Содержание к диссертации
Введение
1. Системное описание финансового рынка и анализ методов исследования 11
1.1. Структурное представление рынка 11
1.2. Стохастические модели прогнозирования динамики ценных бумаг 17
1.3. Детерминированный подход к прогнозированию динамики ценных бумаг 24
1.4. Аналитика финансовых рынков 35
1.5. Выводы 37
2. Построение математической модели 39
2.1. Восстановление фазового портрета системы по одномерному временному ряду 42
2.2. Обоснование модели 45
2.3. Модификации модели 47
2.3.1. Модель финансового рынка «с полной матрицей» 48
2.3.2. Модель финансового рынка «с диагональной матрицей» 50
2.3.3. Модели «японской свечи» 51
2.3.4. Модели двухпараметрических индикаторов 56
2.4. Выводы 58
3. Методы решения и исследования систем уравнений модели „ 59
3.1. Обобщенная схема нахождения прогностических значений переменных моделей 59
3.2. Определение коэффициентов модели 62
3.3. Выбор метода решения системы алгебраических уравнений... 64
3.4. Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений 65
3.5. Дополнительные инструменты качественного анализа 66
3.6. Выводы . 69
4. Схемы прогноза и адаптациии. Исследование качества прогностических реализаций 71
4Л. Построение точечного прогноза 7!
4.2. Схемы адаптации т 75
4.3. Корреляция траектории особых точек с трендами 77
4.4. Исследование качества прогноза 85
4.5. Применение модели 94
4.6. Выводы 98
5. Создание комплекса программ для анализа и прогнозирования финансового рынка 99
5.1. Выбор программно-технических средств моделирования и создания пакета 102
5.2. Разработка алгоритма решения задачи 103
5.3. Разработка интерфейса для конечного пользователя 105
5.4. Разработка графических объектов для визуализации результатов 112
5.5. Банк моделей и сопутствующее программное обеспечение 113
5.6. Реализация математических алгоритмов 113
5.7. Выводы 118
Заключение 119
Литература 121
Приложения 134
- Детерминированный подход к прогнозированию динамики ценных бумаг
- Модель финансового рынка «с полной матрицей»
- Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- Корреляция траектории особых точек с трендами
Введение к работе
Актуальность темы. Все материальные системы можно разделить на системы неорганической природы (физические, геологические, химические) и живые системы (биологические системы, организмы, экосистемы). Особый класс материальных живых систем - социальные системы (от простейших объединений до сложных социально-экономических структур). Экономические системы, как частный случай социальных систем, незамкнуты и имеют очень сложную структуру. К таким системам относится финансовый рынок, во многом являясь основой рыночной экономики.
Политическая, экономическая, экологическая компоненты, межличностные взаимоотношения не могут быть описаны количественно, но, перерабатываясь и преобразовываясь через субъективные суждения, определяют некоторые количественные оценки сложившейся ситуации -биржевые ставки. Результаты торгов следует расценивать как удачное отображение действительности (компромисс мнений), некоторый объективный параметр, отклик социальной (экономической) системы -финансового рынка - на множество внешних возбуждающих воздействий.
Невозможность исследования входных воздействий ориентирует па исследование результатов работы системы, так чтобы через свойства откликов понять сущность функционирования.
Финансовые рынки чрезвычайно динамичны, их исследованием занимаются во всем мире с целью наиболее удачно предсказать будущие значения котировок. Со стремлением России влиться в мировое экономическое сообщество началась бурная биржевая деятельность, появилось большое количество лиц, заинтересованных в исходах торгов. Чем дольше развивается эта отрасль человеческой деятельности, тем богаче становится инструментальный багаж. Ценовая динамика находится под пристальным вниманием не только финансовых аналитиков, брокеров,
5 банкиров, но и все больше ученых в России и за рубежом пытаются разработать достоверные теории, объясняющие и предсказывающие поведение биржевых характеристик. Новые результаты, сливаясь в единое целое, обеспечивают широкий выбор методов анализа и прогноза финансового рынка и позволяют понять некоторые аспекты социальных систем.
Моделирование нерегулярного поведения на фондовых, фьючерсных, валютных рынках основывается на нескольких альтернативных подходах. Основные методики делятся на стохастические (традиционные} [4, 9, П4 -116] и основанные на положениях теории синергетики (теория нелинейной динамики, хаоса) [1, 11 -12,45,88, 121].
