Содержание к диссертации
Введение
1. Точностная рвдукция математических моделей в натурных имитаторах 16
1.1. Обзор методов упрощения математических моделей динамики систем 16
1.2. Подход к решению задачи упрощения математических моделей в натурных имитаторах 25
1.3. Пути реализации точностной редукции математических моделей динамики 36
Выводы .43
2. Аппроксимационные методы оценки точности и параметрической чувствительности моделей динамических систем 45
2.1. Аппроксимация дополнительного движения нелинейных систем 45
2.2. Оценка показателей качества системы при аппроксимации функций координат полиномами Ньютона 53
2.3. Использование параметрической чувствительности координат при оценке точностных требований к элементам системы .65
Выводы 69
3. Интерполяционные методы оценки показателей точности нелинейных систем со случайными параметрами .72
3.1. Определение вероятностных характеристик выходных координат методами интерполяции координат и функций координат 72
3.2. Нахождение оптимальных узлов интерполяции и весовых коэффициентов квадратурных формул по заданным числовым характеристикам параметров системы 77
3.3. Сравнение методов интерполяции координат и функций координат с другими методами 97
Выводы . 109
4. Программная реализация т0чн0сш0й редукции моделей динамики самолета III
4.1. Методика параметрического упрощения моделей динамики по точностному критерию III
4.2. Комплект программ параметрической редукции математических моделей 125
4.3. Результаты точностной редукции модели динамики самолета 131
Выводы 150
Заключение 152
Литература 156
Приложения 169
- Подход к решению задачи упрощения математических моделей в натурных имитаторах
- Оценка показателей качества системы при аппроксимации функций координат полиномами Ньютона
- Нахождение оптимальных узлов интерполяции и весовых коэффициентов квадратурных формул по заданным числовым характеристикам параметров системы
- Комплект программ параметрической редукции математических моделей
Введение к работе
Развитие науки и техники приводит к необходимости управления все более усложняющимися системами, в связи с чем возрастает роль надежного прогноза их движения. Необходимым условием такого прогноза является получение математической модели, параметры которой отображают реальные физические, конструктивные, технологические и другие факторы, влияющие на динамику системы. Однако построение ее достаточно точной модели часто невозможно из-за отсутствия адекватных моделей элементов и взаимосвязей системы с внешней средой» Для преодоления этой трудности создаются моделирующие комплексы, содержащие в своем составе реальные элементы системы, модели которых сложны или неизвестны. Комплексами такого рода являются испытательные стенды для доводки и испытаний технических систем и различные тренажеры для обучения персонала, управляющего сложными объектами 0«П тренажеры для подготовки операторов электростанций, водителей наземного транспорта, экипажей судов, пилотов летательных аппаратов и т.п.
Следующим шагом в направлении приближения модели к оригиналу является использование натурных имитаторов t3l,t1D3,D23-Lm] натурных моделирующих комплексов, позволяющих моделировать движение исследуемых объектов в натурных условиях их эксплуатации. Применение натурных имитаторов с оператором в контуре управления дает возможность производить отработку элементов и технических систем, с которыми взаимодействует оператор, эффективно организовать профессиональный отбор, обучение и тренировку обслуживающего персонала в реальных условиях функционирования исследуемой зргатической системы.
В последние годы как за рубежом, так и в нашей стране значительное внимание уделяется созданию натурных имитаторов летательных аппаратов СШ,ШП.111271,11331,СЗ ПЗД.ПУ.
С использованием подвижных имитаторов летательных аппаратов решаются такие исследовательские задачи L31,t141.
I Выбор параметров, определяющий характеристики продольной и боковой устойчивости и управляемости, в том числе при двигателей, при возбуждении неблагоприятных боковых и продольных колебаний, при полете на критических режимах,
2. Выбор параметров системы управления (мощность рулевых приводов, инерционность и характеристики механизмов загрузки органов управления и др.).
