений фазовых координат выходного сигнала модели объекта 133
4.3. Варианты реализации программы Gaussid 133
Заключение 163
Список литературы 165
Приложения 172
- Общая классификация задач идентификации объектов управления
- Численное обращение преобразований Гаусса
- Идентификация объектов простой структуры
- Задача выбора численного метода решения систем линейных алгебраических уравнений
Введение к работе
Идентификация, как научное направление, имеет 60-летнюю историю. Её становление связано с основополагающими работами Аоки М., Гропа Д. , Сей-джа Э., Мелса Дж., Льюнга Л., Медича Дж., Эйкхоффа П., Солодовникова В.В., Цыпкина ЯЗ., Райбмана Р.С., Дейча A.M., Егупова Н.Д. [26], [46], [63]-=-[65], [69], [75]- -[78], [81], [92], [97], [98] и других авторов. Несмотря на очень большое число публикаций (по некоторым оценкам более 4-104), посвященных решению различных аспектов задачи идентификации объектов управления, ещё не созданы методы, полностью удовлетворяющие потребности практики. В подтверждении этого утверждения сошлёмся на ряд международных конференций «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO, проводимых институтом проблем управления имени В.А.Трапезникова РАН, Российским комитетом по автоматическому управлению, Российским фондом фундаментальных исследований, Отделением энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН. Их более пяти. На каждой из них сделано примерно по 200 докладов.
В аэрокосмических, металлообрабатывающих и других отраслях промышленности широко используются многозвенные устройства, которые в процессе эксплуатации подвергаются воздействиям ударных и прочих кратковременных возмущений. Реакции на подобные возмущения, наблюдаемые в известных точках данных устройств, носят характер непериодических колебаний сложной формы. Задача идентификации многозвенных устройств в данном случае сводится к определению моделей их динамических свойств по реализациям вход-выход, заданным на коротких временных интервалах, соизмеримых с длительностью переходных процессов в устойчивых объектах, но не критичных к свойствам их устойчивости и многомерности. В теории автоматического управления в разделе «Идентификация» накоплен большой опыт построения математических моделей динамических свойств объектов управления. На практике предпочтение для построения математических моделей такого рода процессов отдаётся моделям в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ). Более точные методы описания динамических свойств идентифицируемого объекта, такие как функциональные ряды и нелинейные ДУ, требуют при идентификации неприемлемо большого объема аппаратно-временных затрат, так что полученная модель либо теряет свою адекватность, вследствие неизбежных изменений параметров объекта, либо может использоваться на временных интервалах, значительно меньших чем время, затрачиваемое на определение модели. Данный подход позволяет сокращать время, затрачиваемое на определение моделей каждого из каналов многомерного объекта и увеличивать время использования этих моделей каналов, если режим работы объекта не выходит за пределы окрестностей типовых значений, учтенных при идентификации. Как будет показано ниже, задача идентификации объектов ДУ до сих пор не получила исчерпывающего решения. Современные высокоразвитые вычислительные системы, такие как MATLAB, не имеют в своих арсеналах эффективных алгоритмов идентификации объектов по реализациям вход-выход в виде ДУ, ограничиваясь лишь разностными аналогами. Однако известно, что разностное уравнение не позволяет однозначно восстановить обыкновенное ДУ. В связи с этим возникает необходимость разработки алгоритмов и реализующих их программных средств идентификации объектов моделями, описываемыми ДУ высокого порядка по коротким реализациям вход-выход.
В данной диссертационной работе разрабатываются алгоритмы идентификации объектов в рассматриваемых условиях линейными обыкновенными ДУ, позволяющими исследовать характерное поведение объекта в окрестности выбранного установившегося режима. Алгоритмы открыты для дальнейших обобщений на объекты с запаздыванием и некоторые классы нелинейных объектов.