Вопросами стохастического поведения занимаются в Актуарно-финансовом центре при поддержке Правительства РФ.
Нерегулярное поведение для систем, не являющихся стохастическими, объясняется как результат сложных нелинейных взаимодействий внутренних параметров этих систем (детерминистский подход). Теория хаоса зачастую бывает более успешной в объяснении поведения временных характеристик, нежели введение случайных переменных. Моделированию сложных систем, к которым относятся экономические системы, с позиций детерминированного хаоса уделяют большое внимание в Институте математических методов и антикризисного управления Финансовой академии при Правительстве РФ. Применение описанных подходов не ново в экономике [30, 50-51, 84], однако финансовым рынкам не уделялось должного внимания, они и сегодня остаются недостаточно изученными.
В своих усилиях как можно быстрее исследовать объект, разработать упрощенную схему действий, проанализировать альтернативные подходы и получить выгоду в условиях конкурентной борьбы за информацию инвестиционные менеджеры, трейдеры, исследователи и аналитики нередко
прибегают к помощи специализированных программных продуктов MctaStock, МЕЗА, Omega Tradeslation, MS Excel, финансовые приложения MATLAB. Однако представленные продукты не всегда могут удовлетворить все потребности. В таких условиях удобно использовать небольшие авторские программные продукты, которые расширяют список альтернативных методов исследования, предоставляют новый инструментарий и отражают потребности конкретного конечного пользователя.
В настоящей работе представляются результаты применения теории детерминированного хаоса к моделированию различных видок финансовых рынков (фондовые, фьючерсные, валютные), описание поведения рынка с помощью аппарата нелинейных дифференциальных уравнений и разработанный программный продукт для обработки и визуализации получаемой информации.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка универсальной модели и ее модификаций и комплекса программ для анализа и прогноза биржевой динамики финансовых рынков. В связи с этим в работе поставлены следующие задачи.
Построить математическую модель для анализа и прогноза параметров финансового рынка. Выяснить возможность описания такой моделью динамики реальных экономических процессов,
Построить модификации модели для анализа и прогнозирования основных показателей, «японских свечей» и двухпараметрических индикаторов.
Исследовать модель методами качественной теории дифференциальных уравнений для определения корреляции трендовых составляющих и рассчитанных траекторий особых точек.
Разработать методы прогноза и адаптации модели.
Провести исследование применимости алгоритмов к анализу и прогнозированию временных рядов различных видов финансового рынка.
Создать программный продукт, объединяющий все модификации представляемой модели, схемы адаптации и результаты качественного исследования.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовался ряд методов. Среди них методы спектрального и корреляционного анализа [25, 26]. При разработке модели решалась задача восстановления динамических уравнений процессов из временных рядов [20, 35]. При построении прогноза и схемы адаптации использовались известные экономико-математические и статистические методы [59, 110]. Для восстановления значений производных, решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений использовались прямые и численные математические методы [22, 34, 54, 75, 92, 103, ПО]. В ходе исследования, для реализации поставленных задач были разработаны ряд алгоритмов и комплекс программ для расчета значений переменных и параметров, визуализации информации и объединения всех составляющих работы в единое целое. Представляемый программный продукт реализован в пакете инженерных расчетов MarLab. Для различных видов рынков применялись специфические методы технического анализа [62 - 65, 83].
Для проведения исследования выбраны следующие данные: фьючерсные контракты на кофе - Coffee Continues, сою - Soybeans Continues, кукурузу - Corn Continues; фьючерсные контракты долгосрочных облигаций US T-bond [112]; котировки акций зарубежных компаний IBM, Microsoft, Novell, American Airlines, Delta Airlines [112]; котировки акций российских компаний Сибнефть, Сбербанк России, Лукойл, АвтоВАЗ [96, 111]; контракты на валюту [91, 96]; мировые фондовые индексы [96];
8 двух параметрические индикаторы: Directional Movement, Forecast Oscillator, Linear Regression Slope и r-squared, различные скользящие средние, полученные из специализированного пакета обработки биржевой информации MetaStock The Downioader for Windows.
Научные положения, выносимые на защиту,
Обобщенная модель финансового рынка на основе теории детерминированного хаоса. Ее модификации для анализа и прогнозирования переменных различных видов рынка (фондовый, фьючерсный, валютный, облигаций и других ценных бумаг).
