Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные направления исследований связанные с темой диссертации
1.1. Элементы общей теории систем и управления 12
1.2. Непрерывная модель конкуренции 18
1.3. Математические модели. Бифуркация, одномерная модель Ферхюльста-Пирла 21
1.4. Основы ренормгруппового анализа, фракталы в итерационном процессе 31
Глава 2. Ренормгрупповой анализ .
2.1. Ренормгрупповой анализ при а = р 36
Глава 3. Анализ двумерной модели и управление числом Решений
3.1 Численное моделирование 45
3.2. Эволюция корней системы при а = р 47
Глава 4. Исследование модели в общем случае
4.1. Эволюция корней системы при а Ф р 59
4.2. Исследование зоны четырех корней 65
4.3. Модель с частичной зависимостью от конкурирующего вида 72
4.4. Приближенный ренормгрупповой анализ системы в
общем случае 78
Заключение 82
Литература 85
- Элементы общей теории систем и управления
- Ренормгрупповой анализ при а = р
- Эволюция корней системы при а = р
- Исследование зоны четырех корней
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Модель, согласно В.А. Штоффу [8], это мысленно представимая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте. Модель, которая соответствует своему оригиналу, - это уже новая информация о моделируемом объекте. Методами моделирования широко пользуются самые разные науки (см. например [5]). Огромное количество работ относится к моделированию и изучению исторически первых по рассмотрению (В 1931 г. Вито Вольтерра предложил эту модель) отношений "хищник-жертва". Здесь отметим некоторые работы, монографии, и учебники в которых с разных сторон изучались эти отношения [36] - [42]. В этих работах рассматривают: и влияние среды обитания, и кормовую базу, решают задачи линейного и динамического программирования для оптимизации численности определенных популяций, и моделируют схемы сетей и графов, и применяют элементы теории матричных игр для принятия решений по ведению фермерских хозяйств или одновременного разведения различных популяций рыб и т.д. Применяют методы компьютерного моделирования [3]. Отношение "хищник-хищник" изучено значительно хуже.
Отметим непрерывную модель в [5], описываемую системой двух дифференциальных уравнений. Изучение устойчивости отличных от нуля решений в данной работе проходит с помощью фазовых диаграмм (см. главу 1 п. 1.2), с определением вида критической точки. Отметим также, целый цикл работ Шапиро А.П. [23], [44] -[50], которые по-видимому впервые образовали целое направление изучения конкурирующих популяций. Недавно, в Ростовском университете была выполнена интересная работа по изучению конкурирующих групп людей [17].
Именно эти работы, в которых определены и выделены случаи возможного устойчивого ненулевого существования двух конкурирующих
5 популяций, послужили идеей рассмотрения дискретной модели совместного существования двух хищных популяций, которые не просто конкурируют, а осуществляют восстановление за счет частичного уничтожения или полного использования антагонистической популяции. Популяции рассматриваются как динамические системы (образующие во времени "траектории", последовательности или "орбиты"), связанные рекуррентными соотношениями, регулирующими численность. Полученный в работе сценарий имеет два управляющих параметра (управляющие константы).
Известно, что системы с отрицательной обратной связью в некоторых случаях являются неустойчивыми. Возможно возникновение незатухающих колебаний, неустойчивых состояний и переход через удвоение периода к хаосу.
Анализ сценария перехода к хаосу, проведенный в средине 70-х годов американским физиком Митчеллом Фейгенбаумом, ознаменовал прорыв в понимании проблемы перехода к хаосу. В модели двух систем (глава 2) настоящей работы указанный сценарий (дерево Фейгенбаума) получается как частный случай из более общей модели, при равенстве управляющих параметров а = р.
