Содержание к диссертации
Введение
1. Краткий обзор использования метода конечных элементов в расчетах оболочек 9
2. Основные соотношения теории тонких оболочек вращения 18
2.1. Геометрия оболочки вращения в исходном состоянии 18
2.2. Геометрия оболочки вращения в деформированном состоянии 22
2.2.1. Перемещение точки срединной поверхности 22
2.2.2. Перемещение точки произвольного слоя оболочки 23
2.3. Деформации произвольного слоя оболочки и ее срединной поверхности 27
2.4. Соотношения между напряжениями и деформациями в пределах упругости 29
3. Расчет оболочек вращения с использованием треугольных конечных элементов при различных способах аппроксимации 33
3.1. Последовательность основных операций метода конечных элементов 33
3.2. Треугольный конечный элемент оболочки вращения 35
3.2.1. Геометрия элемента 35
3.2.2. Узловые неизвестные и выбор функций формы 37
3.2.3. Матрица жесткости треугольного конечного элемента размером 27x27 при использовании традиционной интерполяционной процедуры 44
3.2.4. Матрица жесткости треугольного конечного элемента с использованием векторной интерполяции перемещений 52
3.2.5. Матрица жесткости высокоточного конечного элемента с 18 степенями свободы в узле при использовании традиционного способа интерполяции перемещений 55
3.2.6. Матрица жесткой высокоточного конечного элемента при использовании векторного варианта интерполяции перемещений 63
4. Расчет оболочек вращения с использованием четырехугольных конечных элементов при различных способах аппроксимации перемещений 74
4.1. Четырехугольный конечный элемент с 36-ю степенями свободы при традиционном способе аппроксимации перемещений 78
4.2. Четырехугольный конечный элемент с 36-ю степенями свободы в узле при интерполяции вектора перемещения внутренней точки элемента через векторы узловых перемещений 83
4.3. Высокоточный четырехугольный конечный элемента с матрицей жесткости размером 72x72 92
4.3.1. Получение матрицы жесткости четырехугольного элемента размером 72x72 при интерполяции перемещений как независимых величин 92
4.3.2. Получение матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента размером 72x72 при использовании интерполяции векторов перемещений 95
5. Расчет произвольных оболочек 125
5.1. Геометрия произвольной оболочки в исходном состоянии 125
5.2. Геометрия произвольной оболочки в деформированном состоянии 129
5.3. Физические соотношения упругих непологих оболочек 132
5.4. Сравнительный анализ использования векторной аппроксимации в различных системах координат 137
Заключение 146
Литература 147
- Краткий обзор использования метода конечных элементов в расчетах оболочек
- Геометрия оболочки вращения в деформированном состоянии
- Треугольный конечный элемент оболочки вращения
- Четырехугольный конечный элемент с 36-ю степенями свободы в узле при интерполяции вектора перемещения внутренней точки элемента через векторы узловых перемещений
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Оболочки различных конфигураций являются широко распространенными элементами инженерных конструкций различного назначения, т.к. благодаря своей криволинейной форме позволяют в полной мере использовать прочностные свойства применяемого материала. В настоящее время они широко используются в строительстве,! машиностроении, авиации и космонавтике. Широко применяются оболочки при создании современных летательных аппаратов, надводных и подводных морских судов, сосудов и аппаратов химического машиностроения, ядерных энергетических установок, и возможности, заключающиеся в практическом использовании оболочек, еще далеко не исчерпаны.
В процессе эксплуатации оболочки могут испытывать силовые воздей
ствия от веса технологического оборудования, от давления соседних элемен
тов конструкций, а также от температурных градиентов. Наличие вырезов
различной формы, патрубков и кронштейнов приводит к тому, что в оболоч
ках возникают локальные зоны концентрации напряжений. Причем, возни
кающие локальные напряжения могут достигать значительных величин, и
поэтому требуется тщательное исследование напряженно —
деформированного состояния оболочек в целях выработки наиболее рациональных конструктивных решений.
Получение аналитических решений для определения напряжений и деформаций в зонах их концентрации не представляется возможным. Поэтому задача дальнейшего развития теории деформирования оболочек на основе современных численных методов расчета остается одной из самых актуальных проблем строительной механики и представляет несомненный практический интерес.
Цель работы заключается в сравнительном анализе эффективности использования в расчетах изотропных тонких оболочек конечных элементов четырехугольной и треугольной формы при различных способах аппроксимации перемещений внутренних точек конечных элементен в определении
і Р9С «мимомАльмліГі
| СЛштіЛт Q /,
условий эффективного использования исследуемых конечных элементов в практике инженерных расчетов.
