Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Краевые задачи теории цилиндрических оболочек и методы решения задач теории оболочек 17
1.1 Теория цилиндрических оболочек 17
1.2 Теория цилиндрических оболочек с упругим заполнителем 25
1.3 Методы решения задач теории оболочек 29
Глава 2. Аналитические решения теории цилиндрических оболочек при действии осесимметричнои нагрузки на основе использования операционного исчисления, связанного с преобразованием лапласа 35
2.1 Построение аналитических решений для цилиндрической оболочки с различными краевыми условиями 35
2.2 Аналитические решения для цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругой средой (модель Винклера) 64
2.3 Аналитические решения для исследования напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругой средой (модель Власова) 85
Выводы 115
Глава 3. Аналитические решения по приближенной теории и по технической теории цилиндрических оболочек власова 117
3.1. Построение аналитических решений для цилиндрической оболочки при действии неравномерных нагрузок по приближенной теории оболочек 117
3.2. Аналитические решения для цилиндрической оболочки по технической теории оболочек Власова 141
3.3. Цилиндрическая оболочка, взаимодействующая с упругой средой (м од ел ь В и и кл ера) 174
3.4. Построение аналитических решений для цилиндрической обо лочки, взаимодействующей с упругой средой (модель Власова с двумя упругими характеристиками) 201
Выводы 230
Глава 4. Расчет замкнутой цилиндрической оболочки при действии неоднородных нагрузок 232
4.1. Замкнутая цилиндрическая оболочка при действии локальной на грузки 232
4.2 Замкнутая цилиндрическая оболочка при действии полосовой на грузки 250
4.3. Замкнутая цилиндрическая оболочка при действии радиальной нагрузки, сосредоточенной вдоль образующей 256
4.4. Замкнутая цилиндрическая оболочка при действии радиальной нагрузки, сосредоточенной в кольцевом направлении 263
4.5 Замкнутая цилиндрическая оболочка при действии сосредоточенной нагрузки 278
4.6. Замкнутая цилиндрическая оболочка, частично наполненная жидкостью 285
4.7 Замкнутая цилиндрическая оболочка со ступенчато-переменной толщиной стенки 290
4.8. Замкнутая цилиндрическая оболочка при совместном действии осесимметричных радиальных и осевых нагрузок 296
Выводы 299
Глава 5. Расчет пространственных систем, состоящих из ряда связанных между собой замкнутых цилиндрических оболочек 301
5.1. Метод расчета тонкостенных пространственных систем, состоящих из ряда связанных между собой замкнутых цилиндрических оболочек 301
5.2. Пространственная система, состоящая из двух замкнутых цилиндрических оболочек 306
5.3. Пространственная система, состоящая из трех замкнутых цилиндрических оболочек 326
Выводы 337
Основные результаты и выводы 339
Литература 341
- Теория цилиндрических оболочек с упругим заполнителем
- Аналитические решения для цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругой средой (модель Винклера)
- Аналитические решения для цилиндрической оболочки по технической теории оболочек Власова
- Замкнутая цилиндрическая оболочка при действии радиальной нагрузки, сосредоточенной вдоль образующей
Теория цилиндрических оболочек с упругим заполнителем
В настоящее время в литературе используется значительное число вариантов уравнений теории цилиндрических оболочек, построенных на основе гипотез Кирхгофа-Лява и отличающихся друг от друга второстепенными членами. Прежде всего, следует указать уравнения общей моментной теории цилиндрических оболочек, полученные рядом авторов [19, 28, 84, 99, 130]. Уравнения общей теории цилиндрических оболочек носят общий характер. На их основе можно определять напряженно-деформированное состояние оболочек при действии произвольной поверхностной нагрузки. Однако такие расчеты весьма трудоемки. Поэтому для практических расчетов существует целый ряд упрощенных вариантов теорий оболочек, каждая из которых позволяет решать определенный класс задач.
Для решения многих задач прочности и устойчивости оболочек получили распространение уравнения моментной технической теории тонких оболочек в форме В.З. Власова [19] или Л. Доннелла [51].
Вопрос о погрешности решения при использовании уравнений моментной технической теории оболочек рассматривался В.З. Власовым [19], А.Л. Гольденвейзером [28], И.С. Цурковым [148], N.J.Hoff [211], J. Kempner [213] и другими авторами при рассмотрении конкретных задач [92, 97,141, 142, 154]. В них отмечается, что уравнения этой теории могут дать приемлемые результаты, если иметь дело с не слишком длинной оболочкой.
