Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Исторический обзор и современное состояние теории и практики геометрически нелинейного расчета конструкций 20
1.1 Нелинейное поведение конструкций 20
1.2 Геометрически нелинейный расчет конструкций 21
1.3 Нелинейные теории расчетов конструкций 25
1.3.1 История развития нелинейных теорий 25
1.3.2 Решение нелинейных задач строительной механики на основе метода конечных элементов 27
1.3.3 Современное состояние исследований в области теории геометрически нелинейных расчетов 29
1.4 Развитие методов решения систем нелинейных уравнений
задач строительной механики 32
1.4.1 Методы продолжения решения по параметру задачи 32
1.4.2 Применение методов продолжения решения по параметру в нелинейных расчетах по методу конечных элементов 35
1.4.3 Методы продолжения решения по длине дуги кривой равновесных состояний 37
1.5 Проблемы устойчивости равновесия конструкций 41
1.5.1 Развитие теории устойчивости 42
1.5.2 Современное состояние численных методов анализа устойчивости равновесия конструкций 45
1.6 Особенности нелинейного поведения пространственных рам 51
1.7 Программные продукты 53
1.8 Выводы з
ГЛАВА 2. Геометрически нелинейная теория пространственных шарнирно-стержневых систем 56
2.1 Нелинейная теория упругости 57
2.1.1 Глобальная система координат и конфигурации тела 57
2.1.2 Материальные элементы (способ Лагранжа) 58
2.1.3 Пространственные элементы (способ Эйлера) 61
2.1.4 Напряженное состояние 63
2.1.5 Физические уравнения 67
2.1.6 Граничные условия 68
2.1.7 Интегральная форма разрешающих уравнений пространственного элемента 69
2.1.8 Интегральные уравнения материального элемента 70
2.1.9 Инкрементальные разрешающие уравнения 71
2.2 Нелинейная теория пространственных ферм 75
2.2.1 Нелинейная кинематика пространственных ферм 75
2.2.2 Нелинейная статика пространственных ферм 81
2.2.3 Алгебраические разрешающие уравнения пространственных шарнирно-стержневых систем 88
2.3 Решение инкрементальных разрешающих уравнений 96
2.3.1 Пошаговая процедура решения 96
2.3.2 Составление инкрементальных основных уравнений 100
2.3.3 Итерационное решение инкрементальных основных уравнений 100
2.3.4 Вычисление инкремента коэффициента нагружения 104
2.4 Выводы 106
ГЛАВА 3. Анализ устойчивости равновесия пространственных стержневых систем 108
3.1 Теория бифуркаций 108
3.1.1 Введение 108 3.1.2 Сингулярные точки 109
3.2 Определение сингулярных конфигураций пространственных стержневых систем 123
3.2.1 Введение 123
3.2.2 Почти сингулярные конфигурации пространственных стержневых систем 125
3.2.3 Вычисление сингулярных конфигураций 129
3.3 Продолжение траекторий нагружения за сингулярными конфигурациями 137
3.3.1 Введение 137
3.3.2 Метод дефляции для решения почти сингулярных систем уравнений 139
3.3.3 Продолжение траектории нагружения в предельной точке 141
3.3.4 Продолжение траектории нагружения в точках бифуркации 147
3.3.5 Метод расширения для вычисления продолжения траекторий нагружения в сингулярных точках 158
3.4 Выводы 173
ГЛАВА 4. Примеры расчета 176
4.1 Верификация результатов численного расчета 176
4.1.1 Численное исследование модели пологой фермы 176
4.1.2 Численное исследование модели подъемистой симметричной трехстержневой фермы с точкой бифуркации 182
4.2 Демонстрационные примеры 186
4.2.1 Решетчатая башня с асимметричными диагоналями 186
4.2.2 Анализ деформирования и устойчивости решетчатой арки 190
4.3 Практические примеры 195
4.3.1 Анализ устойчивости равновесия сетчатой оболочки торгового павильона в г. Саратове 195
4.3.2 Расчет устойчивости купола покрытия резервуара 202
4.4 Выводы 216
ГЛАВА 5. Упругопластический расчет пространственных ферм при больших перемещениях 217
5.1 Цель исследования 217
5.2 Свойства стали 219
5.2.1 Одноосные напряженные состояния 219
5.3 Упругопластическое поведение стального стержня 220
5.4 Прямой метод расчета на предельную нагрузку 222
5.5 Пример расчета двухпролетной фермы на предельную пластическую нагрузку 227
5.6 Расчет решетчатой арки на предельную нагрузку 229
5.7 Выводы 235
ГЛАВА 6. Анализ больших перемещений пространственных рам 237
6.1 Актуальность исследования и его цели 237
6.2 Гипотезы поведения пространственных рам 241
6.3 Теория первого порядка для пространственных рам 245
6.3.1 Дополнительные гипотезы поведения пространственных рам 245
6.3.2 Системы координат и преобразования координат 246
6.3.3 Векторы обобщенных перемещений узла 251
6.3.4 Векторы обобщенных перемещений стержня 251
6.3.5 Нагрузки, приложенные к стержням рамы 253
6.3.6 Узловые силы стержня рамы 254
6.3.7 Совместное действие растяжения-сжатия, изгиба и кручения стержня 255
6.3.8 Упрощенные выражения виртуальной работы 260
6.3.9 Разрешающие дифференциальные уравнения 265
6.4 Теория второго порядка для пространственных рам 268
6.4.1 Гипотезы поведения пространственных рам в теории
второго порядка 268 6.4.2 Деформации и напряжения по теории второго порядка 269
6.4.3 Растяжение-сжатие стержня 271