В диссертации, сначала в главе 2 в виде компьютерной программы численными методами изучается модель совместного существования двух конкурирующих, антагонистических популяций, которые частично, или полностью поддерживают свое современное состояние уничтожая соперника. В главе 2 получена приближенная картина двупараметрической модели Ферхюльста - Пирла и рассмотрены некоторые родственные модели. Полученные в этой главе результаты показали, что, так же как и в обычной, однопараметрической модели возможно появление точек бифуркации, возможны различные циклы разных периодов и даже явление хаоса. В отличие от традиционного дерева, демонстрирующего удвоение длинны циклов (см. гл. 1 и приложение 1) в главе 3 аналитическими методами с вычислением границ различных состояний решений итерационной системы и компьютерной графики получена фрактальная капуста. (Приложение 4 - рост графического
объекта при увеличении по разным координатам параметров модели.) Глава 3 содержит аналитические методы изучения модели существования - двух конкурирующих, антагонистических популяций на основе двух связанных вместе итерационных уравнений типа уравнений Ферхюльста - Пирла. Известно, что наиболее интересным и содержательным выводом, который получается при изучении дискретных моделей динамики численности локальной популяции [4] - это наличие собственных внутренних колебаний численности без всякого влияния среды. Полученная в главе 3 двупараметрическая модель полностью подтверждает эти явления и на диагонали демонстрирует известную ранее модель Фейгенбаума [10], и Шарковского [9], являясь тем самым, обобщением известных ранее явлений. В четвертой главе проведен приближенный ренормгрупповой анализ и приведены некоторые вспомогательные утверждения. Первая глава носит вводный, ознакомительный характер, содержит известные утверждения помогающие определить направление исследований в главах 2-4.
Результаты, полученные в диссертационной работе, имеют и практическую значимость. Антагонистические отношения последнее время рассматривают и для моделирования взаимодействия социальных групп. Так в 2002 году в Ростовском госуниверситете [17] построили модель для определения численности групп субъектов. Каждый субъект в группе характеризовался двумя параметрами: силой (физической, интеллектуальной и т.д.) и рейтингом (звание, должность и т.д.). Взаимодействие заключалось в переходе участников из одной группы в другую в соответствии с функцией доход/рейтинг. Были выявлены: как явления устойчивого существования групп, так и. условия неустойчивости и раскола, явления циклического обмена участников между группами. Бесспорно, интересным и перспективным направлением является изучение взаимодействия групп органов правопорядка и криминальных групп, групп экономического роста и теневой экономики и т.д. Построение таких моделей, к сожалению, сверх актуальная задача нашего времени. Известно, что как и в Чеченской республике так и в Грузии и в других районах
7 существенному ухудшению уровня жизни предшествовала значительная криминализация этих территорий и потеря государственной власти.
Наиболее серьезными работами, оказавшими большое влияние на стиль и направление исследований в диссертационной работе, являются работы Кузнецова СП. и соавторов [11]-[12] , [20]-[22]. Эти работы в отличие от основополагающих теоретических работ - в первую очередь Арнольда В.И. (например обзор [13], [14] ) носят более прикладной и демонстрационный характер, что соответствует тематике диссертационной работы - управление процессами на основе изучения модели. В работах [12], [21]-[22] рассмотрено много примеров систем итерационных уравнений, ведущих к двупараметрическим моделям, но указанные системы в этих работах носят принципиально другой характер, чем в диссертационной работе. Так как в основном одно из уравнений в системе, как правило, линейно. Наиболее близкими к тематике работы можно определить исследования проведенные Шапиро А.П. [19] - по моделированию явлений каннибализма в популяции окуня, при этом различные возрастные группы выступают как антагонистические. В указанной работе рассматривалась несколько другая система итерационных уравнений, так как младшая группа в данной модели выступает скорее как жертва. Удивительным явлением открытым в указанной работе является существование ненулевого устойчивого состояния разных по возрасту групп.
Отметим монографии [3] - [6] содержащие обширную библиографию, как наиболее конкретно связанные с материалом, изучаемым в работе, а также работы Шапиро А.П. в сборнике [23].
Диссертационная работа выполнена на кафедре теории функций и геометрии Воронежского госуниверситета. Материалы работы опубликованы в работах [24] - [35].
