Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Краткий обзор и анализ работ, посвященных совершенствованию методов перерасчета и проектирования шарнирно-стержневых систем 8
1.1. Краткий обзор методов расчета шарнирно-стержневых систем 8
1.2. Актуальность проблемы рассматриваемой в данной работе 17
1.3. Выводы к главе
Глава 2. Статический анализ линейно - упругих шарнирно - стержневых систем при изменениях в расчетной схеме 20
2.1. Физическая модель конструкции. 20
2.2 Постановка задачи 22
2.3. Блок схема расчета 25
Глава 3. Математическая модель статического анализа линейно - упругих пространственных шарнирно - стержневых систем при изменениях в расчетной схеме 26
3.1. Формирование системы уравнений. 27
3.2 Решение системы линейных уравнений 41
3.3 Учет изменений в расчетной схеме конструкции 59
3.3.1. Добавление опорных связей 59
3.3.2. Удаление стержня 62
3.3.3. Добавление стержня к шарнирно стержневой системе 63
3.3.4. Кинематический анализ системы 66
3.3.5. Изменение значения внешней нагрузки 67
3.3.6 Учет изменения площади поперечного сечения стержней... 69
3.3.7. Учет односторонней работы связей 74
3.3.8. Разделение шарнирно-стержневой системы на две или более независимые конструкции 76
3.3.9. Соединение двух и более независимых конструкций в одну 78
3.4. Некоторые дополнения к расчету 81
3.5. Блок-схема статического анализа шарнирно-стержневых ферм 86
3.6. Блок-схема учета односторонней работы связей 88
3.7. Пример расчета шарнирно-стержневой системы методом конечных элементов с использованием жордановых исключений 90
Глава 4. Анализ предельного состояния шарнирно - стержневых систем 103
4.1. Блок-схема расчета шарнирно-стержневой фермы по предельному состоянию 115
4.2. Пример определения параметра предельной нагрузки и схемы разрушения фермы 117
Расчет структуры типа «Кисловодск» 127
Выводы и заключения 130
Список литературы 132
- Актуальность проблемы рассматриваемой в данной работе
- Добавление стержня к шарнирно стержневой системе
- Соединение двух и более независимых конструкций в одну
- Пример определения параметра предельной нагрузки и схемы разрушения фермы
Введение к работе
Фермы имеют широкое и разнообразное применение в инженерном деле. Так, плоские фермы применяют для перекрытия цехов производственных зданий, в качестве несущих конструкций для трубопроводов, в конструкциях мостов. Пространственные фермы применяются для устройства купольных и шатровых покрытий в разных общественных зданиях крупных размеров, таких как цирки, выставочные павильоны, фабрики и заводские корпуса, а также в мостах, кранах, газгольдерах и башнях.
В своей книге «Очерки по истории развития строительной механики» Берштейн С.А. [7] пишет, что поиски методов расчета ферм уложились в срок 15 лет: от первого метода, данного Журавским, до разработанных Максвеллом графического расчета статически определимых ферм и общей теории расчета статически неопределимых ферм.
Такую необычайную в строительной механике стремительность овладения новой областью, он объясняет в первую очередь тем, что разработка методов расчета ферм очень сильно запоздала по сравнению с практической потребностью.
В курсе Навье [87] (1833), в курсе Перси [90] (1834), и в других рассмотрена простейшая треугольная стропильная ферма, а для балочных ферм до второй половины 40-х годов не существовало никакого способа расчета.
Первые методы расчета ферм могли появиться только тогда, когда завершился переход науки на путь расчета по рабочему состоянию, т.е. не ранее 30-40-х годов XIX века. Нужно отметить, что многие методы расчета ферм, как статически определимых, так и статически неопределимых, были даны русскими инженерами.
Конструкции ферм непрерывно изменялись параллельно с успехами их расчета. Развитие строительной механики активно влияло на изменение самих ферм, а изменение этих схем в свою очередь побуждало к дальнейшему прогрессу строительной механики.
Главная цель создания какой-либо фермы заключается в придании сооружению изящной и рациональной формы.
Для того чтобы можно было выбрать или спроектировать наиболее рациональную в конструктивном отношении ферму, чтобы получить систему жесткую и геометрически неизменяемую, необходмо проводить многочисленные перерасчеты, связанные с оценкой напряженно деформированного состояния модифицированной расчетной схемы конструкции.
Модификация расчетной схемы фермы может быть произведена путем изменения площади поперечного сечения стержней, введения (удаления) стержней и опорных связей, изменения величины и положения нагрузки, разделение конструкции на несколько частей (декомпозиция) и соединение нескольких частей в одну конструкцию (синтез). Каждое из таких изменений отвечает той, или иной задаче.