В данной работе для построения аналитических решений будем использовать уравнения моментной технической теории оболочек в форме В.З. Власова [19]. Уравнения равновесия в усилиях и моментах для круговой цилиндрической оболочки имеют вид:
Положение какой-либо точки на поверхности оболочки определяется безразмерными координатами аир, причем а характеризует положение точки вдоль образующей, ар- вдоль дуги поперечного сечения, так что произведение a R есть расстояние до какой-либо точки по образующей оболочки, PR - расстояние по дуге относительно каких-то фиксированных сечений. Положительные направления и=и(а,р), и = и(а,р), w = w(a,p) перемещений точки срединной поверхности оболочки и положительные направления заданных поверхностных сил X, Y, Z показаны на рис. 1.3. г, Eh где D = —г - цилиндрическая жесткость; да да6др2 да4др4 да2др6 др Уравнение (1.5) представляет собой основное разрешающее уравнение для цилиндрической круговой оболочки. Это уравнение эквивалентно всем статическим, геометрическим и физическим уравнениям цилиндрической оболочки. Таким образом, проблема расчета на прочность цилиндрической круговой оболочки приводится либо к определению по дифференциальному уравнению (1.5) основной функции Ф = Ф(а,р) и затем к определению по формулам (1.4) всех трех перемещений u(a,p),v(a,p),w(a,p), либо к решению системы дифференциальных уравнений (1.3). Зная функции u,u,w, мы можем по формулам (1.2) определить все усилия и моменты. Формулы для внутренних сил оболочки, выраженные через функцию Ф= Ф(а,Р), имеют вид: При интегрировании уравнений (1.3), (1.5) следует иметь в виду, что для замкнутой оболочки должны быть выполнены по четыре граничных условия на каждом из двух поперечных краев, выполнены восемь условий периодичности, заключающихся в требовании, чтобы усилия, моменты, перемещения и углы поворота на продольных сечениях возвращались к своим первоначальным значениям после обхода поперечного контура.
В зависимости от характера задачи граничные условия для оболочки на каком-либо ее крае могут быть заданы либо в силах (чисто статические условия), либо в перемещениях (чисто геометрические условия), либо, наконец, частью в силах, и частью в перемещениях (условия смешанного типа).
Если оболочка на каком-либо краю имеет в каждой точке шарнирно-подвижное закрепление, то есть такое, при котором на краю обращаются в нуль нормальные силы, моменты, нормальное перемещение (прогиб) и тангенциальное перемещение, то при таком способе закрепления граничные условия будут иметь вид:
Шарнирно-свободный в нормальном направлении край загружен моментом и поперечной силой: Ql=Qi, М, =М, и=о = 0. (1.14) Приведенными вариантами записи условий на контуре (1.8)-(1.14) не исчерпывается все возможное их многообразие. Возможно наложение на стороны контура различного рода упругих связей. В этих случаях удовлетворение граничных условий сводится к решению своеобразных контактных задач.
При действии на замкнутую круговую цилиндрическую оболочку радиальной нагрузки q = q(a), распределенной на какой-либо окружности а = const равномерно (случай осесимметричной задачи), основная функция F будет также зависеть только от одной переменной а.
Уравнение (1.5) в этом случае переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение по переменной а: Широкое применение в инженерной практике нашли уравнения полубезмоментной теории оболочек. Простым вариантом теории оболочек является разработанная В.З. Власовым полубезмоментная теория оболочек [19, 20]. При несколько другом подходе к упрощению уравнений А.Л. Гольденвейзером получен еще один из вариантов полубезмоментной теории [28]. Сравнения результатов решений на основе полубезмоментной теории оболочек с данными, полученными на основе точных уравнений общей теории оболочек, уравнений В.З. Власова, Л. Доннелла [59, 92, 141, 142, 154] и с результатами экспериментов [20, 92, 154] показывают, что уравнения полубезмоментной теории оболочек достаточно точно описывают деформированное состояние оболочек в широком диапазоне изменения параметров оболочки и нагружения области.
Аналитические решения для цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругой средой (модель Винклера)
Высокий порядок разрешающих уравнений теории оболочек служит естественным тормозом на пути решения многих задач. Математика до сих пор не располагает методами решения в замкнутой форме сложных дифференциальных уравнений высокого порядка в частных производных, необходимыми конструктору для использования огромных возможностей, заложенных в тонкостенных сооружениях. Поэтому при решении более и менее сложных задач теории оболочек используют обычно приближенные методы.