3. Оценка поведения самолета при изменении массы.
4. Сопоставление результатов стендового и летного управления самолетом, и другие задачи.
Кроме исследовательских задач, подвижные имитаторы летательных аппаратов позволяют решать следующие задачи обучения и тренировки летных экипажей:
1. Подготовка летчиков для испытания новых или разрабатываемых летательных аппаратов (ЛА).
2. Подготовка и тренировка экипажей дорогих или сложных в эксплуатации ЛА.
3. Обучение пилотированию на опасных, критических режимах, и другие задачи.
Преимущества обучения и тренировки летных экипажей на подвижных имитаторах по сравнению с обучением на натурных летательных аппаратах:
экономичность - за счет использования простых в эксплуатации, достаточно легких и дешевых ЛА, а также за счет использования ЛА по прямому назначению;
повышение безопасности полетов - за счет постройки имитаторов на базе ЛА с хорошей собственной устойчивостью, надежностью систем, силовых установок и навигационно-пилотажного оборудования.
Решение задач, аналогичных перечисленным, достигается применением натурных имитаторов подвижных объектов и других классов (например, наземного и водного транспорта и т.п.).
Сказанное иллюстрирует актуальность работ по созданию имитаторов управляемых подвижных объектов.
Подход к решению задачи упрощения математических моделей в натурных имитаторах
Структуру натурного имитатора, предназначенного для воспроизведения динамики исследуемого объекта, можно представить схемой, приведенной на рис.1Л, Кроме описанных во введении элементов этой структуры, на схеме указан блок контроля и коррекции решения уравнений состояния моделируемого и базового объектов. Вопросы разработки, исследования и реализации систем контроля и выраоотки управления базовым объектом составляют предмет отдельного исследования и здесь не рассматриваются.
Исследуемые в данной раооте элементы вычислительно-управляющей системы (ВУС) имитатора изображены на рисЛ.2. Принято, что на уровне организации всей вычислительной системы имитатора известны режимы использования имитатора, ограничения на координаты и управления, компоненты ФІ (і=1,Пф) вектора показателей качества имитатора и ограниченияФ на них. Известными считаются структура и набор факторов в моделях движения моделируемого и базового объектов, оценки ДФот и ДФ0 неадекватности этих моделей, характеристики управляющих и возмущающих воздействий. Будем предполагать выполненной параметризацию управляющих и возмущающих воздействий с оценкой возмущений получаемых детерминированных и случайных параметров соответствующих базисных функций. Предполагается также заданной информация МСЛг) о точности других параметров модели, в том числе коэффициентов эмпирических или регрессионных зависимостей, используемых в модели, конструктивно-технологических параметров системы и таких элементов имитатора, как преобразователи и датчики координат объекта и параметров внешней среды. На рис.1.2. эти исходные данные изображены в виде блока более высокого иерархического уровня.
Оценка показателей качества системы при аппроксимации функций координат полиномами Ньютона
. Оценка показателей качества системы при аппроксимации функций координат полиномами Ньютона. Получим расчетные формулы для получения оценок требуемых характеристик координат исследуемой системы при аппроксимации интерполяционными полиномами Ньютона зависимостей координат (или функций координат) от параметров системы.
Ввиду трудностей интерполирования функций многих переменных при произвольном выборе узлов интерполяции С23 , следуя работам [21, L851, ограничимся системой узлов интерполяции =(a,pM,...,pro3) (4-0.N), бразуемой вершинами параллелепипедов, которые можно построить на точках с координатами Pj (3.- = 0,1,..., a.} j = t, ГП ) в окрестностях RCP) номиналов параметров Pj ( j = l7rn ).
