Содержание к диссертации
стр.
ВВЕДЕНИЕ 4
1. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ
СИСТЕМ КВАЗИКАНОНИЧЕСКОГО ВИДА С ОДНОМЕР
НОЙ НУЛЕВОЙ ДИНАМИКОЙ И СКАЛЯРНЫМ УПРА
ВЛЕНИЕМ 9
-
Свойства управляемости и достижимости для систем управления . 9
-
Преобразование аффинных систем со скалярным управлением к квазиканоническому виду 10
-
Терминальная задача для регулярных систем квазиканонического вида со скалярным управлением 11
-
Поиск функции B(t) 15
-
Первое условие управляемости 16
-
Второе условие управляемости 33
-
Третье условие управляемости 37
-
Теорема сравнения 40
-
Выводы 44
2. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ
СИСТЕМ КВАЗИКАНОНИЧЕСКОГО ВИДА С ДВУМЕР
НОЙ НУЛЕВОЙ ДИНАМИКОЙ И СКАЛЯРНЫМ УПРА
ВЛЕНИЕМ 45
-
Поиск функции B(t) 45
-
Условие управляемости 46
-
Теорема сравнения 58
-
Выводы 64
3. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ
СИСТЕМ КВАЗИКАНОНИЧЕСКОГО ВИДА С ВЕКТОР
НЫМ УПРАВЛЕНИЕМ 65
3.1. Преобразование аффинных систем с векторным управле
нием к квазиканоническому виду 65
стр.
-
Терминальная задача для регулярных систем квазиканонического вида с векторным управлением 67
-
Случай р = 1 70
-
Поиск функций В] (t), ..., Bm(t) 70
-
Условия управляемости 71
3.4. Случай р~т = 2 76
-
Поиск функций Bi(), В2 () 76
-
Первая теорема сравнения 77
-
Условие управляемости 82
-
Вторая теорема сравнения 90
3.5. Случай р ~ 2, т > 2 92
3.5.1, Поиск функций B[(t), ..., Bm(t) 93
3.5.2. Условия управляемости 93
3.6. Выводы 100
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 101
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 101
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИ
ЖЕНИЯ ПО ЛЕСТНИЦЕ ПЯТИЗВЕННОГО ДВУНОГОГО
РОБОТА НА ОСНОВЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМЫ НУ
ЛЕВОЙ ДИНАМИКИ 111
П.1. Нормальная форма аффинной системы с векторным
управлением 111
П.2. Модель движения по лестнице пятизвенного двуногого
робота 113
П.З. Исследование системы нулевой динамики 122
П.4. Результаты вычислительного эксперимента 136
Введение к работе
Актуальность темы. Значительный раздел современной теории управления составляет проблема управляемости динамических систем. Наиболее полно разработана теория управляемости линейных систем, для которых получены необходимые и достаточные условия управляемости [56, 57]. Известен следующий результат: линейная система управляема тогда и только тогда, когда она эквивалентна системе канонического вида. За последние десятилетия получено много результатов и по исследованию нелинейных систем [1, 3 - 9, 59 - 77].
Значительная часть работ посвящена исследованию локальной управляемости нелинейных систем. Задача локальной управляемости заключается в установлении условий, при которых все траектории системы, выходящие из фиксированной точки, заполняют полную окрестность данной точки, не покидая этой окрестности. Известен принцип линеаризации [4]: аффинная система локально управляема в окрестности точки, в которой управляемо линейное приближение этой системы. Для случаев, когда по линейному приближению системы о локальной управляемости судить нельзя, получены соответствующие условия высших порядков (см., напр., [68]).
В связи с этим представляется актуальным получить для нелинейной системы условия управляемости на всей области ее определения за любой конечный интервал времени.
Одним из направлений анализа управляемости нелинейных систем является подход, заключающийся в преобразовании исходной системы в некоторую эквивалентную систему того или иного специального вида, для которого рассматриваемая задача может быть решена с помощью известных методов. Эта идея использована для исследования управляемости нелинейных систем в работах [5 - 9, 59]. Так, в монографии [9] для неавтономных систем предложен способ приведения системы к треугольной форме, дающий возможность для определенного класса систем получить достаточные условия управляемости.
