Введение к работе
\*МЦ
Актуальность тавд. Одним из средств повьягения эффективности тшионировония автоматизированных систем управления технологи-скимн процессами является использование математической модели, зволяющеГ! адекватно описывать реальны!* технологический процесс П) из всех режимах ого работы. Расширение сферы применения АСУ требует разработки таких методов, которые позволяли би строить добные математические модели не имея четкое информации о гранах между различными режимами. Имзнно по-зчоїлу проблема разрз-гки, исследования и внедрения методов математического мэдели-эания сложных ТП на основз алгоритмов размытой кусочной аппрок-лаиии (КА) является весьма актуальной.
Целью работн является разработка и исследование алгоритмов змытой кусочной аппроксимации характеристик слоянцх тахнологи-іких процессов, а также методов моделирования стратегия управ-іия этими процессами.
Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие гулътатн:
разработаны двухступенчатый и одноступенчатый алгоритмы троения разиытой кусочной аппроксимации скжішх загистюстей;
разработан новый алгоритм автоматической1 классификации азмытыш гранишки классов;
разработаны методы математического моделирования страта-управления слокниш техно логическими процессами;
предложен алгоритм выявления статических режимов ТП с ис-іооваянем фуккге.'ії сложности экспериментальных кривых;
предложен многокритериальный подход к решет::о задачи тиров: параметров;
- разработан алгоритм адаптации кусочно-линейных моделей с постоянной памятью.
Методи исследования. В работе использовались методы автоматической классификации, теории нечетких (размытых) ынокегтп,многокритериального выбора, факторного анализа.
Практическая ненноегь работы состоит в возможности іі'мюоре ствонного использования рп правота mux алгоритмов для моделирования широкого класса технологических процессов и управления ими и основе моделей стратегии управления без решения классической задачи математического программирования.
/ффеїстивность исследованных в диссертации алгоритм"!; проверена как па гадслынле задачах, так и при решении реальних прикладных проблем.
Реализация результатов исследования. Алгоритмі математического і:одолііросаівія стратегий управления с использованием метода КА при расщтой классификации используются для управления технологическим процессом предварительного обогащения природного газа гелием на заводе по вццелеш» гелия из природного газа.
Библиотека алгоритмических и программных модулой, разработанных на основе результатов диссертации, использовалась при ряс работке технических и рабочих проектов АСУОТ Сургутского ЗСК и АСУТП переработки сероводородсодержащих газа и конденсата.
Аггробатш работа. Материалы диссертации обсуждались на Республиканском научно-техническом семинаре "Проблемы автоматизации процессов разработки нефтяных месторождений" (Казань, 1983); нп Ш конференции молодых ученых к специалистов приборостроительной промышленности (Москва, 1986); на Республиканской научно-практической конференции "Проблемы автоматизации нефтедобычи, неЛте- і газопереработки" (Казань, 1987); на У Всесоюзной научной кон-
«рендаи "Матемптичеепоо гаделг.рсваше слог.мх х'.чг.ко-Ч'Юсшлоги-зских системи" (Капань, 1930); нп II Всесоюзно!! нпучгон наврараи-іи "Автоматизация н робатияацня а химилескоЯ ііроі.їс.їДйнности* Гямбоп, 1983); ні Всесоюзной стгалс-сопещлшіи "Проблемі проекти-іішмия якспертных систем" (f:bcxua, J983)j )1 совсгага-боягар-ом семінаре "Прямонэнно лерсоналышх 0SM о іюродіом хозяйство" 'ольятти, 1908); на И Всесовзноп нзучю-техшпгйскоП конференции роблеш разработки и эксплуатации систем и средсто контроля грязіїегая о кружа идей среды" (Казань, 1039); на Всесоюзном науч--техническом совещании ''Программное обеспечение твой иі«$орма-энной технологии" (Калинин, 1989).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в печатных работах.
Объем и структура работа. Диссертация состоят из'введения, и глав к заключения, издожеіпппе на ИІ странице, включая 10 унков, Г9 таблиц и 104 наименования библиографии.
Во введении обоснована актуальность теш, укаээнэ цель рэ-}, отмечена научная новизна и практическая ценность днееерта-, кратко изложено основное содержание работа.