6.4.4 Крутящий момент, вызываемый нормальным напряжением 272
6.4.5 Локальные системы координат элементов стержня 274
6.4.6 Основные уравнения в текущей конфигурации пространственной рамы 277
6.5 Примеры 286
6.6 Выводы 291
ГЛАВА 7. Устойчивость пространственных рам при больших перемещениях 294
7.1 Решение однородных основных уравнений 296
7.1.1 Решение относительно перемещений при изгибе 296
7.1.2 Решение для свободного кручения 305
7.1.3 Решение для осевых перемещений 313
7.2 Частные решения однородных основных уравнений 314
7.2.1 Частное решение для изгиба, вызванного нагрузкой q2 314
7.2.2 Частное решение для изгиба, вызванного нагрузкой q3 319
7.2.3 Частное решение для равномерного кручения 323
7.2.4 Частное решение для растяжения-сжатия 323
7.3 Конечно-элементная формулировка теории второго порядка 324
7.3.1 Векторы узловых перемещений, нагрузок и реакций элемента 324
7.3.2 Векторы перемещений, нагрузок и реакций системы 325
7.3.3 Метод полной жесткости 326
7.3.4 Векторы элемента 327
7.3.5 Матрица жесткости элемента при изгибе 329
7.3.6 Матрица жесткости элемента при свободном кручении 334
7.3.7 Матрица жесткости элемента при растяжении 338
7.3.8 Внеузловые нагрузки на элементы 338
7.3.9 Вектор нагрузок элемента от поперечной нагрузки q2 339 7.3.10 Вектор нагрузок элемента от поперечной нагрузки q 3 341
7.3.11 Вектор нагрузок элемента от крутящей нагрузки 343
7.3.12 Вектор нагрузок элемента от осевой нагрузки q1 344
7.3.13 Суммарный вектор нагрузок элемента 344
7.3.14 Суммарная матрица жесткости элемента 345
7.4 Метод решения 346
7.4.1 Алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния 346
7.4.2 Алгоритм расчета на устойчивость 347
7.4.3 Тестовый пример расчета рамы на устойчивость 351
7.5 Выводы 355
ГЛАВА 8. Сравнительный анализ устойчивости равновесия сетчатого купола с шарнирной и жесткой схемами узлов 357
8.1 Геометрическая схема купола 359
8.2 Модельные нагрузки 361
8.3 Опоры 362
8.4 Сочетания нагрузок 363
8.5 Расчет устойчивости модели с шарнирными узлами 363
8.5.1 Основные результаты расчета 363
8.5.2 Сочетание нагрузок C1 365
8.5.3 Сочетание нагрузок C2 366
8.5.4 Сочетание нагрузок C3 367
8.5.5 Особенности потери устойчивости купола с шарнирными узлами 369
8.6 Расчет устойчивости модели с жесткими узлами 371
8.6.1 Графический интерфейс пользователя программы расчета рам с жесткими узлами SpaceFrame 371
8.6.2 Результаты расчета модели купола с жесткими узлами 372
8.6.3 Сочетание нагрузок С1 373
8.6.4 Сочетание нагрузок C2 377
8.6.5 Сочетание нагрузок C3 378
8.6.6 Сочетание нагрузок C4 379
8.6.7 Сочетание нагрузок C5 380
8.6.8 Сочетание нагрузок C6 381
8.6.9 Особенности потери устойчивости купола с жесткими узлами 382
8.6.10 Влияние перепада температур на потерю устойчивости
купола 383
8.7 Сравнение характера работы под нагрузкой сетчатого купола с шарнирными и жесткими узлами 384
8.8 Выводы 387
Заключение 389
Литература
- Решение нелинейных задач строительной механики на основе метода конечных элементов
- Материальные элементы (способ Лагранжа)
- Численное исследование модели подъемистой симметричной трехстержневой фермы с точкой бифуркации
- Частное решение для изгиба, вызванного нагрузкой q2
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Современное состояние инженерной практики предъявляет к теории расчета конструкций два фундаментальных требования: 1) возможности оценки значимости нелинейных эффектов для данной конструктивной системы и применимости приближенной линейной теории; 2) способности надежно предсказать нелинейное поведение конструкций в пределах, представляющих практическую инженерную значимость.
Современные архитектурные концепции требуют применения конструктивных систем, создающих ощущение легкости при больших пролетах. К таким системам относятся, прежде всего, стержневые пластинки, плиты и оболочки, пространственные фермы и т.д. Из экономических соображений в современных условиях все чаще применяются облегченные конструкции, имеющие малую жесткость и, как следствие, повышенную деформативность. В этих конструкциях возникает опасность потери устойчивости, как в целом, так и отдельных элементов. Надежность их может быть обеспечена лишь при наличии методов расчета, позволяющих прогнозировать сложную нелинейную природу их поведения на различных стадиях работы.
Проблема устойчивости равновесия является неотъемлемой частью анализа нелинейного поведения стержневых систем и может быть корректно решена лишь с учетом предшествующей истории нагружения конструкции. Расчеты конструкций на устойчивость в нелинейной постановке сводятся к решению нескольких задач: определение возможных равновесных форм конструкции; установление области и границ существования каждой из этих форм, закономерностей перехода из одной равновесной формы в другую; отыскание значения параметра нагрузки, при котором происходит бифуркация равновесных форм; установление конфигураций этих форм; описание послекритического поведения конструкции и оценки опасности для конструкции смены форм равновесия.