Научная новизна заключается в следующем:
Выполнен сравнительный анализ эффективности использования в расчетах оболочек вращения конечных элементов треугольной и четырехугольной формы с различным числом узловых варьируемых параметров при различных способах аппроксимации перемещений.
Проведена сравнительная оценка конечно-элементных решений произвольных непологих оболочек при использовании элементов дискретизации четырехугольной и треугольной формы с различным числом степеней свободы в узле при произвольных нагружениях и конфигурации срединной поверхности.
Выполнен сравнительный анализ результатов конечно-элементных решений оболочек вращения при использовании дискретных элементов с векторной аппроксимацией перемещений в различных системах координат.
Достоверность результатов работы обеспечивается корректностью теории тонких оболочек на основе гипотезы прямых нормалей, сравнением полученных результатов с результатами, полученными другими авторами при различных постановках задач.
Практическая ценность заключается в разработке алгоритмов и программ формирования матриц жесткости конечных элементов оболочек вращения и произвольных оболочек для использования в практических инженерных расчетах.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии , на научном семинаре кафедры строительной механики и САПР Волгоградского архитектурно-строительного университета, под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ ,д.т.н., профессора ВАИгнатьева.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 8 научных статьях.
Реализация. Разработанные алгоритмы, реализующие теоретические результаты диссертационной работы, использованы в программном комплексе для персональных компьютеров класса Pentium по расчету на прочность нефтехимических сосудов и аппаратов в условиях термосиловых нагруже-ний, внедренном в Самарском филиале инженерно-технологического предприятия ОАО «Оргэнергонефть».
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы из121 наименования. Общий объем диссертации составляет 158 страниц и включает 20 таблиц и 18 рисунков.
Краткий обзор использования метода конечных элементов в расчетах оболочек
Системы дифференциальных уравнений, описывающие процесс деформирования тонких оболочек, [28, 65, 47, 37, 86] оказываются сложными, поэтому использование классических аналитических методов к их решению в практических случаях часто затруднительно, а большей частью и совсем невозможно. Необходимость определения напряженно-деформированного состояния в инженерных конструкциях из тонких оболочек привела к разработке приближенных методов решения дифференциальных уравнений [8, 45].
Поиск приближенных методов решения задач о напряженно-деформированном состоянии континуальных объектов привел к идее представления их в виде совокупности взаимодействующих между собой конечных элементов.
Методы дискретизации могут быть условно разбиты на 2 вида. Первый из них использован на использовании одномерных конечных элементов при исследовании объектов любой мерности. Одновременно, в связи с бурным развитием вычислительной техники, все шире используется второй тип дискретизации, в котором применяются конечные элементы той же мерности, что и сам объект. Несомненно, этот тип дискретизации открыл более глубокие перспективы в задачах анализа напряженно-деформированного состояния континуальных объектов, в частности оболочек.
Первыми успешными примерами применения дискретизации указанного типа явились решения двумерных задач теории упругости. Значительным вкладом следует считать расчеты Аргириса [90], Зинкевича [33] и Клафа [98], использовавших для дискретизации конструкций треугольные и прямоугольные элементы. Здесь впервые был введен термин «Конечные элементы».
Идея использования такого способа дискретизации была использована и в расчетах пластинок. Конечные элементы треугольной и четырехугольной формы стали широко использоваться при анализе напряженно- деформированного состояния пластин, подверженных деформациям изгиба [46, 54, 55, 56, 89, 91, 92,93,96, 98, 108, 127].
Одной из наиболее сложных областей применения метода конечных элементов является исследование напряженно-деформированного состояния тонких оболочек [26, 44, 31, 32, 34]. При изучении тонких пластин расчеты на мембранные и изгибные деформации рассматриваются как независимые друг от друга, в то время как в тонких оболочках из-за криволинейности срединной поверхности в исходном состоянии оба вида деформации становятся взаимосвязанными. Несмотря на эти трудности к настоящему времени выполнено много исследований поведения оболочек при представлении срединной поверхности системой плоских прямоугольных или треугольных элементов, в которых используются соотношения изгибаемой пластины вместе с соотношениями плоской задачи теории упругости [31, 117, 135].
Так, для реализации расчета тонких оболочек вращения в [26] использовался вариационный принцип Рейснера с использованием в качестве конечного элемента плоской треугольной пластинки, узловыми неизвестными, которой являются перемещения в вершинах треугольника и нормальные моменты в серединах каждой из сторон треугольного элемента.