В первой главе дается обзор алгоритмов идентификации сложите :сидостей. Наряду с оггасядаем классических алгорипя» идентифи-и осдазкое внимание уделяется методом КА н их практическому ененив.
Здесь яе приводится содержательная постановка задач, ро-лае-э диссертации.
Вторая глара диссертации посвящена иеследог.аняп алгоритмов iTott кусочной аппроксимации.
- б -
В первом параграфе обосновывается выбор вида предлагаемых моделей.
При использовании методов КА построение в каждом из классе В;, ї=4,і пространства К локальных аппроксимирующих функции объясняется принятой гипотезой о своеобразии поведения исследуе мого объекта о каїкдом из классов. Однако переход из одной облас ти в другую лишь в отдельных случаях ведет к скачкообразному ип менению свойств системы. Для большинства же реальных непрерывны технологических процессов характерно наличие некоторой промежуточной зоны на границе каждой пары классов. Поэтому для построе ния моделей КЛ представляется целесообразным использонлть разби екие пространства X на размытые классы В: , а аппроксимацию
F(X) функции у- f(Jc) искать в виде
~ t
= F(x> - XyUj(XIFj (Я, < J# (І)
где Й{%,8}) - локальные аппроксимирующие функции; а - векто{
параметров, а~J*i(x.)As^/t - степени принадлежности J? классам
8: , такие, что
Модель вида (I) будем называть кусочной моделью со взвешиванием функций (КШ$).
Другой возможной причиной появления размытости границ при разбиении на классы пространства X является наличие неизмерж шх параметров среди множества входных переменных. В результаті при переходе в пространство меньшей размерности происходит размывание границ классов, и математическая модель в отом случае может быть записана в виде:
есть вместе со значением у здесь должно быть получено и чание степени принадлежности иектора изшржяих входных пе-енннх соответствующее классу входного пространства,, котороа но интерпретировать как степень уверенности D получешюн змии у .
Модель вида (3) наоовем кусочной моделью при рззг.ытоЯ пяас-жаини (KMFK).
Во втором параграф рассматривается алгоритм построения І, состоящий из двух последовательных шагов.
Пусть «звэстнн янлчонкя координат входных векторов Z;,i~JJt ютпетствугоцие значения выходной переменноn і=ьїі Тогда гервом шаге проводится размытая классификация точек .. , то і определяются значения степенен принадлежностей /У(х.) %і*{$і і , а на втором иаге с помочью метода гаимзнъпих квадратов сляются .:ойффишенты & локальных функций П(х,с1). Для о решается задача:
рая в обычном случае линейных локальных функций сводится к Яной системе t(Kff) уравнений с таким ке количеством неиз--njx, где к - размерность входного пространства. Для классификации точек Je,- южйт быть использован извест-шгоритм FOZft /SfflATA , Однако он дает единичное значение jmi принадлежности только для векторов X .совпадакщих с од-13 шнтров классов. Более оправданный представляется выделять істранстве X области четкой классификации, а нечеткими (раз-іи) оставлять лишь граниш классов.
В ка^сТЕе областей четкой классификации для пары классов вм фигуру, ограниченнуп множеством точек, отношение кзадра-
гов расстоягаїЯ от которых до центров классов есть величина постоянная. А ширину разлитой границы будем определять парамэтрои A(P
Шг I. Выбирается некоторое начальное разбиение ынокества [.f{ t'=S,V! на t кластеров, то есть задается значения степеней принадлежности M:(%,).i~L.j-/% > удовлетворяющие условиям (2j
Езг 2. Вычисляются центри классов 2; :
Шаг 3. Строится новое разбиение множества i^ ,1=/,/// в соответствии со следующим правилом.
Пусть ui{- ~ область четкой классификации *-го класса, соответствующая паре классов BitSi . Тогда если д^е./ш,- , то
В противном случае
^^=Vi' - (б)
где _ .»3. л — —
А^^=ДАуС^ / <*y,t (Atffyrff,если ,*&»).
>*«'
Aj.f-Xf) - расстояние от jo4 до 6І,-;
f. - расстояние от х( до центра 2{ ; Sy, - расстояние между центрами Z;t2-Условие JceCJ(j эквивалентно выполнению неравенства cfy.^f^
Шаг 4. Проверяется критерий останова итерационной процедури. Если он но выполняется, то возврат к иагу 2, ішаче - завершение процедури.