В настоящее время в расчетах большепролетных пространственных конструкций широко используются коммерческие программные комплексы на основе метода конечных элементов. Решение задач нелинейной устойчивости с использованием этих комплексов сопряжено со значительными трудностями. Эти трудности связаны с недостаточным уровнем разработки теории и методов геометрически нелинейного анализа устойчивости стержневых конструкций.
В связи с этим, разработка на основе нелинейной теории упругости обобщенного численного метода геометрически нелинейного расчета пространственных стержневых систем, позволяющего надежно предсказывать их напряженно- деформированное состояние, а также возможные виды потери устойчивости, является актуальной задачей.
Целью диссертационной работы является развитие геометрически нелинейной теории пространственных стержневых систем, разработка на её основе метода численного анализа деформирования и устойчивости таких систем и реализующего этот метод алгоритма, позволяющего надежно определять их пред- критическое состояние, критические точки и критические конфигурации предсказывать их напряженно-деформированное состояние на всех этапах, включая потерю устойчивости первого и второго рода (проскок и бифуркация) и закрити- ческую область работы.
Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:
-
-
На основе библиографического обзора и анализа современного состояния нелинейной теории обобщен теоретический материал по исследованиям в области нелинейных расчетов.
-
Выполнена формулировка геометрически нелинейной теории упругости в форме, удобной для вывода разрешающих уравнений для различных типов конструктивных элементов.
-
Сформулирована геометрически нелинейная теория пространственных ферм, как частный случай геометрически нелинейной теории упругости. Выполнен переход к алгебраической форме разрешающих уравнений при помощи метода конечных элементов.
-
Разработан численный метод решения нелинейных разрешающих уравнений для пространственных ферм как задачи с начальным параметром, основанный на продолжении решения по длине дуги кривой равновесных состоя- ницй.
-
Разработан метод точного вычисления критических конфигураций пространственных стержневых систем.
-
Разработан метод продолжения решения в критических точках.
-
Выполнена объектно-ориентированная реализация разработанных методов на языке Java в виде тестовой платформы, позволяющей исследовать влияние параметров, управляющих численным процессом.
-
Для тестирования численных методов и реализующих их алгоритмов решения геометрически нелинейных задач получено аналитическое решение нелинейного поведения регулярных трехстержневых ферм на всех этапах деформации, включая потерю устойчивости первого и второго рода.
-
На примерах расчета симметричных трехстержневых ферм и некоторых типов пространственных стержневых конструкций проиллюстрировано применение тестовой платформы для проверки достоверности результатов, получаемых по предлагаемому методу.
Научная новизна работы определяется следующими результатами:
-
-
-
На основе общей геометрически нелинейной теории упругости построена теория геометрически нелинейного поведения пространственных стержневых систем в конечно-элементной формулировке. Данная теория не имеет ограничений по величине перемещений, поворотов и деформаций в стержнях. Единственным ограничением подхода является принятый линейный физический закон деформирования материала. В рамках теории получена формулировка матрицы секущей жесткости инкрементальных разрешающих уравнений, обладающая свойством симметрии.
-
Разработан новый метод нелинейного деформационного анализа, основанный на использовании инкрементальной матрицы секущей жесткости, который позволяет сохранять в уравнениях метода конечных элементов все нелинейные члены исходных разрешающих нелинейных уравнений. Удержание нелинейных членов улучшает скорость сходимости итерационной процедуры, особенно на участках траектории нагружения с большой кривизной.
-
Предложен новый способ разложения секущей матрицы жесткости на основную симметричную матрицу и остаточный член, позволяющий избежать увеличения числа операций алгоритма решения и необходимого объема оперативной памяти, возникающих вследствие несимметричности инкрементальной матрицы секущей жесткости.
-
Разработана новая методика учета неуравновешенных сил, отличающаяся тем, что неуравновешенные силы не добавляются к внешней нагрузке, как принято во всех существующих в настоящее время методах, а используются для вычисления корректирующих перемещений и корректирующих реакций, которые затем вводятся в уравнения для уточнения матрицы секущей жесткости на шаге нагружения.
-
Разработан новый способ вычисления инкремента коэффициента нагру- жения в методе постоянных дуг, основанный на вычислении длины хорды через разность норм векторов перемещений и сил в начале и в конце шага, который позволяет добиться сходимости процедуры в окрестностях точек бифуркации, где траектория нагружения испытывает ветвление. Использование предложенного способа позволяет также повысить устойчивость и сходимость итерации на шаге нагружения.
-
Разработан новый прямой метод вычисления сингулярных точек, основанный на формулировке общей проблемы собственных значений, решением которой является значение инкремента коэффициента нагружения, приводящее из почти сингулярной точки траектории нагружения в сингулярную точку.
-
Выполнен анализ причин неустойчивости существующих вычислительных процедур в окрестностях точек бифуркации и предложена методика продолжения решения, основанная на использовании матрицы полной жесткости конструкции и обладающая высокой устойчивостью.
-
Предложен новый подход к продолжению траекторий нагружения, основанный на введении дополнительного условия в формулировку бифуркации, в соответствии с которым нагрузка в конце первого шага продолжения решения пропорциональна заданной модельной нагрузке. В отличие от известных методов, инкремент коэффициента нагружения на первом шаге продолжения решения не равен нулю, а принимается за неизвестную величину. Данный подход реализован в виде метода расширения.