Цели и задачи исследования. Рассмотрим систему итерационных уравнений, описывающую изменение численности двух взаимодействующих популяций
J y„+i=ax„(l-x„)
Здесь xn - численность одного вида, а уп - другого в «-ом году. Заметим, что относительная численность в п +1 году популяции уп+ї зависит от численности хп в п-ом году (0
Основной целью работы являлось изучить свойства модели отношения "хищник-хищник" на базе указанной выше системы и на базе некоторых других родственных систем итерационных уравнений. Данные свойства менялись под управлением двух параметров. В соответствии с поставленной целью задачами исследования являются:
Построение численной модели на основе компьютерной программы улавливающей такие явления как: устойчивость решений, число решений, появление циклов и хаотическое поведение.
Разработка аналитических методов исследования задачи управления возможными состояниями системы - характеризующиеся разным числом решений, в зависимости от размеров управляющих параметров как для случая а = р, так и для ранее неизвестного случая аФ J3.
Получить аналитическое описание и графическое изображение зон появления циклов в итерационной системе, зоны непредсказуемости и зоны хаоса, а так же поведения траекторий решений в случае произвольного изменения управляющих параметров.
Провести приближенный ренормгрупповой анализ системы.
Методы исследования. Для решения поставленных в диссертации задач использовались методы теории динамических систем, математического моделирования, теории систем и управления, геометрические методы
9 исследования алгебраических уравнений, методы теории функций действительной переменной и методы функционального анализа, методы вычислительной математики и программирования.
Научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты, впервые полученные в настоящей работе:
Разработаны аналитические методы исследования задачи управления возможными состояниями системы - характеризующиеся разным числом решений, в зависимости от размеров управляющих параметров для случая а = /?. Получена новая графическая иллюстрация расположения корней системы.
Получено описание зон появления циклов в итерационной системе, зон непредсказуемости и зоны хаоса для случая a*p. Дано графическое изображение указанных выше зон.
3. Получен пакет компьютерных программ, позволяющий проследить и
эволюцию решений в зависимости от значений управляющих параметров.
4. Проведено сравнение исходной системы с системой на базе
логистического уравнения и проведен приближенный ренормгрупповой анализ
системы.
Теоретическая и практическая значимость. В процессе диссертационных исследований получены следующие результаты, имеющие теоретическую значимость:
Описана аналитическими методами бифуркационная диаграмма двумерного отображения типа Ферхюльста - Пирла, обобщающая классические исследования. Диагональное сечение этого отображения содержит известное бифуркационное дерево Фегенбаума. Данную диаграмму можно иллюстрировать, как двумерный переход от устойчивости решений к хаосу.
На базе полученных исследований, усложняя модель в дальнейшем возможно моделирование антагонистических отношений социальных, экономических и др. сообществ с целью прогнозирования развития ситуации.
10 3. Получено графическое изображение двумерной модели Ферхюдьста — Пирла, которое можно использовать для практической демонстрации сценария перехода от неустойчивости к хаосу в качестве учебного пособия в курсах: "Теория катастроф", "Динамические системы", и др.
Реализация и внедрение результатов работы. Получен программный продукт, позволяющий демонстрировать двумерный сценарий перехода к хаосу ("фрактальная капуста"). Исследования внедрены в учебный процесс Воронежского госуниверситета в качестве спецкурса на 5-ом курсе на кафедре теории функций и геометрии. (Акт внедрения от 2004 г.)
Личный вклад автора в диссертационную работу. Диссертационные
исследования проводились автором на кафедре теории функций и геометрии
Воронежского госуниверситета под руководством доктора физико-
математических наук, профессора Родина В.А. Большая часть результатов
получена автором самостоятельно, что подтверждается единоличными
публикациями. Полностью самостоятельно выполнены все алгоритмы.
Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались, обсуждались и получили положительные оценки на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу (Лиманчик РГУ, 2002г. 2004г.); международной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" ВГУ, Воронеж, 2003г.2005г.; научно-практических конференциях ВИ МВД России (2002-2004); научном семинаре ВГУ по теории функций и функциональному анализу; на кафедре Т.и П.М.Д. ВИ МВД России (2002-2005).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах. В том числе 9 статей в журналах и сборниках, из них 3 в списках ВАКА, - 3 в сборниках тезисов докладов.
Структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 118 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 90 наименований, приложений 1-4 с графическими иллюстрациями, приложения 5 с текстами программ и 6 — с документами о внедрении результатов исследований.
В заключение автор выражает благодарность научному руководителю и заведующему кафедрой теории функций и геометрии ВГУ профессору Семенову Е.М. за поддержку в работе.
Элементы общей теории систем и управления
Основой методов моделирования поведения сообществ и популяций является в частности общая теория систем. Существует несколько определений (математических, философских и др.) сложных динамических систем [1] - [2]. Отметим основные черты и свойства, существенные для практического приложения при изучении динамики развития популяций. Система характеризуется наличием элементов, находящихся во взаимной связи и образующих единое целое. Воздействие на систему называют входом, воздействие системы на среду называют выходом. Часто воздействие осуществляется прямым изменением параметров системы, управлением через изменение параметров. В настоящей работе в основном исследуется именно такое изменение, служащее для вскрытия внутренних свойств множества решений системы разностных уравнений определенного вида. При построении модели довольно условными являются следующие действия: определение границ действия системы, выделение главных и второстепенных связей, временные рамки и т.д. Если и время, и состояние модели изменяется непрерывно, выражаются действительными числами, то назовем такую модель непрерывно — непрерывной. Для таких моделей применяются различные системы дифференциальных уравнений. Одна из таких систем описывающая сосуществование двух конкурирующих видов для примера будет рассмотрена в главе 1. Если время дискретно (например, принимает только целые значения) а состояние модели изменяется непрерывно, то назовем такую модель дискретно — непрерывной. Если и время, и состояние модели изменяется дискретно, то назовем такую модель дискретно - дискретной. Если предыдущее состояние системы однозначно определяет последующее состояние, то система и модель называется детерминируемой. В нашей работе рассматриваются только детерминируемые системы дискретно - дискретного типа. Приведем теперь некоторые сведения из общей теории систем, отмечая в ней лишь те пункты, которые получат развитие и конкретизацию в главах 2-4. В этих главах смоделирована конкретная целевая модель, на основе которой изучена эволюция двумерной картины перехода от неустойчивости и появлению циклов до хаотических явлений с их тонкой структурой (гл. 3-4).
Теория систем представляет собой научную дисциплину, которая изучает различные явления, отвлекаясь от их конкретной природы, и основывается лишь на формальных взаимосвязях между различными составляющими их факторами и на характере их изменений под влиянием внешних условий. При этом результаты всех наблюдений объясняются лишь взаимодействием их компонент, например характером их организации и функционирования, а не с помощью непосредственного обращения к природе вовлеченных в явление механизмов (будь они физическими, биологическими, социологическими или чисто концептуальными). Для теории систем объектом исследования является не «физическая реальность», не, скажем, химическое или социальное явление, а «система», т. е. Формальная взаимосвязь между наблюдаемыми признаками и свойствами. В силу ряда принципиальных соображений язык, используемый для описания поведения систем - это язык теории обработки информации и теории целенаправленного действия (принятия решений, управления).