В качестве критерия останова тяег выступать, нзпри?»ер, сравнение с порогом какой-либо меры отклонения значений и-(Х-),по-пучэнных на последнем цикле итерации, от соответствующих значения на предыдущем цикле.
В третьем параграфе для построения KMFK предлагается использовать некоторый аналог критерия метода наименьших квадратов ви-W
'де Р(х) - закон распределения JSsX (вообще говоря, неизвест-шй).
KMFK может быть получена как с помощью двухсгупе.ччатого ал-'оритма, аналогичного изложенное во втором параграфе, так и од~ юступенчаичл вариационным методом, при использовании которого араллельно проводится разбиение Л на классы и. вычисление коэффициентов локальных аппроксимирующих функций.
Однако при минимизации функционала % никак не учитьшается еометрическая близость точек S- , п результате чего получающее-я разбиение X на классы- может иметь самай "причудливый" харак-эр. Для того, чтобы решение задачи обеспечивало получение как ка-зственной аппроксимации, так и хорошо интерпретируемой классификации, введем функционал
7* *^Л t '* ' [/<}<*!<Р(Х> і- %, {8)
is первое слагаемое твляетс* фуикииоиалом размытой классификации, 3 - вещественней параметр, a % - центрі классов. Минимизация 72
- 10 -доккка производиться при ограничениях (2).
Дяя рзшеция задачи (8), (2) используем известный рекуррентный алгоритм разиггой классификации, решающий задачу максимизации произвольной выпуклого функционала ^P(yCi4()t...,yU4(x И при заданной в оо"цеи виде типе размытой классификации:
" У (9)
Ёучгкциоиол 7г не является випуклим. Поотоцу вяедпм в рос-сглотрешїс 0ектор-функііИ!о H(X)xff).(^, /~/г/ , связанную с функ щтал /f-tX), удовлетворяющими (2), соотношением ті.іх)-М(Х), Тогда (0) и (2) перелипутсп, соответственно, в виде
7*"$}'* -Ъfy*xrf№-j5f
Знак минус" в функционале 7j появляется в связи с тем, что используешй алгоритм размытой классификации рещает задачу макси кизацки фуїсщиоюяа Ф(Щ , где И - вектор (М^х)^.^ М%(Х»,
Бшвь будем считать, что задаш значения входного вектора и выходной яорекггаюй (xit%J,i*/fl и $ymiim'fj(xta-i линейны. Тог дя приходим к следующему рекуррентному алгоритму построения KMFr!
Шаг I. Задается некоторая допустимая начальная классифика
ция #W>C*C 4г.С-.,"*/ * Где "4>- - степень'принад
лекности зё. классу # , полученная на ^-й итерации, и определяя ся соответствующие центры классов 2*[02,/*-//(,
Шаг 2. Пусть получена разштая классификация Н„ . Тогда вычисляются коэффициенты у„ градиента функционала 7t
rr -
'де Z:W,j = 4,-2 - шнтри классов в; , а О і/і/ - коэффициенты ш-,ели, полученные на г. -й итерации.
їй г 3. Вычисляются новые значения степеней принадлежности
/,*%.; = <- . (ІЗ)
новые центры классов
«,<
Zfl»< (И)
Шаг 'І. Методом наименьших квадратов вычисляются коэф$ициен-
Шаг 5. Проверяется условие останова итерационной процедуры, тример
Zfr'ffi->-#*cH<. (15)
"ісли условие останова не выполняется, то идти на шаг 2. В четвертом параграфе второй главы описываются результаты ок-ориментальных исследований предложеншх алгоритмов на мэдолыпга «мерах. Отмечается, что при построении КМВ5 двухступенчатый ал-ритм при классификации с размытыми границами позволил достичь в осматривавшемся примере на 13-25 % меньшей погрешюсти аппрокся-Ш1И, чем двухступенчатый алгоритм при обнчной классификации.При :гроении же KMFK, как и можно било ожидать, наименьшая погрез-:ть достигалась при использовании одноступенчатого алгоритма. тем, если при малых значениях дисперсии аддитивного шую,сво~ гашхея в значения аппроксимируемой функции, зависимость пегрсы-ти annt жеинчнии от в имеет-явный унимодальный вид, то при те дисперсии шума итог минимум "расплывается", и при наибольших исследовавшихся значениях поличинл погрешности практически не
меняется при росте fi от 1,0 до 100,0.