Одним из наиболее универсальных и приближенных методов решения задач теории оболочек и пластин является метод тригонометрических рядов (одинарных и двойных). Метод двойных тригонометрических рядов позволяет получить решение, удовлетворяющее условиям свободного опирання оболочки на торцах. Такое решение записывается в компактном виде даже при использовании полных уравнений теории оболочек.
Распределенные нагрузки обычно не вызывают серьезных трудностей при определении усилий и перемещений в тонкостенных конструкциях. Анализ таких задач с помощью рядов Фурье обычно приводит к решению в виде быстро сходящихся рядов. Чтобы получить достаточную точность результатов, необходимо удержать лишь небольшое число членов ряда. Наоборот, расчет оболочек под действием сосредоточенных нагрузок встречает серьезные трудности при вычислении усилий. Чтобы определить усилия в окрестности точки приложения нагрузки, приходится удерживать большое число членов ряда, что повышает трудоемкость вычислений, не обеспечивая достаточной точности результатов. Поэтому в случае сосредоточенных нагрузок решений в виде рядов следует избегать. Здесь желательны решения в замкнутой форме [83].
Методы, использующие разложения в тригонометрические ряды, изложены в монографиях [19,28,130].
Одним из наиболее эффективных методов решения дифференциальных уравнений четвертого порядка является разработанный академиком А.Н. Крыловым [78] метод начальных параметров, примененный им к расчету балок на упругом основании и развитый А.А. Уманским [138]. Этот метод обладает исключительной наглядностью и приводит, например, при решении уравнений четвертого порядка к определению только двух произвольных постоянных независимо от закона изменения внешней нагрузки. Он получил дальнейшее применение и развитие к расчету ортотропных оболочек и тонкостенных пространственных систем в работах Власова В.З. [19, 20], Теренина Б.М. [129].
Некоторые задачи теории оболочек решены с помощью аналитических методов, во многих случаях с привлечением специальных функций (дельта-функции, функции Грина, гамма-функции, функции Хевисайда, интеграла Фурье), интегральных преобразований и т.д. Примеры подобных задач можно найти во многих источниках, приведенных в настоящей работе, а также в более поздних изданиях [41, 197].
Стремление использовать аналитические методы является вполне естественным, если учесть, что с их помощью могут быть получены вполне обозримые результаты. Интерпретация этих результатов позволяет выяснить, какие из параметров задачи имеют наибольшее значение, и, в связи с этим, дает возможность сделать выводы, важные с точки зрения проектирования и эксплуатации конструкций и сооружений [24].
Однако круг задач теории оболочек, решение которых может быть получено аналитическими методами, весьма ограничен.
Этим объясняется широкое применение в теории оболочек прямых методов математической физики, с помощью которых задача сводится к решению линейных или нелинейных алгебраических уравнений.
Сюда относятся вариационные методы: методы Бубнова-Галеркина, Ритца, Власова, Папковича и др. С помощью этих методов получены практически важные результаты и которые являются основными при решении конкретных задач, несмотря на присущие им недостатки.
Вопросу сходимости решений, полученных по методу Бубнова-Галеркина и Ритца, посвящено много работ. В них показано, что с увеличением числа аппроксимирующих функций приближенные решения сходятся к точному решению. Однако с увеличением числа аппроксимирующих функций прямые методы теряют свое основное преимущество простоту и в этом случае мало, чем отличаются от численных методов или метода последовательных приближений.
Другое направление состоит в применении методов, сводящих исходное дифференциальное уравнение в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению (метод Власова-Канторовича и др.).
Широкое распространение в настоящее время получили многие численные методы решения задач теории оболочек. Их развитие связано с совершенствованием современной вычислительной техники, что открывает большие возможности в решении сложнейших задач механики деформируемого твердого тела.
Среди численных методов расчета оболочек выделяется основная группа - метод конечных элементов, метод конечных разностей и метод граничных элементов.
Весьма близким к методу конечных элементов является так называемый метод «сплайнов».
Метод конечных элементов для сложных конструкций приобрел видоизмененную форму метода суперэлементов.
Число публикаций по применению численных методов по расчету оболочек настолько большое, что нет возможности дать хотя бы краткий обзор. К числу таких публикаций относятся обзорный доклад Д.В. Вайнберга [17], обзорные статьи Я.М. Григоренко [35, 36].
В области экстремальных параметров, т.е. именно там, где применение численных методов связано с преодолением чрезвычайных трудностей, хорошо работают асимптотические методы [2, 8, 9, 28, 87].
Характерной особенностью настоящей работы является построение точных аналитических решений с использованием в качестве основного математического аппарата операционного исчисления, связанного с преобразованием Лапласа [10, 48-50].