Так, изменение площадей поперечного сечения стержней фермы имеет важное значение для решения оптимизационных задач, в случае, когда требуется получить ферму наименьшего веса или стоимости, а заданное очертание конструкции, расположение узлов и стержней не подлежит изменению.
Удаление (введение) стержней или опорных связей применяется в оптимизационных задачах, основанных на изменении топологии фермы, а так же для решения вопросов связанных с реконструкцией зданий и сооружений.
Актуальность проблемы рассматриваемой в данной работе
В данной работе ставится задача о разработке такой концепции реализации основной задачи строительной механики (определение внутренних усилий), с помощью которого можно было бы создать алгоритм, позволяющий учитывать изменения в расчетной схеме, минуя процесс формирования и решения новой системы линейных уравнений. Под изменениями в расчетной схеме подразумевается удаление и добавление стержней системы, удаление и добавление опор в узлы системы, изменение площади поперечного сечения стержней, изменение величины и положения нагрузки.
В дальнейшем под термином внутренние связи понимаются обобщенные связи, соответствующие внутренним усилиям, а под термином внешние связи - опорные связи. Хотя в категорию внешних связей могут быть включены и связи, соответствующие внутренним.
Механическая операция соединения (разъединения) элементов между собой и с основанием трактуется как введение (удаление) соответствующих связей. Начальная геометрия расположения элементов в конструкции и положение внешней нагрузки считается заданным. В дальнейшем Могут изменяться схемы соединения элементов между собой и с основанием. Введение (удаление) внутренних связей производится лишь в расчетных сечениях. Внешние связи могут быть введены (удалены) в любом узле конструкции.
Жесткости элементов могут меняться вплоть до удаления элемента из конструкции. Изменения, проводимые в расчетной схеме фермы, могут быть разделены на две группы: 1. Конструктивные изменения, т.е. изменения, вносимые инженером в расчетную схему фермы в процессе проектирования. Сюда относятся такие изменения как: введение или удаление стержней и опорных связей; изменение физических характеристик стержней; изменение значения и положения нагрузки; учет односторонней работы связей; декомпозиция и синтез конструкции. 2. Изменения в расчетной схеме конструкции появляющиеся в результате работы конструкции (выключение из работы стержней потерявших устойчивость или выключение стержней, напряжения в которых достигло предела текучести). Такое деление требует рассмотреть следующие стадии работы конструкции: работа фермы в упругой стадии - упругий расчет (рассматриваются изменения первого типа); упругопластический расчет - задача определения параметра предельной нагрузки и оценки несущей способности фермы (изменения второго типа). В соответствии с описанным выше, можно сформулировать поставленную задачу следующим образом: 1. Для оценки напряженно-деформированного состояния шарнирно-стержневых систем в процессе их проектирования, необходимо создать метод расчета таких конструкций (статически определимых и неопределимых, плоских и пространственных), который бы позволил учитывать различные изменения в расчетной схеме, без необходимости формирования и решения новой системы разрешающих уравнений при каждой последующей модификации. Найти возможность применения данного метода для расчета конструкции в упру-гопластической стадии. 2. На основе метода расчета шарнирно-стержневых систем построит математическую модель метода расчета, которая должна быть достаточно простой и удобной для использования ЭВМ. 3. Используя полученную математическую модель создать программу расчета ферм. 4. Для проверки работы метода и оценки его быстродействия рассчитать примеры. Последовательно вводя или удаляя элементы конструкции, связи (внутренние и внешние) проанализировать изменение напряженного состояния системы при различных модификация в расчетной схеме и на основе анализа сделать выводы.
Добавление стержня к шарнирно стержневой системе
Продольные силы и напряжения в лишних стержнях статически неопределимой шарнирно - стержневой системы при действии нагрузки зависят от соотношений площадей сечений всех лишних стержней системы. Поэтому важно знать, как будут изменяться продольные силы и напряжения при изменении площадей сечений отдельных стержней
При использовании обычных методов расчета (метод сил, метод перемещений и т.д.) проанализировать изменение усилий в стержнях при изменении площадей сечения каких-либо стержней возможно лишь в случае формирования новой системы разрешающих уравнений, в которых будут учтены данные изменения.
Метод расчета шарнирно-стержневых систем, изложенный в данной главе и матрицы коэффициентов, полученные на основе этого метода позволяют учитывать изменения площадей сечения стержней и их влияние на усилия в системе без повторного расчета.