В трогьеи главе диссертации изучается проблема построения математических моделей стратегий управления сложными ТП.
В Первом параграфа рассматривается общая концепция моделирования. Пусть ТП описывается набором векторов контролируемых входімх перемешых 'Я ,управляющих переменных й и выходных пе-ремэншху и пусть для 8ЇЄГ0 заданы критерии управления
Предположим, что известна математическая модель ТП вида
д - &(,а> (1б]
и его оптимальному состоянию соответствует максимум каадого из критериев / ,
Дйл такого ТП ыотсэт быть поставлено / однокритериальних з;
дач оптимального управления вида
так 7M(S, &,/), (17
у^СОс.йі, (І8
JsusS , ft?*?, ш
где (19) - технодогическиз ограничения, или многокритериальная задача
ашм ?'"<,*,?>, ujjt (20
при rex хе ограничениях. .---
Если известны какие-либо алгоритмы, позволяющие получать о позначное решение задач (17)-(19) и (20), (18), (19), то для статических режтюв ТО оптимальное решение Ц^,. в обоих случа ях бу, зт зависеть только от вектора входных переменных з , и, следовательно, принципиально может бить построена вектор-фуккци ^^. я F(X) і позволяющая получать оптимальное управление прямым вычислением ее значения, не решая задачи математического програ
- ІЗ
ірования.
Однако, учитывая сложность моделей реальных ТП, аналити-:ское построение такой функігаи на практико врядли поэьюжно. По-'ому предполагается строить некоторое ее приближение путем пэр-тачального накопления пар значеній входных и управляющих пзро-!шшх (Jc ,a.) i=/tf, соответствующих "хорошим", в каком-либо меле, ил реализованных стратегий управления, с последующим ее илитическим построением негодами кусочной аппроксимации. Поетапную таким образом функпит F(Jc}ii будем называть модель» страши управления.
В параграфах 2-4 как раз и рассматриваются различные способы бора вариантов, соответствующих отим "хорошим стратегиям".
В качестпо одного из возможных способов получения ынокества ороших" вариантов управления мокет бить использована процедура отбора оператором-технологом, ведущим ТП. Полученную таким разом стратегии назовем стратегией1 ЛПР.
Другую процедуру отбора вариантов управления получим при их звнении друг с другом по какому-либо критерию У=3(х,й,у) Заилим первоначальное произвольных различим* состояний(х;,fy,%). іусть некоторое новое состояние описывается набором (х.и,//} и 7lS.,fftC)' Ясно, что два варианта управления ТП имеет смысл ївнивать между собой по критерию 7 только тогда, когда они ют одинаковые или, по крайней мере, близкие значеній входных >еменних. Поэтому дальнейшее обновление набора данных будем :ти следущим образом. Среди Xi %i=*{tfl найдем точку х , ікаГ'гвул к X .например, в смысле епоидоного расстояния. Тогда їй У > J (при необходимости максимизировать J ), то состоя-! ОУ (*, w,у; исключается из дальнейшего рассмотрения.
В противном случае набор (S,u,7 ) заменяет набор Щ.ії.З^ ) и получаст его номер. В результате такая процедура обеспечивает постоянное хранение N наилучших, в смысле критерия J , из ранее достигнутых вариантов управления.