Обоснованию возможности использования плоских конечных элементов к исследованию деформирования тонких оболочек посвящена и работа [31]. Элементами дискретизации при расчете произвольных и цилиндрических оболочек являются плоские треугольники и четырехугольники с узловыми неизвестными в виде перемещений и первой производной нормального смещения.
Четырехугольник неплоский элемент, составленный из четырех плоских треугольных элементов, использован в [135] к расчету пластин и цилиндрических оболочек при учете физической нелинейности материала.
В работе [102] использованы плоские конечные элементы треугольной и четырехугольной формы в смешенной формулировке использованы для анализа тонких оболочек при упруго-пластическом состоянии материала с учетом геометрической нелинейности. В [82] для анализа тонких оболочек с учетом физической и геометрической нелинейностей использованы треугольные и четырехугольные плоские конечные элементы в форме метода перемещений.
Несколько типов простых дискретных элементов с различными функциями формы анализировались в [34]. На примере расчета цилиндрической оболочки установлено, что использование плоских конечных элементов приводит к получению удовлетворительных по точности результатов. Увеличение порядка аппроксимирующих функций форм для перемещений приводит к уточнению результатов решения и к улучшению сходимости вычислительного процесса.
Анализ проведенных выше работ показывает, что представление расчетной схемы тонкой оболочки в виде совокупности плоских конечных элементов имеет существенные недостатки в виде медленной сходимости вычислительного процесса при наличии зон концентрации напряжений, а также в расчетах с учетом нелинейностей. Указанные недостатки явились причиной появления широкого ряда исследований напряженно-деформированного-состояния оболочек с использованием в качестве элементов дискретизации криволинейных фрагментов срединной поверхности рассматриваемой оболочки.
В [99] исследуется напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки с использованием конечного элемента в виде криволинейной полосы с 16 степенями свободы.
В расчетах [32] для расчета тонких оболочек вращения в линейной постановке использовался конечный элемент в виде фрагмента срединной поверхности, выделенного плоскостями, перпендикулярными оси вращения. В качестве узловых неизвестных принимались перемещения и угол поворота при осесимметричном нагружении и три перемещения в случае произвольного на-гружения. Аппроксимация перемещений по окружной координате выполнялась с использованием тригонометрических рядов.
Геометрия оболочки вращения в деформированном состоянии
Вектор перемещения v произвольной точки срединной поверхности оболочки в локальном базисе ах,а2,а может быть представлен выражением v = vlax + v1 аг + va, (2.11) где v ,v - тангенциальные компоненты вектора перемещения вдоль дуги меридиана и вдоль дуги кольца соответственно; v - перемещение вдоль нормали к срединной поверхности. Дифференцированием (2.11) по криволинейным координатам S и в можно получить производные вектора перемещения точки срединной поверхности оболочки v, \ax + txa2 +t{a ; v2 =t\ax +t2a2 +t2a , где величины t , ta представляют собой многочлены, содержащие компоненты вектора перемещения v и их производные Дифференцированием (2.12) можно получить выражения вторых производных вектора перемещения в виде где компоненты /L, ґа„ представляются многочленами, содержащими компоненты вектора перемещения v , их первые и вторые производные Положение произвольной точки М срединной поверхности оболочки до деформации определится радиусом-вектором R (рис.2.2). Точка М произвольного слоя оболочки, отстоящего на расстоянии , от срединной поверхности может быть представлена радиусом-вектором Ус в виде Ш где С, — координата, изменяющаяся в пределах толщины оболочки — . При действии заданной нагрузки в результате деформации оболочки точка М займет положение М , а точка М - положение М} (рис. 2.2). Положе- ния точек М и М в деформированном состоянии оболочки определяются радиусами-векторами R =R +v;R% =RC + V, (2.17) где V - вектор перемещения точки М произвольного слоя оболочки, от стоящего на расстоянии С, от срединной поверхности. На основании гипотезы Кирхгофа о прямолинейности и недеформируемости нормали к срединной поверхности оболочки в деформированном состоянии можно записать векторное равенство (рис. 2.2) V = v+c(a -a) (2.18) Векторы локального базиса, касательные к деформируемой срединной поверхности в точке М можно получить дифференцированием радиуса- вектора R (2.15) а\ = R\ + v,; а[ - R\ + v 2, (2.19) откуда, принимая во внимание (2.12), можно получить а! = а, (1 + tl)+ aJ л-a L; \ v ( \ (2-2) а\ = 3,/J + а2 (l + 2 )+ я 2- Орт нормали к деформированной срединной поверхности в точке М _ _» определится векторным произведением а =ахха21ахха2. (2.21) Принимая во внимание, что модуль вектора а2 = г, и пренебрегая квад- -» _ 26 J ратами многочленов ta и ta, векторное произведение, входящее в (2.21) можно представить в виде (2.22) а\ ха\ - «, ( rtl)+ а2 —- \ + а \r + rt\+ rt\) Модуль векторного произведения (2.22) равен — _ ах ха2 = r%Y+(t2y+S{\ + tl+t\)2}. (2.23) Пренебрегая квадратами многочленов ta и ta по сравнению с единицей и используя приближенное равенство л/1 + а « 1Л— (где а малая величина), из (2.23) можно получить — —. ах ха2 = r(l + tl+tl) (2.24) Подставляя (2.24) и (2.22) в (2.21), получим выражение нормали к де-формированной срединной поверхности в точке М в виде