Недостатком часто используемой в интерполяционных методах формулы Лагранжа С З для функции У к переменных является необходимость пересчета всех коэффициентов разложения при добавлении новых узлов интерполяции. От этого недостатка свободна интерполяционная формула Ньютона, которая в случае интерполирования функции У к Ot,P) переменных И (j 1,m ) при неравных промежутках узлами интерполяции может быть записана в виде:
Здесь используется символ dy « mr для обозначения разделенной разности П -го порядка (n 17+-+ ) функции УК(Д,Р), .вычисляемой при значениях аргументов Dj,. (Ь, 0,а- ; ) = Т гп) по формуле
Формула (2.15) записана по аналогии с формулой для трех переменных [85 3 и выводится по индукции, В принятой условной записи полагается, что при Г] г О (&; = 0) в правой части формулы нет суммирования по индексу ;V и отсутствуют соответствующие ҐГ сомножители pjV - pa.- , а в формуле (2.14) при tj= О
В формуле (2.16) частные производные вычисляются в точках
причем точки P;е-.г являются, вообще говоря, различными для разных сочетаний частных производных, которые входят в (2.16) Индексом Г отмечен вектор, который соответствует члену, содержащему сочетания из m по Г частных производных.
В формуле (2.14) числа узлов интерполяции по различным переменным Р: (j=Vm) независимы. В задачах анализа точности систем может быть использован другой вариант интерполяционной формулы Ньютона, в котором числа узлов интерполяции по разным переменным связаны зависимостью
Нахождение оптимальных узлов интерполяции и весовых коэффициентов квадратурных формул по заданным числовым характеристикам параметров системы
Ввиду предположенного задания исходных данных о возмущениях параметров в виде моментных характеристик будем сравнивать только методы, использующие полиномиальную аппроксимацию зависимостей координат У Ш = Ц?(Л Р) от случайных параметров системы (.1) . К их числу относятся методы степенных рядов и методы неслучайных воздействий [67].
В методе степенных рядов ограничиваются конечным числом членов разложения функции Ц Ct, Р) в ряд Тейлора по отклонениям параметров от некоторых опорных значений (обычно математических ожиданий) :
Г Возможность ограничиться отрезком ряда Тейлора при этом определяется малостью изменения оцениваемых вероятностных характеристик (функционалов ФСУ)) при пренебрежении остаточным членом Ry Q.1T несмотря на то, что он может не быть гарантированно малым (например, при нормальном распределении параметров Р ).
Первый метод степенных рядов, называемый также методом распространения статистической ошибки, или Д нлетодом ,основан на подстановке в ФСУ) вместо У выражения СЗк.57) без остаточного члена Г 67].
Следующий метод степенных рядов основан на построении отрезка ряда Тейлора функции УСУ) координат У , математическое ожидание которой равно искомому функционалу Ф(У): МСФШ)] = ФСУ) (3.59)
При определении математических ожиданий координат У оба метода совпадают (44= У) . Упоминавшийся метод линеаризации зависимостей между случайными функциями и величинами является частным случаем первого метода.
Выбор первого или второго метода степенных радов в конкретной задаче определяется трудностями вычисления коэффициентов апу . эпу или
Требуемые частные производные могут быть определены методами теории чувствительности путем решения соответствующих систем уравнений чувствительности
Попытки обойти необходимость решения системы уравнений чувствительности приводят к методам неслучайных воздействий. Название данной совокупности методов взято из работы [67] , где этим названием объединены три метода. Применяя их для определения искомых вероятностных характеристик, используют функции от конкретных значений выходных координат исследуемой модели, вычисленных при определенным образом выбираемых неслучайных значениях параметров системы.