Наконец, отбор лучаих вариантов управления мажет быть реализован путем их сравнения сразу по нескольким критериям. Первоначально, как и вше, заполним произвольные Ц состояний ТП (Л ,/, *< }ti=JJ{ \ где 7-(7^.,.,7- )- вектор критериальных оценок. С подацью какого-либо алгоритма автоматической классификации разобьем Х=1х., i--fK] на 1 кластеров и построим разделяющие поверхности, деляюдие пространство X входных переменных на і соответствующих классов. Б дальнейшем будем сравнивать между собой" варианты управления, соответствующе значениям входных переменных из одного класса. Ограничим число точек в каждом классе ^:=/ lt i--"1, Si ] величиной 5 (s- fe- 5J > a ип вариантов управления в каждой классе оставим лишь те, которые для данного класса входного пространства обрастая множество Парето-оптншльшх вариантов в смысле векторного критерия У ,
Рассмотрим новое состояние ТП (х^и,^"). Вычислим значения J~(7 J $,...,$*}* классифицируем х в пространстве Л .например, как точку if-го класса. Вектор У будем далее сравнивать с 7ti. Если среди 7((- есть вектор, для которого
1«ъТ\ Yf=ft, (2D
и хотя би для одного -/ выполняется строгое неравенство, то вариант управления {х.,а,7 ) исключается из дальнейшего рассмотрения. Наборот, если 7 мажорирует один или несколько векторов ^,-, то есть
ro все мажорируемые ппризнти исключается кз накопленного шожест-за, а вариант (Jc,«7, У } включается п него.
Наконец, ест не выполняется ии (21), ни (22), то при $t
Способ отбора луязчх вариантоз управления so всех трех слу-аях сохраняется и после вычисления ксоф$ицнентов моделей стра-егиП управления, о использование рассматриваемой в следуюдеіі ляве рекуррентной проиедуры позволяет в темпе с процессом прово-ить адаптацию отих коэффициентов.
В четвертой mane днесертеции описывается организация ком-лекся задач аппроксимации стратегий управления э АСУ непреривны-и технологическими процессам.
Функционирование технологических аппаратов непрерывного и епрерыпно-дискретного типа изжег быть списано как совокупность с-тоЯчивых и длительных по времени статических рсїхимоз работы, вязанных между собой относительно кратковременные переходными эриодами. Цельп управления такими аппаратам! является стабнлиза-ія ТП на оптимальном в определенном скисле, статическом реянью переход в новый оптимальный статический реши в случае появле-ія внешних возмущений. Рассглтрітаасмий комплекс задач аппрокси-ііми стратегий управления ориентирован на выработку рекомендаций і вибору равиональнкх режимов гедения ТП, и использует разрабо-іннне во второй и третьей главе алгоритмы.
В состав комплекса входит также ряд задач предварительной об-іботки дзнних, обеспечивающих проверку достоверности информации,
используемой для моделирования, и снижение размерности входного пространства моделей. Последнее достигается за счет разбиения множества входшга переменных на группы сильно коррелирующих переменных и вычисления для каждой группы величины так называемого группового фактора, характеризующего в определенном смысле изменение всех переменных группы.
Во втором параграфе четвертой главы предлагается основанная на методе функций слокности процедура выделения статических режимов ТП. Их наиболее характерным проявлением является специфический вид кривых, описнваидих изменение технологических параметров процесса нз временных интервалах, іоответствуюцих этим режимам. В пределах таких интервалов кривые технологических параметров имеют достаточно однородной характер. Наоборот, переходные участки ТП характеризуются быстрым изменением форм кривых.
Рассмотрим кривую -fit) изменения некоторой технологической переманной на отрезке времени 10, Т] , разбитом на сегменты О-. Определим на эгоп кривой действительную функцию сложности f(/,u), зависящую от формы кривой на интервале СО и выражающую интуитивное представление о степени изменчивости ее поведения на этом интервале: значение *P(J,(J) мало, если кривая -f(t) имеет в пределах OJ однородный характер и возрастает в противном случае. Тогда в качестве сложных могут быть названы участки кривой Л Л,соответствующие локальным экстремумам Ф(о).
Выберем несколько переменных, характеризующих ТП. Пересечение временных интерзалов, соответствующих "простым" участкам кривых изменения каждой из них, и даст временные интервалы і соответствующие статическим режимам ТП.
Пусть экспериментальная кривая задана последовательностью
значений своих ординат -ftl.{ ,.,,.,,„ » а каждый элементарный участок сіЛ- содержит / точек: /*~({^,//,...,//1- Тогда в качестве ^Ц,Ш) могут быть вкбрзіш, например, функции:
' С i»/Tf/ " $-^ * f^-S >
где ig*,^'') - скалярное произведение двух векторов; а - центрированное и нормированное значение /. , a минимум в ^(/,0)/) берется по всем (rir/l - мерным векторам -з (citc'..., С„)_
Отметим, что для функции ^({,0 Существенно взаимное расположение сегментов їм-. Если ui: и сі-і не пересекаются, то сложным участкам соответствуют локальные минимумы ^(/,0)-). Если же W, и u}-tt перскриваютсп более чем наполовину, то сложным участкам -f(ij соответствует уже локальные максимуш $a(4,U);} . Локальные максицумн %{4,<А) соответствуют слоккым участкам ^(1) в обоях случаях.