Новые методы построения прогноза и адаптации модели финансового рынка, заключающиеся в выделении в исходных данных трендовых и хаотических составляющих с пошаговым пересчетом коэффициентов при появлении новых данных,
Метод предсказания поведения трендовых составляющих временных рядов, основанный на их корреляции с траекториями рассчитанных особых точек системы дифференциальных уравнении.
Комплекс программ, реализующий алгоритмы построения прогноза и адаптации системы финансового рынка.
Результаты анализа и прогнозирования финансового рынка на основе разработанных методов и модификаций модели.
Научная ценность и новизна.
1. Проводимые исследования показали применимость теории детерминированного хаоса к моделированию динамики показателей финансового рынка. В результате построена обобщенная модель объекта со сложным поведением в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений, решения которой при определенных условиях имеют хаотический характер. Модификации модели позволяют получать прогностические
9 значения основных биржевых показателей (первичных и вторичных) при ограниченности исходной информации для конкретных видов финансового рынка (фондового, фьючерсного, рынков валют, облигаций и других ценных бумаг). Структура уравнений модели обоснована согласно теории детерминированного хаоса. Параметры модели имеют содержательный экономический смысл.
Разработаны методы адаптации модели для учета гиперчувствительности хаотических систем к малым изменениям, па основе поступающей со временем информации и уточнении прогностического значения на каждом последующем шаге.
Предложен метод предсказания моментов смены направления тренда на основе его корреляции с іраекторией координат особых точек.
Практическая значимость. Представленная нелинейная модель для исследования и прогноза динамики биржевых характеристик и разработанная мегод предсказания поведения трендовых составляющих временных рядов на основе корреляции с траекториями рассчитанных особых точек позволяют получать в реальном времени, без богатого ретроспективного материала прогностические реализации основных биржевых показателей. Приводятся практические результаты проводимого исследования для различных видов отечественного и зарубежного финансового рынка. Разработан комплекс программ для конечного пользователя, реализующий поставленные задачи.
Ряд результатов, выводов и рекомендаций настоящей диссертации использованы в работе ЗАО «ИК «Норд-Инвест», 000 «Бухгалтерско-правовое агентство», 000 «Прогресс-Система» н в учебном процессе па кафедре ПМ ТПУ.
Апробаиия работы. Результаты работы были доложены и опубликованы: «Современное развитие и применение математических
10 методов»; Сборник статей студентов и аспирантов. - Томск, 2002; «Молодежь и современные информационные технологии»: Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции. - Томск, 2003; «Информационные технологии и математическое моделирование»; Материалы III Всероссийской научно-практической конференции. - Анжеро-Судженск, 2004; Рынок ценных бумаг, ИД «РЦБ». - 2005, №9 (288); "KORUS - 2005": Proceedings of The 9th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology. - Novosibirsk, 2005; «Перспективы развития фундаментальных наук»: Труды II Всероссийской конференции студентов и молодых ученых. - Томск, 2005; Дайджест-Финансы, ИД «Финансы и кредит». - 2005, №8 (128); «Средства и системы автоматизации»: Труды международной научно-практической конференции. - Томск, 2005; Известия Томского политехнического университета. - 2006, Т. 309, №№ 2,7,
Основное содержание работы. Первая глава диссертационной работы посвящена структурному описанию финансового рынка, краткому обзору существующих методов и моделей прогнозирования динамики рыночных характеристик. Во второй главе описывается построение математической модели и ее модификаций, В третьей главе отражены методы восстановления производных, решения систем алгебраических и нелинейных дифференциальных уравнений, качественного исследования системы нелинейных дифференциальных уравнений, а также метод определения корреляции трендовых составляющих и траекторий особых точек. Четвертая глава содержит схемы построения прогноза, схемы адаптации, примеры применения модели и исследование качества прогноза. В пятой главе рассматриваются вопросы разработки и создания комплекса программ для анализа и прогноза финансового рынка.
Детерминированный подход к прогнозированию динамики ценных бумаг
Наличие некоторого спектра допущений определяет недостатки стохастического подхода к прогнозированию рыночной динамики. Случайность присутствует на рынке» как и в любом социальном процессе, но утверждение о том, что вся динамика цен случайна по сути своей неверно. Чаще всего случайность определяется неспособностью установить систематические модели или закономерности в динамике цен. Тот факт, что закономерности не обнаружены, не доказывает, что их не существует.