-
Разработан новый способ учета погрешности вектора нагрузки (неуравновешенных сил), используемый в разработанном методе расширения, в котором к вектору погрешности добавляется некоторая часть заданной модельной нагрузки, так, чтобы инкремент перемещений от нагрузки был нормален инкременту перемещения от сингулярного состояния к последующему состоянию. При помощи этого инкремента нагрузки корректируется пробное состояние конструкции, а также вычисляются инкременты перемещений и реакций.
-
Предложена новая формулировка и получено точное аналитическое решение основных уравнений, описывающих геометрически нелинейное поведение пространственных симметричных трехстержневых ферм под действием вертикальной нагрузки, позволившие избежать ошибок аппроксимации в аналитическом решении. В решении не используются тригонометрические функции.
-
Выявлены особенности геометрически нелинейного поведения пространственных симметричных трехстержневых ферм под действием вертикальной нагрузки, в частности, показано, что существует значение коэффициента соотношения геометрических размеров, для которого все коэффициенты матрицы жесткости, касательной ко вторичной ветви траектории нагружения в точке бифуркации равны нулю. Показано, что вторичные ветви траектории нагружения за точкой бифуркации лежат на поверхности сферы, проходящей через точку бифуркации. Каждая точка на этой поверхности содержится в траектории нагружения фермы. Матрица касательной жесткости фермы сингулярна не только в точке бифуркации, но и в каждой точке сферической поверхности. Это свойство оказывает большое влияние на построение алгоритмов продолжения траекторий нагружения за точками бифуркации.
-
Разработано программное приложение на базе объектно- ориентированной платформы Java, имеющее новые черты, которые позволили выполнить исследование и оценку новых методов, представленных в диссертации. Структура данных приложения, основанная на именованных объектах, является новой для конечно-элементных программ. Структура классов приложения разработана таким образом, что отдельные классы могут быть заменены без внесения значительных изменений в другие классы. Таким образом, приложение может быть использовано для исследования альтернативных вариантов решения с незначительными трудозатратами.
На защиту выносятся: положения, составляющие научную новизну диссертации, а также следующие результаты исследования:
-
-
-
-
Реализация предлагаемых методик в объектно-ориентированном программном приложении на основе платформы Java.
-
Аналитическое решение задачи геометрически нелинейного поведения и потери устойчивости симметричной трехстержневой фермы.
-
Анализ нелинейного деформирования и потери устойчивости типических пространственных ферм для модельных и реальных конструкций.
-
Исследование влияния возмущений на поведение симметричных пространственных трехстержневых ферм.
Практическая ценность результатов исследования. Обобщенный подход, представленный в данной работе, обеспечивает надежную основу для выявления геометрически нелинейного поведения, угрожающего появлением чрезмерных деформаций или потерей устойчивости пространственной фермы. Предлагаемая геометрически нелинейная теория пространственных ферм не имеет ограничений по величине перемещений, поворотов и деформаций в стержнях. Разработанная тестовая платформа может быть использована для исследования характеристик приближенных методов расчета. Она может также быть использована для изучения и классификации особенностей поведения различных видов пространственных ферм, а также для исследования влияния начальных несовершенств и иных возмущений на их напряженно-деформированное состояние и устойчивость. Методы, используемые в данном исследовании, могут быть распространены на стержневые системы с жесткими и упругими узлами и континуальные системы, моделируемые стержневой расчетной схемой.
На основе предложенного обобщенного подхода могут быть разработаны теории и алгоритмы для других типов конструктивных элементов и физически нелинейных задач.
Программное приложение, разработанное в диссертационном исследовании, позволило выполнить ряд примеров, демонстрирующих возможности применения развиваемой теории и методов к практическим задачам. Показано, что используемые в коммерческих программных комплексах стандартные методы не всегда надежно предсказывают потерю устойчивости конструкций в результате бифуркации, в то время как разработанный в диссертации обобщенный метод решает эту задачу корректно. Поэтому он может с успехом заменить стандартные методы, используемые в коммерческих программных комплексах.
Достоверность научных положений и результатов, полученных в работе, обеспечивается корректностью постановки задач в рамках механики деформируемого твердого тела и классических методов строительной механики с использованием общепринятых гипотез и допущений, а также сопоставлением решений тестовых задач с решениями, полученными на основе других методов и подходов.
Принимая во внимание трудность верификации нового подхода, в работе получено точное аналитическое решение задачи деформирования и устойчивости равновесия симметричной пространственной трехстержневой фермы под действием вертикальной сосредоточенной силы.
Сравнение результатов численного расчета по разработанным алгоритмам с результатами аналитического решения демонстрирует высокую точность вычислений.
Достоверность и точность вычисления сингулярных конфигураций ферм доказывается также сравнением численных результатов расчета для тестовых примеров с результатами аналитического решения, полученного автором.
Внедрение результатов работы. Методика геометрически нелинейного расчета пространственных ферм на деформации и устойчивость равновесия реализована в виде объектно-ориентированного приложения на платформе Java 2. Разработанное программное приложение, зарегистрированное в отраслевом фонде алгоритмов и программ Министерства образования и науки РФ, было использовано при расчете конструкций сетчатой оболочки и арочной пространственной фермы, разработанных НППЦ «СТРОЙКОМПЛЕКС» (г. Саратов). При помощи данного программного приложения был выполнен анализ устойчивости равновесия сетчатого алюминиевого купола покрытия резервуара, разработанного в ЦНИИПСК им. Мельникова.
Апробация результатов исследования. Результаты исследования и основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих научно-технических конференциях и семинарах:
-
-
-
-
-
60-я международная научно-техническая конференция молодых ученых: СПбГАСУ, Санкт-Петербург, 2007.