Объект, предмет и рамки исследования
Объектом исследования являются системы автоматического управления техническими объектами, в том числе многомерные. Предметом исследования являются каналы одно- или многомерного объекта, экспериментально исследуемого по технологии «один вход — все выходы» моделями в виде линейного ДУ с постоянными коэффициентами.
Методом исследования являются двупараметрические интегральные преобразования сигналов вход-выход каналов объекта, локализованные во временной и частотной областях, аналогичные вейвлет-преобразованиям, названные Увае-вым А.И., преобразованиями Гаусса [82], [83]. Несмотря на их тридцатилетнюю историю, они не получили должного освещения в литературе. Эти преобразования позволяют получать вполне приемлемые алгоритмы, эффективно реализуемые на базе современных вычислительных средств. Подтверждением этого являются результаты данной диссертационной работы.
Постановка цели и задачи исследований
Цель работы заключается в разработке и исследовании алгоритмов идентификации канала одно- или многомерного объекта моделью в виде линейного ДУ с постоянными коэффициентами по коротким реализациям сигналов вход-выход, использующих априорную информацию о величине допустимой погрешности аппроксимации заданного выходного сигнала канала выходным сигналом его модели.
Достижение поставленной цели предполагает решение следующих основных задач.
1. Выбор интегральных преобразований финитных реализаций вход-выход объекта, осуществляющих алгебраизацию линейного ДУ и аппроксимацию сигналов.
2. Исследование основных свойств вейвлет-подобных преобразований Гаусса и разработка алгоритмов использования изображений сигналов вход-выход.
3. Выработка рекомендаций по выбору известных численных процедур, позволяющих программно реализовать алгоритм идентификации объекта обыкновенными ДУдо 10-го порядка включительно.
4. Исследование предложенных алгоритмов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса для подтверждения их работоспособности и выработки рекомендаций по практическому применению.
Научная новизна
1. Предложена коррекция обыкновенного линейного ДУ для описания связи между финитными реализациями вход-выход объекта. Обоснована методика учёта постначальных и предоконечных координат фазового состояния финитной реализации вход-выход.
2. Исследовано аппроксимационное свойство преобразований Гаусса, позволяющее оценивать векторы фазовых координат предначального состояния реализации вход-выход объекта на одной методической основе с решением других этапов процедуры идентификации.
3. Исследованы преобразования Гаусса полигармонических и случайных сигналов с целью выделения области значений их параметров, при которых они обладают либо сглаживающими, либо резонансными свойствами.
4. Разработаны алгоритмы формирования систем линейных алгебраических уравнений из преобразований Гаусса реализаций вход-выход объекта при идентификации объекта моделями-кандидатами.
5. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение обобщенной идентификации объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса, позволяющие формировать банк моделей-кандидатов и выбирать из него одну модель-претендент, минимизирующую функционал ошибки аппроксимации выхода объектов.
Методы проведения исследований
Теоретические исследования основаны на гипотезе о возможности описания динамических свойств объекта (или одного из его каналов) линейными ДУ заданной структуры с постоянными коэффициентами, определяющими связь между финитными реализациями вход-выход объекта, и методах вычислительной математики и моделирования. Программная реализация осуществлялась на базе пакета MATLAB в среде программирования Delphi 7.
Практическая ценность
Проведено комплексное исследование свойств алгоритмов идентификации линейных объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса. Разработанная процедура идентификации не содержит методических погрешностей и потому её следует применять:
а) для контроля качества численного решения обыкновенных линейных ДУ;
б) идентификации объектов по реализациям вход-выход длительностью единицы или десятки секунд с помощью разработанного программного продукта, в том числе и при искажениях выходного сигнала аддитивными шумами умеренной интенсивности.
Материалы исследований и разработанный программный продукт использованы в учебном процессе в Рязанском государственном радиотехническом университете и Рязанском высшем военном командном училище связи (военном институте) имени маршала Советского Союза М.В. Захарова, а также внедрены в проектах ООО «Космические системы спасения», г. Москва.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Коррекция обыкновенного линейного ДУ, задающего связь между реализациями вход-выход, заданными на всей числовой оси, с целью получения связи между финитными реализациями вход-выход.