На систему оказывает влияние внешняя рыночная среда, со своими конъюнктурными возмущениями. Действие внешней среды, ограничения возможностей финансового менеджера распознавать текущее состояние финансовой системы и прогнозировать будущие денежные потоки порождает фактор неустранимой неопределенности. При этом рыночная неопределенность не обладает классически понимаемой статистической природой. Соответственно, встает под сомнение применимость к анализу финансовых систем вероятностных случайных процессов.
Реальный финансовый рынок обладает внутренней реальной структурой и реальными ограничениями. Они могут с течением времени меняться, по при соблюдении определенных правил финансового рынка их внутренние законы могут быть достаточно стабильны па протяжении весьма длительного периода. Однако утверждать точно какой это период нельзя. Можно сказать, что он не большой, если брать всю выборку, но и не сведен к О или 1. Отражение информации в цене практически моментально (постулат теории «эффективного рынка») происходит не всегда, часто итоговое значение это есть результат переработки (за определенный промежуток времени) поступившей информации. Таким образом, может существовать некоторая зависимость (может быть очень короткая) от прошлого, т.е, текущее значение определяется не 100% настоящим, а может содержать некоторые предпосылки прошлого, отраженные в субъективном мнении (ставке на бирже).
Такие системы со случайным характером возникновения и влияния друг па друга субъектов событий изучает относительно недавно возникшая наука - синергетика [45, 127, 128]. Серьезным прорывом для экономической теории в этом направлении была книга Занга о синергетической экономике [49]. Поведение складывается из учета проверенной и непроверенной поступающей извне информации и внутренних законов, которые могут быть достаточно легко обнаружены (тренды, автоколебания) и скрытыми (возникающие за счет нелинейной структуры взаимосвязей внутри рынка).
Существенными составными частями новых инвестиционных технологий являются нейронные сети, генетические алгоритмы, деревья решений, алгоритмы и методы теории динамических систем, или теории хаоса, позволяющей в явлениях, на первый взгляд случайных, обнаружить порядок и некоторую структуру. [129].
Начиная с 1980-х годов интенсивно ведутся работы по проектированию и разработке нейросетевых алгоритмов с эффективным обучением для анализа и прогноза временных рядов. Использование нейронных сетей является одним из самых распространенных инструментов, предлагающихся сегодня на рынке. Нейронные сети очень разнообразны по своей архитектуре, но все они имеют один общий базоиый элемент -искусственный нейрон (рис. 1.2), который имитирует свойства биологического нейрона.
Синапсы (веса) Cyuviarop Анализатор Выход На вход подается векторы X = [х{, х2, ,,. хп], которые представляют собой сигналы других нейроподобных объектов или входные сигналы сети. Каждый из сигналов умножается на соответствующий вес wr п = 1,и. Вес этой связи может быть положительным или отрицательным, в зависимости от связи (возбуждающая или тормозящая). Взвешенные весами связей, входные сигналы поступают в сумматор (по своей сути являющийся аналогом тела клетки в биологическом нейроне), где вычисляется их алгебраическая сумма н определяется уровень возбуждения нейрона R: где 0 - порог возбуждения нейрона. Затем над уровнем возбуждения проводится необходимое нелинейное преобразование: Y = F(R).
Эта функция называется активационной. Существует большое разнообразие таких функций (пороговая жестко ступенчатая функция, пороговая плавно ступенчатая функция, радиальпо-симметричная функция, гиперболический тангенс, сигмоидальная функция, линейная функция). Наиболее часто на практике применяется сигмоидальная (логистическая) функция: 1 + е- Эта функция хорошо работает как со слабыми, так и с сильными уровнями возбуждения нейрона. Коэффициент р определяет крутизну сигмоида, В общем случае R зависит от времени /.