Пусть имеется заданная статически неопределимая система и для нее получены матрицы коэффициентов, усилия и перемещения. В стержне к требуется произвести изменение площади поперечного сечения стержня и получить усилия в стержнях и перемещения узлов. Пусть площадь сечения исходного стержня равна Ак, а ее изменение dAk. Если dAk 0, размер элемента увеличивается, а при dAk 0 уменьшается. Аналогично тому, как показано в [30], например в случае уменьшения площади поперечного сечения, начальная площадь элемента Ак может быть представлена как сумма площадей А ки dAk. Иными словами исходный стержень с площадью А к можно представить как два стержня с площадями A k и dAk (рис. 3.16.) присоединенных к одним и тем же узлам. Аналогично, при увеличении площади сечения к стержню с площадью сечения Ак необходимо добавить стержень с площадью dAk. В предлагаемом методе расчета, для добавления или удаления стержня формируем матрицу коэффициентов стержня к в общей системе координат со значением площади dAk. Причем, если площадь сечения уменьшается, в матрице коэффициентов для стержня меняем знак на противоположный. В узлы, к которым принадлежит рассматриваемый стержень, вводим опорные связи и к соответствующим значениям ячеек матрицы всей системы добавляем значения из матрицы коэффициентов стержня, тем самым добавляем или удаляем стержень с площадью dAk. После этого удаляем наложенные в узлы связи и в столбце, отвечающим свободным членам, получаем усилия и перемещения в системе с новым значением площади поперечного сечения стержня к. Такой способ перерасчета усилий и перемещений является достаточно громоздким, но он необходим при расчете систем с использованием конечного элемента метода перемещений. При использовании же конечного элемента смешанного метода перерасчет при изменении площади поперечного сечения (либо жесткости) стержня можно значительно сократить. В стержне i-j, у которого будет изменяться значение площади поперечного сечения удаляется продольная связь. В матрице коэффициентов всей системы в соответствующих ячейках будут находиться значения, отвечающие значениям матрицы коэффициентов для стержня с удаленной продольной связью: Следовательно, изменив значение EF и восстановив продольную связь в стержне, в таблице чисел для всей системы будет находиться новые значения усилий и перемещений для конструкции со стержнем у которого изменено значение площади. Еще один способ изменения площади поперечного сечения стержней с использованием данного метода расчета аналогичен способу изложенному у Мажида[30]. Мажид вывел формулы перерасчета усилий при изменении площади поперечного сечения стержня, используя усилия, полученные при расчете заданной конструкции на действие единичной нагрузки, приложенной по направлению стержня, в котором изменяется площадь сечения и приложенной к узлам, к которым данный стержень прикреплен. Формулы перерасчета имеют вид: где тс J - сила, действующая в элементе с измененной площадью сечения; р{-усилие в стержне до изменения площади сечения; fH-усилие в стержне при действии единичной нагрузки; а = /к Следовательно, для возможности использования формул Мажида необходимо ввести связи в узлы, к которым присоединен стержень и добавить столбец с единичной нагрузки, приложенной по направлению стержня. Удалив наложенные связи, получим в этом столбце значения усилий в стержнях и перемещения узлов от единичной силы. Дальнейшие вычисления проводятся по формулам, показанным у Мажида. Можно также присоединить несколько столбцов нагрузки, относящихся к единичным силам, приложенным по направлению стержней у которых планируется изменять площадь поперечного сечения еще при формировании матрицы коэффициентов для заданной конструкции и затем после прямого расчета и получения значений усилий, используя формулы Мажида вносить изменения. Излагаемый в данной работе метод расчета позволяет также вести учет односторонней работы связей. Так, например, если какая-либо из опорных связей работает только на сжатие (рис. 3.17.), т.е. конструкция просто лежит на основании, может возникнуть ситуация (вследствие внесения изменений в расчетную схему фермы), что данная связь должна будет препятствовать отрыву конструкции от основания. Но в этом случае, в реальной конструкции данная связь работать не будет. Поэтому если опорная реакция, в результате расчета будет иметь знак отличный от того, который задан, то данную связь необходимо просто выключить (удалить) из работы используя методику изложенную в п. 3.3.1. При внесении дальнейших изменений в расчетную схему конструкции, связь снова может включиться в работу. Для учета такого момента нужно следить за перемещением узла по направлению рассматриваемой связи. Если перемещение узла вернется к тому значению, когда произошел отрыв опоры, то нужно будет снова включить в работу связь. Аналогично нужно поступать и со стержнями, т.е. если какой-либо из стержней фермы может работать только на растяжение (рис. 3.18.), а в процессе модификации схемы в нем появляются сжимающие усилия, то данный стержень следует исключить из расчета, как показано в п.3.3.2. При внесении дальнейших изменений в расчетную схему конструкции, такой стержень может снова включится в работу. Для учета такой ситуации нужно следить за перемещением узлов, значения которых находятся в столбце свободных членов таблицы чисел. Как только расстояние между узлами, к которым принадлежит стержень, станут равны или станут большими чем длина стержня, это и будет означать, что стержень снова должен быть включен в работу. Восстановление стержня в работу, или восстановление продольной связи описано в п.3.3.3.