Первые два метода исходят из разложений С2»-57) и (3.58), но при этом приближенные значения оУП Го W и5 г, ,Ш частных производных (-—: — ), / -- ——- ) соответственно определяют ся не путем решения уравнений чувствительности, а решением систем уравнений:
- при применении первого метода; mpj--4 )+ г.w-fiСР9,-РП) &«
- при применении второго метода. Неслучайные значения для случаев (\, = 2, 3, 4, 5 задаются таблицами неслучайных воздействий, которыми предусматривается получение необходимого числа IN конкретных значений Ук или Ч- для определения функций 5УкПі.„їГп W и_ 3 Г...Гп Ш После определения S г г 111 S ril гь искомые вероятностные характеристики определяются из выражений:
В группу методов неслучайных воздействий, с которыми будет сравниваться метод интерполяции функций координат, входят метод эквивалентных возмущений, предложенный Б.Г.Доступовым С 53, интерполяционный метод В.И.Чернецкого [95] , кубатурный метод вычисления вероятностных моментов выходных координат [}\ i] , __ - метод определения моментов характеристик качества систем автоматического управления С З .
Из методов этой группы не будем проводить сравнения с методом минимальных полиномов Ц8 ] , являющимся комбинацией второго метода неслучайных воздействий и метода Чернецкого, и вариантом метода эквивалентных воздействий, рассмотренным в [8] иоснован-ном на слишком жестком предположении об одном законе распределения возмущений всех параметров.
Метод интерполяции координат построен на прямой аналогии с первым методом степенных рядов при использовании интерполяционного полинома Ньютона вместо ряда Тейлора. Точно также метод интер-поляции функций координат аналогичен второму методу степенных рядов, определенному соотношениями (3.61),(3.6). Так как при непрерывности частных производных (j -- IT ) -го порядка функции %(Р) Urn _ „d a =- Tr. rl—-7- то при сближении узлов интерполяции Rx- и точных значениях d Г\ wrm разделенных разностей формулы второго варианта метода интерполяции функций координат переходят в формулы второго метода степенных рядов. Аналогичным способом, строя последовательность значений функционала Ф(У) для узлов, сходящихся к кратному узлу Pjo , можно получить сравнительную оценку методических погрешностей вычисления функционала ФСУ) при использовании метода интерполяции функций координат и второго метода степенных рядов, а также оценить при этом погрешности округления, давая малые возмущения узлами интерполяции при вычислении функционала т Если погрешности вычисления разделенных разностей и погрешности задания исходных характеристик параметров соразмерны с компонентами соответствующих погрешностей метода степенных рядов, то погрешность вычисляемого значения функционала ЯНУ) определяется остаточными членами соответствующих формул рассматриваемых методов. В этом случае при выборе узлов интерполяции, минимизирующем остаточный член интерполяционной формулы, метод интерполяции координат следует предпочесть первому методу степенных рядов.
Если при этом учесть, что при достаточно сложных правых частях системы (2.1) вычислить разделенные разности гораздо легче, чем определить функции чувствительности путем решения системы уравнения чувствительности, то преимущество метода интерполяции координат перед первым методом степенных рядов представляется более весомо. Вычисление же функционалаФ(У) первым методом степенных рядов при использовании функций чувствительности, получаемых путем численного дифференцирования опорной траектории, на деле является применением второго варианта метода интерполяции координат при ограничении членами с разделенными разностями первого порядка Ц=1).
Комплект программ параметрической редукции математических моделей
Комплект программ точностной редукции математических моделей. Структура параметрически управляемого комплекта программ точностной редукции на языке PL /I, реализующего описанную в разделе 4.1 методику упрощения, представлена на рис.4.2.
Подпрограммы MODEL и MODELC представляют первый уровень подпрограмм комплекта, осуществляющий управление высилительным процессом.
Второй уровень составляют подпрограммы исходных данных о системе ( BUN ) и возмущениях параметров (PERP), подпрограммы определения параметров метода численного интегрирования уравнений состояния (РМШТ), расчета очередной точки AR -сети ( LPTB ,DRPN), и распределения дисперсий параметров (DIS& ).