Треугольный конечный элемент оболочки вращения
Для выполнения численного интегрирования по поверхности криволинейного треугольного элемента он отображается на прямоугольный треугольник с узлами i, j, к (рис. 3.1). Локальные координаты треугольника х и у изменяются в пределах 0 х,у 1. Связь между криволинейными координатами S, в и локальными координатами х, у определяется линейными соотношениями S=Sl(\-x-y)+SJ x+Sky; 0=61(\-х-уУв]х+вку, (3.1) где S ,0т, (т = i, j, к) - координаты узлов криволинейного конечного элемента в глобальной системе координат S, в . Производные координат S, в в локальной системе координат определяются дифференцированием (3.1) Решая систему (3.2) относительно координат х,у и дифференцируя их по криволинейным координатам S и в, можно получить производные локальных координат в глобальной системе Представление исследуемой конструкции совокупностью конечных элементов, связанных между собой в узловых точках, предполагает, что напряженно-деформированное состояние будет определяться через значения узловых величин. Общее число узловых величин дискретной модели оболочки определяет число степеней свободы всей исследуемой конструкции. Следовательно, выбор количества неизвестных в каждом узле элемента играет значительную роль в повышении точности решения. Для формирования матрицы жесткости и вектора узловых усилий конечного элемента необходимо получить функции формы, позволяющие выразить перемещения и их производные во внутренней точке дискретного элемента через выбранные узловые неизвестные. Получение функции формы является одним из наиболее важных этапов в процедуре МКЭ, так как от корректности этого выбора зависит быстрота сходимости приближенного решения метода к точному решению. При нахождении аппроксимирующих функций для обеспечения сходимости приближенного решения к точному при увеличении числа конечных элементов необходимо соблюдение следующих условий: функции перемещений должны удовлетворять условиям совместности деформаций соседних элементов, то есть перемещение точки, расположенной 38 на границе элемента, должно аппроксимироваться только через компоненты узлов этой границы; изменение размеров конечного элемента не должно оказывать влияние на его напряженно-деформированное состояние; перемещения узловых точек, соответствующие смещениям конечного элемента как твердого тела, не должны вызывать изменений в его напряженном состоянии. Если при получении функций формы условия 1, 2. 3 оказываются выполненными, то использование матрицы жесткости, полученной на их основе должно приводить к решению, стремящегося к точному с увеличением числа элементов дискретизации системы. Для аппроксимации полей перемещений внутренних точек треугольного конечного элемента через узловые неизвестные обычно используется двумерный полином в локальной системе координат h = kx + к2х + къу + к4х2 + к5ху + к6у2 + к7х3 +..., (3.6) количество членов которого зависит от числа степеней свободы выбранного элемента. Основная трудность при получении функций формы заключается в определении коэффициентов через компоненты вектора узловых неизвестных, так как число условий для определения коэффициентов к{ всегда меньше их числа в полном двумерном полиноме. Поэтому приходится привлекать те или иные недостающие условия. Обоснованием корректности дополнительных условий является сопоставление полученных на их основе приближенных решений с решениями других авторов или с точными решениями та м, где это возможно. Конечный элемент треугольной формы с размером матрицы жесткости 27x27 получается при выборе в качестве узловых неизвестных девяти величин - перемещений и их первых производных по криволинейным координатам. Для определения функций такого элемента используется двумерный полином 39 третьей степени, который в локальной системе координат имеет вид g = kx +к2х+к3у+к4х2 +к5ху+к6у2 + к7х3 +к%х2у+к9ху2 +к10у3, (3.6а) где кг,к2,...,к10 - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. Рассматриваемый конечный элемент имеет девять степеней свободы в узле и, следовательно, имеется девять условий для определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующего полинома. Для определения всех коэффициентов kt в (3.6а) необходимо привлекать дополнительное условие. В данной работе для определения коэффициентов аппроксимирующих полиномов в столбец узловых неизвестных в локальной системе координат добавлялась смешанная производная перемещения узла qxy (рис. 3.2). Столбец узловых неизвестных в локальной системе координат будет иметь вид ыо Перемещение внутренней точки элемента аппроксимируется через узловые неизвестные соотношением
Четырехугольный конечный элемент с 36-ю степенями свободы в узле при интерполяции вектора перемещения внутренней точки элемента через векторы узловых перемещений
Выбранная расчетная схема, при которой правый край оболочки (точка 4 на рис.4.2) остается свободным, позволяет сравнить полученное численное значение меридионального напряжения с точным, которое, по физическим соображениям, должно быть равным нулю.