Общая теория систем интересуется самыми фундаментальными понятиями и аспектами систем. Многие теории, посвященные системам более конкретного типа (например, динамическим системам, автоматам, системам управления, теоретико-игровыми системами и т. д.), развиваются уже довольно длительное время. Общая же теория систем занимается основными вопросами, общими для всех этих более специальных дисциплин. Кроме того, для действительно сложных явлений — а к этой категории относится большинство явлений, изучаемых в социологии и биологии, - специфический язык, используемый классическими теориями (которые образуются на таких конкретных математических структурах, как дифференциальные или разностные уравнения, арифметические или абстрактные алгебры и т. п.), не позволяет адекватным и надлежащим образом описать происходящее в реальности. И либо из-за подобного несоответствия между характером событий и имеющимися возможностями описания, либо просто из-за недостатка сведений многие действительно сложные проблемы можно сформулировать лишь в самых общих терминах, имеющих качественный, а весьма часто и просто лингвистический характер. Поэтому другая цель общей теории систем состоит в том, чтобы описать и объяснить подобные сложные явления. При этом предполагают, что и для той, и для другой цели может служить одна и та же теория. Более того, чтобы она смогла справиться со всем этим, она заведомо должна быть простой, элегантной, общей и строгой (исключающей всякую возможность разночтения). Вот почему обычно выбирают чисто математический и предельно общий подход со следующими характеристиками: (I) Здесь излагается математическая теория общих систем, причём все основные понятия вводятся аксиоматически и все свойства систем и их поведения исследуется самым строгим образом. (II) Наша теория в равной степени относится и к описанию систем, основанному на предположении о целенаправленности их поведения (и использующему понятия принятия решений и управления), и к их феноменологическому описанию, фиксирующему характер (причинно следственных) преобразований входных воздействий и входные величины. Например, с самых первых шагов этой теории одной из основных её конечных целей мы считали достижение возможности изучения иерархических, многоуровневых систем принятия решений.
Ренормгрупповой анализ при а = р
В 1968 году благодаря Аристиду Линденмайеру появилось понятие L- систем. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и ковер Серпинского [66].
Определение 2.2. L- система состоит из алфавита - слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором, и набора порождающих правил, указывающих как следует преобразовать слово переходя от уровня к уровню. Теория ренормализации или подобие с изменением масштаба.
В главе 1 подробно описан классический сценарий появления сложного фрактала, связанного с итерацией квадратичного полинома. Прежде чем проследить возможность ренормгруппового анализа в двумерной модели напомним некоторые моменты развития и становления этой сложной и до конца не изученной области математики.
Не затрагивая общую теорию бифуркаций, рассмотрим бифуркацию удвоения периода. Сама процедура универсального масштабирования возникшая в физике (перенормируемые теории) в теории обработки сигналов (теория онделетт, вейвлетт), позволяет выяснить, когда самоподобие и бифуркация удвоения периода появляется бесконечными каскадами в простых семействах отображений [10], [67].
Сценарий Фейгенбаума. В отображении хп+\ =/(хп)=Лхп(\-хп), где и х„є[о,і], Яє[о,4] при увеличении параметра Л устойчивая неподвижная точка теряет устойчивость и порождает устойчивою орбиту периода два, которая тоже теряет устойчивость по мере роста параметра и порождает устойчивую орбиту периода четыре и т.д. М.В.Якобсон [68] впервые доказал существование таких каскадов в простом аналитическом семействе. Фейгенбаум (на микрокалькуляторе!) обнаружил подобия с изменением масштаба, связанное с квадратичной функцией. Состояние теории ренормализации, опирающиеся на доказательства, полученные с помощью вычислений на ЭВМ, подробно описано в обзоре [69]. Хорошее описание сценария Фейгенбаума для одного квадратичного семейства содержится в работе Каданова [70]. Мини-исследования по логистическому отображению с помощью математического пакета Maple [71] применялись в диссертации не только для получения известной диаграммы дерева Фейгенбаума но и в двумерном случае, изменив промежуточные команды в программе.
Одно из глубочайших достижений в построении фракталов - система итерированных функций. Математические аспекты по-видимому были разработаны Джоном Хадчисоном [72], а метод доступно описан в работе [73]. Собственно математическая теория ренормализации со строгими доказательствами оформились по-видимому после появления статей А. Дуади и Дж. Хаббарда и Д. Сулливана [74]. Эти работы достаточно сложные и служили автору диссертации только как одобряющий момент, не являясь примером для возможных обобщений. Современное состояние очень сложно описано в книгах Кертиса Мак Мюллена [75], [74]. Определение 2.3. Ренормализация представляет собой поиск локальной (возможно приближенной) полиномиальной модели динамики. При этом определяются не только константы масштабирования при поэтапном применении модели а и закономерность (зависимость) между этими константами.