К третьему уровню отнесены подпрограммы, обеспечивающие решение задачи редукции в текущей точке Ар -сети. Первые два блока подпрограмм этого уровня реализуют второй пункт методики упрощения: подпрограмма дает оценку глобальной погрешности вычисления опорных траекторий на всем интервале движения системы; блок MODELS обеспечивает получение оценок чувствительности и областей неопределенности выходных координат. Блоком MQDELN при исследовании полной модели формируется множество незначимых параметров, реализуя пункт 4 методики.
Подпрограмма M0DELF записи-считывания промежуточной информации обеспечивает продолжение выполнения задачи при прерываниях счета.
На четвертом уровне выделены подпрограммы, вызываемые подпрограммами первых трех уровней и выполняющие следующие задачи:
-определение узлов и весов гауссовых квадратур по заданным моментным характернеіикам параметров (подпрограммаftWGQ);
-определение (в данном комплекте - методом Рунге-Кутта третьего порядка) выходных координат исследуемой модели после заданного числа ПКк шагов численного интегрирования уравнений состояния (подпрограмма RK3Y);
-оценка чувствительности выходных координат к возмущению параметров (подпрограмма ES ОС!);
-оценка моментных характеристик выходных координат методом интерполяции функций координат (подпрограмма EOV);
--вычисление (трех) оптимальных узлов интерполяции по момент-ным характеристикам переменных состояния при включении в число параметров начальных условий уравнения состояния (подпрограмма CZ3R);
-ранжирование вкладов возмущений параметров в область неопределенности координат с учетом списков предпочтительности Lr и необнуляемых параметров Lnz (подпрограммаУЙЯ );
-определение активных ограничений в задаче распределения дисперсий параметров (подпрограмма RPRL);
-определение оптимальных дисперсий параметров при выполнении пункта 3.3 методики упрощения (подпрограммаОРTV);
На пятом уровне указаны подпрограммы, описывающие правые части уравнений состояния (RPSE) и каналов управления (MUP).
Основные исследовательские задачи, решаемые с использованием комплекта программ точностной редукции, следующие.
1. Построение области неопределенности выходных- координат модели при заданных характеристиках возмущений параметров. Решение этой задачи является основой для согласования допуска на координаты модели с точностными характеристиками параметров и проведения точностной редукции модели.
2. Оценка чувствительности выходных координат к возмущениям параметров и фрагментам модели.
Решение задачи позволяет ранжировать параметры и фрагменты модели по их вкладам в область неопределенности выходных координат, что дает исходные данные для определения точностных требований к параметрам и фрагментам для обеспечения заданной точности моделирования движения системы.
3. Оценка устойчивости модели к возмущениям параметров. Решение этой задачи позволяет при исследованиях использовать модель с номинальными параметрами без учета их возмущений.
4. Параметрическая редукция модели с заданной группой проверяемых на незначимость параметров.
Решение задачи позволяет, в частности, проверить незначимость любых групп параметров по введенному списку их номеров.
5. Параметрическая редукция без задания проверяемых на незначимость параметров.
При решении этой задачи определяется максимальное число параметров, пренебрежение которыми допустимо при заданных допусках на точность определения координат модели.
6. Оценка возможности упрощения фрагментов модели.
Задача решается оценкой незначимости разности полного и упрощенного фрагмента модели. Решение этой задачи позволяет, в частности, определить границы применимости линеаризованной модели.
7. Определение критических режимов и критических подобластей в области изменения номиналов параметров.
Задача решается нахождением режимов и подобластей пространства параметров, в которых максимальна область неопределенности выходных координат при заданных характеристиках возмущений параметров.
Отметим, что выполнение третьей задачи позволяет оценить значимость возмущений в модели, оптимальной по какому-либо критерию. В частности, этом способом можно установить устойчивость оптимального управления к возмущениям параметров.
Выполнение четвертой задачи позволяет проверить допустимость упрощения модели, проведенного с использованием любого другого подхода к упрощению моделей. В частности, таким путем можно оценить корректность упрощения модели по малости различия опорных траекторий упрощенной и полной моделей.