С исследованием управляемости динамических систем тесно связаны вопросы существования решений терминальных задач. В работах [5 - 8] изложен метод построения алгоритмов терминального управления, основанный на дифференциально-геометрическом подходе к нелинейным системам и концепции обратных задач динамики. В рамках метода рассматриваемая аффинная система преобразуется к эквивалентному регулярному каноническому виду, после чего на основе концепции обратных задач динамики строится программное движение, состоящее из программных управлений и соответствующих им программных траекторий, которые удовлетворяют граничным условиям и уравнениям движения. С использованием этого метода показано, что если аффинная система эквивалентна регулярной системе канонического вида, определенной на всем пространстве состояний, то эта система управляема.
Основное предположение изложенного метода - эквивалентность аффинной системы регулярной системе канонического вида - выполнено далеко не для всех аффинных систем. В связи с этим представляется актуальным расширить класс управляемых систем за счет введения в рассмотрение систем квазиканонического вида [10].
В данной работе рассматриваются аффинные системы, которые в области определения эквивалентны регулярной системе квазиканонического вида, определенной на всем пространстве состояний. Исследование управляемости для преобразованной системы проводится на основе анализа существования решений терминальных задач.
К исследованию аффинных систем с нулевой динамикой приводит решение целого ряда практических задач. Среди них можно выделить задачу моделирования движений различных шагающих механизмов. Значительное место в этих исследованиях занимает разработка алгоритмов управления плоским перемещением двз^ногих шагающих роботов [12-15,29-52,78].
Одной из задач, рассматриваемых в этих работах, является задача построения периодического движения робота по некоторой поверхности. Главная сложность, возникающая при решении этой задачи, состоит в необходимости анализировать динамические системы большой размерности. Так, для пятизвенного шагающего механизма система уравнений, описывающая движение механизма на каждом шаге, имеет десятый порядок. Представляется актуальным предложить метод решения, дающий приемлемые результаты на основе анализа системы уравнений меньшей размерности.
Один из возможных вариантов такого метода состоит в преобразовании исходной аффинной системы к нормальной форме и сведение исследования преобразованной системы к исследованию системы уравнений нулевой динамики, имеющей второй порядок.
Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование существования решений терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида, разработка методов решения терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой и получение условий управляемости таких систем.
Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и различные численные методы.
Научная новизна. Получены необходимые и достаточные условия существования решений терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида со скалярным и векторным управлением.
Разработан метод решения терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.
С помощью разработанного метода доказаны достаточные условия управляемости регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.
Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами математического моделирования.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления, позволяют решать терминальные задачи для аффинных систем, исследовать управляемость регулярных систем квазиканонического вида и разрабатывать алгоритмы управления различными шагающими механизмами.
На защиту выносятся следующие положения.
Необходимые и достаточные условия существования решений терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида со скалярным и векторным управлением.
Метод решения терминальных задач для регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.
Достаточные условия управляемости регулярных систем квазиканонического вида с одномерной и двумерной нулевой динамикой.
Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VIII международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" имени Е.С. Пятницкого, проходившем в 2004 г. в Москве, на 2-й Московской конференции "Декомпозиционные методы в математическом моделировании и информатике", проходившей в 2004 г. в Москве, а, также на IX Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" имени Е. С. Пятницкого, проходившем в 2006 г. в Москве.
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в трех научных статьях [53 - 55] и трех тезисах докладов на конференциях [23-25].
Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения, выводов и списка литературы. Работа изложена на 146 страницах, содержит 31 иллюстрацию. Библиография включает 79 наименований.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №02-01-00704, №05-01-00840, гранта государственной поддержки ведущих научных школ НШ-2094.2003.1, проекта УР.03.01.018 по программе «Университеты России - фундаментальные исследования» Министерства образования РФ и проекта УР.03.01.141 раздела 1.2. «Университеты России» подпрограммы «Фундаментальные исследования» ведомственной научной программы «Развитие научного потенциала высшей школы» Федерального агентства по образованию РФ и программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006 - 2007)», проект РНП 2.1.1.2381.