Аналитические решения для цилиндрической оболочки по технической теории оболочек Власова
В этой главе получены аналитические выражения для определения радиального перемещения, усилий и моментов в оболочке от различных радиальных осесимметирчных нагрузок. Расчет оболочек по этим формулам сводится к вычислению гиперболо-тригонометрических функций. При выполнении практических расчетов оболочек с использованием гиперболических функций при больших значениях аргументов появляется разность больших чисел. В этом случае в выражениях удобнее перейти от гиперболических функций к показательным [186].
На основе операционного исчисления, связанного с преобразованием Лапласа, и приемов строительной механики разработана методика расчета замкнутых цилиндрических оболочек.
Применение преобразования Лапласа при решении дифференциальных уравнений дало ряд преимуществ по сравнению с классическими методами. Этот метод обладает исключительной наглядностью, включает в себя все достоинства метода начальных параметров, но в отличие от метода начальных параметров является более общим. Начальные граничные условия выполняются автоматически. Поэтому вдвое сокращается определение произвольных постоянных. Частное решение уравнения также определяется автоматически практически для любого закона распределения нагрузки.
Полученные в работе решения могут быть использованы при рассмотрении осесимметричной деформации неравномерно нагретой по толщине и длине тонкостенной цилиндрической оболочки, находящейся под действием радиального давления и осевой силы [12, 115], при рассмотрении осесимметричной деформации круговой замкнутой цилиндрической оболочки в общем случае анизотропии [6, 164], при рассмотрении осесимметричной деформации конструктивно-ортотропной цилиндрической оболочки с постоянными параметрами по длине [16], при рассмотрении осесимметричной деформации слоистых пластиков [76], при рассмотрении неоднородной ортотропной круговой цилиндрической оболочки, нагруженной всесторонним равномерным гидростатическим давлением [113], при расчете призматических оболочек [20].
Полученные в работе аналитические решения дифференциальных уравнений могут быть использованы при решении задач в других направлениях строительной механики. Они могут быть использованы при расчете балок на упругом (винклеровом) основании [78, 169], при рассмотрении продольно-поперечного изгиба стержней на упругом (винклеровом) основании [132, 170], при расчете балок на однослойном основании с двумя упругими характеристиками (модель Власова) [21, 174], при расчете пластинок, при расчете пластинок на упругом (винклеровом) основании, при расчете пластинок на однослойном основании с двумя упругими характеристиками (модель Власова) [21, 180] и т.д.
Метод, примененный в настоящей работе при решении исходных дифференциальных уравнений, позволяет найти решение обыкновенного дифференциального уравнения любого порядка, лишь бы были известны решения соответствующего характеристического уравнения.
Так, с использованием операционного исчисления, связанного с преобразованием Лапласа, кроме уже приведенных в диссертации дифференциальных уравнений, получены решения дифференциальных уравнений: - изогнутой оси балки постоянного сечения при действии различных нагрузок при разных вариантах граничных условий [168, 172]; - продольно-поперечного изгиба стержня постоянного сечения и постоянной по длине продольной силы при действии различных нагрузок при разных вариантах граничных условий; - продольно-поперечного изгиба стержня на упругом основании [170]; - изгиба стрежня с полукруглой осью, защемленного двумя концами и нагруженного перпендикулярно плоскости кривизны [171].
Уравнение (3.3) по своему виду совпадает с дифференциальным уравнением для обыкновенной замкнутой цилиндрической оболочки при действии осесимметричной нагрузки (1.17). Решения дифференциального уравнения (1.17) при действии различных осесимметричных нагрузок и разных вариантах граничных условий приведены в главе 2. Поэтому, используя результаты, приведенные в разделе 2.1, мы можем сразу записать искомые решения [163].
Замкнутая цилиндрическая оболочка при действии радиальной нагрузки, сосредоточенной вдоль образующей
Зная ф(а,0), не трудно определить интересующие нас перемещения, усилия и моменты (1.21) .
Полученное решение (3.24) позволяет определить перемещения, усилия и моменты, при произвольных размерах участка нагружения ах и при различном его положении по длине оболочки.
В случае, когда размер участка нагружения а =а , то есть, когда нагрузка действует по всей поверхности оболочки (рис.3.16), решение (3.24) значительно упрощается [160]. Рассмотрим отдельный силос, который представляет собой замкнутую цилиндрическую оболочку, под действием неравномерного горизонтального давления сыпучего материала, распределенного по поверхности силоса по закону [120] (рис.3.17): где р = —— гидравлический радиус сечения силоса ; / - коэффициент трения сыпучего о стену силоса; у - удельный вес сыпучего ; К = tg2U5- %); (р - угол естественного откоса (угол внутреннего трения); у - глубина от поверхности сыпучего до уровня, на котором определяется давление сыпучего; е — основание натурального логарифма.