2. Результаты теоретических исследований основных свойств преобразований Гаусса, позволяющих эффективно решать задачу обобщенной идентификации.
3. Алгоритмы обобщенной идентификации линейных стационарных объектов на основе преобразований Гаусса реализаций вход-выход объекта с использованием банка моделей.
4. Результаты исследования эффективности разработанных алгоритмов обобщенной идентификации объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса.
Апробация научных положений
Научные результаты, полученные в работе, докладывались и обсуждались на следующих международных, всероссийских и межрегиональных научно-технических конференциях:
. 2-й международной конференции и выставки «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (г. Москва, 1999);
. 36-й научно-технической конференции и 47-й студенческой научно-технической конференции (г. Рязань, 2000);
. международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO 2000 (г. Москва, 2000); . межвузовской научно-методической конференции «VII Рязанские педагогические чтения» (г. Рязань, 2000);
. 6-й всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» (г. Рязань, 2001);
. XII всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» (г. Рязань, 2007);
. 33-й всероссийской научно-технической конференции «Сети, системы связи и телекоммуникации. Деятельность вуза при переходе на Федеральный государственный стандарт 3-го поколения» (г. Рязань, 2008). Публикации по теме
Основное результаты диссертационной работы отражены в 10 печатных работах, в том числе в 5 статьях, 2 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Структура диссертационной работы
Диссертация состоит из введения, 4 глав с выводами по каждой из них, заключения, перечня литературы и 14 приложений. Общий объём работы 298 стр., из них 164 стр. основного текста, 9 таблиц, 40 рисунков. Список литературы содержит 101 наименование.
В первой главе проведена классификация известных методов идентификации линейных объектов. Отмечены непараметрические и параметрические формы представления моделей. Непараметрические модели не позволяют описать динамические свойства неустойчивых объектов. Модели в форме ДУ и уравнений состояния некритичны к устойчивости объекта и являются наиболее «экономичными» по числу учитываемых параметров (так как в линейных режимах объекта она не имеет методической погрешности). Уравнения состояния отмечены в качестве вторичной формы описания модели, поскольку в общем случае координаты состояния могут быть физически ненаблюдаемыми.
Проанализированы возможности известных интегральных преобразований, алгебраизующих ДУ. Некоторых затруднений, свойственных этим подходам к решению задачи идентификации, можно избежать, если использовать современные подходы к анализу сигналов и изображений, а именно вейвлет-преобразования на основе гауссидов. Дополнив свойства гауссид-преобразований, получим вейвлет-подобные преобразования Гаусса.
Во второй главе проанализированы свойства преобразований Гаусса, используемые в разработанных алгоритмах обобщённой идентификации. Рассмотрены сглаживающие свойства преобразований Гаусса гармонических и случайных сигналов. Проведено исследование преобразований Гаусса финитных сигналов. Конечность интервала-носителя [0,Г] порождает краевые условия. Скачкообразные изменения продолжения f{t), t R, на краях интервала-носителя сигнала [0,Г] приводят к тому, что производные f{k\t) продолжения
порядка к являются обобщёнными производными (2.26). В связи с этим структура преобразований Гаусса к-то порядка =0,1,2,..., непрерывных функций f(t), t є (0,Г), содержит 2 типа составляющих:
1) составляющую, обусловленную регулярной производной;
2) составляющие, обусловленные скачкообразным изменением финитной функции на краях интервала [0,Г].
Показана необходимость коррекции линейного ДУ, задающего связь между финитными реализациями вход-выход. Краевые условия, возникающие из-за финитности реализации вход-выход, приводят к необходимости модифицировать ДУ объекта путём ввода балансировочных членов. Данный подход позволяет использовать интегральные преобразования, не удовлетворяющие условию обращения в ноль вместе со своими первыми производными на концах интервала-носителя.