В третьем параграфе для выявления аномальных измерений предлагается использовать статистический критерий Фишера.
Задача группировки входішх переменных ОУ исследуется в четвертом параграфе.
Пусть задано исходное множество переменных Х={-х<*',Х,г',...,х'"}1 которое требуется разбить на, вообще говоря, незаданноо количество непересекающихся групп С , и выбраны критерии
подмножество А[,(,р сужается до одного или нескольких лучших вариантов с помощью одного из турнирных правил многокритериального выбора. Если в результате выбора будет получено несколько вариантов группировки, то право окончательного решения предоставляется человеку (ЛПР), который моает учесть технологические особенности исследуемого процесса, а также некоторые неформализованные критерии качества группировки параметров.
Этап генерации мнокества вариантов группировки параметров состоит из последовательной реализации двух процедур: упорядочения переменных х'"е X и собственно ге-.орацш вариантов группировки. Под упорядочением х'е X будем понимать их такую перенумерацию, при которой в упорядоченной последовательности \хкі'\ Д" "*'„. хи"'} наиболее сильно свяэашше переменные будут расположены на близких позициях. При такой перенумерации матрица связей R будет преобразована к виду /? г /"?..у ^ , когда наибольшие ее элементы расположатся вдоль главной диагонали.
Качество упорядочения будем оценивать величиной
причем лучшему упорядочении соответствует меньшее значение /.
На первом ваге зафиксируем произвольное х"'1. Пусть к /-му шагу построена последовательность Х{xfx"^..,,х'{*'}> Для каждого х Xg вычислим величины приращений значения критерия A^fx^'j и 6.(ii(X^'} при добавлении Х^'ъ начале и в конце последовательности Х^:
Тогда в качестве jerk/> выбирается та из переменных х'*%Xj, которая обеспечит
причем У(н = (х<і'ігх'''>...,Х,^>і, ес Л^(х'^і-йІ,(х"^') » X *[х'*ы'x,l'*lх(0 Xft/,J п противном случае.
3 результате выполнения И йогов процедуры летучим упорядоченную последовательность Хк. Перенумеруем із X, перемокше п их естественном порядке. Множество различных вариантов группировки будем получать путей разбиения лк на отрезки, каждый из которпх. и состаоиг отдельную группу Oh .
Зададим максимальное М и миши&лыюе N допустимое количество переменішх п группах. И построим ряд разбиении Lt,L,r..tL'n , такой, что L, объединяет псе переменные в одну группу, а каядое разбиение i,:t1 получается путем разделения на дпе группы одной и только одной группи из Lj В результате Ln будет содержать п групп, причем №к"$М, i*j,n> где к* - количество переменных в /-Л группе разбиения Ln.
Потребуем дополнительно, чтобы Н и /I удовлетворяли условию Mz2fl Разбиение L: содержит / групп ;,**/,/ по ж' переменных б группе. Рассматривая их последовательно, начиная с G, .находим группу (пусть 0,- ), для которой (// . Делением отой группи па две получаем разбиение L;Ti . Это депеше производится разбиением отрезка последовательности переменных (х' [х 'х'*'2' je'),которые и образует C-t . Точка разбиения определяется так, чтобы ш-
между 6у к Сгуг/, и число пере-меншх в С>(- и *(<<.< было не меньпе /' , где
Описанная процедура позволяет строить различные варианта группировки параметроп в зависимости от выбранных значений Н и М . Задавая из каких-либо содержательных сообрчяений ограничения N±N0 у. л *А(<, получим множество А пяриянгов группировки для всех N от Л; до lj1-] -л И от2Удо«„.