Соединение двух и более независимых конструкций в одну
При расчете конструкций немаловажное значение имеет так же вопрос о размерности матрицы коэффициентов. В предлагаемом в данной работе методе расчета размерность матрицы коэффициентов, как было уже показано ранее, для пространственной системы равна 3 (сумма утроенного произведения количества узлов фермы и количества стержней). Если же рассчитывать шарнирно-стержневую систему методом перемещений, то, как известно размерность матрицы будет равна только утроенному произведению количества узлов системы. Очевидно, что при решении системы уравнений, время потраченное на расчет, в первом случае будет возрастать с увеличением количества стержней. В этом состоит отрицательный момент при расчете фермы с использованием конечного элемента смешанного метода. Но важным фактором является то, что при расчете системы смешанным методом, после решения системы уравнений вычисляются как усилия в стержнях, так и перемещения узлов, тогда как в случае расчета системы по методу перемещений вычисляются только перемещения узлов и для того чтобы получить значения усилий в стержнях конструкции необходимо провести еще ряд вычислений. Преимуществом использования конечного элемента смешанного метода является возможность быстрого удаления и добавления ранее удаленных стержней.
Необходимо отметить, так же, что для различных задач проектирования и расчета размерность матриц и время расчетов можно сократить, при этом суть метода будет оставаться прежней, т.е. перерасчет шарнирно - стержневой системы при различных изменениях в расчетной схеме без формирования и решения системы уравнений, описывающих новую систему.
Так, допустим, если проектировщика при проведении модификации системы интересуют только то, как будут меняться значения перемещений узлов системы, то в этом случае можно воспользоваться конечным элементом метода перемещений (рис. 3.26).
Решение системы уравнений получаем при помощи аппарата Жордановых исключений с разрешающими элементами из главной диагонали, отвечающими лишним наложенным связям. В столбце свободных членов будут находиться значения перемещений узлов. Это то, что касалось прямого расчета. Далее, если проектировщику необходимо получить значения перемещений узлов в случае введения или устранения одной или нескольких связей в узлах, то для этого нужно лишь проделать все вычисления одного шага Жордановых исключений с разрешающими элементами, отвечающими вводимой или удаляемой связи. Как видно в этом случае размерность матрицы будет стандартной для метода перемещений, и изменения в системе учитываются без необходимости формирования и решения новой системы уравнений.
Если проектировщику нужно добавить или удалить какой-либо стержень, то решение будет несколько более сложным, но в сравнении с перерасчетом всей системы заново, особенно при большом количестве узлов, несущественно большим.
Для этого вводятся связи в узлы к которым будет добавляться или удаляться стержень, формируется матрица жесткости стержня и добавляется или вычитается из матрицы коэффициентов всей системы. Затем введенные связи устраняются и в столбце свободных членов получаются значения перемещений узлов для новой системы.
Матрицу метода перемещений можно получить так же, в случае необходимости из матрицы смешанного метода путем вычеркиванием соответствующих столбцов и строк.
Если же проектировщика интересуют только вариации количества стержней и усилия в них, то и в этом случае тоже можно сократить размерность матрицы коэффициентов. Для этого формируется матрица коэффициентов смешенного метода, устраняются лишние наложенные связи в узлах системы и получаются значения усилий в узлах и перемещения узлов. Затем вычеркиванием строк и столбцов, соответствующих перемещениям в узлах, получим матрицу коэффициентов размерностью равной количеству стержней.
При необходимости удаления какого либо стержня или введения ранее устраненного необходимо лишь проделать вычисления одного шага жордановых исключений с разрешающим элементом, отвечающим продольной связи в этом стержне. Сделав необходимые вычисления, в столбце свободных членов получим значения усилий в стержнях.
Пример определения параметра предельной нагрузки и схемы разрушения фермы
В предыдущих главах данной работы был рассмотрен метод расчета шарнирно - стержневых систем, работающих в упругой стадии.
Расчет конструкций в упругом состоянии позволяет определять напряженно-деформированное состояние системы от различных видов заданных внешних воздействий, а сведений о несущей способности конструкции, т.е. о тех наибольших нагрузках, при которых конструкция разрушается, не дает. Так как разрушение большинства строительных конструкций связано с появлением пластических деформаций, то зачастую в инженерной практике возникает необходимость в определении параметра разрушающей нагрузки и нахождения последовательности образования шарниров пластичности, вплоть до исчерпания конструкцией несущей способности.