В третьей главе приведены алгоритмы обобщённой идентификации линейных стационарных объектов на основе преобразований Гаусса реализаций вход-выход с построением банка моделей-кандидатов. Алгоритмы предполагают старт объекта из нулевых и ненулевых предначальных условий.
Получены выражения, которые, при необходимости, могут быть положены в основу оценки координат векторов координат фазового состояния входного сигнала в постначальный и предоконечный моменты времени : V(0+), V(T-).
Четвёртая глава содержит материалы, позволяющие численно реализовать разработанные алгоритмы идентификации линейных объектов на основе вейв-лет-подобных преобразований Гаусса. Для подтверждения работоспособности предложенных алгоритмов была реализована программа Gaussid. Моделирование процедуры идентификации позволило:
1) выбрать рациональный набор численных процедур, позволяющий успешно решать задачу идентификации;
2) оценить области рациональных значений параметров г и s преобразований Гаусса.
Исследована эффективность разработанного программного продукта путём моделирования процедур идентификации. Указано, что разработанные алгоритмы не имеют методических погрешностей аппроксимации (для линейных объектов), а их вычислительные погрешности можно свести к пренебрежимо малым величинам.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.
В приложениях приведены алгоритмы идентификации линейного стационарного объекта при входном сигнале типа 8 -функция, 1(7), Asm cot; банки моделей-кандидатов для идентифицируемых объектов, а также листинг разработанного программного продукта.
Общая классификация задач идентификации объектов управления
Диссертация состоит из введения, 4 глав с выводами по каждой из них, заключения, перечня литературы и 14 приложений. Общий объём работы 298 стр., из них 164 стр. основного текста, 9 таблиц, 40 рисунков. Список литературы содержит 101 наименование.
В первой главе проведена классификация известных методов идентификации линейных объектов. Отмечены непараметрические и параметрические формы представления моделей. Непараметрические модели не позволяют описать динамические свойства неустойчивых объектов. Модели в форме ДУ и уравнений состояния некритичны к устойчивости объекта и являются наиболее «экономичными» по числу учитываемых параметров (так как в линейных режимах объекта она не имеет методической погрешности). Уравнения состояния отмечены в качестве вторичной формы описания модели, поскольку в общем случае координаты состояния могут быть физически ненаблюдаемыми.
Проанализированы возможности известных интегральных преобразований, алгебраизующих ДУ. Некоторых затруднений, свойственных этим подходам к решению задачи идентификации, можно избежать, если использовать современные подходы к анализу сигналов и изображений, а именно вейвлет-преобразования на основе гауссидов. Дополнив свойства гауссид-преобразований, получим вейвлет-подобные преобразования Гаусса.
Во второй главе проанализированы свойства преобразований Гаусса, используемые в разработанных алгоритмах обобщённой идентификации. Рассмотрены сглаживающие свойства преобразований Гаусса гармонических и случайных сигналов. Проведено исследование преобразований Гаусса финитных сигналов. Конечность интервала-носителя [0,Г] порождает краевые условия. Скачкообразные изменения продолжения f{t), t R, на краях интервала-носителя сигнала [0,Г] приводят к тому, что производные f{k\t) продолжения порядка к являются обобщёнными производными (2.26). В связи с этим структура преобразований Гаусса к-то порядка =0,1,2,..., непрерывных функций f(t), t є (0,Г), содержит 2 типа составляющих: 1) составляющую, обусловленную регулярной производной; 2) составляющие, обусловленные скачкообразным изменением финитной функции на краях интервала [0,Г]. Показана необходимость коррекции линейного ДУ, задающего связь между финитными реализациями вход-выход. Краевые условия, возникающие из-за финитности реализации вход-выход, приводят к необходимости модифициро 10 вать ДУ объекта путём ввода балансировочных членов. Данный подход позволяет использовать интегральные преобразования, не удовлетворяющие условию обращения в ноль вместе со своими первыми производными на концах интервала-носителя. В третьей главе приведены алгоритмы обобщённой идентификации линейных стационарных объектов на основе преобразований Гаусса