-
XXVII Российская школа по проблемам техники и технологий: Миасс, 2007.
-
Симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений»: Нижний Новгород, 2007.
-
XXI международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях»: СГТУ, Саратов, 2008.
-
Ежегодная научно-техническая конференция ВолгГАСУ, секция «Строительная механика и строительная информатика»: Волгоград, 2009.
-
Научный семинар кафедры «Строительная механика» ВолгГАСУ: Волгоград, 2009.
-
Объединенный научный семинар кафедр «Строительная механика» и «Информатика» МГСУ: Москва 2009.
-
Научный Межвузовский семинар «Геометрия и расчет тонких оболочек неканонической формы». РУДН: Москва, 2010 г
-
Объединенный научный семинар кафедр строительной механики и прикладной математики Санкт-Петербургского государственного архитектурно- строительного университета. СПбГАСУ, 2011 г.
-
Расширенное заседание кафедры строительной механики Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. ВолгГАСУ, Волгоград, 2011 г.
-
7th International Congress on Civil Engineering: Tarbiat Modarres University, Tehran, Iran, 2006.
-
Scientific Seminar of the Department of Civil Engineering of Stellenbosch University: Stellenbosch, Republic of South Africa, 2007.
-
12th International Conference on Computing in Civil and Building Engineering & 2008 International Conference on Information Technology in Construction: Beijing, China 2008.
-
16th Annual Workshop of the European Group for Intelligent Computing in Engineering (EG-ICE): TU Berlin, Germany, 2009.
-
13th International Conference on Computing in Civil and Building Engineering. Nottingham, UK 2010.
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 23 печатных работы, в том числе 11 статей в изданиях, входящих в список ВАК, 6 статей и 1 монография в российских издательствах, 4 статьи и 1 монография в иностранных журналах и издательствах.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, девяти глав, основных выводов, списка литературы из 269 наименований и приложений. Общий объем диссертации составляет 384 страницы, в том числе 378 страниц основного текста, 72 рисунков и 16 таблиц.
Решение нелинейных задач строительной механики на основе метода конечных элементов
Основы нелинейного расчета конструкций были заложены еще Леонардом Эйлером (1707-1783). В приложении "De curvis elasticis" к труду "Methodus inveniendi" Эйлер использует вариационные методы для определения критической нагрузки прямой колонны. Эта задача устойчивости могла быть решена только для деформированного состояния колонны. Впоследствии было обнаружено множество других источников нелинейности в механическом поведении твердых тел и жидкостей. Основные нелинейные эффекты, в настоящее время учитывающиеся в расчетах строительных конструкций, могут быть сгруппированы следующим образом.
Геометрическая нелинейность. Соотношения между относительными деформациями и перемещениями конструкции нелинейны. В расчетах учитывается влияние больших линейных перемещений и поворотов на деформации в элементах строительных конструкций, например, балок и пластинок.
Большие деформации. Гибкая конструкция может подвергаться большим перемещениям и поворотам без возникновения в ней больших деформаций. Такое поведение характерно для стальных конструкций. Другие конструкции могут подвергаться большим деформациям. Примером может служить процесс формообразования стальных листовых профилей. Конструкции, включающие элементы в виде резиновых мембран, также подвергаются большим деформациям. Эти деформации принимаются в расчет при формулировании уравнений состояния для материалов. Физическая нелинейность. Линейно упругие законы состояния, используемые в традиционной строительной механике, являются аппроксимациями действительной работы материалов. Такие материалы, как бетон или резина являются нелинейно-упругими: напряжения в них не прямо пропорциональны деформациям. Если пройдено предельное значение деформации, то материал может стать пластичным: часть деформаций сохраняется после того, как напряжение устранено. Некоторые материалы испытывают деформации, нарастающие во времени. Существуют специальные физические модели для описания упруго-пластического, вязко-упругого и вязко-пластического поведения различных типов материалов.
Конструктивная нелинейность. Существует множество видов конструктивной нелинейности. В качестве примера можно привести конструкцию, опирающуюся на контактные плоскости, напряжения на которых равны нулю до тех пор, пока существуют зазоры между конструкцией и ее потенциальными опорами. Если при перемещении конструкции она вступает в контакт с опорой, та включается в работу и на плоскости контакта возникают напряжения. Изменения в условиях опирания вследствие контакта является причиной нелинейного поведения конструкции.
Еще одним источником нелинейности может служить неконсервативность нагрузок. Примером может служить воздухоопорная мембрана, устойчивость которой зависит от поддержания внутреннего давления, превышающего атмосферное.
Целью математического исследования нелинейных явлений в поведении конструкций является предсказание их напряженно-деформированного состояния и устойчивости равновесия. Предполагается, что исходная конфигурация конструкции и история внешних воздействий на нее известны. В настоящее время достаточно хорошо разработана теория «малых перемещений» или «малых деформаций», в рамках которой сформулированы классические методы строительной механики , широко используемые в задачах статики, динамики и устойчи вости. В этой тории при физической линейности материалов системы подразделяются на геометрически линейные и геометрически нелинейные.
В строительной механике стержневых систем рассматриваются несколько наиболее характерных типов геометрически нелинейных систем: 1) системы из гибких стержней или нитей, каждый элемент которых в процессе нагружения может получать большие перемещения и деформации; 2) системы из упругих стержней, каждый из которых в процессе нагружения конструкции деформируется линейно, но система в целлон геометрически нелинейна; 3) комбинированные системы, состоящие из гибких нелинейно деформируемых и линейно деформируемых элементов.