Данная глава посвящена методу упруго - пластического расчета шарнирно - стержневых систем, позволяющему получать схему разрушения конструкции (последовательность выключения из работы стержней, усилия в которых достигли предельных) и вычислять значение нагрузки, при которой произойдет окончательное разрушение. Метод расчета позволяет на каждом этапе разрушения конструкции определять значения усилий в стержнях, перемещений узлов и значения предельной нагрузки для любой из промежуточных систем. При необходимости, можно, так же, на каждом шаге разрушения системы вносить изменения в расчетную схему конструкции (добавлять и удалять стержни или опоры). Схема расчета применима как для плоских, так и пространственных шарнирно-стержневых систем.
В задаче считаются полностью заданными все параметры конструкции, т.е. ее геометрия, размеры, а также физические характеристики расчетных сечений - предельные усилия. В некотором смысле задана и нагрузка, а именно, считается известным закон ее распределения (нагрузка прикладывается в узлы конструкции следующим образом: максимальное значение из сил принимается равным единице, а остальные в соотношении от максимальной). Требуется получить схему разрушения конструкции и найти усилия и наибольшее значение нагрузки, при котором происходит пластическое разрушение системы, т.е. такое состояние конструкции, когда происходит неограниченное удлинение достаточного количества стержней, вследствие чего вся система или ее часть превращается в пластический механизм
Так, как для сталей истинные диаграммы растяжения имеют довольно сложный вид и трудно поддаются описанию, то в работе решено использовать идеализированную диаграмму растяжения для линейно-упругопластического тела, которая наиболее ярко показывают пластические свойства материала (рисунок 4.1.)
Предельная нагрузка для ферм может быть определена различными приемами, например, из рассмотрения равновесия различных изменяемых ферм, получаемых из заданной исключением некоторых стержней, с заменой их действия на ферму внешними силами, приложенными в узлах фермы и равными продольным силам этих стержней в состоянии текучести. Из всех получаемых предельных нагрузок выбирается наименьшая. Но поскольку видов разрушения, соответствующих предельным состояниям, даже в простых случаях много, то такой путь приемлем только тогда, когда по каким-либо признакам форма разрушения при наименьшей нагрузке известна. Если же форма разрушения не очевидна, то такой способ является слишком громоздким, так как надо произвести много исследований различных изменяемых систем. К тому же не всегда ясно, работает ли устраняемый стержень на сжатие или растяжение. В таком случае более надежным, но тоже трудоемким, является способ последовательного расчета фермы как упругой системы, теряющей при увеличении нагрузки некоторые связи [25, 51, 66, 77].
Как известно, работа упругопластической нагрузки характеризуется тремя этапами: первый - упругое состояние системы (упругий расчет); второй - появление пластических деформаций, их накопление, при котором система еще не превратилась в пластический механизм (задача пластического анализа); третий - когда для дальнейшего деформирования конструкции из идеально пластического материала совсем не требуется приращения нагрузки. В связи с вышеизложенным общий алгоритм последовательного расчета можно представить в следующей форме. где Р - параметр нагрузки a aj -коэффициент пропорциональности. На этом работа нагрузки в упругой стадии заканчивается и начинается второй этап. При малых значениях Р система находится в упругой стадии работы и пропорциональная зависимость усилий от Р будет иметь место до тех пор, пока в одном или нескольких стержнях продольная сила не достигнет предельного значения : Очевидно, что, нагрузка AQ должна быть приложена к системе, у которой степень статической неопределимости на единицу меньше. Если при нагрузке Pj «потекло» сразу несколько стержней, то в текущей упругой системе степень статической неопределимости должна быть уменьшена на соответствующее количество. Так, последовательно уменьшая степень статической неопределимости конструкции, в конце получится статически определимая система, для разрушения которой достаточно того, чтобы «потек» один стержень. Рассмотрим теперь более подробную схему определения параметра предельной нагрузки, построенную с учетом метода расчета, описанного в главе 3. Как уже было сказано выше, первоначально проводится упругий расчет конструкции на действие единичной внешней нагрузки, т.е. формируется матрица коэффициентов метода перемещений; к матрице коэффициентов добавляется столбец свободных членов; удаляются лишние наложенные на систему связи. В результате упругого расчета будет получена таблица чисел (таблица 4.1.), характеризующая систему канонических уравнений смешанного метода, описывающих заданное состояние системы.