реализаций вход-выход с построением банка моделей-кандидатов. Алгоритмы предполагают старт объекта из нулевых и ненулевых предначальных условий. Получены выражения, которые, при необходимости, могут быть положены в основу оценки координат векторов координат фазового состояния входного сигнала в постначальный и предоконечный моменты времени : V(0+), V(T-). Четвёртая глава содержит материалы, позволяющие численно реализовать разработанные алгоритмы идентификации линейных объектов на основе вейв-лет-подобных преобразований Гаусса. Для подтверждения работоспособности предложенных алгоритмов была реализована программа Gaussid. Моделирование процедуры идентификации позволило: 1) выбрать рациональный набор численных процедур, позволяющий успешно решать задачу идентификации; 2) оценить области рациональных значений параметров г и s преобразований Гаусса. Исследована эффективность разработанного программного продукта путём моделирования процедур идентификации. Указано, что разработанные алгоритмы не имеют методических погрешностей аппроксимации (для линейных объектов), а их вычислительные погрешности можно свести к пренебрежимо малым величинам. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе. В приложениях приведены алгоритмы идентификации линейного стационарного объекта при входном сигнале типа 8 -функция, 1(7), Asm cot; банки моделей-кандидатов для идентифицируемых объектов, а также листинг разработанного программного продукта.
Численное обращение преобразований Гаусса
В заключение приведём основные выводы по данной диссертационной работе, посвященной разработке алгоритмов обобщённой идентификации объектов на основе вейвлет-подобных преобразований Гаусса. 1. Несмотря на значительное число публикаций (более 4-Ю4), посвященных решению различных аспектов задачи идентификации объектов по реализациям вход-выход, эта задача всё ещё остаётся актуальной. 2. Современные тенденции развития теории автоматического управления, такие как нечёткое и робастное управление и т.д., базируются на множествах моделей объекта, моделирующих его поведение в локальных режимах. Эти тенденции заостряют необходимость разработки быстрых алгоритмов идентификации, позволяющих получать линейные модели по переходным составляющим реакций объектов, удовлетворяющие требованиям адекватности. 3. Анализ основных подходов к решению задачи идентификации объектов, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, показал эффективность обобщённой идентификации объекта, при которой без дополнительных вычислений модель объекта пригодна для прогнозирования поведения объекта на интервалах времени, следующих за интервалом идентификации. 4. Отмечено, что удобной формой описания модели являются дифференциальные уравнения вход-выход или эквивалентные им уравнения состояния в нормальной форме Коши, скорректированные балансирующими членами, учитывающими финитность реализаций вход-выход объекта, предъявляемых для его идентификации. 5. Основным приёмом определения параметров линейного дифференциального уравнения всегда являлись интегральные преобразования, алгебраизи-рующие дифференциальное уравнение. Современным требованиям, по мнению автора, наиболее полно удовлетворяют преобразования Гаусса, ядра которых являются обобщением группы вейвлетов-гаусеидов. 6. Проанализированы основные свойства преобразований Гаусса, показана их связь с коэффициентами Фурье разложения сигналов по полиномам Эрмита. Получены оригинальные выражения, позволяющие оценить векторы постначальных и предоконечных значений координат фазового состояния финитных сигналов. Выражения базируются на секвенциальном подходе к исследованию сингулярных 8-функций, отличающемся в деталях от аксиоматического подхода. 7. Разработано теоретическое и алгоритмическое обеспечение решения задачи идентификации объектов с неизвестной структурой обобщённой моделью, параметры которой определяются на основе обработки преобразований Гаусса реализации вход-выход объекта (или одного канала многомерного объекта). Показана практическая целесообразность ограничения порядка ДУ п \0. При этом процедура идентификации включает формирование и решение 55 систем линейных алгебраических уравнений, каждое из которых определяет параметры одной модели-кандидата. Порядок старшей системы линейных алгебраических уравнений равен 30. Отмечены затруднения, сопровождающие процедуру идентификации, в случаях, когда старт объекта происходит из ненулевых пред-начальных условий, а входной сигнал не описан аналитической функцией. При старте объекта из нулевых предначальных условий порядок старшей системы линейных алгебраических уравнений равен 20, вектор постначальных значений координат фазового состояния выходного сигнала объекта определяется аналитически, исходя из постначальных значений координат фазового состояния входного сигнала и коэффициентов дифференциального уравнения модели-кандидата. 