Из таблицы №4.1 видно, что в первом варианте расчета даже при разбиении компенсатора на 120 элементов в меридиональном направлении контролируемое напряжение (последняя строка в таблице №1) остается весьма далеким от нулевого значения (ам= - 634,7 МПа). Во втором варианте расчета меридиональное напряжение на правом краю оболочки монотонно приближается к нулю с увеличением числа элементов дискретизации.
Четырехугольный конечный элемент с размером матрицы жесткости 72x72 был использован для расчета компенсатора, описанного в примере № 4.1. Расчеты также выполнялись в 2-х вариантах: в первом варианте в алгоритме формирования матрицы жесткости конечного элемента 72x72 была реализована аппроксимация перемещений как скалярных величин; во втором варианте использовалась векторная аппроксимация. Результаты расчетов представлены в таблице № 4.2, структура которой совпадает со структурой таблицы № 4.1. Анализ результатов расчета показывает, что в первом варианте расчета наблюдается медленная сходимость вычислительного процесса при значительном числе элементов дискретизации. Меридиональное напряжение на правом краю оболочки остается весьма далеким от нулевого значения (ам=59,0 Мпа) даже при разбиении компенсатора на 90 конечных элементов в меридиональном направлении.
Во втором варианте можно отметить быструю сходимость вычислительного процесса при существенно меньшем (по сравнению с первым вариантом) количестве конечных элементов.
Меридиональное напряжение на правом краю оболочки оказывается достаточно близким к нулю (ам=-0,9Мпа) при сравнительно малом числе элементов дискретизации (равным 24).
При увеличении частоты волн компенсатора в полтора раза (с=8 м; 0 х 24л" м), в первом варианте расчета (см.таблицу № 4.3) сходимость вычислительного процесса практически отсутствует, а меридиональное напряжение на правом краю компенсатора оказывается равным 748,6 Мпа (вместо о"м=0), даже при разбиении оболочки на 120 конечных элементов. Во втором же варианте расчета наблюдается быстрая сходимость вычислительного процесса, а ам в точке 4 весьма близко к нулю уже при числе элементов дискретизации, равном 36.
Основываясь на анализе представленного выше табличного материала можно сделать вывод о том, что использование аппроксимации перемещений как скалярных величин в алгоритмах формирования матриц жесткости четырехугольных конечных элементов при расчете оболочек с большими градиентами кривизны срединной поверхности оказывается весьма неэффективным даже при большом числе узловых варьируемых параметров дискретного элемента. Для корректного определения напряженно-деформированного состояния такого рода конструкций необходимо использование аппроксимации перемещений как векторных величин.
Пример 4.3. Была решена задача об определении напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки, загруженной двумя противоположно направленными силами (рис.4.2). Были приняты следующие исходные данные: Р=453,6 Н; v=0,3125; Е=7,38 х 106 МПа, г=12,58 см; h= 0,24 см; L=26,29 см.
В монографии [71] приводятся результаты решения такой задачи (табл.4.4), полученные зарубежными авторами при использовании цилиндрических четырехугольных конечных элементов с различными числами степеней свободы в узле. В таблице 4.5 приводятся результаты решения данной задачи при использовании конечных элементов, описанных в пунктах 3. и 4. Причем для треугольного конечного элемента с размером матрицы жесткости 27x27 представлены значения нормального перемещения, полученные с двумя различными функциями фермы. В первом варианте были использованы функции фермы пункта 3., а во втором варианте реализовывались функции формы О. Зенкевича [33].