Основанием для отнесения системы из линейно-упругих материалов к геометрически линейной или нелинейной является вид зависимости «нагрузка -перемещение». В целом геометрию деформированной стержневой системы определяют перемещения ее узловых поперечных сечений: линейные и узловые. Характерные перемещения, по которым систему относят к линейно или нелинейно деформируемой, - это обычно самые большие ее перемещения в тех точках, в которых устанавливаются ограничения из условий жесткости, эксплуатации, эстетики и т.д. Считается, что геометрически нелинейное поведение системы начинается тогда, когда становится недопустимой замена в расчете: tgq = sinq = q, (1.1) где – угол поворота поперечного сечения стержня или нормали к поверхности оболочки. Выполненный А.В. Анфилофьевым [11] анализ показал, что использование приближенного выражения кривизны в теории упругого изгиба стержней делает некорректным выше приведенное утверждение о том, что геометрическая нелинейность систем проявляется при «больших» перемещениях, когда недопустима замена типа (1.1). Поэтому вопрос о границе между «большими» и «малыми» перемещениями остается открытым.
Уровень развития численных методов и вычислительной техники уже сегодня позволяет преодолеть трудности при решении практических задач, связанных с нелинейным расчетом конструкций. Необходимым условием геометрически нелинейного расчета является построение адекватной математической модели.
Математические модели нелинейного поведения и формулировки нелинейных задач не являются единственными. Они могут, например, различаться по видам упрощающих гипотез и аппроксимаций, использованных в разрешающих уравнениях или численных алгоритмах их решения. Качество математической модели нелинейного поведения конструкции может быть оценено при помощи приведенных ниже критериев.
Точность. Нелинейное поведение конструкций, предсказанное математическим расчетом, является приближением их действительного поведения в природе. Разница между предсказанным и действительным поведением называется точностью расчета. Точность зависит от формулировки основных (разрешающих) уравнений задачи и от методов, применяемых для их решения. Физические законы, лежащие в основе разрешающих уравнений, проверяются экспериментально. Точные решения основных уравнений нелинейного поведения удается получить довольно редко. Поэтому, для большинства задач расчета конструкций основные уравнения преобразуются к алгебраической форме и решаются численно. Последствия введенных приближений, таких, как намеренное пренебрежение членами высшего порядка, а также погрешности методик численного решения могут быть исследованы теоретически. Существуют математические методы, позволяющие оценить точность результатов, например методы определения несбалансированных сил в мгновенной конфигурации конструкции.
Материальные элементы (способ Лагранжа)
Позиции на траектории нагружения, соответствующие полученным инкрементам нагружения Vl1(s,m) и Vl(2s,m) расположены на противоположных сторонах траектории от позиции s. Для использования в решении выбирается тот инкремент, который дает максимальное расстояние между позициями s -1и s +1.
1. Полученная на базе общей геометрически нелинейной теории упругости формулировка геометрически нелинейной теории пространственных стержневых систем, не имеет ограничений по величине перемещений, поворотов и деформаций в стержнях. Единственным ограничением подхода является линейный физический закон. Несмотря на то, что основополагающие теории являются общепринятыми, их формулировка и применение в анализе устойчивости пространственных стержневых систем без введения дальнейших допущений и приближений обладает научной новизной. Благодаря отсутствию допущений стало возможным надежное исследование разрабатываемых новых методов, свободное от влияния погрешностей аппроксимации.
2. Предложенный в диссертации новый способ разложения секущей матрицы жесткости на основную симметричную матрицу и остаточный член, позволяет избежать увеличен ия числа операций алгоритма решения и необходимого объема оперативной памяти, возникающих вследствие несимметричности инкрементальной матрицы секущей жесткости. Остаточный член при этом преобразуется в корректирующий член нагрузки, уточняемый в процессе итераций на шаге нагружения. Для предлагаемого способа разложения корректирующий член нагрузки стремительно убывает в процессе итераций.
3. На основе инкрементальных разрешающих уравнений геометрически нелинейного деформирования пространственной фермы получено выражение матрицы секущей жесткости системы. Использование инкрементальной матрицы секущей жесткости, позволяет сохранять в уравнениях метода конечных элементов все нелинейные члены исходных разрешающих нелинейных уравнений. Удержание нелинейных членов улучшает скорость сходимости итерационной процедуры, особенно на участках траектории нагружения с большой кривизной. Сравнение численных результатов, полученных для тестовых задач с точными решениями, выполненное в последующих разделах диссертации, доказало высокую точность метода секущей жесткости.
4. Предложенный в диссертации новый способ разложения секущей матрицы жесткости на основную симметричную матрицу и остаточный член, позволяет избежать увеличения числа операций алгоритма решения и необходимого объема оперативной памяти, возникающих вследствие несимметричности инкрементальной матрицы секущей жесткости. Остаточный член при этом преобразуется в корректирующий член нагрузки , уточняемый в процессе итераций на шаге нагружения. Для предлагаемого способа разложения корректирующий член нагрузки стремительно убывает в процессе итераций. 5. Новая методика учета неуравновешенных сил, разработанная в данном исследовании для корректировки решения на шаге нагружения, отличается тем, что неуравновешенные силы не добавляются к внешней нагрузке, как принято во всех существующих в настоящее время методах. Вместо этого, вектор неуравновешенных сил используется для вычисления корректирующих перемещений и корректирующих реакций, которые затем вводятся в уравнения для уточнения матрицы секущей жесткости на шаге нагружения. Данный подход существенно улучшает точность и скорость сходимости деформационного анализа.