8. В разработанном оригинальном программном продукте, автоматизирующем решение задач процедуры идентификации, для. выбора модели-претендента из 55 моделей-кандидатов предусмотрено вычисление одного из формальных критериев Ju,Jn, J2l, J22 выбора претендента, для которого J = min, А: є 1,4, и построение графиков выхода объекта и модели-кандидата. 9. Суждение о пригодности или непригодности модели-кандидата остаётся за исследователем. Оно может быть основано либо на опыте исследователя, ли бо на формальном сравнении значения критерия J k с его допустимым значени ем. 10. Результаты моделирования процедуры идентификации полностью подтвердили то, что разработанная методика идентификации на основе преобразований Гаусса реализации вход-выход вполне соответствует требованиям к качеству моделей объектов, некритична к устойчивости объекта, способна работать в условиях аддитивных шумов, допуская определение моделей до 10-го порядка включительно. 11. При незначительных модификациях разработанная методика позволит идентифицировать объекты с запаздыванием, некоторые классы нестационарных и нелинейных объектов [50], [86].
Идентификация объектов простой структуры
В результате осуществления всех обозначенных этапов процедуры идентификации получаем конкретную модель-претендент объекта: одну из множества моделей-кандидатов, которая в соответствии с выбранным критерием соответствия объект-модель «наилучшим» образом воспроизводит данные наблюдений. Остаётся проверить, «достаточно ли хороша» эта модель, выполняет ли она своё предназначение. Такие проверки именуются процедурой подтверждения модели [46]. Поставленный вопрос имеет несколько аспектов. 1. Достаточно ли согласуется определённая модель с данными наблюдений? 2. Насколько соответствует модель цели её создания? 3. Описывает ли модель «истинный» объект? В общем случае метод получения ответов на эти вопросы состоит в том, чтобы сопоставить с выбранной моделью s k всю практически полученную информацию об истинном объекте: априорная информация, экспериментальные данные и опыт использования модели-претендента. В прикладных задачах идентификации наиболее естественным способом для сопоставления объекта с моделью-претендентом являются сами данные. На данном этапе широко применяется процедура сравнения выходного yM{t), t E (О,Т), сигнала модели с выходным сигналом y{t), te(0,T), объекта при подаче на их входы сигналов, не использовавшихся при процедуре идентификации (процедура перекрёстного подтверждения). Таким образом, качество модели-претендента можно оценить путём сравнения yM(t) и y(t), t є (О,Г), непосредственно на графике, т.е. визуально. Вероятно, что первая из найденных моделей-претендентов объекта может не выдержать проверки на этапе подтверждения. Тогда нужно вернуться и пересмотреть этапы процедуры. Существуют несколько причин несовершенства моделей: - множество данных наблюдений не достаточно информативно для обеспечения выбора «хорошей» модели-претендента; Графики входного v(t) и выходного y(t), t є (0,7), сигналов объекта Реализации сигналов вход-выход объекта представлены в виде сеток и хранятся в файлах «имя фай ла»_іпрЩ.таІ и «имя файла»_оігіри1;.пШ соответственно. Целесообразно задать следующие значения параметров г и ПГ: начальное значение параметра сдвига по времени г0 = 0, шаг изменения этого параметра h = 0,5 и значение параметра масштаба s = 0,1. Программа выполнит расчёт ПГ сеток сигналов вход-выход порядков к = 0,10 с выбранными параметрами и сформирует из них СЛАУ, которые решатся методом SVD. В результате определятся векторы параметров 55 моделей-кандидатов объекта, формирующих банк моделей. Для каждой модели-кандидата из банка рассчитывается значение критерия (4.40) соответствия объект-модель и выбирается та модель, для которой значение критерия минимально.