Нелинейность функции активации важна и принципиальна-Нелинейность разрушает линейную суперпозицию и приводит к тому, что возможности нейросеш существенно выше возможностей отдельных нейронов. Выше описанная модель нейрона пренебрегает многими известными характеристиками биологического прототипа, которые некоторые исследователи считают критическими. Например, в ней не учитывают нелинейность пространственно-временной еуммации, которая особенно существенна для сигналов, приходящих по возбуждающим и тормозящим синапсам; различного рода временные задержки; эффекты синхронизации и частотной модуляции; рефлекторность и т. п. Невзирая на эти отклонения, сети, построенные на основе таких нейронов, демонстрируют ассоциативные свойства, напоминающие свойства биологических систем, и успению применяются на практике [130]
Модель финансового рынка «с полной матрицей»
Минимальное количество уравнений модели согласно описанному в п. 2.1. методу равно 3. Определим матрицу А в соответствии с размерностью. В общем случае неизвестные коэффициенты зависят от времени. Нелинейность определим как сумму всех перекрестных произведений.
Тогда система дифференциальных уравнений имеет вид: где Y t) - цена акции, облигации, любой другой ценной бумаги или валютный курс - первичный и самый информативный параметр;
Y2(t) - объем торгов или цена другой цепной бумаги;
Y it) - некоторый стабильный параметр, так для рынка фьючерсов это может быть «открытый интерес» (количество открытых позиций). Для валютного или фондового рынков - курс стабильной валюты, интегральные индексы или цепа другой ценной бумаги;
Y (t)Y2(t) - так называемый «оборот торгов»;
( Рз(0 так "Даваемая «текущая ликвидность рынка» (для фьючерсного рынка), иногда ликвидность конкретной ценной бумаги выражена в явном виде (временной ряд ликвидности ценной бумаги), а не как результат произведения, тогда ее учитывают явно;
Y2(t)Y${t) - взаимосвязь между объемом торгов и открытым интересом, или между объемом и стабильным параметром {специального названия не имеет, поскольку широко не используется);
a.(t)t .(/), сДОз /-1,6 - неизвестные коэффициенты, описывающие степень влияния параметров.
Модель с полной матрицей применима для прогнозирования параметров имеющих сходную динамику изменения, поскольку очень чувствительна к изменению каждого из них, В формировании каждого показателя в явном виде выступают все параметры модели. 23 Л. МОДЕЛЬ ФИНАНСОВОГО РЫНКА «С ДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЕЙ»
Различные рынки имеют различную динамику. Но учет абсолютно всех параметров не всегда адекватно отражает ситуацию. Излишняя детализация мешает определению основных тенденций. С этой целью модификацию модели (1), представленную в п. 2.3.1. можно максимально упростить. Так в описываемой модификации за значимые составляющие в определении Кт-го параметра примем сам параметр и только те перекрестные произведения, которые его содержат.
Смысл параметров и коэффициентов аналогичен модификации в п.
В случае, когда в качестве параметров системы выступают цепа акции, объем торгов и «открытый интерес» получаем модель, разработанную в работе [102]. Такая модель имеет преимущества, когда в качестве параметров модели выбираются разнородные данные [57]. Динамики изменения носят разный характер, например один параметр может быть периодическим или сильно зашумленным, тогда как другой не имеет явно выраженной периодической составляющей или имеет другой уровень зашумленности. Модификация, применимая на фьючерсных рынках может быть использована и на других видах рынка, но в качестве третьего параметра нужно выбрать достаточно значимый показатель.
Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Численные методы решения дифференциальных уравнений в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями [75, 100]. Данные методы особенно эффективны в сочетании с использованием быстродействующих ЭВМ, обладающих достаточно большим объемом памяти.
Наиболее распространенным и универсальным численным методом является метод конечных разностей, когда искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке, При этом для входящих в уравнение производных используются соответствующие конечно-разностные соотношения. Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.
Поскольку моделирующая система описывает динамику переменных, а производные в левых частях восстанавливаются преимущественно при помощи сплайнов, то приоритетным является использование именно итерационных численных методов, хотя такие методы могут привести к значительному увеличению погрешности вычислений.
Широкое распространение для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений получил итерационный численный метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Одним из его недостатков является отсутствие простых способов оценки погрешности, хотя можно утверждать, что она пропорциональна h4 [22]. Как правило, метод Рупге-Кутта является отправной точкой в решении проблемы.
Кроме описанных выше методов существует ряд других итерационных методов для численного интегрирования. К ним относятся: Метод Рунге-Кутта 2-3 порядка в случаях с грубыми погрешностями и умеренной жесткостью системы; многошаговые методы для жестких систем, использующие методы численного дифференцирования, обратного дифференцирования (метод Гира); метод трапеций со «свободным» полиномом; комбинированные одношаговые и многошаговые методы [93 -95].