Метод расчета пространственных ферм на деформации, представленный во второй главе, основывается на предположении о том, что инкрементальное разрешающее уравнение для каждого шага итераций на каждом шаге нагружения имеет единственное решение. Это предположение выполняется не всегда. Теория, которая исследует условия, при которых система разрешающих уравнений не имеет единственного решения, называется теорией бифуркации. Теория бифуркаций описывает также свойства множественных решений.
Теория бифуркаций – хорошо развитая область математики, исследующая системы нелинейных уравнений , содержащих один или несколько параметров , значения которых определяют качественный вид решения. Для некоторого набора значений этих параметров вид решения может внезапно измениться. Такой набор значений называется точкой бифуркации системы уравнений.
В теории бифуркации рассматриваются задачи отыскания точек бифуркации систем алгебраических и дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных) с одним или несколькими зависимыми переменными. В рамках теории бифуркации разрабатываются теоретические и вычислительные методы продолжения решений по ветвям, образующимся в точках бифуркаций . Классификация точек биф уркации важна для понимания физических явлений, описываемых уравнениями. В последующих разделах рассматриваются те разделы теории бифуркации, которые имеют непосредственное отношение к анализу устойчивости конструкций и использовались при разработке методов решения поставленной в диссертационной работе задачи. Теория бифуркации сформулирована в абстрактной форме для векторных функций, а затем специализирована для конечно-элементного расчета шарнирно-стержневых конструкций, описанных во второй главе данной работы.
Вторая производная коэффициента нагружения в уравнении (3.22) определяет изменение коэффициента нагружения на траектории нагружения вблизи предельной точки. Из рисунка 3.1 видно, что коэффициент нагружения принимает максимальное значение в предельной точке, если вторая производная отрицательна, и минимальное значение - если вторая производная положительна. Если вторая производная равна нулю, то сингулярная точка является точкой перегиба, и для определения поведения функции коэффициента нагружения в ее окрестности требуются производные высших порядков. Конструкция в сингулярной точке будет устойчивой, если конечное изменение AZ параметра z вызывает конечное увеличение АХ коэффициента нагружения.
Численное исследование модели подъемистой симметричной трехстержневой фермы с точкой бифуркации
В настоящем примере выполнен расчет фермы для значений начального коэффициента нагружения s изменяющихся от 0,2 до 0,8 и значений коэффициента погрешности fe равных 10-5,10-3 и 10-2 . На рисунке 4.2 а) и б) показаны типичные кривые перемещения вершины D и реакций в опоре A, которые соответствуют диаграммам аналитического решения, представленным на рисунке А.4 и А.5 в Приложении А.
В таблице 4.1 представлены значения перемещения u3 вершины фермы, соответствующие им значения нагрузки P3 , вычисленные при помощи разработанного приложения, а также значения нагрузки, вычисленные по формуле (2.20) аналитического решения, полученного в Приложении А. Начальный коэффициент нагружения s = 0,5; а коэффициент погрешности fe = 10-5 . Из представленных в таблице результатов видно, что разработанное приложение обеспечивают очень высокую точность вычислений на всем протяжении траектории нагружения. Красным цветом выделены значения , соответствующие предельным точкам. Приведены также сообщения приложения о достижении фермой сингулярной точки и её типе.
Сравнение результатов, полученных для различных значений коэффициента погрешности показало, что изменение его величины в заданных пределах оказывает малое влияние на точность вычислений. Начальный коэффициент нагружения также мало влияет на точность вычислений.
Точность вычисления перемещений и нагрузок в предельных точках не зависит от начального коэффициента нагружения и коэффициента погрешности. Точные значения получены при помощи выражений (2.48) и (2.20) с учетом нормализации значений (2.13) и (2.14). Вычисленные значения практически совпадают с точными.
В каждом цикле итераций деформационного анализа и продолжения решения в предельной точке, а также в каждом цикле итераций на шаге от почти сингулярной к сингулярной точке выполняется сборка и разложение матрицы жесткости. Поэтому общее число итераций может служить показателем эффективности численного расчета.
В таблице 4.2 представлено общее количество итераций в зависимости от коэффициента погрешности и начального коэффициента нагружения, принятых в расчете. Общее число шагов нагружения выбрано таким образом, чтобы вертикальное перемещение вершины для всех случаев было примерно одинаковым и равным приблизительно -0,32 м. Общее количество итераций уменьшается с возрастанием коэффициента погрешности и начального коэффициента нагружения. Можно убедиться, что среднее количество итераций на шаге не превышает пяти, что свидетельствует о быстрой сходимости процесса.
Приведенные результаты позволяют сделать вывод о том, что точность численного расчета по деформациям пологой фермы зависит от коэффициента погрешности и мало зависит от значения начального коэффициента нагружения. Состояние конструкции в предельной точке вычисляется с очень высокой точностью. Продолжение решения после прохождения предельной точки вычисляется устойчиво. Эффективность численного расчета зависит от коэффициента погрешности. Повышение эффективности связано с некоторой потерей точности расчета. Подбор оптимального значения коэффициента погрешности необходимо выполнять для каждой практической задачи.