Имея Ф{а,Р), по формулам (1.21) можно найти перемещения, усилия и моменты. Решения для других видов граничных условий приведены в приложении (формулы 31-98) и в работе [176].
Аналитические решения для цилиндрической оболочки по технической теории оболочек Власова
Для определения напряженно-деформированного состояния оболочек при действии произвольной нагрузки используем уравнения моментной технической теории оболочек Власова [19].
Рассмотрим замкнутую цилиндрическую оболочку под действием радиальной нагрузки Z = z(a,fi), распределенной по поверхности оболочки по закону [161,166] (рис.3.1): О, при 0 а т; где п- любой член натурального ряда. Примем, что оболочка на ограничивающих ее поперечных краях имеет шарнирно-неподвижные в плоскостях этих краев закрепления, то есть при а = 0 и а = а0: u = w = N1=Ml=0. (3.30)
В качестве исходного возьмем дифференциальное уравнение восьмого порядка (1.5), выраженное через основную разрешающую функцию Ф(а,0).
Функция Ф{а,р) должна быть определена так, чтобы: во-первых, при заданной нагрузке Z =z(a,p) удовлетворялось уравнение (1.5) и, во-вторых, по концам при а = 0 и а = а0 выполнялись принятые граничные условия (3.30). В работе [19] отмечается, что если на каком-либо конце оболочки функция равна нулю, то и все частные производные вдоль этого края по другому аргументу также будут равны нулю. Отсюда, определяя по формулам (1.4), (1.6) перемещения и внутренние силы оболочки через функцию Ф, мы можем граничные условия (3.30) записать в таком виде: при а = 0 и а = а0: Fn(a) представляет собой функцию, зависящую только от одной координаты а и от л. Индекс п в дальнейшем для сокращения записи будет опущен. Подставляя (3.32) в (1.5), получим для F(a) обыкновенное дифференциальное уравнение:
Переходим в выражении (3.36) от изображений к оригиналам. Формулы перехода получены диссертантом и приведены в приложении.
Произвольные постоянныеF (о), F "(о), Fv(о), F (о) находим из граничных условий при а = а0. Ввиду громоздкости все промежуточные операции не приводятся. Окончательно решение уравнения (1.5) имеет вид: R4 qcosnfi
Обращаем внимание на то, что единичные функции т]{а-т) и т]{а-т-ах) приняты только для сокращения записи выражений. Они указывают, с какого значения координаты а появляется в выражении данное слагаемое. Так, например, выражение (3.37) без принятых единичных функций записалось бы так: на участке 0 а т Выражение (3.37) для Ф(а,0) получено в общем виде. Оно позволяет рассчитать замкнутую цилиндрическую оболочку при различных геометрических размерах ее, при любом положении кольцевой радиальной нагрузки по длине оболочки и при различных размерах участка нагружения ах (см. рис.3.1).
Положив в выражении (3.37) т = 0 и а1=а0, получим решение для случая, когда нагрузка распределена по всей поверхности оболочки (рис.3.4):
Для определения Ф(а,р) в случае действия на оболочку нагрузки, сосредоточенной вдоль образующей и распределенной в кольцевом направлении по cos и/? (рис. 3.5), примем, что расстояние Rat (см. рис 3.1) бесконечно уменьшается и в то же время q увеличивается так, что произведение qRax становится конечным и равным р [131]. В пределе из выражения (3.37) получаем, таким образом, решение для оболочки, нагруженной р cos пр:
Рассмотрим замкнутую цилиндрическую оболочку под действием изгибающего момента M0cosnfi, сосредоточенного вдоль образующей и распределенного по cosnfi в кольцевом направлении (рис. 3.19).
Для определения Ф\а,Р) при действии рассматриваемой нагрузки используем решение (3.44). Сначала составляем выражения для Ф{а,р) при действии нагрузки р cos nf$ в двух разных сечениях по длине оболочки. Затем принимаем, что расстояние dR бесконечно уменьшается и в то же время р cos п/3 увеличивается так, что произведение pdRcosn/З становится конечным и равным М0 cosnfi [131]. В пределе получаем, таким образом, решение для оболочки, нагруженной изгибающим моментом М 0 cos п/3, сосредоточенным в каком-либо сечении по длине оболочки.