Для более детального исследования представленной модели рынка, основанной на системе нелинейных дифференциальных уравнений, применим методы качественной теории дифференциальных уравнений. Сначала найдем точки равновесия системы, а затем рассмотрим движение системы вблизи каждого положения равновесия [82]. Известно, что для системы дифференциальных уравнений первого порядка Y = f(Y), точки равновесия определяются равенством: где Y - вектор состояния системы.
Для выяснения характера поведения решения вблизи точек равновесия Y—Y разложим функцию f(Y) в ряды Тейлора вблизи каждой точке равновесия Y и рассмотрим линеаризованные задачи. Устойчивость решения линеаризованной системы определяется знаком действительной части Re(A.r): когда действительная часть хотя бы одного из чисел Хг Aположительна, движение вблизи этой точки равновесия неустойчиво [82].
Корреляция траектории особых точек с трендами
Тот факт, что математика оперирует абстрактными понятиями, такими как константы, переменные, матрицы, векторы и т.д. позволяет при постановке проблемы в общем виде успешно применять математические и статистические методы в самых различных областях знаний, Б том числе в экономике. Исследование качества модели сводится к выводам о точности прогностических данных, на сколько хорошо модель описывает реальную ситуацию. Как правило, статистические методы тем точнее, чем больше выборка и идеальным случаем является асимптотическое приближение к бесконечному количеству обрабатываемых данных. Главная проблема в исследовании качества прогноза состоит в том, что в экономической практике работают с конечным, и не всегда достаточно большими, выборками. Поэтому в условиях относительно маленьких выборок провести исследование с помощью аналитических методов не удается, приходится прибегать к разного рода экспериментам и сравнениям.
В данной работе качество модели будем определять ее адекватностью исследуемому процессу и точностью. Под адекватностью будем понимать степень соответствия объекта-модели объекту-оригиналу, то есть будем считать модель адекватной цели, если с помощью нее достигается поставленная цель. Адекватность может быть определена различными способами, либо сравнением экспериментальных (прогностических) и теоретических (реальных) кривых, либо с использованием статистических методов, суть которых состоит в проверке гипотезы на основании некоторых статистических критериев [25 - 27].
Проведенные исследования ряда реальных данных и ряда прогностических данных позволяют принять гипотезу о нормальности распределения при вероятности = 95%.
1 Количественный критерий адекватности модели основан на статистике Стьюдента и заключается в следующем. Определим покаштель тесноты свяш двух рядов (прогностического и реального) но формуле линейного коэффициента корреляции rf,t. [89, 113]:
где О1 - ряд реальных (теоретических) данных;
V - ряд прогностических (экспериментальных) данных;
п - количество элементов ъ рядах. Линейный коэффициент корреляции можно определить по формуле:
Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется па основе величины ошибки коэффициента корреляции тг:
Для оценки значимости rvv применяется /-критерий Стьюдента. Фактическое значение /-критерия Стьюдента определяется как Исчисленное tp сравнивается с критерием tk , которое берется из таблицы значений /-критерия Стьюдента с учетом заданного уровня значения а и числа степеней свободы к = п-2. При выполнении неравенства t /,,(&,я), принимаем гипотезу об адекватности модели и получаемых прогностических данных реальным с вероятностью Р [73].
2. Еще один известный количественный критерии, основанный на статистике Стьюдента, заключается и ерттеиии средних значений откликов модели н оригинала При этом проверяется гипотеза о близости среднего значения ряда прогностических переменных среднему значению ряда реальных данных (обе случайные пели чины распределены нормально). Вычисляется следующая величина [17, 60,79]: 88 При выполнении неравенства Т t (к9а) (ttf, -табличное значение критерия Стыодепта с уровнем значимости а и числом степеней свободы к=-пи+пу-2).
Кроме того, адекватность модели наглядно просматривается из поведения прогностических и реальных данных на рис 4.1. Согласно полученным значениям коэффициентов корреляции ruv, критериев t и Т , табличным значения / при уровне значимости а и числе степеней свободы к = пи+Пу—2 для исследуемых временных рядов можно утверждать, что полученные прогностические реализации адекватны исследуемому процессу с вероятностью не менее 95%.