Задача выбора численного метода решения систем линейных алгебраических уравнений
Модели в форме ДУ и уравнений состояния некритичны к устойчивости объекта и являются наиболее «экономичными» по числу учитываемых параметров (так как в линейных режимах объекта она не имеет методической погрешности). Уравнения состояния отмечены в качестве вторичной формы описания модели, поскольку в общем случае координаты состояния могут быть физически ненаблюдаемыми.
Проанализированы возможности известных интегральных преобразований, алгебраизующих ДУ. Некоторых затруднений, свойственных этим подходам к решению задачи идентификации, можно избежать, если использовать современные подходы к анализу сигналов и изображений, а именно вейвлет-преобразования на основе гауссидов. Дополнив свойства гауссид-преобразований, получим вейвлет-подобные преобразования Гаусса.
Во второй главе проанализированы свойства преобразований Гаусса, используемые в разработанных алгоритмах обобщённой идентификации. Рассмотрены сглаживающие свойства преобразований Гаусса гармонических и случайных сигналов. Проведено исследование преобразований Гаусса финитных сигналов. Конечность интервала-носителя [0,Г] порождает краевые условия. Скачкообразные изменения продолжения f{t), t R, на краях интервала-носителя сигнала [0,Г] приводят к тому, что производные f{k\t) продолжения порядка к являются обобщёнными производными (2.26). В связи с этим структура преобразований Гаусса к-то порядка =0,1,2,..., непрерывных функций f(t), t є (0,Г), содержит 2 типа составляющих: 1) составляющую, обусловленную регулярной производной; 2) составляющие, обусловленные скачкообразным изменением финитной функции на краях интервала [0,Г]. Показана необходимость коррекции линейного ДУ, задающего связь между финитными реализациями вход-выход. Краевые условия, возникающие из-за финитности реализации вход-выход, приводят к необходимости модифициро 10 вать ДУ объекта путём ввода балансировочных членов. Данный подход позволяет использовать интегральные преобразования, не удовлетворяющие условию обращения в ноль вместе со своими первыми производными на концах интервала-носителя. В третьей главе приведены алгоритмы обобщённой идентификации линейных стационарных объектов на основе преобразований Гаусса реализаций вход-выход с построением банка моделей-кандидатов. Алгоритмы предполагают старт объекта из нулевых и ненулевых предначальных условий. Получены выражения, которые, при необходимости, могут быть положены в основу оценки координат векторов координат фазового состояния входного сигнала в постначальный и предоконечный моменты времени : V(0+), V(T-). Четвёртая глава содержит материалы, позволяющие численно реализовать разработанные алгоритмы идентификации линейных объектов на основе вейв-лет-подобных преобразований Гаусса. Для подтверждения работоспособности предложенных алгоритмов была реализована программа Gaussid. Моделирование процедуры идентификации позволило: 1) выбрать рациональный набор численных процедур, позволяющий успешно решать задачу идентификации; 2) оценить области рациональных значений параметров г и s преобразований Гаусса. Исследована эффективность разработанного программного продукта путём моделирования процедур идентификации. Указано, что разработанные алгоритмы не имеют методических погрешностей аппроксимации (для линейных объектов), а их вычислительные погрешности можно свести к пренебрежимо малым величинам. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе. В приложениях приведены алгоритмы идентификации линейного стационарного объекта при входном сигнале типа 8 -функция, 1(7), Asm cot; банки моделей-кандидатов для идентифицируемых объектов, а также листинг разработанного программного продукта.