Аналитически фрактал решений уравнения с базовой функцией xn+i =/() описывается уравнением ренормогруппы [10] в виде
Эволюция корней системы при а = р
В работе моделируется ситуация совместного существования двух антагонистических популяций частично или полностью восстанавливающих свою численность за счет уничтожения противоположного вида. В качестве уравнения описывающего "собственную жизнь одной популяции" (изменения численности во времени в зависимости от значения управляющего параметра) в основном (гл. 2-4) выбрано классическое разностное уравнение Ферхюльста — Пирла, или эквивалентное по поведению логистическое уравнение. Система таких двух уравнений, в которой выходные данные первого уравнения являются входными (начальными) для второго, дает двупараметрическую картину (параметры в разных уравнениях разные), впервые подробно изученную в данной диссертационной работе.
Опираясь на многочисленные диаграммы Ламерея, полученные с помощью использования стандартных программ и индивидуального программирования, рассматривающие одновременно две параболы (это тоже впервые применено в диссертации, все известные автору работы содержат биссектрису первого координатного угла и кривую линию - график определенного полинома, как правило параболу) позволили в работе применить "симметричные" аналитические и геометрические соображения и, как следствие, впервые получить трехмерное графическое изображение эволюции перехода через удвоение к хаосу ("фрактальная капуста").
Актуальность и ценность полученных результатов подтверждается тем фактом, что в сечении, при равенстве управляющих параметров а =(5 получено известное классическое дерево Фейгенбаума со сдвигом на одно бифуркационное число. Изменяя соотношения между управляющими параметрами в работе не только получены известные факты о переходе через удвоение периода к непредсказуемому поведению "траектории решения", но и получено численным моделированием и изучено аналитически новое явление, контролирующее перескакивание "траектории решения" от одного аттрактора к другому, расположенному по другую сторону от биссектрисы первого координатного угла.
Работа показала, что в зависимости от значения управляющих параметров "траектории решений" могут иметь от одной точки сходимости (0,о) (эффект вырождения) до четырех (из них три невырожденных (Х],Х2) И Xi 0, х2 0). При этом каждая из невырожденных точек может не быть точкой сходимости а иметь "вокруг себя" некоторый аттрактор (в простейшем случае это прямоугольник с центром в этой точке). Этот прямоугольник является предельным множеством для траектории. Впервые обнаружена и аналитически доказана возможность случайного переброса траектории от одного такого прямоугольника к другому.
Результаты диссертационной работы опубликованы в 12 работах. Пункт 2.1 второй главы, в котором содержится численное моделирование, позволившее сделать различные гипотезы, был выполнен автором самостоятельно и являлся первой нитью в исследовании. Моделирование, основанное на самостоятельном применении диаграмм Ламерея, содержащих две параболы выполнено в работах ранее и затем внедрено в исследования диссертации. Аналитическое вычисление момента переброса траектории с одного аттрактора на другой приведено в работе для полноты и последовательности изложения. Модель частичного использования ресурсов антагонистической популяции и все выводы о возможности нетривиального сосуществования полностью получены и опубликованы [35] автором самостоятельно. В этой главе для управляющих параметров системы определенного вида найдено множество, гарантирующее устойчивое ненулевое решение системы. Глава 1 необходима для определения места положения исследований, проведенных в диссертации. В главе 2 получено новое оригинальное представление (в виде эллипса) о множестве точек, которое может содержать неподвижные точки системы при равенстве управляющих параметров. В четвертой главе в отличие от классического ренормгруппового анализа (см. например работы [20] - [22], [85]), этот анализ проведен сразу для системы, а не путем сведения к одному уравнению со сложным параметром. Однако точность приближенного анализа в системе получилась не высокой, что скорее говорит о не совершенстве этого метода.
После учета замечаний рецензентов на работы [29] - [34] автор ознакомился с работами [85] - [87]. Бесспорно результаты исследований проведенных в диссертации имеют связь с классической теорией катастроф и синергетикой (см. работы [86] - [90]), но автор в диссертационной работе изучал установленные явления с позиций динамических итерационных систем и теории управления моделями.