При помощи разработанной тестовой платформы, основанной на численных алгоритмах, описанных в главах 2 и 3, исследуется геометрически нелинейное поведение симметричной подъемистой пространственной трехстержневой фермы. Аналитическое решение задачи получено в Приложении А. Результаты численного расчета сравниваются с результатами точного аналитического решения для оценки следующих параметров расчета: - влияния начального коэффициента нагружения и отношения радиуса основания к высоте фермы (m = a/h) на точность вычисления нагрузки и перемещения в точке бифуркации; - чувствительности продолжения решения в точке бифуркации к размеру шага; - характера потери устойчивости и типа достигаемой сингулярной точки (предельная точка либо точка бифуркации).
Радиус основания фермы принимает значения a =1м, 0,5м и 0,25м, высота фермы h0 = 5 м. Опоры в узлах A, B, и C представляют собой шаровые шарниры. Стержни фермы воспринимают только осевые усилия. Площадь поперечного сечения всех стержней равна 2см2 . Модуль упругости материала принят равным
Точность и эффективность численного расчета. На рисунке 4.6 а) показаны графики компонент перемещ ений вершины фермы с коэффициентом m = 0,100. Горизонтальное перемещение равно нулю до того момента, как достигнута точка бифуркации и изменяется нелинейно на продолжении решения. Вертикальное перемещение почти линейно до достижения точки бифуркации и далее изменяется линейно. На рисунке 4.6 б) показаны графики осевых составляющих опорной реакции в узле B фермы. Все три составляющие изменяются линейно до достижения точки бифуркации. В точке бифуркации происходит «перелом» траектории (тангенс угла наклона касательной претерпевает разрыв).
Частное решение для изгиба, вызванного нагрузкой q2
Классические методы расчета на устойчивость предполагают решение трансцендентных уравнений и не могут быть применены к сложным стержневым системам. Вместо этого в строительных нормах разных стран (СП РФ, Еврокоды, нормы США) предлагаются номограммы или эмпирические формулы для определения коэффициентов расчетных длин колонн для двух типов конструктивных систем: рам с возможностью горизонтального смещения и рам, закрепленных от горизонтального смещения. Эти процедуры, как правило, имеют малую точность.
Цель данной главы состоит в разработке метода расчета устойчивости пространственных рам с учетом больших перемещений, который может быть использован в инженерной практике с разумными затратами усилий даже при большом количестве стержней в раме. Поскольку метод конечных элементов успешно используется при расчете стержневых систем в линейной постановке (теория первого порядка), то он принят в качестве основы для разработки нового метода анализа устойчивости. При разработке метода использован одноэлементный подход в геометрически нелинейной постановке (теория второго порядка), описанный в главе 6.
Устойчивость пространственной рамы исследуется в данной работе при помощи свойств матрицы ее полной жесткости в текущих конфигурациях. Критическая нагрузка, вызывающая потерю устойчивости рамы, получается путем определения коэффициента нагружения, при котором матрица полной жесткости всей системы в текущей конфигурации становится нулевой.
Интерполирующие функции перемещений стержней рамы по теории второго порядка очень сложны и не могут быть сформулированы путем проб. В данной работе традиционный метод вычисления коэффициентов матрицы жесткости заменен на косвенный метод, как описано далее. Основные уравнения теории второго порядка для стержней рамы решаются относительно перемещений стержней, выраженных через обобщенные узловые перемещения и нагрузки на стержни. Усилия на концах стержня определяются как функции найденных перемещений стержней. Коэффициенты матриц жесткости стержней равны усилиям на концах стержня при выбранных единичных перемещениях узлов стержня.
Нагрузка на раму прикладывается пошагово, путем инкрементального увеличения коэффициента нагружения. Перемещения узлов и реакции опор рамы на шаге нагружения находятся итерационно. Конфигурация в конце предыдущего шага нагружения принимается как первое приближение для конфигурации в начале текущего шага нагружения. Уравнения составляются для значения нагрузки в конце текущего шага нагружения с использованием приближенной текущей конфигурации. Решение основных уравнений дает уточненную аппроксимацию мгновенной конфигурации в конце шага нагружения. Эта процедура повторяется до тех пор, пока изменение конфигурации в последующих итерационных циклах не становятся ничтожно малыми. Затем выполняется следующий шаг нагружения.
Матрица текущей жесткости стержневой системы раскладывается в процессе итерации для каждого шага нагружения на произведение левой треугольной матрицы с единичными диагональными элементами и правой треугольной матрицы с единичными диагональными элементами. Пока стержневая система устойчива, все диагональные элементы диагональной матрицы положительны. Когда знак хотя бы одного диагонального элемента меняется в цикле итерации, это означает, что стержневая система прошла сингулярную конфигурацию в этом шаге нагружения. Для определения коэффициента нагружения в сингулярной конфигурации использован метод бисекции интервала.
Подробный обзор литературы по теме исследования не выявил метода расчета устойчивости пространственных рам, основанного на теории второго порядка, использующего одноэлементный подход и свободного от допущений , касающихся горизонтальных смещений конструкции . На основании этого нами был сделан вывод о том, что такого метода на настоящий момент не существует. Следовательно, развитие метода конечных элементов применительно к анализу устойчивости пространственных стержневых систем, выполненное в этой главе, является новым.
Решение однородных основных уравнений Решение относительно перемещений при изгибе Перемещение v2 . Однородное основное уравнение, записанное относительно компоненты перемещения v2 , следует из выражения (6.155), если положить нагрузку q2 равной нулю. Осевая сила n1 в локальной системе координат аппроксимируется постоянной осевой силой n1 в координатном пространстве стержня.
Похожие диссертации на Обобщенная геометрически нелинейная теория и численный анализ деформирования и устойчивости пространственных стержневых систем
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