гчдоіяв яз А паретовское подмножеств- An*f, » построим тур-нирнуо штрицу #=ftfb/, » где - число вариантов в множестве Гіарето, a /)?., ровно числу критериев ft (aj , по которым вариант а. уступает варианту Of- Для сужения Anif используем известное семейство правил выбора
/5 ~> У* = lot; є A„af; М*ш4) =my> M$(ty}t (28)
В пятоы параграфе приводится алгоритм определения факторных нагрузок и значений общего фактора для сдноЛ группы параметров, причем учитывается, что в матрице данных могут быть случайно расположенные пропуски. Следуя методу главных кошонент факторного анализа будем считать, что связь мажду фактором и параметрами X^',J*{tt< линейна к имеет вид
[і'^'а'У *"ї"и (29)
где Of'/1- факторные нагрузки, / - общий фактор, а |'^;- характерные фчкторн, причем Mf=0 » a jZy*-/ . Тогда если Л - максимальное собстрендае число матрицы корреляции переменных х'{>, а & - соответствующий е-цу собственный вектор, то
а'"* wUTz(а*')*) -йф (зо)
/*/
где f/ - число строк в матрице данных Х= (x^'I, Значения же фактора вычисляются кьк
У - Л *«***;/< _ щ (аФ?к (31)
.здесь »/ - шоксстао номеров координат вектора дг , значения которых известны, а / - множество номеров неизвестных координат.
Метод адаптивной подстройки кусочно-линейной модели при взвешивании фуншгай приводится в постом параграфе. Задала построения
С3<5 сводится в конечном итога к редени» системи iftbl ЛІ'ЛІСНШХ злгебрапчесігах уравнений Рн&н~К » откуда А„ - Р# Вя , где индекс /V указывает, что вычисление коэффициентов юдоли осущестзллет-;л по // точкам (^-,^),1=/^. Алгоритм адаптации будем строить та-снм образом, чтобы для вичксления коэффициентов і.вделн всегда мс-юльзопалссь ровно // последних пар ^-, j/J» їо есть с появлением новой noptj (Хрг/, і/л,гі) иакболеэ "старая" fjt,, ллJ исключалась из исчислений. Тогда
де г^^і.г^^^4І.-^/4Ч';>/4^^^Л .y"*t*JK
і длл определения.ношх значении коэффициентов необходимо обращать гатр'.щу Рм . Прямое обращение P/Yf.i требует больинх вычислительных затрат. Поэтому, воспользовавшись известной рзкуорентной формой вычисления обратной магриш и обозначая fyt1~ Н/*%,tt-2#н юлучим
: далее
р'1 *(р _чт9Ґ- В'* %*t&,%*. ,
В пятой главо, рассмотренные в диссертации методы математичес-ого »юделирования били использованы для построения кусочно-линзй-ой модели ТП предварительного обогащения природного газа гелием, влящегося составное частью производства по воделєдаю гелия из рнродного газа.
Для моделирования ТП использовалась КМШ к строились заькси-ости трех основних выходных переменных от 12 экзогенных переменах. Изучалась реализация ТП из 480 значений, изморенных с яерно-эн 3 пин. Для выделения статических режимов использовалась фуш-
шіл сложности Ф.(-(ги)о пересекающимися сегментаіяі b)j .Зсего было выделено ІЗ сегментов, соответствующих статическим реъпшм и содержащих 225 точек.
На основе матрицы корреляций якзогенных переменных с использованием многокритериоаького подхода производилось их разбиение на группы, для какдой ио которых вычислялись факторные нагрузки и значения общих факторов. Наконец, факторное пространство делилось на 4 класса, в кавдом кэ которых строились линейные уравнения регрессии для катдой из выходных леременшх. Для построения KiJPK использовались двухступенчатый алгоритм при классификации с раз ж томи Гранина)», а такяе одношаговая процедура. Качество аппроксимации опеннвалось по критерию (7). Дзд сравнения строились кусочно-линейные модели при обычной классификации, а такяе полиномиальная аппроксимация.
В результате точность КМРН оказалась в 1,4-1,7 раз выыз, чем у модели при обычной классификации и г 1,5-1,7 раз выше точности полиномиальной" модели второго порядка, имеющей сравнимое число идентифицируемых коэффициентов.
Похожие диссертации на Разработка и исследование алгоритмов размытой кусочной аппроксимации для идентификации и управления сложными технологическими объектами