Работа проходила под руководством профессора Родина В.А. (кафедра теории функций и геометрии ВГУ). Результаты, подтверждающие возможность не вырождающегося со временем, совместного сосуществования двух антагонистических популяций очень актуальны в современной действительности.
Исследование зоны четырех корней
Наиболее интересной особенностью логистического уравнения у = \-Лх2 является недавно обнаруженная связь динамики размножения его решений с самоподобными множествами дробной размерности, называемых фракталами. Термин фрактал был впервые введен в 1975 году Бенуф Мандельбротом, пионером в области фрактальной геометрии [61], [62]. В настоящее время множество определений связанных с самоподобными "объектами" значительно расширилось (см. напр. [63] - [65]), что говорит о том, что понятие фрактала еще находится в развитии. Приведем только некоторые определения. Классические фракталы. В 1968 году благодаря Аристиду Линденмайеру появилось понятие L- систем. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и ковер Серпинского [66].
Определение 2.2. L- система состоит из алфавита - слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором, и набора порождающих правил, указывающих как следует преобразовать слово переходя от уровня к уровню. Теория ренормализации или подобие с изменением масштаба.
В главе 1 подробно описан классический сценарий появления сложного фрактала, связанного с итерацией квадратичного полинома. Прежде чем проследить возможность ренормгруппового анализа в двумерной модели напомним некоторые моменты развития и становления этой сложной и до конца не изученной области математики.
Не затрагивая общую теорию бифуркаций, рассмотрим бифуркацию удвоения периода. Сама процедура универсального масштабирования возникшая в физике (перенормируемые теории) в теории обработки сигналов (теория онделетт, вейвлетт), позволяет выяснить, когда самоподобие и бифуркация удвоения периода появляется бесконечными каскадами в простых семействах отображений [10], [67].
Сценарий Фейгенбаума. В отображении хп+\ =/(хп)=Лхп(\-хп), где и х„є[о,і], Яє[о,4] при увеличении параметра Л устойчивая неподвижная точка теряет устойчивость и порождает устойчивою орбиту периода два, которая тоже теряет устойчивость по мере роста параметра и порождает устойчивую орбиту периода четыре и т.д. М.В.Якобсон [68] впервые доказал существование таких каскадов в простом аналитическом семействе. Фейгенбаум (на микрокалькуляторе!) обнаружил подобия с изменением масштаба, связанное с квадратичной функцией. Состояние теории ренормализации, опирающиеся на доказательства, полученные с помощью вычислений на ЭВМ, подробно описано в обзоре [69]. Хорошее описание сценария Фейгенбаума для одного квадратичного семейства содержится в работе Каданова [70]. Мини-исследования по логистическому отображению с помощью математического пакета Maple [71] применялись в диссертации не только для получения известной диаграммы дерева Фейгенбаума но и в двумерном случае, изменив промежуточные команды в программе.
Одно из глубочайших достижений в построении фракталов - система итерированных функций. Математические аспекты по-видимому были разработаны Джоном Хадчисоном [72], а метод доступно описан в работе [73].
Собственно математическая теория ренормализации со строгими доказательствами оформились по-видимому после появления статей А. Дуади и Дж. Хаббарда и Д. Сулливана [74]. Эти работы достаточно сложные и служили автору диссертации только как одобряющий момент, не являясь примером для возможных обобщений. Современное состояние очень сложно описано в книгах Кертиса Мак Мюллена [75], [74].
Определение 2.3. Ренормализация представляет собой поиск локальной (возможно приближенной) полиномиальной модели динамики. При этом определяются не только константы масштабирования при поэтапном применении модели а и закономерность (зависимость) между этими константами.
![Анализ, моделирование и алгоритмизация процесса диагностики вертебрально-базилярной недостаточности на основе инструментальных методов исследования [Электронный ресурс]](/i/i/4465/168237.png "Анализ, моделирование и алгоритмизация процесса диагностики вертебрально-базилярной недостаточности на основе инструментальных методов исследования [Электронный ресурс] Кривцова Людмила Ивановна")
